Giardino, cenere

Determinare il momento d’inerzia di una sbarretta omogenea a forma di
parallelepipedo di massa M e lunghezza L rispetto ad un asse passante per
il centro della sbarretta
ed ortogonale alla sbarretta stessa assumendo che
la superficie trasversa della sbarretta S sia costante ovunque e che la massa sia
distribuita in modo uniforme entro il volume della sbarretta
n
il momento d’inerzia e’
I z = ∑ mi R
z
2
i
i =1
e in questo caso unidimensionale
n
Iz = ∑ m x
i =1
2
i i
dm
−
L
2
O
x
dx
+
L
2
x
ma, dato che si opera nel continuo, la definizione di momento d’inerzia
diviene
I z = ∫ x dm
2
dove
dm = ρ dV
l’asticella e’ omogenea e quindi con densita’ di massa costante e pari a
M M
=
ρ=
SL
V
dove S e’ la superficie trasversa della sbarretta
il volume di un parallelepipedo di area di base S e altezza x e’
quindi per un parallelepipedo infinitesimo si avra’
V = Sx
dV = Sdx
e
L
I z = ∫ x ρ dV = ρ ∫
+
−
2
L
2
2
ma
M M
ρ =
=
V SL
+
−
L
2
L
2
per cui
L
1 3 2 1
x Sdx = ρ S x − L = ρ SL3
3
12
2
+
2
1
2
I z = ML
12
Determinare il momento d’inerzia rispetto all’asse passante per il centro dell’anello
di un anello omogeneo, di raggio R, di massa totale M e di densita’ volumetrica
di massa ρ costante, nell’ipotesi che le dimensioni trasverse dell’anello siano trascurabili
rispetto al suo raggio. La superficie trasversa S dell’anello e’ costante.
I z = ∫ R 2 dm = R 2 ∫ dm
il momento d’inerzia e’
e dove
dm = ρ dV
il volume infinitesimo e’
zz
Iz = R
dl
2
∫
2π
0
dato che R e’ costante
dV = Sdl = SRdϑ
ρ SRdϑ = ρ SR
3
∫
2π
0
quindi
dϑ = 2πρ SR 3
per determinare ρ si ragiona nel modo seguente :
il volume dell’anello e’
V = 2π RS
e dato che la massa
e’ distribuita in maniera uniforme lungo l’anello
M
M
=
ρ=
2π RS
V
per cui
M
2π SR 3= MR 2
I z = 2πρ SR =
2π RS
3
in conclusione il momento d’inerzia dell’ anello rispetto all’asse z e’
I z = MR
2
Determinare il momento d’inerzia, rispetto ad un asse perpendicolare al piano del disco
passante per il suo centro, di un disco sottile omogeneo, di massa M, raggio R
e con densita’ superficiale di massa σ costante.
I z = ∫ r 2 dm dove dm = σ dS
0 < r < R e 0 < φ < 2π
utilizziamo le coordinate polari piane con
il momento d’inerzia sara’:
z
dS ≈ dl ⋅ dr
vista dall’alto
ma
dl = rdϕ
dr dm
dl
dm
r
quindi
dφ
dφ
r
dS ≈ rdrdφ
I z = ∫ σ r dS = σ ∫ r rdrdφ = σ ∫ r drdφ
2
3
2
in questo caso e’ possibile fattorizzare l’integrale :
R
2π
I z = σ ∫ r dr ∫ dφ
3
0
0
2πσ 4 1
4
= πσ R
= 2πσ ∫ r dr =
R
0
2
4
M
M
1
4 M
dato che =
σ =
Iz = π R
2
2
S πR
2
πR
R
3
in conclusione l’espressione del momento d’inerzia e’
1
2
I z = MR
2
Determinare il momento d’inerzia di un cilindro
e di densita’ volumetrica di massa ρ costante,
di massa M,
V = π R2 L
suddividiamo il cilindro in cilindri infinitesimi di raggio r con
il momento d’inerzia e’
dm = ρ dV
dove r e’ la distanza dall’asse del cilindro e
z
altezza L
rispetto all’asse del cilindro.
