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Coomologia a coefficienti in fasci e dualità di Verdier

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Coomologia a coefficienti in fasci e dualit`a di
Verdier
Alessandro Achille
Scuola Normale Superiore di Pisa
16 maggio 2014
Funtore derivato
Sia T : C → D un funtore additivo esatto a sinistra tra categorie
abeliane con abbastanza iniettivi.
Dato F in C fissiamo una sua risoluzione iniettiva F → I • :
0 → F → I0 → I1 → I2 → . . .
Applichiamo il funtore T al complesso I • :
0 → T (I 0 ) → T (I 1 ) → T (I 2 ) → . . . ,
e definiamo il funtore derivato n-esimo destro di T come:
R n T (F ) = H n T (I • )
Coomologia di fasci
Nel nostro caso siamo interessati alla categoria Sh(X ) dei fasci
sullo spazio topologico X e al funtore sezione globale:
Γ(X , −) : Sh(X ) → Ab
Il gruppo di coomologia n-esimo di X a coefficienti nel fascio F `e:
H n (X , F ) := R n Γ(X , −)(F ) = H n Γ(X , I • )
Intuizione: Sia k un gruppo abeliano. Indicato con kX il fascio
delle funzioni localmente costanti su X a valori in k, la coomologia
a coefficienti nel fascio kX coincide con la classica coomologia a
coefficienti in k.
D’ora in avanti supporremo di lavorare con k-fasci, k un campo.
Coomologia a supporto compatto
Possiamo usare altri funtori e ottenere risultati interessati. Sia:
Γc (X , F ) = {sezioni globali a supporto compatto di F }
La coomologia a supporto compatto di X a coefficienti in F `e:
Hcn (X , F ) := R n Γc (X , −)(F )
Accenno ai metodi di calcolo
Trovare una risoluzione iniettiva non `e semplice, ma grazie al
teorema di aciclicit`a possiamo calcolare la coomologia usando una
qualunque altra risoluzione Γ-aciclica.
I seguenti teoremi ci permettono di trovare facilmente fasci aciclici:
Teorema Se un fascio su uno spazio localmente compatto `e un
modulo sul fascio delle funzioni continue, allora `e aciclico.
Teorema Se un fascio su una variet`a differenziale X `e un modulo
sul fascio delle funzioni C ∞ , allora `e aciclico.
Teorema di de Rham
Consideriamo la successione:
0 → RX → Ω0 → Ω1 → Ω2 → . . .
con Ω • il complesso di de Rham dei fascio di n-forme differenziali.
La successione `e esatta in quanto lo `e localmente (Lemma di
Poincar´e), inoltre ciascun Ωn `e aciclico in quanto modulo sulle
funzioni C ∞ .
Dunque RX → Ω • `e una risoluzione iniettiva di RX e:
n
H n (X , RX ) = H n Ω • (X ) = HRM
(X )
Il nostro scopo
La dimostrazione del Teorema di de Rham suggerisce che propriet`a
differenziali siano reinterpretabili algebricamente usando la
coomologia in fasci.
In particolare ci possiamo chiedere se l’avere un integrale su una
variet`a differenziale orientata ha un equivalente puramente
algebrico che dipende solo dalle propriet`a topologiche.
La risposta a questa (ed altre) domande `e contenuta nella dualit`a
di Verdier, che ci permetter`a di trovare un corrispondente
all’integrale che inoltre soddisfi la dualit`a di Poincar´e.
Qualche lemma algebrico
Lemma Dato un fascio F e un complesso di fasci J • vale:
H q Hom(F , J • ) = [ F , J • [ q ] ]
...
Hom(F , J q−1 )
Hom(F , J q )
Hom(F , J q+1 )
...
...
0
F
0
...
J q+1
...
α
...
J q−1
Jq
Qualche lemma algebrico
Lemma Dato un fascio F e un complesso di fasci J • vale:
H q Hom(F , J • ) = [ F , J • [ q ] ]
...
Hom(F , J q−1 )
Hom(F , J q )
Hom(F , J q+1 )
...
...
0
F
0
...
J q+1
...
α
...
