MODELLO FRAZIONARIO PER
IL COMPORTAMENTO ELASTOVISCOSO DELLE STRUTTURE
IN CALCESTRUZZO
MARCELLO ARICI, Università di Palermo
MARIO DI PAOLA, Università di Palermo
MICHELE F. GRANATA, Università di Palermo
MARIA OLIVA, Università Kore di Enna
SUMMARY
The behaviour of large concrete structures is
strongly influenced by creep which is responsible
for increasing the initial elastic deformation due to
sustained loads as time goes by. In addition creep
leads to a redistribution of internal forces when the
static scheme changes due to the introduction of
delayed restraints or internal constraints. The
evaluation of creep deformation is addressed in
the literature using different forecasting models,
now internationally accepted. In the early 50s of
the last century, a model based on fractional
operators was introduced in visco-elastic theory
proving to be more effective for the interpretation
of experimental results than the classical models,
based on statistical extrapolation of data collected
in the international databases.
In this study the hereditary fractional viscoelastic model is applied to concrete, finding the
correlation between the North American model B3
and the fractional model based on power
functions. Through a best fitting procedure of
creep functions given by literature models with
power curves it is possible to describe the
behaviour in time of concrete by means of the
fractional method. This innovative model allows to
describe the phenomena of creep and relaxation
through the calibration of two parameters only,
linked to the time of load application and
environmental data, with the result of a reduced
computational burden.
1.
INTRODUZIONE
Nel campo dell'ingegneria civile le proprietà
viscoelastiche dei materiali rivestono un ruolo
importante, specie per la loro influenza sul
comportamento a lungo termine degli elementi
strutturali. In natura non esistono materiali
puramente elastici o puramente viscosi: i materiali
reali presentano sempre un comportamento
intermedio. In tal caso, la risposta ad uno sforzo o
a una deformazione imposta risulta dipendente
dal tempo e conserva memoria della storia di
carico a cui tali elementi sono stati sottoposti.
Sperimentalmente se il materiale viscoelastico è soggetto ad una tensione costante che
perdura nel tempo si registra un aumento di
deformazione (scorrimento viscoso o creep),
mentre se è soggetto ad una deformazione
impressa persistente si registra una diminuzione
della tensione (rilassamento). Esempi di materiali
viscoelastici sono i polimeri, i bitumi, le resine, le
gomme e il calcestruzzo. Quest’ultimo è il
materiale da costruzione più diffuso in campo
civile e pertanto una corretta valutazione dei
fenomeni lenti risulta di fondamentale importanza
per la previsione del comportamento strutturale in
esercizio, in termini di resistenza, deformazione e
fessurazione degli elementi strutturali.
La viscosità del calcestruzzo è influenzata da
numerosi fattori: dalle caratteristiche intrinseche
del materiale, da fattori di tipo ambientale e dalla
storia di carico. Dipende inoltre dall'umidità
relativa dell’aria, dal grado di maturazione del
calcestruzzo all’epoca di applicazione del carico,
dalla quantità e tipo di cemento, dal rapporto
acqua-cemento con cui viene confezionato
l’impasto, dal rapporto tra volume e superficie
della struttura esposta all’aria e dalla temperatura
dell’aria che ha ripercussioni sull’essiccamento.
