複素関数論演習問題解答

複素関数論演習問題解答
木村泰紀∗
2014 年 5 月 30 日出題
問題 1. 中心 i, 半径 1 の円周を反時計回りに一周する周回経路 C に対し, 複素積分
I
1
dz
z−i
C
の値は 2πi となる. 次の問いに答えよ.
(i) r 6=I1 である正の実数 r に対し, 中心 0, 半径 r の円周を反時計回りに一周する周回経路を Cr とすると
1
き,
dz の値を求めよ.
Cr z − i
(ii) 中心 0, 半径 2 の円周を反時計回りに一周する周回経路 C 0 に対し, C 0 のパラメタ表示 z(t) = 2eit (0 ≤
t ≤ 2π) を用いて,
I
C0
1
dz =
z−i
∫
∫
2π
2π
f (t) dt + i
0
g(t) dt
0
とあらわすとき, g(t) および h(t) を求めよ.
(iii) 実積分
∫
2π
0
2 − sin t
dt
5 − 4 sin t
の値を求めよ.
解答
(i) 関数 f (z) = 1/(z − i) は z = i 以外のすべての点で微分可能なので, z = i を含まない領域において
は正則である. 0 < r < 1 のとき, f (z) は C の囲む領域において正則であるから, コーシーの積分定理より
I
Cr
1
dz = 0.
z−i
一方, 1 < r のときは, Cr を正則な領域の範囲内で周回経路 C に変形できる. よって
I
Cr
∗
1
dz =
z−i
I
C
1
dz = 2πi.
z−i
東邦大学理学部情報科学科. http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/kimura/yasunori/
1
(ii) C 0 のパラメタ表示を用いて
I
∫
2π
1
2ieit dt = 2i
it
2e − i
f (z) dz =
C0
0
∫
2π
(cos t + i sin t)(2 cos t − i(2 sin t − 1))
dt
4 cos2 t + (2 sin t − 1)2
2π
(2 cos2 +2 sin2 t − sin t) + i(2 sin t cos t − 2 sin t cos t + cos t)
dt
4 cos2 t + 4 sin2 t − 4 sin t + 1
(2 − sin t) + i cos t
dt
5 − 4 sin t
= 2i
0
= 2i
0
∫
2π
= 2i
0
2π
∫
=
∫
0
eit
dt
2eit − i
cos t + i sin t
dt
2 cos t + i(2 sin t − 1)
0
∫
2π
2π
= 2i
∫
∫
0
2π
=
0
2i(2 − sin t) − 2 cos t
dt
5 − 4 sin t
∫ 2π
−2 cos t
2(2 − sin t)
dt + i
dt.
5 − 4 sin t
5 − 4 sin t
0
よって
g(t) =
−2 cos t
,
5 − 4 sin t
h(t) =
2(2 − sin t)
.
5 − 4 sin t
(iii) コーシーの積分定理より
I
I
2πi =
f (z) dz =
∫
C0
C
−2 cos t
dt + i
5 − 4 sin t
2π
f (z) dz =
0
∫
0
2π
2(2 − sin t)
dt.
5 − 4 sin t
実部と虚部をそれぞれ比較すると
∫
0
よって,
2π
−2 cos t
dt = 0,
5 − 4 sin t
∫
0
2π
∫
0
2π
2(2 − sin t)
dt = 2π.
5 − 4 sin t
2 − sin t
dt = π
5 − 4 sin t
を得る.
2

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