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Comportamento di modelli tensintegri accoppiati di strutture cellulari

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Rivista Italiana di Acustica
Vol. 38 (2014), N. 2, pp. 27-37
ISSN: 2385-2615
www.acustica-aia.it
COMPORTAMENTO DI MODELLI TENSINTEGRI ACCOPPIATI DI
STRUTTURE CELLULARI
BEHAVIOR OF COUPLED TENSEGRITY CELL MODELS
Daniela Seppia *, Angelo Biagioni, Adriano Alippi
Dipartimento di scienze di base e applicate per l’ingegneria - Università di Roma ‘‘La
Sapienza’’
* Indirizzo dell’autore di riferimento – Corresponding author’s address:
Via D. Cucchiari 46 - 00159, Roma, Italia
e-mail: [email protected]
(Ricevuto il 24/09/2014, accettato il 28/10/2014)
RIASSUNTO
I sistemi tensegrity sono costituiti da una serie discontinua di componenti compressi inseriti
in un continuum di componenti tesi. Numerose sono le analogie strutturali e fenomenologiche
tra cellula e modelli tensegrity, i quali risultano utili per approfondire come l’applicazione di
forze meccaniche regoli il comportamento cellulare. A tal proposito si sono studiati i modi
propri vibrazionali di un icosaedro tensegrale e di un sistema di due icosaedri accoppiati,
verificando la natura non lineare dei modelli. L’approccio utilizzato è sia sperimentale che
analitico e i paramenti scelti per caratterizzare i modelli consentono il confronto diretto tra i
risultati ottenuti con entrambi i metodi.
ABSTRACT
Tensegrity systems are commonly described as an ensemble of compression-resistant struts
that do not physically touch one another, but are interconnected by a continuous series of
tension elements. There are many structural and phenomenological similarities between cell and
tensegrity models. Therefore the theory of tensegrity is often used to work out how mechanical
forces rule cell behavior. Eigenmodes of a tensegrity icosahedron and two coupled ones have
been studied and their non-linear nature has been demonstrated. The approach is both
experimental and analytical, and the parameters characterizing the models allow direct
comparison between the results obtained with both methods.
Parole chiave: tensegrity cellulare, tensegrity multimodulare, analisi agli elementi finiti (FEM).
Keywords: cellular tensegrity, multimodular tensegrity, Finite Element Method (FEM).
© Associazione Italiana di Acustica, 2014
Daniela Seppia et. al.
Comportamento di modelli tensintegri accoppiati di strutture cellulari
Behavior of coupled tensegrity cell models
1. Introduzione
I sistemi tensegrali (tensegrity) sono strutture in auto-equilibrio stabile comprendenti
una serie discontinua di componenti compressi (aste) posizionati all’interno di una rete
continua di componenti in tensione (cavi) che delineano il sistema spazialmente
definendone la forma. Il fatto che gli elementi in compressione siano isolati caratterizza
i sistemi tensintegri rispetto alle più comuni strutture che funzionano “per massa” cioè
per resistenza caratteristica del materiale (es. arco di pietra), basate su una continua
compressione di elementi pesanti.
Nascosta nella definizione di struttura tensintegra vi è la sua proprietà fondamentale,
ovvero l’esistenza di uno stato di pre-sollecitazione (prestress) che consente al sistema
di ritrovare il proprio equilibrio anche dopo l’applicazione di forze esterne, secondo la
cosiddetta proprietà di ricerca di forma e di tornare nella configurazione iniziale una
volta eliminata la perturbazione. L’architettura contemporanea ha rappresentato il primo
ambito di applicazione della teoria tensegrale con la realizzazione di costruzioni stabili
in qualsiasi posizione, molto leggere e in grado di offrire una grande resistenza ai
carichi esterni.
