品質設計特論 No. 9 和歌山大学システム工学研究科鈴木新木曜日 4限目 A203教室動的SN比の考え方 • バネはかり – 測りたいもの（測定対象）とバネの伸びの関係 → 比例関係良いはかりは • 同じ対象は同じ：誤差が小さい • 違う対象は違う：伸び（感度）が大きい 1kg どのようなはかりが良いか？ 2kg 1 おもりと伸びの関係伸び 𝑦 大きく小さく 𝛽 おもり 𝑀 おもさの違いは大きく現れた方が良い 𝑦 = 𝛽𝑀 各おもりにおいて測定のばらつきは小さい方が良い産業的に有効と考えられるばねはかり伸び先ほどと比べて明らかに差が大きい 𝑦 𝛽 おもり 𝑀 2 実測値と1次式のずれ y  M より e 𝑦 y  M  0 となる．しかし，実際は誤差， e  y  M (ex : y1  M 1 ) 𝑀1 𝑀2 𝑀3 が存在つまり  最小2乗法 e を最小にするが直線の傾き（以前に説明したもっとも平均的なところを通る）最小二乗法 n   y  M  2 i i 1 n i  y12  2M 1 y1   2 M 12   n   y  2   M i yi   i 1  2 i i 1 2 n M i 1 2 i  Se で微分 n n d S e  2 M i yi  2  M i2  0 d i 1 i 1  M y M i i 2 i 3 動特性SN比の重要な特性（前提条件） 𝑦 𝛽 𝑀 • 因果の向き：Mから y へ対象システムに M を入力して得られる出力 y を評価する誤差は各 M における推定値と実測値の差（2乗の） • ゼロ点比例式入力されるエネルギー M が理想とする出力 y に変換されたかを評価する理想関係に近い＝利点 𝑦 𝑦 𝑀1 𝑀2 𝑀3 𝑀1 𝑀2 𝑀3 どちらが良いデータ（システム）か？機能が理想関係に近いと設計しやすい，ロバスト，省エネ，・・・ 4 信号（感度）：SN比のS (Signal) e3 𝑦 y2 y1 𝛽 y3 𝑀1 𝑀2 𝑀3 傾き 𝛽 が大きければ良い相関が負の場合はマイナスに，エネルギーは2乗で扱う，信号とノイズの分離・・・2乗和の分解傾きの2乗を信号とする（実際は不偏推定量）  M y   2    i 2 i    Mi  2 ノイズ（誤差）：SN比のN (Noise) y e3 M1 積算時に正負で相殺されないように，エネルギーは2乗で扱う，信号とノイズの分離・・・2乗和の分解 y2 y1 𝛽 y3 M2 実測値 𝑦 と推定値 𝛽𝑀 の差が小さければ良い M3 誤差の2乗（分散と同じ）をノイズとする   y  M  2 i i n 1 5 動特性SN比（誤差条件無し）   M i yi  2     2    Mi  信号ノイズ 2   y  M  2 i i n 1 信号とノイズの比に足し算の関係を成立させるため 2 にlog化   M i yi    2   2   Mi    10 log  10 log  2 Ve   yi   M i  n 1 動特性SN比の2乗和を考える y e3 全ての出力 M1 M2 M3 yi の2乗和は ST   yi2 y2 y1 𝛽 y3 これはどんな成分に分解できるか？直線上の点，そこからの誤差。つまり，全2乗の積算値＝直線上の積算値＋誤差の積算値  yi2  2  M i2 2   y   M  i i 6 2乗和の分解全ての出力 yi の2乗和は ST   yi2  S   Se S  は比例項変動 S e は誤差変動理想値の２乗の項とばらつきの２乗の項に分解 ST  S   S e   2  M i2    yi  M i  2 2乗和の分解を利用してSN比を表現 ST  S   S e   2  M i2    yi  M i  2   M i yi  S   2  M  M i2 2 i      10 log  10 log  10 log 2 ST  S  Ve   y   M  i i n 1 n 1 2 7 SN比（不偏推定値補正） 𝛽 は平均的に大きくも小さくもない推定値 •   期待値をみると E  2   2  V (  ) V (  ) の不偏推定値は Ve  M i2 正のバイアス有正のバイアスを引いてあげるとSN比は   10 log S Ve   M i2  M i2 Ve  10 log S   Ve  M i2 Ve 補正値の算出  y   x  e x y  x x e x y    xe x x xe b  x xe   b        x  i i i 2 i i i i i i i i i 2 i 2 i i i 2 i 2 2 i i 2 i 誤差の直交性を利用 Ve  xi2 今までの書き方に合わせると Ve  M i2 8 機能性評価の方法（復習）デジタルカメラの機能は x a y 被写体デジカメ撮影画像 y  ax 出力入力被写体の寸法寸法の転写性被写体の色色の転写性撮影画像の寸法撮影画像の色 17 演習（復習） • ２つの班に分かれる • 機能を乱すノイズを決める – 照明環境（日光 or 蛍光灯） – 撮影角度（真上 or 斜め45℃） – 背景（白バック or 黒バック） – 撮影距離（15cm or 30cm）・・・真上スケール上側 • それぞれのノイズ条件において自分のカメラでグレースケールを撮影しPCに取り込む。 