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2014 - Dipartimento di Matematica e Informatica

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DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corsi di Laurea in Ingegneria Civile, REA
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 11/02/14
` vietato uscire prima di aver consegnato il compito.
1) Durata della prova: tre ore. E
2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta.
COMPITO A
I
` assegnato l’endomorfismo f : R3 → R3 definito dalle assegnazioni
E

 f (1, 1, 0) = (k + 2, k + 2, k + 1)
f (0, 1, 1) = (k + 1, k + 2, k + 2)
con k parametro reale.

f (1, 0, 1) = (3, 2, 3)
1) Studiare l’endomorfismo f al variare di k determinando in ciascun caso Im f e Kerf .
2) Determinare la controimmagine f −1 (0, 1, −1) al variare di k.
3) Verificare che T = 1 `e un autovalore di f . Discutere, al variare di k, la semplicit`a di f ,
determinando in ogni caso i suoi autospazi.
4) Dato il sottospazio V = {(x, y, z) | x − 2y + z = 0} ⊆ R3 calcolare il sottospazio f (V ) e dire
per quali valori di k si ha f (V ) = V .
II
` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O. ~x, ~y , ~z. u.
E
1) Determinare la circonferenza C passante per i punti A ≡ (1, 0, −1), B ≡ (1, −2, 1), C ≡
(0, 1, −1) e trovarne centro e raggio. Determinare il cilindro Γ che ha vertice Y∞ ≡ (0, 1, 0, 0) e
direttrice C.
2) Sul piano coordinato z = 0 determinare e studiare il fascio φ delle coniche che passano per
O con tangente la retta x + y = 0, per A ≡ (2, 0) e per B ≡ (0, 2). Determinare e descrivere
geometricamente il luogo dei centri di simmetria delle coniche di φ.
3) Studiare la famiglia ψ di quadriche di equazione
ψ : x2 + y 2 − 2hxz + z 2 − 2hy = 0 .
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corsi di Laurea in Ingegneria Civile, REA
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 11/02/14
` vietato uscire prima di aver consegnato il compito.
1) Durata della prova: tre ore. E
2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta.
COMPITO B
I
` assegnato l’endomorfismo f : R3 → R3 definito dalle assegnazioni
E

 f (1, 1, 0) = (h + 1, h + 1, h)
f (0, 1, 1) = (h, h + 1, h + 1)
con h parametro reale.

f (1, 0, 1) = (3, 2, 3)
1) Studiare l’endomorfismo f al variare di h determinando in ciascun caso Im f e Kerf .
2) Determinare la controimmagine f −1 (0, 1, −1) al variare di h.
3) Verificare che T = 1 `e un autovalore di f . Discutere, al variare di h, la semplicit`a di f ,
determinando in ogni caso i suoi autospazi.
4) Dato il sottospazio V = {(x, y, z) | x − 2y + z = 0} ⊆ R3 calcolare il sottospazio f (V ) e dire
per quali valori di h si ha f (V ) = V .
II
` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O. ~x, ~y , ~z. u.
E
1) Determinare la circonferenza C passante per i punti A ≡ (−1, 0, 1), B ≡ (−1, 2, −1), C ≡
(0, −1, 1) e trovarne centro e raggio. Determinare il cilindro Γ che ha vertice Y∞ ≡ (0, 1, 0, 0) e
direttrice C.
2) Sul piano coordinato z = 0 determinare e studiare il fascio φ delle coniche che passano per
O con tangente la retta x + y = 0, per A ≡ (−2, 0) e per B ≡ (0, −2). Determinare e descrivere
geometricamente il luogo dei centri di simmetria delle coniche di φ.
3) Studiare la famiglia ψ di quadriche di equazione
ψ : x2 + y 2 − 2hxy + z 2 − 2hz = 0 .
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corsi di Laurea in Ingegneria Civile, REA
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 25/02/14
` vietato uscire prima di aver consegnato il compito.
1) Durata della prova: tre ore. E
2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta.
COMPITO B
I
Sono assegnati il sottospazio V = L (v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (0, 1, 0, −1), v3 = (0, 0, 1, 1)) e
l’endomorfismo f : V → V dato da:

 f (v1 ) = (h, h + 1, 2, 1)
f (v2 ) = (0, −1, −2, −1)
con h parametro reale.

