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Controventi e Centro delle Rigidezze

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Antonio Magarò e Ottavio Minella
Controventi e Centri delle Rigidezze in una struttura in acciaio su due livelli
Controventi e Centro delle Rigidezze
La struttura e i controventi
L’ edificio che abbiamo preso in esame (estratto dal nostro progetto del semestre)
è
composto da due livelli con quello superiore aggettante rispetto a quello inferiore, ma l’ aggetto
non lavora come una mensola. Esso è sostenuto da un tirante diagonale collegato alla testa del
pilastro del livello superiore. Il suo comportamento è quello di una trave incernierata con un
vincolo inclinato rispetto l’asse della trave.
Pianta del livello 0
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Pianta del livello 1
E’ necessario fare alcune considerazioni sulla disposizione dei controventi, sulle loro
rigidezze e come questo influisce sul comportamento dell’ edificio quando questo è sottoposto
a delle forze orizzontali.
Negli schemi preliminari abbiamo utilizzato per i pilastri dei profili HEA generici, nel
prosieguo proveremo ad ipotizzare un dimensionamento di massima.
I profili di questo tipo sono fortemente “direzionati”, ovvero hanno momenti di inerzia
diversi nelle due direzioni. Se i pilastri fossero incastrati alle travi, allora si trasferirebbe
momento dalle travi anche solo per il peso che esse portano. Sarebbe quindi stato opportuno
direzionare i pilastri in modo da resistere alla flessione indotta dai carichi verticali e quindi
ortogonalmente alla direzione dei travetti. Non è così però dal momento che i pilastri sono
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incernierati alle travi per la semplicità intrinseca nel realizzare giunti di questo tipo tra le aste
d’acciaio. In ogni caso i pilastri devono poter rispondere a delle sollecitazioni orizzontali e
quindi ad una flessione e per questo motivo abbiamo deciso di orientare i pilastri
alternativamente nelle due direzioni.
Zoom sull’ orientamento dei pilastri
Per calcolare la rigidezza di ciascun controvento (sia in senso stretto, ovvero quella parte di
telaio irrigidita mediante croci di Sant’ Andrea, che in senso lato, considerando tutte quelle
strutture che con la loro rigidezza si oppongono alle spinte orizzontali, quindi anche i pilastri
semplicemente incastrati a terra) esaminiamo gli schemi di Bernoulli di ciascun impalcato,
provando ad ipotizzare una deformata e quindi riconducendo la struttura a degli schemi noti.
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Analizzeremo il controvento a tutt’ altezza, ma poi le formule della rigidezza saranno
espresse per ciascun piano in modo da poter valutare separatamente le rotazioni e gli
spostamenti di tutti i punti.
Per tutta l’analisi considereremo le forze orizzontali sui due livelli come diverse. Il motivo
risiede nel fatto che le piante dei due piani sono diverse e lo saranno anche le masse e quindi in
proporzione le forze sismiche, ma questo modo di operare si può applicare anche ad altri tipi di
sollecitazioni orizzontali.
Dove possibile abbiamo inteso irrigidire la struttura con dei tipici controventi della
tecnologia dell’ acciaio, ovvero le croci di Sant’Andrea. Non è possibile in genere per ogni
campata, laddove è necessario praticare delle aperture e quindi nel nostro caso quando le
superfici devono essere vetrate abbiamo lasciato la campata libera, provando a controventare
quella adiacente, e quando era necessario aprire delle porte allora abbiamo utilizzato una sola
diagonale. Ovviamente questo verrà contemplato nel calcolo delle rigidezze.
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Come si vede nei calcoli il contributo dei pilastri incastrati è inversamente proporzionale al
cubo della loro altezza, mentre la rigidezza della croce di Sant’ Andrea è inversamente
proporzionale alla sola prima potenza e quindi è decisamente più grande.
Il pilastro 14,0 è orientato secondo una direzione inclinata quindi il contributo del
momento di inerzia deve essere calcolato in funzione del diverso orientamento degli assi
locali della sezione. In questo ci aiuta AutoCAD.
