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Dati e traccia eserc. 2

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Disegno e fondamenti di meccanica applicata
Nastro trasportatore
Disegno e Fondamenti di meccanica applicata
Anno accademico 2007-2008
Esercitazione: Nastro trasportatore
Sezione di materiale
b1
L
:=30°
b
h
Figura 1
Sono assegnati i dati del sistema riportati nella Tabella 1.
Dati
Nastro
Materiale trasportato
Tamburi
Trasmissione
Attrito
Motore
(MarelliMotori
a 4 poli
Modello 315S)
Massa per unità di lunghezza mu
Lunghezza L
Altezza h
Larghezza b
Portata oraria q
Densità *
Larghezza b1
Diametro DT
Spessore s
Larghezza bT
Rendimento /
Coeff. Attrito volvente fv
Potenza nominale WMn
Velocità di sincronismo s
Coppia nominale Cn
Momento di inerzia Jm
Costanti della curva caratteristica
Tabella 1
[kg/m]
[m]
[m]
[m]
[tonn/h](*)
[kg/m3]
[m]
[m]
[mm]
[m]
[-]
[-]
[kW]
[giri/min]
[Nm]
[kgm2]
A
B1
B2
n
30
200
15
1.5
1260
800
0,5
1,1
5
1,6
0,8
0,03
110
1500
750
1.151
1000
0.1
1
1.5
[(*) 1 tonn=1000 kg]
1
Disegno e fondamenti di meccanica applicata
Nastro trasportatore
Si richiede di svolgere i seguenti punti:
•
•
•
Calcolo della velocità del nastro a regime.
Determinazione del rapporto della trasmissione.
Scrittura dell’espressione dell’accelerazione angolare del motore, indicando i valori dei
contributi inerziali dei diversi elementi:
o motore;
o tamburi
o nastro
o materiale
Analisi del transitorio di avviamento del nastro in presenza ed in assenza di materiale sul
nastro. Lo studio venga effettuato mediante integrazione numerica dell’equazione del moto.
Calcolo delle potenze a regime, considerando l’effettiva velocità di regime stimata
dall’integrazione nel tempo del punto precedente.
•
•
Traccia di soluzione
1. Velocità nastro a regime
Portata di massa in funzione della velocità
q = Am
m
V
Dove Am è l’area della sezione trasversale del materiale
h1
essendo
h1 = (b b1 ) / 2 sin(30°)
2
Si ottiene la velocità del nastro a regime
Am = ( b + b1 )
V [m / s] =
q[kg / s ]
Am [m ] m [kg / m3 ]
2
La velocità angolare dei due tamburi risulta
T
[rad / s ] =
2V
DT
2. Dimensionamento del motore e scelta del rapporto di trasmissione
Dal bilancio di potenze a regime si ottiene
CM
M
(1
) CM
M
Am L
m
g sen V + WP = 0
Dove WP è la potenza dissipata dai rulli per attrito volvente.
Per il calcolo della potenza WP si deve calcolare la reazione vincolare Ri scambiata tra il generico iesimo rullo e il nastro.
Detta Li la distanza tra due rulli successivi, si può attribuire al singolo rullo un carico pari al peso
del materiale e del nastro che si trovano ad una distanza compresa tra ±Li/2 dal rullo stesso.
2
Disegno e fondamenti di meccanica applicata
Nastro trasportatore
Risulta quindi per un rullo posto sul tratto di andata (vedi Figura 2):
RiA = ( mu + Am
m
) gLi cos
Per un rullo posto sul tratto di ritorno, il carico è associato al solo peso del nastro e risulta quindi
RiB = mu gLi cos
Li
Li/2
Li
Li/2
Si+1
Ti
Ri
Ti
Pmi
Si
Pni
Ri
Mvi
hi
vi
Figura 2
Detto nA il numero di rulli sul tratto di andata e nR il numero di rulli sul tratto di ritorno si ha
WP =
nA
i =1
RiA f vV
nR
i =1
RiB f vV = nA RiA f vV
nB RiB f vV
Essendo i rulli distribuiti in modo uniforme risulta
n A = nR =
WP =
L
Li
Li
L
( mu + Am m ) gLi + mu gLi
cos f vV =
( 2mu + Am m ) gLf vV cos
Dal bilancio delle potenze risulta quindi
WM = CM
M
=
Am L
m
g sen V + ( 2mu + Am
m
) gLf vV cos
3
Disegno e fondamenti di meccanica applicata
Nastro trasportatore
Si verifica che la potenza nominale motore sia maggiore di quella richiesta:
WMn
WM
Scelto il motore dal catalogo, si può scegliere il rapporto di trasmissione in base alla velocità di
rotazione nominale del motore:
FM = FMn = 1460 giri/min
Il rapporto di trasmissione è definito come
=
T
M
Dalla relazione tra la velocità del nastro e la velocità di rotazione dei tamburi si ha:
D
D
V= T T = T M
2
2
Si può quindi scegliere il rapporto di trasmissione come
V
DT
Mn
2
3. Analisi del transitorio di avviamento
L’accelerazione angolare del motore si ricava del bilancio di potenze scritto in transitorio.