f (v3 ) = (0, 0, 1, 1)
1) Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso Im f e Ker f .
2) Verificare che f `e semplice e determinare una base di autovettori indipendente dal parametro.
3) Calcolare, al variare di h, la controimmagine f −1 (1, 1, 1, 1) = {v ∈ V | f (v) = (1, 1, 1, 1)}.
4) Nel caso h 6= 0, ±1 caratterizzare gli isomorfismi semplici ϕ : R4 → R4 la cui restrizione a V
induce f
II
` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O. ~x, ~y , ~z. u.
E
1) Dati i punti P1 ≡ (1, 2, 1), P2 ≡ (2, 1, −1) determinare le circonferenze c1 e c2 generate
da questi punti con una rotazione intorno all’asse ~z. Trovare e studiare il cono ed il cilindro
contenenti c1 e c2 .
2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio φ di coniche di equazione
φ : x2 + (h − 1)y 2 − (h + 2)y − 1 = 0.
determinandone in particolare i punti base e le coniche spezzate. Studiare la parabola di φ
determinandone vertice, fuoco, asse e direttrice.
3) Studiare la famiglia di quadriche di equazione
x2 + 2kxy + y 2 − 2kyz − 2kx − 1 = 0
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corsi di Laurea in Ingegneria Civile, REA
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 25/02/14
` vietato uscire prima di aver consegnato il compito.
1) Durata della prova: tre ore. E
2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta.
COMPITO A
I
Sono assegnati il sottospazio V = L (v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (0, 1, 0, −1), v3 = (0, 0, 1, 1)) e
l’endomorfismo f : V → V dato da:

 f (v1 ) = (k − 1, k, 2, 1)
f (v2 ) = (0, −1, −2, −1)
con k parametro reale.

f (v3 ) = (0, 0, 1, 1)
1) Studiare f al variare di k, determinando in ciascun caso Im f e Ker f .
2) Verificare che f `e semplice e determinare una base di autovettori indipendente dal parametro.
3) Calcolare, al variare di k, la controimmagine f −1 (1, 1, 1, 1) = {v ∈ V | f (v) = (1, 1, 1, 1)}.
4) Nel caso k 6= 0, 1, 2 caratterizzare gli isomorfismi semplici ϕ : R4 → R4 la cui restrizione a
V induce f
II
` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O. ~x, ~y , ~z. u.
E
1) Dati i punti P1 ≡ (−1, 2, 1), P2 ≡ (2, −1, −1) determinare le circonferenze c1 e c2 generate
da questi punti con una rotazione intorno all’asse ~z. Trovare e studiare il cono ed il cilindro
contenenti c1 e c2 .
2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio φ di coniche di equazione
φ : x2 + (k − 2)y 2 − (k + 1)y − 1 = 0.
determinandone in particolare i punti base e le coniche spezzate. Studiare la parabola di φ
determinandone vertice, fuoco, asse e direttrice.
3) Studiare la famiglia di quadriche di equazione
y 2 − 2hxz + 2hyz + z 2 − 2hy − 1 = 0
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corsi di Laurea in Ingegneria Civile, Elettronica (P-Z), Informatica, REA
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 11/04/14.
APPELLO STRAORDINARIO
` vietato uscire prima di aver consegnato il compito.
1) Durata della prova: tre ore. E
2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta.
COMPITO B
I
Sono dati in R4 i vettori v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (0, 0, −1, −1), v3 = (1, 0, 0, 1), v4 = (0, 1, 0, 1), e
l’endomorfismo f : R4 → R4 dato dalle seguenti assegnazioni:

f (v1 ) = (h, 0, 0, 2)



f (v2 ) = (−2h, 0, h, 0)
con h parametro reale.
f (v3 ) = (0, 0, 0, 0)



