微分積分学（２）講義メモ
2014 年
iii
目次
第 1 章 偏微分法
1.1 多変数関数の極限と連続 . . . .
1.1.1 ベクトルの内積，ノルム
1.2 ２変数関数の極限と連続性 . . .
1.2.1 ２変数関数のグラフ . .
1.2.2 関数の極限 . . . . . . .
1.2.3 連続関数，合成関数 . .
1.3 いろいろな部分集合 . . . . . .
1.4 偏微分と全微分 . . . . . . . . .
1.4.1 偏導関数 . . . . . . . . .
1.4.2 方向微分，全微分 . . . .
1.4.3 接平面 . . . . . . . . . .
1.4.4 勾配ベクトル場 . . . . .
1.4.5 合成関数の微分 . . . . .
1.4.6 ヤコビアン . . . . . . .
1.4.7 逆写像のヤコビアン . .
1.5 陰関数の定理 . . . . . . . . . .
1.6 一般の陰関数の定理 . . . . . .
1.7 2 変数関数のテーラーの定理 . .
1.8 極値問題 . . . . . . . . . . . . .
1.9 条件付き極値問題 . . . . . . . .
1.10 ラグランジュ乗数の活用 . . . .
第2章
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
重積分法
重責分 . . . . .
連続関数の積分
累次積分 . . . .
面積条件 . . . .
積分変数の変換
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1
1
1
4
4
5
9
12
19
19
22
28
31
32
38
45
50
61
65
70
86
90
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95
95
106
112
121
136
iv
2.6
2.7
2.8
グリーンの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
グリーンの定理の幾何学的意味 . . . . . . . . . . . . . . . 152
重積分の変数変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
1
第1章
偏微分法
多変数関数の極限と連続
1.1
1.1.1
ベクトルの内積，ノルム
d 個の実数 x1 , x2 , · · · , xd の組 (x1 , x2 , · · · , xd ) を一つの文字 x で表
し，このような x 全体の集合を Rd で表す．x は線形代数で扱う d 次の
実ベクトルである．列ベクトルと行ベクトルを区別する必要があるとき


x1
 x 
 2 
は，行ベクトル x = (x1 , x2 , · · · , xd ) と表し，列ベクトルは x = 

 ··· 
xd
のように表す．ノートの紙面節約上，ベクトルは通常行ベクトルを用い
る．いくつかのベクトルを添え字を用いてあらわすときは，その成分は
xi = (xi1 , xi2 , · · · , xid ) i = 1, 2, · · ·


x1j
 x 
 2j 
xj = 
 , j = 1, 2, · · ·
 ··· 
xdj
のようにあらわす．
列ベクトルの記号は行列とベクトルの積を考えるとき必要になる．
ベクトル x, y ∈ Rd の和は成分毎の和であり，ベクトル x の実数 α 倍
は各成分の α 倍である．
(x1 , x2 , · · · , xd ) + (y1 , y2 , · · · , yd ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , · · · , xd + yd )
α(x1 , x2 , · · · , xd ) = (αx1 , αx2 , · · · , αxd )
またベクトル x の成分がすべて 0 のとき x = 0 とあらわす．すなわち
x = 0 ⇐⇒ (x1 , x2 , · · · , xd ) = (0, 0, · · · , 0)
第1章
2
偏微分法
数の積に対応してベクトルベクトル x, y の内積 x · y ，数の絶対値に対
応してベクトル x のノルム ∥x∥ を次のように定義する．
x·y =
d
∑
xi yi , ∥x∥ =
√
(
)1/2
x · x = x21 + x22 + · · · + x2d
i=1
補題 1.1.1 内積の性質：
(i) x · x ≥ 0,
x · x = 0 ⇐⇒ x = 0,
(ii) x · y = y · x,
(iii) (αx + βy) · z = α(x · z) + β(y · z)
証明 何れも内積の定義から明らかである．たとえば (iii) を証明すると
(αx + βy) · z =
d
∑
(αxi + βyi )zi =
i=1
= α
d
∑
d
∑
(αxi zi + βyi zi )
i=1
x i zi + β
i=1
d
∑
y i zi
i=1
= α(x · z) + β(y · z)
2
補題 1.1.1 の (2),(3) により，次の系も成り立つ．
系 1.1.2
x, y, z, xi , yj ∈ Rd , α, β, αi , βj ∈ R
に対して
(i) x · (αy + βz) = α(x · y) + β(x · z)
(ii) (
m
∑
n
m ∑
n
∑
∑
αi xi ) · (
βj y j ) =
αj βj (xi · yj )
i=1
j=1
i=1 j=1
補題 1.1.3 (コーシー・シュワルツ（Cauchy-Schwarz）の不等式)
|x · y| ≤ ∥x∥∥y∥
(x, y ∈ Rd )
x, y の成分を用いて表すと
|x1 y1 + x2 y2 + · · · xd yd | ≤ (x21 + x22 + · · · + x2d )1/2 (y12 + y22 + · · · + yd2 )1/2
1.1. 多変数関数の極限と連続
3
証明 x = 0 のときは， x · y = 0, ∥x∥ = 0 であるから，Cauchy-Schwarz
の不等式は等式として成り立つ．x ̸= 0 とする．すべての実数 t に対し
て，∥tx + y∥2 を計算すると
∥tx + y∥2 = (tx + y) · (tx + y)
= (tx · tx) + (tx · y) + (y · tx) + y · y
= t2 (x · x) + t(x · y) + t(y · x) + y · y
= t2 (x · x) + t(x · y) + t(x · y) + y · y
= t2 ∥x∥2 + 2t(x · y) + ∥y∥2
a = ∥x∥2 , b = x · y, c = ∥y∥2 とおく．x ̸= 0 であるから，a = ∥x∥2 > 0 で
ある．ゆえに
∥tx + y∥2 = at2 + 2tb + c
と表され，右辺は t の２次式である．左辺はすべての実数 t に対して正ま
たは零であるから，すべての t に対して，at2 + 2tb + c ≥ 0 である．２次
式の判別式を考えて b2 −ac ≤ 0 が成り立つ．すなわち (x·y)2 ≤ ∥x∥2 ∥y∥2
であるから，|x · y| ≤ ∥x∥∥y∥ がなりたつ，
2
補題 1.1.4 (ノルムの性質) x, y ∈ Rd , α ∈ R とする．
(i) ∥x∥ ≥ 0, ∥x∥ = 0 ⇐⇒ x = 0,
(ii) ∥αx∥ = |α|∥x∥.
(iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥
(三角不等式)
(iv) |∥x∥ − ∥y∥| ≤ ∥x − y∥
証明 (i),(ii) の証明は簡単であるから，省略する．
(iii)
∥x + y∥2 = (x + y) · (x + y)
= x·x+x·y+y·x+y·y
= ∥x∥2 + 2(x · y) + ∥y∥2
のように計算される．コーシー・シュワルツの不等式により
x · y ≤ |x · y| ≤ ∥x∥∥y∥
第1章
4
偏微分法
であるから，
∥x∥2 + 2(x · y) + ∥y∥2 ≤ ∥x∥2 + 2∥x∥∥y∥ + ∥y∥2 = (∥x∥ + ∥y∥)2 .
ゆえに ∥x + y∥2 ≤ (∥x∥ + ∥y∥)2 であり，∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥.
(iv) (iii) を用いて
∥x∥ = ∥(x − y) + y∥ ≤ ∥x − y∥ + ∥y∥
が成り立つから，
∥x∥ − ∥y∥ ≤ ∥x − y∥
(1.1)
である．同様に ∥y∥ − ∥x∥ ≤ ∥y − x∥ であり，
∥y − x∥ = ∥ − (x − y)∥ = | − 1| × ∥x − y∥ = ∥x − y∥
であるから， ∥y∥ − ∥x∥ ≤ ∥x − y∥. したがって −∥x − y∥ ≤ ∥x∥ − ∥y∥.
∥x−y∥ = a とおくと，a ≥ 0 であり，(1.1) と併せて，−a ≤ ∥x∥−∥y∥ ≤ a
が成り立つ．ゆえに |∥x∥ − ∥y∥| ≤ a = ∥x − y∥.
2
２変数関数の極限と連続性
1.2
1.2.1
２変数関数のグラフ
実数 x1 , x2 , · · · , xd , (d ≥ 2) の値に応じて定まる実数関数
z = f (x1 , x2 , · · · , xd )
の極限と連続性を考える．簡単のため d = 2 とし，変数を x, y で表し，
関数 z = f (x, y) を考える．
３次元空間のある点 O で互いに直交する３直線 ℓ, m, n をとる．O を原
点といい，ℓ, m, n には目盛をつけ，それぞれ x-軸，y-軸，z-軸という．こ
の空間の各点には一つの座標 (x, y, z) が対応し，３次元空間と R3 が対応
する．点 P が， x-軸と y-軸を含む平面 ( これを xy-平面という）内にあ
るときは，z 座標が 0 であるから，その点の座標は (x, y, 0) のようになり，
この点 P を P (x, y) で表す．xy-平面は R2 に対応する．関数 z = f (x, y)
により，xy-平面の点 P (x, y) に応じて値 z = f (x, y) が決まるとみて，
z = f (P ) とかくこともある．点 P の上に高さ z = f (P ) = f (x, y) の点
1.2. ２変数関数の極限と連続性
5
Q(x, y, f (x, y)) をとる．P が xy-平面内を動くと，点 Q(x, y, f (x, y)) は
３次元空間内に曲面 S を描く，この曲面を関数 z = f (x, y) のグラフと
いう．
例 1.2.1
(1) z = f (x, y) = 2x + 3y, (2) z = f (x, y) = x2 − xy + y 2 ,
(3) z = f (x, y) =
√
3x − y
(4) z = f (x, y) = 1 − x2 − y 2
2x + y
ほとんどの１変数関数は区間で定義されていたが，２変数 z = f (x, y) が
定義される (x, y) の範囲（定義域) D はいろいろになる．例 1.2.1 の関数
の場合，x, y の範囲は次のようになる．(1),(2) の関数は全ての (x, y) に
対し定義され，D = R2 ．(3) の関数は 2x + y ̸= 0 であるような (x, y) に
対して定義され，D = {(x, y) : 2x + y ̸= 0} と表される．xy-平面から直
線 2x + y = 0 を除いた範囲である．(4) の関数は平方根の中が正または
零の (x, y) の範囲 1 − x2 − y 2 ≥ 0 で定義され，D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}
と表される．原点を中心とする半径 1 の円（これを単位円という）の内
部あるいはその円上である．
1.2.2
関数の極限
点 P (x, y) と点 A(a, b) の距離 P A は
[ ] [ ]
x
√
a 2
2
P A = (x − a) + (y − b) = −
y
b で与えられる．P A が 0 に近づくとき，P が A に近づくという．
定義 1.2.2 n = 1, 2, · · · に対して点 Pn = (xn , yn ) が定まるとき，点列
{Pn } が定まるという．
√
lim (xn − a)2 + (yn − b)2 = 0
n→∞
である点 A = (a, b) があるとき，点列 {Pn } は点 A に収束するといい，
lim Pn = A
n→∞
とかく．
第1章
6
偏微分法
P が A に限りなく近づくとき，f (x, y) の値がある値 α に限りなく近
づくならば，α を A における f (P ) の極限といい，
lim f (P ) = α,
P →A
または
lim
f (x, y) = α
(x,y)→(a,b)
と書く．xy-平面の P が A に近づく場合，いろいろな方向から近づくこ
とが考えられるが，関数の極限を考える場合，距離 P A が小さくなれば
近づく方向によらず f (x, y) が α に近づくという意味である．正確には次
のように定義する．
定義 1.2.3 f (x, y) の定義域を D とする．任意の ϵ > 0 に対して，次の条
件 (∗) を満たす δ > 0 が存在するとき．lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = α と書く：
{
(∗)
√
0 < (x − a)2 + (y − b)2 < δ
=⇒ |f (x, y) − α| < ϵ
(x, y) ∈ D
１変数関数と同様に次の極限定理が成り立つ．
定理 1.2.4
lim
f (x, y) = α.
(x.y)→(a,b)
lim
g(x, y) = β
(x.y)→(a,b)
であるとする．このとき
(i)
lim
(f (x, y) ± g(x, y)) = α ± β.
(x.y)→(a,b)
(ii)
lim
kf (x, y) = kα
(x.y)→(a,b)
(iii)
lim
(k は定数)
f (x, y)g(x, y) = αβ
(x.y)→(a,b)
(iv) g(x, y) ̸= 0, β ̸= 0 ならば
α
f (x, y)
=
(x.y)→(a,b) g(x, y)
β
lim
例 1.2.5 (1)
f0 (x, y) = c (定数) =⇒
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) = x(= x + 0y) =⇒
f0 (x, y) = c.
lim
(x,y)→(a,b)
f (x, y) = a.
1.2. ２変数関数の極限と連続性
7
g(x, y) = y(= 0x + y) =⇒
lim
f (x, y) = b.
(x,y)→(a,b)
(2)
lim
(2x + 3y) =
(x,y)→(a,b)
lim
(2f (x, y) + 3g(x, y))
(x,y)→(a,b)
=2
lim
f (x, y) + 3
(x,y)→(a,b)
lim
g(x, y)
(x,y)→(a,b)
= 2a + 3b
lim
(x2 − xy + y 2 )
(x,y)→(a,b)
(f (x, y)2 − 2f (x, y)g(x, y) + g(x, y)2 )
(x,y)→(a,b)
(
)2
=
lim (f (x, y) − 2 lim f (x, y) lim g(x, y)
(x,y)→(a,b)
(x,y)→(a,b)
(x,y)→(a,b)
(
)2
+
lim g(x, y) = a2 − 2ab + b2
=
lim
(x,y)→(a,b)
lim
(x,y)→(a,b) 2x2
x − 4y
a − 4b
= 2
.
2
+ 3y + 1
2a + 3b2 + 1
xy-平面の P (x, y) が A(a, b) に近づく場合，いろいろな方向から近づく
ことが考えられるが，関数の極限を考える場合，距離 P A が小さくなれ
ば近づく方向によらず f (x, y) が α に近づくという意味である．もう少し
詳しく説明する．２点 A(a, b), P (x, y) の距離を r とおく．
√
r = (x − a)2 + (y − b)2 .
−→
有向線分 AP が x 軸の正の方向となす角を θ とおくと，
x − a = r cos θ, y − b = r sin θ
であるから，
x = a + r cos θ, y = b + r sin θ
と表される．このとき条件 (*) は次のようにかける


 0<r<δ
0 ≤ θ ≤ 2π =⇒ |f (a + r cos θ, b + r sin θ) − α| < ϵ.

 (x, y) ∈ D
第1章
8
偏微分法
lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = α ならば，(x, y) が x 軸に平行な方向から (a, b)
に近づくとき，f (x, y) は α に収束する．また y 軸に平行な方向から近
づくときも α に収束する．
lim
f (x, y) = α =⇒ lim f (x, b) = α, lim f (a, y) = α,
x→a
(x,y)→(a,b)
y→b
一般的に, 任意の θ に対して
lim
f (x, y) = α =⇒ lim f (a + r cos θ, b + r sin θ)) = α.
r→0
(x,y)→(a,b)
例 1.2.6
(4)
x3
f (x, y) = 2
x + y2
((x, y) ̸= (0, 0))
とする．このとき lim(x,y)→(0,0) f (x, y) = 0 である．実際 x = r cos θ, y =
r sin θ とおくと，
r3 cos3 θ
f (x, y) = 2
= r cos3 θ
2
2
r (cos θ + sin θ)
であるから，|f (x, y) − 0| ≤ r| cos3 θ| ≤ r が成り立つ．ゆえに
limr→0 f (x, y) = 0 である．
(5)
f (x.y) =
xy
x2 + y 2
((x, y) ̸= (0, 0))
とする．このとき， f (x, 0) = 0, f (0, y) = 0, (x, y ̸= 0) であるから
lim f (x, 0) = 0, lim f (0, y) = 0.
x→0
y→0
しかし，x = r cos θ, y = r sin θ のとき
f (x, y) =
r2 cos θ sin θ
1
sin 2θ
=
cos
θ
sin
θ
=
2
2
r2 (cos2 θ + sin θ)
であるから，
lim f (r cos θ, r sin θ) =
r→0
1
sin 2θ.
2
したがって θ に応じてこの極限はことなり，(x, y) → (0, 0) のとき
f (x, y) の一定の極限は存在しない．
1.2. ２変数関数の極限と連続性
1.2.3
9
連続関数，合成関数
定義 1.2.7 lim(x,y)→(a,b) f (x, y) = f (a, b) であるとき，関数 f (x, y) は
(a, b) で連続であるという．すなわち，任意の正数 ϵ に対して次の条件を
満たす正数 δ が存在するとき，f (x, y) は (a, b) で連続であるという．
{ √
(x − a)2 + (y − b)2 < δ
(∗)
=⇒ |f (x, y) − f (a, b)| < ϵ.
(x, y) ∈ D
ただし D は f (x, y) の定義域である．
定義域のすべての点で連続ならば，f (x, y) は連続関数であるという．
定理 1.2.8
(i) f (x, y), g(x, y) が点 (a, b) で連続ならば，
cf (x, y), f (x, y) ± g(x, y), f (x, y)g(x, y)
(x,y)
は (a, b) で連続である．また g(a, b) ̸= 0 ならば fg(x,y)
は (a, b) で連
続である．
(ii) u = g(x, y) が (a, b) で連続で，１変数関数 z = ϕ(u) が u = g(a, b)
で連続ならば，合成関数 z = f (x, y) = ϕ(g(x, y)) は (a, b) で連続
である．
(iii) z = f (x, y) が D において連続で，１変数関数 x = ϕ(t), y = ψ(t)
が区間 I において連続で
t ∈ I =⇒ (ϕ(t), ψ(t)) ∈ D
であるならば，合成関数 z = f (ϕ(t), ψ(t)) は I において連続である．
例 1.2.9 (1) ajk xj y k (j, k ≥ 0) の形の有限個の項の和で表される x, y
の多項式 P (x, y) は連続関数である．また Q(x, y) も多項式である
P (x,y)
は分母が 0 でない点で連続である．
とき，有理関数 Q(x,y)
√
(2) f (x, y) が連続関数であるとき， f (x, y) は f (x, y) ≥ 0 であるよ
うな (x, y) の範囲において連続である．
また関数 √
1
f (x,y)
て連続である．
は f (x, y) > 0 であるような (x, y) の範囲におい
第1章
10
偏微分法
(3) f (x, y) が連続ならば，関数 sin(f (x, y)), cos(f (x, y)), tan(f (x, y)) は
連続である．
(4) f (x, y) が連続ならば，ef (x,y) は連続である．
また log f (x, y) は f (x, y) > 0 である (x, y) の範囲において連続で
ある．
２変数関数 z = f (x, y) において，x, y に u, v の２変数関数 x =
x(u, v), y = y(u, y) を代入してできる関数 z = f (x(u, v), y(u, v)) を
z = f (x, y) と x = x(u, v), y = y(u, v) の合成関数という．たとえば
z = f (u, v) = (u + v)2 (2u − 3v)3
は z = f (x, y) = x2 y 3 と x = u + v, y = 2u − 3v の合成関数である．
合成関数 f (x(u, v), y(u, v)) を考えるとき，代入する (x(u, v), y(u, v)) が
f (x, y) の定義域に入っているときに代入可能である．f (x, y) の定義域 D
と，x(u, v), y(u, v) がともに定義されている定義域 E の間に次の関係が
成り立つことが必要である．
(u, v) ∈ E =⇒ (x(u, v), y(u, v)) ∈ D.
(1.2)
x [= x(u, v),]y = y(u, v) があるとき，２次ベクトル
[ 二つの２変数関数
]
u
x(u, v)
を２次ベクトル
に移す写像ができる．この写像を一つ
v
y(u, v)
の文字 Φ で表す：
([ ]) [
]
[
]
u
x(u, v)
x(u, v)
Φ
=
あるいは Φ(u, v) =
(1.3)
v
y(u, v)
y(u, v)
たとえば
([
Φ
])
u
v
[
=
]
au + bv
cu + dv
[
=
][
a b
c d
]
u
v
Φ(u, v) の定義域 E は x(u, v), y(u, v) がともに定義されている (u, v) の
範囲である．(u, v) が E の範囲で変化したときの Φ(u, v) の範囲を Φ(E)
で表し，Φ による E の像という．すなわち
Φ(E) = {Φ(u, v) : (u, v) ∈ E}.
1.2. ２変数関数の極限と連続性
11
このとき条件 (1.2) は次のように表される．
Φ(E) ⊂ D.
しかし合成関数 f (x(u, v), y(u, v)) は，E のすべての点 (u, v) に対して
Φ(u, v) ∈ D でなくても，Φ(u, v) ∈ D となるような E の点 (u, v) のみに
おいて考えることができる．このような点 (u, v) の集合を Φ−1 (D) であ
らわし，Φ による D の原像または 逆像という:
Φ−1 (D) = {(u, v) ∈ E : Φ(u, v) ∈ D}.
つまり，一般的に次のように合成関数が定義される．
定義 1.2.10 xy 平面のある集合 D で定義された関数 f (x, y) と uv 平面
のある集合 E で定義された関数 Φ(x, y) = (x(u, v), y(u, v)) があるとき，
e = Φ−1 (D)
合成関数 f (Φ(u, v))) = f (x(u, v), y(u, v)) が E の部分集合 E
で定義される．この合成関数を f ◦ Φ で表す．
(1.3) のように定義される関数を２変数の (２次元）ベクトル値関数と
いう．ベクトル値関数 Φ(u, v) は lim(u,v)→(c,d) Φ(u, v) = Φ(c, d) すなわち，
{
lim(u,v)→(c,d) x(u, v) = x(c, d)
lim ∥Φ(u, v) − Φ(c, d)∥ = 0 ⇐⇒
(u,v)→(c,d)
lim(u,v)→(c,d) y(u, v) = y(c, d)
であるとき， (c, d) で連続であるという．
定理 1.2.11 f (x, y) が D で連続，Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) が E で連
e = Φ−1 (D) で連続である．
続ならば，合成関数 f (Φ(u, v)) は E
さらにベクトル値関数とベクトル値関数の合成関数も同様に定義され
る．すなわち
[
]
[
]
f1 (x, y)
g1 (u, v)
F (x, y) =
, G(u, v) =
f1 (x, y)
g2 (u, v)
の合成関数 H = F ◦ G を
H(u, v) = F (G(u, v)) =
により定義する．
[
]
f1 (g1 (u, v), g2 (u, v))
f2 (g1 (u, v), g2 (u, v))
第1章
12
偏微分法
いろいろな部分集合
1.3
定義 1.2.7 における条件 (*) は，次に掲げる近傍を使って，図形的に言
い換えることができる．
定義 1.3.1 (a, b) を中心とする半径 ϵ > 0 の円の内部を
√
Uϵ (a, b) = {(x, y) ∈ R2 : (x − a)2 + (y − b)2 < ϵ}
のように表し (a, b) の ϵ 近傍という．
また実数 α に対して，α からの距離が ϵ より小さい数 x の集合を
Uϵ (α) = {x ∈ R : |x − α| < ϵ}
のように表し， α の ϵ 近傍という．Uϵ (α) = (α − ϵ, α + ϵ) である.
一般的に a = (a1 , · · · , ad ) ∈ Rd , ϵ > 0 に対して


( d
)1/2


∑
Uϵ (a) = x = (x1 , · · · , xd ) ∈ Rd : ∥x − a∥ =
|xi − ai |2
<ϵ


i=1
とおき， a の ϵ 近傍という．
関数
f (x, y) =
√
1 − x2 − y 2
の定義域 D は
D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}
である．一方関数
g(x, y) = √
1
1 − x2 − y 2
は分母が 0 でない範囲で定義されるから，その定義域は
E = {(x, y) : x2 + y 2 < 1}
である．f (x, y) は D で連続であり．すべての (x, y) ∈ D に対して 0 ≤
f (x, y) ≤ 1 である．一方 g(x, y) も E で連続であるが， (x, y) が単位円
S = {(x, y) : x2 + y 2 = 1}
1.3. いろいろな部分集合
13
に近づくと，g(x, y) の値はいくらでも大きくなる．S は D, E 両方の境
界であるが，
S ⊂ D 他方 S ∩ E = ∅
である．
ここで部分集合 X ⊂ R2 の境界を定義しておこう．X にたいして X に
属さない点の集合を X の補集合 (complement) といって X c であらわす．
X c = {(x, y) ∈ R2 : (x, y) ̸∈ X}
このとき
(a, b) ̸∈ X ⇐⇒ (a, b) ∈ X c
である．また (X c )c = X であるから，
(a, b) ∈ X ⇐⇒ (a, b) ̸∈ X c
である．
他の部分集合 Y があるとき，Y のすべての点が，X の点でもあると
き，Y は X の部分集合 (subset) であるといって Y ⊂ X と書く．Y が
X の部分集合でないのは Y に属するが X には属さない（すなわち X c
に属する) 点があるときである．そのような点は Y ∩ X c の点として表さ
れるから，
Y が X の部分集合でない ⇐⇒ Y ∩ X c ̸= ∅.
定義 1.3.2 R2 の部分集合 X があるとき，R2 の点 (a, b) は X および X
の補集合 X c との関わり具合に応じて次の３種類に分類される．
(i) ある (小さい) ϵ > 0 をとると，Uϵ (a, b) ⊂ X. このとき (a, b) は X
の内点 (inner point) であるという．
(i) ある (小さい) ϵ > 0 をとると，Uϵ (a, b) ⊂ X c . このとき (a, b) は X
の外点 (outer point) であるという．
(iii) 上の (i) も (ii) も成り立たない，すなわちどのような ϵ > 0 に対し
ても Uϵ (a, b) が X に含まれることもなく，X c に含まれることもな
い, すなわち
Uϵ (a, b) ∩ X c ̸= ∅, Uϵ (a, b) ∩ X ̸= ∅.
このとき (a, b) は X の境界点 (boundary point) であるという．
第1章
14
偏微分法
補題 1.3.3
(a, b) が X の内点 ⇐⇒ (a, b) が X c の外点
(a, b) が X の外点 ⇐⇒ (a, b) が X c の内点
(a, b) が X の境界点 ⇐⇒ (a, b) が X c の境界点
定義 1.3.4 R2 の部分集合 X があるとき，
(i) X の内点を全部集めてできる集合を X i で表し，X の内部という．
(ii) X の外点を全部集めてできる集合を X o で表し，X の外部という．
(iii) X の境界点を全部集めてできる集合を X b で表し，X の境界という．
(iv) X i ∪ X b = X と表し，これを X の閉包 (closure) という．
補題 1.3.5 (a, b) ∈ X である条件は
任意の ϵ > 0 に対して Uϵ (a, b) ∩ X ̸= ∅.
(1.4)
証明 (X)c = X o であるから，(a, b) ∈ X であることは (a, b) が X の外
点でないことである．(a, b) が X の外点でないことは (1.4) が成り立つ
ことである．
2
例 1.3.6
√
√
x2 + y 2 ≤ 1}, E = {(x, y) : x2 + y 2 < 1},
√
√
F = {(x, y) : x2 + y 2 > 1}, S = {(x, y) : x2 + y 2 = 1}
D = {(x, y) :
とおく．このとき
Di = E, Db = S, Do = F, D = D.
E i = E, E b = S, E o = F, E = D.
X の内点はもちろん X の点である．また X の外点は X c の点である．
X b の点は X に属する場合もあり，X c に属することもある．一般的に
次の包含関係が成り立つ．
Xi ⊂ X ⊂ X
1.3. いろいろな部分集合
15
定義 1.3.7 X i = X のとき，X は開集合 (open set) であるという．X = X
のとき，X は閉集合 (closed set) であるという．
例 1.3.8
(1)
√
x2 + y 2 ≤ 1}
√
E = {(x, y) : x2 + y 2 < 1}
√
E \ {0} = E = {(x, y) : 0 < x2 + y 2 ≤ 1}
D = {(x, y) :
とおく． D は閉集合であり，E は開集合である．E \ {0} は開集
合でもなく，閉集合でもない．
(2)
F = {(x, y) :
√
(x − a)2 + (y − b)2 > 1},
√
G = {(x, y) : (x − a)2 + (y − b)2 ≥ 1},
√
H = {(x, y) : 1 < (x − a)2 + (y − b)2 ≤ 2}
とおく． F は開集合であり， G は閉集合である．H は開集合でも
なく，閉集合でもない．
(3)
A = {(x, y) : −1 < 2x−3y < 1}, B = {(x, y) : −1 ≤ 2x−3y ≤ 1},
C = {(x, y) : −1 < 2x − 3y ≤ 1}
とおく．A は開集合，B は閉集合，C は開集合でも閉集合でもない．
(4) 空集合 ∅ と R2 は開集合でもあり，閉集合でもある．
次の命題を容易に確かめることができる．
命題 1.3.9 (i) X が開集合 ⇐⇒ X ⊂ X i ⇐⇒ X の任意の点 (a, b) に
対して，Uϵ (a, b) ⊂ X であるような ϵ > 0 がある．
(ii) X が閉集合 ⇐⇒ X b ⊂ X ⇐⇒ 全ての ϵ > 0 に対して，Uϵ (a, b) ∩
X ̸= ∅ であるような点 (a, b) は X の点である．
(iii) X が開集合 ⇐⇒ X c が閉集合，X が閉集合 ⇐⇒ X c が開集合．
第1章
16
偏微分法
定義 1.3.10 R2 の部分集合 X が，ある矩形
K = [a, b] × [c, d] = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
(1.5)
に含まれるとき，すなわち X ⊂ K であるような K があるとき，X は
有界 (bounded) である，あるいは有界集合であるという．
n = 1, 2, · · · に対して R2 の点 Pn = (xn , yn ) が定まっているとき，点
2
∞
列 {Pn }∞
n=1 があるという．R の点列 {Pn }n=1 は Pn ∈ K, n = 1, 2, · · ·
であるような矩形 K があるとき，有界な点列であるという．
Rn の点列 {Pn }∞
n=1 に対して，limn→∞ ∥Pn − A∥ = 0 である点 A があ
るとき，limn→∞ Pn = A と書き，{Pn } が A に収束する，あるいは A は
{Pn } の極限点であるという．Pn = (xn , yn ), A = (a, b) とすると
√
∥Pn − A∥ = (xn − a)2 + (yn − b)2
であるから，
lim Pn = A ⇐⇒ lim xn = a,
n→∞
n→∞
lim yn = b
n→∞
である．
補題 1.3.11 limP →A f (P ) = α, limn→∞ Pn = A ならば，
lim f (Pn ) = α
n→∞
である．
補題 1.3.12 閉集合 X に含まれる点列が収束するならば，その極限点
は X に含まれる．
証明 Pn ∈ X, n = 1, 2, · · · , であり，limn→∞ Pn = A とする．limn→∞ ∥Pn −
A∥ であるから，任意の ϵ > 0 にたいして，
n > n0 =⇒ ∥Pn − A∥ < ϵ
であるような n0 がある．したがって特に n1 = n0 +1 とおくと ∥Pn1 −A∥ <
ϵ である．つまり Pn1 ∈ Uϵ (A) ∩ X となり，Uϵ (A) ∩ X ̸= ∅ が任意の ϵ > 0
に対して成り立つ．ゆえに命題 1.3.9 により A ∈ X である．
2
1.3. いろいろな部分集合
17
補題 1.3.13 有界な点列は収束する部分列を含む．
証明 Pn = (xn , yn ), n = 1, 2, · · · が有界な点列であり，Pn ∈ K = [a, b]×
[c, d], n = 1, 2, · · · とする．a ≤ xn ≤ b であるから，数列 {xn } は有界な
数列である．したがって {xn }∞
n=1 は収束する部分列
{xn(j) }∞
j=1 , (n(1) < n(2) < n(3) < · · · < n(j) < · · · )
を含む．
lim xn(j) = ξ
j→∞
とおく．Qj = (xn(j) , yn(j) ) = Pn(j) , j = 1, 2, · · · とおくと，点列 {Qj }∞
j=1
は点列 {Pn }∞
の部分列である．
n=1
∞
このとき {yn(j) }∞
j=1 は数列 {yn }n=1 の部分列である．c ≤ yn ≤ d であ
るから，c ≤ yn(j) ≤ d であり，数列 {yn(j) }∞
j=1 は有界な数列である．し
たがって {yn(j) }∞
j=1 は収束する部分列
{yn(j(k)) }∞
k=1 , (j(1) < j(2) < j(3) < · · · < j(k) < · · · )
を含む．
lim yn(j(k)) = η
k→∞
とおく．このとき limk→∞ j(k) = ∞ であるから
lim xn(j(k)) = lim xn(j) = ξ.
k→∞
j→∞
ゆえに Rk = Qk(j) = Pn(j(k)) = (xn(j(k)) , yn(j(k)) ), k = 1, 2, · · · とおくと，
∞
点列 {Rk }∞
k=1 は点列 {Qj }j=1 の部分列であり，limk→∞ Rk = (ξ, η) であ
∞
∞
∞
る．{Qj }∞
j=1 は {Pn }n=1 の部分列であるから， {Qj }j=1 の部分列 {Rk }k=1
は点列 {Pn }∞
n=1 の部分列である（部分列の部分列は部分列）．ゆえに点
∞
2
列 {Pn }n=1 は (ξ, η) に収束する部分列 {Rk }∞
k=1 を含む．
１変数関数に関する定理：
「有界な閉区間で連続な１変数関数はその区
間で最大値最小値をとる」は２変数関数の場合，次のようになる．
定理 1.3.14 R2 の有界な閉集合 D で連続な実数関数 f (x, y) は D にお
いて，最大値と最小値をとる．
第1章
18
偏微分法
証明 K を (1.5) のような矩形とし，D ⊂ K とする．K を縦横に n 等分
して n2 個の小矩形に分ける．その結果できる矩形を Kijn , i, j = 1, · · · , n
と書く．ai = a + i b−a
, cj = c + j d−c
とおくと
n
n
Kij (n) = {(x, y) : ai−1 ≤ x ≤ ai , bj−1 ≤ y ≤ bj }
である．D ⊂ K = ∪ni,j=1 Kij (n) であるから，
D =D∩K =D∩
n
∪
Kij (n) =
i,j=1
n
∪
(D ∩ Kij (n))
(1.6)
i,j=1
Dij (n) = D ∩ Kij (n) とおく． Dij (n) = ∅ である場合もあるが，そのよ
うなものは除いて Dij (n) ̸= ∅ であるものを Eij (n) とおく．Eij (n) から
１点ずつ点を取り出し，その点を Pij (n) = (xij (n), yij (n)) ∈ Eij (n) とす
る．このようにしてできる点 Pij (n) の個数は高々 n2 である．このとき
f (Pij (n)) の値も高々 n2 個であるから，その中で最大であるものがある．
この最大値をとる点を M (n) = (un , vn ) とおくと，
f (Pij (n)) ≤ f (M (n)), i, j = 1, 2, · · · , n.
(1.7)
点列 {M (n)}∞
n=1 は K に含まれる点列であるから，有界である．ゆえ
に補題 1.3.13 により，{M (n)}∞
n=1 は収束する部分列を含む．したがって
1 ≤ n(1) < n(2) < · · · < n(k) < · · · である自然数の列 {n(k)}∞
k=1 によ
n
n
り，その部分列は {M (n(k))}k=1 = {(un(k) , vn(k) )}k=1 と表され，極限
lim un(k) = ξ,
k→∞
lim vn(k) = η
k→∞
が存在する．(ξ, η) = M とおくと，補題 1.3.12 により，M ∈ D である．
f (x, y) は D のすべての点において連続であるから，点 M ∈ D におい
て連続である．したがって
lim f (M (n(k))) = lim f (un(k) , vn(k) ) = f (ξ, η) = f (M ).
k→∞
k→∞
(1.8)
D の点 P = (x, y) ∈ D を任意に一つとり，以下固定する．D =
∪ij Eij (n) であるから，n = 1, 2, · · · に対して
P ∈ Ei(n),j(n) (n)
(1.9)
であるような (i(n), j(n)) がある．このとき Ei(n),j(n) (n) = F (n) とおく．
Q(n) = Pi(n),j(n) (n) n = 1, 2, · · ·
1.4. 偏微分と全微分
19
とおくと, P, Q(n) はともに F (n) の点である．その２点間の距離 ∥P −
√
Q(n)∥ は矩形 F (n) の対角線の長さ (a − b)2 + (c − d)2 /n 以下である：
√
(a − b)2 + (c − d)2
∥P − Q(n)∥ ≤
n
したがって点列 {Q(n)}∞
n=1 は P に収束する．f (x, y) は D のすべての
点において連続であるから，limn→∞ f (Q(n)) = f (P ) であり，部分列を
とって
lim f (Q(n(k))) = f (P ).
(1.10)
k→∞
(1.7) より
f (Q(n)) = f (Pi(n),j(n) (n)) ≤ f (M (n)), n = 1, 2, · · ·
であるから，
f (Q(n(k))) ≤ f (M (n(k))), k = 1, 2, · · ·
(1.11)
も成り立つ．ゆえに (1.8),(1.10), (1.11) により，
f (P ) = lim f (Q(n(k))) ≤ lim f (M (n(k))) ≤ f (M ).
k→∞
k→∞
P は D の任意の点であるから，f (M ) は D における f (P ) の最大値で
ある．
最小値の存在も同様に証明できる．
2
1.4
偏微分と全微分
多変数関数の変化の様子を調べるために，偏導関数を用いる．しかし，
偏導関数のみでは変化を十分にとらえきれず，全微分の考え方を導入す
る必要がある．
1.4.1
偏導関数
関数 z = f (x, y) において，y の値を一定とした場合できる関数は x の
１変数関数である．たとえば y = 1 とすれば，z = f (x, 1) は x のみの関
数である．また x = 1 とすれば，z = f (1, y) は y のみの関数である．
第1章
20
偏微分法
例 1.4.1 z = f (x, y) = 2x − 3y + 1 のとき，
z = f (x, 1) = 2x − 2, z = f (1, y) = −3y + 3
z = f (x, y) = sin(x − y) のとき，
z = f (x, π) = sin(x − π) = − sin x, z = f (π, y) = sin(π − y) = cos y.
関数 z = f (x, y) において，y を定数とみなして，z = f (x, y) を x の
みの関数として微分することを z = f (x, y) を x に関して偏微分すると
いう．その結果できる関数を
∂z ∂f
,
(x, y), zx , fx (x, y)
∂x ∂x
等と表す．同様に x を定数とみなして，z = f (x, y) を y のみの関数とし
て微分することを z = f (x, y) を y に関して偏微分するという．その結果
できる関数を
∂z ∂f
,
(x, y), zy , fy (x, y)
∂y ∂y
等と表す．
1 変数関数の微分公式と同様の公式がなりたつ．
∂f ∂g
,
が存在するならば，
∂x ∂x
∂
∂f
∂g
∂
∂f
(f ± g) =
±
,
(cf ) = c
(c は定数)
∂x
∂x ∂x ∂x
∂x
∂f
g − f ∂g
∂
∂f
∂g
∂ f
(f g) =
g+f ,
= ∂x 2 ∂x (g ̸= 0)
∂x
∂x
∂x ∂x g
g
∂f ∂g
,
∂y ∂y
が存在するならば，
∂
∂f
∂g
∂
∂f
(f ± g) =
±
,
(cf ) = c
(c は定数)
∂y
∂y ∂y ∂y
∂y
∂f
∂g
g − f ∂y
∂
∂f
∂g
∂ f
∂y
(f g) =
g+f ,
=
(g ̸= 0)
∂y
∂y
∂y ∂y g
g2
例 1.4.2 z = f (x, y) = 2x − 3y + 1 のとき，
zx = 2, zy = −3.
1.4. 偏微分と全微分
21
z = f (x, y) = x2 − 2xy + 3y 2 − 4x + 5y のとき，
zx = 2x − 2y − 4, zy = −2x + 6y + 5
z = f (x, y) = sin(x − y) のとき，
zx = cos(x − y), zy = − cos(x − y)
計算上はこのように考えて偏微分すればよいのであるが，偏導関数の意
味を正確にとらえるために微分の定義に立ち返って，偏導関数を定義す
ると次のようになる．
定義 1.4.3 極限値
lim
h→0
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
h
が存在するとき，f (x, y) は (x0 , y0 ) において x に関して偏微分可能である
といい，この極限値を ∂f
(x0 , y0 ) であらわし，f (x, y) の (x, y) = (x0 , y0 )
∂x
における x に関する偏微分係数という．
極限値
f (x0 , y0 + k) − f (x0 , y0 )
k→0
k
lim
が存在するとき，f (x, y) は (x0 , y0 ) において y に関して偏微分可能である
といい，この極限値を ∂f
(x0 , y0 ) であらわし，f (x, y) の (x, y) = (x0 , y0 )
∂y
における y に関する偏微分係数という．
関数 z = f (x, y) の偏微分係数の表し方は，次のようにいろいろある．
∂f
∂z
(x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ) = zx (x0 , y0 ).
∂x
∂x
∂z
∂f
(x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ) = zy (x0 , y0 ).
∂y
∂y
f (x, y) の定義域 D の各点で偏微分可能であるとき，D で定義される関
(x, y), ∂f
(x, y) ができるが，それらを f (x, y) の偏導関数という．
数 ∂f
∂x
∂y
∂f ∂f
偏導関数 ∂x , ∂y がさらに偏微分可能な場合，それらの偏導関数として
２次の偏導関数が考えられる．それらを次のように表す．
∂ ∂f
∂2f
∂ ∂f
∂ 2f
=
=
f
,
=
= fxy ,
xx
∂x ∂x
∂x2
∂y ∂x
∂y∂x
第1章
22
偏微分法
∂ ∂f
∂ 2f
∂ ∂f
∂ 2f
=
= fyx ,
=
= fyy ,
∂x ∂y
∂x∂y
∂y ∂y
∂y 2
微分の順序により，上のように４種類の２次偏導関数ができる．∂ 記号
を使う場合と，下付き添え字で表すとで，文字の順序が異なることに注
意を要する. 関数を z = f (x, y) と表したときは
∂ ∂f
∂ 2z
∂ ∂f
∂2z
=
=
z
,
=
= zxy
xx
∂x ∂x
∂x2
∂y ∂x
∂y∂x
∂ ∂f
∂ 2z
∂ ∂f
∂ 2z
=
= zyx ,
= 2 = zyy
∂x ∂y
∂x∂y
∂y ∂y
∂y
である．
例 1.4.4 z = f (x, y) = x3 − 2x2 y − y 3 + 4x2 + xy − 5y 2 の場合には
zx = 3x2 − 4xy + 8x + y, zy = −2x2 − 3y 2 + x − 10y
∂
∂
zx = 6x − 4y + 8, zxy =
zx = −4x + 1,
∂x
∂y
∂
∂
=
zy = −4x + 1, zyy =
zy = −6y − 10,
∂x
∂y
zxx =
zyx
1.4.2
方向微分，全微分
１変数関数 y = f (x) が x = a で微分可能ならば，x = a で連続，つま
り，limx→a f (x) = f (a) であった．実際 x ̸= a のとき
f (x) − f (a) =
f (x) − f (a)
(x − a)
x−a
と変形できるから，
f (x) − f (a)
lim (x − a) = f ′ (a) × 0 = 0.
x→a
x→a
x−a
lim (f (x) − f (a)) = lim
x→a
ゆえに limx→a f (x) = f (a) が成り立つ．同様に fx (a, b) が存在するならば，
limx→a f (x, b) = f (a, b) であり，fy (a, b) が存在するならば，limy→b f (a, y) =
f (a, b) である．すなわち (x, y) が x 軸に平行な方向, あるいは y 軸に
平行な方向から (a, b) に近づくとき関数値 f (x, y) は f (a, b) に収束する．
しかしそうでない方向から (x, y) が (a, b) に近づくとき，このような収
束性が成り立たない場合がある．
1.4. 偏微分と全微分
例 1.4.5
f (x, y) =
{
xy
x2 +y 2
0
23
(x, y) ̸= (0, 0) のとき
(x, y) = (0, 0) のとき
の場合，f (x, 0) = f (0, y) = 0 であるから，これらの１変数関数は連続で，
fx (x, 0) = fy (0, 0) = 0, とくに fx (0, 0) = fy (0, 0) = 0 である．しかし
lim(x,y)→(0,0) f (x, y) は存在しないから，f (x, y) は (0, 0) で連続ではない．
偏微分係数は x 軸あるいは y 軸に平行な直線上での関数値の変化を調べ
ているだけである．その他の方向での変化を調べるために，(h, k) ̸= (0, 0)
に対して
(x, y) = (a, b) + t(h, k) = (a + th, b + tk)
により定義される t をパラメタとする直線をとる．これは t = 0 のとき，
(x, y) = (a, b) であり，ベクトル (h, k) に沿って (a, b) から延びる直線で
ある．この直線上の f (x, y) の値は f (a + th, b + tk) のようにかける．今
f (a + th, b + tk) − f (a, b)
= Ah,k
t→0
t
lim
が存在するとき，この値をベクトル X = (h, k) に沿った f (x, y) の微分
係数といい，Ah,k = (DX f )(a, b) のようにかく．X = (cos θ, sin θ) の場合
には
f (a + t cos θ, b + t sin θ) − f (a, b)
t→0
t
DX (a, b) = lim
であり，θ 方向の方向微分係数という．X = (1, 0) の場合には DX f (a, b) =
fx (a, b) であり，X = (0, 1) の場合には DX f (a, b) = fy (a, b) である．
DX (a, b) が存在するならば，
lim f (a + th, b + tk) = f (a, b)
t→0
である．
例 1.4.5 の関数の場合，
D(1,0) f (0, 0) = f(0,1) f (0, 0) = 0
である，X = (h, k) の場合，t ̸= 0 のとき
)
(
1
1 hk
t2 hk
f (0 + th, 0 + tk) − f (0, 0)
=
−0 =
．
2
2
2
t
t t (h + k )
t h2 + k 2
第1章
24
偏微分法
h ̸= 0, k ̸= 0 ならば，t → 0 のとき，この値は収束しない．すなわち，
(h, k) に沿った微分係数は (0, 0) で存在しない．
それでは，あらゆる X に沿った微分係数が存在するならば，連続であ
るかと言えば，そうでない場合がある．
例 1.4.6 次のような関数を考える。