A M 19 読み取る場所は「A」「M」「19」の色 18 9 𝑦 SN比計算法（詳細は後日） 𝑦23 𝑁2 L12  L22 S N    S 2r S e  ST  S   S N   𝑁1 𝑦13 𝑀1 𝑀2 𝑀3 33, 116, 242 r  M 12  M 22   L1  M 1 y11  M 2 y12   L2  M 1 y21  M 2 y22   2 ST  y112  y122    y21  ( L1  L2 ) 2 S  2r Ve  VN  Se 2(3  1) S e  S N  2  3 1 1 ( S   Ve ) 2 r dB   10 log VN 上記のSN比を計算し考察消費者のことを考えた設計へ t cT m W 沸騰までの時間は変化する！季節，地域，・・・冷蔵庫内で実験，評価可愛い子には旅をさせよ！ばらつきの原因はそのまま従来には無い考え方 10 誤差を考えた（取り入れた）評価 • バネはかりの評価では誤差が無かった – のびを測る簡単なシステム – 乱れる要因が少ない • 紙飛行機では？ – 投げる人，風，紙，他・・・ • エンジンでは？ – 温度，湿度，燃料の質，運転の方法，部品のばらつき，他・・・ • デジカメでは？ – 照明，背景，撮影距離，他・・・意図的に誤差条件を与える • 例：電気ケトル – 初期水温が低いと遅い→冷水，外気温が低いと遅い→風，冬場，古いヒーターは遅い→劣化（マイナス条件） – 電圧が高いと速い→高電圧（プラス条件） • これらを誤差因子と呼ぶ – 設計によって（設計者が）変更できない因子 – 外乱：気温や風，内乱：部品の劣化やばらつき 11 誤差因子を考える • まずはばらつきについて考える • ばらつきの要因は何か？消費者の立場で • ケトルで湯を沸かすときケトル内部のばらつき【内乱】ヒーター消費電力や摩耗劣化，金属板の厚み，部品ばらつき（抵抗値），部品精度（熱の逃げ），他ケトル外部のばらつき【外乱】外気温の変化，水温の変化，風による冷却，他誤差因子 • • 設計パラメータ：設計者が自由に変更可能誤差因子：設計者が変更不可（手出しできない）例： 1. 季節による温度，湿度の変化（外乱） 2. 抵抗のばらつきと経時変化（内乱） • 単純繰り返しとは違う意図的な誤差を与え評価 – わざとばらつかせるという考え方 → 画期的！誤差（内乱，外乱）水の量 𝑀 𝛽 沸騰までの時間 𝑦 例：ケトル 12 誤差因子導入とロバストネス • 実用誤差を考慮成果タグチメソッドの最大の Mが大きくなれば誤差も大きくなる（当たり前） 𝑁2 𝑦 𝑁1 しかし，誤差が意図したものであれば解釈は異なる（繰返しは無意味） 𝑀1 𝑀2 𝑀3 可愛い子には旅をさせよ！意図的誤差を与え評価誤差因子の設定（例：ケトル） • 誤差因子は外気温（初期水温） – 外気温は設計者が変更できない（使用者によって変化） 𝑁1 と 𝑁2 の差が最小となる組み合わせを求める 𝑁2 𝑦 𝑁1 𝑀1 𝑀2 𝑀3 外気温が低温熱の逃げが多いために，出力（沸騰時間）は大きく（長く）なる外気温が高温熱の逃げが少ないために，出力（沸騰時間）は小さく（短く）なる 13 誤差因子有SN比の概念 𝑁2 𝑦 𝑁1 本来のエネルギー S 誤差因子によるばらつき S N  比例関係からのばらつき 𝑀1 𝑀2 Se 𝑀3 ST  S   S N    S e 二乗和の分解誤差因子の導入 𝑁2 𝑦23 𝑦 𝑦22 𝑦21 𝑦11 𝑀1 S 傾き 𝛽 が変動 𝑁1 𝑦12 𝑀2 は比例項変動 𝑦13 𝑀3 全ての出力 𝑦𝑖𝑗 の2乗和は ST   yij2  S   S e  S N  S e は誤差変動 S N  は誤差による変動 14 二乗和の分解１ 𝛽2 ST  S   Se  S N  𝑁2 𝑦23 𝑦 𝑦22 𝑦21 𝑦11 𝑀1 𝛽 1   𝑦13 𝛽1 𝑀2 𝛽2 𝑦22 𝑦11 𝑀1 M j y1 j M M y  M 2 j j 2j 2 j ST  S   Se  S N  𝛽 𝑁1 𝑀2 M j yij S   2 2  M 2j 𝑁2 𝑦23 𝑦12 2 𝑀3 二乗和の分解２ 𝑦21    𝑁1 𝑦12 j  1, 2 , 3 2 M 2j 