Abbiamo disegnato i profili HEA 260 che sono ruotati localmente con una polilinea, l’abbiamo
convertita in “regione” e poi abbiamo utilizzato il comando “proprietà massa/regione” che ci
calcola, tra gli altri parametri, anche i momenti di inerzia, ovviamente avendo cura di avere il
sistema di riferimento uguale a quello che abbiamo fissato per il nostro telaio e il profilo
centrato nell’ origine del sistema di riferimento.
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I pilastri del livello 1 che sono semplicemente incernierati non danno contributo alla
rigidezza, formano con le travi dei quadrilateri incernierati, sistemi di trasmissione del moto
che quindi non fanno nulla per ostacolarlo.
Infine è plausibile immaginare che i pilastri del livello 0 siano più caricati rispetto a quelli
del livello 1 e quindi abbiano una sezione resistente maggiore. Abbiamo quindi differenziato
le aree dei profili in base al livello in cui si trovano.
Su questo telaio si vede che su alcune campate è presente una sola diagonale. Questo è
necessario, come accennato prima, per motivi progettuali, dovendo alloggiare in quelle
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specchiature delle porte. La campata avrà ancora un’ azione controventante, ma pari
esattamente alla metà di quella che avrebbe la controventatura a croce di Sant’ Andrea.
Si considerano diversi gli angoli delle diagonali perché lo span è diverso.
La rigidezza del telaio al livello 0 sembra uguale a quella del telaio visto prima, ma non lo
è nei numeri, essendo diverso l’orientamento di alcuni pilastri e quindi diverso il momento
di inerzia.
Passiamo quindi al telaio 3, che comprende la sola gabbia scale
Qui sono tutte croci di Sant’ Andrea, avremmo solo cura a definire gli angoli. La rigidezza del
livello 0 e quella del livello 1 sarebbero uguali se lo fossero i pilastri, ma abbiamo sezioni
diverse:
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Procediamo con l’ultimo telaio sulla direzione x:
Al livello 0, è necessario aprire una porta che dia direttamente all’ esterno dalla gabbia scale
per questo manca una diagonale. Per i pilastri 1 e 5 è necessario valutare l’orientamento della
sezione, ricordandoci che il pilastro 1 è ruotato rispetto agli altri.
Passiamo ora ai controventi nell’ altra direzione.
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Come si vede su questi telai è presente l’aggetto. Come abbiamo già detto esso non si
comporta come una mensola non essendo incastrato, ma come una trave doppiamente
incernierata. Le cerniere su cui è ancorato il sistema, traslando orizzontalmente con due
traslazioni diverse, provocano una rotazione del punto più esterno. Nonostante le apparenze (la
presenza di una diagonale) questa struttura non fa da controvento, d’altro canto non è in
grado di scaricare a terra.
Le uniche strutture controventati sono le croci di Sant’ Andrea, con valori diversi dell’ area
dei profili.
Per il telaio successivo valgono molte delle considerazioni fatte finora
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La necessità di aprire delle porte impone di non poter inserire la doppia diagonale. Si
potrebbero fare delle considerazioni su quale sia la configurazione più efficace, non dal punto di
vista della rigidezza dell’ intero telaio che non ha variazioni, ma dal punto di vista della
rigidezza dei nodi ad esempio, che sono tanto più rigidi quante più aste vi convergono.
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Proseguendo abbiamo il telaio D
Si tratta di un telaio molto rigido.
Ed infine il telaio E che è inclinato rispetto alle direzioni. La sua rigidezza andrà quindi
proiettata sugli assi e andrà ad incrementare, con la sua componente orizzontale, la rigidezza
del controvento 1 che si trova in corrispondenza
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Una volta calcolate le rigidezze, ciascun livello può essere schematizzato come un unico
corpo rigido vincolato con delle molle ciascuna posizionata nella direzione del relativo
controvento e ciascuna dotata di una rigidezza pari a quella del controvento.