Nella progettazione di grandi strutture, come
ponti in cemento armato ordinario e precompresso
ed edifici alti o di strutture miste acciaiocalcestruzzo, è fondamentale tenere conto della
viscosità perché oltre a indurre una crescita nel
tempo delle deformazioni elastiche iniziali dovute
ai carichi permanenti, essa può comportare una
ridistribuzione degli sforzi interni. Ciò accade
quando, successivamente all’applicazione di un
carico, lo schema statico iniziale varia mediante
l’aggiunta di uno o più vincoli. Nell’analisi di ogni
struttura in calcestruzzo soggetta a fenomeni lenti
devono essere prese in considerazione due
problematiche diverse ma allo stesso tempo
correlate [1]: la determinazione della risposta
strutturale e la previsione delle deformazioni
viscose legate alle proprietà dei materiali. Per
quanto riguarda la determinazione della risposta
strutturale, oggi è possibile far riferimento ad un
format internazionale, basato sulla teoria della
viscoelasticità lineare con invecchiamento. Invece,
per quanto riguarda la previsione delle
deformazioni viscose sono disponibili diversi
modelli di previsione e all’interno della comunità
scientifica si registra un ampio dibattito che non
ha ancora portato ad un approccio unificato
sebbene tutti i modelli più accreditati siano basati
sul database internazionale RILEM.
I primi ad occuparsi di viscoelasticità sono
stati Maxwell, Boltzmann e Kelvin che hanno
ideato schematizzazioni meccaniche (modello
89
Kelvin-Voigt per il creep e modello di Maxwell per
il rilassamento), basate sempre su leggi temporali
esponenziali. In questo modo non risulta però
possibile la descrizione di entrambi i fenomeni di
creep e rilassamento con un unico modello, a
meno che non si ricorra a complicati modelli multielemento, che richiedono una vasta gamma di
parametri aumentando significativamente l’onere
computazionale. Inoltre, nella teoria della
viscoelasticità lineare, essendo valido il principio
di sovrapposizione degli effetti nel tempo, il
legame costitutivo che mette in relazione tensione
e deformazione per materiali viscoelastici può
essere scritto attraverso una equazione integrale
di Volterra, che esprime il carattere ereditario della
risposta meccanica di tali materiali. Tale
equazione, se non è nota a priori la storia di carico
o di deformazione, non risulta di facile risoluzione
e per questo sono stati proposti, negli ultimi 50
anni, molti metodi approssimati per la valutazione
degli effetti di viscosità sulle strutture di
calcestruzzo con storie di carico complesse. Tra
questi uno dei più diffusi è quello messo a punto
da Bažant [2] attraverso la definizione di un
coefficiente di invecchiamento. Il metodo è noto
come Age Adjusted Effective Modulus (AAEM)
Method, ovvero metodo del modulo effettivo
corretto con invecchiamento ed è molto utile ai
progettisti in quanto fornisce soluzioni accettabili
per molti problemi concreti che si presentano nella
pratica progettuale. Un approccio sistematico e
razionale basato sulla teoria della viscoelasticità
lineare con invecchiamento è stato proposto da
Chiorino [3] per l’analisi del comportamento
globale delle strutture soggette a viscosità in cui lo
schema statico varia per aggiunta di vincoli
posticipati all’applicazione del carico. Mola [4,5]
ha introdotto l’utilizzo delle funzioni di
rilassamento ridotto per affrontare alcune
problematiche legate alla presenza di vincoli
elastici ed a strutture viscosamente non
omogenee per la presenza di armature metalliche,
mediante la modifica delle funzioni utilizzate per le
strutture omogenee.
Nella prima metà del Novecento Nutting [6] e
Gemant [7], sulla base di diverse indagini
sperimentali,
mostrarono
che
creep
e
rilassamento non seguivano leggi esponenziali ma
leggi di potenza. Scott-Blair [8], intorno agli anni
'50 del secolo scorso, introdusse un modello
basato sugli operatori frazionari che si dimostrò
più efficace nell'interpretazione dei risultati
sperimentali rispetto ai modelli classici [9,10,11].
