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12.02.2014

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Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
A.A. 2012/2013, Sessione Invernale
Esami di Fisica Gen. I con Lab e Fisica Gen. II con Lab
12 Febbraio 2014, Prova Scritta
TESTI E SOLUZIONI DEI PROBLEMI
PROBLEMA 1 (Fis. Gen. I Lab.)
Nota la velocità di un pianeta al perielio, determinare quella all’afelio.
Soluzione
Risolviamo il problema usando la conservazione dell’energia.
1 2
Mm 1 2
Mm
,
mva − G
= mv p − G
2
ra
2
rp
da cui:
rp − ra
1 1
va2 = v 2p + 2GM ( − ) = v 2p + 2GM (
).
ra rp
ra rp
Spendo che il raggio al perielio e all’afelio sono rispettivamente
rp = a − a 2 − b 2
e
ra = a + a2 − b2 , si può riscrivere la formula nel modo seguente:
va = v 2p − 4GM (
a 2 − b2
).
b2
PROBLEMA 2 (Fis. Gen. I Lab.)
I due piatti, distanti d fra loro, di un condensatore piano di area S sono carichi con densità
superficiale σ . Calcolare la forza che viene esercitata da ciascun piatto sull’altro in funzione della
differenza di potenziale fra i due piatti.
Soluzione
Il campo generato da un’armatura è dato dalla formula: E = σ / 2ε 0 ed è perpendicolare al piatto (il
campo complessivo, la sovrapposizione tra i campi di entrambe le armature è, come si sa, pari a
σ / ε 0 ). La carica totale su uno dei piatti è: Q = σ S . La forza esercitata da un piatto sull’altro è così:
σ2
S.
2ε0
La differenza di potenziale tra i due piatti è data da:
σ
V = d.
ε0
Pertanto la forza fra le due armature in funzione della differenza di potenziale è data da:
σ2
1 σ2
S 1
S
F=
S = ε0 2 d 2 2 = ε0V 2 2 .
2 ε0
2
2ε0
d
d
Misurando la forza, si può pertanto misurare la differenza di potenziale:
2F
.
V =d
ε0 S
F=
PROBLEMA 3 (Fis. Gen. I Lab.)
a
)(V − b) = nRT con
V2
a = 20l 2 Atm / mole e b = 0, 2l / mole esegue una trasformazione irreversibile dal volume V1 = 10l al
volume V2 = 20l . Gli stati iniziali e finali sono alla stessa temperatura di T = 300 K . Calcolare il
calore scambiato, il lavoro fatto e la variazione di entropia.
Soluzione
Prendiamo una trasformazione isoterma reversibile per andare dallo stato iniziale a quello finale. Il
lavoro fatto è:
V2
V2 dV
V2 dV
V − b V2 1
L = ∫ p dV = nRT ∫
− a ∫ 2 = nRT ln 2
+ a ∫ d( )
V1
V1 V − b
V1 V
V1 − b V1 V
Una mole di gas reale che obbedisce all’equazione di stato ( p +
V2 − b
V −b
V −V
1 1
+ a( − ) = nRT ln 2
− a 2 1 = 1,6 ⋅103 J .
V1 − b
V2 V1
V1 − b
V2V1
Essendo la trasformazione isoterma non c’è stata variazione dell’energia interna, pertanto il calore
scambiato è uguale a lavoro fatto. La variazione di entropia è pertanto:
ΔQ 1, 6 ⋅103 J
ΔS =
=
= 5,33J / K
T
300 K
= nRT ln
PROBLEMA 4 (Fis. Gen. II Lab.)
Una corda di lunghezza l e densità lineare ρ , fissata agli estremi è sede di onde stazionarie di
lunghezza d’onda λ . Calcolare l’energia totale della corda e dare lo spettro delle energie possibili.
Soluzione
L’energia di ciascun trattino infinitesimo è
dE = dT + dU =
1
1
ρ dxy! 2 + ρ dxω 2 y 2 ,
2
2
mentre la funzione che rappresenta l’onda stazionaria è
y = Asin(kx)sin(ω t) ⇒ y! = ω Asin(kx)cos(ω t) .