In breve tempo queste strutture hanno trovato applicazione anche in altri settori
scientifici, come per esempio l’anatomia e la biologia, costituendo un interessante
strumento per l’analisi del comportamento di una vasta gamma di sistemi naturali come
proteine, virus, cellule e persino il sistema muscolo scheletrico. In questo, le ossa
costituiscono le componenti in compressione mentre muscoli, tendini e legamenti, gli
elementi in tensione prestressati. Infatti, i principi in base ai quali gli elementi
fondamentali della materia organica partecipano al processo di auto-assemblaggio,
dando origine a strutture più stabili e caratterizzate da proprietà diverse da quelle dei
componenti di partenza, possono essere considerati analoghi a quelli su cui si fonda il
concetto stesso della tensegrità [1].
In base a tali considerazioni, ricopre un ruolo fondamentale lo studio del
comportamento dinamico degli elementi tensegrali di base (es. T-icosaedro), attraverso
l’individuazione per essi dei modi propri di vibrazione, propedeutici alla comprensione
del comportamento dei reticoli tensegrali più complessi. I principi su cui si fonda la
teoria tensegrale, infatti, sono validi a qualsiasi scala, permettendo la rappresentazione
di sistemi complessi (es. tessuti, organi, biofilm) generati dall’accoppiamento di
strutture-base (es. cellula).
2. Modello tensegrale della cellula
Le cellule sono strutture estremamente complesse ed organizzate in grado di
rispondere a stimoli interni ed esterni, come variazioni di temperatura, del pH o dei
livelli di ormoni o nutrienti.
Le teorie cellulari attuali concordano nell’affermare che le cellule eucariote
contengono un’intricata rete molecolare, il citoscheletro, all’interno del proprio
citoplasma che conferisce alla cellula resistenza meccanica, rendendola capace di
resistere a distorsioni di forma [2]. Il citoscheletro è un sistema molto dinamico, che
permette alle cellule di cambiare la loro forma e di muoversi attraverso strutture
specializzate quali pseudopodi, ciglia o flagelli, permettendo anche il movimento di
alcuni organuli citoplasmatici che svolgono particolari funzioni essenziali alla
sopravvivenza della cellula. Le componenti fondamentali della complessa rete di
strutture filamentose che costituisce il citoscheletro sono i microfilamenti, i filamenti
intermedi e i microtubuli. Proprio il citoscheletro rappresenta il punto di contatto tra
teoria tensegrale e comportamento cellulare.
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Infatti, grazie agli studi del biologo cellulare Donald E. Ingber si è compreso che
variazioni strutturali dei vari componenti cellulari comportano una modificazione
globale della forma e del comportamento cellulare; per esempio, una diminuzione di
rigidezza e densità della matrice extracellulare (ECM) determina una forma più
rotondeggiante della cellula ma soprattutto influenza la crescita e la differenziazione
cellulare (Tab. 1). Questo avviene secondo il processo della meccanotrasduzione che
descrive proprio la capacità della cellula di rilevare e rispondere agli stimoli meccanici
con risposte di tipo biochimico. Inoltre, un incremento di tensione nei microfilamenti
può comportare un appiattimento della cellula; di conseguenza anche l’esistenza di uno
stato di stress interno (prestress) condiziona la deformabilità cellulare.
Tab. 1 - Controllo della crescita e differenziazione della cellula attraverso
l’alterazione delle caratteristiche meccaniche (rigidezza e densità)
dell’ECM, tratto da [3] – Control of cell growth and differentiation
through the alteration of the ECM mechanical properties (stiffness and
density) taken from [3]
ECM Gel
Malleable
ECM Coating
Rigid
Low Density
High Density
Growth
Differentiation
Sulla base di queste considerazioni, Ingber costruì un modello fisico precompresso,
dunque tensegrale, e verificò che il suo comportamento, in condizione di ancoraggio su
substrato con diverse caratteristiche, poteva considerarsi analogo a quello di una cellula.
