DISPENSE 16

# STUDIO DEL COMPORTAMENTO IN REGIME PERMANENTE #
• Funzioni di trasferimento ed equazioni differenziali d’errore per gli
asservimenti e le regolazioni.
Siamo interessati a questo punto allo studio delle proprieta’ di regime dei sistemi
di controllo, che abbiamo detto distingueremo in sistemi di asservimento e
sistemi di regolazione. Con riferimento a tali proprieta’ si adotta una
classificazione di questi sistemi di notevole interesse e importanza nelle
procedure di sintesi.
Il comportamento in regime permanente si caratterizza con riferimento
all’analisi dell’errore che si verifica in risposta ai segnali canonici. Come gia’
accennato, i segnali canonici normalmente usati sono i segnali a gradino, a
rampa lineare, a rampa parabolica e cosi’ via, le cui espressioni in funzione del
tempo e le loro L−trasformate abbiamo richiamato in una tabella in precedenza.
Abbiamo anche gia’ detto che, con riferimento allo schema a blocchi in figura,
facilmente generalizzabile, considereremo il sistema di controllo d’interesse
sottoposto all’azione simultanea della grandezza d’ingresso x(t) e di disturbi
zi(t), agenti in diversi punti della catena diretta.
Z1
X +
_
C
A1
+
Z2
+
A2
+
Z3
+
P
+
+
Y
H
La L−trasformata dell’uscita puo’ esprimersi, per il principio di sovrapposizione
degli effetti, con la:
Y ( s ) = W ( s ) X ( s ) + ∑i W z ( s ) Z i ( s )
i
(1)
dove W(s) e’ la F. di T. ingresso-uscita del sistema di controllo feedback e le
Wzi(s) sono le F. di T. dai punti in cui agiscono i diversi disturbi Zi all’uscita.
L’errore puo’ quindi essere espresso con la:
E ( s ) = [K d − W ( s )]X ( s ) − ∑iWz ( s ) Z i ( s )
i
(2)
dalla (2) abbiamo definito la F. di T. ingresso-errore:
1
Wex ( s ) =
E (s)
= [K d − W ( s )]
X (s)
(3)
Tale F. di T. gioca un ruolo fondamentale nella analisi delle proprieta’ di regime
permanente dei sistemi di asservimento. Per tale analisi faremo riferimento allo
schema semplificato (schema a blocchi standard per gli asservimenti) nel quale e’
presente il solo segnale d’ingresso x(t):
X
+
C
_
Y
P
H
Per quanto riguarda il comportamento a regime dei sistemi di regolazione
utilizzeremo invece lo schema semplificato (schema a blocchi standard per le
regolazioni) nel quale e’ presente un solo segnale disturbante z(t) agente
direttamente sull’uscita, e il segnale di riferimento x(t)=cost. e’ in particolare
nullo.
X=0
+
Z
e
C
_
r
u
P
+ +
y
H
2
Particolarizzando per tale situazione la (2) si ha:
Ez ( s ) = −Wz ( s ) Z ( s )
(4)
dalla quale si puo’ definire la F. di T. disturbo-errore:
Ez ( s )
= −Wz ( s )
Z (s)
Wez ( s ) =
(5)
Con riferimento alla W(s) nella forma polinomiale standard:
m
W ( s) =
∑b s
i
∑a s
i
i =0
n
i =0
i
(6)
i
si ha:
m
Wex ( s ) =
∑ (K
i =0
ai − bi ) s +
i
d
n
∑K
i = m +1
d
ai s i
(7)
n
∑ ai s i
i =0
Come piu’ volte segnalato, si noti che W(s), Wex(s) e Wez(s) hanno lo stesso
denominatore, che e’ il polinomio caratteristico a ciclo chiuso.
L’equazione differenziale che lega l’errore ex(t) all’ingresso x(t) (di interesse per
l’analisi dell’errore a regime nei sistemi di asservimento) si puo’ ottenere
facilmente per antitrasformazione della (7) scritta nella forma:
E x ( s )∑ ai s i = X ( s ) ∑ ( K d ai − bi ) s i + ∑ K d ai s i 
 i =0

i = m +1
i =0
n
m
n
(8)
Equazione differenziale dell’errore per gli asservimenti:
n
d i ex (t ) m
d i x(t )
d i x(t )
ai
= ∑ ( K d ai − bi )
+ ∑ K d ai
∑
dt i
dt i
dt i
i =0
i =0
i = m +1
n
(9)
Con procedura perfettamente analoga, partendo dalla (5), si potrebbe ricavare
anche l’equazione differenziale che lega l’errore ez(t) al disturbo z(t), (di
interesse per l’analisi dell’errore a regime nei sistemi di regolazione).
Nella trattazione attuale noi non svilupperemo in dettaglio l’analisi dell’errore
di regime con riferimento alle equazioni differenziali di cui sopra limitandoci,
per i nostri scopi, a trovare i risultati piu’ significativi tramite ricorso al teorema
del valore finale.
3
• Classificazione dei sistemi di asservimento in base all’errore di
regime.
Un sistema di asservimento si dice di tipo k se nella risposta ad un segnale
d’ingresso canonico δ-(k+1)(t) il limite per t→∞ dell’errore e’ finito e non nullo.
Ovviamente si fa riferimento a sistemi stabili.
