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106 第 17 講 微分法の応用(ⅷ) 数学Ⅲ 【問題 1】 水面から30m の高さ

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第 17 講 微分法の応用(ⅷ)
数学Ⅲ
【問題 1】
水面から 30m の高さの岸壁から 58m の綱で船を引きよせている.毎秒 4m の速さで綱をた
ぐるとき, 2 秒後の船の速さを求めよ.
106
【問題 2】
座標平面上を運動する点の時刻 t における座標 ( x , y) が次の式で与えられるとき,この点
の t = 2 における速さと加速度の大きさを求めよ.
ì x = cos t - t sin t
í
î y = sin t + t cos t
107
【問題 3】
f ( x ) が x = a で微分可能で,|h|が十分小さければ f ( a + h) は次の近似式で表される.
f ( a + h ) ≒ f ( a ) + f ¢( a ) × h
この式を使って,次の式の近似値を求めよ.
(1) 1.0053
(2) 65
(3) log e 1.001
108
【問題 4】
h ≒ 0 のとき, sin( a + h ) の近似式を導き,それを利用して sin 61° の近似値を求めよ.
109
第 17 講 微分法の応用(ⅷ) 解答
数学Ⅲ
【問題 1】
水面から 30m の高さの岸壁から 58m の綱で船を引きよせている.毎秒 4m の速さで綱をた
ぐるとき, 2 秒後の船の速さを求めよ.
船から岸壁の真下および頂までの距離をそれぞれ xm , ym とすると,三平方の定理に
より
x 2 + 302 = y2 …①
①の両辺を t で微分すると
題意から,
dy
2x dx = 2 y
dt
dt
4y
\ dx = dt
x
dy
= -4
dt
また, 2 秒後では y = 58 - 4 ´ 2 = 50 であるから①より
x = 40
( )
\ dx
dt
t =2
= - 4 ´ 50 = -5
40
よって,求める速さは岸壁に向かって 5[m/s]
110
【問題 2】
座標平面上を運動する点の時刻 t における座標 ( x , y) が次の式で与えられるとき,この点
の t = 2 における速さと加速度の大きさを求めよ.
ì x = cos t - t sin t
í
î y = sin t + t cos t
dx = -2sin t - t cos t , dy = 2 cos t - t sin t
dt
dt
d2x
d2 y
=
+
,
= -3sin t - t cos t
3
cos
t
t
sin
t
dt 2
dt 2

速さ|v|= ( -2sin t - t cos t )2 + (2cos t - t sin t )2 =
4 + t2
加速度

|a |=
( -3cos t + t sin t )2 + ( -3sin t - t cos t )2 =
9 + t2
したがって, t = 2 における速さと加速度の大きさは


|v|= 2 2 ,|a |= 13
111
【問題 3】
f ( x ) が x = a で微分可能で,|h|が十分小さければ f ( a + h) は次の近似式で表される.
f ( a + h ) ≒ f ( a ) + f ¢( a ) × h
この式を使って,次の式の近似値を求めよ.
(1) 1.0053
(2) 65
(3) log e 1.001
(1) 1.0053 = (1 + 0.005)3 ≒1 + 3 ´ 0.005 = 1.015
(
= 8 (1 + 1 )
64 )
64
(2) 65 = 64 + 1 = 64 1 + 1
(
1
2
)
≒ 8 1 + 1 × 1 = 8.0625
2 64
(3) log e 1.001 = log e (1 + 0.001)
≒ log e 1 + 0.001 = 0.001
1
112
【問題 4】
h ≒ 0 のとき, sin( a + h ) の近似式を導き,それを利用して sin 61° の近似値を求めよ.
f ( x ) = sin x とおくと, f ¢( x ) = cos x であるから,求める近似式は h ≒ 0 のとき
sin( a + h) ≒ sin a + h cos a
ここで, a = p , h = p とおくと, h は十分小さいから,
3
180
(
sin 61° = sin p + p
3 180
)
≒ sin p + p cos p
3 180
3
=
3 + p ´1
2 180 2
≒ 0.866 + 0.017 ´ 0.5 ≒ 0.875
113
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