Il modello di tensegrity cellulare proposto da Ingber prevede che le forze di trazione
esercitate dai cavi della struttura tensegrale siano dovute ai microfilamenti ed ai
filamenti intermedi e che siano bilanciate dalle forze originatesi dagli elementi che
resistono a compressione. Ovvero i centri di adesione alla matrice cellulare e i
microtubuli, che agiscono come montanti interni [4].
L’applicazione della teoria tensegrale permette di descrivere in termini meccanici
l’organizzazione e la funzione degli elementi contrattile e tensivo del citoplasma, ma
suggerisce anche l’ipotesi che la struttura del citoscheletro possa essere modificata
alterando le forze fisiche che si trasmettono sulla superficie cellulare. Poiché gli enzimi
che intervengono nella crescita cellulare sono attaccati al citoscheletro, variare le
proprietà di quest’ultimo può influenzare le reazioni biochimiche che avvengono a
livello cellulare, permettendo anche alle cellule di intraprendere programmi genetici
differenti.
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3. Tensegrity multimodulare
Il modello tensegrale rimane valido a qualsiasi scala e per questo risulta utile
descrivere la cellula come composta da numerosi, più piccoli, moduli tensegrity autostabilizzati collegati tra loro secondo il modello tensegrale (Fig. 1). Infatti, le cellule
sono meccanicamente accoppiate all’ambiente formando una sorta di catena cinematica
che risponde a sollecitazioni meccaniche esterne. Un esempio è la cellula eucariota cioè
dotata di nucleo, nella quale il modello tensegrale della cellula contiene un nucleo
tensegrale collegato con la superficie cellulare attraverso una serie di elementi tesi.
Attraverso il citoscheletro, la comunicazione meccanica raggiunge anche il nucleo;
questa serie di connessioni agisce cambiando la forma della cellula e quindi le proprietà
fisiologiche. Attraverso la teoria tensegrale multimodulare è possibile modellizzare
anche sistemi più complessi come biofilm, tessuti o organi; i tessuti, in generale, sono
costituiti da numerose cellule che si oppongono continuamente alle forze di
compressione o trazione generate dalle cellule vicine, ad esse meccanicamente
accoppiate.
Fig. 1 - Modello di una struttura tensegrale multi modulare del citoscheletro
contenente lunghi microtubuli (gialli), che collegano e stabilizzano la
continua rete comprendente microfilamenti (blu), tratto da [5] – Multimodular tensegrity cytoskeleton model containing long microtubules
(yellow), that link and stabilize a continuous network of microfilaments
(blu), taken from [5]
Diviene, quindi, di grande interesse considerare come mutino le condizioni di un
sistema quando, da libero e isolato che lo si consideri inizialmente, viene accoppiato ad
altri sistemi simili; utilizzando la teoria tensegrale è possibile applicare modelli
matematici semplici a sistemi accoppiati complessi.
4. Icosaedro tensegrale
Il modello dell’icosaedro tensegrale, o ottaedro espanso, studiato da Ingber è
sicuramente quello che meglio approssima la geometria cellulare e per questo il più
diffuso per la sua modellizzazione. Questa particolare struttura può essere realizzata
mediante sei aste rigide (puntoni), non in contatto tra di loro, e ventiquattro elementi
elastici, collegati agli estremi delle aste. Le aste, a due a due parallele a una distanza
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eguale, sono disposte suddivise in tre coppie, le aste di ogni coppia essendo ortogonali a
quelle delle altre due. A ogni vertice dell’icosaedro tensegrale si trova l’estremo di un
puntone e quattro diversi tiranti ma nessuna asta condivide un vertice con una delle altre
aste (Fig. 2). Nel parallelo tra icosaedro tensegrale e cellula, le aste soggette a
compressione dell’icosaedro rappresentano i microtubuli mentre gli elastici in tensione
rappresentano i microfilamenti e i filamenti intermedi. Lo stato di pre-sollecitazione
viene realizzato mediante l’azione congiunta delle forze di trazione che agiscono sugli
elementi elastici.