f (v4 ) = (0, 0, h, 0)
1) Studiare f al variare di h, determinando in ciascun caso Ker f e Im f .
2) Calcolare f −1 (v1 ), al variare di h.
3) Discutere la semplicit`a di f al variare di h.
4) Sia V = L (v1 , v2 , v3 ) ⊆ R4 . Verificare che f induce un endomorfismo g : V → V per ogni
valore di h.
5) Discutere la semplicit`a di g al variare di h.
II
` assegnato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, ~x, ~y , ~z, u.
E
1) Dati i vettori ~v = (2, −1, 1) e w
~ = (1, 0, 1), determinare il loro prodotto vettoriale ~v × w
~ e
l’angolo che essi formano. Determinare la retta r perpendicolare ai vettori ~v e w
~ e passante per
P = (1, 0, 0) e calcolare la distanza dell’origine O da r.
2) Sul piano coordinato z = 0 determinare e studiare il fascio di coniche passanti per i punti
A = (1, −1), B = (1, 1), C = (0, 2) e D = (0, −2). Determinare vertice, fuoco, asse di simmetria
e direttrice della parabola del fascio.
3) Determinare e studiare le quadriche contenenti la conica e le rette:
2
x + y2 − 1 = 0
x−1=0
x=0
Γ:
; s:
; t:
.
z=0
y=0
y−1=0
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corsi di Laurea in Ingegneria Civile, Elettronica (P-Z), Informatica, REA
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 11/04/14.
APPELLO STRAORDINARIO
` vietato uscire prima di aver consegnato il compito.
1) Durata della prova: tre ore. E
2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta.
COMPITO A
I
Sono dati in R4 i vettori v1 = (1, 0, 0, 0), v2 = (0, 0, −1, −1), v3 = (1, 0, 0, 1), v4 = (0, 1, 0, 1), e
l’endomorfismo f : R4 → R4 dato dalle seguenti assegnazioni:

f (v1 ) = (−k, 0, 0, 2)



f (v2 ) = (2k, 0, −k, 0)
con k parametro reale.
f (v3 ) = (0, 0, 0, 0)



f (v4 ) = (0, 0, −k, 0)
1) Studiare f al variare di k, determinando in ciascun caso Ker f e Im f .
2) Calcolare f −1 (v1 ), al variare di k.
3) Discutere la semplicit`a di f al variare di k.
4) Sia V = L (v1 , v2 , v3 ) ⊆ R4 . Verificare che f induce un endomorfismo g : V → V per ogni
valore di k.
5) Discutere la semplicit`a di g al variare di k.
II
` assegnato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, ~x, ~y , ~z, u.
E
1) Dati i vettori ~v = (−2, 1, −1) e w
~ = (−1, 0, −1), determinare il loro prodotto vettoriale ~v × w
~
e l’angolo che essi formano. Determinare la retta r perpendicolare ai vettori ~v e w
~ e passante
per P = (0, −1, 1) e calcolare la distanza dell’origine O da r.
2) Sul piano coordinato z = 0 determinare e studiare il fascio di coniche passanti per i punti
A = (−1, 1), B = (−1, −1), C = (0, −2) e D = (0, 2). Determinare vertice, fuoco, asse di
simmetria e direttrice della parabola del fascio.
3) Determinare e studiare le quadriche contenenti la conica e le rette:
2
y + z2 − 1 = 0
y−1=0
y=0
Γ:
; s:
; t:
.
x=0
z=0
z−1=0
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 26/06/14.
` vietato uscire prima di aver consegnato il compito.
1) Durata della prova: tre ore. E
2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta.
COMPITO A
I
Data la matrice

