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10a Biagiotti - AnalisiSintesiFrequenziale - E

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CONTROLLI AUTOMATICI
Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa
http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/ControlliAutomaticiGestionale.htm
ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO
NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE
Ing. Luigi Biagiotti
Tel. 051 20939903
e-mail: [email protected]
http://www-lar.deis.unibo.it/~lbiagiotti
Stabilità e sistemi in retroazione
•
Schema di riferimento:
+
-
+
-
Condizione necessaria e sufficiente per l’asintotica stabilità del
sistema di controllo in retroazione è che l’equazione caratteristica
abbia tutte le radici con parte reale negativa
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
Introduzione -- 2
Stabilità e sistemi in retroazione
•
Obiettivo: dedurre conclusioni sulla stabilità robusta del sistema in
retroazione dallo studio nel domino della frequenza della funzione ad
anello aperto
Criterio di Bode
(caso particolare del criterio di Nyquist)
Importanza del risultato:
1. Dalla lettura di un solo punto del diagramma di Bode di
si
deduce la stabilità o meno del sistema chiuso in retroazione F(s).
2. Possibilità di ottenere misure sulla robustezza della stabilità del
sistema in retro a fronte di incertezze sul diagramma dei moduli e
delle fasi di
.
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
Introduzione -- 3
Margini di stabilità
Margine di ampiezza
0dB
Margine di fase
MA
0°
-90°
MF
-180°
ω
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
Introduzione -- 4
Stabilità: Criterio di Bode
•
Ipotesi
„
„
•
L(s) non ha poli a parte reale positiva
„ il criterio vale solo per sistemi stabili
L(s) abbia guadagno statico > 0 (L(0)>0)
„ altrimenti la retroazione diventa positiva
Tesi
„ condizione necessaria e sufficiente per
l'asintotica stabilità del sistema in retroazione
è che il Margine di Fase di L(s) sia > 0
Luigi Biagiotti
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Introduzione -- 5
Stabilità e Diagrammi di Bode
• Margine di fase e stabilità
• margine di fase
„
„
•
proprietà del sistema in catena aperta
lo smorzamento della risposta del sistema chiuso in retroazione
unitaria dipende dal margine di fase
se esiste almeno una frequenza ω0 alla quale
„
„
la fase è -180°
il guadagno è maggiore di uno
„ il
sistema chiuso in retroazione unitaria è
instabile.
yref
e
R(s)
u
G(s)
y
-
ϕ = -180°
Luigi Biagiotti
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Introduzione -- 6
Stabilità: Criterio di Bode
•
Motivazione intuitiva:
+
-
•
Frequenza critica:
(se l’ingresso
ha una componente
frequenziale
allora questa componente viene sfasata dal
sistema di -180° e quindi entra in fase con
).
•
Condizione di Bode (suff.): se
(e quindi anche
,
tralasciando i casi patologici) allora la componente a frequenza
viene smorzata dal sistema.
•
Condizione di Bode (necc.): se
(e quindi anche
tralasciando i casi patologici) allora la componente
viene
amplificata dal sistema.
Luigi Biagiotti
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,
Analisi Freq. -- 8
Stabilità robusta
Margine di ampiezza
Misura di robustezza della stabilità 0dB
rispetto ad incertezze sul guadagno
di anello.
Rappresenta la massima variazione
del guadagno di anello che non
pregiudica la stabilità
0°
Margine di fase
MA
-90°
Misura di robustezza della stabilità
MF
rispetto ad incertezze sulla fase
-180°
della funzione d'anello.
Rappresenta la massima variazione
ω
di fase nell'anello che non
vanno considerati entrambi
pregiudica la stabilità
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Introduzione -- 7
Relazioni tra rappresentazioni diverse
•
Caratterizzazione frequenziale della risposta di sistemi in retroazione
margine di fase
basso
adeguato
guadagno bassa frequenza
adeguato
basso
1
bassa
alta banda passante
basse frequenze t
alte frequenze
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Introduzione -- 8
Funzione di sensitività complementare
•
Relazione tra F(j ) e la f.d.t. di anello L(j )
• Il sistema in retroazione

approssima un filtro passa basso a guadagno unitario



possiede quindi poli dominanti nell'intorno di c
il numero dipende dalla pendenza della L(j ) in

•
il suo comportamento si mantiene anche se il sistema in catena
aperta cambia le sue caratteristiche

se la pendenza è -1 avremo un solo polo dominante reale
se la pendenza è -2 avremo una coppia di poli dominanti
=
c
lo smorzamento dipende dal margine di fase
L
0dB
F
(con
espresso in gradi)
c
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Analisi e Sintesi Frequenziale -- 9
Risultato fondamentale
• Smorzamento del sistema in retroazione e margine di fase
Regola empirica:
Se il margine di fase (sistema in catena aperta) è < di 75° il
sistema in retroazione avrà poli complessi coniugati
L'analisi della funzione di sensitività complementare ci consente
di mettere in relazione proprietà della funzione di trasferimento
di anello (margine di fase e pulsazione di attraversamento) con
la pulsazione naturale e lo smorzamento dei poli dominanti del
sistema in retroazione
Abbiamo stabilito un importantissimo legame tra
Analisi in catena aperta
Proprietà del sistema in retroazione
ATTENZIONE: La funzione di sensitività complementare descrive
anche la relazione tra il rumore di misura n e l'uscita
⇒ rumori di misura in banda sono trasferiti senza attenuazione
all'uscita
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Controlli Automatici
Introduzione -- 10
funzione di sensitività - S(s)
•
Relazione con la f.d.t. di anello L(jω)
⏐L⏐
0dB
il modulo di S(jω) appare simile
a quello di un filtro passa alto
con pulsazione di taglio ≡ ωc
⏐S⏐
ωc
ω
• l'attenuazione dei disturbi si mantiene elevata per tutte le
pulsazioni per cui L(jω) >> 1
• le componenti armoniche dei disturbi > di ωc non sono
attenuate
• possiede gli stessi poli dominanti di F(jω) nell'intorno di ωc
Luigi Biagiotti
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Introduzione -- 12
Relazione tra specifiche e proprietà di L(s)
• Nell’analisi dei sistemi in retro si è visto come le specifiche
sia statiche che dinamiche sul sistema in retroazione
possano essere tradotte (in maniera approssimata) in
specifiche sulla funzione di anello.
•
Il problema del controllo che rende soddisfatte le
specifiche per il sistema in retroazione può quindi essere
trasformato in un problema di progetto di L(s)
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Introduzione -- 14
Stabilità robusta
•
Alti margine di fase e di ampiezza danno garanzia di buona
robustezza a fronte di incertezze sulla funzione di risposta
armonica d’anello (sia in termini di incertezze sul modulo che
sulla fase)
Lower bound su Mf e Ma
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Introduzione -- 15
Specifiche dinamiche
•
Usualmente date in termini di tempo di assestamento e
sovraelongazione percentuale massima nella risposta al
gradino
•
È possibile trasformare (in maniera approssimata) le specifiche
dinamiche in specifiche frequenziali su L(jω)
Se la funzione d’anello L(jω) è caratterizzata da una pulsazione di
attraversamento ωc e un margine di fase Mf allora è lecito aspettarsi che
la coppia dei poli c.c. dominanti del sistema in retroazione sia
caratterizzata da
Luigi Biagiotti
Controlli Automatici
Introduzione -- 19
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