Ingegneria Elettrotecnica Prova scritta di Fisica 2 - 17 Gennaio 2014 UNIVERSITA' DEGLI STUDI di ROMA "LA SAPIENZA" Anno AccademicoDEGLI 2013 – 2014 – Ing. Aerospaziale UNIVERSITA’ STUDI DI ROMA “LA SAPIENZA” Esercizio 1 (8 punti) Esame di Fisica II (ord. 270, 9 CFU) ), esercizi A1, A2, A3,A. A4, domande B1, B2 εr Facolt` a di Ingegneria A. 2006 - 2007 Una lastra piana di dielettrico omogeneo, di costante εr , infinitaEsame di Elettromagnetismo (ord. 509, 6 CFU), esercizi A1,II A2, A3,18 domande B1, B2, B3 diuna Fisica del Dicembre mente estesa nel vuoto e Esame spessa d, su faccia Generale possiede una distriσ 2007 Prova scritta del 11 Luglio 2014 buzione superficiale uniforme di carica libera, di densit`a σ. Rispetto x al sistema di riferimento indicato, si calcoli l’espressione del poten1 0 d ziale elettrostatico V (x) in tutto lo spazio, assumendo V (d) = 0. Un modello molto semplificato di atomo con numero atomico Z consiste in una carica Si tracci anche unche grafico qualitativo V (x). x con velocità v = 10^7 m/s è sottoposto, per elettrica ne A1) Un elettrone si muove lungo ladidirezione 0 tiva (−Ze), con e pari al modulo della carica dell’elettrone, corrispondente all’insieme degli elettr un tratto lungo d = 4 cm, ad un campo elettrico uniforme E0 = 10^4 V/m ortogonaleI alla sua orbitanti, uniformemente distribuita all’interno di una sfera di raggio R, al cui centro `e posta u velocità. Calcolare l’angolo che la direzione dell’elettrone forma con l’asse delle x dopo carica puntiforme positiva corrispondente al nucleo. Ricavare l’espressione del campo elet essere dalla regione in cui (+Ze), è presente il campo elettrico. Esercizio 2uscito (8 punti) co in funzione della distanza r dal centro. Un conduttore di resistivit`a ρ ha una forma di tronco di cono con h basi circolari di raggi, rispettivamente, a e b ed altezza h. Assu2 mendo una densit`a di corrente uniforme attraverso ogni sezione, R2 Un generatore di forza elettromotrice fresistenza e resistenza inA2) Un generatore di di forza elettromotrice calcolare la resistenza questo conduttore fe emostrare cheinterna il risul-r è r terna ad r `euncollegato ad un circuito in figura. Calcollegato come in conduttore figura.come Calcolare in condizioni tato si riconduce alla circuito resistenza di un cilindrico quando a colare in condizioni stazionarie la corrente che scorre R1 a = b.stazionarie la corrente che scorre nel generatore e la potenza che I nel calcolare generatore la potenza che eroga; poeroga; la epotenza dissipata in R1calcolare ed R2 elal’energia C2 C1 tenza dissipata in R1 in edciascuno R2 e l’energia elettrostatica elettrostatica immagazzinata dei due condensatori. f µr immagazzinata in ciascuno dei due condensatori. Esercizio 3 (8 punti) Un cavo coassiale lungo `e costituito da due conduttori cilindrici 3 di raggi a e b. Il conduttore centrale `e attraversato concentrici ha I Una spira a e b corrente, si muove con da una corrente I erigida quellorettangolare esterno da di −Ilati (stessa verso velocit` a ⃗v costante un piano `eche contiene un materiale filo retopposto). spazio frarappresentato i dueinconduttori A3) Nel Locircuito in riempito figura, dii unraggi delle tilineo indefinito percorso da una corrente costante I. b ferromagnetico di costante . Calcolare l’energia m semicirconferenze sonoµra=10 cm e b=15 cm. Semagnetica la correnteUvale Un lato della spira resti parallelo al filo e la distanza al d 0 immagazzinata in un tratto h deldi cavo. Ricavare poi l’induttanza i=20A, calcolare il campo induzione magnetica nel