2014年度東北大学（文系）数学解答・解説および配点

1/9
２０１４年度東北大学（文系）数学解答・解説および配点予想
ここでは文系数学の満点を 200 点満点で考えています。学部学科によっては満点が異なる場合が
ありますが、採点基準は共通であると考えられます。
1
配点予想
（50 点）
【解答】
（１） y = x 2
∴ y′ = 2 x より
2
接線の式が書け
2
曲線 C : y = x 上の点 P(a, a ) における接線 l1 の方程式は
て5点
2
y − a = 2a ( x − a )
整理して
l1 : y = 2ax − a 2
同様に
l2 : y = 2bx − b 2
とする．
l1 , l2 の交点 R の x 座標を求めると
2ax − a 2 = 2bx − b2
2(a − b) x = a 2 − b 2
交点 R が求め
= ( a + b)(a − b)
られて 5 点
a ≠ b より
x=
a+b
2
これを l1 に代入して
⎛ a+b⎞ 2
y = 2a⎜
⎟−a
⎝ 2 ⎠
⎛a+b
⎞
, ab ⎟
よって R ⎜
⎝ 2
⎠
∴ y = ab
（２） S =
=
a +b
2
a
2
a +b
2 (x
a
− a) 2 dx +
・・・（答）
∫ {x − (2ax − a )}dx + ∫ {x − (2bx − b )}dx
∫
b
2
∫
b
a +b ( x
2
2
a +b
2
2
積分の式が書け
て5点
− b) 2 dx
a +b
b
⎡1
⎤ 2 ⎡1
⎤
= ⎢ ( x − a )3 ⎥
+ ⎢ ( x − b)3 ⎥
⎣3
⎦a
⎣3
⎦ a +b
2
3
=
1 ⎛a+b
1 ⎛a+b
⎞
⎞
− a⎟ − ⎜
− b⎟
⎜
3⎝ 2
3⎝ 2
⎠
⎠
=
1
(b − a )3
12
3
計算ができて
15 点
・・・（答）
(c) 特訓予備校
養賢ゼミナール
2/9
（３） l1 ⊥ l2 のとき
2a × 2b = −1
垂直条件が書け
∴ 4 ab = −1
て5点
ここで a と b の積が負なので a＜0＜b であることがわかる
a=−
1
を S に代入すると
4b
1 ⎛
1 ⎞
S = ⎜b + ⎟
12 ⎝
4b ⎠
となり， S が最小となるのは b +
b＞0,
3
S を 1 文字で表
わして 5 点
1
が最小となるときである．
4b
1
＞0 なので相加相乗平均の関係より
4b
b+
1
1
1
≧2 b ×
= 2× =1
4b
4b
2
（等号は b =
1
1
のとき，つまり b = のとき成立する）
4b
2
3
S=
1 ⎛
1 ⎞
1 3 1
⎜b +
⎟ ≧ ⋅1 =
12 ⎝
4b ⎠
12
12
S の最小値は
1
12
・・・（答）
(c) 特訓予備校
養賢ゼミナール
S の計算ができ
て 10 点
3/9
1
【解説】
東北大を受験する生徒であれば，皆必ず解いたことのある典型問題である．
（１）は接線の公式をしっかりつくり，交点 R を出すだけである．
（２）では計算の工夫がかかる時間の差となって出てくるところである．
（３）の垂直条件からくる a＜0＜b に気づくことが大切で，あとは 1 文字にしてできた式の形から
相加相乗平均の関係を思いつき素直に計算すると完成する．
【角田幸二】
(c) 特訓予備校
養賢ゼミナール
4/9
2
配点予想
（50 点）
【解答】
（１）2 つの数の積が 10 となるのは， 2× 5 の場合しかなく，それぞれ 2 個
(１) 説明 5 点
式・答 5 点
ずつ玉があるので，
2
2
4
=
45
10 C 4
・・・（答）
（２）4 つの数の積が 100 になるのは， 2 × 2 × 5 × 5 と 1 × 4 × 5 × 5 の場合があり， (２) 説明 5 点
前者は 1 通りしかないが，後者は 1 と 4 の選び方が 2 通りずつあるので，
1 + 22 1
=
42
10 C 4
式・答 5 点
・・・（答）
（３）2 つの場合に分ける．1 個目から 3 個目の玉を取り出す操作を“前半”
， (３)
