演習 補充問題
a, b, c は正の定数とする. 今回は図形の問題なので対称性を利用するとよい.
S3. （S1 参照）重積分を利用して D = {(x, y) | (x2 + y 2 )2 ≤ x2 − y 2 } の面積を
計算せよ. 境界の曲線はレムニスケートとよばれる.
S4. 重積分を利用して次の集合 K の体積を計算せよ.
√
(1) K = {(x, y, z) | x2 + y 2 ≤ z ≤ 1} (円錐)
(2) 半径 a の球体 K
(3)∗ K = {(x, y, z) | x2 + y 2 ≤ z ≤ 2x}
(放物面と平面で囲まれた立体)
左から (1),(3)
S5. 曲面 z = f (x, y), (x, y) ∈ D の面積 S は次の公式で与えられる. (曲線の長
さの公式に似ている！)
√
( )2 ( )2
∫∫
∂f
∂f
S=
+
dxdy
1+
∂x
∂y
D
次の曲面の面積を計算せよ.
(1) 半径 a の半球面
4 − x2 − y 2 2
(2) z =
, x + y2 ≤ 2
2
(放物面の一部)
√
√
(3) z = 1 − x2 − y 2 , 0 ≤ z ≤ 1/ 2
(球面の一部)
(4) ax + by + cz = 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0
(三角形)
(5) 半球面 x2 + y 2 + z 2 = 1, z ≥ 0 が円柱 x2 + y 2 = x によって切り取られ
る部分 (小さい方)
左から (2),(3),(5)
S6. R3 の部分集合 K の体積 V は, あえて三重積分を利用して
( ∫∫∫
)
∫∫∫
V =
1dxdydz
=
dxdydz と書く
K
K
と表すこともできる. これを利用して S4(1),(2) の別解を与えよ.
S7. R3 の部分集合 D の重心 (x, y, z) は次の公式で与えられる.
(∫ ∫ ∫
)
∫∫∫
∫∫∫
1
(x, y, z) =
x dxdydz,
y dxdydz,
z dxdydz
(D の体積)
D
D
D
次の集合 D の重心の座標を計算せよ.
√
(1) D = {(x, y, z) | x2 + y 2 ≤ z ≤ 1}
(2) D = {(x, y, z) | x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 , z ≥ 0}
【略解】
S3. 1
S4.
(1) π/3
2πa2
(2) 4πa3 /3 (3)∗ π/2
√
√
2(3 3 − 1)π
(2)
(3) 2π
3
S5.
(1)
S7.
(1) (0, 0, 3/4)
(2) (0, 0, 3a/8)
√
a2 + b2 + c2
(4)
2abc
(5) π − 2
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