centro O v b tempo t = 0 della spira dal filo sia d . Trovare la f.e.m. 0 per unit` a disemicirconferenze. lunghezza del cavo. delle indotta nella spira. I Esercizio4 4 (8 punti) Una corrente continua I passando in raggio un solenoide con N spire produce un flusso concatenato c All’esterno di un solenoide a sezione circolare di a, alimentato A4) All’esterno di un solenoide a sezione circolare di raggio a, con n le spire pari a Φ. Si calcoli la forza elettromotrice media nel solenoidenI(t) se si interrompe dalla densit`a di corrente quasi stazionaria nI(t) = nI0 sin (ωt), `e indotta spire per unità lunghezza, alimentato dalla corrente corrente in unditempo ∆t, il valore dell’induttanza del solenoide e l’energia immagazzinata nel S cam inserito un anello coassiale di dielettrico omogeneo di costante εrquasi , r stazionaria I(t) = I sin(ωt), è inserito un anello coassiale di dielettrico 2 0 raggio r emagnetico sezione Sprima ≪ πrdell’interruzione. . Si calcoli l’espressione del vettore di 2 a Dare i valori numerici per omogeneo di costante ε , raggio r e sezione S≪πr . Si calcoli ⃗ r polarizzazione P nel dielettrico. Calcolare inoltre la corrente di −4 I = 2del A; N = 400 spire; Φ = 10nel Wb; ∆t = 0.08 s l’espressione vettore di polarizzazione dielettrico. polarizzazione ip (t) presente nell’anello. 5 εr Un’onda elettromagnetica piana e monocromatica di frequenza ν = 10 MHz si propaga nel vu nella direzione delle x positive. Essa `e polarizzata linearmente, con il campo elettrico lungo l’a Rispondere y,aiedseguenti investequesiti: una spira quadrata, di lato a = 1 cm e resistenza R = 100 Ω, posta sul piano xy. Domanda 2 ⃗ costante ha di un’intensit` a media I¯ = 2 W/m , si calcoli l’ampiezza della corrente circolante nella spi Descriverel’onda il moto una carica q puntiforme di massa m e velocit v⃗0 in un campo B B1) Ricavare le condizioni continuità del campo elettrico alla superficie di separazione fra trascurando fenomeni di autoinduzione. nel tempo ed uniforme nellodispazio. due mezzi con diverso valore della costante dielettrica. B2) Enunciare la seconda formula di Laplace e spiegarne l’origine. B3) Enunciare e ricavare l’equazione di continuità . x ay = F qE =− m m Soluzione: Il campo imprime che loelettrico fa spostare nellaall’elettrone direzione y un’accelerazione secondo la legge Soluzioni F qE 1 a y = STUDI =− y = a y t 2”LA SAPIENZA” UNIVERSITA’ DEGLI m m di ROMA 2 FACOLTA’ DI INGEGNERIA A1) A. la A.legge 2006 - 2007 che lo fa spostare nellalungo direzione y xsecondo mentre l’asse si muove con moto uniforme Esame di Fisica Generale II - Soluzioni adel 18 Dicembre 2007 Il campo elettrico imprime all’elettrone un’accelerazione y=F/m=−qE/m che lo fa spostare Politecnico di Torino Fisica 1 II 2 = v0 t l’asse x si muove con moto nella direzione CeTeM y secondo la legge y = a y t mentre xlungo 2 Esercizio N. 1 ! Politecnico di Torino Fisica II uniformeEliminando x=v0t Esercitazioni Ze Qint la variabile t1dalle equazioni si ottiene ⃗ ρ = − r ≤ R ρ = 0 r > R E · n ˆ dS = CeTeM el mentre lungo l’asseel x si muove 4 3 con moto uniforme ϵ0 S 3 πR 1 Esercitazioni qE 2 y = − x qEd Eliminando la variabile t dalle equazioni si ottiene x = v t 2 ! v y = 2a y y"=0 # r $3 %v x =2vmv 0 0 ⃗ ·n mv0 E ˆ dS = 4πr 2 E Qint = Ze 1 − (r ≤ R) Qint = 0 (r > R) R S qEd Eliminando la variabile t dalle equazioni si ottiene v y = 2sono ay y = vx = v0 Le componenti della velocità dell’elettrone all’uscita delall’uscita campo sono Le componenti della velocità dell’elettrone del campo & ' la direzione dell’elettrone forma