1
 1
A=
 h
h
1
1
h
h
h
h
h
h

h
h 

h 
h
con h parametro reale
si consideri l’endomorfismo f : R4 → R4 dello spazio euclideo R4 associato alla matrice A
rispetto alla base canonica.
1) Studiare l’endomorfismo f al variare di h determinando in ciascun caso Im f e Ker f .
2) Posto V0 = Ker f e W = Im f , verificare che V0 ⊥ W e che V0 ⊕ W = R4 . Verificare che f
induce un endomorfismo semplice f 0 : W → W . Determinare gli autospazi di f 0 .
3) Determinare, al variare di h, la controimmagine f −1 (0, 0, 1, 1).
4) Osservato che f `e semplice, trovare una base di autovettori al variare del parametro h.
II
` assegnato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, ~x, ~y , ~z, u.
E
√
√
2,
0,
2), R ≡
1) Determinare
la
circonferenza
c
passante
per
i
punti
P
≡
(0,
2,
0),
Q
≡
(
√
(1, 2, 1). Trovare centro e raggio di c. Determinare il cilindro che ha vertice Z∞ ≡ (0, 0, 1, 0)
e direttrice c.
2) Sul piano coordinato z = 0 determinare e studiare il fascio φ delle coniche passanti per i
punti O, A ≡ (2, 0), B ≡ (4, 2), C ≡ (0, 2). Trovare asse e vertice della parabola di φ.
3) Studiare la famiglia Q di quadriche di equazione
Q : hx2 − 2xy + (h − 1)y 2 + (h + 1)z 2 − 2x = 0
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 26/06/14.
` vietato uscire prima di aver consegnato il compito.
1) Durata della prova: tre ore. E
2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta.
COMPITO B
I
Data la matrice


−1 −1 k k
 −1 −1 k k 

A=
 k
k k k 
k
k k k
con k parametro reale
si consideri l’endomorfismo f : R4 → R4 dello spazio euclideo R4 associato alla matrice A
rispetto alla base canonica.
1) Studiare l’endomorfismo f al variare di k determinando in ciascun caso Im f e Ker f .
2) Posto V0 = Ker f e W = Im f , verificare che V0 ⊥ W e che V0 ⊕ W = R4 . Verificare che f
induce un endomorfismo semplice f 0 : W → W . Determinare gli autospazi di f 0 .
3) Determinare, al variare di k, la controimmagine f −1 (0, 0, 1, 1).
4) Osservato che f `e semplice, trovare una base di autovettori al variare del parametro k.
II
` assegnato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, ~x, ~y , ~z, u.
E
√ √
2, 2, 0, ), R ≡
1) Determinare
la
circonferenza
c
passante
per
i
punti
P
≡
(0,
0,
2),
Q
≡
(
√
(1, 1, 2). Trovare centro e raggio di c. Determinare il cilindro che ha vertice X∞ ≡ (1, 0, 0, 0)
e direttrice c.
2) Sul piano coordinato z = 0 determinare e studiare il fascio φ delle coniche passanti per i
punti O, A ≡ (−2, 0), B ≡ (−4, −2), C ≡ (0, −2). Trovare asse e vertice della parabola di φ.
3) Studiare la famiglia Q di quadriche di equazione
Q : (h + 1)x2 + hy 2 − 2yz + (h − 1)z 2 − 2y = 0
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 15/07/14.
` vietato uscire prima di aver consegnato il compito.
1) Durata della prova: tre ore. E
2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta.
COMPITO A
I
` assegnato l’endomorfismo f : R3 → R3 definito dalle assegnazioni:
E

 f (1, 0, 0) = (h, 1, 1)
f (1, 1, 0) = (h + 2, h + 2, h + 1)
con h parametro reale.

f (0, −1, 2) = (−4, −3 − h, −h)
1) Studiare l’endomorfismo f al variare di h determinando in ciascun caso Im f e Ker f .
2) Discutere al variare di h la semplicit`a di f .
3) Dati i sottospazi U = {(x, y, z) ∈ R3 | y + z = 0} e V = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y − z = 0}
determinare f (U ), f (V ) e f (U ) + f (V ), al variare di h ∈ R.
4) Detta i : R2 → R3 l’applicazione definita da i(x, y) = (x, 0, y) studiare l’applicazione lineare
g = f ◦ i : R2 → R3 e determinare g −1 (1, h, 0).
II
` assegnato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, ~x, ~y , ~z, u.
E
1) Date le rette
y−1=0
x+1=0
r:
; s:
x−z+1=0
y−z−1=0
dopo avere verificato che esse sono complanari, determinare il piano che le contiene e calcolare
l’angolo individuato dalle due rette.
2) Sul piano coordinato z = 0 determinare e studiare il fascio φ delle coniche tangenti alla retta
t : x + y = 0 nel punto A = (2, −2) ed alla retta u : x − y = 0 nel punto B = (2, 2).
3) Determinare e studiare la totalit`a delle quadriche contenenti la conica di equazioni
2
x − z2 − x + z = 0
y=0
e passante per i punti C = (0, 1, 0), D = (1, 1, 1), E = (1, 1, 0).
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 15/07/14.
` vietato uscire prima di aver consegnato il compito.
1) Durata della prova: tre ore. E
2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta.
COMPITO B
I
` assegnato l’endomorfismo f : R3 → R3 definito dalle assegnazioni:
E

 f (1, 0, 0) = (k − 1, 1, 1)
f (1, 1, 0) = (k + 1, k + 1, k)
con k parametro reale.