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A questo punto il calcolo del centro delle rigidezze è semplice, ascissa e ordinata sono
infatti date dal rapporto tra la somma dei prodotti delle rigidezze per le distanze dall’
origine del Sistema di Riferimento fratto la sommatoria delle rigidezze.
In pratica:
Dal momento che le rigidezze sono in forma parametrica utilizzeremo Excel per il calcolo
delle coordinate, ma prima è necessario fare un dimensionamento di massima dei pilastri, in
modo da inserire i giusti momenti di inerzia e le giuste aree di sezione dove necessari.
Dimensionamento Di Massima Delle Strutture
Per dimensionare i pilastri procederemo valutando il carico che deve sopportare il pilastro
più caricato ed in base a questo dimensioneremo tutti i pilastri.
Per conoscere il carico sui pilastri però è necessario dimensionare anche le travi che
costituiscono buona parte del carico che i pilastri devono sopportare.
Schematizzando in un dettaglio tecnologico il solaio che andremo ad utilizzare, possiamo
calcolare il carico strutturale (al netto della travatura principale), il sovraccarico permanente ed
il sovraccarico accidentale e poi procedere al dimensionamento mediante un foglio Excel.
Prenderemo come riferimento la trave tra 10 e 15, sulla quale insiste la maggior area di
influenza che ha una luce di 6 mt ed un’ interasse di 6,12 mt.
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L’ ipotesi è che la trave sia una IPE 400.
Passiamo ora al dimensionamento di massima dei pilastri, prendendo sempre come esempio
il pilastro più caricato (sul quale grava la più ampia area di influenza) e teniamo conto che
abbiamo ipotizzato dei profili di tipo HEA.
Il pilastro su cui grava la più ampia area di influenza è il pilastro 10 del piano terreno. Su
quel pilastro gravano 2 solai di 28 mq, un pilastro del secondo piano, e le 8 porzioni di travi IPE
400 collegate in testa.
Dimensioniamo prima il pilastro 10 del secondo piano e ne calcoliamo il peso, poi il pilastro
10 del livello sottostante. Per il dimensionamento cerchiamo l’ area della sezione del profilo in
funzione dello sforzo normale centrato e della sigma ammissibile, calcolata maggiorando il
coefficiente di sicurezza del 25% per considerare che la sollecitazione può non essere solo uno
sforzo normale centrato.
L’ ipotesi è quindi che i pilastri siano HEA 260 al piano terreno e HEA 160 al piano
superiore.
Ripartizione Delle Forze Orizzontali
Un esempio tipico di una sollecitazione orizzontale (intesa sul piano xy) che può vedersi
applicata alla struttura di un edificio è la forza sismica. Essa è proporzionale alla massa dell’
edificio moltiplicata per l’accelerazione media del terreno. Questa forza la si deve immaginare
applicata al centro di massa dell’ edificio, ma è attorno al centro delle rigidezze che
l’edificio eventualmente ruota in funzione del fatto che la forza viene assorbita dai
controventi in proporzione alla rispettiva rigidezza. Se centro di massa e centro delle
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rigidezze sono tra loro vicini (nel piano (x,y) ovvero laddove avviene la rotazione) allora l’
edificio subirà una rotazione molto piccola, viceversa la rotazione sarà più grande perché alla
forza sarà associato un braccio grande e quindi un grande momento.
Abbiamo calcolato le rigidezze di tutti i controventi dell’ edificio in forma parametrica, e
dopo un dimensionamento di massima degli elementi strutturali, in particolare dei pilastri,
possiamo andare ad inserire dei dati realistici al posto dei nostri parametri.
Il foglio di calcolo ci fornirà i valori delle rigidezze che combinati con le distanze dal centro
di un sistema di riferimento cartesiano ci daranno le coordinate (in quel sistema di riferimento)
del centro delle rigidezze.
Per prima cosa inseriamo i dati al posto dei parametri nelle formule ricavate sopra:
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Una volta calcolate le rigidezze di ciascun controvento è necessario valutare le distanze dei
controventi dall’ origine del sistema di riferimento scelto. Per comodità sceglieremo un
sistema di riferimento centrato in un punto dove è possibile annullare, durante i calcoli per le
coordinate del centro delle rigidezze, uno o più prodotti.