J q−1
Jq
Qualche lemma algebrico
Lemma Dato un fascio F e un complesso di fasci J • vale:
H q Hom(F , J • ) = [ F , J • [ q ] ]
Lemma Definire un omomorfismo tra kX e un fascio F equivale a
scegliere una sezione globale di F :
Hom(kX , F ) = Γ(X , F )
Una semplice conseguenza `e:
H p (X , F ) = H p Γ(X , I • ) = H p Hom(kX , I • ) = [ kX , I • [ p ] ]
Qualche lemma algebrico
Lemma Dato un fascio F e un complesso di fasci J • vale:
H q Hom(F , J • ) = [ F , J • [ q ] ]
Lemma Definire un omomorfismo tra kX e un fascio F equivale a
scegliere una sezione globale di F :
Hom(kX , F ) = Γ(X , F )
Una semplice conseguenza `e:
H p (X , F ) = H p Γ(X , I • ) = H p Hom(kX , I • ) = [ kX , I • [ p ] ]
Qualche lemma algebrico
Lemma Dato un fascio F e un complesso di fasci J • vale:
H q Hom(F , J • ) = [ F , J • [ q ] ]
Lemma Definire un omomorfismo tra kX e un fascio F equivale a
scegliere una sezione globale di F :
Hom(kX , F ) = Γ(X , F )
Una semplice conseguenza `e:
H p (X , F ) = H p Γ(X , I • ) = H p Hom(kX , I • ) = [ kX , I • [ p ] ]
Il prodotto cup
Usando questa rappresentazione possiamo definire un prodotto:
^: H p (X , F ) × Hcq (X , kX ) → Hcp+q (X , F )
che equivale a definire, fissata kX → K • risoluzione iniettiva:
^: [K • , I • [p]] × H q Γc (X , K • ) → H p+q Γc (X , I • )
...
Kq
K q−1
αq−1
...
I q+p−1
...
K q+1
αq
I q+1
αq+1
I q+p+1
...
Il prodotto cup
Usando questa rappresentazione possiamo definire un prodotto:
^: H p (X , F ) × Hcq (X , kX ) → Hcp+q (X , F )
che equivale a definire, fissata kX → K • risoluzione iniettiva:
^: [K • , I • [p]] × H q Γc (X , K • ) → H p+q Γc (X , I • )
...
Kq
K q−1
αq−1
...
I q+p−1
...
K q+1
αq
I q+1
αq+1
I q+p+1
...
Il prodotto cup
Usando questa rappresentazione possiamo definire un prodotto:
^: H p (X , F ) × Hcq (X , kX ) → Hcp+q (X , F )
che equivale a definire, fissata kX → K • risoluzione iniettiva:
^: [K • , I • [p]] × H q Γc (X , K • ) → H p+q Γc (X , I • )
...
Γc (X , K q−1 )
Γc (X , K q )
Γc αq−1
...
Γc (X , I q+p−1 )
Γc (X , K q+1 )
Γc αq
Γc (X , I q+p )
...
Γc αq+1
Γc (X , I q+p+1 )
...
Il prodotto cup
Usando questa rappresentazione possiamo definire un prodotto:
^: H p (X , F ) × Hcq (X , kX ) → Hcp+q (X , F )
che equivale a definire, fissata kX → K • risoluzione iniettiva:
^: [K • , I • [p]] × H q Γc (X , K • ) → H p+q Γc (X , I • )
...
Γc (X , K q−1 )
Γc (X , K q )
Γc αq−1
...
Γc (X , I q+p−1 )
Γc (X , K q+1 )
Γc αq
Γc (X , I q+p )
...
Γc αq+1
Γc (X , I q+p+1 )
...
Dimensione
Sia X uno spazio localmente compatto. Diciamo dimensione di X
il minimo intero n, se esiste, tale che:
Hci (X , F ) = 0 per ogni fascio F e i > n
La dimensione `e locale: definiamo
dimx X = inf dim U
x ∈U
con U intorno aperto di x . Vale allora dim X = sup dimx X
Dimensione
Sia X uno spazio localmente compatto. Diciamo dimensione di X
il minimo intero n, se esiste, tale che:
Hci (X , F ) = 0 per ogni fascio F e i > n
La dimensione `e locale: definiamo
dimx X = inf dim U
x ∈U
con U intorno aperto di x . Vale allora dim X = sup dimx X
Strutture differenziali?
L’integrale su una variet`a differenziale orientata X definisce:
Z
: Hcn (X ) → R
Domanda: L’esistenza di una tale funzione `e una propriet`a
differenziale o c’`e un equivalente algebrico per variet`a topologiche?