Dalla definizione deriva che:
¾ un sistema e’ di tipo 0 se ha errore finito in risposta al gradino;
¾ un sistema e’ di tipo 1 se ha errore finito in risposta alla rampa lineare;
¾ un sistema e’ di tipo 2 se ha errore finito in risposta alla rampa parabolica
etc.
⇒
grafici
Si puo’ dimostrare inoltre la seguente proprieta’ generale:
un sistema di tipo k risponde a regime con un errore nullo per ingressi canonici di
ordine (esponente della potenza di t ) inferiore a k e con errore infinito per
ingressi canonici di ordine superiore a k.
L’utilita’ della classificazione in tipi sta’ nel fatto che dalla conoscenza del tipo
di asservimento si puo’ dire a priori (a prescindere dal transitorio) se il sistema
rispondera’ a regime in maniera soddisfacente ai vari ingressi canonici.
• Condizioni sulla W(s) affinche’ un sistema sia di tipo k.
Con riferimento alla W(s) nella forma (6) si puo’ facilmente dimostrare che:
Un sistema di asservimento e’ di tipo k se si ha:
b0 b1
b
= = ..... = k −1 = K d ;
a0 a1
ak −1
bk
≠ Kd ;
ak
e
Ex(s) = Wex(s)X(s);
Applichiamo il teorema del valore finale alla:
essendo: X ( s ) =
1
s k +1
si puo’ scrivere:
m
exk (∞) = lim exk (t ) = lim s
t →∞
(10)
s →0
1
s k +1
∑ (K
i =0
ai − bi ) s +
i
d
n
∑ ai s i
n
∑K
i = m +1
d
ai s i
;
i =0
ed essendo valide le (10) si ottiene:
4
exk (∞) = lim
s →0
1
sk
m
s [∑ ( K d ai − bi ) s
k
( i−k )
i =k
+
n
∑K
i = m +1
d
ai s ( i − k ) ]
n
∑ ai s i
=
K d ak − bk
a0
(11)
i =0
c.v.d.
La (11) esprime l’errore di regime che si verifica in un sistema di tipo k con
ingresso canonico δ-(k+1)(t) in funzione dei coefficienti dei polinomi a
numeratore e denominatore di W(s).
E’ opportuno osservare a questo punto che la (10) dice che, affinche’ un sistema
di asservimento possa essere di tipo k, e’ necessario che la F. di T. a ciclo chiuso
abbia un numeratore di grado almeno pari a (k-1) in s (cioe’ la W(s) deve avere
almeno (k-1) zeri), perche’ compaia il coefficiente bk-1 .
La (11) d’altra parte permette di esprimere la condizione perche’ un sistema di
asservimento sia di tipo k riferita alla struttura della Wex(s):
Un sistema e’ di tipo k se la Wex(s) ha uno zero di molteplicita’ k
nell’origine.
ESEMPIO
Supponiamo di voler realizzare un sistema di asservimento di tipo 1 con Kd = 1 e
che, indipendentemente dalla struttura interna, la F. di T. a ciclo chiuso abbia la
forma:
W (s) =
b0
;
a0 + a1 s + a2 s 2
Il sistema deve quindi avere errore nullo in risposta al gradino ed errore
costante in risposta alla rampa. Dovra’ dunque essere, per la (10):
b0
= Kd = 1;
a0
cioe’ b0 = a0
⇒
In generale affinche’ un sistema di
asservimento sia di tipo 1 il guadagno a ciclo chiuso deve essere uguale alla
costante desiderata.
Supponiamo di voler realizzare invece un sistema di asservimento di tipo 2;
ancora dalla (10) dovranno essere verificate le relazioni:
b0 b1
= = Kd = 1;
a0 a1
oltre alla scelta del guadagno come sopra, in questo caso
si dovra’ fare in modo che nella W(s) compaia a numeratore un addendo del tipo
b1s per poter quindi imporre
b1 = a 1
cioe’:
W (s) =
a0 + a1 s
a0 + a1 s + a2 s 2
5
Assumiamo di realizzare il sistema feedback con retroazione unitaria ⇒ H=1.
Sara’ quindi:
W (s) =
G(s)
N ( s)
=
;
1 + G ( s ) D( s )
G(s) =
⇒
W ( s)
N (s)
=
;
1 − W ( s) D( s) − N ( s)
Queste ultime relazioni dicono che W(s) e G(s) hanno lo stesso polinomio in s a
numeratore.
⇒
Per aggiungere il termine b1s a numeratore della F. di T.
a ciclo chiuso devo introdurlo nel numeratore della F. di T. a ciclo aperto.
Con riferimento allo schema a blocchi si vede che per il sistema allo studio cio’ si
puo’ ottenere aggiungendo tra il comparatore e G(s) un blocco con F. di T. pari
a:
a0+a1s .
x
+
_
e a +a s
0
1
m
G
y
Cio’ equivale a far agire su G(s) un segnale combinazione di due termini, uno
proporzionale al segnale d’errore e uno proporzionale alla sua derivata.
Analizzaremo piu’ avanti gli effetti di tale modifica sulla dinamica del sistema a
ciclo chiuso.
CONCLUSIONE:
Dall’analisi dei coefficienti di W(s) e’ possibile conoscere
il comportamento del sistema in regime permanente ed essere indirizzati alle
scelte progettuali da fare affinche’ esso si comporti secondo le opportune
specifiche (in particolare si potranno scegliere i coefficienti b0 e b1 in modo che il
sistema sia di tipo 0, 1 o 2).
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