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1 角度変調 2 周波数変調

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2
周波数変調
2.1 スペクトル分布
となる。上式において、|θ(t)|max = kf /ωm は変調
角度変調
1
の深さを表す定数であり、変調指数とよぶ。
角度変調 (angule modulation) とは、正弦搬送
β = |θ(t)|max =
波の振幅を一定として、位相角を変調信号によって
変化させる変調方式である。角度変調には位相変
kf
ωm
(2.2)
また、瞬時角周波数 ωi を求めると、
{
}
∫ t
d
ωi =
ωc t + kf
dt m(t) = ωc + kf m(t)(2.3)
dt
−∞
調 (phase modulation) と周波数変調 (frequency
modulation) の二種類があり、前者は位相を直接変
調信号に比例させる方法、後者は瞬時周波数と搬送
波周波数の差を変調信号に比例させる方法である。
となる。上式の意味するところは、瞬時角周波数
ωi は、搬送波角周波数を中心に、最大 kf |m(t)|max
1.1
だけ偏移することである。kf |m(t)|max を最大角周
周波数変調
波数偏移とよぶ。
振幅 A、角周波数 ωc 、位相 θ をもつ搬送波 v(t)
を考える。
∆ωmax = kf |m(t)|max
v(t) = A cos(ωc t + θ)
(1.1)
2.1
まず、瞬時角周波数 ωi を求める。これは、式 (1.1)
の cos の引数を時間微分すればよい。
d (ωc t + θ(t))
˙
ωi =
= ωc + θ(t)
dt
スペクトル分布
FM の変調信号に m(t) = sin(ωm t) と、正弦波を
仮定する。すると、vFM (t) は次のようになる。
(1.2)
vFM (t)
周波数変調では、瞬時周波数と搬送波周波数の差
=
A cos(ωc t + β sin(ωm t))
∞
∑
= A
Jl (β) cos ((ωc + lωm )t)
を変調信号に比例させるから、以下のようになる。
˙ = kf m(t)
ωi − ωc = θ(t)
l=−∞
(1.3)
また、Jn (β) は n 次のベッセル函数である。vFM (t)
h は変調信号、kf は定数である。したがって、θ は
変調信号の積分となる。
∫ t
θ(t) = kf
dt m(t)
をフーリエ変換すると、次の電圧スペクトル、電力
スペクトルが得られる。
∞
(1.4)
VFM (ω)
−∞
=
上式より、FM 信号 vFM (t) は以下のように表され
る。
[
∫
vFM (t) = A cos ωc t + kf
]
t
dt m(t)
(1.5)
PFM (ω) =
−∞
2
(2.4)
周波数変調
( )2 ∑
∞
A
Jl2 (β)
2
l=−∞
{
}
× δ(ω − (ωc + lωm )) + δ(ω + (ωc + lωm ))
このスペクトルは、変調指数 β とともに帯域が広
FM の変調信号に m(t) = cos(ωm t) と、正弦波
を仮定する。すると θ(t) は
∫ t
kf
θ(t) = kf
dt m(t) =
sin(ωm t)
ωm
−∞
A ∑
Jl (β)
2
l=−∞
{
}
× δ(ω − (ωc + lωm )) + δ(ω + (ωc + lωm ))
がる。
(2.1)
1
3
FM 変調回路
2.2
占有帯域幅
FM 変調回路
3
FM の周波数帯域幅は無限大であるが、信号電
FM 変調は、信号を瞬時周波数に比例させる変調
力の 90∼99% を有する帯域に限れば、占有帯域幅
であった。すなわち、入力信号を受けて、それに比
BW を以下の式で近似できる。これをカーソン帯
例した周波数偏移を搬送波周波数に与える必要が
域とよぶ。
ある。クラップ発振回路を用いるものとすれば、共
BW = 2ωm (1 + β) = 2(ωm + kf )
振周波数を変化できれば良さそうである。これを実
(2.5)
現するには、バラクタを用いると便利である。これ
は、印加された逆電圧によって静電容量を変化させ
2.3
るダイオードである。図 2.1 に FM トランスミッタ
雑音
に回路を示す。灰色で囲んだ部分は帰還部であり、
無信号時、雑音として
vn = An sin[(ω + ωc )t]
発振周波数を決める。右側にバラクタ CD が付い
ており、マイク EMC の出力電圧により容量を変化
(2.6)
させ、発振周波数が変化する。
が入ると、FM 信号 vFM (t) は次のようになる。
vFM (t) =
=
∼
=
∼
=
Ac sin(ωc t) + An sin[(ω + ωc )t]
√
A2n sin2 (ωt) + (Ac + An cos(ωt))2
[
(
)]
An sin(ωt)
−1
× sin ωc t + tan
Ac + An cos(ωt)
√
An
cos(ωt)
Ac 1 + 2
Ac
[
(
)]
An
−1
× sin ωc t + tan
sin(ωt)
Ac
[
]
An
(Ac + An cos(ωt)) sin ωc t +
sin(ωt)
Ac
3 行目では、Ac ≫ An として非常に小さい項を無
視した。3 行目では、An /Ac ≪ 1 として、平方根・
逆正接を近似した。結果、振幅に An cos(ωt)、位
相に (An /Ac ) sin(ωt) なる雑音が乗ることが示され
た。FM の雑音は、瞬時周波数、すなわち雑音位相
の微分であり、
}
{
An
An
d
ωc t +
sin(ωt) = ωc + ω
cos(ωt)
dt
Ac
Ac
となる。第 2 項が FM の雑音である。電圧信号は
上式に比例するので、雑音電力は、雑音振幅、雑音
周波数の二乗に比例する。
2
V CC =3 V
ECM
R1
R3
R2
帰還部
C1
CD
L
C2
Tr
C4
C1
C5
Co
out
R4
C6
図 3.1: FM トランスミッタ
R5
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