x8

(x, y) ̸= (0, 0)
f (x, y) =
(y − x2 )2 + x8

0
(x, y) = (0, 0)
(x, y) ̸= (0, 0) において分母は 0 でないから，この関数は定義できてい
る．直線 (x, y) = t(h, k) に沿った f (x, y) の値は
f (th, tk) =
t8 h8
t6 h8
=
.
t2 (k − th2 )2 + t8 h8
(k − th2 )2 + t6 h8
であるから、limt→0 f (th, tk) = 0. しかし放物線 y = x2 のうえで
f (x, x2 ) =
x8
=1
x8
であるから、原点でこの関数は原点で連続ではない。一方ベクトル X =
(h, k) ̸= (0, 0) に沿った (x, y) = (0, 0) における微分は
1
t 8 h8
t 5 h8
=
lim
t→0 t t2 (k − th2 )2 + t8 h8
t→0 (k − th2 )2 + t6 h8
DX f (0, 0) = lim
最後の極限は k ̸= 0 のとき
t 5 h8
0
=
= 0,
t→0 (k − th2 )2 + t6 h8
k2
lim
k = 0 のときは h ̸= 0 であるから
t5 h8
t 5 h8
t3 h8
0
=
lim
=
lim
= 4 =0
2
2
6
8
2
2
6
8
4
4
8
t→0 (k − th ) + t h
t→0 (−th ) + t h
t→0 h + t h
h
lim
ゆえに関数 f (x, y) はあらゆるベクトル X = (h, k) ̸= (0, 0) に沿って原
点で微分可能で DX f (0, 0) = 0 であるが，原点で連続ではない。
1.4. 偏微分と全微分
25
微分可能性から連続性が導かれるようにするには，微分の意味をさら
に考えなおす必要がある．
1 変数関数 f (x) が x = a で微分可能であるとき、α = f ′ (a) とおき

 f (a + t) − f (a)
− α (t ̸= 0)
ϕ(t) =
t
 0
(t = 0)
とおく。このとき微分の定義から
lim ϕ(t) = 0
(1.12)
t→0
であり、
f (a + t) = f (a) + αt + ϕ(t)t
(1.13)
と表される。逆にこの二つの関係 (1.12), (1.13) が成り立つような定数 α
と t = 0 の近くで定義された関数 ϕ(t) が存在すれば、f (x) は x = a で
微分可能で f ′ (a) = α である。微分可能性がこの二つの関係式で定義で
きるのである。このことから、f (x) が x = a で微分可能ならば、x = a
で連続であることが直ちに導かれる。
この考え方を２変数関数の場合に拡張する。まず点 (a, b) は f (x, y) の
定義域 D の内点であるとする．ゆえに (a, b) を中心とするある半径 r > 0
の円 Ur (a, b) をとると
Ur (a, b) = {(x, y) :
√
(x − a)2 + (y − b)2 < r} ⊂ D
√
h2 + k 2 < r に対して, (a + h, b + k) ∈ Ur (a, b) であり，
√
(1.14)
f (a + h, b + k) − f (a, b) = mh + nk + ϕ(h, k) h2 + k 2
とする. このとき
lim
ϕ(h, k) = 0
(1.15)
(h,k)→(0,0)
であるような定数 m, n と， (h, k) ∈ Ur (0, 0) で定義された関数 ϕ(h, k)
が存在するとき、f (x, y) は (a, b) で全微分可能であるといい、行ベクト
ル (m, n) を f (x, y) の (a, b) における全微分といって
Df (a, b) = [m, n] (２次行ベクトル)
とかく。
第1章
26
偏微分法
補題 1.4.7 f (x, y) が (a, b) で全微分可能であるとする。このとき
(i) f (x, y) は (a, b) で連続である。
(ii) f (x, y) は (a, b) であらゆるベクトル X = (h, k) ̸= (0, 0) にそって
微分可能で
DX f (a, b) = mh + nk.
(1.16)
とくに
fx (a, b) = m, fy (a, b) = n
(1.17)
であるから，(1.16) は次のように表される．
DX f (a, b) = fx (a, b)h + fy (a, b)k.
証明 (i) (1.14) が成り立てば，
lim
f (a + h, b + k) = f (a, b)
(h,k)→(0,0)
である．
√
(ii) (1.14) において x = a+th, y = b+tk と代入すると, (th)2 + (tk)2 <
r のとき
√
f (a + th, b + tk) − f (a, b) = m(th) + n(tk) + ϕ(th, tk) (th)2 + (tk)2
√
√
(th)2 + (tk)2 = |t| h2 + k 2 であるから，
f (a + th, b + tk) − f (a, b)
− (mh + nk)
t
√
ϕ(th, tk)|t| h2 + k 2 √
= = |ϕ(th, tk)| h2 + k 2 → 0 (t → 0)
t
ゆえに (1.16) が成り立つ．
X = (1, 0) のとき DX f (a, b) = fx (a, b), Y = (0, 1) のとき DY f (a, b) =
fy (a, b) であるから，(1.17) が成り立つ．
2
定義 1.4.8 ベクトル (fx (a, b), fy (a, b)) を f (x, y) の (a, b) における勾配
ベクトル (gradient vector) といい、∇f (a, b) と表すこともある:
∇f = (fx , fy )
1.4. 偏微分と全微分
27
定理 1.4.9 f (x, y) が (a, b) のある近傍 Ur (a, b) の各点で偏微分可能で、
fx , fy が連続ならば、f (x, y) は (a, b) で全微分可能である。
証明
∥(h, k)∥ < r とする。平均値の定理により
f (a + h, b + k) − f (a, b)
= f (a + h, b + k) − f (a, b + k) + f (a, b + k) − f (a, b)
= fx (a + σh, b + k)h + fy (a, b + θk)k
= fx (a, b)h + (fx (a + σh, b + k) − fx (a, b))h
+fy (a, b)k + (fy (a, b + θk) − fy (a, b))k
であるような σ, θ ∈ (0, 1) が存在する。したがって
∆fx (h, k) = fx (a + σh, b + k) − fx (a, b),
∆fh (h, k) = fy (a, b + θk) − fy (a, b)
とおくと
f (a+h, b+k)−f (a, b) = fx (a, b)h+fy (a, b)k +∆fx (h, k)h+∆fy (h, k)k
と表される．右辺の第 3,4 項をまとめて
ψ(h, k) = ∆fx (h, k)h + ∆fy (h, k)k.
とおくと Cauchy-Schwarz の不等式により
√
√
|ψ(h, k)| ≤ (∆fx (h, k))2 + (∆fy (h, k))2 h2 + k 2 .
であるから、
|ψ(h, k)|
√
≤
h2 + k 2
√
(∆fx (h, k))2 + (∆fy (h, k))2
fx , fy が (a, b) で連続ならば、(h, k) → (0, 0) のときこの右辺は 0 に収束
する。ゆえに
ψ(h, k)
√
= 0.
(h,k)→(0,0)
h2 + k 2
lim
第1章
28
偏微分法
以上により，
m = fx (a, b), n = fy (a, b)
{
ψ(h,k)
√
(h, k) ̸= (0, 0) のとき
h2 +k2
ϕ(h, k) =
0
(h, k) ̸= (0, 0) のとき
とおくと，(1.14), (1.15) が成り立つ．
2
(a, b) における f (x, y) の全微分を考えるとき， f (x, y) は (a, b) のあ
る近傍全体で定義されている必要がある．f (x, y) の定義域が開集合なら
ばこの条件が成り立つ．
定義 1.4.10 関数 f (x, y) の偏導関数 fx (x, y), fy (x, y) が開集合 D の各
点で存在して連続であるとき，f (x, y) は D において連続微分可能であ
る，あるいは C 1 級の関数であるという．f (x, y) の n 次までの偏導関数
が存在して連続であるときは，n 回連続微分可能である，あるいは C n 級
の関数であるという．C n 級の関数の集合を C n (D) とあらわす． C ∞ (D)
は全ての次数の偏導関数が存在して連続である関数の集合を表す．
系 1.4.11 f (x, y) が開集合 D において連続微分可能ならば，D におい
て全微分可能で連続である．
1.4.3
接平面
f (x, y) は (a, b) で全微分可能であるとする．全微分可能条件 (1.14),(1.15)
は，x − a = h, y − b = k とおくと，
f (x, y) − f (a, b) = fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)
√
+ ϕ(x − a, y − b) (x − a)2 + (y − b)2
lim
(x,y)→(a,b)
(1.18)
ϕ(x − a, y − b) = 0
と表される．そのグラフの上の点 (a, b, f (a, b)) を含む平面
π : z = f (a, b) + fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b)
を考える。右辺は全微分の定義の右辺 (1.18) から
√
ϕ(x − a, y − b) (x − a)2 + (y − b)2
(1.19)
1.4. 偏微分と全微分
29
を除いた１次式である。y = b とおくと、
z = f (a, b) + fx (a, b)(x − a)
であり、これは 1 変数関数 z = f (x, b) の x = a における接線 L の方程
式である。x = a とおくと、
z = f (a, b) + fy (a, b)(y − b)
であり、これは 1 変数関数 z = f (a, y) の y = b における接線 M の方程
式である。また (a, b) を通り (h, k) 方向の直線 x = a + th, y = b + tk の
うえで z = f (x, y) の値は
z = f (a + th, b + tk)
(1.20)
と表される．
dz
(0) = fx (a, b)h + fy (a, b)k
dt
であるから (1.20) のグラフの t = 0 における接線 N は
z = z(0) + z ′ (0)(t − 0) = f (a, b) + (fx (a, b)h + fy (a, b)k)t
= f (a, b) + fx (a, b)(th) + fy (a, b)(tk)
いま th = x − a, tk = y − b であるから，この接線上 N の点 (x, y, z) は
(1.19) で定義される平面 π 上にある．
ゆえに π はこの接線 L, M, N を含む平面である。平面 π を, z =
f (x, y) のグラフの点 (x, y) = (a, b) における接平面という．
接平面 π が S に接する様子をみる．そのために補題を一つ用意しよう．
補題 1.4.12 点 P (x0 , y0 , z0 ) から平面 z = ax + by + c に下ろした垂線
P H の長さは
PH =
|z0 − ax0 − by0 − c|
√
a2 + b2 + 1
証明 (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 ) を平面上の異なる２点とすると、
z1 = ax1 + by1 + c,
z2 = ax2 + by2 + c
第1章
30
偏微分法
であるから、
a(x1 − x2 ) + b(y1 − y2 ) − (z1 − z2 ) = 0
であるから、ベクトル (a, b, −1) はベクトル (x1 , y1 , z1 ) − (x2 , y2 , z2 ) に直
交する。ゆえに P から平面 z = ax + by + c に引く垂線はパラメタ t を
用いて
(x, y, z) = (x0 , y0 , z0 ) + t(a, b, −1) = (x0 + at, y0 + bt, z0 − t)
と表される。したがって H(x, y, z) が平面 z = ax + by + c 上にある条件
は，t が
z0 − t = a(x0 + ta) + b(y0 + tb) + c
を満たすこととなる．これをとくと
t=
z0 − ax0 − by0 − c
.
a2 + b2 + 1
ゆえに
√
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2
√
|z0 − ax0 − by0 − c|
√
= |t a2 + b2 + 1| =
a2 + b2 + 1
PH =
2.
定理 1.4.13 関数 z = f (x, y) が (a, b) で全微分可能であるとし、この関
数のグラフ S 上に点
P (a, b, f (a, b)) と、他の点 Q(x, y, f (x, y)), ((x, y) ̸= (a, b))
をとり、Q から接平面 π に垂線 QH をひく。線分 P Q と接平面 π のな
であるが，このとき
す角を θ とすると，sin θ = QH
PQ
QH
= 0.
(x,y)→(a,b) P Q
lim
したがって Q が P に近づくとき θ → 0 である．
(1.21)
1.4. 偏微分と全微分
31
証明 (1.21) を示せば十分である．補題 1.4.12 により
|f (x, y) − f (a, b) − fx (a, b)(x − a) − fy (a, b)(y − b)|
√
fx (a, b)2 + fy (a, b)2 + 1
≤ |f (x, y) − f (a, b) − fx (a, b)(x − a) − fy (a, b)(y − b)|.
QH =
また
PQ =
√
√
(x − a)2 + (y − b)2 + (f (x, y) − f (a, b))2 ≥ (x − a)2 + (y − b)2 .
ゆえに
QH
|f (x, y) − f (a, b) − fx (a, b)(x − a) − fy (a, b)(y − b)|
√
≤
PQ
(x − a)2 + (y − b)2
= |ϕ(x − a, y − b)|
であるから、定理を得る。
1.4.4
2
勾配ベクトル場
z = f (x, y) が連続微分可能ならば，ベクトル X = (h, k) に対して方向
微分は DX f (a, b) = fx (a, b)h + fy (a, b)k であった．したがって方向微分
の定義により，
f (a + th, b + tk) − f (a, b)
= fx (a, b)h + fy (a, b)k
t→0
t
lim
である．この右辺は勾配ベクトル ∇f = (fx (a, b), fy (a, b)) とベクトル
X = (h, k) の内積である．したがって，この二つのベクトルの間の角を
θ とすると，
√
f (a + th, b + tk) − f (a, b)
= ∥∇f (a, b)∥ h2 + k 2 cos θ
t→0
t
lim
(a, b) を通る直線
x = a + th, y = b + tk
(1.22)
上での z = f (x, y) の値は，z(t) = f (a + th, b + tk) のように表される．
z ′ (0) が f (x, y) の X = (h, k) における方向微分である．したがって次の
定理が成り立つ．
第1章
32
偏微分法
定理 1.4.14 f (x, y) が連続微分可能であり，
∇f (a, b) = (fx (a, b), fy (a, b)) ̸= (0, 0), X = (h, k) ̸= (0, 0)
とし，この二つのベクトルの間の角を θ とする．
• 0 ≤ θ < π2 のとき直線 (1.22) に沿って f (x, y) の値は (x, y) = (a, b)
の近くで増加する．
•
< θ ≤ π のとき直線 (1.22) に沿って f (x, y) の値は (x, y) = (a, b)
の近くで減少する．
π
2
• 特に ∇f (a, b) は (a, b) において f (x, y) が一番増大する向きを表す．
定義 1.4.15 関数 f (x, y) があるとき．その定義域 D の各点 P (x, y) に
おいて，P を始点とするベクトル
−→
P Q = ∇f = (fx (x, y), fy (x, y))
を対応させるとき，この対応を f (x, y) の勾配ベクトル場という．
例 1.4.16 (1) f (x, y) = x2 + y 2 のとき，点 P (a, b) において，
∇f (a, b) = (2a, 2b)
である．原点を O とすると，このベクトルは 2OP であり，f (x, y) は原
点から遠ざかる方向で増大する．
(2) f (x, y) = x2 − y 2 のとき，点 P (a, b) において，
∇f (a, b) = (2a, −2b)
である，P が第１象限にあれば，∇f (a, b) は下右向き，P が第 2 象限に
あれば，∇f (a, b) は下左向き，P が第 3 象限にあれば，∇f (a, b) は下右
向き，P が第４象限にあれば，∇f (a, b) は上右向きである．
1.4.5
合成関数の微分
いま t をパラメタとする (a, b) を通る直線
x = ϕ(t) = a + th, y = ψ(t) = b + tk
1.4. 偏微分と全微分
33
をとると，z(t) = f (a + th, b + tk) = f (ϕ(t), ψ(t)) と表され，これは
f (x, y) に x = ϕ(t), y = ψ(t) を代入してできる１変数関数である. ϕ′ (0) =
h, ψ ′ (0) = k であるから，fX (a, b) = fx (a, b)h + fy (a, b)k は次のように書
き直せる．
z ′ (0) = fx (ϕ(0), ψ(0))ϕ′ (0) + fy (ϕ(0), ψ(0))ψ ′ (0).
x = ϕ(t), y = ψ(t) が直線でない場合にも同様の関係式が成り立つことを
以下で示す．
たとえば z が x, y の２変数関数により
z = f (x, y) = x4 − x2 y 3 − y 4
と表されるとき，x, y に微分可能な関数 x = ϕ(t), y = ψ(t) を代入すると
z = ϕ(t)4 − ϕ(t)2 ψ(t)3 − ψ(t)4
により z は１変数の関数になる．このとき合成関数の微分法により，次
の関係式が成り立つ．
=
=
=
=
=
dz
dt
4ϕ(t)3 ϕ′ (t) − 2ϕ(t)ϕ′ (t)ψ(t)3 − ϕ(t)2 (3ψ(t)2 )ψ ′ (t) − 4ψ(t)3 ψ ′ (t)
dx
dx
dy
dy
4x3
− 2x y 3 − x2 3y 2 − 4y 3
dt
dt
dt
dt
dy
dx
(4x3 − 2xy 3 ) + (−x2 3y 2 − 4y 3 )
dt
dt
dx
dy
fx (x, y) + fy (x, y)
dt
dt
∂z dx ∂z dy
+
∂x dt
∂y dt
このような合成関数の微分法則が一般的に成り立つ．
定理 1.4.17 z = f (x, y) が開集合 D で全微分可能で（たとえば D にお
いて偏導関数が連続ならば全微分可能）、x = ϕ(t), y = ψ(t) が t の区
間 I で微分可能で (ϕ(t), ψ(t)) ∈ D(t ∈ I) とする。このとき合成関数
z = f (ϕ(t), ψ(t)) は I で微分可能で
d
f (ϕ(t), ψ(t)) = fx (ϕ(t), ψ(t))ϕ′ (t) + fy (ϕ(t), ψ(t))ψ ′ (t)
dt
(1.23)
第1章
34
偏微分法
が成り立つ。この関係式を省略形でつぎのように表す。
dz
∂z dx ∂z dy
=
+
.
dt
∂x dt
∂y dt
証明 c ∈ I を固定し a = ϕ(c), b = ψ(c) とおく。t = c のとき (1.23)
式は
d
f (x(t), y(t))|t=c = fx (a, b)ϕ′ (c) + fy (a, b)ψ ′ (c)
dt
(1.24)
であるから，この式を証明する．(a, b) で f (x, y) は全微分可能であるから
lim
Φ(∆x, ∆y) = 0
(∆x,∆y)→(0,0)
である関数 Φ を用いて次のことがなりたつ：
f (a + ∆x, b + ∆y) = f (a, b) + fx (a, b)∆x + fy (a, b)∆y
√
+Φ(∆x, ∆y) (∆x)2 + (∆y)2
ここで
∆x = ϕ(c+h)−ϕ(c) = ϕ(c+h)−a, ∆y = ψ(c+h)−ψ(c) = ψ(c+h)−b
ととると、a + ∆x = ϕ(c + h),
のとき
b + ∆y = ψ(c + h) であるから、h ̸= 0
1
(f (ϕ(c + h), ψ(c + h)) − f (a, b))
h
ϕ(c + h) − ϕ(c)
ψ(c + h) − ψ(c)
= fx (a, b)
+ fy (a, b)
h
√h
2
2
(∆x) + (∆y)
+Φ(∆x, ∆y)
.
h
h > 0 ならば
√(
√
)2 (
)2
2
2
√
(∆x) + (∆y)
∆y
∆x
=
+
→ ϕ′ (c)2 + ψ ′ (c)2 (h → 0+)
h
h
h
である。また limh→0 ∆x = 0, limh→0 ∆y = 0 であるから、limh→0 Φ(∆x, ∆y) =
0 である。ゆえに
√
√
(∆x)2 + (∆y)2
= 0 × ϕ′ (c)2 + ψ ′ (c)2 = 0.
lim Φ(∆x, ∆y)
h→0+
h
1.4. 偏微分と全微分
35
同様に
√
lim Φ(∆x, ∆y)
h→0−
√
(∆x)2 + (∆y)2
= 0 × (− ϕ′ (c)2 + ψ ′ (c)2 ) = 0.
h
したがって
1
lim (f (ϕ(c + h), ψ(c + h)) − f (a, b))
h→0 h
ϕ(c + h) − ϕ(c)
ψ(c + h) − ψ(c)
= fx (a, b) lim
+ fy (a, b) lim
h→0
h→0
h
√h
2
2
(∆x) + (∆y)
+ lim Φ(∆x, ∆y)
h→0
h
′
′
= fx (a, b)ϕ (c) + fy (a, b)ψ (c)
2
パラメタ t を用いて表される曲線
C : (x, y) = (ϕ(t), ψ(t))
(1.25)
は ϕ′ (t), ψ ′ (t) が存在して連続関数であるとき，滑らかな曲線であるとい
う．合成関数の微分公式 (1.23) の右辺は，z = f (x, y) の勾配ベクトル
∇f とパラメタ曲線 C の接ベクトル X = (ϕ′ (t), ψ ′ (t)) との内積である:
∇f · X = fx (ϕ(t), ψ(t))ϕ′ (t) + fy (ϕ(t), ψ(t))ψ ′ (t).
∇f ̸= (0, 0) と X ̸= (0, 0) とする，∇f と X の間の各を θ(t) とすると，
∇f · X = ∥∇f ∥∥X∥ cos θ(t)
が成り立つ．したがって
F (t) = f (ϕ(t), ψ(t))
(1.26)
とおくと，
F ′ (t) = ∥∇f ∥∥X∥ cos θ(t).
以上により，次の定理が成り立つ．
定理 1.4.18 滑らかな曲線 C (1.25) の上での f (x, y) の値 F (t) は ∇f と
C の接ベクトルの間の各 θ(t) が
第1章
36
(i) 0 ≤ θ(t) <
(ii)
π
2
π
2
偏微分法
である t の区間では増加する．
< θ(t) < π である t の区間では減少する．
曲線の接ベクトルの意味を明らかにしておこう．P = (ϕ(a), ψ(a)), Q =
(ϕ(t), ψ(t)) を C 上の点とする．このとき P を始点とし，Q を終点とす
−→
る有向線分は P Q = (ϕ(t) − ϕ(a), ψ(t) − ψ(a)) である．いま
(ϕ′ (a), ψ ′ (a)) ̸= (0, 0)
(1.27)
であるとき C は t = a において正則であるという．そうでないときは特
異であるという．
たとえば ϕ′ (a) ̸= 0 とすると，x = ϕ(t) の逆関数 t = t(x) が存在し連
続である．したがって点 Q が P に近づくことと，t → a とは同値にな
る．また曲線 C は x = ϕ(a) の近くで
y = ψ(ϕ−1 (x))
と表され，関数のグラフになる．１変数関数の逆関数微分の公式より，
dy
dy dt
ψ ′ (t)
=
= ′
dx
dt dx
ϕ (t)
である．同様に ψ ′ (a) ̸= 0 のときは y = ψ(a) の近くで
x = ϕ(ψ −1 (y))
のように表される．１変数関数の逆関数微分の公式より，
dx
dx dt
ϕ′ (t)
=
= ′
dy
dt dy
ψ (t)
である．
定義 1.4.19 ϕ(t), ψ(t) が連続微分可能で (1.27) が成り立つとする．ベ
クトル X = (h, k) が P (ϕ(a), ϕ(a)) における曲線 C の接ベクトルで
あるとは，P に収束する C 上の点列 {Qn (ϕ(tn ), ψ(tn ))} （ただし tn >
a, limn→∞ tn = a） と，正または零の実数の列 {λn } が存在し，
−−→
lim λn P Qn = X
(1.28)
n→∞
(⇐⇒ lim λn (ϕ(tn ) − ϕ(a), ψ(tn ) − ψ(a)) = (h, k))
n→∞
となることである．
(1.29)
1.4. 偏微分と全微分
37
定理 1.4.20 x = ϕ(t), y = ψ(t) が微分可能で (ϕ′ (a), ψ ′ (a)) ̸= (0, 0) であ
るとき，(1.25) で定義される曲線 C の P (a, b) における接ベクトル X は
X = λ(ϕ′ (a), ψ ′ (a))
(λ は任意の正または零の実数)
で与えられる．
証明 X = (h, k) が曲線 C の P (a, b) における接ベクトルとすると，
(1.29) が成り立つ．いまたとえば ϕ′ (a) ̸= 0 とすると，
h = lim λn (ϕ(tn ) − ϕ(a)) = lim λn (tn − a)
n→∞
n→∞
ϕ(tn ) − ϕ(a)
tn − a
より，limn→∞ λn (tn − a) = λ ≥ 0 が存在して,h = λϕ′ (a) である．した
がって
k = lim λn (tn − a)
n→∞
ψ(tn ) − ϕ(a)
= λψ ′ (a).
tn − a
もなりたち，X = λ(ϕ′ (a), ψ ′ (a)) である．
逆に λ ≥ 0 とし，limn→∞ tn = a である任意の数列 {tn } (ただし tn > a)
に対して λn = tnλ−a とおくと，λn ≥ 0 であり，
lim λn (ϕ(tn ) − ϕ(a)) = lim λ
n→∞
n→∞
ϕ(tn ) − ϕ(a)
= λϕ′ (a),
tn − a
lim λn (ψ(tn ) − ψ(a)) = lim λ
n→∞
n→∞
ψ(tn ) − ψ(a)
= λψ ′ (a).
tn − a
2
例 1.4.21
C : x = cos θ, y = sin θ
で表される曲線は単位円（原点 O を中心とする半径 1 の円）である．そ
の上の点 P (cos θ, sin θ) における接ベクトル X は
X = λ(− sin θ, cos θ)
であり，半径 OP に直交する．
第1章
38
1.4.6
偏微分法
ヤコビアン
関数 z = f (x, y) の独立変数 x, y も２変数 u, v を用いて x = x(u, v), y =
y(u, v) と表されるとき，合成関数
z = f (x(u, v), y(u, v))
は２変数関数になる．この場合の微分法則は次のようになる．
定理 1.4.22 z = f (x, y) は xy 平面のある開集合 D で連続微分可能，
x = x(u, v), y = y(u, v) は uv 平面のある開集合 E で連続微分可能で，
(u, v) ∈ E =⇒ (x(u, v), y(u, v)) ∈ D
とする．このとき合成関数 z = f (x(u, v), y(u, v)) は E において連続微
分可能で，次の微分公式がなりたつ．
∂z
∂x
∂y
= fx (x(u, v), y(u, v)) (u, v) + fy (x(u, v), y(u, v)) (u, v) (1.30)
∂u
∂u
∂u
∂z
∂x
∂y
= fx (x(u, v), y(u, v)) (u, v) + fy (x(u, v), y(u, v)) (u, v) (1.31)
∂v
∂v
∂v
この式を次のような形式であらわす．
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
∂u
∂x ∂u ∂y ∂u
∂z
∂z ∂x ∂z ∂y
=
+
∂v
∂x ∂v ∂y ∂v
(1.32)
証明
F (u, v) = f (x(u, v), y(u, v))
∂z
とおくと， ∂u
は v を定数として，F (u, v) を u に関して微分したもので
ある．v = b を定数として仮に
x = ϕ(u) = x(u, b), y = ψ(u) = y(u, b)
とおく，z = F (u, b) = f (ϕ(u), ψ(u)) を u に関して微分する．定理 1.4.17
により，
dϕ
dψ
∂z
= fx (ϕ(u), ψ(u))
+ fy (ϕ(u), ψ(u))
∂u
du
du
∂x
∂y
= fx (x(u, b), y(u, b)) (u, b) + fy (x(u, b), y(u, b)) (u, b)
∂u
∂u
1.4. 偏微分と全微分
39
b はどのような定数でもよいから，b を v と書きかえると (1.30) になる．
同様に (1.31) も成り立つ．
2
(1.32) 式は，ベクトル，行列の記号を用いて次のように表される．


[
] [
] ∂x ∂x
∂z ∂z
∂z ∂z  ∂u ∂v 
=
(1.33)
 ∂y ∂y 
∂u ∂v
∂x ∂y
∂u ∂v
uv 平面の開集合 E で定義された二つの関数 x = x(u, v), y = y(u, v) に
より，uv 平面の開集合 E の点 (u, v) を xy 平面の点 (x(u, v), y(u, v)) に
移す写像 Φ ができる．この写像を，点は列ベクトルと見なして
[ ]
[
]
u
x(u, v)
Φ:
7→
(1.34)
v
y(u, v)
のように表す．x(u, v), y(u, v) が C 1 級の関数であるとき，写像 Φ は C 1
級であるという．
定義 1.4.23 (1.34) で定義される写像 Φ に対して，行列


∂x
∂x
(u, v)
(u, v) 
D(x, y)

∂v
(u, v) =  ∂u

∂y
∂y
D(u, v)
(u, v)
(u, v)
∂u
∂v
(1.35)
を Φ の (u, v) におけるヤコビ (Jacobi) 行列あるいは関数行列という．ま
たその行列式を
∂x
∂x
(u,
v)
(u,
v)
∂(x, y)
∂v
(u, v) = ∂u
∂y (u, v) ∂y (u, v) ∂(u, v)
∂u
∂v
∂y
∂x
∂y
∂x
(u, v) (u, v) −
(u, v) (u, v)
=
∂u
∂v
∂v
∂u
のように表し，写像 Φ の (u, v) におけるヤコビアン (Jacobian) あるい
は関数行列式という．
定義 1.4.24 (1.35) で定義される Φ の (u, v) におけるヤコビ行列を Φ′ (u, v)
のように表す場合がある:


∂x
∂x
(u, v)
(u, v) 

∂v
Φ′ (u, v) =  ∂u

∂y
∂y
(u, v)
(u, v)
∂u
∂v
第1章
40
偏微分法
例 1.4.25 (1) 線形写像
x = a11 u + a12 v
,
y = a21 u + a22 v
(1.36)
のとき，
D(x, y)
=
D(u, v)
[
]
a11 a12
a21 a22
,
写像 (1.45) を行列，ベクトルで表すと
[ ] [
][ ]
x
a11 a12
u
=
y
a21 a22
v
線形写像のヤコビ行列は，この右辺の係数行列である．
とくに x = u, y = v のとき，すなわち恒等写像
[ ] [
][ ]
x
1 0
u
=
y
0 1
v
[
]
1 0
のヤコビ行列は単位行列 I =
である．
0 1
(2) xy 平面の点 P (x, y) と原点 O(0, 0) の距離を r とおき（ただし，
P ̸= O), 半直線 OP が正の x 軸となす角を θ とおくと，
x = r cos θ
y = r sin θ
(1.37)
と表される．(r, θ) を P (x, y) の極座標という．この対応により D = {(x, y) :
(x, y) ̸= (0, 0)} と E = {(r, θ) : r > 0, −π < θ ≤ π} とが対応する．この
とき
[
]
D(x, y)
∂(x,
y)
cos θ −r sin θ
cos θ −r sin θ =
,
=
=r
sin θ r cos θ D(r, θ)
∂(r, θ)
sin θ r cos θ
ヤコビ行列を用いると，(1.33) 式は
[
] [
]
∂z ∂z
∂z ∂z D(x, y)
=
∂u ∂v
∂x ∂y D(u, v)
(1.38)
1.4. 偏微分と全微分
41
のように表される．いま D で連続微分可能なもう一つの関数 w = g(x, y)
があるとすると，合成関数 w = g(x(u, v), y(u, v)) も E で連続微分可能で
[
] [
]
∂w ∂w
∂w ∂w D(x, y)
=
(1.39)
∂u ∂v
∂x ∂y D(u, v)
(1.38),(1.39)

