Calcolo Integrale, a.a. 2014-2015

COMPLEMENTI DI CALCOLO
INTEGRALE
Giovanni Maria Troianiello
5 marzo 2015
1
RICEVIMENTO NELLO STUDIO 128 DI MATEMATICA
IL MERCOLED`
I ALLE 11:30
LA LEZIONE DEL GIOVED`
I HA INIZIO ALLE 8:45
E PROSEGUE SENZA INTERVALLO FINO ALLE 10:15
TESTO CONSIGLIATO
[T] R.A.Adams, Calcolo Differenziale 1, Casa Editrice Ambrosiana
L’esame consister`
a in uno scritto seguito, per quelle/i che l’avranno superato, da
un’interrogazione orale sul significato dei concetti illustrati nel corso
2
Lezioni
23/2/15 (3 ore) Primitive (o antiderivate) e integrali indefiniti immediati (o quasi); equazioni
differenziali e problemi ai valori iniziali [T, Sez.2.10]
Compito: Calcolare gli integrali indefiniti
Z
Z
Z
Z
Z
Z
1 + cos3 x
6(x − 1)
2
x2 dx,
x12 dx,
(x+cos x) dx,
dx,
(A+Bx+Cx
)
dx,
dx,
cos2 x
x4/3
Z
Z
Z
Z
Z
tan(1 − x)
4
2x
2
4
6
√
dx,
105 (1 + t + t + t ) dt,
sin(x/2) dx,
dx,
dx, √
cos(1 − x)
x+1
1 + x2
√
Z
Z
Z
Z
Z
x
3e
3
2
2
x
√ dx;
sin x cos x dx,
sin x dx 1 , tan(2x) dx,
8x e dx,
x
risolvere i problemi ai valori iniziali
√
y 00 = 5x2 − 3 x, y(1) = 0, y 0 (1) = 2,
y 00 = x − sin x,
y(1) = 2,
y 0 (1) = 0.
26/2/15 (2 ore) Metodo di sostituzione [T, Sez.5.6]
Compito:
(i) Calcolare gli integrali indefiniti
Z
Z
Z
Z
Z
cos x
x3
sin3 x
3x
3x
√
dx
dx,
sinα x cos4 x dx (α ∈ R),
e cos(e ) dx,
dx,
1 − 5x4
cos4 x
sin x + 1
Z
Z
Z
Z
Z
Z
log u
dx
x+1
dv
1
2 x3 +1
√
x 2
dx,
du,
dx,
,
.
2 ds,
x + e−x
2
u
v
log
v
e
s log s
x + 2x + 3
R
(ii) Calcolare l’integrale indefinito sin x cos x dx sia per sostituzione che attraverso la formula
di duplicazione per il seno o il coseno, e confrontare i risultati cos`ı ottenuti.
2/3/14 (3 ore) Integrazione per parti [T, Sez.6.1]
Compito: Calcolare gli integrali indefiniti
Z x
Z
Z
Z
Z
Z
e +1
sin2 x
x+1
sin3 (log x) cos2 (log x)
dx
cos3 x
√
√
dx,
dx,
dx,
dx,
dx,
,
ex − 1
cos4 x
x
1 − x2
4 + 2x − x2
sin2/3 x
Z
Z
Z
Z
Z
√
x
2x
2
kx
3
x
(x + 3)e dx,
(x − 2x)e dx,
x(log x) dx,
dx,
xe
dx,
cos2 x
Z p
Z
Z
Z
Z
√
2
x2 log x dx,
x5 e−x dx,
x log x dx,
x2 arctan x dx.
x 1 − x2 arcsin x dx,
5/3/14 (2 ore) Correzione di esercizi
Compito: Calcolare gli integrali indefiniti
Z
Z
Z
Z
Z
Z
x2
dx
x
dx
dx
2
√ ,
dx,
(arcsin
x)
dx,
,
,
dx,
2
x
−x
6
1/2
5/6
e
+
e
2
+
x
x(1
−
x)
x
+
x
sin x
Z
Z
Z
Z
dx
dx
√ ,
√
sin7 x dx,
,
cos(x/2) cos2 x dx.
x(1 − x)
cos2 1 − tan2 x
1
Tener conto, oltre che dell’identit`
a cos2 α + sin2 α = 1, anche della formula di prostaferesi cos 2α = cos2 α − sin2 α.
3

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