WE + WP + WU =
dEC
dt
Considerando che il transitorio di avviamento nella condizione più gravosa, ossia con il materiale
già posto sul nastro, si ottiene dunque:
CM
M
(1
)( CM
JM &M
M
M
)
FuV
FpV = J M & M
M
+ mu ( 2 L + DT ) Va + J T &T
T
+
m
Am LVa
Dove
Fu = Am
m
gL sen
Fp = ( 2mu + Am m ) gLf v cos
In assenza di materiale, si annullano i contributi associato al volume ad esso associato.
L’unica inerzia ancora da determinare è quella del tamburo e può essere ricavata dalle sue
caratteristiche geometriche considerando un cilindro uniforme cavo di spessore sT.
J T = ( DT sT ) bT
DT
2
2
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Disegno e fondamenti di meccanica applicata
Nastro trasportatore
Dalle relazioni cinematiche:
T
=
&T = & M
M
DT
2
Si ricava
V=
M
a=
DT
2
&M
CM
&M =
J M + 2JT
2
Fu
DT
2
+ (2 L + DT )mu
FP
DT
2
DT
2
2
+ Am L
m
DT
2
2
(Eq. 1)
La coppia motrice è assegnata in funzione dello scorrimento s tra il campo magnetico rotante e la
velocità di rotazione del motore. Esso è definito dalla espressione
s=
M
s
s
Dove Fs è velocità di sincronismo ed è dipendente dalla frequenza di alimentazione della rete
elettrica e dal numero di coppie polari del motore. Per un motore a 2 coppie polari alimentato a
50 Hz, la velocità di sincronismo risulta:
S
=
2 fa
rad
= 157
ncp
s
La caratteristica del motore asincrono trifase è assegnata in funzione dello scorrimento s:
As
B1 + B2 s n
Cui corrispondono i due grafici in funzione dello scorrimento, e della velocità angolare del motore,
riportati nel seguito.
C M ( s) =
5
Disegno e fondamenti di meccanica applicata
Nastro trasportatore
L’equazione differenziale (1) può essere integrata numericamente per passi utilizzando il metodo di
Eulero.
Fissato un passo di integrazione JT, il metodo di Eulero prevede di ottenere la velocità di rotazione
del motore al passo i+1 dalla espressione
M i +1
=
Mi
+ & Mi T
È possibile quindi integrare l’equazione a partire dalla condizione iniziale sulla velocità
(avviamento da fermo)
M
(t = 0) = 0
6
Disegno e fondamenti di meccanica applicata
Nastro trasportatore
Per integrare l’equazione si procede nel modo seguente:
• note la velocità e l’accelerazione angolare del motore al passo precedente (i-1), si calcola la
velocità al passo corrente (i) tramite la formula di Eulero;
• dalla velocità FMi, si ricava lo scorrimento si;
• dallo scorrimento si, si ricava la coppia motrice Cmi;
• si calcola l’accelerazione angolare al passo i dalla Eq.1 essendo ora note tutte le grandezze al
passo i.
È ora possibile iterare il procedimento per il passo i+1.
Il metodo di integrazione è riassunto in Tabella 2.
Passo
Ti
Mi
0
0
M0
=0
1
JT
M1
=
2
2 JT
…
…
I
i JT
…
M2
=
M0
M1
…
Cmi
& Mi
0
Cm(s0)
&M 0 = &M
(
M0
Cm(s1)
&M1 = &M (
M1
Cm(s2)
&M 2 = &M
(
M2
+ &M 0 T
s1 =
+ &M1 T
s2 =
M1
s
s
s
M2
s
…
Mi
si
…
=
Mi 1
+ & Mi
…
1
T
si =
…
Mi
s
Cm(si)
…
, Cm1 , FP , FU )
, Cm 2 , FP , FU )
…
& Mi = & M
s
…
Tabella 2
, Cm 0 , FP , FU )
(
Mi
, Cmi , FP , FU )
…
Integrando per un tempo sufficiente, il sistema si porta a lavorare in prossimità della velocità di
regime M , giudicata in base al fatto che l’andamento della velocità si presenta con un adnamento
tendente ad un asintoto.
4. Calcolo della potenza a regime
Le potenze a regime sono date dalle espressioni:
WM = CM
WU = FU
WP1 = (1
WP 2 = FP
M
DT
2
= CM ( s )
M
M
)WM
DT
2
M
7
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