∂z
 ∂u
 ∂w
∂u
式はまとめて次のように行列の関係式として表される．
 


∂z ∂z
∂z
∂x ∂x
∂v   ∂x ∂y   ∂u ∂v 
(1.40)
∂w  =  ∂w ∂w   ∂y ∂y  .
∂v
∂x ∂y
∂u ∂v
つまり, z = f (x, y), w = g(x, y) により定義される写像を
[ ]
[
]
x
f (x, y)
Ψ:
7→
y
g(x, y)
(1.41)
で表すと，
z = f (x(u, v), y(u, v)), w = g(x(u, v), y(u, v)) に
(1.42)
により定義される写像は
[ ]
[
]
[
]
u
x(u,
v)
f
(x(u,
v),
y(u,
v))
Φ
Ψ
7→
7→
v
y(u, v)
g(x(u, v), y(u, v))
のように，対応 Φ と Ψ を続けてできる写像である．この写像を Ψ ◦ Φ
と書き，Φ と Ψ の合成写像という．(1.40) は，合成写像 Ψ ◦ Φ のヤコビ
行列が Ψ, Φ のヤコビ行列の積である事を表す．
定理 1.4.26 xy 平面の開集合 D で (1.41) により定義される写像 Ψ と，
uv 平面の開集合 E で (1.34) により定義される写像 Φ がともに C 1 級で
あり，
(u, v) ∈ E =⇒ (x(u, v), y(y, v)) ∈ D
であるとする．このとき (1.42) により決まる合成写像 Ψ ◦ Φ に対して，
次が成り立つ
D(z, w)
D(x, y)
D(z, w)
(u, v) =
(x(u, v), y(u, v))
(u, v).
D(u, v)
D(x, y)
D(u, v)
(1.43)
またその行列式をとれば
∂(z, w)
∂(z, w)
∂(x, y)
(u, v) =
(x(u, v), y(u, v))
(u, v).
∂(u, v)
∂(x, y)
∂(u, v)
(1.44)
第1章
42
偏微分法
系 1.4.27 (1.43) 式は
(Ψ ◦ Φ)′ (u, v) = Ψ′ (Φ(u, v))Φ′ (u, v)
と表され，(1.44) 式は
det((Ψ ◦ Φ)′ (u, v)) = det(Ψ′ (Φ(u, v))) det(Φ′ (u, v))
と表される．
例 1.4.28 線形写像
z = a11 x + a12 y
,
w = a21 x + a22 y
x = b11 u + b12 v
y = b21 u + b22 v
(1.45)
のとき，
D(z, w)
=
D(x, y)
[
]
a11 a12
a21 a22
D(x, y)
,
=
D(u, v)
[
]
b11 b12
b21 b22
写像 (1.45) を行列，ベクトルで表すと
[
] [
][ ] [ ] [
][ ]
z
a11 a12
x
x
b11 b12
u
=
,
=
w
a21 a22
y
y
b21 b22
v
となり，合成写像は
[
] [
][
][ ]
z
a11 a12
b11 b12
u
=
.
w
a21 a22
b21 b22
v
ゆえに
D(z, w)
=
D(u, v)
]
][
[
a11 a12
a21 a22
b11 b12
b21 b22
=
D(z, w) D(x, y)
.
D(x, y) D(u, v)
aij を (i, j) 成分とする行列を A, bij を (i, j) 成分とする行列を B とお
くと，
∂(z, w)
∂(z, w) ∂(x, y)
= det(AB) = det(A) det(B) =
.
∂(u, v)
∂(x, y) ∂(u, v)
1.4. 偏微分と全微分
43
３変数関数 y = f (x1 , x2 , x3 ) の場合には，勾配ベクトル ∇f は
(
)
∂f
∂f
∂f
∇f (x1 , x2 , x3 ) =
(x1 , x2 , x3 ),
(x1 , x2 , x3 ),
(x1 , x2 , x3 )
∂x1
∂x2
∂x3
のように定義される．
x1 , x2 , x3 が t の関数として x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), x3 = x3 (t) のように
表されるときできる合成関数
F (t) = f (x1 (t), x2 (t), x3 (t))
の微分は
F ′ (t) = fx1 (x1 (t), x2 (t), x3 (t))x′1 (t)
+ fx2 (x1 (t), x2 (t), x3 (t))x′2 (t) + fx3 (x1 (t), x2 (t), x3 (t))x′3 (t)
= ∇f (x1 (t), x2 (t), x3 (t)) · (x′1 (t), x′2 (t), x′3 (t))
この式を省略形で
∂y dx1
∂y dx2 ∂y dx3
dy
=
+
dt
∂x1 dt
∂x2 dt ∂x3 dt
のように表す．
x1 , x2 , x3 が t1 , t2 , t3 の関数として


 x1 = x1 (t1 , t2 , t3 )
x2 = x2 (t1 , t2 , t3 )

 x = x (t , t , t )
3
3 1 2 3
(1.46)
のように表されるときできる合成関数
F (t1 , t2 , t3 ) = f (x1 (t1 , t2 , t3 ), x2 (t1 , t2 , t3 ), x3 (t1 , t2 , t3 ))
の tk , k = 1, 2, 3 に関する偏微分は
∑ ∂f
∂xj
∂F
(t1 , t2 , t3 ) =
(x1 (t1 , t2 , t3 ), x2 (t1 , t2 , t3 ), x3 (t1 , t2 , t3 ))
(t1 , t2 , t3 ),
∂tk
∂xj
∂tk
j=1
3
あるいはこれを省略形で次のように表す．
∑ ∂y ∂xj
∂y
=
.
∂tk
∂xj ∂tk
j=1
3
第1章
44
ベクトル，行列を用いて表せば
[
]
[
]

∂y ∂y ∂y
∂y ∂y ∂y 
=

∂t1 ∂t2 ∂t3
∂x1 ∂x2 ∂x3
∂x1
∂t1
∂x2
∂t1
∂x3
∂t1
∂x1
∂t2
∂x2
∂t2
∂x3
∂t2
∂x1
∂t3
∂x2
∂t3
∂x3
∂t3
偏微分法



(1.46) により，R3 の点 (t1 , t2 , t3 ) から点 (x1 , x2 , x3 ) への写像 Φ が決ま
D(x1 , x2 , x3 )
∂x
る． ∂tkj を (j, k) 成分とする 3 × 3 行列を
で表し，Φ のヤ
D(t1 , t2 , t3 )
∂(x1 , x2 , x3 )
コビ行列あるいは関数行列という．その行列式は
で表し，Φ
∂(t1 , t2 , t3 )
のヤコビアンあるいは関数行列式という．
３個の３変数関数


 y1 = f1 (x1 , x2 , x3 )
y2 = f2 (x1 , x2 , x3 )

 y = f (x , x , x )
3
3 1
2
3
により，R3 の点 (x1 , x2 , x3 ) から点 (y1 , y2 , y3 ) への写像 Ψ が決まる．Φ
と Ψ の合成写像 Ψ ◦ Φ は


 y1 = f1 (x1 (t1 , t2 , t3 ), x2 (t1 , t2 , t3 ), x3 (t1 , t2 , t3 ))
y2 = f2 (x1 (t1 , t2 , t3 ), x2 (t1 , t2 , t3 ), x3 (t1 , t2 , t3 ))

 y = f (x (t , t , t ), x (t , t , t ), x (t , t , t ))
3
3 1 1 2 3
2 1 2 3
3 1 2 3
により定められる．このとき
D(y1 , y2 , y3 )
D(y1 , y2 , y3 ) D(x1 , x2 , x3 )
=
,
D(t1 , t2 , t3 )
D(x1 , x2 , x3 ) D(t1 , t2 , t3 )
∂(y1 , y2 , y3 )
∂(y1 , y2 , y3 ) ∂(x1 , x2 , x3 )
=
∂(t1 , t2 , t3 )
∂(x1 , x2 , x3 ) ∂(t1 , t2 , t3 )
例 1.4.29 ３次元 xyz 空間の点 P (x, y, z) と原点 O(0, 0, 0) の距離を r と
し，OP と z 軸の正の部分との角を θ, (0 ≤ θ ≤ π) とする．P から xy 平
面に垂線 P Q を引く．Q の座標は Q(x, y, 0) である．OQ と x 軸の正の部
分との角を ϕ, (0 ≤ ϕ ≤ 2π) とおく．このとき P Q = OP cos θ であるか
ら，z = r cos θ. また OQ = OP sin θ であり，x = OQ cos ϕ, y = OQ sin ϕ
であるから，x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ. ゆえに


 x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ

 z = r cos θ
1.4. 偏微分と全微分
45
(r, θ, ϕ) を点 P (x, y, z) の３次元極座標という．このとき


sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ
D(x, y, z) 

=  sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ 
D(r, θ, ϕ)
cos θ
−r sin θ
0
またその行列式をサラスの公式により計算すると
∂(x, y, z)
= r2 sin θ cos2 θ cos2 ϕ + r2 sin3 θ sin2 ϕ
∂(r, θ, ϕ)
+ r2 sin θ cos2 θ sin2 ϕ + r2 sin3 θ cos2 ϕ
= r2 sin θ cos2 θ + r2 sin3 θ
= r2 sin θ(cos2 θ + sin2 θ)
= r2 sin θ
1.4.7
逆写像のヤコビアン
D, E を R2 の部分集合とする．写像 Φ : E → D に対して
Φ(E) = {Φ(u, v) : (u, v) ∈ E}
とおき，Φ による E の像という．E の点を Φ によって D の中に写した
点の全体であるから，Φ(E) ⊂ D である．Φ(E) = D となるとき．Φ は
全射，あるいは D の上への写像であるという．D の各点 (x, y) に対して
Φ(u, v) = (x, y) となる E の点 (u, v) があるときである．
一方 (u, v) ̸= (u′ , v ′ ) ならば， Φ(u, v) ̸= Φ(u′ , v ′ ) であるとき， Φ は単
射あるいは１対１の写像であるという．違う点は違う点に移る場合であ
る．Φ(u, v) = Φ(u′ , v ′ ) ならば，(u, v) = (u′ , v ′ ) である場合と言っても同
じである．
全射であり，しかも単射である写像は全単射であるという．Φ : E → D
が全単射であるとき，D の各点 (x, y) に対して Φ(u, v) = (x, y) であ
るような E の点 (u, v) がただ一つ定まる．(x, y) ∈ D にこのような点
(u, v) ∈ E を対応させる写像を Ψ : D → E とおく:
Ψ(x, y) = (u, v) ⇐⇒ Φ(u, v) = (x, y).
(1.47)
この式の右辺に左辺を代入して
Φ(Ψ(x, y)) = (x, y).
(1.48)
第1章
46
偏微分法
また左辺に右辺を代入して
Ψ(Φ(u, v)) = (u, v).
(1.49)
ゆえに D における恒等写像を ID と表し，E における恒等写像を IE と
表せば（ID (x, y) = (x, y), IE (u, v) = (u, v))，
Φ ◦ Ψ = ID , Ψ ◦ Φ = IE .
(1.50)
Ψ を Φ の逆写像といって，Ψ = Φ−1 と書く．Φ, Ψ の役割を入れ替えて
見れば，Φ は Ψ の逆写像である:Φ = Ψ−1 .
Φ : E → D, Ψ : D → E を変数を用いて
[ ]
[
]
[ ]
[
]
u
x(u, v)
x
u(x, y)
Φ:
7→
, Ψ:
7→
(1.51)
v
y(u, v)
y
v(x, y)
のように表すと，(1.48), (1.49) 式はそれぞれ次のように表される．
[
] [ ] [
] [ ]
x(u(x, y), v(x, y))
x
u(x(u, v), x(u, v))
u
=
,
=
,
y(u(x, y), v(x, y))
y
v(x(u, v), y(u, v))
v
定理 1.4.30 Φ : E → D が全単射で．Ψ = Φ−1 : D → E とし，Φ, Ψ が
変数を用いて (1.51) のように表されるとする．D, E が開集合で Φ, Ψ が
C 1 級ならば，
D(x, y) D(u, v)
D(u, v) D(x, u)
= I,
= I,
D(u, v) D(x, y)
D(x, y) D(u, v)
である．両辺の行列式をとると
∂(x, y) ∂(u, v)
∂(x, y)
= 1, すなわち
=
∂(u, v) ∂(x, y)
∂(u, v)
したがって
1
∂(u,v)
∂(x,y)
D(x, y) D(u, v)
,
は正則行列で互いに他の逆行列である.
D(u, v) D(x, y)
証明 Φ, Ψ を (1.51) のように表すと，それぞれのヤコビ行列は
D(x, y) D(u, v)
,
D(u, v) D(x, y)
D(x,y) D(u,v)
であり，恒等写
と表される．合成写像 Φ ◦ Ψ のヤコビ行列は D(u,v)
D(x,y)
像のヤコビ行列は I であるから，Φ ◦ Ψ = ID の両辺のヤコビ行列をとっ
D(x,y) D(u,v)
て D(u,v)
= I が成り立つ．同様に Ψ ◦ Φ = IE の両辺のヤコビ行列
D(x,y)
をとって
D(u,v) D(x,y)
D(x,y) D(u,v)
= I が成り立つ．
2
1.4. 偏微分と全微分
47
例 1.4.31 (1) 極座標
x = r cos θ y = r sin θ
により定義される写像を
[ ]
[ ]
r
x
Φ:
7→:
θ
y
と考える．D = {(x, y) : (x, y) ̸= (0, 0)} と E = {(r, θ) : r > 0, −π < θ ≤
π} とが対応する．x, y が r, θ を用いて (1.37) のように表されるとき． 逆
に r, θ は x, y により次のように表される．まず
√
x2 + y 2 = r2 (cos2 θ + sin2 θ) = r2 =⇒ r = x2 + y 2 .
つぎに cos θ ̸= 0 のとき
(y)
y
sin θ
.
=
= tan θ =⇒ θ = arctan
x
cos θ
x
あるいは sin θ ̸= 0 のとき
y
cos θ
=
= cot θ =⇒ θ = arccot
x
sin θ
( )
x
.
y
すなわち，逆写像 Ψ : D → E が定まる．
このとき
[
]
D(x, y)
∂(x, y) cos θ −r sin θ
cos θ −r sin θ
=
,
=
sin θ r cos θ
D(r, θ)
∂(r, θ)
sin θ r cos θ
したがって
∂(x, y) −1 1
∂(r, θ)
= ,
=
∂(x, y)
∂(r, θ)
r
[
]−1
]
[
1 r cos θ r sin θ
D(r, θ)
cos θ −r sin θ
=
=
D(x, y)
r − sin θ cos θ
sin θ r cos θ
ところで

∂r
D(r, θ)
 ∂x
=  ∂θ
D(x, y)
∂x

∂r
∂y 
∂θ 
∂y
=r
第1章
48
偏微分法
であるから，成分を比較して
∂r
x
∂r
y
= cos θ = √
= sin θ = √
,
∂x
x2 + y 2 ∂y
x2 + y 2
∂θ
∂θ
sin θ
y
cos θ
x
,
=−
=− 2
=
= 2
2
∂x
r
x +y
∂y
r
x + y2
(2) xy 平面の３点 A, B, C を頂点とする三角形 ABC の内部の点 P は
次のように表される．
[
]
[
]
−→
−→
a1
b1
CA = a =
, AB = b =
a2
b2
とおく．a, b が１次従属ならば，３点 C, A, B が一つの直線上に並び，三
角形ができない．したがって a, b は１次独立である．
P を通り辺 AB に平行な直線が辺 CA と交わる点を Q，CB と交わ
る点を R とおく．原点を O(0, 0) とおくと，
−→ −→ −→ −→
OP = OC + CQ + QP
CQ
CA
= u とおくと，0 < u < 1 であり
QR
AB
= u である．したがって
−→
−→
−→
−→
CQ = uCA = ua, QR = uAB = ub.
QP
QR
= r とおくと，0 < r < 1 であり，
−→
−→
QP = rQR = rub.
−→
ru = v とおくと，0 < v < u であり，QP = vb. ゆえに
−→ −→
OP = OC + ua + vb (0 < u < 1, 0 < v < u).
P, C の座標を P (x, y), C(x0 , y0 ) とすると，
x = x0 + ua1 + vb1 , y = y0 + ua2 + vb2
(1.52)
E = {(u, v) : 0 < u < 1, 0 < v < u} は uv 平面の直角三角形の内部であ
り，(1.52) により定義される写像 Φ : (u, v) 7→ (x, y) により，E が三角
形 ABC の内部 D に移さる．Φ : E → D は全射である．また
∂(x, y) a1 b1 =
= a 1 b2 − b1 a 2 .
∂(u, v) a2 b2 1.4. 偏微分と全微分
49
a, b は１次独立であるから，a1 b2 − b1 a2 ̸= 0. ゆえに Φ は単射である．
Φ の逆写像は (1.52) を u, v に関して解くことにより，次のように与えら
れる．
u=
1
(b2 (x − x0 ) − b1 (y − y0 )),
a1 b2 − b1 a2
v=
1
(−a2 (x − x0 ) + a1 (y − y0 )).
a1 b2 − b1 a2
系 1.4.30 においては，Φ : E → D に対して Ψ ◦ Φ = IE となる Ψ : D →
E が存在することを仮定しているが，このような Ψ の存在については，
次の逆写像の定理がなりたつ．
１変数関数 y = f (x) の場合には，f (x) がある区間 [a, b] で連続，単調
ならば，y = f (x) の逆関数 x = f −1 (y) が存在し，連続である．これは
中間値の定理から証明される．さらに f (x) が微分可能で f ′ (x) ̸= 0 なら
ば，逆関数も微分可能で
dx
1
= dy
dy
dx
であった．
また n × n 行列 A で定義される Rn から Rn への写像
y = Φ(x) = Ax,
x, y ∈ Rn
では，A が逆行列をもつことと，この写像 Φ が逆写像 Ψ = Φ−1 を持つ
ことは同値で，逆写像は
x = Ψ(y) = A−1 y
で定義される．この場合逆写像は Rn 全体で定義される．
Φ が線形でない一般の写像の場合は，逆写像はもはや全体で定義され
るとは限らず，狭い範囲で定まる．２次元の場合，逆写像定理は次のよ
うになる．証明は省略する．
定理 1.4.32 E, D ⊂ R2 とし，Φ : E → D が開集合 E において C 1 級
で，ある点 (a, b) ∈ E において，Φ′ (a, b) が正則行列であるとする．この
とき (a, b) を含むある（小さい）開集合 V と， Φ(a, b) を含むある（小
さい）開集合 U とが存在し，Φ : V → U は全単射になり，その逆写像
Ψ : U → V も C 1 級である．
第1章
50
1.5
偏微分法
陰関数の定理
(a, b) の近傍での f (x, y) の値はどのようになっているのであろうか。各
点 P (x, y) に勾配ベクトル ∇f = [fx , fy ] を対応させる関数を勾配ベクト
ル場という。∇f (a, b) ̸= [0, 0] である点 (a, b) は f (x, y) の正則点という。
正則点の近くでの f (x, y) の値の様子を調べよう．
∥u∥ = 1 である u = (h, k) ̸= [0, 0] をとり、(a, b) を通るパラメータ直線
ℓu : x = a + th, b + tk
を考える。
ϕ(t) = f (a + th, b + tk)
はこの直線上での f の値を表している。その変化を調べるためには ϕ′ (t)
を計算すると
ϕ′ (t) = hfx (a + th, b + tk) + kfy (a + gh, b + tk) = u · ∇f (a + th, b + tk)
である。ただし · はベクトルの内積記号である。とくに
ϕ′ (0) = u · ∇f (a, b)
u と ∇f (a, b) ̸= [0, 0] のなす角を θ (0 ≤ θ ≤ π) とおくと、
u · ∇f (a, b) = ∥u∥∥∇f (a, b)∥ cos θ = ∥∇f (a, b)∥ cos θ
であるから次のようになる。
(i) 0 ≤ θ < π2 ⇒ ϕ′ (0) > 0 あり、θ = 0 のとき、ϕ′ (0) は最大値
∥∇f (a, b)∥ をとる。
(ii) π2 < θ ≤ π ⇒ ϕ′ (0) < 0 あり、θ = π のとき、ϕ′ (0) は最小値
−∥∇f (a, b)∥ をとる。
(iii) θ = π2 ⇒ ϕ′ (0) = 0.
以上により、ℓu の向きが ∇f (a, b) と一致するとき、ℓu に沿って関数値
f (x, y) は一番増大し、ℓu の向きが −∇f (a, b) と一致するとき、ℓu に沿っ
て関数値 f (x, y) は一番減少する。すなわち ∇f (a, b) は関数値が増大す
る方向を表している。さらに ℓu が ∇f (a, b) と直交するときは、f (x, y)
は変化しないように思われる。
1.5. 陰関数の定理
51
定義 1.5.1
Lf (a, b) = {(x, y) : f (x, y) = f (a, b)}
とおき、この集合を (a, b) を通る f の等高線という。
∇f (a, b) ̸= [0, 0] のとき，Lf (a, b) は実際 (a, b) を通る関数のグラフに
なることをを示す．
たとえば
f (x, y) = x3 + 3xy + 4xy 2 + y 2 + y, (a, b) = (1, −1)
の場合 f (1, −1) = 2 により，Lf (1, −1) は x3 + 3xy + 4xy 2 + y 2 + y = 2
(1.53)
をみたす (x, y) からなる曲線である．この方程式において y を未知数と
して考えるたとき，x の各値に対応して，解 y = y(x) がきまるならば，
x3 + 3xy(x) + 4xy(x)2 + y(x)2 + y(x) = 2
(1.54)
がなりたつ．また x を未知数として考えたとき，y の各値に対応して，解
x = x(y) がきまるならば
x3 + 3x(y)y + 4x(y)y 2 + y 2 + y = 2
(1.55)
がなりたつ．このように決まる関数 y = y(x) あるいは x = x(y) を (1.53)
で定まる陰関数という．次の定理 1.5.3 はこのような陰関数が存在するこ
とを保障するものである．定理 1.5.3 では陰関数があるといっているだけ
で，陰関数の計算方法は示していない．そのかわり陰関数自体は分から
なくても，陰関数の微分の計算法はわかるのである．陰関数の計算方法
の１例は定理の証明のあとに示してある．
たとえば (1.53) で陰関数 y = y(x) が定まるならば，(1.54) が成り立つ
から，両辺を x で微分すると
3x2 + 3y(x) + 3x
dy
dy
dy dy
+ 4y(x)2 + 4x × 2y(x) + 2y(x) +
= 0.
dx
dx
dx dx
すなわち
3x2 + 3y(x) + 4y(x)2 + (3x + 8xy(x) + 2y(x) + 1)
dy
=0
dx
第1章
52
偏微分法
この式は
fx (x, y(x)) + fy (x, y(x))
dy
=0
dx
と書き換えらる．x = 1 のとき y(1) = −1 とすると fy (1, −1) = −6 ̸= 0
である．したがって x = 1 の近くで fy (x, y(x)) ̸= 0 のはずであり，
dy
fx (x, y(x))
3x2 + 3y(x) + 4y(x)2
=−
=−
dx
fy (x, y(x))
3x + 8xy(x) + 2y(x) + 1
のようになるはずである．同様に (1.55) の両辺を y で微分して
fx (x(y), y)
dx
+ fy (x(y), y) = 0
dy
となり，
dx
fy (x(y), y)
=−
dy
fx (x(y), y)
を得る．
ここで念のため合成関数の微分法の特殊な場合として次の補題を記し
ておく．
補題 1.5.2 f (x, y) は C 1 級の関数とする．このとき y = y(x) が微分可
能ならば，
d
dy
f (x, y(x)) = fx (x, y(x)) + fy (x, y(x)) .
dx
dx
(1.56)
また x = x(y) が微分可能ならば
dx
d
f (x(y), y) = fx (x(y), y) + fy (x(y), y).
dy
dy
証明 ϕ(x) = x, ψ(x) = y(x) とおけば，
dψ
dy
dϕ
= 1,
=
dx
dx
dx
したがって合成関数の微分法により
d
d
f (x, y(x)) =
f (ϕ(x), ψ(x))
dx
dx
dϕ
dψ
= fx (ϕ(x), ψ(x))
+ fy (ϕ(x), ψ(x))
dx
dx
dy
= fx (ϕ(x), ψ(x)) + fy (ϕ(x), ψ(x)) .
dx
(1.57)
1.5. 陰関数の定理
53
ゆえに (1.56) が成り立つ．同様に (1.57) も証明される．
2
次の定理の眼目は微分可能な陰関数が確かに存在することを保障する
ことである．
定理 1.5.3 f (x, y) が C 1 級の関数で ∇f (a, b) ̸= [0, 0] であるとする。
(i) fy (a, b) ̸= 0 とする。このとき次のような r > 0, ρ > 0 が存在する。
|x − a| < r であるような x に対して f (x, y) = f (a, b) であるよう
な y が |y − b| < ρ の範囲で唯一つ存在する。その値を y = ϕ(x)
とすると、ϕ(a) = b であり，ϕ(x) は C 1 級の関数で
(
)
fx (x, ϕ(x))
dy
fx (x, y)
′
ϕ (x) = −
.
省略形で
=−
fy (x, ϕ(x))
dx
fy (x, y)
(ii) fx (a, b) ̸= 0 とする。このとき次のような s > 0, σ > 0 が存在する。
|y − b| < s であるような y に対して f (x, y) = f (a, b) であるような
x が |x − a| < σ の範囲で唯一つ存在する。その値を x = ψ(y) と
すると、ψ(b) = a であり，ψ(y) は C 1 級の関数で
(
)
fy (ψ(y), y)
dx
fy (x, y)
′
ψ (y) = −
.
省略形で
=−
fx (ψ(y), y)
dy
fx (x, y)
証明 f (x, y) の代わりに F (x, y) = f (x, y)−f (a, b) を考えると ∇F (a, b) =
∇f (a, b) ̸= (0, 0) であり、F (a, b) = 0 である。したがって f (a, b) = 0 の
場合を考えればよい。
(i) の変数 x, y の役割を交代させれば (ii) であるから，(i) の場合を証
明すればよい．
．
fy (a, b) > 0 とする。fy (x, y) は連続であるから、(a, b) の近くで fy (x, y) >
0 である。したがって次のような R > 0 がある:
√
(x − a)2 + (y − b)2 < R ⇒ fy (x, y) > 0.
とくに |y − b| < R ならば、fy (a, y) > 0 であるから、f (a, y) は y の増加
関数で f (a, b) = 0 である。したがって ρ = R/2 とおくとき
f (a, b − ρ) < f (a, b) = 0 < f (a, b + ρ).
次に f (x, b − ρ) を考えると、これは x の連続関数で、 x = a のとき、負
の値をとっている。したがって x = a の近くでこの関数は負の値である。
ゆえにある 0 < r1 < R/2 をとると
|x − a| < r1 ⇒ f (x, b − ρ) < 0.
第1章
54
偏微分法
同様に f (a, b + ρ) > 0 であるから、ある 0 < r2 < R/2 をとると
|x − a| < r2 ⇒ f (x, b + ρ) > 0.
したがって r = min{r1 , r2 } とおくと
|x − a| < r ⇒ f (x, b − ρ) < 0 < f (x, b + ρ).
K = {(x, y) : |x − a| < r, |y − b| < ρ} とおくと、K ⊂ UR (a, b) であるか
ら、(x, y) ∈ K ならば fy (x, y) > 0 である。ゆえに |x − a| < r である x
を固定し y だけ変化させて f (x, y) を考えると |y − b| < ρ の範囲で増加
関数である。y = b − ρ で f < 0, y = b + ρ で f > 0 であるから、中間値
の定理により f (x, y) = 0 となる y の値が |y − b| < ρ の範囲で唯一つ存
在する。その値を y = ϕ(x) とおく。
次に ϕ(x) が連続関数であることをしめす。簡単のため x = a での連
続性をみる。f (a, b) = 0 であるから、ϕ(a) = b である。f (a, y) は y の増
加関数であるから、0 < ϵ < ρ に対して f (a, b − ϵ) < 0 < f (a, b + ϵ) で
ある。ρ の代わりに ϵ を用いて
|x − a| < δ ⇒ f (x, b − ϵ) < 0 < f (x, b + ϵ)
であるような δ, 0 < δ < r, がある。再び中間値の定理により |x − a| < δ
であるような x に対して、f (x, y) = 0 である y が |y − b| < ϵ の範囲で
存在する。このとき (x, y) ∈ K であるから、この y の値は ϕ(x) に一致
している。したがって
|x − a| < δ ⇒ |ϕ(x) − ϕ(a)| < ϵ.
ゆえに ϕ(x) は x = a で連続である。他の点 |x − a| < r での連続性も同
様に証明できる。
最後に ϕ′ (x) が存在して連続であることを示す。x = a の場合をしめ
す。0 < |h| < r のとき ϕ(a), ϕ(a + h) の定義より
f (a + h, ϕ(a + h)) = f (a, ϕ(a)) = 0.
ここで
ϕ(a + h) − ϕ(a) = k
1.5. 陰関数の定理
55
とおくと ϕ(a) = b であるから、ϕ(a + h) = ϕ(a) + k = b + k とかける。
ゆえに
f (a + h, b + k) = f (a, b) = 0.
u(t) = f (a+th, b+tk) とおくと u(1) = f (a+h, b+k), u(0) = f (a, b) である
から u(1) = u(0) = 0 である。したがって Rolle の定理により、u′ (θ) = 0 で
ある θ, 0 < θ < 1 が存在する。u′ (t) = fx (a+th, b+tk)h+fy (a+th, b+tk)k
であるから
fx (a + θh, b + θk)h + fy (a + θh, b + θk)k = 0.
(a + θh, b + θk) ∈ K であるから、fy (a + θh, b + θk) ̸= 0 である。ゆえに
h ̸= 0 のとき
ϕ(a + h) − ϕ(a)
k
fx (a + θh, b + θk)
= =−
.
h
h
fy (a + θh, b + θk)
(1.58)
ϕ(x) は連続であるから、h → 0 のとき k → 0 である。fx , fy は連続であ
るから、(h, k) → (0, 0) のとき (1.58) の最後の分数は −fx (a, b)/fy (a, b)
に収束する。ゆえに
ϕ(a + h) − ϕ(a)
fx (a, b)
fx (a, ϕ(a))
=−
=−
.
h→0
h
fy (a, b)
fy (a, ϕ(a))
lim
すなわち ϕ(x) は x = a で微分可能で，
ϕ′ (a) = −
fx (a, ϕ(a))
fx (a, b)
=−
fy (a, ϕ(a))
fy (a, b)
(1.59)
同様にして |x − a| < r である x において
ϕ′ (x) = −
fx (x, ϕ(x))
.
fy (x, ϕ(x))
である。右辺は x の連続関数であるから、ϕ′ (x) は連続関数である。 2
陰関数は上の定理のように y = ϕ(x) や x = ψ(y) のように表す代わり
に y = y(x) や x = x(y) のように表してもよい．また，dy/dx が計算で
きれば，d2 y/dx2 も次の例のように計算できる．同様に dx/dy が計算で
きれば，d2 x/dy 2 も計算できる．
第1章
56
偏微分法
例 1.5.4 (1)
f (x, y) = x3 + 3xy + 4xy 2 + y 2 + y
の (a, b) = (1, −1) を通る等高線は，f (1, −1) = 2 であるから，
x3 + 3xy + 4xy 2 + y 2 + y = 2
(1.60)
をみたす．
fx (x, y) = 3x2 + 3y + 4y 2 , fy (x, y) = 3x + 8xy + 2y + 1
であるから，fx (1, −1) = 4 ̸= 0, fy = −6 ̸= 0. この等高線を表す陰関数
は y = y(x), y(1) = −1 として表されるし，また x = x(y), x(−1) − 1 と
しても表される．このとき
dy
4
2 dx
−6
3
(1) = −
= ,
(−1) = −
= ,
dx
−6
3 dy
4
2
dy/dx は次のように計算してもよい．(1.60) において y = y(x) と思い，
両辺を x で微分すると
fx (x, y) + fy (x, y)
dy
= 0,
dx
(1.61)
すなわち
3x2 + 3y + 4y 2 + (3x + 8xy + 2y + 1)
dy
= 0.
dx
(1.62)
x = 1, y = −1 と代入すると 4 − 6dy/dx = 0 であるから，dy/dx = 2/3.
(1.62) の両辺をさらに x で微分すると
(
)
dy
dy
dy dy
d2 y
dy
+(3x+8xy+2y+1) 2 = 0.
6x+3 +8y + 3 + 8y + 8x + 2
dx
dx
dx
dx dx
dx
ここで x = 1, y = −1 とおくと dy/dx = 2/3 であったから，
(
)
2
2
2
2 2
d2 y
6+3 −8 + 3−8+8 +2
+ (3 − 8 − 2 + 1) 2 = 0.
3
3
3
3 3
dx
したがって
34
9
− 6d2 y/dx2 = 0 であるから，d2 y/dx2 = 34/54 = 17/27.
1.5. 陰関数の定理
57
定理 1.5.5 における陰関数 ϕ(x), ψ(x) を実際に計算するには，たとえば
次のような方法がある．
y = ϕ(x) の場合を説明する．fy (a, b) ̸= 0 のとき，陰関数の方程式
f (x, y) = 0 は，次のように書き換えられる．
y − fy (a, b)−1 f (x, y) = y
(1.63)
この方程式の解 y = y(x) の近似解を次のように構成できる．まず y0 (x) =
b とおき，次に (1.63) の左辺の y にこの値を代入して
b − fy (a, b)−1 f (x, b) = y1 (x)
とおく．次に (1.63) の左辺の y にこの値 y1 (x) を代入して
y1 (x) − fy (a, b)−1 f (x, y1 (x)) = y2 (x)
とおく．このようにして次々に yn (x), n = 0, 1, 2, · · · を関係式
yn (x) − fy (a, b)−1 f (x, yn (x)) = yn+1 (x)
により定義する．この方法で |x−a| < r の範囲で関数 yn (x), n = 0, 1, 2, · · ·
が |yn (x)−b| < ρ の範囲できまり，limn→∞ yn (x) = ϕ(x) であることが証明
できる（証明は省略）．ここで構成した関数の無限列 y0 (x), y1 (x), · · · , yn (x),
· · · を y = ϕ(x) の逐次近似列という．また各 yn (x) を逐次近似解という．
定理 1.5.5 により、等高線 Lf (a, b) は次のようにあらわされる。
fy (a, b) ̸= 0 ならば |x − a| < r の範囲で y = ϕ(x).
fx (a, b) ̸= 0 ならば |y − b| < s の範囲で x = ψ(y).
c = f (a, b) とおくとき、このような関数 y = ϕ(x),x = ψ(y) を方程式
f (x, y) = c から決まる陰関数という。ϕ(x), ψ(y) の構成法から、f (x, y)
の値は等高線を境に次のように変わる。
(i) fy (a, b) > 0 ならば、|x − a| < r のとき
−ρ < y < ϕ(x) ⇒ f (x, y) < c
y = ϕ(x) ⇒ f (x, y) = c
ϕ(x) < y < ρ ⇒ c < f (x, y).
fy (a, b) < 0 ならば、|x − a| < r のとき
−ρ < y < ϕ(x) ⇒ f (x, y) > c
y = ϕ(x) ⇒ f (x, y) = c
ϕ(x) < y < ρ ⇒ c > f (x, y).
第1章
58
偏微分法
(ii) fx (a, b) > 0 ならば |y − b| < s のとき
−σ < x < ψ(y) ⇒ f (x, y) < c
x = ψ(y) ⇒ f (x, y) = c
ψ(y) < x < σ ⇒ c < f (x, y).
fx (a, b) > 0 ならば |y − b| < s のとき
−σ < x < ψ(y) ⇒ f (x, y) > c
x = ψ(y) ⇒ f (x, y) = c
ψ(y) < x < σ ⇒ c > f (x, y).
変数の数が多いときの陰関数の定理はつぎのようになる。
定理 1.5.5 f (x1 , x2 , · · · , xn ) が C 1 級の関数で x = a = (a1 , a2 , · · · , an )
において
∇f (a) := (fx1 (a), fx2 (a), · · · , fxn (a)) ̸= (0, 0, · · · , 0)
であるとする。たとえば、fx1 (a) ̸= 0 とする。このとき次のような r >
√ ∑n
2
0, ρ > 0 が存在する。
i=2 |xi − ai | < r であるような (x2 , x3 , · · · , xn )
に対して f (x1 , x2 , · · · , xn ) = f (a1 , a2 , · · · , an ) であるような x1 が |x1 −
a1 | < ρ の範囲で唯一つ存在する。その値を x1 = ϕ(x2 , x3 , · · · , xn ) とす
ると、ϕ(x2 , x3 , · · · , xn ) は C 1 級の関数で
∂
fx (ϕ(x2 , x2 , · · · , xn ), x2 , x3 , · · · , xn ))
ϕ(x2 , x3 , · · · , xn ) = − i
(2 ≤ i ≤ n)
∂xi
fx1 (ϕ(x2 , x2 , · · · , xn ), x2 , x3 , · · · , xn ))
(1.64)
C 1 級の２変数関数 f (x, y) の勾配ベクトルが条件
∇f (x, y) = (fx (x, y), fy (x, y)) ̸= (0, 0)
を満たす点 (x, y) は，f (x, y) の正則点であるという。
定理 1.5.6 (a, b) が C 1 級の関数 f (x, y) の正則点ならば、この点を通る
等高線の接線の方程式は次のようになる。
fx (a, b)(x − a) + fy (a, b)(y − b) = 0
(1.65)
1.5. 陰関数の定理
59
証明 陰関数の定理により、等高線は (a, b) の近傍で y = ϕ(x) または
x = ψ(y) のグラフになる。このグラフの x = a または y = b の接線の方
程式はいずれも上の定理の式になる。たとえば，fy (a, b) ̸= 0 の場合は等
高線は y = ϕ(x) のグラフである．このグラフの x = a における接線の傾
き ϕ′ (a) は (1.59) で与えられるから，接線の方程式は
y =b−
fx (a, b)
(x − a)
fy (a, b)
である．これは (1.65) のように書き換えられる．
2
(x, y) を接線 (1.65) の上の点とし、X = x − a, Y = y − b とおく。この
とき式 (1.65) は、勾配ベクトル (fx (a, b), fy (a, b)) とベクトル (X, Y ) の
内積が零であることを示す。したがってこの両ベクトルは直交する。こ
の意味で勾配ベクトル（またはそのスカラー倍）を (a, b) を通る等高線
の (a, b) における法ベクトル という。また (a, b) を通りこの法ベクトル
と同じ向きの直線を、 (a, b) を通る等高線の (a, b) における法線という。
その方程式はパラメタ t をもちいて
x − a = tfx (a, b),
y − b = tfy (a, b)
(1.66)
で表される。この関係式は t を消去して
x−a
y−b
=
fx (a, b)
fy (a, b)
の形式で表される．ただし，分母が 0 の項は分子も 0 と解釈する，
法ベクトルは等高線の接線に直交している（このことを法ベクトルは等
高線に直交するという）が、等高線に対するその向きをしらべよう。ベク
トル v := (h, k) ̸= (0, 0) をとり、このベクトルが u := (fx (a, b), fy (a, b))
となす角を θ とする。(a, b) を通る直線 x = a + th, y = b + tk にそった
f (x, y) の値の変化を調べてみる。そのために
ϕ(t) = f (a + th, b + tk)
とおくと、
ϕ′ (t) = fx (a + th, b + tk)h + fy (a + th, b + tk)k.
ゆえに
ϕ′ (0) = fx (a, b)h + fy (a, b)k = u · v = ∥u∥∥v∥ cos θ
第1章
60
偏微分法
|θ| < π/2 ならば ϕ′ (0) > 0 である。ϕ′ (t) は連続関数であるから、t = 0
を含むある区間 I で ϕ′ (t) > 0 である。したがって I において ϕ(t) は増
加関数である。すなわち、法ベクトルと９０度以下のむきに (x, y) が移
動するとき f (x, y) の値は増加する。逆にいえば、法ベクトルは関数の値
が増大する方向を示している。
3 変数の場合の関数 f (x1 , x2 , x3 ) の点 a = (a1 , a2 , a3 ) を通る等高面
Lf (a) = {x ∈ R3 : f (x) = f (a)}
を考える。たとえば fx1 (a) ̸= 0 とすると、Lf (a) は x = a の近くで
x1 = ϕ(x2 , x3 ),
ϕ(a2 , a3 ) = a1
と表される。この曲面の (a2 , a3 ) における接平面の式は
x1 − a1 = ϕx2 (a2 , a3 )(x2 − a2 ) + ϕx3 (a2 , a3 )(x3 − a3 )
である。式 (1.64) を用いてこの式を書き直すと
fx1 (a)(x1 − a1 ) + fx2 (a)(x2 − a2 ) + fx3 (a)(x3 − a3 ) = 0
である。(x1 , x2 , x3 ) をこの接空間の上の任意の点とし、X = x − a ∈ R3
とおくと、勾配ベクトル ∇f (a) = (fx1 (a), fx2 (a), fx3 (a)) とベクトル X は
直交する。∇f (a) またはその定数倍を等高面の法ベクトルという。法ベ
クトルは f (x) の値が増大する方向に向いている。a における法線上の点
を x とすると，パラメタ t により，
x − a = t∇f (a)
と表される．この関係式は t を消去して, 次の形式で表される．
x2 − a2
x3 − a3
x 1 − a1
=
=
fx1 (a)
fx2 (a)
fx3 (a)
ただし，分母が 0 の項は分子も 0 とする．
一般の変数の場合の関数 f (x1 , x2 , · · · , xn ) の点 a = (a1 , a2 , · · · , an ) を
通る等高部分集合
Lf (a) = {x ∈ Rn : f (x) = f (a)}
を考える。たとえば fx1 (a) ̸= 0 とすると、Lf (a) は x = a の近くで
x1 = ϕ(x2 , x3 , · · · , xn ),
ϕ(a2 , a3 , · · · , an ) = a1
1.6. 一般の陰関数の定理
61
と表される。式
x1 − a1 =
n
∑
ϕxi (a2 , a3 , · · · , an )(xi − ai )
i=2
を満たす点 (x1 , x2 , · · · , xn ) の全体を Lf (a) の接空間という。式 (1.64) を
用いてこの式を書き直すと
fx1 (a)(x1 − a1 ) + fx2 (a)(x2 − a2 ) + · · · + fxn (a)(xn − an ) = 0
である。(x1 , x2 , · · · , xn ) をこの接空間の上の任意の点とし、X = x − a ∈
Rn とおくと、勾配ベクトル ∇f (a) = (fx1 (a), fx2 (a), · · · , fxn (a)) とベク
トル X は直交する。∇f (a) またはその定数倍を接空間の法ベクトルとい
う。法ベクトルは f (x) の値が増大する方向に向いている。点 a における
法線の方程式は次のように表される．
x1 − a1
x2 − a2
xn − an
=
= ··· =
fx1 (a)
fx2 (a)
fxn (a)
ただし，分母が 0 の項は分子も 0 とする．
1.6
一般の陰関数の定理
次のような一般の m 連立方程式を考える．


f1 (x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , ym ) = c1


 f (x , . . . , x ; y , . . . , y ) = c
2 1
n 1
m
2

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.