L’icosaedro tensegrale rappresenta la struttura di maggiore interesse ai fini della
modellizzazione cellulare in quanto rimane uno tra i modelli più semplici, mantenendo
le caratteristiche essenziali osservate in strutture con diverso numero di elementi e
mimando molti fenomeni osservati nelle cellule viventi, tra i quali l’effetto
dell’adesione al substrato sulla forma della cellula, la polarità cellulare e il conseguente
rimodellamento del citoscheletro. Anche per questo viene spesso adottato come modello
nella rappresentazione gerarchica di moduli tensegrali di diversa dimensione
Fig. 2 - T-icosaedro - T-icosahedron
5. Simulazione e analisi sperimentale
Si è analizzata la risposta in frequenza di un singolo icosaedro e di un sistema di
oscillatori accoppiati costituiti da due icosaedri tensegrali connessi tra loro, utilizzando
due differenti approcci, uno sperimentale e l’altro numerico basato su una
modellizzazione agli elementi finiti. I parametri caratterizzanti i modelli sopraelencati
sono stati scelti in maniera tale da permettere il confronto dei risultati ottenuti mediante
simulazioni numeriche con quelli ottenuti mediante misure sperimentali.
5.1 Singolo icosaedro
La modellizzazione agli elementi finiti dell’icosaedro tensegrale è stata realizzata
utilizzando il software di simulazione COMSOL Multiphysics. Sulla base del modello
sperimentale è stata riprodotta la geometria della struttura pre-sollecitata descritta
precedentemente. I materiali utilizzati sono stati appositamente caratterizzati sulla base
delle proprietà meccaniche dei materiali costituenti il modello reale secondo quanto
riportato nella tabella 2.
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Tab. 2 - Proprietà fisiche e meccaniche dei materiali - Physical and mechanical
properties of materials
Caratteristiche fisiche e meccaniche
E (modulo di Young)
ν (coefficiente di Poisson)
ρ (densità)
m (massa)
α (coeff. di espansione termica)
l (lunghezza)
r (raggio)
Aste: PVC
3,5·109 Pa
0,3
1400 kg/m3
0,026 kg
180·10-6 K-1
0,24 m
0,005 m
Elastici: Gomma
1,38·106 Pa
0,35
1300 kg/m3
0,0006 kg
1,2·10-5 K-1
0,15 m
0,001 m
In particolare il cavo elastico utilizzato è costituito da una serie di sottili elastici
aggregati tenuti assieme da una sottile guaina. Realizzato il modello numerico viene
applicata una coppia di forze di eccitazione lungo y simmetricamente disposte a
risultante nulla (per evitare traslazioni del centro di massa del modello) e si ricava
l’ampiezza dello spostamento lungo y di un punto della struttura.
L’analisi della risposta in frequenza consente di individuare un massimo di
vibrazione alla frequenza f1 = 7.6 Hz che corrisponde alla frequenza di risonanza del
sistema (Fig. 3).
a)
Fig. 3 -
b)
Simulazione agli elementi finiti dell’oscillazione del T-icosaedro alla
frequenza f1 = 7.6 Hz (Fig.3a) e ampiezza dello spostamento lungo y di
un punto dell’icosaedro (Fig.3b) - Finite Element simulation of Ticosahedron vibration on frequency f1 = 7.6 Hz (Fig.3a) and Ticosahedron amplitude displacement onto the y axis (Fig.3b)
In corrispondenza della frequenza di risonanza la struttura presenta un caratteristico
moto di vibrazione in cui le aste di ciascuna coppia si muovono in controfase
allontanandosi e avvicinandosi l’una all’altra; gli elevati valori dell’ampiezza di
spostamento degli elementi elastici rilevati tramite simulazioni numeriche sono dovuti a
un cambio del fattore di scala nella rappresentazione grafica.
