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Progettazione di strutture in c.a.
SLU per taglio nelle travi
Maurizio Orlando
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
4.1.6.1.1-NTC Armatura trasversale minima
1. sezione complessiva delle staffe non inferiore ad Ast = 1,5 b mm2/m essendo
b lo spessore minimo dell’anima in millimetri
(equivale a imporre Ast / s ≥ 0,0015 b; ad es. per b = 300 mm e staffe 8 a due bracci
si ottiene Ast / s ≥ (0,0015  300) = 0,45 e s ≤ (100 / 0,45) = 222 mm)
2. almeno tre staffe al metro (s ≤ 333 mm)
3. passo non superiore a 0,8 volte l’altezza utile della sezione
In ogni caso almeno il 50% dell’armatura necessaria per il taglio deve essere
costituita da staffe.
Maurizio Orlando
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
Metodo del traliccio ad inclinazione variabile [traliccio dove
l’inclinazione dei puntoni è variabile tra 21.8° (cot  = 2.5) e 45° (cot  =
1.0)]
Traliccio di Mörsch

biella compressa cls
45°
45°

asta tesa
V

1 ≤ cotg  ≤ 2,5
45° ≥  ≥ 21,8°

Traliccio ad inclinazione variabile
V
V
Maurizio Orlando
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
(4.1.19)-NTC Resistenza a taglio-trazione (associata alla resistenza a
trazione delle armature trasversali)
VRsd = Rsd sen = fyd (Asw / s) 0.9 d (cotg  + cotg ) sen
passo p
Rsd
V
V
passo p
Maurizio Orlando
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
(4.1.19)-NTC Resistenza a taglio-compressione (associata alla resistenza a
compressione delle bielle di calcestruzzo)
passo p
Rcd
V
V
p sen 
passo p
VRcd = Rcd sen  = c f’cd bw 0,9 d (cotg  + cotg ) / (1 + cotg2 )
f’cd = 0,5 fcd (resistenza a compressione ridotta del calcestruzzo d’anima)
c: coefficiente che tiene conto della presenza di una tensione di
compressione cp
Maurizio Orlando
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
La resistenza al taglio della trave è la minore tra la resistenza a
taglio-trazione e quella a taglio-compressione:
VRd = min (VRsd, VRcd)
Maurizio Orlando
(4.1.20-NTC)
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Elementi armati a taglio – Pb. di Verifica: Calcolo del taglio resistente
Dati del problema: dimensioni della sezione, armature verticali (staffe),
resistenze dei materiali
1. si uguaglia la resistenza a taglio-compressione
con quella a taglio-trazione e si ricava θ:
A sw f y d
2
sen θ 
b w s ( c f 'cd )
 = 90°
V
Rd
f’cd bw z
0,50
Collasso simultaneo
A
V
Rdc
B
0,34
V
Rds
Collasso
staffe
C
0
0,5
1,0
45,0°
Maurizio Orlando
1,5 
33,7°
Asw
s minima
2,0
2,5
26,5°
21,8°
cot 

Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Elementi armati a taglio – Pb. di Verifica: Calcolo del taglio resistente
Dati del problema: dimensioni della sezione, armature verticali (staffe),
resistenze dei materiali
2. si confronta cot θ con i valori limite del campo di validità
•
se 1 ≤ cot θ ≤ 2,5, il taglio resistente si calcola utilizzando indifferentemente
l’espressione di VRd,max o di VRd,s
•
se cot θ > 2,5 (θ < 21,80°) il collasso avviene lato acciaio con bielle compresse
integre; in questo caso il taglio resistente è dato dalla resistenza a taglio-trazione
calcolata assumendo cot θ = 2,5
0,50
V
A
Rd
•
se cot θ < 1, occorre
ridimensionare la sezione o
diminuire il quantitativo di armature
trasversali
f’cd bw z
V Rd,max
B
VRd,s
C
A sw
s
minima
cot 
Maurizio Orlando
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Elementi armati a taglio – ESEMPI: VERIFICA
Calcolo della resistenza a taglio date la geometria e la meccanica di una
sezione rettangolare
Dimensioni geometriche
bw = 200 mm, h = 600 mm, d = 550 mm,
z = 500 mm


Armature
staffe verticali di diametro 8 mm a 2 bracci:
Asw = 100,5 mm2, s = 100 mm

Materiali
acciaio B450C:
fyd = 391 N/mm2

calcestruzzo C28/35:
fcd = 15,87 N/mm2; fcd = 7,93
Maurizio Orlando


Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Elementi armati a taglio – ESEMPI: VERIFICA
1. calcolo di  (dall’uguaglianza della resistenza a taglio-trazione e a tagliocompressione, rottura contemporanea dell’acciaio e del cls):
A sw fyd
100,5  391
sin θ 