fm (x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , ym ) = cm .
ただし各関数は Rn+m のある開集合 Ω で定義された C 1 − 級の関数である．
簡単のためこの方程式を f (x, y) = c とあらわす．
定理 1.6.1 Ω のある点 (a, b), a = (a1 , . . . , an ), b = (b1 , . . . , bm ) において
f (a, b) = c ; det
∂(f1 , . . . , fm )
̸= 0
∂(y1 , . . . , ym )
とする．このときつぎのような r > 0, ρ > 0 が存在する：∥x − a∥ < r で
あるような各 x にたいして f (x, y) = c をみたす y が ∥y − b∥ < ρ におい
第1章
62
偏微分法
て唯一つ存在する．そのような値を y = ϕ(x) とおくと，ϕ は C 1 級の写
像で
{
}−1
∂(ϕ1 , . . . , ϕm )
∂(f1 , . . . , fm )
∂(f1 , . . . , fm )
=−
(x, ϕ(x))
(x, ϕ(x)).
∂(x1 , . . . , xn )
∂(y1 , . . . , ym )
∂(x1 , . . . , xn )
証明 m = 1 の場合に証明する．即ち f (x, y) = f (x1 , x2 , . . . , xn , y) は
スカラー関数で，f (a, b) = c, fy (a, b) ̸= 0 とする．たとえば fy (a, b) > 0
とする．fy (x, y) は連続であるから，(a, b) のある R− 近傍 UR において
fy (x, y) > 0 である：
∥x − a∥2 + |y − b|2 < R2 ⇒ fy (x, y) > 0.
さて ρ < R である ρ をひとつとる．f (a, b) = c であり，w = f (a, y) は
−ρ < y < ρ において y の増加関数であるから f (a, −ρ) < c < f (a, ρ) が
なりたつ．次に f (x, −ρ), f (x, ρ) は x の連続関数であるから，r > 0 を十
分小さくとれば，∥x − a∥ < r のとき f (x, −ρ) < c, f (x, ρ) > c がなりた
つ．さらに r2 + ρ2 < R2 と仮定できる（r をさらに小さくとればよい）．
このとき ∥x − a∥ < r, |y − b| < ρ ならば (x, y) は (a, b) の R− 近傍の点で
あるから，fy (x, y) > 0. したがって，∥x − a∥ < r である各点 x にたいし
て，y の関数 w = f (x, y) は −ρ < y < ρ において増加関数で y = −ρ に
おいて w < c，y = ρ において w > c となる．故に w = f (x, y) = c となる
y が −ρ < y < ρ においてただ一つ存在する．その値を y = ϕ(x) とおく．
∥x − a∥ < r とする．ベクトル h ∈ Rn の長さを十分小さくとれば
∥x + h − a∥ < r となる．(x, ϕ(x)),
(x + h, ϕ(x + h)) は UR の点であるから，この２点を結ぶ線分上の点
z(t) = (x + th, ϕ(x) + t(ϕ(x + h) − ϕ(x))), 0 ≤ t ≤ 1
も UR 内にあり，g(t) = f (z(t)) とおくと，
g(0) = f (x, ϕ(x)) = c, g(1) = f (x + h, ϕ(x + h)) = c
′
g (t) =
n
∑
fxj (z(t))hj + fy (z(t))(ϕ(x + h) − ϕ(x)).
j=1
したがって Rolle の定理により g ′ (θ) = 0 となる θ ∈ (0, 1) がある．これ
より
)
n (
∑
fxj (z(θ))
ϕ(x + h) − ϕ(x) =
−
hj .
fy (z(θ)
j=1
1.6. 一般の陰関数の定理
63
右辺の hj の係数を aj (h) とおくと h → 0 のとき z(θ) → (x, ϕ(x)) である
から，
lim aj (h) = −
h→0
fxj (x, ϕ(x))
.
fy (x, ϕ(x))
したがって ϕ(x) は全微分可能で
ϕxj (x) = −
fxj (x, ϕ(x))
.
fy (x, ϕ(x))
m = 1 の場合の結果をもとにして，数学的帰納法により一般の m に
対しても定理を証明できる．m − 1 のときなりたつとする．ヤコビ行列
J = ∂(f1 , . . . , fm )/∂(y1 , . . . , ym ) の i 行 j 列を除いてできる (m−1)×(m−1)
行列を Jij とおく．det J ̸= 0 であるからこの行列式の 1 行余因子展開を
考えると det J1j , j = 1, . . . , m の中に少なくとも一つ０でないものがある．
たとえば det J11 ̸= 0 とする．m − 1 のとき定理が成り立つと仮定したか
ら，m − 1 連立方程式


f2 (x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , ym ) = c2


 f (x , . . . , x ; y , . . . , y ) = c
3 1
n 1
m
3

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.



fm (x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , ym ) = cm .
は y2 , y3 , . . . , ym について x = a, y = b のある近傍で一意的に解ける．すな
わちある r1 > 0, ρ1 > 0 が存在して ∥x − a∥2 + |y1 − b1 |2 < r12 であるような
x, y1 にたいして上の方程式をみたす yj , j = 2, 3, . . . , m が |y2 − b2 |2 + · · · +
|ym − bm |2 < ρ21 においてただ一つ存在する．その値を yj = ψj (x, y1 ), j =
2, 3, . . . , m とおき，それを f1 (x, y) = c1 に代入した方程式を考える：
g(x1 , x2 , . . . , xm , y1 ) := f1 (x, y1 , ψ2 (x, y1 ), . . . , ψm (x, y1 )) = c1 .
帰納法の仮定から
∂(ψ2 , . . . , ψm )
=−
∂(x1 , . . . , xn , y1 )
{
∂(f2 , . . . , fm )
∂(y2 , . . . , ym )
}−1
∂(f2 , . . . , fm )
.
∂(x1 , . . . , xn , y1 )
第1章
64
偏微分法
したがって fˆ(x, y) = (f2 (x, y), f3 (x, y), . . . , fm (x, y)) とおくとクラマーの
公式により
det(fˆy2 , fˆy3 , . . . , fˆyi−1 , fˆy1 , fˆyi+1 , . . . , fˆym )
∂ψi
= −
∂y1
det(fˆy2 , fˆy3 , . . . , fˆyi−1 , fˆyi , fˆyi+1 , . . . , fˆym )
det(fˆy1 , fˆy2 , . . . , fˆyi−1 , fˆyi+1 , fˆyi+2 , . . . , fˆym )
= −(−1)i−2
det(fˆy2 , fˆy3 , . . . , fˆyi−1 , fˆyi , fˆyi+1 , . . . , fˆym )
(−1)i−1 det J1i
=
.
det J11
これより
∂g
∂f1 ∑ ∂f1 ∂ψi
=
+
∂y1
∂y1 i=2 ∂yi ∂y1
m
∂f1 ∑ ∂f1 (−1)i−1 det J1i
=
+
∂y1 i=2 ∂yi
det J11
m
= {det J11 }−1
m
∑
∂f1
i=1
∂yi
(−1)i−1 det J1i = {det J11 }−1 det J.
ψi (a, b1 ) = b1 であるから，g(a, b1 ) = f1 (a, b) = c1 であり，
(∂g/∂y1 )(a, b1 ) = {det J11 (a, b)}−1 (det J)(a, b) ̸= 0.
したがってある r2 > 0, ρ2 > 0 が存在して，∥x − a∥ < r2 であるとき
|y1 − b1 | < ρ2 において，g(x, y1 ) = c1 をみたす y1 = ψ1 (x) が唯一つ存在
する．ψ1 (x) は連続関数であるから，r2 を小さくとりなおすことにより，
r22 + ρ22 < r12 としてよい．このとき ∥x − a∥ < r2 に対して
{
ψ1 (x)
j=1
ϕj (x) =
ψj (x, ψ1 (x)) j > 1
と定義すれば f (x, ϕ(x)) = c がなりたつ．ϕ(x) は連続関数であるから，
ρ = min{ρ1 , ρ2 } とおくとき，r < r2 を十分小さくとれば ∥x − a∥ < r の
とき，∥ϕ(x) − b∥ < ρ.
最後に陰関数の一意性を示す．y = φ(x) が ∥x−a∥ < r において ∥y−b∥ <
ρ であるような陰関数とする．このとき
ˆ − ˆb∥ < ρ1
∥x − a∥ < r ⇒ ∥x − a∥2 + |ϕ1 (x) − b1 |2 < r22 + ρ22 < r12 , ∥φ(x)
1.7. 2 変数関数のテーラーの定理
65
であり，かつ
fi (x, φ1 (x), φ2 (x) . . . , φm (x)) = ci , i = 2, 3, . . . m
であるから ψj (x), j = 2, 3, . . . , m の一意性から ∥x − a∥ < r において
φj (x) = ψj (x, φ1 (x)).
したがって y1 = φ1 (x) は ψ1 (x) とおなじ方程式をみたす．その一意性よ
り φ1 (x) = ψ1 (x) であり，したがってまた ∥x − a∥ < r において φj (x) =
ψj (x, ϕ1 (x)) = ϕj (x).
2
1.7
2 変数関数のテーラーの定理
関数 f (x, y) を (x, y) = (a, b) の近くで，x, y の多項式で近似するテー
ラーの定理を示す．
そのために高次導関数の偏微分の順序交換可能性を示しておこう．
補題 1.7.1 f (x, y) が (a, b) のある近傍
√
Ur (a, b) = {(x.y) : (x − a)2 + (y − b)2 < r} (r > 0)
において定義されており，fx , fy , fxy , fyx が存在して連続であるとする．
このとき fxy (x, y) = fyx (x, y) が成り立つ，すなわち
∂ 2f
∂ 2f
(x, y) =
(x, y)
∂y∂x
∂x∂y
(1.67)
証明 (1.67) を (x, y) = (a, b) のときに証明する．Ur (a, b) の他の点でも
(1.67) が成り立つことは同様に証明できる．
√
Ur (a, b) 内に点 P (a + h, b + k), (0 < h2 + k 2 ̸= 0) をとる．A(a, b)
とおき，点 Q(a + h, b), R(a, b + k) をとる．このとき，矩形 AQP R は
Ur (a, b) 内にある．いま
f (a + h, b + k) − f (a + h, b) − f (a, b + k) + f (a, b)
= f (a + h, b + k) − f (a, b + k) − f (a + h, b) + f (a, b)
は書く順序を変えただけであるから，成り立つ．
F (x) = f (x, b + k) − f (x, b), G(y) = f (a + h, y) − f (a, y)
第1章
66
偏微分法
とおくと，この式は
F (a + h) − F (a) = G(b + k) − G(b)
として表される．１変数関数の平均値の定理により，
F (a + h) − F (a) = F ′ (a + θ1 h)h, G(b + k) − G(b) = G′ (b + θ2 k)k
であるような 0 < θ1 , θ2 < 1 が存在する．
F ′ (x) = fx (x, b + k) − fx (x, b), G′ (y) = fy (a + h, y) − fy (a, y)
であるから，
(fx (a+θ1 h, b+k)−fx (a+θ1 h, b))h = (fy (a+h, b+θ2 k)−fy (a, b+θ2 k))k
が成り立つ．再び平均値の定理を用いて，
(fxy (a + θ1 h, b + σ1 k)k)h = (fyx (a + σ2 h, b + θ2 k)h)k
であるような 0 < σ1 , σ2 < 1 が存在する．hk ̸= 0 で割ると
fxy (a + θ1 h, b + σ1 k) = fyx (a + σ2 h, b + θ2 k)
h → 0, k → 0 のときの極限をとると
fxy (a, b) = fyx (a, b).
2
f (x, y) が C 級の関数であるとき，ベクトル X = (h, k) に沿った微
分は
1
fx (x, y)h + fy (x, y)k = h
∂
∂
f (x, y) + k f (x, y)
∂x
∂y
であった．この式を
(
)
∂
∂
fx (x, y)h + fy (x, y)k = h
+k
f (x, y)
∂x
∂y
のように表そう．
1.7. 2 変数関数のテーラーの定理
67
f (x, y) が C 2 級ならば，さらに微分できて，
(
)(
)
∂
∂
∂
∂
h
+k
h
+k
f (x, y)
∂x
∂y
∂x
∂y
(
)
∂
∂
∂
= h
h f (x, y) + k f (x, y)
∂x
∂x
∂y
(
)
∂
∂
∂
+k
h f (x, y) + k f (x, y)
∂y
∂x
∂y
2
2
∂
∂
f (x, y)
= h2 2 f (x, y) + hk
∂x
∂x∂y
∂2
∂2f
+kh
f (x, y) + k 2 2 f (x, y)
∂y∂x
∂y
∂
∂
以上のように h ∂x
+ k ∂y
どうしの積においては h, k は定数で分配法則が
なりたつ．さらに積分順序の交換可能法則により，最終的に
(
)2
∂
∂
∂ 2f
∂2
∂ 2f
h
+k
f (x, y) = h2 2 f (x, y)+2hk
f (x, y)+k 2 2 f (x, y)
∂x
∂y
∂x
∂x∂y
∂y
この計算を続けると多項式の２項定理
)
n ( )
n (
∑
n j n−j ∑
n
n
(a + b) =
ab
=
an−j bj
j
n
−
j
j=0
j=0
( )
と同様の計算法則が成り立つ．ただし， nj は２項係数 n Cj で
( )
n
n!
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − j + 1)
=
=
1 · 2 · 3··· · j
j!(n − j)!
j
である．たとえば
(
)2
(
)2
(
)(
)
(
)2
∂
∂
∂
∂
∂
∂
h
+k
f =
h
f +2 h
k
f+ k
f
∂x
∂y
∂x
∂x
∂y
∂y
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
= h2 2 + 2hk
+ k2 2
∂x
∂x∂y
∂y
(
)3
∂
∂
+k
f
h
∂x
∂y
(
(
(
)3
)2 (
)
(
)(
)2
)3
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
h
f +3 h
f+ k
f
k
f +3 h
k
∂x
∂x
∂y
∂x
∂y
∂y
3
∂3f
∂ 3f
∂3f
3∂ f
= h3 3 + 3h2 k 2 + 3hk 2
+
k
∂x
∂x ∂y
∂x∂y 2
∂y 3
一般的に次の計算法則が成り立つ．
第1章
68
偏微分法
補題 1.7.2 f (x, y) が C n 級ならば，X = (h, k) ̸= (0, 0) に対して，
(
)n
( )
n
∑
∂
∂
∂ nf
n−i i n
h
+k
f (x, y) =
h k
(x, y).
n−i ∂y i
i
∂x
∂y
∂x
i=0
証明 n = 1, 2, · · · に関する数学的帰納法で証明できる．
2
√
f (x, y) が U := {(x, y) : (x − a)2 + (y − b)2 < R} において定義され
√
ているとする． h2 + k 2 < R のとき，0 ≤ t ≤ 1 に対して (a+th, b+tk) ∈
UR である．このとき
F (t) = f (a + th, b + tk)
とおくと，F (0) = f (a, b), F (1) = f (a + h, b + k) である．f (x, y) が C 1
級ならば，
(
)
∂f
∂
∂
∂
′
F (t) =
(a+th, b+tk)h+ f (a+th, b+tk)k = h
+k
f (a+th, b+tk)
∂x
∂y
∂x
∂y
のように F ′ (t) は f (x, y) の X = (h, k) に沿った微分を用いて表される．
ゆえに f (x, y) が C n 級ならば，
(
)i
∂
∂
(i)
F (t) =
h
+k
if (a + th, b + tk)
∂x
∂y
( )
i
∑
∂ if
i−j j i
=
h k
(a + th, b + tk), (0 ≤ i ≤ n)
j ∂xi−j ∂y j
j=0
である．特に
(i)
F (0) =
i
∑
j=0
i!
∂ if
k
(a, b)
(i − j)!j! ∂xi−j ∂y j
i−j j
h
(1.68)
定理 1.7.3 (テーラーの定理) f (x, y) が
√
U := {(x, y) : (x − a)2 + (y − b)2 < R}
√
において C n 級ならば， h2 + k 2 < R であるような (h, k) に対して，あ
る θ ∈ (0, 1) を用いて
(
)i
n−1
∑
∂
∂
1
+k
f (a, b)
f (a + h, b + k) =
h
i!
∂x
∂y
i=0
(
)n
1
∂
∂
+
+k
f (a + θh, b + θk)
h
n!
∂x
∂y
1.7. 2 変数関数のテーラーの定理
69
が成り立つ．この右辺を展開して表せば次のようになる．
)
(
n−1 ∑
i
∑
1
∂ if
f (a + h, b + k) =
(a, b) hi−j k j
i−j
j
(i − j)!j! ∂x ∂y
i=0 j=0
(
)
n
∑
1
∂nf
+
(a + θh, b + θk) hn−j k j
n−j
j
(n − j)!j! ∂x ∂y
j=0
証明 F (t) = f (a + th, b + tk), 0 ≤ t ≤ 1 とおくと，f (a + h, b + k) = F (1)
である．f (x, y) が C n 級であるから，F (t) は１変数 t の関数として C n
級である．マクローリンの定理により，
n−1
∑
1
1 (i)
F (t) =
F (0)ti + F (n) (θt)tn
i!
n!
i=0
であるような θ, (0 < θ < 1) が存在する．t = 1 とおくと，
n−1
∑
1 (i)
1
F (1) =
F (0) + F (n) (θ).
i!
n!
i=0
(1.68) より
∑
1 (i)
1
∂ if
F (0) =
hi−j k j
(a, b)
i−j ∂y j
i!
(i
−
j)!j!
∂x
j=0
i
(1.69)
また
∑
1 (n)
∂nf
1
F (θ) =
hn−j k j
(a + θh, b + θk)
n!
(n − j)!j! ∂xn−j ∂y j
j=0
n
である．これらを (1.69) に代入して定理を得る．
2
定義 1.7.4 f (x, y) が C n 級であるとき，定理 1.7.3 で与えられる f (a +
h, b + k) の展開式を f (a + h, b + k) の (h, k) に関して (0, 0) を中心とす
る n 次の有限テーラー展開という．
n = 2 の場合，定理 1.7.3 は次のようになる．f (x, y) が U := {(x, y) :
√
√
(x − a)2 + (y − b)2 < R} において C 2 級ならば， h2 + k 2 < R のと
き，次の式が成り立つような θ (0 < θ < 1) が存在する．
f (a + h, b + k)
(
)
(
)2
∂
∂
∂
1
∂
+k
+k
f (a + θh, b + θk)
= f (a, b) + h
f (a, b) +
h
∂x
∂y
2
∂x
∂y
この式を書き換えて次の系を得る．
第1章
70
偏微分法
√
系 1.7.5 f (x, y) が U := {(x, y) : (x − a)2 + (y − b)2 < R} において
√
C 2 級ならば， h2 + k 2 < R のとき，次の式が成り立つような θ (0 <
θ < 1) が存在する．
(
)2
(
)2
1
∂
∂
1
∂
∂
R(h, k) =
h
+k
f (a + θh, b + θk) −
h
+k
f (a, b)
2
∂x
∂y
2
∂x
∂y
)
1(
=
(fxx (a + θh, b + θk) − fxx (a, b))h2
2
1
+ (2(fxy (a + θh, b + θk) − fxy (a, b))hk)
2
)
1(
(fyy (a + θh, b + θk) − fyy (a, b))k 2
(1.70)
2
とおくと，
f (a + h, b + k)
(
)
(
)2
∂
∂
1
∂
∂
= f (a, b) + h
+k
f (a, b) +
h
+k
f (a, b)
∂x
∂y
2
∂x
∂y
+R(h, k)
1.8
極値問題
∇f (a, b) ̸= [0, 0] ならば，(a, b) の近くで，等高線 Lf (a, b) を境にして
片側で f (x, y) > f (a, b) であり，他の側で f (x, y) < f (a, b) であった（陰
関数の定理）．では ∇f (a, b) = [0, 0] のときは f (x, y) の値はどのように
なるであろうか．∇f (a, b) = [0, 0] である点 (a, b) は，f (x, y) の特異点と
いう．
例 1.8.1 (i) f (x, y) = x2 + y 2 のとき，∇f (x, y) = [2x, 2y], ∇f (0, 0) =
[0, 0] である．この場合 (x, y) ̸= (0, 0) ならば x2 + y 2 > 0 であるか
ら，f (x, y) = (0, 0) である点は原点 (0, 0) のみで，f (x, y) は (0, 0)
で最少値である．
(ii) f (x, y) = x2 − y 2 のとき，∇f (x, y) = [2x, −2y], ∇f (0, 0) = [0, 0]
である．等高線 Lf (0, 0) は
x2 − y 2 = (x − y)(x + y) = 0
より，原点を通る２本の直線 y = x, y = −x で構成される集合で
ある．xy 平面はこの２本の直線により，4 領域に分割され，そのう
1.8. 極値問題
71
ちの x 軸を含む 2 領域で f (x, y) > 0 であり，y 軸を含む 2 領域で
f (x, y) < 0 である．特に原点のいくらでも近くで f (x, y) > 0 は正
の値もとり，負の値もとる．この場合原点は f (x, y) の鞍点 (saddle
point) であるという．
１変数関数 f (x) の値が．ある点 x = a の近くに限れば x = a で最少
（最大）であるとき，f (x) は x = a で極小値（極大値）をとるというの
であった．f (x) が微分可能な関数ならば，
f (a) が極値 =⇒ f ′ (a) = 0
が成り立つ．これは極値の必要条件であり，実際に極値になるかどうかは，
関数の増減表を作って調べるか．あるいは次の定理を用いるのであった．
定理 1.8.2 f (x) が区間 I で C 2 級であるとし，a を I の内部の点とす
る．このとき次が成り立つ．
(i) f ′ (a) = 0, f ′′ (a) > 0 ならば，f (a) は極小値である．
(ii) f ′ (a) = 0, f ′′ (a) < 0 ならば，f (a) は極大値である．
この定理を証明する前によく用いられる補題を用意しよう．
補題 1.8.3 limx→a f (x) = α が存在し，α ̸= 0 とする．このとき次のよ
うな δ > 0 が存在する．
(i) α > 0 のときは 0 < |x − a| < δ =⇒ f (x) >
α
2
>0
(ii) α < 0 のときは 0 < |x − a| < δ =⇒ f (x) <
α
2
<0
証明 α > 0 とする．極限の定義により，α/2 > 0 に対して，次のような
δ > 0 がある．
0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − α| < α/2.
ところで
|f (x) − α| < α/2 ⇐⇒ −α/2 < f (x) − α < α/2
⇐⇒ α/2 < f (x) − α < 3α/2
第1章
72
偏微分法
ゆえに (i) が成り立つ．
α < 0 の場合には −α/2 > 0 であるから，上の証明の α/2 を −α/2 で
置き換えればよい．
2
定理の証明 ２変数関数の場合に拡張することを眼目にして証明してみよ
う．x = a が I の内部にあるから a を含むある小区間 (a−r, a+r), (r > 0)
が I に含まれる．|h| < r とする．テーラーの定理により，
f (a + h) = f (a) + f ′ (a)h +
f ′′ (a + θh) 2
h
2
であるような θ ∈ (0, 1) がある．仮定から f ′ (a) = 0 であるから，
f (a+h)−f (a) =
)
f ′′ (a + θh) 2 1 ( ′′
h =
f (a)h2 + (f ′′ (a + θh) − f ′′ (a))h2
2
2
である．
f ′′ (x) が連続であるから，ϕ(h) = f ′′ (a + θh) − f ′′ (a) とおくと，
lim |ϕ(h)| = 0
h→0
が成り立ち，
1
f (a + h) − f (a) = (f ′′ (a) + ϕ(h))h2
2
と表される．このとき
lim (f ′′ (a) + ϕ(h)) = f ′′ (a)
h→0
より，たとえば f ′′ (a) > 0 ならば，次のような δ > 0 がある．
0 < |h| < δ =⇒ f ′′ (a) + ϕ(h) >
f ′′ (a)
>0
2
ゆえに
f ′′ (a) 2
h >0
0 < |h| < δ =⇒ f (a + h) − f (a) >
2
が成り立ち，f (x) は x = a で極小である．
f ′′ (a) < 0 の場合も同様に証明できる．
2
多変数関数の極値の定義から始めよう．これから考える極値をとる点
(a, b) は関数の定義域 D の内点であるとする．すなわち十分小さい ϵ > 0
をとれば，
√
Uϵ (a, b) = {(x, y) : (x − a)2 + (y − b)2 < ϵ} ⊂ D
1.8. 極値問題
73
であるような点とする．定義域の境界上の点での極値問題はここでは扱
わない．
定義 1.8.4 (i) f (x, y) が (a, b) において極小値 f (a, b) をとるというの
は，次のような ρ がある場合である：
√
(x − a)2 + (y − b)2 < ρ, (x, y) ̸= (a, b) =⇒ f (x, y) > f (a, b)
(ii) f (x, y) が (a, b) において極大値 f (a, b) をとるというのは，次のよ
うな ρ がある場合である：
√
(x − a)2 + (y − b)2 < ρ, (x, y) ̸= (a, b) =⇒ f (x, y) < f (a, b)
また極小値や，極大値を極値という．
z = f (x, y) が (x, y) 地点の標高を表す場合には，盆地あるいは谷底の
中心が極小点であり，山頂が極大点である．z = f (x, y) が (x, y) 地点の
気圧を表す場合には，低気圧の中心が極小点であり，高気圧の中心が極
大点である．
まず極値の必要条件から考える．
定理 1.8.5 f (x, y) が C 2 級の関数で，(a, b) が定義域の内点であるとき
f (x, y) が (a, b) で極値をとる =⇒ fx (a, b) = fy (a, b) = 0.
証明 f (x, y) が (a, b) で極小値をとるとする．このとき
0 < |x − a| < ρ =⇒ f (x, b) > f (a, b)
であるから，f (x, b) は x の１変数関数として x = a で極小値をとる．ゆ
えに fx (a, b) = 0 である．同様に f (a, y) は y = b で極小値をとるから，
fy (a, b) = 0 である．
極大値の場合も同様に証明される．
2
∇f (a, b) = [fx (a, b), fy (a, b)] = [0, 0] は極値の必要条件であるが，十分
条件ではない．
極値問題を扱うために系 1.7.5 から導かれる次の定理を用意する．
第1章
74
偏微分法
√
定理 1.8.6 f (x, y) U := {(x, y) : (x − a)2 + (y − b)2 < R} において
√
C 2 級ならば， h2 + k 2 < R のとき，次の 2 式が成り立つような ϕ(h, k)
が存在する．
f (a + h, b + k)
(
)
∂
∂
= f (a, b) + h
f (a, b)
+k
∂x
∂y
(
)2
1
∂
∂
+
h
+k
f (a, b) + ϕ(h, k)(h2 + k 2 )
2
∂x
∂y
lim
ϕ(h, k) = 0.
(1.71)
(1.72)
(h,k)→(0,0)
証明
e = A′ − A
A = fxx (a, b), A′ = fxx (a + θh, b + θk), A
e = B′ − B
B = fxy (a, b), B ′ = fxy (a + θh, b + θk), B
e = C′ − C
C = fyy (a, b), C ′ = fxx (a + θh, b + θk), C
とおく．
(
)j
2
∑
1
∂
∂
R(h, k) = f (a + h, b + k) −
h
+k
f (a, b)
j!
∂x
∂y
j=0
とおくと，系 1.7.5 の (1.70) により，
R(h, k) =
)
1(e 2
e + Ck
e 2 .
Ah + 2Bhk
2
(h, k) ̸= (0, 0) のとき，h, k を極座標で表して h = r cos θ, k = r sin θ とお
く．このとき
R(h, k) =
)
r2 ( e 2
e cos θ sin θ + C
e sin2 θ
A cos θ + 2B
2
と表される．| cos θ| ≤ 1, | sin θ| ≤ 1 であるから，
)
r2 ( e
e cos θ|| sin θ| + |C||
e sin θ|2
|A|| cos θ|2 + 2|B||
2
)
h2 + k 2 ( e
e + |C|
e
≤
|A| + 2|B|
2
|R(h, k)| ≤
1.8. 極値問題
したがって
75
{
ϕ(h, k) =
R(h,k)
h2 +k2
0
(h, k) ̸= (0, 0) のとき
(h, k) ̸= (0, 0) のとき
とおくと，
R(h, k) = ϕ(h, k)(h2 + k 2 )
と表され,
|ϕ(h, k)| ≤
)
1( e2
e 2 + (C)
e 2
(A) + 2(B)
2
である．fxx (x, y) は連続であるから，
lim
A′ =
(h,k)→(0,0)
lim
(h,k)→(0,0)
fxx (a + θh, b + θk) = A.
(1.73)
同様に lim(h,k)→(0,0) B ′ = B, lim(h,k)→(0,0) C ′ = C. ゆえに
lim
(h,k)→(0,0)
e=
A
lim
e=
B
(h,k)→(0,0)
lim
e=0
C
(h,k)→(0,0)
であるから，
lim
ϕ(h, k) = 0.
(h,k)→(0,0)
2
(α, β, γ) ̸= (0, 0, 0) のとき
Q(x, y) = αx2 + 2βxy + γy 2
で定義される Q(x, y) を x, y の２次形式という．任意の実数 t に対して，
次の式が成り立つことを確かめられる．
Q(tx, ty) = t2 Q(x, y)
(1.74)
ゆえに極座標をもちいて
x = r cos θ, y = r sin θ
と表すと
Q(x, y) = r2 Q(cos θ, sin θ) = (x2 + y 2 )Q(cos θ, sin θ)
(1.75)
第1章
76
偏微分法
である．
２次形式に対して
α β D = αγ − β 2 = β γ とおき，D を Q(x, y) の判別式という．
補題 1.8.7 上のように D を定義すると，次が成り立つ．
1. D > 0 の場合は (x, y) ̸= (0, 0) のとき，Q(x, y) は定符号である．
詳しくは Q(x, y)/α の x2 + y 2 = 1 のときの最大値を M , 最小値を
m とおくと，0 < m ≤ M であり，
• α > 0 ならば，
αm(x2 + y 2 ) ≤ Q(x, y) ≤ αM (x2 + y 2 )
• α < 0 ならば
αM (x2 + y 2 ) ≤ Q(x, y) ≤ αm(x2 + y 2 ).
2. D < 0 ならば，xy 平面の原点を通る２直線 ℓ1 , ℓ2 と正数 m1 , m2 が
あり，ℓ1 上で
Q(x, y) = m1 (x2 + y 2 )
(1.76)
あり，ℓ2 上で
Q(x, y) = −m2 (x2 + y 2 )
(1.77)
である．
証明 この定理は線形代数の固有値問題として扱うと見通しよく証明で
きるが，ここでは初等的に証明する．
α ̸= 0 の場合をまず考える．２次式の平方完成の計算と類似に次のよ
うに変形できる：
)
(
γ 2
β
2
Q(x, y) = α x + 2 xy + y
α
α
)
((
)2 ( )2
β
γ 2
β
= α
y + y
x+ y −
α
α
α
((
)
)2
αγ − β 2 2
β
= α
x+ y +
y
α
α2
1.8. 極値問題
77
すなわち
((
Q(x, y) = α
β
x+ y
α
)2
D
+ 2 y2
α
)
.
(1.78)
(1) D > 0 ならば，D = αγ − β 2 > 0 であるから，αγ > β 2 ≥ 0 で
あり，αγ > 0，すなわち，α, γ ̸= 0 であり，α, γ は同符号である．
Q(x, y) = 0 ならば，
x+
β
D 2
y = 0,
y =0
α
α2
より，x = y = 0 を得る．逆に言えば (x, y) ̸= (0, 0) ならば，
√
Q(x, y)/α ̸= 0 である. とくに S = {(x, y) : x2 + y 2 = 1} 上で，
Q(x, y)
=
α
(
)2
β
D
x + y + 2 y2 > 0
α
α
であるから，S における Q(x, y)/α の最大値を M , 最小値を m と
おくと
√
Q(x, y)
x2 + y 2 = 1 =⇒ 0 < m ≤
≤ M.
α
(x, y) ̸= (0, 0) の極座標を r, θ とおくと，(1.75) が成り立つ．(cos θ, sin θ) ∈
S であるから，
Q(x, y)
Q(cos θ, sin θ)
= (x2 + y 2 )
α
α
により，
m(x2 + y 2 ) ≤
Q(x, y)
≤ M (x2 + y 2 )
α
ゆえに １． が成り立つ．
(2) D < 0 とする．この場合は α = γ = 0 ならば，D = −β 2 であるか
ら，D < 0 より，β ̸= 0 であり，Q(x, y) = 2βxy.
y = x のとき，
Q(x, x) = βx2 =
β
β 2
(x + x2 ) = r2 .
2
2
第1章
78
偏微分法
y = −x のとき，
β
β
Q(x, −x) = β(−x2 ) = − (x2 + (−x)2 ) = − r2 .
2
2
次に α ̸= 0 とする．このときは (1.78) が成り立つ．−D > 0 であ
√
るから， −D = δ とおくと，D = −δ 2 と表される．このとき
((
)
)2
β
δ2 2
Q(x, y) = α
x + y − 2y
α
α
(
)(
)
β
δ
β
δ
= α x+ y− y
x+ y+ y
α
α
α
α
ゆえに Q(x, y) は原点を通る２直線
x+
β
δ
β
δ
y − y = 0, x + y + y = 0
α
α
α
α
により，４領域に分割される. その内の二つの領域で Q(x, y) > 0
であり，残りの二つの領域で Q(x, y) < 0 である．
たとえば直線 ℓ2 : x = − αβ y の上で
(
)( )
δ
δ
δ2
Q(x, y) = α − y
y = − y2.
α
α
α
ℓ2 上で，n2 = −β/α とおくと，
x2 + y 2 = y 2 ((x/y)2 + 1)2 = y 2 (n22 + 1)
であるから，
Q(x, y) = −
ゆえに m2 =
δ2
(x2 + y 2 )
α(n22 + 1)
δ2
α(n22 +1)
とおけば (1.77) が成り立つ．
直線 ℓ1 : x = (− αβ + 2δ
)y の上で
α
)
( )(
3δ
3δ 2 2
δ
y
y =
y .
Q(x, y) = α
α
α
α
ℓ1 上で − αβ +
2δ
α
= n1 とおくと，
x2 + y 2 = y 2 ((x/y)2 + 1)2 = y 2 (n21 + 1)
1.8. 極値問題
79
であるから，
Q(x, y) =
ゆえに m1 =
3δ 2
(x2 + y 2 ).
α(n21 + 1)
3δ 2
α(n21 +1)
とおくと，ℓ1 上で (1.76) が成り立つ．
2
三角関数を用いて補題 1.8.7 より，詳しい結果を導き出すこともできる．
その前に D の符号と α, β, γ の符号の関係を調べておく．
補題 1.8.8 (α, β, γ) ̸= (0, 0, 0) とし，D = αγ − β 2 とおく．
(i) D > 0 ならば，α, β は 0 でない同符号の数である．
(ii) D = 0 ならば，α, γ は同符号または一方が 0 であり，α + γ ̸= 0 で
ある．
証明 (i) D = αγ − β 2 > 0 ならば αγ > 0 であるから，(i) が成り立つ．
D = 0 のときは αγ = β 2 である．右辺は正または 0 であるから，α, γ
は同符号または 0 である．したがって α + γ ≥ 0 または α + γ ≤ 0 であ
る．ここで等号が成り立つならば α = γ = 0 であり，したがって β = 0
であり，仮定 (α, β, γ) ̸= (0, 0, 0) に反する．ゆえに α + γ > 0 または
α + γ < 0 であり，(ii) が成り立つ．
2
補題 1.8.9 (α, β, γ) ̸= (0, 0, 0) とし，
Q(x, y) = αx2 + 2βxy + γy 2
√
とおく．単位円 S = {(x, y) : x2 + y 2 = 1} において Q(x, y) は最小値
m1 , 最大値 m2 をとり，次のように与えられる．
A=
√
(α − γ)2 + 4β 2
とおくと，
m1 =
α+γ−A
α+γ+A
, m2 =
2
2
m1 , m2 は次のような符号をとる．
第1章
80
偏微分法
(i) D < 0 ならば m1 < 0 < m2 ，つまり m1 , m2 は異符号の零でない値
である．
(ii) D > 0 のときは，
α > 0 ならば，0 < m1 ≤ m2 であり，
α < 0 ならば，m1 ≤ m2 < 0 である．
m1 = m2 となる場合は α = γ, β = 0 の場合である．
(iii) D = 0 のときは，
α + γ > 0 ならば，0 = m1 < m2 ,
α + γ < 0 ならば，m1 < m2 = 0.
√
証明 単位円 S = {(x, y) :
x2 + y 2 = 1} において Q(x, y) は
最大値と最小値をとる．これは連続関数の最大，最少に関する基本的定
理から導かれるが今の場合次のように考えることもできる．S 上の点は
x = cos θ, y = sin θ と表されるから
Q(cos θ, sin θ) = α cos2 θ + 2β cos θ sin θ + γ sin2 θ
右辺は１変数周期関数であるから，最小値 m1 と最大値 m2 をとる．
倍角公式
cos2 θ = (1 + cos 2θ)/2, 2 sin θ cos θ = sin 2θ
を使って
Q(cos θ, sin θ) = α cos2 θ + 2β cos θ sin θ + γ(1 − cos2 θ)
= (α − γ) cos2 θ + 2β cos θ sin θ + γ
1 + cos 2θ
= (α − γ)
+ β sin 2θ + γ
2
1
=
((α − γ) cos 2θ + 2β sin 2θ + (α + γ))
2
• α = γ, β = 0 ならば，Q(cos θ, sin θ) = (α + γ)/2 = α であり，
m1 = m2 = α = γ. この場合は D = αγ = α2 であるから，D > 0
であり，(ii) の特別な場合である．
1.8. 極値問題
81
• α ̸= γ または β ̸= 0 とする．このとき，
√
√
A = (α − γ)2 + (2β)2 = (α − γ)2 + 4β 2
(1.79)
とおくと，A > 0 であり，
α−γ
2β
= cos φ,
= sin φ
A
A
である角 φ により，
1
Q(cos θ, sin θ) = (A cos(2θ + φ) + α + γ)
2
と表される．ゆえに 0 ≤ θ ≤ 2π における Q(cos θ, sin θ) の最小値
m1 と最大値 m2 は
m1 =
α+γ−A
α+γ+A
, m2 =
2
2
(1.80)
である．とくに m1 < m2 である．m1 , m2 の符号の関係を調べるた
めに m1 m2 , m1 + m2 を計算すると，
m1 m2
(α + γ)2 − A2
(α + γ)2 − (α − γ)2 − 4β 2
=
=
4
4
4(αγ − β 2 )
=
= D,
4
m1 + m2 = α + γ.
(1.81)
1. D < 0 ならば，m1 < 0 < m2 である．
2. D > 0 ならば，m1 , m2 は同符号である. D > 0 のとき α, γ
は零でない同符号の数である．(1.81) より，α > 0 のときは
0 < m1 < m2 であり，α < 0 のときは m1 < m2 < 0 である．
3. D = 0 のときは m1 , m2 のうちの一方が 0 である．m1 + m2 =
α + γ であるから，α + γ > 0 ならば，0 = m1 < m2 である．
α + γ < 0 ならば，m1 < m2 = 0 である．
2
2
C 級の関数 f (x, y) に対して
[
]
fxx (x, y) fyx (x, y)
Hf (x, y) =
fxy (x, y) fyy (x, y)
第1章
82
偏微分法
とおき，f (x, y) のヘッセ (Hesse) 行列という．fyx = fxy であるから，
ヘッセ行列は対称行列である：
[
]
fxx (x, y) fxy (x, y)
Hf (x, y) =
fxy (x, y) fyy (x, y)
その行列式
f (x, y) f (x, y)
xx
xy
fxy (x, y) fyy (x, y)
= fxx (x, y)fyy (x, y) − fxy (x, y)2
をヘッシアン (Hessian) という．ヘッセ行列を用いると
[ ]
[ ]
h
h
· Hf (a, b)
= fxx (a, b)h2 + 2fxy (a, b)hk + fyy (a, b)k 2
k
k
がなりたつ．左辺の · 記号は内積を表す．
定理 1.8.10 f (x, y) は C 2 級の関数とし，点 (a, b) において
fx (a, b) = fy (a, b) = 0
とする．
D = fxx (a, b)fyy (a, b) − fxy (a, b) = det Hf (a, b)
とおく．
(i) D > のとき，
fxx (a, b) > 0 ならば，f (x, y) は (a, b) で極小値をとり，
fxx (a, b) < 0 ならば，f (x, y) は (a, b) で極大値をとる．
(ii) D < 0 のとき，f (x, y) は (a, b) で極値をとらない．
(iii) D = 0 のときは，極値をとる場合もあり，とらない場合もある．
証明
fxx (a, b) = A, fxy (a, b) = B, fyy (a, b) = C, D = AC − B 2
Q(h, k) = Ah2 + 2Bhk + Ck 2
1.8. 極値問題
83
とおく．定理 1.8.6 により，fx (a, b) = fy (a, b) = 0 のとき
1
f (a + h, b + k) = f (a, b) + (Ah2 + 2Bhk + Ck 2 ) + ϕ(h, k)(h2 + k 2 )
2
lim
ϕ(h, k) = 0
(h,k)→(0,0)
が成り立つ．
G(h, k) = f (a + b, b + k) − f (a, b)
とおくと，
1
G(h, k) = Q(h, k) + ϕ(h, k)(h2 + k 2 )
2
lim
ϕ(h, k) = 0.
(1.82)
(1.83)
(h,k)→(0,0)
r=
√
h2 + k 2 とおく．
(i) D > 0 とする．
• A > 0 ならば，
Q(h, k) ≥ mr2 (r > 0)
となる m > 0 がある．(1.82) より
1
G(h, k) ≥ mr2 + ϕ(h, k)r2 = (m/2 + ϕ(h, k))r2 .
2
(1.83) より，0 < r < ρ =⇒ −m/4 < ϕ(h, k) < m/4 であるよ
うな ρ > 0 がある．ゆえに 0 < r < ρ ならば
f (a + h, b + k) − f (a, b) = G(h, k) ≥ (m/2 − m/4)r2 =
m 2
r .
4
f (x, y) は (a, b) で極小値をとる．
• A < 0 ならば，
Q(h, k) ≤ −mr2 (r > 0)
となる m > 0 がある．(1.82) より
1
G(h, k) ≤ − mr2 + ϕ(h, k)r2 = (−m/2 + ϕ(h, k))r2 .
2
第1章
84
偏微分法
(1.83) より，0 < r < ρ =⇒ −m/4 < ϕ(h, k) < m/4 であるよ
うな ρ > 0 がある．ゆえに 0 < r < ρ ならば
f (a+h, b+k)−f (a, b) = G(h, k) ≤ (−m/2+m/4)r2 = −(m/4)r2 .
f (x, y) は (a, b) で極大値をとる．
(ii) D < 0 とする．このとき原点を通るある直線 ℓ1 上で
Q(h, k) = m1 r2
である m1 > 0 がある．0 < r < ρ1 =⇒ −m1 /4 < ϕ(h, k) < m1 /4
であるような ρ > 0 がある．ゆえに 0 < r < ρ1 ならば
f (a+h, b+k)−f (a, b) = G(h, k) ≥ (m1 /2−m1 /4)r2 =
m1 2
r > 0.
4
また原点を通る他の直線 ℓ2 があり，その上で
Q(h, k) = −m2 r2
である m2 > 0 がある．0 < r < ρ2 =⇒ −m2 /4 < ϕ(h, k) < m2 /4
であるような ρ2 > 0 がある．ゆえに 0 < r < ρ2 ならば
f (a+h, b+k)−f (a, b) = G(h, k) ≤ (−m2 /2+m2 /4)r2 = −
m2 2
r < 0.
4
以上により，f (x, y) は (a, b) で極値をとらない．
(iii)
f (x, y) = (x − y)2 + x4 + y 4 = x2 − 2xy + y 2 + x4 + y 4
とおく．det Hf (0, 0) = 0 であり，(x, y) ̸= (0, 0) のとき f (x, y) >
0 = f (0, 0). f (x, y) は (0, 0) で最小値をとる．
g(x, y) = (x − y)2 + x3 + y 3
とおく．det Hg (0, 0) = 0 である．g(x, x) = 2x3 は x > 0 のとき正
であり，x < 0 のとき負である．ゆえに g(x, y) は (0, 0) で極値を
とらない．
2
1.8. 極値問題
85
例 1.8.11 次の関数の極値を取る点と、極値を求めよ。
(1) f (x, y) = x2 − 3xy + 3y 2 − x − 3y + 8
fx (x, y) = 2x − 3y − 1 = 0, fy (x, y) = −3x + 6y − 3 = 0
を解くと x = 5, y = 3. 極値を取る点の候補は (x, y) = (5, 3) である.
次に
fxx (x, y) = 2, fxy (x, y) = −3, fyy (x, y) = 6
であるから、
H(x, y) = fxx (x, y)fyy (x, y)−fxy (x, y)2 = 2×6−(−3)2 = 12−9 = 3 > 0.
ゆえに点 (5, 3) において実際に極値をとる. さらに
fxx (5, 3) = 2 > 0
であるから、f (x, y) は (x, y) = (5, 3) で極小値
f (5, 3) = 1
をとる.
(2) f (x, y) = 4y 3 + x2 − 12y 2 − 36y
まず極値をとる点の座標は
fx = 2x = 0, fy = 12y 2 − 24y − 36 = 0
をみたす. 第１式から x = 0, 第二式は y 2 − 2y − 3 = 0 であるから、そ
の解は y = −1 と y = 3 である. 従って極値を取る点の候補は (x, y) =
(0, −1), (0, 3) の２点である．
次に
fxx = 2, fxy = 0, fyy = 24y − 24
であるから、
H = 2(24y − 24) = 48(y − 1)
である．
H(0, −1) = −96 < 0 であるから、(x, y) = (0, −1) では極値をとら
ない．
H(0, 3) = 96 > 0, fxx (0, 3) = 2 > 0 であるから、(x, y) = (0, 3) におい
て極小値 f (0, 3) = −108 をとる．
第1章
86
1.9
偏微分法
条件付き極値問題
変数 (x, y) がある条件
g(x, y) = c
(1.84)
を満たす範囲で変化するとき、関数 z = f (x, y) が極値を取る点を求める．
このような問題を条件付き極致問題という．(1.84) を制約条件，g(x, y)
を制約関数、f (x, y) を目的関数という．
等高線 (1.84) の上を点 (x, y) が移動するとき、移動の方向が勾配ベク
トル ∇f と直交しない限り f (x, y) の値は増加または減少する．したがっ
て等高線 (1.84) の上のある点 (a, b) で f (x, y) が極値をとるとすると、そ
の点 (a, b) で等高線 (1.84) の接線と ∇f (a, b) は直交する．等高線 (1.84)
の接線と法ベクトル ∇g(a, b) は直交するから，点 (a, b) で ∇g(a, b) と
∇f (a, b) は同じ向きをさす．あるいは１次従属である．
α[gx (a, b), gy (a, b)] + β[fx (a, b), fy (a, b)] = [0, 0]
(1.85)
である (α, β) ̸= (0, 0) が存在する．点 (a, b) が g(x, y) の正則点であると
する、すなわち [gx (a, b), gy (a, b)] ̸= [0, 0] とする．このときもし β = 0 な
らば、(1.85) が成り立つとすると α = 0 である．したがって β ̸= 0 であ
り、λ = −α/β とおくと
[fx (a, b), fy (a, b)] = λ[gx (a, b), gy (a, b)]
がなりたつ．さらに (a, b) が条件 (1.84) をみたす。
g(a, b) = c
以上、３変数 a, b, λ に対する３条件を得る。これが条件付き極致問題の
幾何学的解釈である．
定理 1.9.1 f (x, y), g(x, y) は C 1 級の関数とする．制約条件 (1.84) のも
とで，f (x, y) が (a, b) において極値をとるならば，ある数 λ により
∇f (a, b) = λ∇g(a, b)
が成り立つ．ただし ∇g(a, b) ̸= [0, 0] とする．
(1.86)
1.9. 条件付き極値問題
87
証明 ∇g(a, b) = [gx (a, b), gy (a, b)] ̸= [0, 0] であるから，等高線 (1.84) は
関数のグラフである．たとえば，gy (a, b) ̸= 0 とすると，陰関数の定理か
ら，次にような関数 y = ϕ(x) がある．ϕ(x) は x = a を含むある区間
[a − r, a + r] で定義される C 1 級の関数で
g(x, ϕ(x)) = c, ϕ(a) = b, ϕ′ (x) = −
gx (x, ϕ(x))
.
gy (x, ϕ(x))
制約条件 (1.84) のもとで，f (x, y) が (a, b) において極値をとるから，
u(x) = f (x, ϕ(x)) が x = a で極値をとる．ゆえに u′ (a) = 0 である．
合成関数の微分法により，
u′ (x) = fx (x, ϕ(x))) + fy (x, ϕ(x))ϕ′ (x)
)
(
gx (x, ϕ(x))
.
= fx (x, ϕ(x))) + fy (x, ϕ(x)) −
gy (x, ϕ(x))
ゆえに u′ (a) = 0 より
(
gx (a, ϕ(a))
0 = fx (a, ϕ(a))) + fy (a, ϕ(a)) −
gy (a, ϕ(a))
fy (a, b)
= fx (a, b)) −
gx (a, b).
gy (a, b)
λ=
fy (a,b)
gy (a,b)
)
とおくと，
fx (a, b) − λgx (a, b) = 0, fy (a, b) = λgy (a, b).
ゆえに ∇f (a, b) = λ∇g(a, b).
2
定義 1.9.2 条件 (1.86) の中の λ を条件付き極値問題におけるラグラン
ジュ(Lagrange) 乗数という．
条件 (1.86)(1.84) は
fx (a, b) − λgx (a, b) = 0, fy (a, b) − λgy (a, b) = 0, c − g(a, b) = 0
と表される．
F (x, y, λ) = f (x, y) + λ(c − g(x, y))
とおくと，この３条件は
Fx (a, b, λ) = Fy (a, b, λ) = Fλ (a, b, λ) = 0
第1章
88
偏微分法
と表される．すなわち F (x, y, λ) の条件無しの極値条件として表される．
F (x, y, λ) を条件付き極値問題の Lagrange 関数という．
２次形式の単位円上での最大値，最小値問題は条件付き極値問題であ
る．すなわち前節で示した結果と同じ次の定理を得る．
定理 1.9.3 制約条件
x2 + y 2 = 1
のもとでの，
Q(x, y) = αx2 + 2βxy + γy 2
の最大値 m2 最小値 m1 は次のように与えられる．A =
とおくと，
m1 =
√
(α − γ)2 + 4β 2
α+γ−A
α+γ+A
, m2 =
2
2
証明
F (x, y, λ) = Q(x, y) + λ(1 − x2 − y 2 )
とおく．次の連立方程式