con l’assemv da cui è possibile ricavare l’angolo che x 0 1 r ⃗ = 0 (r > R) ⃗ = Ze E − 3 che rˆ (r qE≤ R) 2 2 da cui è possibile ricavare l’angolo dell’elettroneEforma con l’asse x 4πϵ0 r R y = −la direzione x −da v y cui è 02possibile ricavare l’angolo che la direzione dell’elettrone 2qEx mv tan θ = = = −0.7 θ = −35° mv02 © Politecnico di Torinov x Pagina 3 di 6 − v y Alberto qEx Le componenti della velocità dell’elettrone all’uscita del campo sono Giovanni Autore: DataN.ultima revisione 30/06/00 Esercizio 2 tan θ = = = −Ummarino 0.7 θ = −35° 2 A2) Esercizio 1.5 vx mv0 In piano condizioni stazionarie, nel poste ramo contenente R2 eqnei condensatori scorre dall’altra. corrente. Su un orizzontale sono due cariche addue una distanza non 2a l’una La corrente I che scorre nel generatore ` e Esercizio 1.5 Determinare il punto appartenente all’asse x (perpendicolare alla congiungente delle due © Politecnico di Torino Pagina 3 di 6 cariche e passante per il suo puntoSumedio) in fcui il campo sono elettrico raggiunge il valore un piano orizzontale poste due cariche q ad una d IAutore: = Giovanni Alberto Ummarino Data ultima revisione 30/06/00 massimo. Determinare il punto appartenente all’asse x (perpendicolare al R1 + r Esercizio 3 cariche e passante per il suo punto medio) in cui il campo el e la generatore `e la somma di quella dissipata su R1 e su r, cio`er Lapotenza densit`a W di erogata energiaqdal magnetica massimo. 2a 2 1 2 + R1µI02µ= r (r BH = H 2 + R1 ) I = fqI. umW== rI 2 x2 La potenza dissipata su R2 `e nulla e quella dissipata su 2a R1 vale W1 =R1 I 2 . L’energia immagazDal teorema di Ampere per H, dentro al cavo coassiale (a < r < b) inata nella capacit`a Cj q(j = 1, 2) `e drx ! IR1 1 Soluzione: ⃗ · d⃗ℓ = 2πrH H q Uj = =CjIV 2 −→ con H V = = f. 2πr q 2 r + R1 E=k 2 E x = E1 cos θ E = E1 sen θ # $ " " " b y Soluzione: a + x2 µ0 µr I 2 h b µ0 µr I 2 h b dr Esercizio N. 3 = ln Um = um dτ =x um 2πrhdr q= · · · = a E=k 2 E4π E y 4π = E1 sen θ a r sen θA3) = cosθ = x = E1 cos θ a Ad un a +della x 2 spira dal filo.a Il flusso concatenato sar`a: x 2 istante + a 2 generico t, sia x 2 +x(t) a 2 la distanza # $ a !µx+a !1x+a2 L bx 0 µr #x $ ! ′ q x θ = −→ dx µ0 Ib x + a µ0 Ib= cosθ = ln Um =senLI ′ ⃗ ⃗ Ex = k 2 ⋅ = kq 2 = 2h =a2 + a 2 ln Φ 2 B 2= B · 2⃗ndS 2= 3 / 22 Bbdx 2 4π x + a x ′ a +x 2π x x 2π x a +x S (a + x ) x q x x 2 2 2 E x =xk2 +2a 2 2 2⋅ = kq dEx Ma `e( ax(t) += x 2d)03 / + −vt, 3xsegue a2 + x2 allora: a 2 +3 x( a +ax22 +−x32x 2 ) ( a 2 + x 2 ) 3 / 2 = kq = kq 2 2 3 2 dx (a + x ) a +x ) # ($ d02 +3 /a2 + vt 2 2 2 2 2 2 Esercizio 4 ⃗ = µ0(Ib Φ B dE a ln+ x ) − 3x a + x x +a x dEx a d0 + vt 2 3 = kq2π = kq 2 ( a 2 + x 2 − 3x 2 ) 2 2 3 = 0 ⇒ a 2 − 2x 2 = 0 x=± 2 2 dx ( a + x ) ( a + x ) dB 2# $ d a a dx A4) Faraday: E 2πr = − dΦπa2B ⃗dE −→ E = − [µ0 nI0 sin (ωt)] a = −µ0 nI0 ω cos ωt dt 2r 2r µ0 Iabv 2 dt 2 1 x x=± == 0 ⇒ a − 2 x = 0 f =− dt dx 2π raggio (d0 +r acon + vt)(d vt) 2 Sia tˆ versore tangente alla circonferenza di verso0 + antiorario, Esercizi proposti 2 ⃗ = −µ0 ε0 (εr − 1)nI0 ω a cos ωt tˆ. P⃗ = ε0 χE Esercizio 1.6 Esercizi proposti 2r Un dipolo elettrico di momento∂P p è posto puntiforme 2 d a distanza a= 1 m da una2 acarica S =Esercizio (ε0 χE)S1.6 = µ0 ε0 (εr − 1)nI0 ω S sin (ωt) ip (t) = -10 Q=+10 coulomb parallelamente aldt campo elettrico generato da quest’ultima. ∂t 2r Un dipolo momento posto a distanza a= 1 m da u Se sul dipolo agisce una forza di intensità F= 1elettrico newton,diquanto valepil èmomento di dipolo?
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