1.2_Modello monotraccia lineare

Modello monotraccia lineare - DRAFT
1.2
aggiornato 16-9-2014
Tradizionalmente gli ingegneri si servono di modelli matematici semplificati
per rappresentare la realtà. Per quanto riguarda la cosiddetta “tenuta di strada”,
lo strumento più semplice per lo studio del comportamento stradale delle
autovetture è il modello monotraccia (single track). Esso consente di
comprendere i fenomeni fisici legati all’interazione tra vettura, fondo stradale e
pneumatici e di quantificare le grandezze principali in gioco durante la
percorrenza di una curva. Può essere anche utile per un dimensionamento di
massima degli pneumatici.
Definizioni
c
a,b
l=a+b

ACK

R
CIR



carreggiata
semipassi (definiscono la posiz. longitudinale del baricentro)
passo vettura
angolo di sterzata alla ruota
angolo di sterzata cinematica o di Ackermann
raggio della traiettoria
centro di istantanea rotazione della vettura
angolo di assetto
angolo di imbardata, ovvero posizione angolare della vettura nel
sistema di riferimento globale
posizione angolare del baricentro nel piano

C
Fx, Fy
Mz
suffissi indicanti la ruota anteriore o posteriore
angolo di deriva (slip angle)
rigidezza in deriva (cornering stiffness)
forza longitudinale e laterale sviluppata dal singolo pneumatico
momento autoallineante sviluppato dal singolo pneumatico
m
Iz
r
V
VG
Ax, Ay
Ac
massa del veicolo
momento d’inerzia polare ad imbardata
raggio giratorio ad imbardata
velocità di avanzamento del veicolo
velocità del baricentro
accelerazione longitudinale e laterale del baricentro
accelerazione centripeta
RAERO
FWIND
cWIND
MGIR
resistenza aerodinamica (longitudinale)
forza dovuta al vento laterale
posizione del centro di pressione del vento laterale
momento giroscopico della ruota
A, B
Moto nel piano. Ipotesi iniziali
La vettura in esame ha struttura e sospensioni rigide, carreggiate anteriore e
posteriore uguali e si muove su un piano stradale XY orizzontale, caratterizzato
da una superficie di asfalto liscia e con coefficiente di attrito uniforme. L’auto
ha distribuzione delle masse perfettamente simmetrica dunque il baricentro
giace sul suo asse longitudinale.
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Si definiscono:
angolo di assetto , compreso tra l’asse longitudinale della vettura e la tangente
alla traiettoria del baricentro, e
angolo di imbardata , compreso tra l’asse longitudinale della vettura e l’asse
di riferimento assoluto X, mentre la direzione della velocità del baricentro è
identificata con
   