 Fx = 2αx + 2βy − λ(2x) = 0
Fy = 2βx + 2γy − λ(2y) = 0

 1 − x2 − y 2 = 0
の解 (x, y, λ) の中に極値の候補点がある．最初の二つの方程式は, 行列を
用いて次のようの表される．
[
][ ] [ ]
x
α−λ
β
0
=
(1.87)
β
γ−λ
y
0
[
] [ ]
x
0
３番目の条件 x2 + y 2 = 1 も満たすとすると，
̸=
であるか
y
0
ら，(1.87) が非自明解を持つことになる．したがって係数行列の行列式
が 0 である．
(α − λ)(γ − λ) − β 2 = 0.
1.9. 条件付き極値問題
89
左辺を計算して
λ2 − (α + γ)λ + D = 0. (D = αγ − β 2 )
この方程式の解 λ は
λ = λ± =
α+γ±
√
√
(α + γ)2 − 4D
α + γ ± (α − γ)2 + 4β 2
=
2
2
すなわち A により，
λ = λ± =
α+β±A
2
[
この λ± の値に対する (1.87) の非自明解を
]
x
y
[
=
]
a±
b±
とおくと，
(1.87) より
[
][
]
[
]
α β
a±
a±
= λ±
β γ
b±
b±
がなりたつ
[
Q(x, y) = [x, y]
と表されるから
][
α β
β γ
(
Q(a± , b± ) = [a± , b± ] λ±
]
x
y
[
])
a±
b±
= λ± (a2± + b2± ).
a2± + b2± = 1 であるから，
Q(a± , b± ) = λ±
ゆえに m1 = λ− , m2 = λ+ である．
2
制約条件が
g(x1 , x2 , x3 ) = c
の場合の目的関数 f (x1 , x2 , x3 ) が極値を取る点 a = (a1 , a2 , a3 ) を考えよ
う．この場合も点 a で g(x) = c の法線と f (x) の法線が同じ向きになる．
∇f = (fx1 , fx2 , fx3 ) ∇g = (gx1 , gx2 , gx3 )
第1章
90
偏微分法
と定義して，∇g(a1 , a2 , a3 ) ̸= 0 とすると
∇f (a1 , a2 , a3 ) = λg(a1 , a2 , a3 )
である定数 λ が存在する。成分を用いて書くと
fxi (a1 , a2 , a3 ) = λgxi (a1 , a2 , a3 ),
(i = 1, 2, 3)
である．さらに a は g(x) = c を満たしているから、
g(a1 , a2 , a3 ) = c
以上４変数 a1 , a2 , a3 , λ に関して４条件を得る．この条件はラグランジュ
関数
F (x1 , x2 , x3 , λ) = f (x1 , x2 , x3 ) + λ(c − g(x1 , x2 , x3 ))
を用いて次のように表される．
Fx1 = Fx2 = Fx3 = Fλ = 0.
1.10
ラグランジュ乗数の活用
定理 1.9.1 では，制約条件下で目的関数が極値をとる必要条件だけを述
べているが，十分条件は次のように与えられる．
定理 1.10.1 f (x, y), g(x, y) は２次導関数までこめて連続であるとし，F (x, y, λ) =
f (x, y) − λ(g(x, y) − c) とおく．
Fx (a, b, λ) = 0, Fy (a, b, λ) = 0, Fλ (a, b, λ) = 0
が成り立つとする．さらに
K(x, y, λ) = Fxx (gy )2 − 2Fxy gx gy + Fyy (gx )2
(1.88)
と定義する．このとき，K(a, b, λ) ̸= 0 ならば，g(x, y) = c の条件下で
f (x, y) は (a, b) で極値をとり，f (a, b) は
1. K(a, b, λ) > 0 ならば，極小値である．
2. K(a, b, λ) < 0 ならば，極大値である．
1.10. ラグランジュ乗数の活用
91
証明 ∇g(a, b) ̸= (0, 0) であるから，(a, b) の近くで g(x, y) = c を満た
す陰関数が定まる．gy (a, b) ̸= 0 の場合を証明する（gx (a, b) ̸= 0 の場合
も同様に証明される）．この場合 y(a) = b, g(x, y(x)) = c を満たす陰関
数 y(x) が x = a の近くで定まり， g(x, y) = c のときの f (x, y) の値は，
x = a の近くで
p(x) = f (x, y(x))
のように表される．p(x) の極値条件を調べる．
陰関数の定理より
dy
gx (x, y(x))
=−
dx
gy (x, y(x))
(1.89)
が成り立つ．とくに
dy
gx (a, b)
(a) = −
dx
gy (a, b)
(1.90)
g(x, y) は２次導関数も連続と仮定しているから，(1.89) の右辺は x に
d2 y
dy
はもう一度微分可能，すなわち dx
ついて微分可能である．したがって dx
2
も存在する．
最初に合成関数の微分法により
p′ (x) = fx (x, y(x)) + fy (x, y(x))y ′ (x)
(1.91)
x = a での値は，p′ (a) = fx (a, b) + fy (a, b)y ′ (a) であるが，
fx (a, b) = λgx (a, b), fy (a, b) = λgy (a, b)
であるから，
p′ (a) = λ(gx (a, b) + gy (a, b)y ′ (a))
(1.90) で求めた値を代入すると，p′ (a) = 0 を得る．
次に (1.91) を x で微分する．合成関数の微分法により
p′′ (x) = fxx (x, y(x)) + fxy (x, y(x))y ′ (x)
+(fyx (x, y(x)) + fyy (x, y(x))y ′ (x))y ′ (x) + fy (x, y(x))y ′′ (x)
偏微分の順序交換定理により，fxy = fyx であるから，
p′′ (a) = fxx + 2fxy y ′ (a) + fyy (y ′ (a))2 + fy y ′′ (a)
(1.92)
第1章
92
偏微分法
を得る．ただし fxx (a, y(a)) = fxx (a, b) を省略して fxx と表している．
fxy , fyy , fy についても同様である．また (1.89) より
0 = gx (x, y(x)) + gy (x, y(x))y ′ (x)
が成り立つから，両辺を x で微分して，同様な関係式
0 = gxx + 2gxy y ′ (a) + gyy (y ′ (a))2 + gy y ′′ (a)
(1.93)
を得る．いま Fy (a, b, λ) = 0 であるから，fy (a, b) = λgy (a, b) が成り立
つ．(1.92) と (1.93) の λ 倍の差をとると，y ′′ (a) を含む項が消去され，
p′′ (a) = (fxx − λgxx ) + 2(fxy − λgxy )y ′ (a) + (fyy − λgyy )(y ′ (a))2
F (x, y, λ) を用いると
p′′ (a) = Fxx + 2Fxy y ′ (a) + Fyy (y ′ (a))2
y ′ (a) = −gx (a, b)/gy (a, b) であるから，gx (a, b) = gx , gy (a, b) = gy と略記
して
p′′ (a) = Fxx − 2Fxy
=
Fxx gy2 − 2Fxy gx gy + Fyy gx2
gx
g2
+ Fyy x2 =
gy
gy
gy2
K(a, b, λ)
gy2
したがって K(a, b, λ) ̸= 0 ならば，p′′ (a) ̸= 0 である．K(a, b, λ) > 0 なら
ば，p′′ (a) > 0 であるから，p(x) は x = a で極小値をとり，K(a, b, λ) < 0
ならば，p′′ (a) < 0 であるから，p(x) は x = a で極大値をとる．
2
次に制約条件 g(x, y) = c を課す c の値が変化したとき，f (x, y) の
極値がどのように変化するかを考える．文字 c を改めて変数記号 v で
置き換え，制約条件 g(x, y) = v の下で，目的関数 f (x, y) が極値をと
る点を (x(v), y(v)) とし，そのときのラグランジュ乗数を λ(v) とする．
x(v), y(v), λ(v) は (x, y, λ) に関する次の連立方程式の解である．