4 個目から 6 個目の玉を取り出す操作を“後半”と表現することにする． (ⅰ) 説明 5 点
(ⅰ) 前半と後半で 3 つとも同じ数字が出るとき
式・答 5 点
前半に出るのは 5 個のうち 3 個の数字で，選び方は 2 通りずつある．
一方，後半は，前半に対して 1 通りに取り出される玉が決まるので，
23 ⋅ 5 C 3 1
2
⋅
=
105
10 C3
7 C3
(ⅱ) 前半 2 が 2 回，後半に 1 と 4 が出るとき(と、その逆順の場合)
前半に 2 が 2 回出るのは 1 通り，その他の数字の出方は 3 か 5 しかなく，
(ⅱ) 説明 5 点
式・答 5 点
それぞれ 2 通り．後半は 1 と 4 の出方がそれぞれ 2 通りずつあるが，
残りの玉の取り出し方は 1 通りしかない．あとは逆順を考えて，全体を
2 倍すればよい．
2⋅
22
22
4
⋅
=
525
10 C3 7 C3
(ⅰ) (ⅱ)
(ⅰ)，(ⅱ)より，
2
4
2
+
=
105 525 75
式・答 10 点
・・・（答）
(c) 特訓予備校
養賢ゼミナール
5/9
2
【解説】
（１），
（２）は一度に玉を取り出しているが，
（３）では前半と後半に分けて取り出しているこ
とになる．まずその点で（３）は注意が必要である．また，玉が 2 個ずつあることが問題を複雑
にしているが，具体的な場合を書き出して調べていくうちに，簡単な式にたどり着けるだろう．
東北大文系では確率は毎年出題されると考えておくべきだ．本問はその中で難しい方ではない
が，見落としがないか注意を要する問題だろう．確実に解けているところまで段階的に解答を作
っていった方がよいだろう．
【角田幸二】
(c) 特訓予備校
養賢ゼミナール
6/9
3
配点予想
（50 点）
【解答】
（１）メネラウスの定理より
式が書けて 5 点
BP MA ON
⋅
⋅
=1
PM AO NB
であるから
BP 1 t
⋅ ⋅ = 1　∴ BP : PM = 3 : t
PM 3 1
・・・
（＊）
比が求められて
5点
よって
OP =
式が書けて 5 点
3 OM + t OB
t +3
=
3 2
t
⋅ OA +
OB
t +3 3
t +3
=
2
t
OA +
OB　・・・
（答）
t +3
t +3
答が求められて
5点
（２） ∠MOP = ∠BOP ， ∠OPM = ∠OPB ， OP は共通であるから
合同が示せて
△OMP ≡△OBP
5点
OM = OB
・・・①
式が書けて 5 点
MP = BP
・・・②
式が書けて 5 点
よって
①より
2
OA = OB
3
∴ OA : OB = 3 : 2
・・・
（答）
答が求められて
5点
②と(＊)より
答が求められて
t = 3　・・・
（答）
(c) 特訓予備校
5点
養賢ゼミナール
7/9
3
【解説】
（１）〔解答〕はメネラウスの定理を使って解いたが，図形の性質を使う解法もあるだろう．
（ △PAB の面積）
：（ △PBO の面積） = AM : MO = 1 : 2
（ △PAB の面積）
：（ △PAO の面積） = BN : NO = 1 : t
であるから，（ △PAB の面積）
：（ △PBO の面積）
：（ △PAO の面積） = 1 : 2 : t
である．したがって， OP の延長と AB の交点を Q とすると，
AQ : QB =△PAO : △PBO = t : 2 ， OP : PQ = (t + 2) :1 となる．
（２）図を丁寧に描くと， △OMP ≡△OBP に気づく．もし気づかなければ，
OP ⊥ BM より OP ⋅ BM = 0 を利用して解く．すなわち，
OP ⋅ BM =
2
2
1 ⎧
⎫
⎨4 OA + 2(t − 3)OA ⋅ OB − 3t OB ⎬ = 0
3(t + 3) ⎩
⎭
2
2
より， 4 OA + 2(t − 3)OA ⋅ OB − 3t OB = 0 となる．
OA : OB = t : 2 より， OB = s とおくと OA =
t
s であり，上の式は t (t − 3)(1 + cos ∠AOB) = 0 と
2
変形できる． t ≠ 0 ， cos ∠AOB ≠ −1 より t = 3 を得る．