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Applichiamo ora la formula citata prima per il calcolo delle coordinate del centro delle
rigidezze:
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Considerazioni su spostamenti e rotazioni
Qualora si presentasse una forza sul piano x,y essa sarebbe sempre scomponibile nelle due
direzioni, così come si vede nello schema. Una volta calcolate le rigidezze totali sugli assi, è
necessario valutare un’ altra grandezza che è la rigidezza torsionale, sugli assi e totale
(intesa come somma di quelle sugli assi).
Una volta calcolate le rigidezze totali sugli assi è possibile determinare gli spostamenti in
relazione alle componenti della forza sul piano x,y. Allo stesso modo è possibile determinare
le rotazioni attorno al centro delle rigidezze in funzione del momento che la forza genera
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sul piano x,y attorno al centro delle rigidezze ed in funzione della rigidezza torsionale,
secondo le formule:
Si capisce subito che per ridurre la rotazione γ è necessario diminuire le componenti del
momento generato dalla forza sul piano x,y.
Certamente non si può intervenire sulla sua intensità, perché significherebbe intervenire sul
peso dell’ edificio, che è comunque consistente. Si può intervenire incrementando la rigidezza
dei controventi, ma questa sarebbe un’ azione non mirata e soprattutto in una tecnologia,
irrigidire oltre un certo limite può significare cambiare tecnologia, il modo migliore e più
efficace è quello di intervenire sui bracci della rotazione, diminuendo la distanza tra il centro
di massa ed il centro delle rigidezze, quindi anziché aumentare la rigidezza si può immaginare di
disporre meglio la rigidezza esistente.
Dal momento che la rigidezza è maggiore verso i controventi di destra e che non si può
incrementare la rigidezza di quelli più a sinistra perché fermo restando la tecnologia utilizzata,
la loro rigidezza è la massima possibile, è immaginabile diminuire la rigidezza dei controventi
a destra.
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Ipotesi di comportamento in caso di sisma
La forza sismica è proporzionale al peso dell’ edificio e si può immaginare come applicata al
centro di massa dell’ edificio stesso. Nel nostro caso valuteremo separatamente i due livelli. Per
calcolare la forza sismica quindi è necessario valutare il peso dell’ edificio, sommando i carichi
strutturali con gli altri carichi permanenti non strutturali e considerando anche i carichi
accidentali,
valutandoli
però
in
una
percentuale
che
chiamiamo
“coefficiente
di
contemporaneità” che sta ad indicare proprio la maggiore o minore probabilità che la totalità
dei carichi accidentali sia presente in caso di sisma.
Nel nostro caso il livello 1 è popolato solo saltuariamente a causa della sua destinazione d’
uso (mensa aziendale) per cui il coefficiente di contemporaneità sarà più basso.
La massa dell’ edificio va poi moltiplicata per un “coefficiente di intensità sismica” che
rappresenta l’accelerazione del terreno prevista in caso di sisma. Roma è divisa per
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circoscrizioni e a ciascuna è attribuito un coefficiente di intensità sismica (tra 0,1 e 0,3 a
seconda della composizione media del terreno). Nel sito di progetto il coefficiente è 0,2.
A questo punto abbiamo trovato tutti gli ingredienti per fare una stima di massima del
comportamento del nostro edificio sottoposto all’ azione di una forza orizzontale di tipo sismico.
Siamo infatti in grado di valutare il momento torcente in base alla forza sismica e al
braccio, inteso come la distanza tra le coordinate di centro delle rigidezze e centro di
massa.
In funzione del momento torcente e della rigidezza torsionale possiamo calcolare la
rotazione e prevederne il verso, quindi anche valutarne l’ intensità.
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Con le rigidezze dei controventi ed in proporzione, possiamo anche valutare la quota parte
di forza sismica sarà deputato ad assorbire ciascun controvento. Nella trattazione si noterà che i
controventi in una direzione assorbono una quota di forza sismica anche nell’ altra direzione.