 fx (x, y) − λgx (x, y) = 0
(1.94)
fx (x, y) − λgx (x, y) = 0

 g(x, y) = v
1.10. ラグランジュ乗数の活用
93
f (x, y), g(x, y) の２次偏導関数が連続で，ある点 x = a, y = b, λ =
λ0 , v = c が (1.94) を満たし，(1.88) のように定義した関数 K(x, y, λ) に
対して,
K(a, b, λ0 ) ̸= 0
ならば，
x(c) = a, y(c) = b, λ(c) = λ0
であり，v = c の近くで，(1.94) の微分可能な解 x = x(v), y = y(v), λ =
λ(v) が存在する．その証明は，x, y, λ に関する方程式 (1.94) に，４変数
連立方程式の陰関数定理を適用してできるが，本書の程度をこえるので
割愛する．
f (x(v), y(v)) = u(v) とおくと，u(v) は制約条件 g(x, y) = v の下での，
目的関数 f (x, y) の極値である．K(a, b, λ0 ) > 0 ならば，v が c の近くに
あるとき
K(x(v), y(v), λ(v)) > 0
であるから，u(v) は極小値であり，極小値をとる点 (x(v), u(v)) は (a, b)
を通り連続的に移動する．K(a, b, λ0 ) < 0 ならば，極大値を与える点が
連続的に移動する．
定理 1.10.2 x = x(v), y = y(v), λ = λ(v) が連立方程式 (1.94) の解であ
り，v について微分可能であるとする．このとき f (x(v), y(v)) = u(v) と
おくと，
du
= λ(v)
dv
証明 f (x(v), y(v)) = u(v) とおくと，合成関数の微分法則により，
du
= fx (x(v), y(v))x′ (v) + fy (x(v), y(v))y ′ (v).
dv
(1.94) の第１式，第２式より
fx (x(v), y(v)) = λ(v)gx (x(v), y(v)), fy (x(v), y(v)) = λ(v)gy (x(v), y(v))
であるから，
du
= λ(gx (x(v), y(v))x′ (v) + gy (x(v), y(v))y ′ (v))
dv
(1.95)
第1章
94
偏微分法
一方 (1.94) の第３式より，g(x(v), y(v)) = v が成り立つ．両辺を v で微
分して
gx (x(v), y(v))x′ (v) + gy (x(v), y(v))y ′ (v)) = 1.
(1.95),(1.96) により，
du
=λ
dv
(1.96)
2
95
第2章
2.1
重積分法
重責分
多変数関数の定積分の意味とその計算法を以下で述べる．１変数関数
の定積分は連続関数の範囲で考えておよそのことは理解できた．しかし
多変数の場合は複雑な積分領域を扱う必要性から不連続関数も考えるこ
とになる．ここでは以下にのべる有界関数の定積分を扱う．
xy 平面の部分集合 D で定義されている関数 f (x, y) があるとき，
(x, y) ∈ D =⇒ α ≤ f (x, y) ≤ β
(2.1)
であるような数 α, β があれば， f (x, y) は D で有界であるという．f (x, y)
の D における値の集合を A とおくと，
a ∈ A =⇒ α ≤ a ≤ β
が成り立つ．
定義 2.1.1 Z ⊂ R とする．ある数 α に対して
z ∈ Z =⇒ α ≤ z
が成り立つとき，Z は下に有界であるといい，α を Z の下界という．
ある数 β に対して
z ∈ Z =⇒ z ≤ β
が成り立つとき，Z は上に有界であるといい，β を Z の上界という．
Z が下にも，上にも有界であるとき，Z は有界であるという．
α が Z の下界ならば，α 以下の数はすべて Z の下界である．β が Z
の上界ならば，β 以上の数はすべて Z の上界である．下界，上界は Z の
ある範囲を計る数であるから，下界は大きいほど，上界は小さいほど Z
のある範囲が絞られる．次の定理を，実数の集合の完備性の定理という．
証明は難しいので省略する．
第2章
96
重積分法
定理 2.1.2 Z ⊂ R とする．Z が下に有界ならば，Z の下界の中に最大
のものがある．Z が上に有界ならば，Z の上界の中に最小のものがある．
定義 2.1.3 Z が下に有界であるとき，Z の最大下界を Z の下限といい，
inf Z と書く．Z が上に有界であるとき，Z の最小上界を Z の上限とい
い，sup Z と書く．
定義 2.1.4 Z = {f (x, y); (x, y) ∈ D} のとき，Z の上界，下界を f (x, y)
の D における上界，下界という．
定義 2.1.5 f (x, y) の D における最少上界を sup{f (x, y) : (x, y) ∈ D}
または sup(x,y)∈D f (x, y) （省略形で supD f (x, y)）と書き，f (x, y) の D
における上限 という．上限は上限界という意味である．
f (x, y) の D における最大下界を inf{f (x, y) : (x, y) ∈ D} または
inf (x,y)∈D f (x, y) （省略形で inf D f (x, y)）と書き，f (x, y) の D における
下限 という．下限は下限界という意味である．
当然次が成り立つ．
(x, y) ∈ D =⇒ inf f (x, y) ≤ f (x, y) ≤ sup f (x, y).
D
D
f (x, y) の D における最大値（最小値）が M (m) であるとは，
(x, y) ∈ D =⇒ f (x, y) ≤ M (m ≤ f (x, y))
であり，しかも f (xM , yM ) = M (f (xm , ym ) = m) である点 (xM , yM ) ∈
D (xm , ym ) ∈ D があることである．このとき，
M = max{f (x, y) : (x, y) ∈ D}, M = max f (x, y), M = max f (x, y),
D
(x,y)∈D
m = min{f (x, y) : (x, y) ∈ D}, m = min f (x, y), m = min f (x, y),
(x,y)∈D
D
などと書く．要するに M = supD f (x, y) であり，しかも f (x, y) が値
M をとる点 (xM , yM ) ∈ D が存在するとき最大値という．同様に m =
inf D f (x, y) であり，しかも f (x, y) が値 m をとる点 (xm , ym ) ∈ D が存
在するとき最小値という．
補題 2.1.6 f (x, y) が D で有界であるとき，E ⊂ D ならば，
inf f (x, y) ≤ inf f (x, y) ≤ sup f (x, y) ≤ sup f (x, y)
D
E
E
D
すなわち定義域が狭まると，下限は増え，上限は減る．
(2.2)
2.1. 重責分
97
証明 上限，下限の意味から明らかであるが，慣れない人のために証明
をつけておく．inf D f (x, y) = α, supD f (x, y) = β とおくと，α は D に
おける f (x, y) の一つの下界，β は D における f (x, y) の一つの上界であ
るから，(2.1) は成り立つ．E ⊂ D のとき，(x, y) ∈ E =⇒ (x, y) ∈ D で
あるから，
(x, y) ∈ E =⇒ α ≤ f (x, y) ≤ β
である．ゆえに α は E における f (x, y) の下界であり，β は E におけ
る f (x, y) の上界である．ゆえに E における最大下界，最少上界は (2.2)
を満たす．
2
矩形領域
K = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
で定義された関数 f (x, y) が有界であるとする．すなわち次のような定数
m, M があるとする．
m ≤ f (x, y) ≤ M
((x, y) ∈ K)
K の面積を次の記号で表す．
µ(K) = (b − a)(d − c)
分割
∆ : a = x0 < x1 < · · · < xm = b, c = y0 < y1 < · · · < yn = d
から出来る小矩形
Kij = {(x, y) : xi−1 ≤ x ≤ xi , yj−1 ≤ y ≤ yj }
に対して
mij = inf{f (x, y) : (x, y) ∈ Kij }, Mij = sup{f (x, y) : (x, y) ∈ Kij },
とおく. m ≤ mij ≤ Mij ≤ M であり，さらに (x, y) ∈ Kij ならば
m ≤ mij ≤ f (x, y) ≤ Mij ≤ M.
第2章
98
重積分法
したがって，各 Kij から点 zij = (xij , yij ) を選んだとき
mµ(K) ≤
m ∑
n
∑
mij µ(Kij ) ≤
i=1 j=1
≤
m ∑
n
∑
i=1 j=1
n
m ∑
∑
f (xij , yij )µ(Kij )
Mij µ(Kij ) ≤ M µ(K)
i=1 j=1
がなりたつ．
s(f, ∆) =
m ∑
n
∑
mij µ(Kij ), R(f, ∆) =
i=1 j=1
S(f, ∆) =
m ∑
n
∑
m ∑
n
∑
f (xij , yij )µ(Kij ),
i=1 j=1
Mij µ(Kij )
i=1 j=1
とおき、それぞれ f (x, y) の ∆ による下方和、リーマン和、上方和とい
う．上の不等式は次のように表される．
mµ(K) ≤ s(f, ∆) ≤ R(f, ∆) ≤ S(f, ∆) ≤ M µ(K).
K の分割 ∆ を全部集めた集合を P で表す．実は次の補題がなりたつ．
補題 2.1.7 任意の ∆, ∆′ ∈ P に対して
mµ(K) ≤ s(f, ∆) ≤ S(f, ∆′ ) ≤ M µ(K).
証明 m ≤ mij ≤ Mij ≤ M であるから，
mµ(K) ≤ s(f, ∆) ≤ S(f, ∆) ≤ M µ(K).
である．異なる分割 ∆, ∆′ に対して s(f, ∆) ≤ S(f, ∆′ ) であることを
示す．f (x, y) ≥ 0 ((x, y) ∈ K) の場合を考える．そうでない場合には
g(x, y) = f (x, y) − m ≥ 0 であるから，g(x, y) に対して証明し，その結
果から f (x, y) に対して成り立つことを確かめることができる．
f (x, y) ≥ 0 とする．このとき，分割 ∆ によりできる小矩形 Kij を底
面とし，高さ mij , Mij の直方体を qij , Qij とおき，それらを集めた集合を
n
m
n
q∆ = ∪m
i=1 ∪j=1 qij , Q∆ = ∪i=1 ∪j=1 Qij
とおく．s(f, ∆) は q∆ の体積であり，S(f, ∆) は Q∆ の体積である．
2.1. 重責分
99
z = f (x, y) のグラフと矩形 K の間の部分を R とおく．すなわち
R = {(x, y, z) : (x, y) ∈ K, 0 ≤ z ≤ f (x, y)}.
このとき Kij 上で mij ≤ f (x, y) ≤ Mij であるから，q∆ ⊂ R ⊂ Q∆ であ
る．この包含関係は任意の分割に対して成り立つから，
q∆′ ⊂ R ⊂ Q∆′ .
したがって q∆ ⊂ Q∆′ である．その体積をとると，s(f, ∆) ≤ S(f, ∆′ ) で
ある．
2
いろいろな分割に対する下方和，上方和の集合を
Z = {s(f, ∆) : ∆ ∈ P}, W = {S(f, ∆) : ∆ ∈ P}
(2.3)
とおく．Z, W はともに有界な集合であるから，その上限，下限が存在
する．
定義 2.1.8 K で有界な f (x, y) に対して
∫∫
f (x, y)dxdy = sup{s(f, ∆) : ∆ ∈ P},
K
∫∫
f (x, y)dxdy = inf{S(f, ∆) : ∆ ∈ P},
K
とおき、f の K における下方積分、上方積分という．
補題 2.1.9 K の任意の分割 ∆ に対して
∫∫
mµ(K) ≤ s(f, ∆) ≤
f (x, y)dxdy
K
∫∫
≤
f (x, y)dxdy ≤ S(f, ∆) ≤ M µ(K)
(2.4)
K
証明 問題点は
∫∫
∫∫
f (x, y)dxdy ≤
f (x, y)dxdy
K
の証明である．
K
(2.5)
第2章
100
重積分法
(2.3) のような Z, W に対して，補題 2.1.7 により，
z ∈ Z, w ∈ W =⇒ z ≤ w
が成り立つ．ゆえに，W の任意の数 w は Z の上界であるから，
∫∫
f (x, y)dxdy ≤ w
K
が成り立つ．したがって下方積分は W の下界であるから，(2.5) が成り
立つ．
2
分割の幅 |∆| を
|∆| = max{xi − xi−1 , yj − yj−1 : 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}
で定義する．このとき次の定理がなりたつ．
定理 2.1.10 (Darboux)
∫∫
lim s(f, ∆) =
f (x, y)dxdy,
|∆|→0
K
∫∫
lim S(f, ∆) =
|∆|→0
f (x, y)dxdy
K
証明 １変数関数の場合のダルブーの定理の証明と同様に証明できる．
要は上限，下限の定義にしたがって証明できる．上積分の場合の証明を
書くと次のようになる．上積分を簡単のため S とおく．S が S(f, ∆) の
最少上界であるから，任意の ϵ > 0 に対して S ≤ S(f, ∆0 ) ≤ S + ϵ であ
る分割
∆0 : a = u0 < u1 < · · · < um0 = b; c = v0 < v1 < · · · < vn0 = d
がある．K を ∆0 により分割してできる小矩形を
Upq = {(x, y) : up−1 ≤ x ≤ up , vq−1 ≤ y ≤ vq }
0
= supUpq f (x, y) の直方体を Q0pq とす
とおく．Upq を底面とし高さ Mpq
n0
0
0
0
る．Q0 = ∪m
p=1 ∪q=1 Qpq とおくと，S(f, ∆0 ) は Q の体積である．
他の分割
∆ : a = x0 < x1 < · · · < xm = b, c = y0 < y1 < · · · < yn = d
をとり，|∆| = δ とおく．∆ からできる小矩形
Kij = {(x, y) : xi−1 ≤ x ≤ xi , yj−1 ≤ y ≤ yj }
2.1. 重責分
101
は ∆0 からできる小矩形のどれか一つ Upq に含まれるか，そうでないか
である．前者の条件を満たす (i, j) の集合を I とし，後者の条件を満た
す (i, j) の集合を J とする．
(i, j) ∈ I とする．Kij を底面とし，高さ Mij = supKij f (x, y) の直方体
を Qij とする. Q = ∪(i,j)∈I Qij とおく. このとき Q ⊂ Q0 である．また
∑
(i,j)∈I Mij µ(Kij ) は Q の体積であるから，
∑
Mij µ(Kij ) ≤ S(f, ∆0 ) < S + ϵ.
(2.6)
(i,j)∈I
∑
(i, j) ∈ J であるような (i, j) に関する和 (i,j)∈J Mij µ(Kij ) を評価す
る．すべての (i, j) に対して Mij ≤ M であるから，
∑
∑
Mij µ(Kij ) ≤ M
µ(Kij )
(i,j)∈J
(i,j)∈J
∑
である． (i,j)∈J µ(Kij ) はこのような Kij を集めた図形 A = ∪(i,j)∈J Kij
の面積 µ(A) であるから，
∑
Mij µ(Kij ) ≤ M µ(A).
(2.7)
(i,j)∈J
µ(A) を評価する．(i, j) ∈ J であるとき，Kij は ∆0 のいずれかの小矩形
Upq の辺と交わる. したがって，∆0 によりできる K 内の y 軸に平行な
線分
ℓp = {(x, y) : x = up , c ≤ y ≤ d} (p = 0, 1, · · · , m0 )
か，x 軸に平行な線分
Lq = {(x, y) : a ≤ x ≤ g, y = vq } (q = 0, 1, · · · , n0 )
のいずれかと交わる．逆にいえば，|∆| = δ とおくと，問題としている
Kij は， ℓp を中心とする幅 2δ の矩形
[ℓp ] = {(x, y) : up − δ ≤ x ≤ up + δ, c ≤ y ≤ d}
(p = 0, 1, · · · , m0 )
内にあるか，Lq を中心とする幅 2δ の矩形
[Lq ] = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, vq − δ ≤ y ≤ vq + δ}
(q = 0, 1, · · · , n0 )
第2章
102
重積分法
内にある．したがって
n0
0
B = (∪m
p=0 [ℓp ]) ∪ (∪q=0 [Lq ])
とおくと， A ⊂ B である．µ([ℓp ]) = 2δ(d − c), µ([Lq ]) = 2δ(a − b) であ
るから，
µ(A) ≤ µ(B) ≤ (m0 + 1)(2δ(d − c)) + (n0 + 1)(2δ(a − b))
= 2δ((m0 + 1)(d − c) + (n0 + 1)(a − b))
(2.8)
ゆえに (2.7) と併せて
∑
Mij µ(Kij ) ≤ 2M δ((m0 + 1)(d − c) + (n0 + 1)(a − b))
(i,j)∈J
したがって
S(f, ∆) =
∑
∑
Mij µ(Kij ) +
Mij µ(Kij )
(i,j)∈J
(i,j)∈I
≤ S + ϵ + 2M δ((m0 + 1)(d − c) + (n0 + 1)(a − b))
を得る．ゆえに
|∆| = δ <
ϵ
2M ((m0 + 1)(d − c) + (n0 + 1)(a − b))
ならば，
S ≤ S(f, ∆) ≤ S + ϵ + ϵ = S + 2ϵ
2
である．ゆえに lim|∆|→0 S(f, ∆) = S.
定義 2.1.11
∫∫
∫∫
f (x, y)dxdy
f (x, y)dxdy =
K
K
であるとき、 f (x, y) は K で積分可能であるといって
∫∫
f (x, y)dxdy =
K
∫∫
∫∫
f (x, y)dxdy =
K
を f (x, y) の K における積分という．
f (x, y)dxdy
K
2.1. 重責分
103
積分可能でない関数は存在する．
例 2.1.12
{
f (x, y) =
1 x, y (は共に有理数)
0 x, y (の少なくとも一方が無理数)
とする．このとき任意の分割 ∆ に対して s(f, ∆) = 0, S(f, ∆) = µ(K) =
(b − a)(d − c) であるから、
∫∫
∫∫
f (x, y)dxdy = 0,
f (x, y)dxdy = (b − a)(d − c)
K
K
となり、f (x, y) は積分可能でない．
積分可能性を判定するには次の定理の (i) を用いるのが便利である．証
明に入る前に上限下限の大事な用法について補題を用意する．
補題 2.1.13 Z ⊂ R が下に有界で，m = inf Z とおく．このとき, 任意の
ϵ > 0 に応じて，次の不等式をみたす z ∈ Z が存在する．
m≤z <m+ϵ
また Z ⊂ R が上に有界で，M = sup Z とおく．このとき, 任意の ϵ > 0
に応じて，次の不等式をみたす z ′ ∈ Z が存在する．
M − ϵ < z′ ≤ M
証明 m は下界であるから，全ての z ∈ Z に対して m ≤ z である．ま
た最大の下界であるから，ϵ > 0 のとき m + ϵ > m である m + ϵ は Z の
下界ではない．ゆえに z < m + ϵ である z が存在する．以上により補題
の前半が証明された．後半も同様に証明される．
2
定理 2.1.14 次の３条件は同値である．
(i) 任意 ϵ > 0 に対して，次の不等式が成り立つ分割 ∆ が存在する：
S(f, ∆) − s(f, ∆) < ϵ
(2.9)
(ii)
∫∫
∫∫
f (x, y)dxdy =
K
f (x, y)dxdy
K
第2章
104
重積分法
(iii) lim|∆|→0 R(f, ∆) が存在する．
そして上のどれかの条件が成り立つとき
∫∫
f (x, y)dxdy = lim R(f, ∆).
|∆|→0
K
証明 (i) =⇒ (ii) を示す．(2.4) により，任意の分割 ∆ に対して
∫∫
∫∫
f (x, y)dxdy −
0≤
f (x, y)dxdy ≤ S(f, ∆) − s(f, ∆)
K
K
である．ゆえに (i) ならば ，任意の ϵ > 0 に対して
∫∫
∫∫
0≤
f (x, y)dxdy −
f (x, y)dxdy ≤ ϵ
K
K
が成り立ち，結局
∫∫
∫∫
0=
f (x, y)dxdy −
f (x, y)dxdy
K
K
でなければならない．
(ii) =⇒ (iii) 任意の分割 ∆ に対して，
s(f, ∆) ≤ R(f, ∆) ≤ S(f, ∆)
である．Darboux の定理により，
∫∫
∫∫
f (x, y)dxdy
f (x, y)dxdy = lim s(f, ∆) ≤ lim S(f, ∆) =
K
|∆|→0
|∆|→0
K
であるから，(ii) が成り立てば
∫∫
f (x, y)dxdy = lim s(f, ∆) = lim R(f, ∆)
|∆|→0
K
=
|∆|→0
∫∫
f (x, y)dxdy
lim S(f, ∆) =
|∆|→0
K
(iii) =⇒ (i) lim|∆|→0 R(f, ∆) = I とおく．ϵ > 0 とする．極限の定義よ
り，次のような δ > 0 が存在する．|∆| < δ ならば，|R(f, ∆) − I| < ϵ, す
なわち
I − ϵ < R(f, ∆) < I + ϵ.
(2.10)
2.1. 重責分
105
この意味は，|∆| < δ ならば，∆ : a = x0 < x1 < · · · < xm = b; c = y0 <
y1 < · · · < yn の小矩形 Kij 内の任意の点 zij = (uij , vij ) に対して
I −ϵ<
m ∑
n
∑
f (zij )µ(Kij ) < I + ϵ
i=1 j=1
が成り立つということである．
補題 2.1.13 により，mij = inf z∈Kij f (z) に対して mij ≤ f (zij ) < mij + ϵ
であるような zij ∈ Kij が存在する．このとき
I −ϵ <
m ∑
n
∑
f (zij )µ(Kij ) <
i=1 j=1
= s(f, ∆) + ϵ
m ∑
n
∑
(mij + ϵ)µ(Kij )
i=1 j=1
m ∑
n
∑
µ(Kij ) = s(f, ∆) + ϵµ(K)
i=1 j=1
であるから，
I − (1 + µ(K))ϵ < s(f, ∆)
(2.11)
′
が成り立つ．同様に Mij − ϵ < f (zij
) ≤ Mij であるような zij′ ∈ Kij が存
在するから，S(f, ∆) − µ(K)ϵ < I + ϵ，すなわち
S(f, ∆) < I + (1 + µ(K))ϵ
(2.12)
が成り立つ．(2.11), (2.12) により，
S(f, ∆) − s(f, δ) < 2(1 + µ(K))ϵ
が成り立つ． 2(1 + µ(K))ϵ を改めて ϵ とみなせば，(i) が導かれたこと
になる．
2
定義 2.1.11 のように積分を定義すると，積分に関する次の基本的公式
が成り立つ．
定理 2.1.15 f (x, y), g(x, y) が K において積分可能であるとする．この
とき次が成り立つ．
(i) α, β が定数であるとき．αf (x, y) + βg(x, y) も K で積分可能で
∫∫
(αf (x, y) + βg(x, y))dxdy
K
∫∫
∫∫
= α
f (x, y)dxdy + β
g(x, y)dxdy
K
K
第2章
106
重積分法
(ii) f (x, y) ≤ g(x, y) ((x, y) ∈ K) ならば
∫∫
∫∫
f (x, y)dxdy ≤
g(x, y)dxdy
K
K
(iii) |f (x, y)| も K で積分可能で
∫∫
∫ ∫
|f (x, y)|dxdy
f (x, y)dxdy ≤
(2.13)
K
K
証明 (i),(ii) は定理 2.1.14(iii) の積分可能条件により，確かめられる．
(iii) 任意の数 a, b の絶対値について ||a| − |b|| ≤ |a − b| が成り立つ．ゆ
′
えに Kij の任意の２点 zij , zij
に対して
|f (zij )| − |f (zij′ )| ≤ |f (zij ) − f (zij′ )| ≤ Mij − mij
である．したがって Mij = supKij |f (z)|, mij = supKij |f (z)| とおけば，
Mij − mij ≤ Mij − mij であるから，|f |(z) = |f (z)| のように書くとき
S(|f |, ∆) − s(|f |, ∆) ≤ S(f, ∆) − s(f, ∆)
が成り立つ．f が積分可能ならば，ϵ > 0 に対して S(f, ∆) − s(f, ∆) < ϵ
である ∆ が存在し，この ∆ に対して，S(|f |, ∆) − s(|f |, ∆) < ϵ である．
ゆえに |f | は積分可能である．
m n
m ∑
n
∑ ∑
∑
f (zij )µ(Kij ) ≤
|f (zij )|µ(Kij )
i=1 j=1
i=1 j=1
であるから，|∆| → 0 のときの極限値をとれば (2.13) を得る．
2.2
2
連続関数の積分
関数の積分可能性をその都度定理 2.1.14 により調べる必要はない．た
とえば連続関数は積分可能である．それを示すために次の定理を用いる．
D ⊂ R2 は原点を中心とするある円に含まれるとき、有界集合であると
いう．また D の境界点がすべて D の点であるとき閉集合であるという．
2.2. 連続関数の積分
107
定理 2.2.1 f (x, y) が有界閉集合 D ⊂ R2 で連続であるとする．このとき
(i) f (x, y) は D で最大値と最小値をとる．すなわち
f (x0 , y0 ) ≤ f (x, y) ≤ f (x1 , y1 )
((x, y) ∈ D)
であるような点 (x0 , y0 ) ∈ D と点 (x1 , y1 ) ∈ D が存在する．
(ii) f (x, y) は D で一様連続である．すなわち任意の ϵ > 0 に対して次
のような δ > 0 が存在する．
(x, y) ∈ D, (u, v) ∈ D,
√
(x − u)2 + (y − v)2 < δ ⇒ |f (x, y)−f (u, v)| < ϵ.
定理 2.2.2 f (x, y) が K で連続ならば、積分可能である．
証明 K の分割 ∆ からできる小矩形 Kij において，f (x, y) は最大値
Mij と最小値 mij をとる． 最大値をとる点を (xij .yij ), 最小値をとる点を
(uij , vij ) とする．f (x, y) は K で一様連続であるから，ϵ > 0 に対して
(x, y), (u, v) ∈ K,
√
(x − u)2 + (y − v)2 < δ ⇒ |f (x, y) − f (u, v)| < ϵ.
√
であるような δ > 0 がある．今 |∆| < δ/ 2 とする．このとき
√ √
√
√
2
2
(xij − uij ) + (yij − vij ) ≤ (δ/ 2)2 + (δ/ 2)2 = δ
であるから，0 ≤ Mij − mij < ϵ である．ゆえに
S(f, ∆) − s(f, ∆) =
m ∑
n
∑
(Mij − mij )µ(Kij )
i=1 j=1
<
m ∑
n
∑
ϵµ(Kij ) = ϵµ(K)
i=1 j=1
ゆえに定理 2.1.14 の (i) がなりたつから，K で連続な f (x, y) は積分可能
である．
2
f (x, y) が不連続点をもつ場合の積分可能条件を考える．不連続点全体を
σ(f ) = {(x, y) ∈ K : (x, y) において f は不連続 }
とおく．この集合が次のような意味で小さい集合ならば積分可能になる．
第2章
108
重積分法
一般的に E ⊂ R2 とする．任意の ϵ > 0 に対して
E ⊂ ∪N
p=1 Fp ,
N
∑
µ(Fp ) < ϵ
p=1
である矩形 F1 , · · · , FN が存在するとき E は容量零の集合であるという．
たとえば１点は容量零の集合である．また有限個の点からなる集合は容
量零である．容量零の集合の有限個の和集合は容量零の集合である．
補題 2.2.3 f (x) が a ≤ x ≤ b で積分可能ならば、そのグラフ G(f ) :=
{(x, f (x)) : a ≤ x ≤ b} は容量零の集合である．
証明 f (x) が積分可能ならば、任意の ϵ > 0 に対して [a, b] の次のよう
な分割 ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xn がある．
Mi = sup{f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi }, mi = inf{f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi },
S(f, ∆) =
n
∑
Mi (xi − xi−1 ), s(f, ∆) =
i=1
n
∑
mi (xi − xi−1 ),
i=1
とするとき S(f, ∆) − s(f, ∆) < ϵ.
ところで xi−1 ≤ x ≤ xi のとき、mi ≤ f (x) ≤ Mi であるから、
Fi = {(x, y) : xi−1 ≤ x ≤ xi , mi ≤ y ≤ Mi }
とおくと、xi−1 ≤ x ≤ xi のとき、(x, f (x)) ∈ Fi である．ゆえに G(f ) ⊂
∪ni=1 Fi . 明らかに µ(Fi ) = (Mi − mi )(xi − xi−1 ) であるから、
n
∑
i=1
Fi =
n
∑
(Mi − mi )(xi − xi−1 ) = S(f, ∆) − s(f, δ) < ϵ.
i=1
2
補題 2.2.4 x(t), y(t), (t ∈ [a, b]), がリプシッツ連続な関数ならば、曲線
C = {(x(t), y(t)) : t ∈ [a, b]}
は容量零の集合である．とくに x(t), y(t) が C 1 級の関数ならば C は容
量零の集合である．
2.2. 連続関数の積分
109
証明 x(t), y(t) がリプシッツ連続可能であることの定義により
|x(t) − x(s)| ≤ L|t − s|,
|y(t) − y(s)| ≤ L|t − s|,
(t, s ∈ [a, b])
である定数 L がある．
[a, b] を n-等分する分点を a = t0 < t1 < · · · < tn = b とする．ti−1 ≤
t ≤ ti のとき
|x(t)−x(ti )| ≤ L|t−ti | ≤ L(b−a)/n, |y(t)−y(ti )| ≤ L|t−ti | ≤ L(b−a)/n,
であるから
√
√
√
(x(t) − x(ti ))2 + (y(t) − y(ti ))2 ≤ 2L2 (b − a)2 /n2 = 2L(b−a)/n.
√
したがって Pi = (x(ti ), y(ti )) を中心とする１辺の長さが 2× 2L(b−a)/n
の正方形を Fi とおくと、
ti−1 ≤ t ≤ ti ⇒ (x(t), y(t)) ∈ Fi ,
ゆえに C ⊂ ∪ni=1 Fi である．そして
n
∑
µ(Fi ) = n × (2 ×
√
2L(b − a)/n)2 = 8L2 (b − a)2 /n.
i=1
n を大きくするとこの値はいくらでも小さくなる．
2
定理 2.2.5 有界な関数 f (x, y) の K における不連続点の集合 σ(f ) が容
量零の集合ならば、f (x, y) は K で積分可能である．
証明 m ≤ f (x, y) ≤ M ((x, y) ∈ K) とする．ϵ > 0 を一つ固定する．
σ(f ) が容量零の集合であるから、
σ(f ) ⊂ ∪N
p=1 Fp ,
N
∑
µ(Fp ) < ϵ
p=1
である矩形 F1 , · · · , FN がとれる．
F = ∪N
p=1 Fp , E = K \ F := {(x, y) ∈ K : (x, y) ̸∈ F } とおく．E にお
いて f (x, y) は連続であるから、一様連続である．ゆえに最初の ϵ にたい
して次のような δ > 0 が存在する．
√
(x, y) ∈ E, (x′ , y ′ ) ∈ E, (x − x′ )2 + (y − y ′ )2 < δ ⇒ |f (x, y)−f (x′ , y ′ )| < ϵ.
第2章
110
重積分法
ここで決まる δ に対して，次の条件をみたす K の分割 ∆ を構成で
きる：
(a) ∆ からできる小矩形 Kij は何れも Kij ⊂ F であるか，Kij ⊂ E
である
(b) |∆| < √δ2
実際 ∆ を次のように構成する．
上の矩形 Fp が Fp = [ap , bb ] × [cp , dp ], p = 1, 2, · · · , N, であるとする．
このとき次の２条件をみたす [a, b] の分割 ∆x がある．
(i) a, a1 , a2 , · · · , aN , b1 , · · · , bN , b は ∆x の分点である．
√
(ii) |∆x | < δ/ 2.
実際 a, a1 , a2 , · · · , aN , b1 , · · · , bN , b を小さい方から並べなおすと区間
√
[a, b] の分割 ∆′x が出来る．|∆′x | < δ/ 2 ならば ∆x = ∆′x とすれば
√
よい．もし |∆′x | ≥ δ/ 2 ならば、∆′x に有限個の分点を付け加えてでき
√
る [a, b] の分割 ∆x が |∆x | < δ/ 2 であるようにする．このとき条件 (i)
も満たされている．
同様に次の２条件をみたす [c, d] の分割 ∆y がある．
(i) c, c1 , · · · , cN , d1 , · · · , dN , d は ∆y の分点である．
√
(ii) |∆y | < δ/ 2.
上のような [a, b] の分割 ∆x と, [c, d] の分割 ∆y によりできる K の分
割を ∆ とする． ∆ は (a),(b) を満たす．
条件 (a) により，Kij は２種類に分類される. その分類に応じて
∑
∑
SE (f, ∆) =
Mij µ(Kij ), SF (f, ∆) =
Mij µ(Kij ),
Kij ⊂E
sE (f, ∆) =
∑
∑
Kij ⊂E
Kij ⊂F
mij µ(Kij ), sF (f, ∆) =
∑
mij µ(Kij ),
Kij ⊂F
とおく． Kij ⊂E は， 条件 Kij ⊂ E を満たすような ij について和をと
ることを表す．あきらかに
S(f, ∆) = SE (f, ∆) + SF (f, ∆), s(f, ∆) = sE (f, ∆) + sF (f, ∆).
Kij において f (x, y) が最大値 Mij をとる点を (xij , yij ) とし，最小値
√
mij をとる点を (x′ij , yij′ ) とする．|∆| < δ/ 2 であるから、
√
√
√
′ 2
′ 2
(xij − xij ) + (yij − yij ) < 2(δ/ 2)2 < δ.
2.2. 連続関数の積分
111
ゆえに Mij − mij < ϵ であり、
∑
∑
SE (f, ∆)−sE (f, ∆) <
ϵµ(Kij ) = ϵ
µ(Kij ) = ϵµ(E) < ϵµ(K).
Kij ⊂E
Kij ⊂E
またすべての (i, j) に対して m ≤ mij ≤ Mij ≤ M であるから、Mij −
mij ≤ M − m である．ゆえに
∑
(M − m)µ(Kij ) = (M − m)µ(F )
SF (f, ∆) − sF (f, δ) ≤
Kij ⊂F
≤ (M − m)
N
∑
µ(Fp ) < (M − m)ϵ.
p=1
以上により
S(f, ∆) − s(f, ∆) < SE (f, ∆) − sE (f, ∆) + SF (f, ∆) − sF (f, ∆)
< ϵµ(K) + (M − m)ϵ = (µ(K) + M − m)ϵ
がなりたつ．ゆえに f (x, y) は K で積分可能である．
2
D ⊂ K とし、f (x, y) は D あるいは D を含む集合で定義された有界関
数とする．このとき f (x, y) を D の外部に次のように拡張あるいは修正
した関数 fD (x, y) を考える．
{
f (x, y) (x, y) ∈ D のとき
fD (x, y) =
0
(x, y) ̸∈ D のとき
定義 2.2.6 fD (x, y) が K で積分可能であるとき、f (x, y) は D で積分可
能であるといい、
∫∫
∫∫
f (x, y)dxdy =
fD (x, y)dxdy
D
K
とおき f (x, y) の D における積分という．
D ⊂ K とし、D の境界点の集合 Db が容量零の集合であるとする．た
とえば E が二つの積分可能な関数 ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x), (a ≤ x ≤ b), のグラ
フの間の領域
E := {(x, y) : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)}
(2.14)
第2章
112
重積分法
ならば、E b はグラフ y = ϕ1 (x) とグラフ y = ϕ2 (x) と両端の 2 直線
{(a, y) : ϕ1 (a) ≤ y ≤ ϕ2 (a)}, {(b, y) : ϕ1 (b) ≤ y ≤ ϕ2 (b)}
からなり、これらはいずれも容量零の集合であるから、E b も容量零の集
合である．同様に二つの 積分可能な関数 ψ1 (y) ≤ ψ2 (x), (c ≤ y ≤ d),
のグラフの間の領域
F := {(x, y) : ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y), c ≤ y ≤ d}
(2.15)
の境界 F b も容量零の集合である．E, F を単純な領域という．
系 2.2.7 ϕ1 (x), ϕ2 (x) が積分可能ならば、E は容量零の集合である．ψ1 (x), ψ2 (x)
が積分可能ならば、F は容量零の集合である．
f (x, y) が D で有界連続な関数とする．このとき fD (x, y) は D の内部
で f (x, y) に等しいから、D の内部で連続である．また fD (x, y) は D の
外部で 0 に等しいから、D の外部で連続である．ゆえに fD (x, y) の不連
続点は D の境界点に限られる．したがって次の定理をえる．
定理 2.2.8 f (x, y) が D で有界連続な関数で、D の境界が容量零の集合
ならば、f (x, y) は D で積分可能である．
系 2.2.9 f (x, y) が D で有界連続な関数で、D が（積分可能な関数で定
義される）単純な集合ならば、f は D で積分可能である．
2.3
累次積分
積分可能な関数の積分計算は，まず１次元積分に帰着させる．
定理 2.3.1 f (x, y) が K = [a, b] × [c, d] で有界で積分可能とする．
(i) 各 y ∈ [c, d] を固定したとき、 f (x, y) が x の関数として [a, b] で
積分可能とする．このとき
∫ b
F (y) =
f (x, y)dx
a
は [c, d] で積分可能で
∫∫
∫
f (x, y)dxdy =
K
c
d
F (y)dy.
(2.16)
2.3. 累次積分
113
(ii) 各 x ∈ [a, b] を固定したとき、 f (x, y) が y の関数として [c, d] で
積分可能とする．このとき
∫ d
G(x) =
f (x, y)dy
c
は [a, b] で積分可能で
∫
∫∫
K
b
G(x)dx.
f (x, y)dxdy =
(2.17)
a
証明 (i) K の分割 ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xm = b, c = y0 < y1 < · · · <
yn = d からできる [a, b] の分割を ∆x : a = x0 < x1 < · · · < xm = b、[c, d]
の分割を ∆y : c = y0 < y1 < · · · < yn = d とおく．Mij , mij を前節のよ
うに定義する．y ∈ [c, d] に対して
∫ b
∫ xm
F (y) =
f (x, y)dx =
f (x, y)dx
a
x0
∫ x1
∫ x2
∫ xm
=
(2.18)
f (x, y)dx +
f (x, y)dx + · · · +
f (x, y)dx
x0
x1
xm−1
と表すことができる．
∫ xi
Fi (y) :=
f (x, y)dx
(2.19)
xi−1
とおく．y ∈ [yj−1 , yj ] とする．このとき (2.19) の右辺の積分変数 x は
xi−1 ≤ x ≤ xi の範囲にあるから、(x, y) ∈ Kij である．ゆえに (2.19) の
右辺の f (x, y) は不等式 mij ≤ f (x, y) ≤ Mij をみたす．その結果
∫ xi
∫ xi
∫ xi
mij dx ≤
f (x, y)dx ≤
Mij dx.
xi−1
xi−1
xi−1
すなわち mij (xi − xi−1 ) ≤ Fi (y) ≤ Mij (xi − xi−1 ) である．(2.18) より
∑
F (y) = m
i=1 Fi (y) であるから、
m
∑
mij (xi − xi−1 ) ≤ F (y) ≤
i=1
m
∑
Mij (xi − xi−1 ),
(y ∈ [yj−1 , yj ]).
i=1
が成り立つ．ゆえに
m
fj = inf{F (y) : y ∈ [yj−1 , yj ]},
fj = sup{F (y) : y ∈ [yj−1 , yj ]}
M
第2章
114
重積分法
とおくと
m
∑
fj ≤
mij (xi − xi−1 ) ≤ m
fj ≤ M
i=1
m
∑
Mij (xi − xi−1 ).
i=1
(yj − yj−1 ) をかけて、j = 1, 2, · · · , n に渡って和をとると
s(F, ∆y ) =
n
∑
m
fj (yj − yj−1 ), S(F, ∆y ) =
i=1
であるから、
m ∑
m
∑
n
∑
fj (yj − yj−1 ),
M
i=1
mij (xi − xi−1 )(yj − yj−1 ) ≤ s(F, ∆y )
j=1 i=1
≤ S(F, ∆y ) ≤
m ∑
m
∑
Mij (xi − xi−1 )(yj − yj−1 ).
j=1 i=1
第１項は s(f, ∆), 第４項は S(f, ∆) であるから、
s(f, ∆) ≤ s(F, ∆y ) ≤ S(F, ∆y ) ≤ S(f, ∆).
ところで F (y) の下方積分、上方積分の定義により
∫ d
∫ d
F (y)dy ≤
F (y)dy ≤ S(F, ∆y )
s(F, ∆y ) ≤
c
c
であるから、
∫
∫
d
s(f, ∆) ≤
c
d
F (y)dy ≤ S(f, ∆)
F (y)dy ≤
c
∆ は K の任意の分割であるから、 f (x, y) の下方積分、上方積分の定義
により
∫∫
∫ d
∫ d
∫∫
f (x, y)dxdy ≤
F (y)dy ≤
F (y)dy ≤
f (x, y)dxdy.
K
c
c
K
f (x, y) は K で積分可能であるから、この不等式の第１項と第４項は同
じ値である．ゆえに実は
∫ d
∫∫
∫∫
∫ d
F (y)dy =
f (x, y)dxdy.
f (x, y)dxdy =
F (y)dy =
K
c
c
したがって F (y) は積分可能で (2.16) が成り立つ．
x と y の役割を交換して (2.17) も証明される．
K
2
2.3. 累次積分
115
注意 2.3.2 (2.16),(2.17) は次のようにあらわされる．
∫∫
∫
d
(∫
b
f (x, y)dxdy =
K
a
c
∫ b (∫
∫∫
)
d
f (x, y)dxdy =
K
)
f (x, y)dx dy,
f (x, y)dy dx.
a
c
右辺を累次積分 (反復積分，繰り返し積分）という．この式を ( ) を省略
して次のように書くこともある．
∫∫
∫ d∫ b
∫ d ∫ b
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy =
dy
dxf (x, y),
K
c
∫∫
a
∫ b∫
f (x, y)dxdy =
K
c
∫
d
f (x, y)dydx =
a
c
a
∫
b
d
dx
a
dyf (x, y).
c
注意 2.3.3 xyz 空間において，z = f (x, y) のグラフと xy 平面内の矩形
K = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} の間にある部分を V とする．この
とき
∫ b
F (y) =
f (x, y)dx
a
は V を xz 平面に平行な y 座標が一定の平面で切った切り口の面積を表
す．∆ : c = y0 < y1 < · · · yn = d とおくと
∫
d
F (y)dy = lim
|∆|→0
c
n
∑
F (yi )(yi − yi−1 )
i=1
であるから，切り口の面積を底面とし高さ yi − yi−1 の立体の体積の和を
とり，切り口をどんどん多くしていったときの極限として V の体積が計
算される．山型のイギリス食パンをどんどん薄くスライスして分割する
様子を思い浮かべよう．
定理 2.3.4 (i) E を (2.14) で定義される単純な領域とする．ϕ1 (x), ϕ2 (x)
は積分可能で ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x), a ≤ x ≤ b, であるとする．f (x, y) が E に
おいて有界で連続ならば、
∫∫
∫ b∫
ϕ2 (x)
f (x, y)dydx.
f (x, y)dxdy =
E
a
ϕ1 (x)
(2.20)
第2章
116
重積分法
(ii) F を (2.15) で定義される単純な領域とする．ψ1 (y), ϕ2 (y) は積分可
能で ϕ1 (y) ≤ ϕ2 (y), c ≤ y ≤ d, であるとする．f (x, y) が F において有界
で連続ならば、
∫∫
∫ d ∫ ψ2 (y)
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dxdy.
(2.21)
F
c
ψ1 (y)
証明 定理 2.2.9 により、f は E で積分可能である．すなわち fE は K
で積分可能で
∫∫
∫∫
f (x, y)dxdy =
fE (x, y)dxdy.
E
K
x ∈ [a, b] を固定したとき


(c ≤ y < ϕ1 (x) のとき)
 0
fE (x, y) =
f (x, y) (ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) のとき)

