Il matematico impertinente di Piergiorgio Odifreddi professore ordinario di logica matematica all’Università di Torino e visiting professor alla Cornell University di Ithaca (New York) Gli strumenti del geometra Per risolvere problemi di geometria si usano funi, righe, compassi ed equazioni 18 Le Scienze 549 maggio 2014 Werner Forman/Werner Forman/Corbis S ulla riva occidentale del Nilo, a Luxor, tra le varie tichità per risolvere problemi insolubili con riga e compasso. Ma tombe dei funzionari c’è quella di Menna, «scriba dei il passo decisivo in questa direzione fu effettuato da Cartesio in campi del Signore delle Due Terre», che risale circa al La Geometria, del 1637, che segna la data di nascita della geome1400 a.C. Nelle sue decorazioni si osservano in azione tria algebrica, cioè dell’uso dell’algebra per la soluzione di problei primi geometri della storia, in entrambi i sensi della mi geometrici. Il metodo di Cartesio equivale a permettere in geometria l’uso parola: l’agrimensore e il matematico. In greco geometria significava infatti «agrimensura», e in egiziano i praticanti di quest’arte di curve algebriche di grado qualunque, che possono essere classificate in base al loro grado: per esempio la retta è di primo gravenivano chiamati harpedonaptai, «tenditori di funi». La corda tesa era uno strumento molto versatile, che poteva al- do, le sezioni coniche di secondo, la cissoide di terzo e la concoide lo stesso tempo servire da riga e compasso. Con essa si poteva di quarto. E Newton mostrò che l’uso della sola concoide permetdunque effettuare tutta la geometria descritta da Euclide nei suoi te di risolvere tutti i problemi che si possono tradurre in equazioni fino al quarto grado: in particolaElementi, che per motivi estetici e re, tutti quelli che erano risolubili filosofici si limitavano appunto almediante riga graduata e compasle costruzioni effettuabili con riga so collassabile o mediante sezioni e compasso. coniche. Ma bastava essere «(in)tenditoMa anche la geometria carteri di funi» per andare oltre Euclide, siana aveva serie limitazioni, pere risolvere per esempio il famoso ché la rappresentazione algebrica problema della trisezione dell’andi una curva non rispecchia la sua golo, che oggi sappiamo insolubicomplessità geometrica. Per esemle usando solo gli strumenti claspio l’equazione di una parabola sici. Dato un angolo, infatti, basta (y = ax2) è più semplice di quella costruire con una fune un arco di circonferenza corrispondente, tendi un cerchio (x2 + y2 = r2), ma un derlo, trisecare il segmento ottecerchio è più facile da costruire di nuto (cosa che si può fare con riuna parabola. Oppure, curve come ga e compasso), e ridisporlo lungo la spirale di Archimede o la cicloil’arco di circonferenza. de di Galileo sono facili da generaPoiché la riga euclidea non è re meccanicamente, ma impossibili graduata e il compasso euclideo da esprimere algebricamente. collassa non appena lo si alza dal Newton propose dunque di foglio, i due strumenti classici fucompiere l’ultimo passo e di arrirono potenziati nella riga graduavare alla geometria analitica, che ta e nel compasso non collassa- Origini. Scena di agricoltura nella Tomba di Menna, in Egitto, permette l’uso di curve analitiche bile, che permettono di riportare qualunque, e la giustificò come la si noti la fune dell’uomo a sinistra usata per l’agrimensura. segmenti di una data lunghezza in naturale estensione della geomeuna data direzione. E Archimede scoprì che anche con questi stru- tria classica mediante processi al limite. Per esempio, poiché 1/3 è menti si può facilmente effettuare la trisezione dell’angolo. uguale alla somma della serie infinita 1/2 meno 1/4 più 1/8 meno Poiché il compasso permette l’uso dei cerchi, un altro modo di 1/16, e così via, la trisezione dell’angolo diventa semplicemente il potenziare la geometria euclidea fu di permettere anche l’uso del- limite di una serie infinita di successive bisezioni. le altre sezioni coniche: cioè ellisse, parabola e iperbole. Queste inL’uso di curve analitiche come la spirale di Archimede o la cifatti non si possono costruire con riga e compasso, ma ammettono cloide di Galileo permette di risolvere problemi insolubili mediancomunque costruzioni naturali: per esempio quella dell’ellisse me- te metodi algebrici, come la famosa quadratura del cerchio. Un diante una corda tesa ancorata ai due fuochi. E Apollonio mostrò problema che, per inciso, si può facilmente risolvere anche con i come si possano usare le sezioni coniche per risolvere problemi in- metodi egizi, tendendo la circonferenza unitaria e costruendo un solubili classicamente, come la solita trisezione dell’angolo. quadrato di lato pari alla radice quadrata della sua metà (cosa che Molte altre curve meno naturali, come la cissoide di Diocle o la si può fare con riga e compasso). A conferma dell’antica sapienza concoide di Nicomede, furono usate in maniera analoga nell’an- del paese delle Due Terre, da cui eravamo partiti.
© Copyright 2024 Paperzz