Quest'ultima tipologia di modello, chiamato
modello viscoelastico frazionario, simulando in
maniera efficace il reale comportamento
meccanico dei materiali, rappresenta il modello
innovativo più valido nello studio della risposta
strutturale di sistemi continui [12]. Lo stato di
90
tensione risulta legato alla derivata frazionaria
delle deformazioni rispetto al tempo simulando un
comportamento interpolante tra i due casi limite
elastico e viscoso, in quanto l'ordine di
derivazione varia tra 0 ed 1, restituendo il caso
perfettamente
elastico
quando
l'ordine
dell'operatore differenziale è 0 e perfettamente
viscoso quando l'ordine è 1. Tale modello
permette di descrivere entrambi i fenomeni, di
creep e di rilassamento, tramite la calibrazione di
due soli parametri, senza la necessità di
combinare modelli semplici (con molle e
dissipatori) e abbattendo significativamente
l’onere computazionale. D'altra parte, poiché la
funzione di viscosità è legata al rilassamento nel
dominio di Laplace, da un punto di vista teorico, è
sufficiente effettuare solo una delle due prove per
determinare i parametri del comportamento
viscoelastico. Diversi studi e prove sperimentali su
polimeri, gomme e bitumi [9,13] hanno confermato
la validità del metodo.
In questo studio si propone un primo
approccio alla trattazione della viscoelasticità
lineare nel calcestruzzo tramite il modello
frazionario
basato
su
leggi
costitutive
viscoelastiche (e quindi curve di creep) che sono
leggi matematiche di potenza piuttosto che
esponenziali.
Scopo del presente lavoro è quello di mettere
in relazione le funzioni di viscosità di letteratura
con quelle di potenza, al variare dei parametri
fondamentali (tempo iniziale di carico, umidità,
spessore fittizio, etc>) per l’applicazione del
modello
viscoso
frazionario
ereditario
al
calcestruzzo. Inoltre si fornisce una metodologia
di best-fitting di curve sperimentali attraverso leggi
di potenza per l’interpretazione con modello
frazionario dei dati sperimentali raccolti in
letteratura o forniti da prove specifiche effettuate
nell’ambito della costruzione di opere civili di
grande importanza. Il vantaggio computazionale
che deriva da tale trattazione viene messo in
rilievo, insieme alla proprietà di dualità completa
che le curve di potenza hanno per la trattazione
con tale modello dei problemi di creep e
rilassamento.
Viene
presentata
infine
un’applicazione illustrativa e chiarificatrice dei
concetti esposti.
2.
LA TEORIA DELLA
VISCOELASTICITÀ LINEARE
Il comportamento a lungo termine delle
strutture in calcestruzzo è fortemente influenzato
dal fenomeno della viscosità. L’effetto principale di
tale fenomeno è quello di indurre una crescita nel
tempo delle deformazioni elastiche iniziali dovute
ai carichi permanenti. Tale aumento può essere
modellato attraverso la funzione di viscosità J(t,t0),
che rappresenta la deformazione totale al tempo t
per una tensione unitaria applicata al tempo t0.
Dunque vi è una diretta proporzionalità tra il valore
della deformazione nel tempo e le tensioni indotte
al tempo di applicazione del carico t0, tramite la
funzione di viscosità J(t,t0):
& # ! t " ' # c ! t 0 " J ! t , t 0 " ' & # ! t 0 " *$1 ( ) ! t , t 0 " +% '
$ 1
) ! t , t0 " %
' #c ! t0 " ,
( 28
E c 28 -+
,* E c ! t 0 "
(1)
in cui BC(t) è la deformazione totale, somma della
parte elastica e di quella viscosa, al tempo t
successivo all’applicazione del carico; Cc(t0) è la
tensione indotta nel calcestruzzo al tempo di
applicazione del carico; BC(t0) è la deformazione
elastica indotta dalla tensione Cc(t0); F28(t,t0) è il
coefficiente di viscosità riferito al modulo elastico
convenzionale del calcestruzzo a 28 giorni di
maturazione Ec28; Ec(t0) è il modulo elastico del
calcestruzzo al tempo di applicazione del carico.