Ovvero l’angolo compreso tra la tangente alla traiettoria del baricentro e l’asse
di riferimento assoluto X.
Il modello ha dunque 3 gradi di libertà nel piano: ad esempio, come variabili si
possono scegliere a esempio le coordinate del baricentro X, Y e l’angolo di
imbardata . Inoltre:
     è la velocità angolare del baricentro, con VG  R
 è la velocità angolare con cui la vettura ruota attorno al baricentro, e si
disallinea rispetto alla traiettoria
 è la velocità angolare di imbardata nel piano, in inglese yaw rate
Modello steady-state: sterzata cinematica
Se l’angolo di sterzo è dato e la velocità di avanzamento del veicolo è costante,
ciò equivale al percorrere una curva con raggio costante, ovvero ad una
condizione di moto quasi statica (o steady-state) in cui qualsiasi eventuale
transitorio è esaurito. La traiettoria del baricentro sarà dunque una circonferenza
di raggio R.
La condizione di sterzata cinematica o di Ackermann consente di percorrere la
curva senza alcuno strisciamento delle ruote, dunque in rotolamento puro.
Nel disegno seguente:
R  sen  b
R  cos   h
(A)
h1  tan  1  a  b  l
h2  tan  2  a  b  l
con
h1  h 
c
2
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h2  h 
c
2
2
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Posso poi adottare l’ipotesi di angolo  piccolo (<10° ca.) e linearizzare. In
particolare, ciò significa ipotizzare che il raggio di curva è molto maggiore del
passo vettura: R>>l. Le (A) diventano
R  b
Rh
h1 1  l
h2  2  l
da cui
1 
l
h c/2
2 
l
hc/2
e
 2  1
Modello monotraccia
È comodo semplificare ulteriormente il modello, riunendo le ruote destra e
sinistra di ciascun assale in un’unica ruota disposta sull’asse longitudinale della
vettura. Valgono le considerazioni fatte sopra per la condizione di sterzata
cinematica o di Ackermann, che consentirebbe al modello di percorrere la curva
in assenza di strisciamenti. Vedere l’immagine:
R  sen  b
R  cos   h
(B)
h  tan   a  b  l
linearizzando per R>>l la (B) diventa:
R  b
Rh
h l
da cui
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
b
R
   ACK 
l
R
Massa, forze ed angoli di deriva (legame costitutivo)
Essendo il veicolo dotato di massa, la percorrenza della curva di raggio R è
possibile solo se gli pneumatici generano una forza laterale Fy. Scriveremo le
equazioni di equilibrio successivamente; per ora va definita la relazione
(C)
F y  C  
che lega lo sviluppo di una forza laterale da parte di qualsiasi pneumatico ad
una deviazione della traiettoria della singola ruota. In altre parole, la (C)
esprime un legame sforzi-deformazioni (legame costitutivo) caratteristico degli
pneumatici per veicoli: lo pneumatico genera una forza trasversale se e solo se,
durante il rotolamento, il suo moto viene deviato dalla direzione in cui punta il
piano mediano della ruota. Tale angolo viene definito angolo di deriva (slip
angle) .
La cosiddetta rigidezza in deriva (cornering stiffness) C esprime una
proporzionalità lineare tra sforzi e deformazioni e dipende da diversi fattori, tra
i quali i principali sono:
Caratteristiche strutturali e dimensionali dello pneumatico
Forza verticale a terra
Caratteristiche del fondo stradale (coefficiente di attrito )
Mentre altri fattori possono essere considerati i seguenti:
Pressione di gonfiaggio
Temperatura di funzionamento
Usura del battistrada
Angoli caratteristici della sospensione
Generazione contemporanea di forze longitudinali (trazione o frenata)
…
In generale quindi, nonostante la quasi totalità delle automobili monti
pneumatici anteriori e posteriori uguali:
CANT  CPOST
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ed è necessario scrivere
F yA  CANT   A
F yP  CPOST   P
Equazioni di congruenza e prime considerazioni importanti
In presenza di angoli di deriva la geometria e la cinematica del moto del
modello monotraccia in steady-state vanno riviste come segue:
Si nota subito che il centro di istantanea rotazione non è più allineato con l’asse
delle ruote posteriori.
h  tan  P  b  x
(D)
h  tan(   A )  a  x
ove
x  R  sen
h  R  cos 
(E)
sostituendo (E) in (D) ottengo
R  cos   tan  P  b  R  sen
(F)
R  cos   tan(   A )  a  R  sen
Linearizzare per R>>l significa considerare sia  che  e  piccoli:
tan   
sin   
cos   1
Le (F) diventano così
R P  b  R  
R  (   A )  a  R  
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da cui le seguenti eguaglianze si prestano alle prime considerazioni rilevanti per
il comportamento del veicolo.
 P 
 