 0
(ϕ2 (x) < c のとき)
であるから、fE (x, y) は y について [c, d] で積分可能である．ゆえに
∫∫
∫ b∫
d
fE (x, y)dxdy =
K
fE (x, y)dydx.
a
c
ところで
∫
d
fE (x, y)dy
c
∫
∫
ϕ1 (x)
=
fE (x, y)dy +
c
∫
∫
ϕ2 (x)
d
fE (x, y)dy +
ϕ1 (x)
fE (x, y)dy
ϕ2 (x)
ϕ2 (x)
=
f (x, y)dy
ϕ1 (x)
であるから、(2.20) を得る．
(2.21) も同様に証明される．
2
すべての (x, y) に対して f (x, y) = 1 である関数が D で積分可能であ
るとき、D は面積をもつといい、
∫∫
∫∫
µ(D) =
fD (x, y)dxdy =
1dxdy
D
D
2.3. 累次積分
117
を D の面積という．たとえば D の境界が有限個の C 1 級の曲線
Ci : (x, y) = (ϕi (t), ψi (t)), (ai ≤ t ≤ bi , i = 1, 2, · · · , n),
からなる場合は面積をもつ．ただし
(ϕi (ai ), ψi (ai )) = (ϕi−1 (bi−1 ), ψi−1 (bi−1 )), i = 2, · · · , n,
(ϕ1 (a1 ), ψ1 (a1 )) = (ϕn (bn ), ψn (bn )).
このような場合 D の境界は区分的に滑らかであるという．特に定理 2.3.4
により、次の定理をえる．
定理 2.3.5 E を (2.14) で定義される単純な領域であり、ϕ1 (x), ϕ2 (x) は
積分可能で ϕ1 (x) ≤ ϕ2 (x), a ≤ x ≤ b, であるとする．このとき E は面積
をもち
∫ b
µ(E) =
(ϕ2 (x) − ϕ1 (x))dx.
a
また定理 2.3.4 の特別な場合である次の定理はしばしば用いられる．
系 2.3.6 f (x, y) が領域 D = {(x, y) : a ≤ y ≤ x ≤ b} で連続ならば、
∫∫
∫ b∫ x
∫ b∫ b
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dydx =
f (x, y)dxdy.
D
a
a
a
例 2.3.7 次の積分を求めよ．
∫∫
(1)
(x + y + 1)dxdy,
∫∫
y
K = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}
K
(x2 − xy + y 2 )dxdy,
(2)
K = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}
K
∫∫
(3)
K
∫∫
y
dxdy,
1 + xy
ex+y dxdy,
(4)
K = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2}
K = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
K
∫∫
(5)
3(x + y)2 dxdy
D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}
3(x − y)2 dxdy
D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1}
D
∫∫
(6)
D
∫∫
x2 ydxdy
(7)
D
D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0}
第2章
118
解
重積分法
∫∫
(1)
(x + y + 1)dxdy
)
∫ 2 (∫ 1
∫
(x + y + 1)dx dy =
K
=
0
0
2
(
0
)
1
+ y + 1 dy
2
1
1
×2+ ×4+2=5
2
2
=
∫∫
(2)
∫
1
(∫
)
2
(x − xy + y )dxdy =
(x − xy + y
0
0
]y=2
∫ 1[
∫ 1(
1 2 1 3
2
x y − xy + y
2x2 − 2x +
dx =
2
3
0
0
y=0
8
7
2
−1+ =
3
3
3
2
2
2
2
K
=
=
)dy dx
)
8
dx
3
∫∫
y
dxdy
K 1 + xy
)
∫ 2
1
y
=
dx dy =
[log(1 + xy)]1x=0 dy
0
0
0 1 + xy
∫ 2
∫ 3
=
log(1 + y)dy =
log udu = [u(log u − 1)]3u=1
(3)
∫ 2 (∫
0
1
= 3(log 3 − 1) − (−1) = 3 log 3 − 2
∫∫
∫
(4)
e
x+y
K
1
(∫
)
1
∫
dxdy =
e e dy dx =
0
0
1
ex (e − 1)dx
x y
0
= (e − 1)(e − 1) = (e − 1)2
∫∫
(5)
∫ 1 (∫
=
0
∫
=
0
0
1
(
3(x + y)2 dxdy
D
)
∫
x
2
3(x + y) dy dx =
[
)
x
(2x)3 − x3 dx = 7
4
4
]1
1
0
[
]y=x
(x + y)3 y=0 dx
=
x=0
7
4
2.3. 累次積分
119
∫∫
(6)
∫ 1 (∫
=
0
∫
3(x − y)2 dxdy
D
)
∫
y
2
3(x − y) dx dy =
0
0
1
(−(−y)3 )dy =
=
0
1
]y
[
(x − y)3 x=0 dy
1
4
∫∫
x2 ydxdy
(7)
∫
1
(∫ D√
)
1−x2
∫
2
=
2
x ydy dx =
−1
x
−1
0
[
1
2
y
2
]√1−x2
∫
1
x2
dx =
−1
y=0
)
[ 3
]1
1 (
x
2
x4
x5
2
14
2
= −
x −
dx =
−
=
2
3
10 x=−1 3 10
30
−1
∫
=
1 − x2
dx
2
上の系 2.3.6 を応用してたとえば次のような計算ができる．f (x) が [a, b]
で C 1 級ならば
∫ b
f (b) = f (a) +
f ′ (x)dx
a
である．さらに C 2 級ならば、
)
∫ x
∫ b(
∫ x
∫ b (∫
′
′
′′
′
f (x)dx =
f (a) +
f (y)dy dx = f (a)(b−a)+
a
a
a
a
x
)
′′
f (y)dy dx
a
であるが、上の系 2.3.6 を用いて
∫ b∫ x
∫ b∫ b
∫ b
′′
′′
f (y)dydx =
f (y)dxdy =
(b − y)f ′′ (y)dy.
a
a
a
y
a
積分変数 y を x と書き換えて
∫
′
f (b) = f (a) + f (a)(b − a) +
b
(b − x)f ′′ (x)dx.
a
さらに f (x) が C 3 級ならば
(
∫ b
∫ b
∫
′′
′′
(b − x)f (x)dx =
(b − x) f (a) +
a
x
)
′′′
f (y)dy dx
∫ b
∫ x
(b − a)2
′′
+
(b − x)
f ′′′ (y)dydx.
= f (a)
2
a
a
a
a
第2章
120
系 2.3.6 を用いて
∫ b
∫ x
∫ b∫ b
∫
′′′
′′′
(b−x)
f (y)dydx =
(b−x)f (y)dxdy =
a
a
a
y
b
a
重積分法
(b − y)2 ′′′
f (y)dy.
2
積分変数 y を x と書き換えて
(b − a)2
f (b) = f (a) + f (a)(b − a) + f (a)
+
2
′
′′
∫
b
a
(b − x)2 ′′′
f (x)dx.
2
このような計算を繰り返して、f (x) が C n 級ならば次の式がなりたつ．
f (b) =
n−1
∑
f
(k)
k=0
(b − a)k
+
(a)
k!
∫
b
a
(b − x)n−1 (n)
f (x)dx.
(n − 1)!
つまりテーラーの定理の剰余項 Rn (b) が積分の形で表される：
∫ b
(b − x)n−1 (n)
Rn (b) =
f (x)dx.
(n − 1)!
a
(2.22)
(2.23)
式 (2.22,2.23) は b < a の時も成り立つ．b を x と書き換え積分変数を t
と書き換えて次の定理をえる．
定理 2.3.8 (テーラーの定理) f (x) が a を含む区間 I で C n 級ならば、
x ∈ I に対して
f (x) =
n−1
∑
f
(k)
k=0
(x − a)k
(a)
+
k!
∫
x
a
(x − t)n−1 (n)
f (t)dt.
(n − 1)!
なお a < b とし、[a, b] における f (n) (x) の最大値を M 最小値を m とす
ると
∫ b
∫ b
∫ b
(b − x)n−1
(b − x)n−1 (n)
(b − x)n−1
mdx ≤
f (x)dx ≤
M dx.
(n − 1)!
(n − 1)!
(n − 1)!
a
a
a
第１項、第３項の積分を計算して
∫ b
(b − x)n−1 (n)
(b − a)n
(b − a)n
m≤
f (x)dx ≤
M
n!
(n − 1)!
n!
a
となり、
n!
m≤
(b − a)n
∫
a
b
(b − x)n−1 (n)
f (x)dx ≤ M
(n − 1)!
2.4. 面積条件
121
をえる．中間値の定理により f (n) (x) は m ≤ y ≤ M である任意の値 y
をとるから、ある c ∈ [a, b] において
n!
(b − a)n
∫
b
a
(b − x)n−1 (n)
f (x)dx = f (n) (c)
(n − 1)!
(2.24)
が成り立つ．したがって
∫ b
(b − x)n−1 (n)
f (n) (c)
f (x)dx =
(b − a)n
(n
−
1)!
n!
a
となり、通常のテーラーの定理の剰余項の表示式をえる．
問 2.1 (2.24) が成り立つような c は開区間 (a, b) 内の点としてとれる．
なぜか．
2.4
面積条件
R2 の点 (x, y) を簡単のため z = (x, y) と書く．D ⊂ R2 があるとき，
その定義関数 χD (z) を次のように定義する．
{
1 z ∈ D のとき
χD (z) =
0 z ̸∈ D のとき
D を有界な集合とする．このとき
D ⊂ K = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
であるような矩形 K をとれる．前節において面積は次のように定義した．
定義 2.4.1 χD が K で積分可能であるとき，D は面積を持つ集合であ
るといい，その面積 µ(D) を
∫∫
µ(D) =
χD (x, y)dxdy
K
と定義する．
第2章
122
重積分法
uv 平面から xy 平面への写像 g により，uv 平面の図形 E が xy 平面
への図形 D に写るとき， E と D の面積の関係を導き出そう．そのため
に D がいくつかの矩形の和集合で近似できることと，D を細かく分割す
るとき写像 g が線形写像で近似できることを使う．
最初に D を矩形の和集合で近似する方法を述べる．D の境界を ∂D と
表す．χD (z) の不連続点は ∂D であるから，前節により ∂D が容量零の
集合ならば，D は面積をもつ．実はこの逆も成り立つことを以下で示す．
定義 2.4.2 χD の K における下方積分を µ∗ (D) であらわし，D の内面
積という．χD の K における上方積分を µ∗ (D) であらわし，D の外面
積という．
K の分割 ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xm ; b = y0 < y1 < · · · < yn = b か
らできる小矩形 Kij = {(x, y); xi−1 ≤ x ≤ xi , yj−1 ≤ y ≤ yj } に対して，
mij = inf z∈Kij χD (z) は 0 または 1 である．Kij ⊂ D ならば，mij = 1
であり，そうでないとき．すなわち z ̸∈ D となる z ∈ Kij があるときは
mij = 0 である．Dc = {z ∈ R2 : z ̸∈ D} （D の補集合）とおくと，
{
1
(Kij ⊂ D のとき)
mij =
0 (Kij ∩ Dc ̸= ∅ のとき)
Kij ⊂ D であるような小矩形 Kij 全体の和集合を E とおく. あきらかに
E⊂D
であり，χD (z) の ∆ による下方和は
s(χD , ∆) = µ(E).
である．同様に Mij = supz∈Kij χD (z) とおくと，
{
Mij =
1 (Kij ∩ D ̸= ∅ のとき)
0
(Kij ⊂ Dc のとき)
が成り立つ．Kij ∩ D ̸= ∅ であるような Kij の和集合を F とおく. D ⊂
∪
K = i,j Kij であるから，z ∈ D ならば，z ∈ Kij となる Kij がある
から，
D⊂F
2.4. 面積条件
123
であり，
S(χD , ∆) = µ(F )
である．ここで構成した E, F は次の定義でいう矩形塊の一種である．
定義 2.4.3 有限個の矩形 Kα1 , · · · , KαN の和集合
いう．
∪N
i=1
Kαi を矩形塊と
ゆえにダルブーの定理により，次がなりたつ．
定理 2.4.4 K の分割 ∆ からできる小矩形を Kij とし，Kij ⊂ D である
ような Kij の和集合を E, Kij ∩ D ̸= ∅ であるような Kij の和集合を F
とおく．このとき次が成り立つ．
(i) E ⊂ D ⊂ F
(ii) µ∗ (D) = lim|∆|→0 µ(E), µ∗ (D) = lim|∆|→0 µ(F )
(iii) D が面積をもつ必要十分条件は
lim µ(E) = lim µ(F )
|∆|→0
|∆|→0
であり，この極限値が µ(D) である．
つまり D が面積をもつとき，その面積は D の内側と外側から，矩形
塊の面積でいくらでも近似できる．さらに次に調べるように E は D の
内部にとることができ，F は D の閉包を含むように取れる．
内部，閉包とは次のような集合である．X ⊂ R2 とする．R2 の一般の
点 z0 = (x0 , y0 ) は X および X の補集合 X c = {z ∈ R2 : z ̸∈ X} との係
わりあいに応じて次のように言われる．
任意の ϵ > 0 に対して，z0 の ϵ 近傍
√
Uϵ (z0 ) = {(x, y) : (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < ϵ}
が
X ∩ Uϵ (z0 ) ̸= ∅, X c ∩ Uϵ (z0 ) ̸= ∅
を満たすとき，z0 は X の境界点であるという．X の境界点全体の集合
を ∂X で表し，X の境界という．
第2章
124
重積分法
また z0 が X の内点であるとは，z0 のある近傍 Uϵ (z0 ) をとると Uϵ (z0 ) ⊂
X となるときである．X の内点全体の集合を X ◦ と表し X の内部という．
また X ∪ ∂X を X であらわし，X の閉包という．一般的に X ◦ ⊂ X ⊂ X
である．
X = X ◦ (⇐⇒ X ⊂ X ◦ ) のとき， X は開集合
であるといい，
X = X(⇐⇒ ∂X ⊂ X) のとき X は閉集合
であるという．
Kij は閉集合であり，いくつかの Kij の和集合も閉集合である．Kij ∩
D ̸= ∅ であるような Kij の和集合 F は閉集合である．
Kij ⊂ D であるような Kij の和集合を E とおく．Kij の内部は
Kij◦ = {(x, y) : xi−1 < x < xi , yj−1 < y < yj }
である．いくつかの Kij◦ の和集合も開集合である．Kij ⊂ D であるよう
な (i, j) による Kij◦ の和集合を G とおくと，G は開集合で G ⊂ E で
ある．
したがって
G⊂E⊂D⊂F
が成り立つ．F は閉集合であるから，D ⊂ F も成り立つ．
補題 2.4.5 K, L が矩形塊ならば，K ∪ L, K ∩ L, K ∩ Lc は矩形塊である．
証明 いくつかの矩形 Kα , Lβ により，K = ∪α∈I Kα∈I , L = ∪β∈H Lβ と
表されるとする．K ∪ L は明らかに矩形塊である．Kα ∩ Lβ は矩形塊で
あり，K ∩ L = ∪α∈I,β∈J (Kα ∩ Lβ ) であるから，K ∩ L は矩形塊である．
補題 2.4.6 D が面積をもつとき，任意の ϵ > 0 に対して，次のような矩
形塊 E, F がある．
E ⊂ D◦ , D ⊂ F µ(D \ E) ≤ µ(F \ E) < ϵ.
(2.25)
2.4. 面積条件
125
証明 D ⊂ K であるような矩形 K をとる．K の分割 ∆ からできる小
矩形 Kα のうち，D に含まれるものの和集合を L とし，D ∩ Kα ̸= ∅ で
あるものの和集合を F とすると，L ⊂ D ⊂ F である．さらに F は閉集
合であるから，D = D ∩ ∂D ⊂ F も成り立つ．D が面積をもつから，
lim µ(L) = lim µ(F ) = µ(D)
|∆|→0
|∆|→0
である．ゆえに任意の ϵ > 0 に対して，次のような δ > 0 が存在する：
|∆| < δ =⇒ µ(D) − ϵ < µ(L) ≤ µ(D) ≤ µ(F ) < µ(D) + ϵ.
|∆| < δ であるような K の分割 ∆ を一つとり，固定する．
I = {α = (i, j) : Kα ⊂ D}, J = {α = (i, j) : Kα ∩ D ̸= ∅}
とおくと，
L = ∪α∈I Kα , F = ∪α∈J Kα
と表される．α = (i, j) ∈ I であるとき Kα ⊂ D であるから， Kα◦ ⊂ D◦
である．Kα は矩形であるから，任意の ϵ′ > 0 に対して，すべての α ∈ I
に対して Kα の内部に矩形 Eα をとり，すなわち Eα ⊂ Kα◦ のようにとり
µ(Kα ) − ϵ′ < µ(Eα ) < µ(Kα )
(2.26)
であるようにできる．
E = ∪α∈I Eα
とおく．Eα ⊂ Kα◦ ⊂ D◦ であるから，E ⊂ D◦ である．
∑
∑
µ(E) =
µ(Eα ), µ(L) =
µ(Kα )
α∈I
α∈I
であるから，I に含まれる α の個数を N とすると，(2.26) により，
µ(L) − N ϵ′ < µ(E) < µ(L) ≤ µ(D) ≤ µ(F ) < µ(D) + ϵ
が成り立つ．ϵ′ > 0 をあらかじめ N ϵ′ < ϵ であるように定めておけば，
µ(L) − ϵ < µ(E) < µ(L) である．µ(D) − ϵ < µ(L) であるから，結局
µ(D) − 2ϵ < µ(E) < µ(L) ≤ µ(D) ≤ µ(F ) < µ(D) + ϵ
第2章
126
重積分法
が成り立つ．ゆえに
µ(D) − µ(E) ≤ µ(F ) − µ(E) < µ(D) + ϵ − (µ(D) − 2ϵ) = 3ϵ.
D = E ∪ (D \ E), E ∩ (D \ E) = ∅ であるから，µ(D) = µ(D \ E) + µ(E)
である．ゆえに µ(D \E) = µ(D)−µ(E). 同様に µ(F \E) = µ(F )−µ(E).
3ϵ を改めて ϵ とおけば，(2.25) である．
2
定理 2.4.7 D が面積をもつ集合ならば，∂D は容量零の集合であり，面
積をもち µ(∂D) = 0 である．
証明 E, F を補題 2.4.6 のようにとる．∂D ⊂ D であるから，∂D ⊂ F で
ある．E ⊂ D◦ であるから，E ∩ ∂D = ∅ である．ゆえに ∂D ⊂ F \ E で
ある．したがって
µ∗ (∂D) ≤ µ∗ (F \ E) = µ(F \ E) < ϵ.
ϵ は任意に小さくとれるから，∂D は容量零の集合であり，ゆえに µ(D) = 0
でもある．
2
系 2.4.8 ∂D が容量零の集合であることは D が面積を持つための必要十
分条件である．
補題 2.4.9 xy 平面の D と,uv 平面の U が面積を持つ集合であり，D◦ ̸=
∅, U ◦ ̸= ∅ とする．写像
g : U ◦ → D◦
が D◦ の上への1 連続写像であるとする. このとき E ⊂ D◦ （D の内部）
である矩形塊 E に対して
V ⊂ U ◦ , E ⊂ g(V )
(2.27)
であるような矩形塊 V がある．
証明 E ⊂ D◦ であるから，E1 = g −1 (E) とおくと
E1 = g −1 (E) ⊂ g −1 (D◦ ) = U ◦
1
る
すなわち，任意の z = (x, y) ∈ D◦ に対して g(w) = z となる w = (u, v) ∈ U ◦ があ
2.4. 面積条件
127
が成り立つ．矩形塊 E は閉集合であるから，E1 も閉集合である．ゆえに
E1 は U の内部に含まれる有界閉集合であるから，閉集合 (∂U )∪U c = U c
と E1 の距離 d は正である．
√
U ⊂ K である矩形 K の分割 ∆ を細かくとり，|∆| < d/ 2 である
とする．∆ からできる小矩形 Kα のうち，Kα ∩ E1 ̸= ∅ であるもの和
集合を V とおく．U c と E1 の距離が d であるから，V ⊂ U ◦ である．
g −1 (E) = E1 ⊂ V であるから，E ⊂ g(V ) である．
2
次に写像 g を線形写像で近似する方法をのべる．最初に平行四辺形の
面積公式を確認しよう．
補題 2.4.10 座標平面に原点 O(0, 0) と点 P (a, c), Q(b, d) をとるとき，
OP, OQ を二辺とする平行四辺形のの面積 S は次のように計算される．
S = | det A| = |ad − bc|
証明これは線形代数の内容であるが，直観的には次のように証明でき
る．P = O または Q = O ならば平行四辺形はつぶれて一直線上にある
から S = 0 である．P ̸= O, Q ̸= O とし, 点 P, Q を極座標で表して
{
{
a = r1 cos θ1
b = r2 cos θ2
c = r1 sin θ1 ,
d = r2 sin θ2
とする．このとき
det(A) = r1 r2 cos θ1 sin θ2 − r1 r2 cos θ2 sin θ1
= r1 (r2 sin(θ2 − θ1 ))
OP を基線として図った時の OQ の角は θ2 − θ1 である．Q から垂線 OP
に下した垂線 QH の長さ h は h = |r2 (sin(θ2 − θ1 )| である．ゆえに
S = r1 h = r1 |r2 sin(θ2 − θ1 )| = | det A|.
2
２次正方行列と２次列ベクトルを
[ ]
]
[ ]
[
]
[
u
x
a b
x0
, w=
, z=
A=
, z0 =
y
v
y0
c d
第2章
128
重積分法
とおき，uv 平面から xy 平面への写像 g(w) = z を
z = z0 + Aw
(2.28)
により定義する．このような写像をアフィン写像という．z0 = 0 ならば
線形写像である．
補題 2.4.11 アフィン写像 (2.28) による uv 平面の矩形 K は xy 平面の
平行四辺形 g(K) に写り，その面積は
µ(g(K)) = | det A|µ(K)
である．
証明
縦横の長さが n, m である uv 平面の矩形
K = {(u, v) : u0 ≤ u ≤ u1 , v0 ≤ v ≤ v1 }
(u1 − u0 = m, v1 − v0 = n)
の点 w = (u, v) は，つぎのように表される．u0 ≤ u ≤ u1 ，v0 ≤ v ≤ v1 の
とき
u − u0
v − v0
= s,
u1 − u0
v1 − v0
とおくと，0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 であり，
[ ] [
] [
]
[
]
[ ]
u
u0 + s(u1 − u0 )
u0
m
0
=
=
+s
+t
.
v
v0 + t(v1 − v0 )
v0
0
n
ゆえに
]
[
w=
u
v
]
[
, w0 =
u0
v0
]
[
, e=
m
0
[
, f=
]
0
n
,
とおくと,
w = w0 + se + tf
(0 ≤ s, t ≤ 1)
すなわち K は w0 を頂点とし，e, f を２辺とする長方形である．
2.4. 面積条件
129
g(w) = z とおくと
z = z 0 + A(w0 + s(e) + t(f )
= z 0 + Aw0 + s(Ae) + t(Af ) (0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ tx ≤ 1)
であるから，g(K) は z 0 + Aw0 を頂点とし，
[
]
[
]
ma
nb
Ae =
, Af =
,
mc
nd
を２辺とする平行四辺形である．ゆえにその面積は
[
]
ma
nb
µ(g(K)) = det
mc nd = |mn(ad − bd)| = | det A|mn = | det A|µ(K)
補題 2.4.12 D は R2 の面積をもつ集合，f : R2 → R2 は線形写像でそ
の行列を A とする．このとき f (D) は面積をもつ集合でその面積はつぎ
のように与えられる：
µ(f (D)) = | det A|µ(D).
(1.1)
証明 det A = 0 のときは f (D) は原点を通るある直線上の有限部分に含ま
れる．したがって µ(f (D)) = 0 であるから，この場合 (1.1) がなりたつ．
det A ̸= 0 とする．まず A が基本行列，すなわち次の３種類のいずれ
かであるとする．
(
) (
)
(
)
(
) (
)
α 0
1 0
0 1
1 1
1 0
(i)
(ii)
(iii)
0 1
0 α
1 0
0 1
1 1
ただし α ̸= 0. 初めに D = K = [a, b] × [c, d] の場合を考える．たとえば
A が (i) の第１の行列のときは，α > 0 ならば f (K) = [αa, αb] × [c, d] で
あり，α < 0 ならば f (K) = [αb, αa] × [c, d] である．いずれの場合にも
µ(f (K)) = |α|(b − a)(d − c) = | det A|µ(D). A が他の基本行列の場合も
(1.1) を容易に確かめることができる．
つぎに矩形 K1 , K2 , · · · , Kn により D = K1 ∪ K2 ∪ · · · ∪ Kn である場
合，すなわち D が矩形塊である場合をかんがえる．まず各矩形がたがい
第2章
130
重積分法
に交わるとしても辺において交わる場合は
µ(g(D)) =
n
∑
µ(g(Ki )) =
i=1
= | det A|
n
∑
| det A|µ(Ki )
i=1
n
∑
µ(Ki ) = | det A|µ(D).
i=1
また矩形の内部が交わる場合には，矩形を細かく分割すれば高々辺にお
いて交わるように取り直すことができる．したがってこの場合にも (1.1)
がなりたつ．
D が一般の面積をもつ集合とする．矩形塊 E, F を E ⊂ D ⊂ F であ
るようにとる．このとき f (E) ⊂ f (D) ⊂ f (F ) であるから
µ∗ (f (E)) ≤ µ∗ (f (D)) ≤ µ∗ (f (D)) ≤ µ∗ (f (F )).
f (E), f (F ) については既に示したように
µ∗ (f (E)) = µ(f (E)) = | det A|µ(E) µ∗ (f (F )) = µ(f (F )) = | det A|µ(F )
であるから，
| det A|µ(E) ≤ µ∗ (f (D)) ≤ µ∗ (f (D)) ≤ | det A|µ(F ).
したがって
µ(E) ≤
µ∗ (f (D))
µ∗ (f (D))
≤
≤ µ(F ).
| det A|
| det A|
E ⊂ D であるすべての矩形塊 E に関する µ(E) の上限が µ∗ (D), D ⊂ F
であるすべての矩形塊 F に関する µ(F ) の下限が µ∗ (D) であるから，
µ∗ (D) ≤
µ∗ (f (D))
µ∗ (f (D))
≤
≤ µ∗ (D).
| det A|
| det A|
D が面積をもつから µ∗ (D) = µ∗ (D) = µ(D) であり，したがって
µ∗ (f (D)) = µ∗ (f (D)) = | det A|µ(D).
これより f (D) は面積をもち (1.1) が成り立つ．
最後に A が一般の正則行列とする．このとき A はいくつかの基本行列
A1 , A2 , · · · , Ak により A = Ak Ak−1 · · · A2 A1 とあらわされ，Ai により決
2.4. 面積条件
131
まる線形写像を fi とすると f = fk ◦ fk−1 ◦ · · · ◦ f2 ◦ f1 となる．たとえば
k = 2 とすると D が面積を持てば f1 (D) も面積をもち，f (D) = f2 (f1 (D))
も面積をもつ．そして
µ(f (D)) = | det A2 |µ(f1 (D)) = | det A2 || det A1 |µ(D)
= | det(A2 A1 )|µ(D) = | det A|µ(D),
すなわち (1.1) がなりたつ．k ≥ 3 の場合も同様である．
2
補題 2.4.13 Rn のベクトル x = (x1 , · · · , xn ) の長さを
|x| = (x21 + · · · + x2n )1/2
とする．このとき x の長さは，長さが 1 であるベクトル u ∈ Rn を用い
て, 次のように内積で表される．
|x| = u · x = u1 x1 + · · · + un xn
証明 x = 0 の場合は,|u| = 1 であるようなベクトル u ならば，u · x =
0 = |x|.
1
x とおくと，|u| = 1 であり，
x ̸= 0 のときは，|x| ̸= 0 である. u = |x|
u·x=
1
1
1
x·x=
(x · x) =
|x|2 = |x|
|x|
|x|
|x|
2
補題 2.4.14 m × n 行列 A の (i, j) 成分を aij とし，
( m n
)1/2
∑∑
|A| =
|aij |2
i=1 j=1
とおく．このときつぎがなりたつ．


x1


(i) n 次列ベクトル x =  ...  に対して
xn
|Ax| ≤ |A||x|
が成り立つ．
(ii) n × p 行列 B にたいして
|AB| ≤ |A||B|
第2章
132
証明
重積分法


a1j


(i) A の第 ｊ 列を aj =  ...  , j = 1, . . . , n とおく．このとき Ax =
anj
∑n
j=1 xj aj であるから
|Ax| = |
n
∑
xj aj | ≤
j=1
n
∑
|xj aj | =
n
∑
j=1
|xj ||aj |.
j=1
コーシー・シュワルツの不等式により，
( n
)1/2 ( n
)1/2
( n
)1/2
n
∑
∑
∑
∑
|xj ||aj | ≤
|xj |2
|aj |2
= |x|
|aj |2
j=1
j=1
である．|aj |2 =
( n
∑
∑m
i=1
j=1
j=1
|aij |2 であるから
)1/2
|aj |2
j=1
=
( n m
∑∑
)1/2
|aij |2
= |A|.
(2.29)
j=1 i=1
(ii) AB = C とおき，B, C の第 j 列を bj , cj とおくと Abj = cj , j =
1, · · · , p である．(i) により，|cj | = |Abj | ≤ |A||bj |. (2.29) と同様に
(∑
)1/2
p
2
|C| =
であるから
j=1 |cj |
|C| ≤
( p
∑
j=1
)1/2
|A|2 |bj |2
(
= |A|
∑
)1/2
|bj |2
= |A||B|.
j=1
ゆえに補題が成り立つ．
2
2
2
2
R の開集合 Ω から R への写像 g : Ω → R を成分を用いて次のよう
に表す．z = (x, y) ∈ Ω に対して [
]
g1 (x, y)
g(z) = g(x, y) =
g2 (x, y)
このとき g(z) のヤコビ行列を g ′ (z) で表し，ヤコビアンを det g ′ (z) で表
す．すなわち
]
[
∂g1 ∂g1 ∂g ∂g
∂g2
∂g1
∂g1 ∂g2
1
2
∂x
∂y ∂x
∂x
, det g ′ (z) = ∂g
−
g ′ (z) = ∂g
∂g2
∂g2 =
1
2
∂x ∂y ∂x ∂y
∂y ∂x
∂y
∂y
2.4. 面積条件
133
補題 2.4.15 R2 の開集合 Ω から R2 への C 1 級の写像 g が Ω において
１対１で，
det g ′ (z) ̸= 0,
(z = (x, y) ∈ Ω)
であるとする．このとき D が Ω に含まれる面積をもつ有界閉集合なら
ば g(D) は面積をもち
∫∫
µ(g(D)) ≤
| det g ′ (z)| dxdy.
D
(実は後の系 2.5.2 のように等式になる)
証明 D が矩形の場合にまず証明し，その結果を用いて D が一般の場
合を証明する．
(i) まず D が矩形 K である場合を考える．定理の条件と逆写像定理に
より K の内部，外部，境界はそれぞれ g(K) の内部，外部，境界に写る．
とくに g(K) の境界は， K の四辺を g により写したなめらかな４曲線で
あり，その面積は 0 である．ゆえに g(K) は面積をもつ．
原点を中心とし対角線の長さが d である矩形 H をとる．各点 a ∈ R2
に対して a + H = {a + h : h ∈ H} は a を中心とする矩形である．
a + H ⊂ K であるとし g(a + H) の面積を考える．A = g ′ (a) とおき，写
像 g を g(z) = A(A−1 g(z)) とあらわすと
µ(g(a + H)) = | det A|µ(A−1 g(a + H)).
(2.30)
ところで |h| が十分小さいとき，g(a + h) は g(a) + g ′ (a)h = g(a) + Ah
にほぼ等しく，したがって A−1 g(a + H) は A−1 g(a) + H にほぼ等しく，
その面積は H の面積にほぼ等しい．これを詳しく調べると次のようにな
る．ある θ ∈ (0, 1) に対して次が成り立つ．
|A−1 g(a + h) − A−1 (g(a) + g ′ (a)h)| ≤ |g ′ (a)−1 g ′ (a + θh) − I| × |h|.
ただし， I は単位行列である．実際補題 2.4.13 により，|u| = 1 であるベ
クトル u ∈ R2 により，
|A−1 (g(a + h) − (g(a) + g ′ (a)h))| = u · (A−1 (g(a + h) − (g(a) + g ′ (a)h)))
と表される．
ϕ(t) = u · A−1 ((g(a + th) − (g(a) + g ′ (a)th))).
第2章
134
重積分法
とおく．ϕ(0) = 0 であるから，
u · A−1 ((g(a + h) − (g(a) + g ′ (a)h))) = ϕ(1) − ϕ(0)
である．ϕ(t) は t について微分可能で
ϕ′ (t) = u · A−1 ((g ′ (a + th)h − (g ′ (a)h)))
である．平均値の定理により，ある θ ∈ (0, 1) に対して
ϕ(1) − ϕ(0) = u · A−1 (g ′ (a + θh)h − (g ′ (a)h))
以上により
|A−1 g(a + h) − A−1 (g(a) + g ′ (a)h)|
= |ϕ(1) − ϕ(0)|
≤ |u||A−1 (g ′ (a + θh) − g ′ (a))h|
= |A−1 (g ′ (a + θh) − g ′ (a))h|
≤ |g ′ (a)−1 g ′ (a + θh) − I| × |h|.
F (w, z) = g ′ (w)−1 g ′ (z) とおく．この行列関数は K において一様連続で，
F (z, z) = I である．従って任意の正数 ϵ に対して，ある δ > 0 が存在し
|w − z| ≤ δ, w, z ∈ K ⇒ |g ′ (w)−1 g ′ (z) − I| ≤ ϵ.
ゆえに d/2 < δ ならば
|g ′ (a)−1 g ′ (a + θh) − I| × |h| < ϵd/2
がなりたつ．したがって点 A−1 g(a + h) は矩形
A−1 (g(a) + g ′ (a)H) = A−1 g(a) + H
から ϵd/2 以内の距離にある．これより H の縦横の長さを α, β とおくと,
α, β ≤ d であるから
µ(A−1 g(a + H)) ≤ (α + ϵd)(β + ϵd) = αβ + ϵd(α + β) + ϵ2 d2
≤ µ(H) + d2 (2ϵ + ϵ2 ).
結局 (2.30) と併せて，d < 2δ ならば
µ(g(a + H)) ≤ | det g ′ (a)|(µ(H) + d2 (2ϵ + ϵ2 )).
2.4. 面積条件
135
K の各辺を n 等分する分割によりできる小矩形を Kij とおき，その中
心を zij とする．K の対角線の長さを L とおくと Kij の対角線の長さは
L/n となる．ゆえに L/n < 2δ すなわち n > L/2δ ならば
µ(g(Kij )) ≤ | det g ′ (zij )|(µ(Kij ) + (L/n)2 (2ϵ + ϵ2 )).
M = sup{| det g ′ (z)| : z ∈ K} とおくと
µ(g(K)) =
n ∑
n
∑
µ(g(Kij )) ≤
i=1 j=1
n ∑
n
∑
| det g ′ (zij )|µ(Kij )+n2 M (L/n)2 (2ϵ+ϵ2 ).
i=1 j=1
n → ∞ のとき右辺の第１項は | det g ′ (z)| の K 上の積分に収束する．し
たがって
∫∫
µ(g(K)) ≤
| det g ′ (z)| dxdy + M L2 (2ϵ + ϵ2 ).
K
ϵ > 0 はいくらでも小さくとれるから，補題の不等式が D = K の場合に
はなりたつ．
(ii) つぎに D が補題の条件をみたす集合とする．D と Ω の補集合と
の距離を b とすると，b > 0. D を含む矩形 K をとり，K を |∆| < b/2
である分割 ∆ により分割する．そのときできる小矩形のうち D と交わ
るもの全体の和集合を G とおく．G の点はすべて D から b/2 以内の距
離にあるから，
D ⊂ G ⊂ Ω.
さて D は面積をもつ集合であるから，任意の ϵ > 0 に対して次のような
矩形塊 E, F がある：
E ⊂ D ⊂ F, µ(F ) − µ(E) < ϵ.
F ∩ G を改めて F とおいてもこの性質はなりたつ．したがって F ⊂ G
と仮定してもよい．
E ⊂ D ⊂ F ⊂ G ⊂ Ω, µ(F ) − µ(E) < ϵ.
G ⊂ Ω であるから | det g ′ (z)| は 有界閉集合 G で連続で最大値 N をと
る．F \E は矩形の和集合であるから (i) で示したように F \E に対して，
第2章
136
重積分法
補題が成り立つ．その結果 µ(g(F \E)) ≤ N µ(F \E) がなりたつから，結
局 0 ≤ µ(g(F )) − µ(g(E)) ≤ N ϵ. 一方
µ(g(E)) = µ∗ (g(E)) ≤ µ∗ (g(D)) ≤ µ∗ ((g(D)) ≤ µ∗ (g(F )) = µ(g(F ))
であるから
µ∗ (g(D)) − µ∗ (g(D)) ≤ µ(g(F )) − µ(g(E)) ≤ N ϵ.
ゆえに g(D) は面積をもつ．µ(g(D))−µ(g(E)) ≤ µ(g(F ))−µ(g(E)) ≤ N ϵ
であるから
∫∫
µ(g(D)) ≤ µ(g(E)) + N ϵ ≤
| det g ′ (z)| dxdy + N ϵ
∫ ∫E
≤
| det g ′ (z)| dxdy + N ϵ
D
ϵ > 0 はいくらでも小さくとれるから，補題の不等式が成り立つ．
2.5
2
積分変数の変換
１変数関数の置換積分は次のように表される．f (x) が区間 [α, β] で連
続であるとする．変数 x が x = g(t) のように表され，x = g(t) は次の条
件を満たすとする．
• 単調増加，または単調減少で，
• t の区間 [a, b] が x の区間 [α, β] の上に写され，
• g ′ (t) が連続である．
このとき
(i) g(t) が単調増加のときは，g(a) = α, g(b) = β であり，
∫ β
∫ b
f (x)dx =
f (g(t))g ′ (t)dt.
α
a
(ii) g(t) が単調減少のときは，g(b) = α, g(a) = β であり，
∫ β
∫ a
∫ b
′
f (x)dx =
f (g(t))g (t)dt = −
f (g(t))g ′ (t)dt
α
b
a
∫ b
=
f (g(t))(−g ′ (t))dt.
a
2.5. 積分変数の変換
137
(i) の場合は g ′ (t) ≥ 0 であるから，g ′ (t) = |g ′ (t)|, (ii) の場合は g ′ (t) ≤ 0
であるから，−g ′ (t) = |g ′ (t)| である．したがって (i),(ii) のいずれの場合
も次のように表現される．
∫ β
∫ b
f (x)dx =
f (g(t))|g ′ (t)|dt.
α
a
この形式で表される積分変数の変換定理を２変数の場合に拡張すると次
のようになる．次の定理では関数 g(u, v) は uv 平面から xy 平面への写
像 x = x(u, v), y = y(u, v) を表している．すなわち
{
x(u, v) = x
g(u, v) = (x, y) ⇐⇒
y(u, v) = y
であり，g ′ (u, v) はこの写像のヤコビ行列, det g(u, v) はヤコビアンである．
[
]
∂x
∂x
∂x ∂y ∂x ∂y
∂v
g ′ (u, v) = ∂u
, det g ′ (u, v) =
−
∂y
∂y
∂u ∂v ∂v ∂u
∂u
∂v
定理 2.5.1 集合 D, U は面積をもつ R2 の有界な開集合とし，写像 g :
U → D は C 1 級，１対１，上への写像で U 上いたるところ g ′ (u, v) が正
則で det g ′ (u, v) が有界であるとする．このとき 関数 f (x, y) が D で有
界，連続であれば
∫∫
∫∫
f (x, y)dxdy =
f (g(u, v))| det g ′ (u, v)|dudv
D
∫ ∫U
∂x ∂y ∂x ∂y dudv
=
f (x(u, v), y(u, v)) −
∂u ∂v ∂v ∂u U
証明 以下の証明には前節の内容と重複する部分もあるが，証明の筋を
追いやすいと考えて，余分な部分もそのまま掲載してある．
簡単のため xy 平面の点を (x, y) = z とかき，uv 平面の点を (u, v) = w
とかく．f (z) の正の部分 f+ (z) と負の部分 f− (z) を
{
1
f (z) (f (z) ≥ 0 のとき)
f+ (z) = (|f (z)| + f (z)) =
2
0
(f (z) ≤ 0 のとき)
第2章
138
1
f− (z) = (|f (z)| − f (z)) =
2
{
重積分法
0
(f (z) ≥ 0 のとき)
−f (z) (f (z) ≤ 0 のとき)
のように定義すると，何れも連続関数で f± (z) ≥ 0 であり，f (z) = f+ (z)−
f− (z) と表される．ゆえに
∫∫
∫∫
∫∫
f (z)dxdy =
f+ (z)dxdy −
f− (z)dxdy.
D
D
D
右辺の各項に対して定理 2.5.1 が成り立つことを示せばよい．そのために
f (z) ≥ 0, z ∈ D と仮定して，定理 2.5.1 が成り立つことを示す．証明は
A,B の二つの部分に分け，さらに A は I, II, III に分ける．
A まず
∫∫
∫∫
f (x, y) dxdy ≤
f (g(u, v))| det g ′ (u, v)| dudv.
(2.31)
D
U
を証明する．D の内部 D◦ が空集合の場合，D ⊂ ∂D2 であり，D が面
∫∫
積をもつとすると，µ(D) = 0 である．ゆえに D f (z)dxdy = 0 である
から，(2.31) が成り立つ．
D◦ ̸= ∅ とする．証明の概略をのべる．
I
E ⊂ D◦ であり，E が矩形塊ならば，
∫∫
∫∫
f (x, y) dxdy ≤
f (g(u, v))| det g ′ (u, v)| dudv.
(2.32)
E
U
を示そう．
(I-1) E ⊂ g(V )，V ⊂ U であるような矩形塊 V をとれるならば，
∫∫
∫∫
f (x, y)dxdy ≤
f (x, y)dxdy
E
g(V )
∫∫
∫∫
′
≤
f (g(u, v))| det g (u, v)|dudv ≤
f (g(u, v))| det g ′ (u, v)|dudv
V
U
をしめす．最初の不等式は E ⊂ g(V ) と f (x, y) ≥ 0 から明らかである．
同様に最後の不等式は V ⊂ U と f (g(u, v))| det g ′ (u, v)| ≥ 0 から明らか
である．２番目の不等式 V ⊂ U である矩形塊 V に対して
∫∫
∫∫
f (x, y) dxdy ≤
f (g(u, v))| det g ′ (u, v)| dudv
(2.33)
g(V )
2
V
D = ∂D とは限らない. 実際 D が有利点の集合ならば，D◦ = ∅, ∂D = R2 ̸= D.
2.5. 積分変数の変換
を示す．V =
∪
139
Kα とする．
mα = min f (g(Kα )), Mα = max f (g(Kα )),
とおく3 ．α ̸= β のとき Kα◦ ∩ Kβ◦ = ∅ である．g は１対１であるから，
α ̸= β のとき，g(Kα◦ ) ∩ g(Kβ◦ ) = ∅ である．したがって
∫∫
∑ ∫∫
f (z)dxdy =
f (z)dxdy
g(V )
α
≤
g(Kα )
∑ ∫∫
α
Mα dxdy =
∑
g(Kα )
Mα µ(g(Kα )).
α
補題 2.4.15 により，
Mα µ(g(Kα )) = mα µ(g(Kα )) + (Mα − mα )µ(g(Kα ))
∫∫
≤ mα
| det g ′ (w)|dudv + (Mα − mα )µ(g(Kα ))
Kα
∫∫
=
mα | det g ′ (w)|dudv + (Mα − mα )µ(g(Kα ))
Kα
mα の定義により mα ≤ f (g(w)) (w ∈ Kα ) であるから，
∫∫
∫∫
′
mα | det g (w)|dudv ≤
f (g(w))| det g ′ (w)|dudv
Kα
Kα
である．ゆえに
∫∫
f (g(w))| det g ′ (w)|dudv + (Mα − mα )µ(g(Kα ))
Mα µ(g(Kα )) ≤
Kα
∪
が成り立つ．f (g(w)) は有界閉集合 V = Kα において一様連続である．
したがって与えられた ϵ′ > 0 に対して，必要ならば各 Kα を細分して，
すべての α に対して Mα − mα < ϵ′ であるとしてよい．このとき
∫∫
f (z)dxdy
g(V )
≤
∑
Mα µ(g(Kα ))
∑ ∫∫
α
≤
f (g(w))| det g ′ (w)|dudv +
Kα
∫α∫
∑
ϵ′ µ(g(Kα ))
α
f (g(w))| det g ′ (w)|dudv + ϵ′ µ(g(V ))
=
V
3
Kα は有界閉集合，f ◦ g は連続であるから，mα , Mα が存在する
第2章
140
重積分法
ϵ′ > 0 は任意に小さくとれるから，
∫∫
∫∫
f (z)dxdy ≤
f (g(w))| det g ′ (w)|dudv
g(V )
V
であり，(2.33) が成り立つ．
(I-2)
E ⊂ D◦ （D の内部）である xy 平面の矩形塊 E に対して
E ⊂ g(V ), V ⊂ U ◦
(2.34)
であるような uv 平面の矩形塊 V がある．
g −1 (D◦ ) = D1 とおくと，D◦ が開集合であるから，D1 は U に含まれ
る開集合である．特に D1 ⊂ U ◦ である．E ⊂ D◦ であるから，
E1 = g −1 (E) ⊂ g −1 (D◦ ) = D1 ⊂ U ◦
が成り立つ．矩形塊 E は閉集合であるから，E1 も閉集合である．ゆえに
E1 は U の内部に含まれる有界閉集合であるから，閉集合 (∂U )∪U c = U c
と E1 の距離 d は正である．
√
U ⊂ K である矩形 K の分割 ∆ を細かくとり，|∆| < d/ 2 であると
する．∆ からできる小矩形 Kα のうち，Kα ∩ E1 ̸= ∅ であるもの和集合
を V とおく．g −1 (E) = E1 ⊂ V であるから，E ⊂ g(V ) である．U c と
E1 の距離が d であるから，V ⊂ U ◦ である．
II D は E ⊂ D◦ であるような矩形塊 E でいくらでも近似できる．す
なわち任意の ϵ > 0 に対して，次のような矩形塊 E がある．
E ⊂ D◦ , µ(D \ E) < ϵ.
(2.35)
D ⊂ K であるような矩形 K をとる．K の分割 ∆ からできる小矩形
Kα のうち，D に含まれるものの和集合を L とし，D ∩ Kα ̸= ∅ である
ものの和集合を L′ とすると，L ⊂ D ⊂ L′ である．さらに L′ は閉集合
であるから，D = D ∩ ∂D ⊂ L′ も成り立つ．D が面積をもつから，
lim µ(L) = lim µ(L′ ) = µ(D)
|∆|→0
|∆|→0
である．ゆえに任意の ϵ > 0 に対して，次のような δ > 0 が存在する：
|∆| < δ =⇒ µ(D) − ϵ < µ(L) ≤ µ(D).
2.5. 積分変数の変換
141
|∆| < δ である分割 ∆ を一つとり，固定する．I = {α = (i, j) : Kα ⊂ D}
とおくと，L = ∪α∈I Kα と表される．α = (i, j) ∈ I であるとき Kα ⊂ D
であるから， Kα◦ ⊂ D◦ である．Kα は矩形であるから，任意の ϵ′ > 0 に
対して，すべての α ∈ I に対して Kα の内部に矩形 Eα をとり，
µ(Kα ) − ϵ′ < µ(Eα ) < µ(Kα )
(2.36)
であるようにできる．E = ∪α∈I Eα とおく．Eα ⊂ Kα◦ ⊂ D◦ であるから，
E ⊂ D◦ である．
∑
∑
µ(E) =
µ(Eα ), µ(L) =
µ(Kα )
α∈I
α∈I
であるから，I に含まれる α の個数を N とすると，(2.36) により，
µ(L) − N ϵ′ < µ(E) < µ(L)
が成り立つ．ϵ′ > 0 をあらかじめ N ϵ′ < ϵ であるように定めておけば，
µ(L) − ϵ < µ(E) < µ(L) である．µ(D) − ϵ < µ(L) であるから，結局
µ(D) − 2ϵ < µ(E) < µ(L) ≤ µ(D)
が成り立つ．D = E ∪ (D \ E), E ∩ (D \ E) = ∅ であるから，µ(D) =
µ(D \ E) + µ(E) である．したがって
µ(D \ E) = µ(D) − µ(E) < 2ϵ.
2ϵ を改めて ϵ とおけば，(2.35) である．
III 目標の不等式 (2.31) を証明する．(2.35) を満たす矩形塊 E をとる．
supz∈D f (z) = M とおくと，
∫∫
∫∫
f (z)dxdy ≤
M dxdy ≤ M µ(D \ E) < M ϵ.
D\E
D\E
(2.32) を用いると
∫∫
∫∫
∫∫
f (z)dxdy =
f (z)dxdy +
f (z)dxdy
D
E
D\E
∫∫
≤
f (g(w))|g ′ (w)|dudv + M ϵ.
U
ϵ > 0 はいくらでも小さくとれるから，(2.31) が成り立つ．
第2章
142
重積分法
B 最後に g(w) = z の逆写像を w = h(z) と表す．このとき h(D) = U
である．関数 F (w) = f (g(w))| det g ′ (w)| に対して，上の結果を適用す
ると
∫∫
∫∫
F (w)dudv ≤
F (h(z))| det h′ (z)|dxdy
U
D
が成り立つ．g(h(z)) = z であるから, 両辺のヤコビ行列をとると (g(h(z))′ =
I であり，左辺は合成関数の微分公式により，(g(h(z))′ = g ′ (h(z))h′ (z)
である．ゆえに g ′ (h(z))h′ (z) = I が成り立ち，
F (h(z))| det h′ (z)|
= f (g(h(z))| det g ′ (h(z))|| det h′ (z)|
= f (z)| det g ′ (h(z)) det h′ (z)| = f (z)| det g ′ (h(z))h′ (z)|
= f (z)| det I| = f (z)
である．したがって
∫∫
∫
′
f (g(w))| det g (w)|dudv ≤
f (z)dxdy
U
(2.37)
D
である．
以上により (2.31) と (2.37) が成り立つから，
∫∫
∫∫
f (z)dxdy =
f (g(w))| det g ′ (w)|dudv.
D
U
2
が成り立つ．
系 2.5.2 R2 の開集合 Ω から R2 への C 1 級の写像 g が Ω において１
対１で，
det g ′ (z) ̸= 0,
(z = (x, y) ∈ Ω)
であるとする．このとき D が Ω に含まれる面積をもつ有界閉集合なら
ば g(D) は面積をもち
∫∫
µ(g(D)) =
| det g ′ (z)| dxdy.
D
2.5. 積分変数の変換
143
例 2.5.3 次の積分を求めよ．
∫∫
(1)
(x2 − xy + y 2 )dxdy, D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1, y ≥ 0}
D
∫∫
(2)
cos(−x + y) sin(x + 2y)dxdy
D
π
π
≤ −x + y ≤ 0, 0 ≤ x + 2y ≤ , }
2
2
解 (1) xy 平面において D は原点を中心とする半径 1 の円の上半分で
ある．極座標変換 g : x = r cos θ, y = r sin θ により，
D = {(x, y) : −
E = {(r, θ) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π}
が D に対応する．g のヤコビアンは
∂x ∂x cos θ −r sin θ
∂r ∂θ det g ′ (r, θ) = ∂y
=
∂r ∂y
sin θ r cos θ
∂θ
= r(cos2 θ + sin2 θ) = r.
ゆえに
∫∫
∫∫
2
2
(x − xy + y )dxdy =
(r2 cos2 θ − r2 cos θ sin θ + r2 sin2 θ)|r|drdθ
D
∫ ∫E
=
r3 (1 − cos θ sin θ)drdθ
)
∫ 1E (∫ π
sin 2θ
3
)dθ dr
(1 −
=
r
2
0
0
∫ 1
π
=
r3 × πdr =
4
0
(2) x, y から u, v への対応
[
h : −x + y = u, x + 2y = v ⇐⇒ h :
により，D は
E = {(u, v) : −
π
π
≤ u ≤ 0, 0 ≤ v ≤ }
2
2
に写る．h の逆対応 g = h−1 は
[ ] [
]−1 [ ]
x
−1
1
u
g = h−1 :
=
y
1 2
v
−1 1
1 2
][
]
x
y
[
=
]
u
v
第2章
144
であるから，
[
g ′ (u, v) =
∂x
∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
]
[
=
−1 1
1 2
ゆえに
[
−1
det g ′ (u, v) = det 
1
(
[
−1
=
det
1
ゆえに
重積分法
]−1
]−1 
1