Dato X spazio qualunque possiamo riscrivere Hcp (X , F )∨ come:
Hcp (X , F )∨ = H p Hom(Γc (X , I • ), k) = [Γc (X , I • [p]), k]
con F → I • risoluzione iniettiva. Per studiare il duale dei gruppi di
coomologia possiamo alternativamente studiare il funtore:
I • → [Γc (X , I • ), k]
Strutture differenziali?
L’integrale su una variet`a differenziale orientata X definisce:
Z
: Hcn (X ) → R
Domanda: L’esistenza di una tale funzione `e una propriet`a
differenziale o c’`e un equivalente algebrico per variet`a topologiche?
Dato X spazio qualunque possiamo riscrivere Hcp (X , F )∨ come:
Hcp (X , F )∨ = H p Hom(Γc (X , I • ), k) = [Γc (X , I • [p]), k]
con F → I • risoluzione iniettiva. Per studiare il duale dei gruppi di
coomologia possiamo alternativamente studiare il funtore:
I • → [Γc (X , I • ), k]
Dualit`a di Verdier
Teorema (Verdier) Sia X uno spazio localmente compatto di
dimensione n. Il funtore controvariante definito da:
I • 7→ [Γc (X , I • ), k]
`e rappresentabile: esiste un complesso di iniettivi D • tale che:
•
[I • , D • ] ∼
= [Γc (X , I ), k]
D • `e detto complesso dualizzante ed `e unico a meno di omotopia
(dunque la sua coomologia `e ben definita).
D • contiene tutte le informazioni su come dualizzare ogni altro
fascio, dobbiamo solo capire come estrarle.
Coomologia di D •
Dato che gli H i D • sono ben definiti, cerchiamone una
caratterizzazione:
Teorema Il fascio H −p D • `e il fascio associato al prefascio:
U 7→ Hcp (U, kX )∨
In particolare, se X `e una variet`a, localizzando si vede che:
H −p D • = 0 se p 6= n
Fascio dell’orientazione
Tra gli H −p D • il pi`
u interessante `e il fascio dell’orientazione:
Or := H −n D • .
Questa volta il seguente definisce un fascio e dunque descrive Or :
U 7→ Hcn (U, kx )∨
Nel caso di X variet`a, Or `e dunque localmente isomorfo a kX . Se
Or `e anche globalmente isomorfo a kX diremo che X `e orientabile.
Intuitivamente stiamo dicendo che dare un’orientazione vuol dire
fissare un modo globale di “integrare”.
Dualit`a di Poincar´e
Teorema Sia X una variet`a topologica di dimensione n. Esiste
Z
: Hcn (X , Or ) → k
lineare tale che per ogni p ∈ Z la forma bilineare:
Z
α^β
con α ∈ H p (X , Or ) e β ∈ Hcn−p (X , kX ), induce un isomorfismo:
H p (X , Or ) → Hcn−p (X , kX )∨
Esistenza dell’isomorfismo
Abbiamo visto che per una variet`a:
H −p D • = 0 per p 6= n
dunque una risoluzione iniettiva di Or `e semplicemente:
Or ≡ H −n D • → D • [−n]
Dunque:
H p (X , Or ) = [kX , D • [p − n]] = [K • [n − p], D • ]
Applicando la dualit`a di Verdier:
[K • [n − p], D] = [Γc (X , K [n − p]), k] = Hcn−p (X , kX )∨
Descrizione dell’isomorfismo
Usando il lemma di Yoneda possiamo descrivere meglio
l’isomorfismo usato. Definiamo:
[D • , D • ] −→ [Γc (X , D • ), k]
1 7−→
Z
Allora l’isomorfismo `e dato da:
[I • , D • ] −→ [Γc (X , I • ), k]
α 7−→
Z
◦ Γc (X , α)
Che l’isomorfismo sia dato dall’integrale del prodotto cup `e ora una
semplice verifica usando le definizioni.
Conclusioni
La coomologia a coefficienti in fasci `e una reimpostazione algebrico
comodo della coomologia che si adatta facilmente a situazioni pi`
u
generali.
Maggior generalit`a non vuol dire minor concretezza: la coomologia
di de Rham `e facilmente reinterpretabile al suo interno e molti
risultati generali si traducono facilmente al caso differenziale.
La dualit`a di Verdier poi `e un risultato della coomologia a
coefficienti in fasci che migliora la dualit`a di Poincer´e e si applica
anche allo studio delle variet`a con singolarit`a.
Bibliografia
B. Iversen.
Cohomology of Sheaves.
Aarhus Universitet, Matematisk Institut: Lecture notes series.
Inst., Univ., 1984.
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