L'equazione (1) rappresenta il primo teorema della
viscoelasticità lineare. Tale principio stabilisce che
se
ad
una
struttura
in
calcestruzzo,
omogeneamente viscosa e a vincoli rigidi
invariabili nel tempo, viene applicato al tempo t0 un
carico permanente che resta sulla struttura
durante la maturazione del calcestruzzo, lo stato
tensionale provocato al tempo t0, si mantiene
costante nel tempo, mentre la deformata cresce
con legge J(t,t0).
Se la storia tensionale, successivamente
all’applicazione del primo carico, è divisa in
intervalli infinitesimi dCc di successive tensioni
dipendenti da carichi applicati, al generico tempo
t, attraverso il principio di sovrapposizione degli
effetti, è possibile scrivere la relazione:
t
& # ! t " ' #c ! t 0 " J ! t , t 0 " ( / J ! t , t0 " d#c ! . "
t0
(2)
la quale rappresenta la formulazione integrale
della viscoelasticità lineare per strutture con
comportamento omogeneamente viscoso e per
successive
applicazioni
di
carichi
che
permangono nel tempo.
In maniera reciproca, se ad una struttura in
calcestruzzo iperstatica, omogeneamente viscosa
ed a vincoli rigidi invariabili nel tempo, viene
applicata una deformazione impressa al tempo t0,
la deformata elastica indotta inizialmente permane
nel tempo, mentre lo stato di tensione
conseguente decresce con la funzione di
Considerando
la
rilassamento
R(t,t0).
sovrapposizione nel tempo di deformazioni
imposte sulla struttura, il secondo principio della
viscoelasticità lineare
seguente forma:
si
può
scrivere
t
#c ! t " ' & # ! t0 " R ! t , t 0 " ( / R ! t , t 0 " d& # ! . "
t0
nella
(3)
in cui R(t,t0) è la funzione di rilassamento,
reciproca della funzione di viscosità, e
rappresenta la tensione totale al generico tempo t,
dovuta ad una deformazione imposta unitaria al
tempo t0.
Dunque nell'ambito della teoria della
viscoelasticità lineare con invecchiamento, le
funzioni di viscosità e rilassamento sono in grado
di caratterizzare completamente le proprietà del
calcestruzzo. Queste due funzioni, inoltre, sono
legate fra loro tramite l'equazione integrale di
Volterra
t
1 ' R ! t0 , t0 " J ! t , t0 " ( / J ! t , . " dR ! ., t0 "
t0
(4)
Per la determinazione della funzione di
viscosità J(t,t0), in letteratura sono presenti diversi
modelli di previsione del comportamento viscoso
del calcestruzzo, che oltre a considerare la
dipendenza dal tempo di applicazione del carico,
tengono conto di altri parametri fondamentali:
l’umidità relativa media RH (%) dell’ambiente in
cui matura il calcestruzzo, la resistenza
caratteristica di rottura del calcestruzzo fck, la
superficie esposta all’ambiente V/S. Il recente
documento ACI 209 [14] propone ai progettisti
quattro modelli: il vecchio modello ACI 209-R92,
un modello derivato direttamente dal CEB Model
Code 90 (aggiornato con il Model Code 2010), il
modello proposto da Bažant e Baweja, noto con la
sigla B3, e il modello proposto da Gardner e
Lockman, noto con la sigla GL2000.
Il calcestruzzo, diversamente dagli altri
materiali viscoelastici, manifesta il fenomeno di
creep in tempi molto più lunghi, paragonabili alla
vita utile della struttura. I dati sperimentali presenti
in tutto il mondo e raccolti nel database RILEM
coprono all’incirca i primi 30 anni. Per questo
motivo si hanno differenze sostanziali tra i diversi
modelli di previsione accreditati, soprattutto per
tempi di osservazione più lunghi, poiché essi sono
ricavati tramite estrapolazione statistica dei dati
RILEM.