2
])−1
1
1
= (−3)−1 = −
3
2
∫∫
cos(−x + y) sin(x + 2y)dxdy
(∫ 0
)
∫∫
∫
1
1 π/2
=
cos u sin v − dudv =
(cos u sin v)du dv
3
3 0
E
−π/2
∫
∫ π/2
1 0
cos udu
sin vdv
=
3 −π/2
0
1
1
1
=
× [sin u]0u=−π/2 × [− cos v]v=π/2
= (1 × 1) =
0
3
3
3
一般的に，ヤコビアンのところで学んだように h : u = u(x, y), v = v(x, y)
により，x, y が u, v に写り，h の逆写像 g = h−1 により， u, v が x, y に
写るとすると
[
]−1
D
g ′ (u, v) = (h′ (x, y))−1 =
である．ゆえに
[
det g ′ (u, v) = det 
∂u
∂x
∂v
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂u
∂y
∂v
∂y
グリーンの定理
2.6
1 変数関数の微積分の基本定理
∫ b
f ′ (x)dx = f (b) − f (a)
a
∂u
∂y
∂v
∂y
]−1 
=
(
det
[
∂u
∂x
∂v
∂x
∂u
∂y
∂v
∂y
])−1
2.6. グリーンの定理
145
は２変数関数の場合に以下のように拡張される．
xy 平面の領域 D が x に関しても単純であり、y に関しても単純である
とする．このとき D は単純な領域であるという．すなわち
D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)}
= {(x, y) : ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y), c ≤ y ≤ d}
(2.38)
であるとする．ϕ1 , ϕ2 , ψ1 , ψ2 は C 1 級で D の上下の境界線、左右の境界
線の両端は同じ点であるとする．
α := ϕ1 (a) = ϕ2 (a), β := ϕ1 (b) = ϕ2 (b),
γ := ψ1 (c) = ψ2 (c), δ := ψ1 (d) = ψ2 (d).
関数 P (x, y) が C 1 級ならば、
∫∫
∫ b∫
Py (x, y)dxdy =
∫
D
b
a
ϕ2 (x)
Py (x, y)dydx
ϕ1 (x)
P (x, ϕ2 (x)) − P (x, ϕ1 (x))dx
∫ b
∫ a
= −
P (x, ϕ1 (x))dx −
P (x, ϕ2 (x))dx
=
a
a
また関数 Q(x, y) が C 1 級ならば、
∫∫
∫ d∫
Qx (x, y)dxdy =
∫
D
d
(2.39)
b
c
ψ2 (y)
Qx (x, y)dxdy
ψ1 (y)
Q(ψ2 (y), y) − Q(ψ1 (y), y)dy
∫ d
∫ c
=
Q(ψ2 (y), y)dy +
Q(ψ1 (y), y)dy
=
c
c
(2.40)
d
(2.39), (2.40) のようにわざわざ書き換えた理由を解説しよう．
定理 2.6.1 (2.38) のような単純な領域 D に対して次の関係式がなりたつ．
∫ b
∫ a
P (x, ϕ1 (x))dx +
P (x, ϕ2 (x))dx
a
b
∫ c
∫ d
′
P (ψ1 (y), y)ψ1′ (y)dy,
=
P (ψ2 (y), y)ψ2 (y)dy +
(2.41)
c
d
第2章
146
∫
∫
d
重積分法
c
Q(ψ2 (y), y)dy +
Q(ψ1 (y), y)dy
d
∫ b
∫ a
′
=
Q(x, ϕ1 (x))ϕ1 (x)dx +
Q(x, ϕ2 (x))ϕ′2 (x)dx.
c
a
(2.42)
b
証明
D ⊂ {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
であるから、a ≤ ψ1 (y) ≤ ψ2 (y) ≤ b である．とくに
a≤γ≤b
である．ゆえに
(∫
∫ b
P (x, ϕ1 (x))dx =
a
∫ b)
γ
+
a
P (x, ϕ1 (x))dx.
γ
最初の積分区間 [a, γ] において、境界線 y = ϕ1 (x) と境界線 x = ψ1 (y)
は xy 平面で同じグラフをもつ：
y = ϕ1 (x), a ≤ x ≤ γ ⇔ x = ψ1 (y), c ≤ y ≤ α
すなわち、y = ϕ1 (x) と x = ψ1 (y) 同じ曲線を表し，互いに他の逆関数
である．変数変換 x = ψ1 (y) を行うと
∫ γ
P (x, ϕ1 (x))dx
a
∫ c
∫ c
′
=
P (ψ1 (y), ϕ1 (ψ1 (y))ψ1 (y)dy =
P (ψ1 (y), y)ψ1′ (y)dy.
α
α
同様にして
∫ b
∫
P (x, ϕ1 (x))dx =
γ
∫
β
∫
δ
d
P (x, ϕ2 (x))dx =
b
∫
P (ψ2 (y), y)ψ2′ (y)dy,
β
∫
a
α
P (x, ϕ2 (x))dx =
δ
P (ψ2 (y), y)ψ2′ (y)dy,
c
d
P (ψ1 (y), y)ψ1′ (y)dy,
2.6. グリーンの定理
147
これら４式の和をとると、
∫ b
∫ a
P (x, ϕ1 (x))dx +
P (x, ϕ2 (x))dx
a
b
∫ β
∫ d
′
=
P (ψ2 (y), y)ψ2 (y)dy +
P (ψ2 (y), y)ψ2′ (y)dy
c
β
∫ α
∫ c
′
+
P (ψ1 (y), y)ψ1 (y)dy +
P (ψ1 (y), y)ψ1′ (y)dy
d
α
∫ d
∫ c
=
P (ψ2 (y), y)ψ2′ (y)dy +
P (ψ1 (y), y)ψ1′ (y)dy
c
d
したがって関係式 (2.41) が成り立つ．
関係式 (2.42) も同様に証明される．
2
滑らかなパラメタ曲線
C : (x, y) = (ϕ(t), ψ(t)) a ≤ t ≤ b
を有向曲線という．C を含むある領域で連続な関数 f (x, y) があるとき、
積分
∫
∫ b
f (x, y)dx =
f (ϕ(t), ψ(t))ϕ′ (t)dt
C
a
∫
(2.43)
∫
b
f (x, y)dy =
C
f (ϕ(t), ψ(t))ψ ′ (t)dt
a
を有向曲線 C に沿った線積分という．また C をこの線積分の積分路とい
う．C に対して
−C : (x, y) = (ϕ(−s), ψ(−s)),
−b ≤ s ≤ −a,
とおき、C と逆向きの積分路という．x = ϕ(−s) のとき，
d
dx
= ϕ(−s) = ϕ′ (−s)(−1)
ds
ds
であるから，
∫
∫
f (x, y)dx =
−C
−a
−b
−a
∫
=
−b
f (ϕ(−s), ψ(−s))
d
ϕ(−s)ds
ds
f (ϕ(−s), ψ(−s))ϕ′ (−s)(−1)ds
第2章
148
重積分法
１変数の積分の変数変換 −s = t により
∫ −a
f (ϕ(−s), ψ(−s))ϕ′ (−s)(−1)ds
−b
∫
a
∫
′
=
b∫
b
f (ϕ(t), ψ(t))ϕ (t)dt = −
= −
f (ϕ(t), ψ(t))ϕ′ (t)dt
a
f (x, y)dx
C
を得る．ゆえに
∫
∫
f (x, y)dx = − f (x, y)dx.
−C
C
同様に
∫
−C
∫
f (x, y)dy = −
f (x, y)dy.
C
有向曲線 C1 , C2 , · · · , Cn と整数 k1 , k1 , · · · , kn に対して
∫
∫
n
∑
f (x, y)dx =
ki
f (x, y)dx,
k1 C1 +k2 C2 +···+kn Cn
Ci
i=1
∫
f (x, y)dy =
k1 C1 +k2 C2 +···+kn Cn
n
∑
i=1
∫
ki
f (x, y)dy,
Ci
とおき、曲線鎖 k1 C1 + k2 C2 + · · · + kn Cn に沿った f (x, y) の線積分と
いう．
この二つの線積分をまとめて、有向曲線 C にたいして
∫
∫
∫
f (x, y)dx + g(x, y)dy :=
f (x, y)dx +
g(x, y)dy
C
C
C
とおき、微分形式
ω = f (x, y)dx + g(x, y)dy
の C に沿った線積分という．また
∫
∫
n
∑
f (x, y)dx+g(x, y)dy =
ki
k1 C1 +k2 C2 +···+kn Cn
i=1
f (x, y)dx+g(x, y)dy
Ci
を鎖体 C = k1 C1 + k2 C2 + · · · + kn Cn に沿った ω の積分という．この値
は ⟨ω, C⟩ で表すこともある．
二つの微分形式 ω1 , ω2 は任意の鎖体 C に対して ⟨ω1 , C⟩ = ⟨ω2 , C⟩ で
あるとき ω1 = ω2 であると考える．
2.6. グリーンの定理
149
補題 2.6.2
f1 (x, y)dx + g1 (x, y)dy = f2 (x, y)dx + g2 (x, y)dy
⇐⇒ f1 (x, y) = f2 (x, y), g1 (x, y) = g2 (x, y)
証明 ω = f (x, y)dx + g(x, y)dy とし、すべての C に対して ⟨ω, C⟩ = 0
ならば、f (x, y) = g(x, y) = 0 を示せばよい．ある点で f (a, b) > 0 であ
るとする．f (x, y) の連続性により、|x − a| < r ならば、f (x, b) > 0 であ
るような r > 0 がある．したがって
C : (x, y) = (t, b), a − r ≤ t ≤ a + r
とおくと
∫
⟨ω, C⟩ =
∫
a+r
f (x, y)dx + g(x, y)dy =
C
f (t, b)dt > 0.
a−r
これは仮定に反する．同様に f (a, b) < 0 としても仮定に反する．ゆえに
f (x, y) ≡ 0. 同様に g(x, y) ≡ 0
2
また二つの鎖体 C1 , C2 は，任意の ω にたいして ⟨ω, C1 ⟩ = ⟨ω, C2 ⟩ であ
るとき C1 = C2 であると考える．たとえば C1 + (−2)C2 = C1 + 2(−C2 )
である．実際
∫
f (x, y)dx + g(x, y)dy
C1 +(−2)C2 x
(∫
∫ )
=
+(−2)
f (x, y)dx + g(x, y)dy
C1
C2
(∫
∫ )
=
+2
f (x, y)dx + g(x, y)dy
C1
−C2
∫
=
f (x, y)dx + g(x, y)dy
C1 +2(−C2 )
補題 2.6.3 単純な領域 D の境界を構成する曲線を
C1 : x = t, y = ϕ1 (t), C2 : x = t, y = ϕ2 (t), a ≤ t ≤ b,
C3 : x = ψ2 (t), y = t, C4 : x = ψ1 (t), y = t, c ≤ t ≤ d,
とおくと、
C1 − C2 = C3 − C4 .
第2章
150
重積分法
証明 以下の証明は使用される文字に惑わされずに，線積分の定義 (2.43)
に気を付けて読むようにするとよい．線積分記号を使って定理 2.6.1 の関
係式をあらわす．C1 , C2 を表すパラメタを上のように t とすると，
∫ b
∫ a
∫
P (x, y)dx =
P (t, ϕ1 (t))dt +
P (t, ϕ2 (t))dt.
C1 −C2
a
b
この右辺は (2.41) の左辺の x を t と書き直した式である．C3 , C4 を表す
パラメタを上のように t とすると，
∫
∫ d
∫ d
′
P (x, y)dx =
P (ψ1 (t), t)ψ1 (t)dt +
P (ψ2 (t), t)ψ2′ (t)dt.
C3 −C4
c
c
この右辺は (2.41) の右辺の y を t と書き直した式である．ゆえに
∫
∫
P (x, y)dx =
P (x, y)dx.
C1 −C2
C3 −C4
同様に (2.42) より
∫
∫
Q(x, y)dy =
C1 −C2
Q(x, y)dy
C3 −C4
したがって
∫
∫
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
C1 −C2
P (x, y)dx + Q(x, y)dy.
C3 −C4
P (x, y), Q(x, y) は任意の連続関数でよいから、C1 − C2 = C3 − C4 .
2.
定義 2.6.4 上の定理の積分路 C1 − C2 = C3 − C4 を記号 ∂D で表し、D
の境界を正の向きに１周する積分路という．
注意 2.6.5 パラメタを用いて ∂D : x = ϕ(t), y = ψ(t) と表したとき、t
が増大するとき点 (ϕ(t), ψ(t)) は D を左側に見ながら進む．
定理 2.6.6 (グリーンの定理) P (x, y), Q(x, y), f (x, y), g(x, y) が C 1 級の
関数ならば、
∫∫
∫
(Qx (x, y) + Py (x, y))dxdy =
−P (x, y)dx + Q(x, y)dy (2.44)
∫
D
∫∫
(gx (x, y) − fy (x, y))dxdy
f (x, y)dx + g(x, y)dy =
∂D
∂D
D
(2.45)
2.6. グリーンの定理
151
証明 実際 (2.39) 式は
∫∫
∫
Py (x, y)dxdy = −
D
P (x, y)dx
∂D
と表され、(2.40) 式は
∫∫
∫
Qx (x, y)dxdy =
D
Q(x, y)dy
∂D
と表される．足し合わせて (2.44) 式をえる．あるいは f (x, y) = −P (x, y), g(x, y) =
Q(x, y) とおけば (2.45) のように書き換えることもできる．
2
例 2.6.7 (1) D が単純な領域ならば，その面積 µ(D) は次のように表さ
れる．
∫
1
xdy − ydx
µ(D) =
2 ∂D
実際グリーンの定理により，
∫
∫∫
∫∫
∂x ∂y
xdy − ydx =
+
dxdy = 2
dxdy = 2µ(D).
∂y
∂D
D ∂x
D
(2) P (x, y), Q(x, y) が R2 で C 1 級で Py (x, y) = Qx (x, y) をみたすと
する．このとき C1 , C2 が共に２点 (a, b) を始点とし，(x, y) を終点とす
る有向曲線で， C1 − C2 が単純な領域 D の境界ならば
∫
∫
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
P (x, y)dx + Q(x, y)dy
C1
実際
C2
∫
∫
P (x, y)dx + Q(x, y)dy −
∫
C1
P (x, y)dx + Q(x, y)dy
C2
=
P (x, y)dx + Q(x, y)dy
∫∫
∫∫
=
(−Py + Qx )dxdy =
0dxdy = 0
C1 −C2
D
D
第2章
152
2.7
重積分法
グリーンの定理の幾何学的意味
xy 平面に原点 O(0, 0) と異なる２点 A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ) をとり、
−→
−−→
a := OA, b := OB
が x 軸となす角を θ1 , θ2 とし、r = ∥a∥, ρ = ∥b∥ とおく．このとき
[
]
a1 b1
|a, b| := det
= a1 b2 − a2 b1 = r cos θ1 ρ sin θ2 − r sin θ1 ρ cos θ2
a2 b2
= rρ sin(θ2 − θ1 )
この値の絶対値は a, b を２辺とする平行四辺形の面積であり、a の左側に
b があれば正の値であり、反対側にあれば負の値である．行列式 |a, b| > 0
のとき a, b は正の向きに並んでいるといい、|a, b| < 0 のとき a, b は負
の向きに並んでいるという．
境界 ∂D 上に点 p(x, y) をとる．C 1 級の関数により、
∂D : x = ϕ(t), y = ψ(t),
a ≤ t ≤ b,
のように表されるとする．ただし T (t) := (ϕ′ (t), ψ ′ (t)) ̸= (0, 0) とする．
T (t) = (ϕ′ (t), ψ ′ (t))
は ∂D の点 p(ϕ(t), ψ(t)) における接ベクトル（tangent vector）であり、t
が増大するときの p の進行方向を向いている．ベクトル
N (t) := (ψ ′ (t), −ϕ′ (t))
はこの接ベクトルに直交し、T (t), N (t) は負の向きに並んでいる：
ϕ′ (t) ψ ′ (t) ⟨T (t), N (t)⟩ = 0, ′
= −ϕ′ (t)2 − ψ ′ (t)2 < 0
ψ (t) −ϕ′ (t) したがって注意 2.6.5 により、p を始点としてベクトル N (t) をとると、D
の外側にでるベクトルができる．N (t) を点 P における D の外向き法ベ
クトル（outword normal vector）という．さらに
n(t) =
1
N (t)
∥N (t)∥
2.7. グリーンの定理の幾何学的意味
153
とおくと、n(t) の長さは１であり、N (t) と同じ向きのベクトルである．
n(t) を点 p における ∂D の外向き単位法線ベクトルという．
このとき
∫
−P (x, y)dx + Q(x, y)dy
∂D
∫ b
(−P (ϕ(t), ψ(t))ϕ′ (t) + Q(ϕ(t), ψ(t))ψ ′ (t))dt
=
a
∫ b
(P (ϕ(t), ψ(t))(−ϕ′ (t)) + Q(ϕ(t), ψ(t))ψ ′ (t))dt
=
a
である．
V (x, y) = (Q(x, y), P (x, y))
で定義される２次元ベクトル V (x, y) をとり、
W (t) = V (ϕ(t), ψ(t)) = (Q(ϕ(t), ψ(t)), P (ϕ(t), ψ(t)))
とおく．このとき内積記号 ⟨·, ·⟩ を用いて
Q(ϕ(t), ψ(t))ψ ′ (t) + P (ϕ(t), ψ(t))(−ϕ′ (t)) = ⟨W (t), N (t)⟩
と表される．
∥N (t)∥ =
√
√
ϕ′ (t)2 + (−ψ ′ (t))2 = ϕ′ (t)2 + ψ ′ (t))2 = ∥T (t)∥
であるから、
⟨W (t), N (t)⟩ = ⟨W (t), ∥N (t)∥n(t)⟩
= ⟨W (t), n(t)⟩∥N (t)∥ = ⟨W (t), n(t)⟩∥T (t)∥.
ゆえに
∫
∫
−P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
∂D
b
⟨W (t), n(t)⟩∥T (t)∥dt.
(2.46)
a
内積 ⟨W (t), n(t)⟩ はベクトル W (t) の外向き法線 n(t) 方向成分を表す．
境界曲線
∂D : x = ϕ(t), y = ψ(t),
a≤t≤b
第2章
154
重積分法
の始点 A(ϕ(a), ψ(a)) から、∂D に沿って計った点 p(ϕ(t), ψ(t)) までの距
離 ρ(t) は
∫ t√
∫ t
′
2
′
2
ρ(t) =
ϕ (t) + ψ (t) dt =
∥T (t)∥dt
a
a
で計算される．積分変数の変換 s = ρ(t) により、(2.46) の右辺の積分は
∫
∫
b
ρ(b)
⟨W (t), n(t)⟩∥T (t)∥dt =
a
⟨W (ρ−1 (s)), n(ρ−1 (s))⟩ds
0
と変形できる．実際 s = ρ(t) のとき
ds
= ∥T (t)∥
dt
であるから、
∫ ρ(b)
∫ b
−1
−1
⟨W (ρ (s)), n(ρ (s))⟩ds =
⟨W (ρ−1 (ρ(t))), n(ρ−1 (ρ(t)))⟩ρ′ (t)dt
0
a
∫ b
=
⟨W (t), n(t)⟩∥T (t)∥dt
a
ゆえに (2.46) 式は
∫
∫
−P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
∂D
ρ(b)
⟨W (ρ−1 (s)), n(ρ−1 (s))⟩ds (2.47)
0
n(t) は ∂D 上の点 p(ϕ(t), ψ(t)) における外向き単位法線ベクトルであり、
W (t) は同じ点 p における V (x, y) = (Q(x, y), P (x, y)) の値である．境界
∂D 上の点 p(x, y) は
x = ϕ(t) = ϕ(ρ−1 (s)), y = ψ(t) = ψ(ρ−1 (s))
のように弧長 s をパラメタとしても表される．このように表したとき、
⟨W (ρ−1 (s)), n(ρ−1 (s))⟩ = ⟨V [ϕ(ρ−1 (s)), ψ(ρ−1 (s))], n(ρ−1 (s))⟩
はベクトル V (x, y) の p(x, t) における ∂D の外向き法線成分を表してい
る．したがって (2.47) の左辺はベクトル V (x, y) = (Q(x, y), P (x, y)) の
∂D の外向き法線成分を、∂D の弧長に関して積分した値である．以上の
結果を次のような式で表す．
2.7. グリーンの定理の幾何学的意味
155
定理 2.7.1 ベクトル関数 V (x, y) = (Q(x, y), P (x, y)) について
∫∫
∫
(Qx (x, y) + Py (x, y))dxdy =
⟨V (x, y), n(x, y)⟩ds
D
∂D
定義 2.7.2 ベクトル関数 V (x, y) = (Q(x, y), P (x, y)) にたいして
divV (x, y) = Qx (x, y) + Py (x, y)
とおき、この量をベクトル場 V (x, y) の発散という．
この言葉を使うと
∫∫
∫
divV (x, y)dxdy =
D
⟨V (x, y), n(x, y)⟩ds
∂D
V (x, y) がある関数 f (x, y) の勾配ベクトルの場合、すなわち V (x, y) =
∇f (x, y) = (fx (x, y), gy (x, y)) の場合は
Q(x, y) = fx (x, y), P (x, y) = fy (x, y)
として上の定理を適用すると、
∫∫
∫
(fxx (x, y) + fyy (x, y))dxdy =
D
⟨∇f (x, y), n(x, y)⟩ds
∂D
定義 2.7.3 C 2 級の関数 f (x, y) に対して
∆f (x, y) = fxx (x, y) + fyy (x, y)
とおく．関数 f (x, y) に 関数 ∆f (x, y) を対応させる写像（関数から関数
への写像）をラプラス作用素またはラプラッシャンという．
勾配、発散、ラプラス作用素の定義より
∆f (x, y) = div∇f (x, y)
と表され、グリーンの定理から、次の積分公式が成り立つ．
∫∫
∫
∆f (x, y)dxdy =
⟨∇f (x, y), n(x, y)⟩ds
D
∂D
あるいは勾配ベクトルを与える演算記号 ∇（ナブラと読む）
(
)
∂ ∂
∇=
,
∂x ∂y
をベクトルのように扱うと
∂ ∂
∂2
∂2
∂ ∂
+
=
+
∇·∇=
∂x ∂x ∂y ∂y
∂x2 ∂y 2
と表され、
∆f = ∇ · ∇f
第2章
156
重積分法
重積分の変数変換
2.8
１変数関数の場合、x = g(t) が単調増加あるいは単調減少な C 1 級関
数で、t の区間 [α, β] が x の区間 [a, b] に写されるとする．ただし α <
β, a < b とする．単調増加の場合は ϕ(α) = a, ϕ(β) = b であり、置換積分
により
∫ b
∫ β
f (x)dx =
f (g(t))g ′ (t)dt.
(2.48)
a
α
単調減少の場合は ϕ(α) = b, ϕ(β) = a であり、置換積分により
∫ b
∫ α
∫ β
′
f (x)dx =
f (g(t))g (t)dt = −
f (g(t))g ′ (t)dt
a
β
∫
α
β
=
f (g(t))(−g ′ (t))dt
(2.49)
α
単調増加の場合は g ′ (t) ≥ 0 であり、単調減少の場合は g ′ (t) ≤ 0 である
から、
∫ b
∫ β
f (x)dx =
f (g(t))|g ′ (t)|dt
(2.50)
a
α
と書けば、両方の場合に通用する．重積分の変数変換の公式は (2.50) に
相当する式である．
D を xy 平面の有界領域、E を uv 平面の有界領域とする．D, E の境
界は区分的に滑らかな曲線であるとする．uv 平面から xy 平面への C 2
級の写像
Φ : x = x(u, v), y = y(u, v)
(2.51)
により E は D の上に１対１に写り、E の境界は D の境界の上に１対１
に写るとする．さらに写像 Φ のヤコビアンが E で零でないとする：
]
[
∂(x, y)
xu yu
̸= 0 ((x, y) ∈ E).
(2.52)
= det
∂(u, v)
xv yv
補題 2.8.1 h(x, y) が領域 D で連続で h(x, y) ̸= 0 ならば、h(x, y) は定
符号である．
2.8. 重積分の変数変換
157
証明 h(x0 , y0 ) < 0, h(x1 , y1 ) > 0 である点 A = (x0 , y0 ) ∈ D, B =
(x1 , y1 ) ∈ D があるとする．D は領域であるから、A, B を結ぶ D 内の
連続曲線
x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b, (x(a), y(a)) = A, (x(b), y(b)) = B
が存在する．このとき
ϕ(t) = h(x(t), y(t))
は t ∈ [a, b] の連続関数であり、
ϕ(a) = h(x0 , y0 ) < 0,
ϕ(b) = h(x1 , y1 ) > 0.
ゆえに中間値の定理により ϕ(c) = 0 である c, a < c < b, が存在する．
C = (x(c), y(c)) とおくと、C ∈ D であり h(x(c), y(c)) = 0 となり仮定
に反する．
2
定理 2.8.2 Φ, D, E を上のようにとり、条件 (2.52) が成り立つとする．
このとき f (x, y) が D で連続ならば次の関係式がなりたつ．
∫∫
∫∫
∂(x, y) dudv
f (x, y)dxdy =
f (x(u, v), y(u, v)) ∂(u,
v)
D
E
証明 Fx (x, y) = f (x, y) である関数 F (x, y) が存在すると仮定する．普
通扱う関数はたいていこの条件をみたす．グリーンの定理により
∫∫
∫∫
∫
f (x, y)dxdy =
Fx (x, y)dxdy =
F (x, y)dy.
D
D
∂D
∂E のパラメタ表示を
u = u(t), v = v(t), a ≤ t ≤ b,
とする．このパラメタ曲線を写像 (2.51) で写した曲線
C : x = ϕ(t) := x(u(t), v(t)), y = ψ(t) := y(u(t), v(t)), a ≤ t ≤ b,
(2.53)
は ∂D または −∂D のパラメタ表示を与える．C が ∂D を表す場合は
∫
∫
∫ b
F (x, y)dy =
F (x, y)dy =
F (ϕ(t), ψ(t))ψ ′ (t)dt
∂D
C
a
第2章
158
重積分法
であり、C が −∂D を表す場合は
∫
∫
∫ b
F (x, y)dy =
F (x, y)dy = −
F (ϕ(t), ψ(t))ψ ′ (t)dt
−C
∂D
a
である．C が ∂D を表す場合は σ = 1 とおき、−∂D を表す場合は σ = −1
とおくと、いずれの場合にも
∫
∫ b
F (x, y)dy = σ
F (ϕ(t), ψ(t))ψ ′ (t)dt
∂D
a
と表される．
次に
G(u, v) = F (x(u, v), y(u, v))
とおくと
F (ϕ(t), ψ(t)) = G(u(t), v(t))
と表される．また
ψ ′ (t) = yu (u(t), v(t))u′ (t) + yv (u(t), v(t))v ′ (t)
であるから、
∫ b
∫
′
F (ϕ(t), ψ(t))ψ (t)dt =
a
G(u, v)yu (u, v)du + G(u, v)yv (u, v)dv
∂E
と表される．グリーンの定理により
∫
G(u, v)yu (u, v)du + G(u, v)yv (u, v)dv
∂E
)
∫∫ (
∂
∂
=
[G(u, v)yv (u, v)] −
[G(u, v)yu (u, v)] dudv
∂u
∂v
E
∫∫
=
(Gu yv + Gyvu − Gv yu − Gyuv )dudv
E
∫∫
=
(Gu yv − Gv yu )dudv.
E
ここで y(u, v) が C 2 級であるから、 yuv = yvu である．ところで
Gu yv − Gv yu = (Fx xu + Fy yu )yv − (Fx xv + Fy yv )yu
= Fx (xu yv − xv yu ) = Fx (x(u, v), y(u, v))(xu yv − xv yu )
∂(x, y)
= f (x(u, v), y(u, v))
∂(u, v)
2.8. 重積分の変数変換
159
であるから
∫∫
∫∫
∂(x, y)
(Gu yv − Gv yu )dudv =
f (x(u, v), y(u, v))
dudv.
∂(u, v)
E
E
以上により
∫∫
∫∫
∂(x, y)
f (x, y)dxdy = σ
f (x(u, v), y(u, v))
dudv
∂(u, v)
D
E
(
)
∫∫
∂(x, y)
=
f (x(u, v), y(u, v)) σ
dudv(2.54)
∂(u, v)
E
σ の値は積分路 C が ∂D を表すか、−∂D を表すかに応じてきまり、f (x, y)
のとり方に依存しない．とくに f (x, y) ≡ 1 の場合を考えると
∫∫
∂(x, y)
dudv.
(2.55)
µ(D) =
σ
E ∂(u, v)
σ = ±1 であるから、条件 (2.52) により D において σ∂(x, y)/∂(u, v) ̸= 0
である．ゆえに補題 2.8.1 により、σ∂(x, y)/∂(u, v) は D において定符号
である．(2.55) の左辺 µ(D) は D の面積をあらわし、正の値であるから、
σ
∂(x, y)
>0
∂(u, v)
(2.56)
であって
∂(x, y) ∂(x, y) ∂(x, y) ∂(x, y) =
.
σ
= σ
= |σ| ∂(u, v) ∂(u, v) ∂(u, v) ∂(u, v) ゆえに (2.54) は
∫∫
∫∫
∂(x, y) dudv
f (x, y)dxdy =
f (x(u, v), y(u, v)) ∂(u,
v)
D
E
と書き改められる．
2
注意 2.8.3 上の証明は巧妙であるが、色々条件を仮定しており直感に頼
る部分も多い．普通は微小領域の面積の変換公式を作って証明し、厳密
にすると長くなる．
第2章
160
重積分法
注意 2.8.4 σ = 1 のときは (2.56) は ∂(x, y)/∂(u, v) > 0 を表し σ = −1
のときは (2.56) は ∂(x, y)/∂(u, v) < 0 をあらわす．また写像 (2.51) によ
り ∂E が ∂D に写るときは、σ = 1 であり、−∂D に写るときは、σ = −1
である．ゆえに
∂E が ∂D に写る ⇔
∂(x, y)
> 0,
∂(u, v)
∂E が −∂D に写る ⇔
∂(x, y)
< 0.
∂(u, v)
∂E が ∂D に写るときは写像 Φ は平面の向きを変えない写像と考えられ、
∂E が −∂D に写るときは、この写像は平面の向きを変える（あるいは裏
返す）写像と考えられる．
向きを変えない ⇔
∂(x, y)
> 0,
∂(u, v)
向きを変える ⇔
∂(x, y)
< 0.
∂(u, v)

微分積分学および演習Ⅱ 演習問題

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