Sostituendo, abbiamo per l’energia totale
dE =
1
1
1
ρ dxy! 2 + ρ dxω 2 y 2 = ρ dxA2ω 2 sin 2 (kx) .
2
2
2
Sommando (integrando) sulle energie di tutti i trattini, si ottiene l’energia della corda; troviamo:
E=
1 2 2l 2
1
ρ A ω ∫ sin (kx) dx = ρ A2ω 2l
2
4
0
.
In realtà sulla corda vibrante ci saranno una frequenza fondamentale (di seguito denotata con un
sottoscritto 0) e le armoniche superiori (denotate con un indice n , con n numero intero). Per esse
abbiamo:
l=
λ0
2
λ
2π c
2
λ0
e l = n ; ω0 =
e ω=
2π c
λ
=
2π c
λ0
Sostituendo nella formula dell’energia, abbiamo:
En =
1
1
c2
π 2 c2 2 2
2
ρ An2ωn2l = ρ An2 4π 2
ln
=
ρ An n ,
4
4
4
l
(2l )2
in cui c =
T
è la velocità di propagazione dell’onda sulla corda .
ρ
Si può anche dire che la densità di energia sulla corda è:
u=∑
n
π2
4
ρ An2
c2
l2
n2
n = ω0 n .
Come si vede, l’energia delle armoniche superiori aumenta all’aumentare dell’indice producendo
una catastrofe ultravioletta, se le ampiezze non si riducono a zero allo stesso tempo. Le ampiezze
devono tuttavia andare a zero, perché altrimenti la somma che rappresenta la funzione d’onda
completa y( x, t ) = ∑ An sin(kx)sin(ωt ) non può convergere. Si noti comunque che non c’è modo di
n
calcolare le ampiezze delle singole armoniche e dunque calcolarne l’energia (cfr il problema del
corpo nero). Possiamo calcolare la densità di frequenze, notando che:
n=
2l 2l
= ν
λ c
⇒
dn 2l
=
dν c
.
Perciò, la densità di tali frequenze per unità di lunghezza è
nν =
2
.
c
PROBLEMA 5 (Fis. Gen. II Lab.)
Dimostrate che, se una componente del momento della quantità di moto è nota per essere 2! entro
il 5%, allora la sua posizione angolare nel piano perpendicolare a quella componente non può essere
specificata affatto.
Soluzione
Occorre applicare il principio d’indeterminazione di Heisenberg:
ΔLz Δθ ≥ ! .
Se l’errore su ΔLz è appena del 5% di ! , l’errore su θ sarà:
Δθ ≥ ! / (0,05⋅ !) = 20rad >> 360° .
Il valore di θ è del tutto indeterminato.
PROBLEMA 6 (Fis. Gen. II Lab.)
Una lampadina da 2 watt irraggia in maniera isotropa. Una fotocella a distanza di 1m riceve la sua
luce che viene interamente ceduta ai suoi elettroni di conduzione vicini alla superficie. Se la luce è
un’onda classica e non un insieme di fotoni, quanto tempo dobbiamo aspettare prima di osservare
l’emissione di un elettrone dal momento in cui la lampada comincia ad illuminare la fotocella?
Soluzione
L’energia che viene assorbita da un atomo può essere quella che cade su una superficie dell’ordine
della sezione trasversale dell’atomo stesso ovvero π R2 . Tale energia per unità di tempo sarà pari a
W
π R2
= 0,5 ⋅10−20 J / s = 3,1⋅10−2 eV / s ,
2
4π l
con W la potenza irraggiata dalla lampadina e R = raggio dell’atomo : 10−10 m .
Se tale energia viene accumulata tutta su un elettrone di conduzione (ipotesi tanto ottimistica),
perché tale elettrone possa avere i diversi eV necessari ad uscire dal metallo, occorreranno
dell’ordine di 100s .
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