La differenza principale tra i modelli sopra
citati è che i modelli CEB Model Code 90 ed ACI
209-92 danno un coefficiente di viscosità che
rimane pressoché costante dopo 10000 giorni con
un comportamento asintotico orizzontale, mentre i
modelli americani B3 e GL2000 crescono molto,
raggiungendo valori più alti per tempi lunghi,
senza alcun asintoto orizzontale [15]. Ciò implica
che le deformazioni viscose ricavate con i modelli
91
europei sono inferiori a quelle ricavate dai modelli
nordamericani B3 e GL2000, che predicono
deformazioni significativamente più grandi nel
lungo periodo. La scelta tra i diversi modelli,
dunque, gioca un ruolo importante perché
potrebbe portare a sovrastime o sottostime delle
deformazioni dovute alla viscosità, nonché
dell’importanza
della
ridistribuzione
delle
sollecitazioni nelle strutture a vincoli variati o
viscosamente non omogenee.
Invece, per quanto riguarda la funzione di
rilassamento R(t,t0), questa può essere ottenuta
numericamente dalla funzione di viscosità J(t,t0),
attraverso l’integrazione numerica dell’equazione
integrale di Volterra (4). La risoluzione di questa
in forma chiusa risulta piuttosto onerosa e negli
ultimi anni sono stati proposti diversi metodi
approssimati, validi per qualsiasi modello di
previsione scelto. Il metodo più diffuso risulta
essere quello proposto da Bazant, il cosiddetto
Age Adjusted Effective Modulus (AAEM) Method,
che evita la risoluzione numerica delle equazioni
integrali di Volterra, riscrivendo le relazioni
fondamentali delle leggi della viscoelasticità
lineare con invecchiamento tramite espressioni
algebriche più semplici.
I ricercatori del Politecnico di Torino hanno
sviluppato un software di ausilio a ricercatori e
progettisti per l'integrazione numerica, capace di
fornire i valori delle funzioni di viscosità,
rilassamento e dei coefficienti di invecchiamento
per i modelli maggiormente utilizzati [16].
3.
c2
1 !1 0 2 "
t 02
(5)
in cui R(t) è la funzione di rilassamento, che qui
risulta indipendente dal tempo di applicazione del
carico, (") è la funzione Gamma di Eulero, e c[ e
) sono dei parametri ottenuti attraverso una
procedura di best-fitting dei dati sperimentali. Il
primo
parametro
è
un
coefficiente
di
proporzionalità tra la tensione e la derivata
92
#! t" '
c2
!t 0t "
1!102" /
t
0
02
! " dt 'c
d& t
dt
! D &" !t"
2
2 C 0(
(6)
dove (C D02( & )(t ) è la derivata frazionaria di Caputo.
Dunque se si assume nell'integrale di
Boltzmann (o di Volterra) il nucleo con legge di
potenza si perviene direttamente al legame
costitutivo viscoelastico, che interpola i due casi
limite ideali. Tale legame costitutivo si
schematizza con un elemento detto Spring-Pot
(Fig. 1).
Figura 1. Lo Spring-Pot: modello frazionario
IL MODELLO FRAZIONARIO
Si propone ora un altro modello per la
caratterizzazione del legame costitutivo dei
materiali viscoelastici ereditari basato sul calcolo
frazionario. All'inizio del XX secolo, Nutting [06] e
Gemant [07], sulla base di diverse indagini
sperimentali su materiali visco-elastici come
gomme, bitumi, polimeri, calcestruzzo, ecc.,
mostrarono che i dati ottenuti da prove di
rilassamento
potevano
essere
interpretati
facilmente con una curva che seguisse la
seguente legge di potenza:
R !t " '
frazionaria della deformazione, dipendente dal
modulo elastico e dal tempo caratteristico del
materiale, il secondo è un coefficiente che varia
tra 0 e 1, restituendo il caso perfettamente
elastico quando tale coefficiente è 0 e
perfettamente viscoso quando è 1. Nota la
funzione di rilassamento (5), il principio di
sovrapposizione degli effetti di Boltzmann può
scriversi come di seguito:
La funzione di rilassamento risulta legata alla
funzione di viscosità nel dominio di Laplace dalla
seguente relazione:
J !s " R !s " '
1
s2
(7)
in cui J(s) e R(s) sono rispettivamente le funzioni
di viscosità e di rilassamento, mentre s è la
variabile complessa nel dominio di Laplace.