il volume di un cilindro di raggio R e altezza L e’
I z = ∫ r 2 dm
raggio R,
0 < r < R e volume dV
per determinare dV si ragiona nel modo seguente :
il volume di un cilindro di generico raggio
r + dr
r
e’
V (r ) = π r 2 L
e
V (r + dr ) = π (r + dr ) 2 L =
π r 2 L + 2π rdrL + π dr 2 L
L
V (r + dr ) − V (=
r ) 2π rdrL + π Ldr 2 ≈ 2π rdrL
trascurando il termine in dr2 che e’ un infinitesimo di ordine superiore
con i metodi dell’analisi matematica si puo’ ottenere il medesimo risultato differenziando
direttamente il volume
R
rispetto al raggio r
I z = ∫ r ρ dV = ∫ r ρ (2π rLdr ) = 2πρ L ∫
0
dato che
2
R
2
0
0
1
I z = πρ LR 4
2
R
e che
M
M
=
ρ =
V π R2 L
1
r dr = πρ LR 4
2
3
si ha
il momento d’inerzia rispetto all’asse del cilindro di un cilindro omogeneo e’
1
I z = MR 2
2
Determinare il momento d’inerzia, di un sottile guscio sferico omogeneo,
di raggio R, massa totale M e di densita’ superficiale di massa σ costante
rispetto ad un asse passante per il centro del guscio,
data la simmetria del problema opereremo in coordinate polari sferiche
se denominiamo con dS una porzione infinitesima di superficie del guscio sferico riesce
z
dS ≈ dl1 ⋅ dl2
z
r
r
dϕ
mentre
=
dS Rdϑ ⋅ rdϕ
per cui
dϕ
dl1 = rdϕ
ma
dl2 = Rdϑ
r = Rsenϑ
r
dl1
dS
dS
quindi
dS ≈ Rsenϑ dϕ Rdϑ
dl2
dϑ
R
O
R
R
dS ≈ R 2 senϑ dϑ dϕ
R
il momento d’inerzia e’
dove
dm = σ dS
I z = ∫ r 2 dm
quindi
I z = ∫ r 2σ Rdϑrdϕ
I z = ∫ r 2σ Rdϑrdϕ = σ R ∫ r 3 dϑdϕ
Iz = σ R
dunque
=σR
∫
π
0
4
∫
π
0
4
∫
sen ϑ dϑdϕ = σ R
3
2π
sen ϑ dϑ ∫ dϕ = 2πσ R
3
0
−1
4
∫
π
0
ma
4
π
2π
0
0
∫ ∫
r = Rsenϑ
sen3ϑ dϑdϕ
sen3ϑ dϑ
4
− ∫ (1 − cos ϑ )d cos ϑ =
sen ϑ dϑ =
1
3
3
2
per cui
8
I z = πσ R 4
3
per determinare σ si ragiona nel modo seguente :
la superficie del guscio e’
S = 4π R 2
e dato che la massa
e’ distribuita in maniera uniforme sul guscio sferico
riesce
M
M
=
σ=
S
4π R 2
8
2
8
M
4
2
4
I z = πσ R = π
=
MR
R
3
3
3 4π R 2
in conclusione l’espressione del momento d’inerzia rispetto all’asse z e’
2
I z = MR 2
3
Determinare il momento d’inerzia, rispetto ad un asse passante per il centro di una sfera
di raggio R, massa totale M e di densita’ volumetrica di massa ρ costante.
data la simmetria del problema opereremo in coordinate polari sferiche
consideriamo una sfera di raggio r generico con [ 0 < r < R ] e un volumetto infinitesimo
dV di area di base dS e altezza dr in coordinate polari sferiche il volume dV
si eprimera’ come
dV = r 2 drsenϑ dϑ dϕ
dl1
z
z
dϕ
dϕ
R
r
dl2
dl1
O
dS = r 2 senϑ dϑ dϕ
dl2
dr
dϑ
r
dr
r
r
dV = r 2 senϑ dϑ dϕ dr
il momento d’inerzia e’
I z = ∫ (rsenϑ ) 2 dm
dove
dm = ρ dV
quindi
I z = ∫ r 2 sen 2ϑρ ( r 2drsenϑ dϑdϕ ) = ρ ∫ r 4 sen 3ϑ drdϑdϕ
dunque
Iz = ρ ∫
R
0
π
2π
0
0
∫ ∫
R5 π
3
sen
= 2πρ
ϑ dϑ
∫
0
5
per cui
Iz =
R
π
ma
3
∫
π
0
4
−1
per determinare ρ si ragiona nel modo seguente :
4 3
V = πR
3
e dato che la massa
M
M
=
ρ =
4 3
V
πR
3
2π 4 M
2π 4
2
5
5
2
R = MR
ρR =
per cui I z =
5 3 4π R 3
5 3
5
3
2
e’ distribuita in maniera uniforma entro la sfera
in conclusione:
Iz =
5
MR 2
3
4
− ∫ (1 − cos ϑ )d cos ϑ =
sen ϑ dϑ =
1
3
3
2π 4
ρ R5
5 3
il volume della sfera e’
2π
r drsen ϑ dϑdϕ = ρ ∫0 r dr ∫0 sen ϑ dϑ ∫0 dϕ
4
2
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