Questo accade per la presenza di rotazioni, se esse non ci fossero reagirebbero solo i controventi
nella direzione considerata.
Una considerazione preliminare sugli spostamenti va fatta: Si nota un diverso ordine di
grandezza tra lo spostamento di traslazione orizzontale e quello di traslazione verticale.
Questo è dovuto al fatto che, se le forze sismiche calcolate sono molto simili tra loro nelle
due direzioni, le rigidezze dei controventi verticali, tranne in 2 casi, sono 10 o addirittura
100 volte maggiori di quelle dei controventi orizzontali. Da questo ci aspettiamo che, una
volta portato il modello in SAP e fatta partire l’analisi, la traslazione su X sia prevalente
rispetto a quella su Y. Questo ha ripercussioni anche sulla rotazione, che, sebbene presente, è
molto piccola, essendo prevalente uno spostamento rispetto all’ altro.
Confronti con il modello in SAP
Abbiamo riportato il modello in SAP partendo da AutoCAD secondo la procedura esposta di
seguito:
•
Abbiamo creato un modello “a filo di ferro” della struttura in AutoCAD e lo abbiamo
salvato nel formato *.dxf 2004 per avere la garanzia della migliore compatibilità con
SAP (non è necessario sia per la semplicità del nostro modello, sia per le versioni dei
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software che utilizziamo, aggiornate all’ ultima release). Abbiamo avuto cura di
tenere tutte le aste su un unico livello diverso dal livello 0 di default di AutoCAD.
Nel file di AutoCAD abbiamo avuto l’accortezza di inserire due aste in più “libere”
che fungessero da “segnaposto” per i centri di massa di ciascun livello.
•
Abbiamo importato il file *.dxf in SAP
•
Abbiamo cancellato le aste segnaposto non prima di aggiungere al loro estremo un
punto che ci ricordasse la posizione del centro di massa.
•
Abbiamo selezionato tutti i punti del solaio del livello 0 e associato loro un “vincolo
interno” di tipo Diaframma che ci permette di far risentire a tutti i punti associati ad
esso l’effetto di un carico puntuale associato ad uno di essi. Abbiamo reiterato il
procedimento per il solaio del livello 1.
•
Abbiamo proceduto ad associare a ciascuna asta il corretto profilo ad essa relativo
(travi principali IPE 400, travi secondarie IPE 200, pilastri, puntoni e tiranti del livello
0 HEA 260, pilastri puntoni e tiranti del livello 1 HEA 160). E’ stato necessario
provvedere alla rotazione di alcuni pilastri secondo lo schema che abbiamo impostato
all’ inizio del nostro lavoro usando il comando “definisci assi locali” e ruotando sull’
asse 3 di 90°.
•
Abbiamo inserito INCASTRI a terra su tutti i vincoli, ma poi abbiamo operato il rilascio
dei momenti (comando “rilasci rigidezze parziali”) su tutti i nodi in elevazione e su
quelli alla base che avevamo previsto, avendo l’accortezza di farlo solo nelle direzioni
previste (alcuni pilastri sono incernierati sulla direzione X e incastrati su quella Y)
•
Abbiamo definito 4 casi di carico differenti, 2 sull’ asse X, e 2 sull’ asse Y, ciascuno
per livello e li abbiamo applicati ai punti dove abbiamo previsto i centri di massa.
•
Abbiamo salvato e fatto partire l’analisi
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Dalla deformata 3D non si capisce molto, mentre sono molto più esplicative le deformate di
esempio delle viste dall’ alto di ciascun piano e di alcune viste laterali, che avvengono come
previsto
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DEFORMATA DEL LIVELLO 0
DEFORMATA DEL LIVELLO 0
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DEFORMATA TELAIO 2
DEFORMATA TELAIO C
Anche i risultati dell’ analisi corrispondono a quelli che abbiamo previsto mediante il foglio
di calcolo, a meno di decimali.
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