 0,248
b w s (α c f ' cd ) 200  100  1 7,93
2
cotg θ 
1 - sin 2 θ
sin 2 θ

1 - 0,248
 1,742
0,248
2. confronto con i valori limite del campo di validità: risulta 1 ≤ cot θ = 1,742 ≤
2,5
3. calcolo del taglio resistente (si può usare indifferentemente
l’espressione di VRd,s oppure di VRd,max)
VRsd 
VRcd
A sw
100,5
 z  fyd  cot θ 
 500  391 1,742  342263 N
s
100
α b z f ' cd
200  500  7,93
 c w

 342392 N
cotθ  tanθ 1,742  1/1,742
Maurizio Orlando
342 kN
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
0.60
V
0.50
VRcd / (f'cd b z)
V
0.40
0.30
VRcd / (f’cd b z) =
= cotg  / (1 + cotg2 )
per  = 90°
0.20
0.10
0.00
0
0.5
1
1.5
2
cot 
2.5
3
3.5
Variazione della resistenza a taglio-compressione con l’inclinazione delle bielle
Maurizio Orlando
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
0.60
VEd,1 / (f’cd b z)
0.50
VRcd / (f'cd b z)
VEd,2 / (f’cd b z)
0.40
0.30
VEd,3 / (f’cd b z)
0.20
0.10
0.00
0
Maurizio Orlando
0.5
1
1.5
2
cot 
2.5
3
3.5
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
VRsd / (f’cd b z) = [fyd (Asw / s) / (f’cd b)] cotg 
per  = 90°
0.80
0.70
(Asw / s)3
VRcd / (f'cd b z)
0.60
(Asw / s)2
V
V
0.50
0.40
0.30
(Asw / s)1
0.20
0.10
0.00
0
0.5
1
1.5
2
cot 
2.5
3
3.5
Variazione della resistenza a taglio-trazione con l’inclinazione delle bielle e per
diversi quantitativi di armatura trasversale ( = 90°, staffe)
Maurizio Orlando
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
0.60
0.50
VRcd / (f'cd b z)
VEd / (f’cd b z)
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00
0
Maurizio Orlando
0.5
1
1.5
2
cot 
2.5
3
3.5
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
VRsd = VEd
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
cot 2
VRcd / (f'cd b z)
VEd / (f’cd b z)
0.10
0.00
0
Maurizio Orlando
0.5
1
1.5
2
cot 
2.5
3
3.5
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
0.60
0.50
0.40
(Asw / s)1
0.30
0.10
cot 2
0.20
cot 1
VRcd / (f'cd b z)
VEd / (f’cd b z)
0.00
0
Maurizio Orlando
0.5
1
1.5
2
cot 
2.5
3
3.5
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
0.60
0.50
0.40
0.30
0.10
cot 3
0.20
cot 2
VRcd / (f'cd b z)
VEd / (f’cd b z)
0.00
0
Maurizio Orlando
0.5
1
1.5
2
cot 
2.5
3
3.5
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
0.60
0.50
0.40
0.30
cot 3
0.10
cot 2
0.20
cot 1
VRcd / (f'cd b z)
VEd / (f’cd b z)
0.00
0
Maurizio Orlando
0.5
1
1.5
2
cot 
2.5
3
3.5
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
0.60
VRcd / (f'cd b z)
0.50
0.40
0.30
VEd / (f’cd b z)
0.20
0.10
0.00
0
Maurizio Orlando
0.5
1
1.5
2
cot 
2.5
3
3.5
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
0.60
VRcd / (f'cd b z)
0.50
0.40
VEd / (f’cd b z)
0.30
0.20
0.10
0.00
0
Maurizio Orlando
0.5
1
1.5
2
cot 
2.5
3
3.5
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
Progetto delle staffe trave in spessore
Taglio sollecitante
VEd = 132 kN
Dimensioni geometriche (sezione rettangolare)
bw = 550 mm, h = 220 mm, d = 180 mm,
z = 150 mm (dal calcolo di x/d a flessione)
Materiali
acciaio B450C:
fyd = 391 N/mm2
calcestruzzo C25/30:
fck = 25 N/mm2
Maurizio Orlando
fcd = 14,16 N/mm2
f’cd = 7,8 N/mm2
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
1. si calcola θ uguagliando il taglio sollecitante alla resistenza a tagliocompressione
2VEd
1
1
2  132000
θ  arcsen
 arcsen
 12,11
2
f ' cd b w z 2
7,8  550  150
da cui cot θ = 4,66 > 2,5
 = 90°
V
A
Rd
0,50
f cd
’ bw z
(1)
(2)
V
Rd,s
Collasso simultaneo
V
Rd,max
B
0,34
(3)
Collasso
staffe
(4)
C
0
Maurizio Orlando
0,5
1,0
45,0°
1,5
33,7°
2,0
26,5°
2,5
21,8°
cot 