（１），
（２）も解法がいくつかあって迷うかもしれないが，自分が自信をもっている解法で進
めよう．
（２）は図を丁寧に描くと，図形の性質を使ってはやく解ける解法が見えてくる．
【角田幸二】
(c) 特訓予備校
養賢ゼミナール
8/9
4
（50 点）
【解答】
配点予想
（１） A と B の 2 乗の和を求めると，
2
2
2
A + B = (2 sin x + sin y ) + (2 cos x + cos y )
2
(１) 式変形
2
2
10 点
2
2
= 4(sin x + cos x) + 4(cos x cos y + sin x sin y ) + (sin y + cos y )
= 4 + 4 cos( x − y ) + 1
∴ cos( x − y ) =
A2 + B 2 − 5
4
答5点
・・・（答）
（２） A = 1 のとき，
(２)
⎧ sin y = 1 − 2 sin x
⎨
⎩ cos y = B − 2 cos x
より，
y を消去して
sin 2 y + cos2 y = (1 − 2 sin x)2 + ( B − 2 cos x)2 = 1
ここで
( X , Y ) = (cos x,
sin x ) とおくと，点 ( X , Y ) は単位円を表し，
10 点
x は動径の角度を表す．このとき上記の B の条件式は，
2
2
円の方程式を示
B⎞ ⎛
1⎞
1
⎛
⎜ X − ⎟ + ⎜Y − ⎟ =
2⎠ ⎝
2⎠
4
⎝
して 10 点
1
⎛B 1⎞
と変形できるので，中心： ⎜ , ⎟ ，半径：の円を表す．この２円が
2
⎝ 2 2⎠
周上の点を共有しつつ B が最大・最小になるのは下の図の場合である．
図を描いて
図より，
⎫
⎪
⎪
⎬
1
2 2
⎪
最小値 : sin x = , cos x = −
のとき，B = −2 2 ⎪
3
3
⎭
最大値 : sin x =
1
2 3
, cos x =
のとき，B = 2 2
3
3
(c) 特訓予備校
10 点
・・・（答）
養賢ゼミナール
答5点
9/9
4
【解説】
東北大の問題は難しい公式を一切使わないのが特徴である．本問も一見すると，積和・和積や
合成などの公式をどう使ったらよいか考える人が多いだろう．しかし，公式として使うのは加法
定理と正弦・余弦の 2 乗の和が 1 になることぐらいである．
（１） cos( x − y ) の展開式がうまく出てくるように， A と B を変形する．この場合は 2 乗の和を求
めるだけでよい．基本的な問題だろう．
（２）はいろいろな解法がありそうだ．（１）の結果を使うと cos( x − y ) =
B2 − 4
であることは直ち
4
にわかるが， A = 2 sin x + sin y = 1 の拘束条件があるから， − 1 ≦ cos( x − y ) ≦1 が成立しているの
か，すぐには判断できない．また，得られるのが B 2 の条件式であり，その条件の中で実際に B
が動いている範囲も自明ではない．厳密に論理を展開するには「つめ」が欠かせない．更に，
この問題は変数が多い．関係式はあるにせよ sin x, cos x, sin y , cos y をうまく操るのはなか
なか難しい．
そこで，ここで示した解法では（１）と独立に解くことにした．まず， y は結果に必要ない
ので消去した．（１）と同様，2 乗の和をとれば簡単に消去できる．得られた B を含む式は
( X , Y ) = (cos x, sin x) と考えると円の方程式である．中心の Y 座標と半径が一定の円である．B
の値によって， X 軸上を転がるように動く．最大・最小になる場合は図形的にすぐわかり，計
算もほとんどいらない．x が動径の角度を表わしているので，sin x, cos x の値も図形的に直接
求められる．
この解法は，はじめに多少の発想を要するかもしれない．ただし，その点さえ通り過ぎれば
見通しは非常によく，図形を描きながら一気に最後まで進めるだろう．計算量も少ない．
【角田幸二】
(c) 特訓予備校
養賢ゼミナール

Download Report