Nota la funzione di rilassamento (5), l'antitrasformata di Laplace restituisce la funzione di
viscosità J(t) nella forma:
J !t " '
1
t2
c2 1 !1 ( 2 "
Sostituendo l'espressione (8)
dell'integrale di Boltzmann si ottiene:
(8)
al
nucleo
& !t " '
!
t
1
t 0t
/
0
c 2 1 !1 ( 2 "
"
2
! " dt
d# t
dt
'
1
c2
!
"
I2 & ! t "
0 t
(9)
nella quale compare l'integrale di RiemannLiouville 0I2t. Quindi la deformazione nel tempo
varia, per incrementi di carico d#, in funzione
dell’integrale di Riemann-Liouville, che è un unico
operatore matematico. Di conseguenza non è
necessario calcolare l’integrale di Volterra per
scrivere la sovrapposizione degli effetti, ma è
possibile direttamente, conoscendo i valori 2 e c2
della curva di potenza, ricavare l’intera storia di
deformazione.
Fittando i dati sperimentali delle prove di
rilassamento con la legge di potenza (5), si
ricavano i due parametri fondamentali del modello
frazionario che permettono la definizione della
legge costitutiva (6) e della funzione di viscosità
(8) e viceversa, nonché attraverso gli operatori
frazionari, la scrittura delle leggi della viscoelasticità lineare. Ciò risulta essere estremamente
vantaggioso in quanto è sufficiente effettuare solo
una delle due prove per determinare i parametri
del comportamento viscoelastico completo (di
creep e rilassamento) e definire il legame
costitutivo, abbattendo significativamente l'onere
computazionale.
4.
CONFRONTO TRA LA TEORIA
CLASSICA E IL MODELLO
FRAZIONARIO
Il modello visco-elastico frazionario, nella
forma presentata al paragrafo precedente e
diversamente dai modelli classici presenti in
letteratura, non tiene conto dell'invecchiamento a
cui è sottoposto il calcestruzzo durante la sua vita
utile. Pertanto le curve di viscosità, per dato
provino e condizioni ambientali, al variare del
tempo di applicazione del carico risultano essere
parallele tra loro e definite tramite un solo valore
di cO e . Nella realtà non basta traslare la curva
orizzontalmente per definire le proprietà
viscoelastiche del calcestruzzo a diversi tempi di
applicazione del carico, in quanto si registra una
diminuzione della parte elastica istantanea
all’aumentare del tempo di applicazione del
carico, dato che il modulo elastico del
calcestruzzo aumenta nel tempo, e il fenomeno
della viscosità risulta tanto più elevato quanto più
il calcestruzzo viene caricato in giovane età.
Se da una parte il modello frazionario non
interpreta bene il fenomeno dell'invecchiamento,
dall'altra parte può risultare estremamente
vantaggioso
nella
caratterizzazione
del
calcestruzzo, in quanto a partire da dati
sperimentali di prove di viscosità è possibile
definire le curve di rilassamento, con la definizione
di due parametri, senza ricorrere all'integrazione
numerica dell'equazione integrale di Volterra.
Per dimostrare, ciò nella sezione successiva
saranno ricavati i due parametri fondamentali del
modello frazionario, tramite il best-fitting di curve
di viscosità presenti in letteratura, al variare del
tempo di applicazione del carico e viene riportata
un’applicazione atta a dimostrare il vantaggio
computazionale che si ha per la determinazione
della funzione di rilassamento. D’altra parte si può
tenere conto del fenomeno di invecchiamento
facendo sì che le curve di viscosità siano fittate da
curve di potenza i cui parametri c2 e 2 sono
dipendenti dal tempo di confezionamento del
calcestruzzo e soprattutto di applicazione del
carico. Questo aspetto non viene trattato in questo
lavoro ma costituisce oggetto di approfondimento
della ricerca in corso.
