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Appunti di calcolo integrale

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Appunti di calcolo integrale
parte I
prof. Paolo Sarti
Liceo Scientifico “A. Volta” - Milano
18 aprile 2014
Il calcolo integrale
Il calcolo integrale si sviluppa seguendo due linee:
1
Ricerca delle primitive di una funzione (integrazione indefinita)
2
Calcolo di aree di regioni curvilinee (integrazione definita).
prof. Paolo Sarti
Appunti di calcolo integrale
Il calcolo integrale
L’integrale indefinito:
Z
f (x) dx = F (x) + k
`e un insieme di funzioni.
prof. Paolo Sarti
Appunti di calcolo integrale
Il calcolo integrale
L’integrale definito:
b
Z
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
`e un numero reale.
prof. Paolo Sarti
Appunti di calcolo integrale
L’operatore derivata
L’azione dell’operatore D sulla funzione f (x) genera f 0 (x),
cio`e la funzione derivata di f (x).
Poich´e f 0 (x) `e unica, l’operatore D `e univoco.
prof. Paolo Sarti
Appunti di calcolo integrale
L’operatore primitiva
L’operatore inverso di D, applicato alla funzione f 0 (x) genera
tutte le funzioni
la cui derivata `e f 0 (x), e si chiama operatore
R
primitiva ( )
Poich´e funzioni che differiscono
per una costante hanno la
R
stessa derivata, l’operatore non `e univoco.
prof. Paolo Sarti
Appunti di calcolo integrale
L’operatore primitiva
Definizione
Si dice che una funzione y = F (x) `e una primitiva di y = f (x) se:
F 0 (x) = f (x).
prof. Paolo Sarti
Appunti di calcolo integrale
L’operatore primitiva
Le seguenti affermazioni sono equivalenti:
f 0 (x) `e la derivata di f (x)
f (x) `e una primitiva di f 0 (x).
Ma perch´e “una” e non “la” primitiva?
Perch´e la primitiva di una funzione non `e unica.
prof. Paolo Sarti
Appunti di calcolo integrale
L’operatore primitiva
Esempio:
Le funzioni: x 2 , x 2 − 3 e x 2 +
derivata:
√
2 hanno tutte la stessa
Dx 2 = D(x 2 − 3) = D(x 2 +
√
2) = 2x.
In modo equivalente, la funzione y = 2x ammette come
primitive tutte le funzioni precedenti. E pi`
u in generale:
Z
2x dx = x 2 + k, ∀k ∈ R.
prof. Paolo Sarti
Appunti di calcolo integrale
L’integrale indefinito
Una funzione che ammetta primitive si dice integrabile.
Una funzione integrabile ammette infinite primitive, che
differiscono per una costante.
L’integrale indefinito di una funzione `e l’insieme di tutte le sue
primitive:
Z
f (x) dx = {F (x) + k}k∈R .
prof. Paolo Sarti
Appunti di calcolo integrale
L’integrale indefinito: nomenclatura
Z
f (x) dx = F (x) + k.
R
: segno di integrale
f (x): funzione integranda
f (x)dx: integrando
d: differenziale
F (x): una primitiva di f (x)
k: costante additiva.
prof. Paolo Sarti
Appunti di calcolo integrale
L’integrale indefinito
Teorema
La derivata di un integrale indefinito `e uguale alla funzione
integranda:
Z
D f (x) dx = f (x).
Infatti:
Z
D
f (x) dx = D {F (x) + k} = F 0 (x) + 0 = f (x).
prof. Paolo Sarti
Appunti di calcolo integrale
L’integrale indefinito
Teorema
Il differenziale di un integrale indefinito `e uguale all’integrando:
Z
d f (x) dx = f (x) dx.
Infatti:
Z
d f (x) dx = d {F (x) + k} = F 0 (x) dx + 0 dx = f (x) dx.
prof. Paolo Sarti
Appunti di calcolo integrale
L’integrale indefinito
Teorema
L’integrale indefinito del differenziale di una funzione `e uguale alla
funzione, a meno di una costante additiva:
Z
df (x) = f (x) + k.
Infatti:
Z
Z
df (x) =
f 0 (x) dx = f (x) + k.
prof. Paolo Sarti
Appunti di calcolo integrale
L’integrale indefinito: propriet`a
omogeneit`a:
Z
Z
k · f (x) dx = k ·
additivit`a:
Z
f (x) dx
Z
[f (x) + g (x)] dx =
prof. Paolo Sarti
Z
f (x) dx +
g (x) dx.
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L’integrale indefinito: propriet`a
linearit`a (omogeneit`a + additivit`a):
Z
Z
Z
[k · f (x) + µ · g (x)] dx = k · f (x) dx + µ · g (x) dx.
prof. Paolo Sarti
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L’integrale indefinito: primitive elementari
Z
0 dx = k.
Z
Z
1 dx =
Z
x α dx =
dx = x + k.
x α+1
+ k,
α+1
prof. Paolo Sarti
α 6= −1.
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L’integrale indefinito: primitive elementari
Poich´e D(x α+1 ) = (α + 1)x α , integrando ambo i membri si ha:
Z
Z
Z
α+1
α
D(x
) dx = (α + 1)x dx = (α + 1) x α dx;
nell’ultimo passaggioRsi `e usata la propriet`a di omogeneit`a.
Ricordando che D e sono l’uno l’inverso dell’altro e dividendo
ambo i membri per α + 1, si ha la tesi:
Z
x α+1
x α dx =
+ k, α 6= −1.
α+1
prof. Paolo Sarti
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L’integrale indefinito: primitive elementari
Z
sin x dx = − cos x + k.
Z
cos x dx = sin x + k.
Z
dx
= tan x + k.
cos2 x
Z
−
dx
= cot x + k.
sin2 x
prof. Paolo Sarti
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L’integrale indefinito: primitive elementari
Z
Z
√
dx
= arcsin x + k.
1 − x2
−√
Z
dx
= arccos x + k.
1 − x2
dx
= arctan x + k.
1 + x2
prof. Paolo Sarti
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L’integrale indefinito: primitive elementari
Z
Z
ax dx =
ax
+ k.
ln a
dx
= ln |x| + k.
x
prof. Paolo Sarti
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Metodi d’integrazione indefinita
1
integrazione immediata
2
integrazione per sostituzione
3
integrazione per parti
4
integrazione di funzioni razionali
5
integrazione di funzioni irrazionali
prof. Paolo Sarti
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