Soluzione appello 6 Maggio 2014 - Dipartimento di Ingegneria dell

ELETTROMAGNETISMO PER LA TRASMISSIONE DELL'INFORMAZIONE
AA 2013-2014. 6 Maggio 2014.
Scrivere Nome, Cognome e numero di matricola in ogni foglio. Tenersi una copia dello svolgimento per l'autovalutazione. Ogni esercizio vale 6 punti
     
Dato il campo A( x, y, z )  sin n x  sin m y ezu z , calcolarne il rotore e la divergenza.
 a   b 
soluzione:
      
      
     
  A  m sin n x  cos m y ezu x  n sin m y  cos n x ezu y ;   A   sin n x  sin m y ez
1)
 a 
b

b 
a

b 
 a 
 a 

b 
Un'onda piana in aria, e frequenza di 1 THz incide con un angolo di 45° su di uno strato di
materiale con costante dielettrica r=4 semiinfinito; quanto vale il coefficiente di riflessione se il
campo elettrico è nel piano di incidenza (polarizzazione TM)?
soluzione: si tratta di usare le linee di trasmissione; stiamo però ora considerando incidenza TM, per
cui le espressioni per le impedenze caratteristiche sono quelle TM; in particolare la Zo in aria sarà:
k cos i
mentre l'impedenza di carico sarà l'equivalente impedenza caratteristica TM nel
Zo  o
2)
 o
mezzo Zl 
k1 cos t
 o r
. L'angolo nel dielettrico si trova con la legge di Snell, per cui
2
Zl 
k1 1  sint
 0 r
2