5.
APPLICAZIONI
Si presenta una prima applicazione in cui il
modello frazionario, formulato per soli materiali
con comportamento ereditario, viene applicato
all’analisi con curve di viscosità costruite
attraverso i modelli classici di viscosità reperibili in
letteratura. Tra i modelli di previsione accreditati in
ambito internazionale, si è scelto di mettere in
relazione il modello frazionario con il modello
proposto da Bazant, B3 model.
Tabella 1. Caratteristiche del calcestruzzo e
coefficienti del modello B3
fck
a
c
w
ks
m
n
:1
:2
tc
RH
V/S
[MPa]
[Kg/m3]
[Kg/m3]
[Kg/m3]
[gg]
[%]
[mm]
35
1820
400
180
1
0.5
0.2
1
1.2
3
60
300
Per tenere conto delle problematiche legate
alla costruzione dei modelli di letteratura, i quali
fanno uso di estrapolazioni statistiche per i dati
temporali più lunghi, si è deciso di fittare la curva
in un intervallo di tempo ristretto, fino a 10000 gg.
Nella tabella 1 si riportano le caratteristiche del
93
calcestruzzo preso in esame e i coefficienti propri
del modello B3, con dati relativi ad una tipica
sezione a cassone da ponte.
Figura 2. Confronto tra il modello frazionario e il
modello B3 con tempo di applicazione del carico
pari a 7gg
Con i dati di input, presenti in tabella 1, si è
ricavato l'andamento della curva di viscosità per
fissata umidità relativa e rapporto volumesuperficie, al variare del tempo di applicazione. A
partire da tali curve, si è effettuato un best-fitting
della sola parte viscosa, con la legge di potenza
riportata in (8). Le figure 2, 3 e 4 riportano il best
fitting di tre curve di viscosità per fissato tempo di
applicazione del carico, rispettivamente 7, 28 e 60
giorni. Gli scarti, che si hanno tra le curve
provenienti dal modello B3 e quelle ricavate dalla
legge di potenza da utilizzare nel modello
frazionario (linea continua), risultano in tutti e tre i
casi inferiori al 5% su tutto l'intervallo. Questo
conferma che le funzioni di viscosità possono
essere ben interpretate da leggi di potenza. I
valori dei parametri trovati mediante la procedura
di
best-fitting
risultano
coerenti
con
il
comportamento reologico del materiale, in quanto
il calcestruzzo ha un comportamento quasi
elastico (β=0) e un tempo caratteristico del
materiale, da cui dipende cβ, maggiore rispetto ad
altri materiali viscoelastici [13].
Come è possibile notare dalla tabella 2, i valori
dei due parametri, per dato provino e condizioni
ambientali,
non
rimangono
costanti
ma
aumentano con il tempo di applicazione del
carico. Tale aumento è dovuto al fenomeno di
invecchiamento a cui è soggetto il calcestruzzo
durante la sua vita utile. Dunque, nonostante il
modello frazionario sia stato formulato per
materiali
con
comportamento
puramente
ereditario, esso può essere utilizzato per la
caratterizzazione del calcestruzzo tenendo conto
in maniera indiretta dei fenomeni legati
94
all'invecchiamento con la variazione dei due
parametri col tempo di applicazione del carico.
Figura 3. Confronto tra il modello frazionario e il
modello B3 con tempo di applicazione del carico
pari a 28 gg
Figura 4. Confronto tra il modello frazionario e il
modello B3 con tempo di applicazione del carico
pari a 60 gg
Tabella 2. Parametri fondamentali del modello
frazionario
t0
7
28
60
[gg]
[gg]
[gg]
β
0.16
0.20
0.28
cβ
51333
175999
235196
Si riporta ora un'altra applicazione che
dimostra il vantaggio computazionale che si ha
nella determinazione delle curve di rilassamento.