Dal punto di vista sperimentale, per studiare i modi di vibrazione del T-icosaedro
sono state riprodotte le stesse condizioni imposte nell’analisi agli elementi finiti. La
struttura è sospesa al centro di una delle sei aste, nel punto in cui viene applicata una
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forzante sinusoidale esterna realizzata tramite un oscillatore meccanico. L’oscillatore è
alimentato da un generatore di segnale sinusoidale alla frequenza voluta,
opportunamente amplificato. È stato poi inserito un traguardo ottico inserito sull’asta
parallela a quella eccitata, prendendo in considerazione lo stesso punto usato nella
simulazione numerica. Una radiazione laser colpisce un sottile ago (traguardo ottico)
solidale con l’asta di cui si vuole misurare la vibrazione. L’ago sporge da una delle
estremità dell’asta e quando la struttura è ferma, impedisce al raggio laser di colpire uno
schermo disposto frontalmente al laser e dietro al T-icosaedro (posizione di
riferimento).
Quando la struttura è in moto, l’ago permette periodicamente al raggio laser di
colpire lo schermo. Grazie a un traslatore micrometrico cui è connesso il laser, si riporta
quest’ultimo nella posizione in cui la radiazione laser è nuovamente coperta dall’ago; lo
spostamento necessario letto sul micrometro costituisce una misura dell’ampiezza di
vibrazione di picco dell’asta. Con tale apparato, si effettua una scansione iniziale in
frequenza per individuare le frequenze di risonanza della struttura; nell’intorno di questa
frequenza (6.2-6.7 Hz) l’icosaedro viene eccitato con diversi valori dell’ampiezza della
forzante ricavando, per ciascun valore di eccitazione, il picco di risonanza
corrispondente. In questo modo si ottiene lo spettro di oscillazione del T-icosaedro per
valori dell’ampiezza di oscillazione nell’intervallo 30-160 mVpp (Fig. 4).
Lo spostamento e la flessione del picco all’aumentare dell’ampiezza di eccitazione è
indice di non linearità della struttura; la complessità della struttura non permette di
ricavare il ciclo di isteresi caratteristico della bistabilità, ma la graduale perdita di
simmetria della curva di risonanza all’aumentare dell’ampiezza di eccitazione prelude
un comportamento bistabile della struttura.
Fig. 4 -
Misura sperimentale dell’oscillazione del T-icosaedro in funzione della
frequenza per diversi valori dell’eccitazione - Laboratory measurement
of T-icosahedron oscillation depending on frequency for different loads
5.2 Sistema di due icosaedri accoppiati
Analogamente a quanto fatto per la struttura T-icosaedro, anche lo studio del sistema
di due icosaedri accoppiati è stato effettuato sia per via numerica sia per via
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sperimentale. Il modello è stato costruito accoppiando due moduli, ciascuno dei quali
presenta stesse caratteristiche geometriche, fisiche e meccaniche dell’icosaedro singolo
descritto precedentemente; i due moduli sono stati affiancati l’un l’altro lungo l’asse y e
collegati agli estremi di una coppia di cavi elastici.
Anche in questo caso viene applicato un carico simmetrico ad una coppia di aste
parallele di uno solo dei due icosaedri lungo la direzione dei cavi di collegamento,
normalmente all’asta pilotata. Si è ricavata l’ampiezza della vibrazione lungo y di un
punto su ciascuna delle due aste eccitate (Fig. 5).
Fig. 5 -
Ampiezza dello spostamento lungo y di un punto del sistema di due
icosaedri tensegrali accoppiati - Displacement amplitude onto the y
axis of two coupled T-icosahedra system
In questo caso la curva presenta due massimi di vibrazione: uno in corrispondenza
della frequenza f1 = 7.6 Hz, la stessa emersa per il singolo icosaedro e una in
corrispondenza della frequenza f2 = 12 Hz. A ciascuna delle due frequenze proprie
corrisponde un diverso modo proprio dell’insieme; in particolare, a 7.6 Hz le aste a cui
sono vincolati gli elastici di accoppiamento si muovono in fase così da mantenere
invariata la lunghezza dei connettori mentre a 12 Hz le stesse aste si muovono in
controfase e i connettori risultano massimamente deformati (Fig. 6).
