CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/ControlliAutomaticiGestionale.htm ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE Ing. Luigi Biagiotti Tel. 051 20939903 e-mail: [email protected] http://www-lar.deis.unibo.it/~lbiagiotti Stabilità e sistemi in retroazione • Schema di riferimento: + - + - Condizione necessaria e sufficiente per l’asintotica stabilità del sistema di controllo in retroazione è che l’equazione caratteristica abbia tutte le radici con parte reale negativa Luigi Biagiotti Controlli Automatici Introduzione -- 2 Stabilità e sistemi in retroazione • Obiettivo: dedurre conclusioni sulla stabilità robusta del sistema in retroazione dallo studio nel domino della frequenza della funzione ad anello aperto Criterio di Bode (caso particolare del criterio di Nyquist) Importanza del risultato: 1. Dalla lettura di un solo punto del diagramma di Bode di si deduce la stabilità o meno del sistema chiuso in retroazione F(s). 2. Possibilità di ottenere misure sulla robustezza della stabilità del sistema in retro a fronte di incertezze sul diagramma dei moduli e delle fasi di . Luigi Biagiotti Controlli Automatici Introduzione -- 3 Margini di stabilità Margine di ampiezza 0dB Margine di fase MA 0° -90° MF -180° ω Luigi Biagiotti Controlli Automatici Introduzione -- 4 Stabilità: Criterio di Bode • Ipotesi • L(s) non ha poli a parte reale positiva il criterio vale solo per sistemi stabili L(s) abbia guadagno statico > 0 (L(0)>0) altrimenti la retroazione diventa positiva Tesi condizione necessaria e sufficiente per l'asintotica stabilità del sistema in retroazione è che il Margine di Fase di L(s) sia > 0 Luigi Biagiotti Controlli Automatici Introduzione -- 5 Stabilità e Diagrammi di Bode • Margine di fase e stabilità • margine di fase • proprietà del sistema in catena aperta lo smorzamento della risposta del sistema chiuso in retroazione unitaria dipende dal margine di fase se esiste almeno una frequenza ω0 alla quale la fase è -180° il guadagno è maggiore di uno il sistema chiuso in retroazione unitaria è instabile. yref e R(s) u G(s) y - ϕ = -180° Luigi Biagiotti Controlli Automatici Introduzione -- 6 Stabilità: Criterio di Bode • Motivazione intuitiva: + - • Frequenza critica: (se l’ingresso ha una componente frequenziale allora questa componente viene sfasata dal sistema di -180° e quindi entra in fase con ). • Condizione di Bode (suff.): se (e quindi anche , tralasciando i casi patologici) allora la componente a frequenza viene smorzata dal sistema. • Condizione di Bode (necc.): se (e quindi anche tralasciando i casi patologici) allora la componente viene amplificata dal sistema. Luigi Biagiotti Controlli Automatici , Analisi Freq. -- 8 Stabilità robusta Margine di ampiezza Misura di robustezza della stabilità 0dB rispetto ad incertezze sul guadagno di anello. Rappresenta la massima variazione del guadagno di anello che non pregiudica la stabilità 0° Margine di fase MA -90° Misura di robustezza della stabilità MF rispetto ad incertezze sulla fase -180° della funzione d'anello. Rappresenta la massima variazione ω di fase nell'anello che non vanno considerati entrambi pregiudica la stabilità Luigi Biagiotti Controlli Automatici Introduzione -- 7 Relazioni tra rappresentazioni diverse • Caratterizzazione frequenziale della risposta di sistemi in retroazione margine di fase basso adeguato guadagno bassa frequenza adeguato basso 1 bassa alta banda passante basse frequenze t alte frequenze Luigi Biagiotti Controlli Automatici Introduzione -- 8 Funzione di sensitività complementare • Relazione tra F(j ) e la f.d.t. di anello L(j ) • Il sistema in retroazione approssima un filtro passa basso a guadagno unitario possiede quindi poli dominanti nell'intorno di c il numero dipende dalla pendenza della L(j ) in • il suo comportamento si mantiene anche se il sistema in catena aperta cambia le sue caratteristiche se la pendenza è -1 avremo un solo polo dominante reale se la pendenza è -2 avremo una coppia di poli dominanti = c lo smorzamento dipende dal margine di fase L 0dB F (con espresso in gradi) c Controlli Automatici Analisi e Sintesi Frequenziale -- 9 Risultato fondamentale • Smorzamento del sistema in retroazione e margine di fase Regola empirica: Se il margine di fase (sistema in catena aperta) è < di 75° il sistema in retroazione avrà poli complessi coniugati L'analisi della funzione di sensitività complementare ci consente di mettere in relazione proprietà della funzione di trasferimento di anello (margine di fase e pulsazione di attraversamento) con la pulsazione naturale e lo smorzamento dei poli dominanti del sistema in retroazione Abbiamo stabilito un importantissimo legame tra Analisi in catena aperta Proprietà del sistema in retroazione ATTENZIONE: La funzione di sensitività complementare descrive anche la relazione tra il rumore di misura n e l'uscita ⇒ rumori di misura in banda sono trasferiti senza attenuazione all'uscita Luigi Biagiotti Controlli Automatici Introduzione -- 10 funzione di sensitività - S(s) • Relazione con la f.d.t. di anello L(jω) ⏐L⏐ 0dB il modulo di S(jω) appare simile a quello di un filtro passa alto con pulsazione di taglio ≡ ωc ⏐S⏐ ωc ω • l'attenuazione dei disturbi si mantiene elevata per tutte le pulsazioni per cui L(jω) >> 1 • le componenti armoniche dei disturbi > di ωc non sono attenuate • possiede gli stessi poli dominanti di F(jω) nell'intorno di ωc Luigi Biagiotti Controlli Automatici Introduzione -- 12 Relazione tra specifiche e proprietà di L(s) • Nell’analisi dei sistemi in retro si è visto come le specifiche sia statiche che dinamiche sul sistema in retroazione possano essere tradotte (in maniera approssimata) in specifiche sulla funzione di anello. • Il problema del controllo che rende soddisfatte le specifiche per il sistema in retroazione può quindi essere trasformato in un problema di progetto di L(s) Luigi Biagiotti Controlli Automatici Introduzione -- 14 Stabilità robusta • Alti margine di fase e di ampiezza danno garanzia di buona robustezza a fronte di incertezze sulla funzione di risposta armonica d’anello (sia in termini di incertezze sul modulo che sulla fase) Lower bound su Mf e Ma Luigi Biagiotti Controlli Automatici Introduzione -- 15 Specifiche dinamiche • Usualmente date in termini di tempo di assestamento e sovraelongazione percentuale massima nella risposta al gradino • È possibile trasformare (in maniera approssimata) le specifiche dinamiche in specifiche frequenziali su L(jω) Se la funzione d’anello L(jω) è caratterizzata da una pulsazione di attraversamento ωc e un margine di fase Mf allora è lecito aspettarsi che la coppia dei poli c.c. dominanti del sistema in retroazione sia caratterizzata da Luigi Biagiotti Controlli Automatici Introduzione -- 19
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