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4 水面波の理論

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4 水面波の理論
海面上では、風浪、うねりのような波浪のほか、津波など、さまざまな
波動が伝播する。前の章では津波の特性について考えた。ここでは、津
波以外の波動を含めて、海面を伝播する波動の一般的な特性を論じる。
4.1 風浪とうねり
海上風によって海面に生じる波(波浪)を風浪(wind sea)という。風が弱くな
っても波はすぐに消えるわけではなく、波長が長くなめらかな形をした波が残
る。このような波長の長い波はより遠くへ伝播する。これをうねり(swell)とい
う。
波の高さ(波高)(wave height)は、水面がもっとも高くなっている場所と低
くなっている場所との高さの差として定義される。波動論における振幅の2倍
の値になるので注意する。一方、津波情報においては、波動論での考え方と同
様に、平均海面からの高さを津波の高さとしているので、この点にも注意が必
要である。実際の風浪やうねりには、さまざまな高さの成分が含まれている。
波高が上位3分の1の波を選んだものを有義波(significant wave)といい、有義
波の波高を平均したものを有義波高(significant wave height)という。
「波の高さ」と有義波高の値との関係
波の高さ
有義波高
やや高い
有義波高が 1.25 m を超える
高い
有義波高が 2.5 m を超える
しけ
有義波高が 4 m を超える
大しけ
有義波高が 6 m を超える
猛烈なしけ
有義波高が 9 m を超える
波高は、海上風速だけでなく、吹走距離(fetch)や持続時間(duration)にも依存
する。吹走距離が長いほど、また、持続時間が長いほど、波高は高くなる。ま
た、波長が長いうねりは遠方まで伝わりやすいため、台風が遠方の海洋上にあ
る場合でも、高いうねりが海岸まで到達することがある。このようなうねりを
土用波とよぶことがある。
23
気象庁では、海岸に設置された沿岸波浪計によって波浪を観測している。現
在ではレーダー式沿岸波浪計が使われている。レーダー式沿岸波浪計は、海岸
から海面に向けてマイクロ波を発射し、ドップラー効果により変調された反射
波を測定することにより、波高(有義波高)のほか、周期(有義波周期)、波向
を観測している。波高は、沿岸波浪計のほか、船舶や人工衛星によっても観測
されている。沿岸波浪実況図や予想図には、有義波高のほか、波の向き(卓越
波向)と周期(卓越周期)、海上風向・風速が示される。卓越波向、卓越周期、
海上風向・風速は、実況図を含めて、観測値ではなく数値モデルによる推定値
を用いている。
4.2
基本方程式系
ここでは、鉛直構造をもった波の伝播を考察するので、水平-鉛直面( x - z 平
面)内での流体の運動を考えることにする。圧力偏差を p ' とすると、運動方程
式は、
D
1 
u
p'
Dt
 x
(1)
D
1 
w
p'
Dt
 z
(2)
D



 u w
Dt t
x
z
と書ける。ただし、海水の密度  は一定とする。また、コリオリ力や粘性は無
視した。さらに、微小振幅を仮定して、波の振幅が小さいとすれば、2 次の量で
ある移流項を無視することができて、

1 
u
p'
(3)
t
 x

1 
w
p'
t
 z
(4)
と表せる。このようにして 1 次の項だけを残すことを線形化という。一方、連
続の式は、
D
 

   u  w 
Dt
z 
 x
と書けるが、海水の密度は一定とみなせるので、


u w0
x
z
と表せる。
24
(5)
(6)
また、境界条件としては、底面( z  0 )では、鉛直速度はゼロだから、
w  0 (z  0)
(7)
が成り立つ。一方、水面付近( z  H )では、水面の高さの偏差に対応した圧力
偏差が生じると考えれば、
p '  gh
(8)
が成り立つ。ただし、g は重力加速度である。両辺のラグランジュ微分をとると、
D
D
p '  g
h
(9)
Dt
Dt
となるが、
D
h  w zH h  w z H
Dt
(10)
を考慮すると、
D
p '  g w z  H
Dt
と表せる。さらに、微小振幅を仮定して、波の振幅が小さいとすれば、2 次の量
である移流項を無視することができて、

p '  gw ( z  H )
(11)
t
が得られる。
4.3 水面波の分散関係
方程式系(3)、(4)、(6)において、(3)を z で、(4)を x で偏微分すると、
 
1  
u
p'
t z
 x z
 
1  
w
p'
t x
 x z
となる。これらの式から p ' を消去すると、

 
 w  u  0
t  x
z 
(12)
が得られる。(12)は x - z 平面内での渦度が時間変化しない、つまり常にゼロであ
ることを示している。(12)を x で偏微分すると、
  2
  
 2 w 
u  0
t  x
x z 
となる。(6)を用いて u を消去すると、
25
  2
2 
 2  2  w  0
t  x
z 
(13)
が得られる。
また、水面での境界条件(11)を x で偏微分すると、
 

p'  g w
t x
x
となる。なお、(11)は z  H でのみ成り立つので、 z で偏微分することはできな
いことに注意する。(3)を用いて p ' を消去すると、