v 
2
k1 1   2  sini
 v1 
 0 r

1
2
k1 1    sini
 r 
 0 r
Ovviamente il coefficiente di
Zl  Z0
. Questo coefficiente ci consente di calcolare l'ampiezza
Zl  Z0
del campo trasverso (componente parallela alla superficie) riflesso qualora conosciamo la stessa
ampiezza per il campo incidente. Sostituendo i valori dell'esercizio si ottiene: Zo=266.4 Ohm,
Zl=176.2 ed il coefficiente di riflessione -0.204
riflessione sarà conseguentemente
3) Si progetti un adattatore a singolo stub, in SERIE ed in corto circuito, per adattare un carico ZL= 225+j25 Ohm ad
una linea da 50 Ohm. Quale deve essere la distanza dal carico a cui deve essere posto lo stub? e quale la lunghezza
dello stub (realizzato sempre con una linea a 50 Ohm)? (delle due soluzioni riportare quella più vicina al carico)
Soluzione: L'impedenza normalizzata è chiaramente 4.5+j0.5. Ruotiamo verso il generatore fino a trovare l'intersezione
con la circonferenza unitaria. Troviamo Z1=1-j1.667: la rotazione è stata di 0.074, che è la distanza dal carico in cui
inserire lo stub. Lo Stub avrà impedenza normalizzata .-j1.667: essendo in corto ed essendo la carta delle impedenze,
partiamo dal punto (-1,0) della CdS e ruotiamo verso il generatore (senso orario) fino a leggere -j1.667: la rotazione è di
0.164 e questa è la lunghezza dello stub cercata.
4) Qual
è l'impedenza di ingresso nel circuito in figura? (si tratta di un anello fatto da linee a 100
Ohm, con due carichi attaccati -sempre di 100 Ohm- a metà anello; si chiede l'impedenza vista nel
punto indicato)
ZIN?
/2
/2
Zo=100 Ohm
ZL=100 
ZL=100 
Soluzione: conviene evidenziare le simmetrie, immaginando di aggiungere una porta (un punto di misura) simmetrica a
quella indicata.
ZL=200 
ZL=200 
Zo=100 Ohm
ZL=200 
ZL=200 
Occorre però ricordare che vogliamo che questa porta addizionale, alla fine dei calcoli, sia collegata ad un circuito
aperto.
Supponiamo di mettere su entrambe le porte un generatore di corrente Ipari=1A. Usiamo i generatori di corrente in
quanto la corrente 0 corrisponde ad un circuito aperto, e faremo in modo che la sovrapposizione degli effetti dia tale
valore alla porta fittizia. Questa è una eccitazione pari e la linea centrale tratteggiata è un circuito aperto: all’ingresso
vediamo il parallelo di due linee in mezza lunghezza d’onda chiuse su 200 Ohm, ovvero ciascuna presenta all'ingresso
un'impedenza pari a Zin pari=200 Ohm; facendo il parallelo delle due si trovano in ingresso 100 Ohm. Quindi la
Vpari=1x100=100V
Se le due porte sono eccitate in modo antisimmetrico, ovvero mettiamo Idispari= 1A sulla porta in alto e -1A sulla porta
in basso (eccitazione dispari) la linea tratteggiata è un corto circuito (a massa); dopo mezza lunghezza d’onda,
l’impedenza resta un corto, ovvero Vdispari=0.
Il risultato totale si ottiene sovrapponendo le due situazioni, ovvero
Zin=(Vpari+Vdispari)/(Ipari+Idispari)=(100+0)/(1+1)=50 Ohm, che è il risultato cercato. Notate infatti che nella
sovrapposizione la porta sopra avrà corrente 2 A, e la porta sotto corrente 0 (1, caso pari, -1 caso dispari). Quest’ultima
rimane quindi aperta come vogliamo. Se avessimo usato i generatori di tensione, nella sovrapposizione la tensione alla
porta sotto sarebbe stata 0V (corto circuito a massa) ed il risultato errato (avremmo ottenuto un infinito).
Un altro modo, forse più semplice, di risolvere il problema senza ricorrere alla seconda porta. Eccitando alla porta in
alto, a causa della simmetria il tratto in basso non è attraversato da corrente (nel disegno di sotto notate il taglio). Quindi
ci ritroviamo che il circuito è il parallelo di due strutture identiche, ciascuna composta da un tratto in mezza lunghezza
d’onda, una resistenza da 100 Ohm verso massa e poi un ulteriore tratto in mezza lunghezza d’onda lasciato aperto
(guardate la rappresentazione a destro). Quest’ultimo si comporta ancora come un aperto, e non ha effetto. Rimane
quindi solo un tratto di mezza lunghezza d’onda chiuso su 100 Ohm. Le strutture sono due in parallelo e quindi, di
nuovo, in ingresso vediamo 50 Ohm.
ZIN?
/2
/2
PORT
Zo=100 Ohm
Z0=100 Ohm
/2
ZL=100 
ZL=100 
RES
ID=R1
R=100 Ohm
Z0=100 Ohm
/2
Z0=100 Ohm
/2
Z0=100 Ohm
/2
RES
ID=R2
R=100 Ohm
Si noti come vari possibili ragionamenti che sfruttano la trasparenza dei tratti in mezza lunghezza d’onda ma che non
utilizzano la simmetria per sezionare il circuito, restituiscono talvolta risultati giusti per motivi sbagliati. Si può
verificare questo considerando un problema con valori numerici diversi (sostituendo tutti i tratti in mezza lunghezza
d’onda con tratti in quarto d’onda) e sapendo che l’impedenza corretta da ottenere è infinita. I metodi sopraesposti
restituiscono il risultato corretto, ma altri metodi apparentemente corretti danno ancora 50 Ohm…
5) Fino a che frequenza (approssimativa) possiamo usare un cavo coassiale in regime monomodale se ha raggio interno
pari 1 mm , impedenza caratteristica di 50 , ed è riempito di un materiale con costante dielettrica r=4.0?
Soluzione: Prima cosa calcoliamo il raggio esterno. Usando l'espressione per l'impedenza caratteristica del cavo
coassiale, si ha Z 0

R
1
ln e
2 Ri
kc  2 /( ri  re ) da cui fc=


, da cui il raggio esterno è 5.3mm. A questo punto ricordiamo che
2
=7.57GHz
2  (ri  re )

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