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2.2 Bernoulli Navier

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Politecnico di Torino - Facoltà di Ingegneria
Rivisto:1/05/2011
Punti: 3
Corso di laurea in Ingegneria Civile
Laboratorio di sintesi finale – F. Biasioli
Argomenti:
2.2
Le sezioni inflesse in campo elastico – il legame momento-curvatura
L’ipotesi di Eulero-Bernoulli
Una trave inflessa sotto l’azione di un carico dopo la deformazione assume la configurazione di un
arco di cerchio: le fibre della parte superiore della trave si accorciano, dunque sono compresse,
quelle della parte inferiore si allungano, dunque sono tese. Uno strato che separa le fibre tese da
quelle compresse non muta di lunghezza nella deformazione: l’intersezione di tale “stato neutro”
con una qualunque sezione trasversale individua un asse detto “asse neutro”.
Se si ammette che le sezioni trasversali, inizialmente verticali e piane, dopo la deformazione
ruotino, ma rimangano piane, ogni sezione ruota attorno all’asse neutro rimanendo perpendicolare
all’asse longitudinale della trave. L’intersezione di una sezione ruotata con un piano longitudinale
individua una retta che rappresenta la configurazione deformata della sezione.
L’accorciamento delle fibre sulla faccia superiore è pari a : dove k dipende dalla rotazione relativa delle due sezioni
: dα
Considerando solo metà del concio vale:
α
:
Assumendo il verso positivo dell’asse y verso il basso, sono
Si definisce
α,
,: la curvatura della trave; ρ è il raggio di curvatura
Si introduce il legame elastico lineare: ovvero: Nel caso di sollecitazione di flessione retta, le risultanti delle tensioni nelle zone compresse sono
uguali a quelle nelle zone tese C = S.
Per la risultante è N = C- S = 0
Poiché : 0 ovvero: 0, dunque l’asse neutro passa per il
baricentro per cui è Sy = 0.
Per il momento sollecitante Mx: !" #
#
$
"
1
!"
$"
Sostituendo nell’equazione di σz si ha la formula di Navier:
Rispettando la convenzione dei segni la curvatura vale:
) )
&'
('
&
#('
'
dove y(z) rappresenta l’ordinata della linea elastica. Il legame momento curvatura è pertanto
!" 1
$
Allo stesso risultato si arriva con altro tipo di ragionamento. Se in un solido inflesso durante la
deformazione le sezioni rimangono piane ed ortogonali all’asse della trave nella configurazione
deformata, sono nulli gli scorrimenti (da taglio) .
*0
Tale ipotesi si può applicare solo su sezioni lontane dalle facce terminali del solido, in accordo con
la teoria di De Saint Venant. Verificata per via sperimentale, risulta confermata da semplici
considerazioni di simmetria, se si osserva che una sezione lontana dalle facce estreme del solido
può sempre essere assunta come appartenente ad un solido semplicemente inflesso di lunghezza
infinita, della quale risulta essere una sezione di mezzeria. Il piano della sezione, che è il piano di
simmetria per il solido, deve conservarsi tale durante la deformazione. Con riferimento ad un
sistema O(x,y,z) con origine nel baricentro della sezione l’equazione del piano ha pertanto
espressione:
+ , -" , - µx µy sono le curvature della sezione attorno agli assi x e y Il modello di Bernoulli fa uso del
legame elastico lineare σ = E ε da cui, operando come nel caso della flessione, si ottiene
+
.
#
*0
-" &'
#(
- &/
#(
La condizione implica l’annullarsi delle tensioni tangenziali agenti sulle sezioni rette del prisma.
Qualora infatti si verificasse in una sezione trasversale una distribuzione di tensioni tangenziali non
nulle, queste dovrebbero farsi equilibrio tra loro poiché, per ipotesi, la sollecitazione esterna
comporta ovunque delle componenti nulle nel piano della sezione retta. Ne consegue che elementi
piani giacenti nella sezione verrebbero a sopportare delle tensioni tangenziali di diversa grandezza
e direzione. Dopo la deformazione, questi elementi dovrebbero dunque formare degli angoli diversi
con l’asse longitudinale del prisma. Quanto dire che la sezione trasversale non si sarebbe
conservata piana.
Per questo motivo, l’annullamento gli scorrimenti obbliga le sezioni non solo ad un comportamento
rigido piano, ma anche a rimanere ortogonali alla linea d’asse (ipotesi di Eulero-Bernoulli).
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