f (0, −1, 2) = (−4, −2 − k, 1 − k)
1) Studiare l’endomorfismo f al variare di k determinando in ciascun caso Im f e Ker f .
2) Discutere al variare di k la semplicit`a di f .
3) Dati i sottospazi U = {(x, y, z) ∈ R3 | y + z = 0} e V = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y − z = 0}
determinare f (U ), f (V ) e f (U ) + f (V ), al variare di k ∈ R.
4) Detta i : R2 → R3 l’applicazione definita da i(x, y) = (x, 0, y) studiare l’applicazione lineare
g = f ◦ i : R2 → R3 e determinare g −1 (1, k − 1, 0).
II
` assegnato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale O, ~x, ~y , ~z, u.
E
1) Date le rette
z−1=0
y+1=0
r:
; s:
x−y−1=0
x−z+1=0
dopo avere verificato che esse sono complanari, determinare il piano che le contiene e calcolare
l’angolo individuato dalle due rette.
2) Sul piano coordinato z = 0 determinare e studiare il fascio φ delle coniche tangenti alla retta
t : x + y = 0 nel punto A = (−2, 2) ed alla retta u : x − y = 0 nel punto B = (−2, −2).
3) Determinare e studiare la totalit`a delle quadriche contenenti la conica di equazioni
2
x − y2 − x + y = 0
z=0
e passante per i punti C = (0, 0, 1), D = (1, 1, 1), E = (0, 1, 1).
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 09/09/14.
` vietato uscire prima di aver consegnato il compito.
1) Durata della prova: tre ore. E
2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta.
COMPITO A
I
` data la matrice
E

1
 0
A=
 0
0
0
k
0
k
0
0
k
0

0
k 
 ∈ R4,4
0 
k
con k parametro reale.
1) Nello spazio euclideo R4 si consideri l’endomorfismo ϕ : R4 → R4 associato ad A rispetto
alla base canonica; determinare, al variare del parametro k, Ker ϕ e Im ϕ. Verificare che si ha
Ker ϕ ⊥ Im ϕ.
2) Calcolare, al variare di k, la controimmagine ϕ−1 (1, 0, 1, 0).
3) Verificare che ϕ `e semplice per ogni valore di k e trovare una base ortogonale di autovettori
indipendente dal parametro.
4) Verificare che ϕ induce un isomorfismo ϕ0 : Im ϕ → Im ϕ e che ϕ0 `e semplice.
II
` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O.~x, ~y , ~z.u.
E
1) Sono assegnati la conica C ed un punto V appartenente all’asse ~z, con
z=0
C:
x2 − y 2 = 1
Determinare al variare di V la quadrica che ha vertice V e C per direttrice.
2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio φ di coniche di equazione
φ : (h + 1)x2 + y 2 − 2hx + h − 1 = 0
determinandone in particolare i punti base e le coniche spezzate. Determinare il luogo dei centri
delle coniche di φ.
3) Studiare al variare del parametro k, la famiglia ψ di quadriche di equazione
ψ : 2kxz − y 2 − z 2 + 1 = 0.
Studiare la conica sezione delle quadriche di ψ col piano x − z = 0.
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 09/09/14.
` vietato uscire prima di aver consegnato il compito.
1) Durata della prova: tre ore. E
2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta.
COMPITO B
I
` data la matrice
E