b
R
(G)
l
  A   P 
R
(H)
Ricordiamo che l’angolo di assetto  è compreso tra l’asse longitudinale della
vettura e la tangente alla traiettoria del baricentro, dunque esprime il
“disallineamento” della vettura rispetto alla traiettoria. In genere angoli di
assetto elevati causano sensazione di disagio e percezione di pericolo
imminente in chi guida perché possono preludere a fenomeni di instabilità come
una sbandata con conseguente perdita di controllo, come si vedrà meglio
studiando i transitori con un modello dinamico.
La (G) evidenzia la correlazione diretta tra  ed P. La sensazione di instabilità
oppure, al contrario, di stabilità e sicurezza percepita dal guidatore è dunque
direttamente correlata con la prestazione in deriva fornita dall’assale posteriore.
In altre parole, la progettazione dell’assieme sospensioni/pneumatici posteriori
va fatta in funzione di stabilità e sicurezza attiva.
La (H) evidenzia invece la dipendenza di , ovvero l’angolo di sterzo necessario
per percorrere la curva di raggio costante R a velocità costante V, da entrambi
gli angoli di deriva anteriore e posteriore.  è anche l’unico input diretto
disponibile al guidatore per il controllo del veicolo; ne consegue che la capacità
del guidatore di controllare il veicolo dipende dalla prestazione di entrambi gli
assi. Tuttavia, in genere si dice che l’assieme sterzo/sospensioni/pneumatici
anteriori va progettato in funzione del feedback che il guidatore percepisce
attraverso il volante durante la guida. In particolare, il sistema di sterzo
contribuisce a caratterizzare il veicolo in modo determinante, ove per
“caratterizzare” si intende proprio “dargli un carattere specifico”.
Il coefficiente di sottosterzo KUS
In condizioni steady-state è possibile descrivere il comportamento della vettura
in modo quantitativo mediante la differenza tra l’angolo di Ackermann e
l’angolo di sterzata effettivo in presenza di angoli di deriva:
KUS     ACK 
l
l
  A   P     A   P
R
R
Il comportamento della vettura si definisce sottosterzante (understeer, US)
quando
KUS   A   P  0
A  P
e sovrasterzante (oversteer, OS) quando
KUS   A   P  0
A  P
mentre per KUS = 0 il veicolo si definisce neutro.
Notiamo quindi che la (H) si può scrivere come
 