回帰直線上の点 𝑦 i  1, 2 𝑦13 𝛽1 誤差因子による変化 S N    M j  i  M j   2   M 2j  i    2 𝑀3 原点比例式の •傾きが共通 𝛽 の回帰変動と •傾きが異なる 𝛽1,2 回帰変動の差【誤差因子による変動成分】 15 二乗和の分解３ 𝛽2 𝑦 𝑁2 𝑦23 𝑦22 𝑦21 𝑀1 S e  ST  S   S N   𝑁1 𝑀2    y ji  M i  j  𝑦13 𝑦12 𝑦11 ST  S   Se  S N  𝛽 2 𝛽1 Se を自由度で割る（不偏分散） 3個のデータから1個の直線 𝑀3 それらが2個あるので 𝑗 = 1,2,3 𝑖 = 1,2 Ve  Se 23  1 誤差因子SN比1 不偏推定値補正をしたSN比（誤差因子数：I，信号水準：J）シグナルは傾き S   I 2  M 2j 2  S I  M 2j ノイズはばらつきをすべて合計し自由度で割る S N   S e IJ  1 で割る 全ノイズの自由度は IJ  1  S e の自由度は I ( J  1) を自由度 N S N   S e IJ  1 16 誤差因子SN比2 不偏推定値補正をしたSN比（誤差因子数：I，信号水準：J） S   10 log S   ,  S  / IJ  1  Ve  / I  M 2j N  e  Se  Ve   I ( J  1 )   誤差無と同じく分子は不偏推定値分子は正のバイアスを引いた形海外では単なる傾きの2乗が多い本講義では正のバイアスを引いた形を用いる誤差因子有SN比計算法1 1 S   Ve  I  M 2j   10 log 1 S  S  IJ  1 N  e  Ve  Se I ( J  1)  を求める 𝑆𝑒 を求めなければいけない S e  ST  S   S N   ST   yij2 は既知の値（実測値）なので求めること可能 S   I 2  M 2j なので 𝛽 2 を求める 𝛽 は全データIJ個の傾き 17 誤差因子有SN比計算法2 S   I 2  M 2j  M j yij IM となり，次に i   Se  ST  S   S N  S N  を考える M j yij    2  1 M  j  S N    M j  i Se も求まるので I ( J  1) Ve  2 j M y M M  j 1j 2 j 2 j ST , S  , S N  を得たので     これによりSN比が算出できた 1 S   Ve  I  M 2j   10 log 1 S  S  IJ  1 N  e   信号水準 𝐽 誤差水準 𝐼 SN比（誤差因子有無の比較）不偏推定値補正をした推定値（誤差因子無し） I は繰り返し数 S   10 log   Ve  / I  M 2j Ve S   , Ve  e  IJ  1   不偏推定値補正をした推定値（誤差因子有り） I は誤差因子数 S   10 log S   ,  S  / IJ  1  Ve  / I  M 2j N  e  Se  Ve   I ( J  1 )   信号 𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝐽 誤差or繰り返し 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝐼 18 SN比について • 機能性の評価や誤差因子の考え方など（聞いてしまえば）当たり前に感じるが最初に提案することは難しい → 独創的 • 設計法が体系的にまとめられ誰でも（それなりの）解を得ることができる • ただSN比についてはまだ議論の余地がある（期待値のバイアスなど）というか必要だ • 新しいSN比を考えていく必要がある（例えばエネルギー比型など）実験計画 • • • • • SN比は理解できた（？）どうやってSN比が高いシステムを設計するか？設計の手順も規定されている（おせっかい？）タグチメソッドの流れを思い出すシステム選択創造したものを調節する方法 – 技術者の知恵，創造 • パラメータ設計つまり最適化調節には直交表を利用 – タグチメソッドが提供する設計手順 • 許容差設計 – タグチメソッドが提供する安全率，コストの設定 19 直交表 • 直交とはすべてがバランス良く組み合わされる • 直交表の作成には一貫した理論は無い問題大佐，中佐，少佐が3人ずついる。 3×3配列にバランスよく並べよ。大中少中少大少大中直交表 • 直交とはすべてがバランス良く組み合わされる • 直交表の作成には一貫した理論は無い問題大佐，中佐，少佐が3人ずついる。 3×3配列にバランスよく並べよ。 L1 L2 L3 L4 A 1 1 2 2 B 1 2 1 2 C 1 2 2 1 20