1
 0
A=
 0
0
0
0
h
0
0
h
0
h

0
0 
 ∈ R4,4
h 
0
con h parametro reale.
1) Nello spazio euclideo R4 si consideri l’endomorfismo ϕ : R4 → R4 associato ad A rispetto
alla base canonica; determinare, al variare del parametro h, Ker ϕ e Im ϕ. Verificare che si ha
Ker ϕ ⊥ Im ϕ.
2) Calcolare, al variare di h, la controimmagine ϕ−1 (1, 1, 0, 1).
3) Verificare che ϕ `e semplice per ogni valore di h e trovare una base ortogonale di autovettori
indipendente dal parametro.
4) Verificare che ϕ induce un isomorfismo ϕ0 : Im ϕ → Im ϕ e che ϕ0 `e semplice.
II
` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O.~x, ~y , ~z.u.
E
1) Sono assegnati la conica C ed un punto V appartenente all’asse ~y , con
y=0
C:
x2 − z 2 = 1
Determinare al variare di V la quadrica che ha vertice V e C per direttrice.
2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio φ di coniche di equazione
φ : x2 + (h + 1)y 2 − 2hy + h − 1 = 0
determinandone in particolare i punti base e le coniche spezzate. Determinare il luogo dei centri
delle coniche di φ.
3) Studiare al variare del parametro k, la famiglia ψ di quadriche di equazione
ψ : x2 − 2kxy + z 2 − 1 = 0.
Studiare la conica sezione delle quadriche di ψ col piano x − y = 0.
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 25/09/14.
` vietato uscire prima di aver consegnato il compito.
1) Durata della prova: tre ore. E
2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta.
COMPITO A
I
` dato l’endomorfismo f : R3 → R3 mediante le assegnazioni
E

 f (1, 0, 0) = (h + 1, h, h)
f (1, 0, 1) = (h + 2, h + 1, 2h + 1)
con h parametro reale.

f (0, 1, 2) = (1, 2, h + 2)
1) Studiare l’endomorfismo f al variare di h determinando in ogni caso Ker f e Im f .
2) Verificare che f `e semplice per ogni valore di h e trovare una base di autovettori indipendente
dal parametro.
3) Calcolare, al variare di h, la controimmagine f −1 (1, 1, 1).
4) Dato il sottospazio V = {(x, y, z) | x − y + z = 0} ⊆ R3 , calcolare f (V ), verificare che
f (V ) ⊆ V e precisare per quali valori di h si ha f (V ) = V .
II
` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O.~x, ~y , ~z.u.
E
). Calcolare
1) Determinare la circonferenza c passante per i punti O, A ≡ (2, 2, 2), B ≡ (0, 65 , 12
5
il centro ed il raggio di c. Tra le sfere contenenti c determinare quella di raggio minimo.
2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio φ di coniche di equazione
φ : (λ + µ)x2 − 2(λ − µ)xy + (λ + µ)y 2 − λ − µ = 0.
Determinare il luogo dei centri di simmetria delle coniche di φ.
3) Determinare e studiare le quadriche che contengono le coniche
x−z =0
y=0
C1 :
C2 :
2
2
2x + y − 1 = 0
xz + z 2 − 1 = 0
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 25/09/14.
` vietato uscire prima di aver consegnato il compito.
1) Durata della prova: tre ore. E
2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta.
COMPITO B
I
` dato l’endomorfismo f : R3 → R3 mediante le assegnazioni
E

 f (1, 0, 0) = (k, k − 1, k − 1)
f (1, 0, 1) = (k + 1, k, 2k − 1)
con k parametro reale.

f (0, 1, 2) = (1, 2, k + 1)
1) Studiare l’endomorfismo f al variare di k determinando in ogni caso Ker f e Im f .
2) Verificare che f `e semplice per ogni valore di k e trovare una base di autovettori indipendente
dal parametro.
3) Calcolare, al variare di k, la controimmagine f −1 (1, 1, 1).
4) Dato il sottospazio V = {(x, y, z) | x − y + z = 0} ⊆ R3 , calcolare f (V ), verificare che
f (V ) ⊆ V e precisare per quali valori di k si ha f (V ) = V .
II
` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O.~x, ~y , ~z.u.
E
, 6 , 0). Calcolare
1) Determinare la circonferenza c passante per i punti O, A ≡ (2, 2, 2), B ≡ ( 12
5 5
il centro ed il raggio di c. Tra le sfere contenenti c determinare quella di raggio minimo.
2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio φ di coniche di equazione
φ : λx2 − 2µxy + λy 2 − λ = 0.
Determinare il luogo dei centri di simmetria delle coniche di φ.
3) Determinare e studiare le quadriche che contengono le coniche
x−y =0
z=0
C1 :
C2 :
2
2
2x + z − 1 = 0
x2 + xy − 1 = 0
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 28/11/14.
` vietato uscire prima di aver consegnato il compito.
1) Durata della prova: tre ore. E
2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta.
COMPITO A
I
` dato l’endomorfismo f : R3 → R3 mediante le assegnazioni
E