l
 KUS
R
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A titolo di chiarimento, entrambe le vetture rappresentate come monotraccia qui
sopra percorrono la stessa traiettoria. Tuttavia, a parità di P (e dunque di ) la
vettura nell’immagine a destra ha  maggiore e dunque ha un sottosterzo
maggiore. L’angolo di sterzo  necessario è pure maggiore.
In genere, si tende a normalizzare il KUS rispetto all’accelerazione laterale:
KUS N 
 A P
Ay
Test di caratterizzazione steady-state su steering pad
Tra le prove di caratterizzazione del comportamento su strada è molto diffusa la
percorrenza di una traiettoria circolare a velocità costante, o steering pad. Tale
prova è anche descritta dalla norma ISO 4138. Una vettura stradale avrà
comportamento desiderabile se l’angolo volante necessario per percorrere lo
steering pad cresce al crescere dell’accelerazione laterale (e quindi della
velocità). La curva KUS = f(Ay) oppure, in alternativa, la curva  = f(Ay)
assumeranno quindi una forma del tipo:
FOTO steering pad oppure 4R
ove la velocità limite di percorrenza della curva viene raggiunta per sottosterzo,
ovvero per saturazione degli pneumatici anteriori, ovvero per quel livello di
accelerazione laterale oltre il quale essi non sono in grado di offrire un
incremento di forza laterale. Tale concetto sarà più chiaro dopo aver affrontato
la meccanica degli pneumatici in modo più approfondito introducendo le
marcate non linearità che ne caratterizzano il comportamento reale, nonché il
concetto di stabilità della vettura nei transitori.
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Il KUS nel motorsport
Il KUS si presta ad una valutazione rapida del comportamento delle vetture da
competizione mediante i sensori installati a bordo. È necessario acquisire la
velocità della vettura V mediante una o più ruote foniche, l’accelerazione Ay
mediante accelerometro posto in prossimità del baricentro e l’angolo sterzo
medio  mediante un potenziometro installato sul cinematismo di sterzo.
Facendo l’ipotesi di angoli piccoli si possono così approssimare:
R
V2
Ay
 ACK 
l
R
KUS     ACK
In particolare, ciò significa trascurare l’angolo di assetto  nonché il fatto che il
KUS è per sua stessa definizione un parametro valido in condizioni quasi
statiche. Tuttavia, l’analisi del KUS o comunque il confronto di  e A durante il
giro di pista è estremamente efficace ed intuitivo, anche per i piloti.
ALCUNI ESEMPI  vs A:
US, US di saturazione
Power OS, Turn in OS
Equazioni di equilibrio
A questo punto è indispensabile scrivere le equazioni di equilibrio nel piano,
dapprima in modo generico, per poi semplificare, linearizzare e procedere con
considerazioni concrete. Esse sono riferite al sistema di coordinate solidale con
la vettura:
courtesy Prof. Valerio Villa
equilibrio alla traslazione longitudinale
m  Ax   Fx
equilibrio alla traslazione laterale
m  Ay   Fy
equilibrio alla rotazione attorno all’asse verticale
I z    M z
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e sono basate sul modello monotraccia (mancano quindi i cosiddetti momenti
imbardanti) dotato di pneumatici lineari del tipo
F y  C  
In dettaglio:
m  Ax   Fx
m  VG  cos   m  Ac  sen  FxA  cos   FxP  FyA  sen  R AERO
m  Ay   Fy
m  Ac  cos   m  VG  sen  FyA  cos   FyP  FxA  sen  FWIND
I z    M z
I z   F yA  a  cos   F yP  b  FxA  a  sen  FWIND  cWIND  M zA  M zP  M GIRA  M GIRP
Ove VG e AC sono rispettivamente le componenti dell’accelerazione del
baricentro parallela e perpendicolare alla velocità del baricentro VG .
Le equazioni di equilibrio sono quindi equazioni differenziali nelle incognite
VG ,  e  (grandezze che risultano “comode” come coordinate del moto della
vettura) mentre  è imposto come input del guidatore, ovvero come time
history:
  f t 
Integrare il sistema significa dunque conoscere la time history del moto della
vettura nel piano. Adotto ora le seguenti ipotesi semplificative:
1) R>>l dunque sia  che  e  piccoli:
sin   
sin   
2) A y  Ac
cos   1
cos  1
3) vento laterale nullo: FWIND = 0
4) momenti giroscopici trascurabili: MGIRA = MGIRP = 0
5) momenti autoallineanti trascurabili: MzA = MzP = 0
e soprattutto,
6) la velocità del veicolo V è costante: Ax = 0, ipotesi preziosa che consente di
trascurare la prima equazione di equilibrio
Rimangono dunque la seconda e terza equazione, così semplificate:
m  A y  F yA  F yP
(I)
I z   F yA  a  F yP  b
(J)
Ancora sul comportamento steady-state in steering pad
Dalle equazioni di equilibrio ci si può riportare in condizioni quasi statiche
semplicemente imponendo:
1) angolo di sterzo  costante ed incognito
2) raggio della traiettoria R costante, dunque   0 ,   0 e   
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Tali condizioni presuppongono che un eventuale transitorio necessario per
iscrivere il veicolo in curva sia esaurito. Recuperando la (J):
I z   F yA  a  F yP  b  0
da cui
F yP  FyA
a
b
mentre la (I) diventa
m  Ay  Fy  FyA  F yA
a
b
da cui, come per una trave a doppio appoggio, si ricavano le forze laterali
necessarie per percorrere la traiettoria di raggio R costante a velocità V costante
in funzione della posizione del baricentro:
F yA  Fy 
b
l
F yB  Fy
a
l
A questo punto è possibile applicare i legami costitutivi lineari
F yA  CANT   A
F yP  CPOST   P
oppure non lineari, come si vedrà successivamente. Si ricavano gli angoli di
deriva ed il KUS, mentre applicando le equazioni di congruenza si ricavano
l’angolo di assetto  e l’angolo di sterzo  necessario.
Iterando il calcolo per Ay crescenti è possibile tracciare la curva KUS = f(Ay)
oppure, in alternativa, la curva  = f(Ay) introdotte in precedenza.
Se però i legami costitutivi vengono sostituiti direttamente nella
I z   F yA  a  F yP  b  0
si ottiene l’equazione
CA   A  a  C aP   P  b
ovvero
 A C aP  b