4,66
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
2. essendo cot θ > 2,5 si calcola l’armatura a taglio ponendo cot θ = 2,5
ed invertendo la formula della resistenza a taglio-trazione:
A sw
VEd
132000


 0,9 mm 2 /mm
s
z  fywd  cot θ 150  391 2,5
che può essere soddisfatta con staffe a 2 bracci  8/100 mm
(1,00 mm2/mm = 10 cm2/m).
OCCORRE APPLICARE LA REGOLA DELLA TRASLAZIONE PER
DEFINIRE LA LUNGHEZZA DELLE ARMATURE LONGITUDINALI
Maurizio Orlando
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
O
Equilibrio alla rotazione intorno a O:
V (l + z cotg ) - V (z cotg ) / 2 – V (cotg ) z / 2 – T z = 0
V l + V (z cotg ) / 2 – V (cotg ) z / 2 – T z = 0
T = V [ l + z (cotg  – cotg ) 2 ] / z = V [ l + al ] / z dove al = z (cotg  – cotg ) / 2
Maurizio Orlando
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
4.1.2.1.3.2-NTC
Le armature longitudinali, dimensionate in base alle sollecitazioni flessionali,
dovranno essere prolungate di una misura pari a:
al = 0,9 d (ctg  -ctg α) / 2 ≥ 0
(il massimo valore di al si ottiene per ctg  = 2,5 e ctg α = 0 (staffe verticali): al,max =
0,9 d x 2,5 / 2 = 1,125 d)
Maurizio Orlando
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Travi
0,45 d  a1 = z (cot  - cot ) / 2  1,125 d
Maurizio Orlando
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Elementi armati a taglio – Pb. di Progetto delle armature trasversali (staffe)
Dati del problema: sezione, resistenze dei materiali e taglio sollecitante VEd
1. si calcola l’angolo θ uguagliando VEd a VRd,max (resistenza a taglio-compressione)
VEd  VRd,max
1
 (αc f 'cd ) b w z sen2θ
2
θ
Maurizio Orlando
1
1
 sen2θ
cotθ  tanθ 2
2VEd
1
arcsen
2
(αc f 'cd )b w z
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Elementi armati a taglio – Pb. di Progetto delle armature trasversali (staffe)
2. se 21,8° ≤ θ ≤ 45°, l’armatura si calcola invertendo la formula della resistenza a tagliotrazione, ponendo VRd,s = VEd
A sw
VEd

s
z f y dcot θ
•
se θ > 45°, occorre aumentare le dimensioni della sezione
•
se θ < 21.8°, si utilizza la formula della resistenza a taglio-trazione,
ma con cot θ = 2,5
Le armature devono rispettare i minimi di Normativa.
Maurizio Orlando
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Elementi armati a taglio – RIEPILOGO
VERIFICA
1  cotg   2,5
sen 2θ 

A sw f y d
b w s ( c f 'cd )
calcolo di VRdc o VRds
cotg  > 2,5
calcolo di VRds con cotg  = 2,5
cotg  < 1
non accettabile
PROGETTO
θ
2VEd
1
arcsen
2
(αc f 'cd )b w z
1  cotg   2,5
calcolo Asw/s dall’espressione di VRds
cotg  > 2,5
calcolo Asw/s dall’espressione di VRds con cotg  = 2,5
cotg  < 1
non accettabile
Maurizio Orlando
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Elementi armati a taglio – ESEMPI: PROGETTO
Progetto delle armature a taglio di una sezione rettangolare
Taglio sollecitante
VEd = 300 kN
Dimensioni geometriche (sezione rettangolare)
bw = 250 mm, h = 600 mm, d = 550 mm,
z = 475 mm


Materiali
acciaio B450C:
fyd = 391 N/mm2

calcestruzzo C28/35:
fcd = 15,87 N/mm2 f’cd = 7,93 N/mm2

Maurizio Orlando

Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
Elementi armati a taglio – ESEMPI: PROGETTO
1. si calcola θ uguagliando il taglio sollecitante alla resistenza a taglio-compressione
2VEd
1
1
2  300000
θ  arcsin
 arcsin
 19,79
2
(α c f ' cd )b w z 2
(1 7,93)  250  475
da cui cot θ = 2,78
2. essendo cot θ > 2,5 si calcola l’armatura a taglio con cot θ = 2,5 (invertendo la
formula della resistenza a taglio-trazione)
A sw
VEd
300000


 0,65 mm 2 /mm
s
z  fyd  cotθ 475  391 2,5
che può essere soddisfatta con staffe a 2 bracci  8 / 150 mm
(0,67 mm2/mm)
Maurizio Orlando
Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale, Firenze
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