A partire da dati sperimentali provenienti da prove
di viscosità presenti nel database RILEM [17], si
sono ricavati i parametri cβ e β del modello
frazionario, che permettono di ricavare in maniera
diretta le curve di viscosità e rilassamento, senza
dover effettuare integrazioni numeriche delle
equazioni integrali di Volterra.
Tabella 3.
c_001_02
w/c
a/c
c
t0
RH
V/S
Caratteristiche
3
[Kg/m ]
[gg]
[%]
[mm]
del
calcestruzzo
0.56
6.46
289
60
47.5
22
In tabella 3 sono riportate le principali
caratteristiche del calcestruzzo che si è preso in
esame (identificato con la sigla c_001_02 nel
database RILEM). In figura 5 si riporta il confronto
tra i dati sperimentali del calcestruzzo c_001_02 e
la curva di viscosità ricavata tramite una
procedura di best-fitting con la legge di potenza
(8). Anche in questo caso si ha uno scarto
inferiore al 5%.
Figura 5. Prove di Creep: best-fitting di dati
sperimentali [22]
Trovati i parametri cβ e β, è stato possibile
ricavare immediatamente la curva di rilassamento,
inserendo tali valori nella (5). Infine in figura 6 si
riporta l'andamento della curva di rilassamento.
Figura 6. Curva di rilassamento ottenuta tramite il
modello frazionario.
6.
CONCLUSIONI
In questo studio, è stato proposto un modello
frazionario ereditario per la descrizione dei
fenomeni lenti del calcestruzzo. Tale modello
permette di descrivere i fenomeni di scorrimento
viscoso e rilassamento tramite la calibrazione di
due soli parametri. Ciò comporta un abbattimento
dell'onere computazionale, in quanto a partire da
dati sperimentali di prove di viscosità, noti tali
parametri tramite una procedura di best-fitting di
curve di creep, è possibile definire direttamente le
curve
di
rilassamento
senza
ricorrere
all'integrazione numerica dell'equazione integrale
di Volterra o a complicati modelli reologici multielemento, che richiedono una vasta gamma di
parametri.
Dopo aver illustrato i concetti base della
viscoelasticità lineare con invecchiamento, è stata
presentata la teoria alla base del modello
frazionario.
Sono state effettuate due semplici applicazioni
attraverso una metodologia di best-fitting delle
curve di viscosità, presenti in letteratura
o
provenienti da prove in laboratorio, con curve di
potenza. Dalla prima applicazione, che mette in
relazione il modello frazionario (ereditario) con il
modello B3 proposto da Bazant (ereditario con
invecchiamento), si conferma la bontà delle curve
di potenza per l’interpretazione delle funzioni di
viscosità di letteratura ma si rileva l’importanza
dell’invecchiamento, in quanto al variare del
tempo di applicazione del carico i due parametri
fondamentali del modello frazionario non
rimangono costanti. La seconda applicazione
mette in luce l'abbattimento significativo dell'onere
computazionale che si ha nella determinazione
delle curve di rilassamento a partire dalla
definizione di quelle di creep, basate anche su
curve sperimentali, senza dover ricorrere ad
integrazioni numeriche attraverso le equazioni
integrali di Volterra, utilizzando direttamente gli
operatori frazionari.
Inoltre, correlando i parametri fondamentali del
modello frazionario non solo al tempo di
applicazione del carico, ma anche all’umidità
relativa e alla superficie esposta all’ambiente, è
stato fornito un primo approccio alla teoria
viscoelastica con modello frazionario, utile per lo
studio dei fenomeni lenti nelle strutture in
calcestruzzo.
7.
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Marcello Arici: [email protected]
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