 P CA  a
Le grandezze CA  a e CP  b vengono definite rispettivamente Capacità
direttive anteriore e posteriore. Esse esprimono la capacità di un asse di
generare momento imbardante rispetto al baricentro, e consentono di definire il
comportamento della vettura in steady-state in modo alternativo:
 A   P se C aP  b  CA  a  comportamento sottosterzante: KUS > 0
 A   P se C aP  b  CA  a  comportamento sovrasterzante: KUS < 0
Questa definizione evidenzia la dipendenza del comportamento di base della
vettura dalle caratteristiche degli pneumatici e dalla distribuzione delle masse.
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Analisi dinamica
Come specificato in precedenza, le equazioni di equilibrio
m  Ax   Fx
m  Ay   Fy
I z    M z
sono equazioni differenziali nelle incognite VG ,  e  (grandezze che risultano
“comode” come coordinate del moto della vettura) mentre  è imposto come
input del guidatore, ovvero come time history   f t  .
Integrare il sistema significa dunque conoscere la time history del moto della
vettura nel piano, o meglio la risposta del sistema all’input del guidatore che
agisce sullo sterzo. È possibile risolvere le equazioni tramite integrazione
numerica, metodo che si presta anche alla risoluzione di un modello non lineare.
Tuttavia, in questa sede si adotteranno le stesse ipotesi semplificative utilizzate
per il caso quasi statico, e si risolveranno in forma chiusa le note:
(I)
m  A y  F yA  F yP
I z   F yA  a  F yP  b
(J)
Dopo alcuni passaggi* si ottiene la formula di Richter:
Mx  x  kx  d  e
ove l’incognita è la velocità di imbardata
x  
Il termine a sinistra della formula di Richter esprime le caratteristiche di un
sistema dinamico di tipo massa-molla-smorzatore, ed il termine a destra è la
forzante del sistema. L’integrale particolare dell’equazione differenziale
corrisponde alla soluzione a regime, che esiste solo se il sistema è stabile,
mentre l’integrale dell’omogenea associata esprime la soluzione del transitorio.
Inoltre
M  I z  m  VG2 è la massa equivalente del sistema


  I z  C A  CP   m  a 2  C A  b 2  CP   VG è lo smorzamento
d  a  b   CA  CP  VG
e  a  CP  m  VG2
è facile verificare che queste grandezze sono sempre positive. Ciò non vale
invece per la rigidezza equivalente k o directional stiffness:
k  a  b  CA  CP  m  VG2  CP  b  CA  a 
2
La velocità che azzera la directional stiffness viene chiamata velocità critica:
k=0 per VG  VCRIT 
a  b2  CA  CP
m  CA  a  CP  b 
Essa è di fatto una velocità di soglia, oltre la quale il modello di vettura non è
stabile in quanto il sistema dinamico equivalente è dotato di rigidezza nulla o
negativa (a patto che una molla con rigidezza negativa abbia significato fisico).
Se quindi VG  VCRIT non esiste una soluzione a regime, ed il sistema
autovettura è instabile e non converge dopo che il moto viene perturbato
dall’input di sterzo  t  .
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Ora, se C aP  b  CA  a il termine sotto radice è negativo e non esiste velocità
critica; la directional stiffness k è sempre positiva, dunque esiste la soluzione a
regime. Ciò equivale a dire che l’auto sottosterzante è stabile per qualsiasi
velocità.
Se invece C aP  b  CA  a esiste una velocità critica che annulla la directional
stiffness. Quindi, se l’auto è sovrasterzante essa sarà stabile solo sotto la
velocità critica, mentre per velocità superiori il sistema è instabile e non
converge a regime dopo il transitorio indotto da  t  .
È intuitivo comprendere come le autovetture devono essere sempre stabili, in
modo che il loro comportamento sia prevedibile e la guida intuitiva, anche
durante eventuali manovre di emergenza. Dunque il comportamento di base di
qualsiasi vettura va impostato come sottosterzante.
Prove dinamiche classiche: step steer
È possibile simulare le prove descritte dalla norma ISO 7401 (Lateral transient
response test methods - Open-loop test methods) con il modello monotraccia
dinamico. La prima è il cosiddetto step steer o colpo di sterzo: l’auto procede in
rettilineo a velocità costante. All’istante t=0 viene imposto un impulso a
gradino pari ad un angolo di sterzo .
VEDI VALORI BOXSTER E DISPENSA CRF
Prove dinamiche classiche: sinusoidal steering input
La seconda prova descritta dalla norma ISO 7401, che è possibile simulare
Il momento polare d’inerzia all’imbardata
GRAFICO…
Il Dynamic Index in handling
Alcuni testi parlano del Dynamic Index in handling (ed anche in dinamica
verticale, o ride), definito come
D.I . 
r2
ab
ove a e b sono i semipassi ed r è il raggio giratorio della vettura ad imbardata:
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I z  mr 2
Prima di tutto è necessario definire il centro di percussione (center of
percussion, COP) di un oggetto allungato come una mazza da baseball, una
racchetta da tennis oppure una spada: è una posizione definita non in assoluto,
ma rispetto ad un altro punto P ed è il punto in cui, colpendo l’oggetto
“perpendicolarmente” alla sua lunghezza, il punto P non si muove perchè le
inerzie traslazionale e rotazionale annullano la reazione vincolare in P (e quindi
il movimento).
Ad esempio, il COP di una mazza da baseball è il punto che, colpendo la palla,
non genera forze nell’impugnatura (punto P). L’impugnatura tende ad essere il
centro di istantanea rotazione della mazza stessa quando il giocatore colpisce la
palla.
Se il momento d’inerzia della mazza da baseball è I, la massa m, e
l’impugnatura P è a distanza x dal baricentro, con un semplice equilibrio ove si
annulla il movimento di P si trova che il COP di P è a distanza
d
I
xm
dal baricentro, e dalla parte opposta rispetto a P, vedi
http://en.wikipedia.org/wiki/Center_of_percussion
Ora sostituisco alla mazza da baseball l’auto sotto forma di modello single track
in imbardata: “colpisco” l’asse anteriore con la forza laterale generata con
l’impulso di step steer. Dunque d = semipasso anteriore a.
a
Iz
r2