 f (1, 1, 0) = (h + 2, h + 2, h + 1)
f (1, 0, 1) = (h, 0, 1)
con h parametro reale.

f (0, 1, 2) = (−1, h − 1, h)
1) Studiare l’endomorfismo f al variare di h determinando in ogni caso Ker f e Im f .
2) Dato il sottospazio V = {(x, y, z) | y − z = 0} ⊆ R3 valcolare f (V ), verificare che f (V ) ⊆ V
e precisare per quali valori di h si ha f (V ) = V .
3) Determinare i valori di h per i quali f `e semplice; quando `e possibile determinare una base
di autovettori.
4) Calcolare la controimmagine f −1 (1, 1, 1) al variare di h.
II
` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O.~x, ~y , ~z.u.
E
1) Dati i punti A ≡ (1, 1, 1), B ≡ (3, 3, 3), C ≡ (2, 2, −1) verificare che il triangolo ABC
`e rettangolo in A e trovare l’area del triangolo. Determinare le equazioni della circonferenza
passante per A, B, C.
2) sul piano coordinato z = 0 determinare:
• la circonferenza c passante per i punti O, (0, 2), (−1, 1);
• la parabola p avente per asse l’asse ~y e passante per i punti (1, 1), (2, 4).
Studiare il fascio di coniche φ generato da c e da p, deteminandone in particolare i punti base
e le coniche spezzate.
3) Studiare la famiglia Φ di quadriche di equazione
Φ : x2 + 2hxy + y 2 − z 2 − 2hz − 2h = 0
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA E INFORMATICA
Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale
Prova scritta di Algebra Lineare e Geometria assegnata il 28/11/14.
` vietato uscire prima di aver consegnato il compito.
1) Durata della prova: tre ore. E
2) Usare solo carta fornita dal Dipartimento riconsegnandola tutta.
COMPITO B
I
` dato l’endomorfismo f : R3 → R3 mediante le assegnazioni
E

 f (1, 1, 0) = (k + 1, k + 1, k)
f (1, 0, 1) = (k − 1, 0, 1)
con k parametro reale.

f (0, 1, 2) = (−1, k − 2, k − 1)
1) Studiare l’endomorfismo f al variare di k determinando in ogni caso Ker f e Im f .
2) Dato il sottospazio V = {(x, y, z) | y − z = 0} ⊆ R3 valcolare f (V ), verificare che f (V ) ⊆ V
e precisare per quali valori di k si ha f (V ) = V .
3) Determinare i valori di k per i quali f `e semplice; quando `e possibile determinare una base
di autovettori.
4) Calcolare la controimmagine f −1 (1, 1, 1) al variare di k.
II
` assegnato nello spazio un sist. di rif. cart. ort. O.~x, ~y , ~z.u.
E
1) Dati i punti A ≡ (1, 1, 1), B ≡ (3, 3, 3), C ≡ (−1, 2, 2) verificare che il triangolo ABC
`e rettangolo in A e trovare l’area del triangolo. Determinare le equazioni della circonferenza
passante per A, B, C.
2) sul piano coordinato z = 0 determinare:
• la circonferenza c passante per i punti O, (0, −2), (−1, −1);
• la parabola p avente per asse l’asse ~y e passante per i punti (1, −1), (2, −4).
Studiare il fascio di coniche φ generato da c e da p, deteminandone in particolare i punti base
e le coniche spezzate.
3) Studiare la famiglia Φ di quadriche di equazione
Φ : x2 − y 2 − 2hyz − z 2 + 2hx + 2h = 0
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