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Approssimazione del potenziale ai capi di un condensatore all

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Approssimazione del potenziale ai capi di un condensatore
all’interno di un circuito elettrico.
Si consideri il circuito rappresentato in figura:
R1
i1
L
i2
i3
e
C
R2
Si vuole approssimare l’andamento della differenza di potenziale
v (t) ai capi del condensatore C a partire dal tempo t = 0 in cui
viene chiuso il circuito.
c
Paola
Gervasio - Calcolo Scientifico - 2014/15
1
L’equazione che descrive il circuito `e:
LCv ′′ (t) + (R1 C + L/R2 )v ′ (t) + (1 + R1 /R2 )v (t) = e
(1)
con condizioni iniziali: v (t0 ) = 0 e v ′ (t0 ) = 0.
L’equazione differenziale del secondo ordine si pu`o ridurre ad un
sistema differenziale del primo ordine ponendo
y1 (t) = v (t), y2 (t) = v ′ (t) = y1′ (t):

y1′ (t) = y2 (t)





LCy2′ (t) + (R1 C + L/R2 )y2 (t) + (1 + R1 /R2 )y1 (t) = e


y1 (t0 ) = 0



y2 (t0 ) = 0
c
Paola
Gervasio - Calcolo Scientifico - 2014/15
2
Quindi si esplicitano le derivate a sinistra:
 ′
y1 (t) = y2 (t)


 ′
+L/R2
y2 (t) = − R1 CLC
y2 (t) −

y (t ) = 0

 1 0
y2 (t0 ) = 0
1+R1 /R2
e
y1 (t) + LC
LC
Ponendo: y(t) = [y1 (t), y2 (t)]t , y′ (t) = [y1′ (t), y2′ (t)]t ,
y(t0 ) = [y1 (t0 ), y2 (t0 )]t
F(t, y(t)) =
y2 (t)
− 1+RLC1 /R2 y1 (t) −
R1 C +L/R2
y2 (t)
LC
+
e
LC ,
l’equazione (1) diventa:
y′ (t) = F(t, y(t)) t ≥ t0
y(t0 ) = y0
c
Paola
Gervasio - Calcolo Scientifico - 2014/15
3
Scrivere un m-file che
1. definisca i dati
2. risolva con eulero esplicito
3. rappresenti il grafico del potenziale in funzione del tempo
2. rappresentare il grafico della derivata del potenziale in funzione
del tempo.
Si prendano i seguenti dati:
L = 0.1, R1 = R2 = 10, C = 1.e − 3, e = 5.
t0 = 0, T = .1.
Si consideri dapprima h = 0.001, in un secondo momento
h = 0.005, h = 0.01 e h = 0.02.
c
Paola
Gervasio - Calcolo Scientifico - 2014/15
4
Si deve costruire una function matlab che, dati in input t scalare e
y vettore, costruisca il vettore f = F(t, y) della stessa dimensione
di y (vettore colonna o riga a seconda di come `e y).
Prima possibilit`a: funzione F definita con function handle
R1=10; R2=10; e=5; L=0.1; C=1.e-3;
f=@(t,y)[y(2);...
-(1+R1/R2)/(L*C)*y(1)-(R1*C+L/R2)/(L*C)*y(2)+e/(L*C)]
tspan=... ; y0=... ; Nh=... ;
[tn,un]=eulero_esp(f,tspan,y0,Nh)
c
Paola
Gervasio - Calcolo Scientifico - 2014/15
5
Seconda possibilit`a: funzione F costruita in un m-file
function [f]=fcirc(t,y);
R1=10; R2=10; e=5; L=0.1; C=1.e-3;
f=zeros(size(y));
f(1)=y(2);
f(2)=-(1+R1/R2)/(L*C)*y(1)-(R1*C+L/R2)/(L*C)*y(2)+e/(L*C);
La chiamata ad eulero esp `e:
tspan=... ; y0=... ; Nh=... ;
[tn,un]=eulero_esp(@fcirc,tspan,y0,Nh)
c
Paola
Gervasio - Calcolo Scientifico - 2014/15
6
Risultato per L=0.1;C=1.e-3;R1=R2=10;e=5; h=0.001
3
200
2.5
150
2
y2(t)
y1(t)
100
1.5
50
1
0
0.5
0
0
0.05
t
0.1
−50
0
0.05
t
0.1
piano delle fasi
200
150
y2
100
50
0
−50
0
1
2
3
y1
c
Paola
Gervasio - Calcolo Scientifico - 2014/15
7
Soluzione per h = 0.005
200
2.5
150
2
100
y2(t)
250
3
y1(t)
3.5
1.5
50
1
0
0.5
−50
0
0
0.05
0.1
0.15
t
−100
0
0.05
0.1
0.15
t
piano delle fasi
250
200
150
y2
100
50
0
−50
−100
0
1
2
y1
c
Paola
Gervasio - Calcolo Scientifico - 2014/15
3
4
8
Soluzione per h = 0.01
5
500
4
y2(t)
y1(t)
3
0
2
1
0
0
0.05
0.1
0.15
t
−500
0
0.05
0.1
0.15
t
piano delle fasi
y2
500
0
−500
0
1
2
3
4
5
y1
c
Paola
Gervasio - Calcolo Scientifico - 2014/15
9
Soluzione per h = 0.02
4
200
1.5
x 10
1
150
0
2
y (t)
100
1
y (t)
0.5
50
−0.5
−1
0
−50
−1.5
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
t
4
1.5
−2
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
t
piano delle fasi
x 10
1
0
2
y (t)
0.5
−0.5
−1
−1.5
−2
−50
0
50
100
150
200
y (t)
1
c
Paola
Gervasio - Calcolo Scientifico - 2014/15
10
La soluzione numerica con h = 0.001 `e buona, quella con
h = 0.005 `e poco accurata, quella con h = 0.01 presenta delle
oscillazioni non realistiche, quella con h = 0.02 “esplode”
(blow-up). Sono oscillazioni numeriche, dovute alla mancanza di
stabilit`a assoluta.
Poich´e il sistema y′ (t) = F(t, y) `e lineare, si ha
F(t, y(t)) = Ay(t) + g.
dove A ∈ R2×2 e g ∈ R2 sono una matrice ed un vettore
indipendenti dal tempo.
Il termine costante g si pu`o non considerare perch`e non influisce
sull’analisi della stabilit`
a assoluta.
Determinare la matrice A, calcolarne gli autovalori e determinare
limitazioni su h affinch´e Eulero esplicito sia assolutamente stabile.
I risultati numerici ottenuti concordano con quanto si `e trovato per
via teorica?
c
Paola
Gervasio - Calcolo Scientifico - 2014/15
11
Se i dati sono: L=0.1; C=1e-3; R1=R2=10; e=5
si ha:
0
1
A=
.
−20000 −200
Si ha λ1,2 (A) = −100 ± 100i , quindi la condizione di assoluta
stabilit`a per EE `e
h<
−2Re(λi (A))
= 0.01
|λi (A)|2
Effettivamente, i risultati numerici mostrano che per h < 0.01 la
soluzione numerica tende ad uno stato stazionario senza
oscillazioni, mentre se h = 0.01 si hanno oscillazioni di ampiezza
costante nel tempo. Se si considera h > 0.01 si ottengono
oscillazioni di ampiezza crescente nel tempo.
c
Paola
Gervasio - Calcolo Scientifico - 2014/15
12
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