xm x
Nel caso in cui x= semipasso posteriore b, allora l’asse anteriore è il COP
dell’asse posteriore: sollecitando l’anteriore, al posteriore non viene generata
forza laterale e dunque angolo di deriva.
a
r2
b
quindi il Dynamic Index D.I . 
r2
1
ab
In altre parole, se il Dynamic Index = 1, sollecitando l’asse anteriore con uno
step steer l’auto imbarda con l’asse posteriore come centro di istantanea
rotazione. L’asse posteriore non viene perturbato e non sviluppa angolo di
deriva. Ciò vale solo per l’istante in cui viene applicato l’impulso di step steer,
dopo di che il transitorio si sviluppa secondo la soluzione di Richter. Se invece
D.I. < 1 la vettura imbarda con un centro di istantanea rotazione collocato tra il
baricentro e l’asse posteriore. Ciò significa che l’impulso di step steer genera
immediatamente forza laterale ed angolo di deriva al posteriore.
Il D.I. permette quindi di correlare massa, posizione del baricentro e momento
d’inerzia per individuare un “centro di imbardata” a prescindere da rigidezze in
deriva etc. Secondo alcuni autori un “buon” D.I. in handling per auto stradali
sportive è 0.8. Nelle vetture da competizione con massa e momento polare
d’inerzia ridotti e passo lungo, approssimativamente 0.6< D.I. <0.8.
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Il Dynamic Index in dinamica verticale
In questo caso ad Iz si sostituisce Iy e si studia il comportamento della vettura a
beccheggio, sollecitando l’asse anteriore con un impulso corrispondente al
superamento di un’asperità del fondo stradale. Se D.I.= 1, di nuovo l’asse
anteriore è il COP dell’asse posteriore, che non viene perturbato. È quindi
possibile semplificare il modello di vettura scomponendolo in due assali
indipendenti, ciascuno con la propria porzione di massa sospesa.
*Sviluppo dell’equazione di Richter
dalle (G) ed (H) si ottiene
l
P
R
b
P   
R
A   
con
A   
l
b
bl
a
    
  
R
R
R
R
inoltre si richiama la
VG  R
da cui
A    a
P    b
Ay 

VG

VG
VG2 VG

 VG    VG      VG
R
R


(K)
dalla (I):
m  A y  F yA  F yP  CA   A  C aP   P
(L)
sostituendo la (K) e le espressioni per gli angoli di deriva nella (L)


m      VG  CA       a 
VG






  C aP     b 
VG





(M)
dalla (J):


I z   CA       a 
VG




  a  C aP     b 
VG



  b

(N)
derivando la (N)


I z   a  CA       a 
VG




  a  b  C aP     b 
VG



  b

(O)
ricavando  dalla (N):


CA  a 2  CP  b 2 
VG
CA  a  CP  b
I z   CA  a   

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(P)
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mentre dalla (O):

  CA  a   
I z 
CA  a 2  CP  b 2
VG
 
CA  a  CP  b


(Q)
la (P) e la (Q) vengono sostituite nella (M). Sostituendo
    
e
    
poi riordinando i termini e sostituendo x   di ottiene la tipica formulazione
di Richter.
Si ringrazia il Prof. Valerio Villa per la collaborazione
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