a)
Fig. 6 -
b)
Posizione delle aste del sistema di due icosaedri accoppiati alla
frequenza 7.6 Hz (Fig.6a) e 12 Hz (Fig.6b) (piano y - z) - Location of
two coupled icosahedra system bars at frequencies 7.6 Hz (Fig.6a) and
12 Hz (Fig.6b) (y-z plane)
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Il valore della seconda frequenza propria dipende dalle condizioni di
accoppiamento; in particolare aumentando il valore del modulo di Young degli elastici
connettori il secondo modo proprio si ritrova in corrispondenza di valori sempre
maggiori di frequenza (Fig. 7).
Infatti
f2 =
(1)
1
2π
(Ei cos aedro + 2Econnettori )A
ml
[Hz]
dove:
m è la massa dell’icosaedro [kg];
A è la sezione degli elastici connettori [m2];
l è la lunghezza degli elastici connettori [m];
Eicosaedro è il modulo di Young che caratterizza gli elastici interni all’icosaedro
[Pa];
Econnettori è il modulo di Young che caratterizza gli elastici connettori [Pa].
Fig. 7 -
Aumento della seconda frequenza propria del sistema di due icosaedri
accoppiati al variare del modulo di Young degli elastici connettori –
Increase of the second eigenfrequency of two coupled icosahedra upon
varying of connectors Young’s modulus
L’apparato adottato per eseguire le prove sperimentali sui due icosaedri accoppiati è
lo stesso usato per il singolo icosaedro. Coerentemente con le simulazioni numeriche
anche il modello sperimentale presenta due frequenze proprie. In questo caso, si valuta
il massimo di oscillazione della struttura per entrambe le frequenze proprie
all’aumentare dell’ampiezza del segnale di eccitazione, nell’intervallo di frequenze 8.49.5 Hz per la prima frequenza propria e 14-14.5 Hz per la seconda frequenza propria
(Fig. 8).
Anche in questo caso non si è rilevato alcun ciclo di isteresi ma la flessione del
picco di risonanza induce a pensare ad un comportamento bistabile della struttura.
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a)
Fig. 8 -
b)
Variazione della prima (Fig.8a) e della seconda (Fig.8b) frequenza
propria del sistema di due icosaedri accoppiati per diversi valori
dell’ampiezza di eccitazione - Variation of the first (Fig.8a) and second
(Fig.8b) eigenfrequency values in the case of a two coupled icosahedra
system for different values of the load amplitude
Conclusioni
Sono state eseguite un’analisi numerica agli elementi finiti ed un’analisi
sperimentale su due modelli differenti: un singolo icosaedro tensegrale e due icosaedri
tensegrali accoppiati. Le misurazioni teoriche condotte sui modelli hanno fornito per un
singolo icosaedro il valore della frequenza di risonanza pari a 7.6 Hz mentre per due
icosaedri accoppiati la prima frequenza propria è risultata pari a f1 = 7.6 Hz, la seconda
frequenza propria si è rilevata per f2 = 12 Hz.
L’analisi sperimentale ha messo in evidenza la natura non lineare dei modelli
studiati, mostrando una dipendenza della frequenza di risonanza dall’ampiezza di
eccitazione e preludendo un comportamento bistabile degli stessi.
Summary
The purpose of this work is to perform a Finite Element and laboratory analysis on
two different models (a single T-icosahedron and a system of two coupled icosahedra)
in order to find their eigenfrequencies. The measurements conducted on theoretical
models have provided for a single icosahedron the value of eigenfrequency on 7.6 Hz,
while for two coupled icosahedra the first eigenfrequency is on 7.6 Hz, the second one
is 12 Hz.
The laboratory analysis has highlighted the dependence of resonance frequency on
loads amplitude. This behavior is a sign of structures non-linear and bi-stable nature.
Bibliografia
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