2

ug w
2
t
x
(14)
が得られる。さらに、 x で偏微分すると、

2 
2
u

g
w
t 2 x
x 2
となる。(6)を用いて u を消去すると、
2 
2
w

g
w
t 2 z
x 2
(z  H )
(15)
が得られる。
ここで、東西、時間方向には波型を仮定して、
w  Re wˆ z  expi kx  t 
(16)
とおく。 wˆ は z のみの関数(複素数)であり、 k は東西波数、  は角振動数であ
る。ただし、 k  0 、   0 とする。このとき、(13)は

d2 
 i   k 2  2  wˆ  0
dz 

となるから、
 2 d2 
  k  2  wˆ  0
dz 

(17)
が得られる。
また、水面での境界条件(15)は、
d
 2 wˆ  gk 2 wˆ
dz
(z  H )
26
(18)
となる。
ここで、(17)の解を考える。(17)は wˆ についての定数係数の線形常微分方程式
であり、斉次(同次)形になっている。したがって、この微分方程式の一般解
は、
ˆ  C1e kz  C2 e kz ( C1 、 C 2 は定数)
w
(19)
と書ける。底面( z  0 )での境界条件より、
wˆ z  0  C1  C2  0
C2  C1
(20)
となる。(20)を(19)に代入して、
ˆ  C1 e kz  e kz  2C1 sinh kz 
w
(21)
が得られる。これを水面( z  H )での境界条件(18)に代入すると、
 2 k coshkH   gk 2 sinh kH 
 2  gk tanh kH 
(22)


となる。これが水面波(water wave)の分散関係式である。位相速度 c は、
c

k

g
tanh kH 
k
である。
水面波の分散関係
27
(23)
浅水波
深水波
c  gH
c  g/k
水面波の位相速度
2
まず、波長が水深に比べてじゅうぶんに長い場合、つまり、水深 H が波長
k
に比べてじゅうぶんに浅い場合について、解(22)の性質を検討する。この場合、
kH  1 だから、一般に、
tanh kH   kH
が成り立つ。したがって、分散関係式(22)は
 2  gk 2 H
  gH k
となる。このとき、位相速度 c は、

c   gH
k
(24)
(25)
である。これは、浅水波の分散関係に一致する。
2
次に、波長が水深に比べてじゅうぶんに短い場合、つまり、水深 H が波長
k
に比べてじゅうぶんに深い場合について、解(22)の性質を検討する。この場合、
kH  1 だから、一般に、
tanh kH   1
が成り立つ。したがって、分散関係式(22)は
 2  gk
  gk
28
(26)
となる。このとき、位相速度 c は、

g
(27)
k
k
である。このような波動を深水波(deep-water wave)という。上の図をみると、
水深が波長の 1/2 倍よりも深いとき( kH   のとき)には、ほぼ深水波とみな
せることがわかる。深水波は、浅水波とは異なり、波数によって位相速度が変
化する。このような波動を分散性波動(dispersive wave)という。分散性波動は、
低波数成分と高波数成分とでは進行する速さが異なるので、伝播しながら形が
変わっていく。深水波の場合、高波数(短波長)成分の位相速度が遅くなって
いる。
c

海洋でみられる波浪は水深が浅い場合を除き、深水波とみなせる。波浪は波
長の長い成分のほうが速く伝播するが、これは、深水波の分散関係式によって
説明できる。波浪のうち、長波長の成分が遠方に伝播したものがうねりである。
また、水面に物を投げ入れたときに生じる波紋も深水波に近い。ただし、波紋
のような短波長の水面波においては表面張力(surface tension)の効果も無視で
きないため、分散関係にずれが生じる。
分散関係式の導出にあたって、振幅は小さいと仮定して 2 次の量である移流
項を無視した。現実には、振幅が大きくなると移流項の効果によって波の形が
歪み、三角関数からずれた形になって、波がしらが崩れ始める。波高の上限は、
波長の 7 分の 1 程度であり、この上限を超えると波がしらが崩れるとされてい
る。
4.4
水面波の構造
水面波の構造、つまり流速 u, w と水面の高さの偏差 h との関係を考える。(21)
より、 wˆ を
wˆ  C sinh kz  ( C は定数)
(28)
とおく。さらに、(16)と同様に、 u 、 h についても東西、時間方向に波型を仮定
して、
u  Re uˆ z expikx  t 
(29)
h  Re hˆ expikx  t 
(30)
とおく。 uˆ 、 hˆ は z の関数であることに注意する。このとき、(16)、(28)、(29)
を(6)に代入して、
29

uˆ expikx  t    wˆ expikx  t   0
x
z
ikuˆ expikx  t   kC coshkz expikx  t 
uˆ  iC coshkz 
となる。一方、(10)において、微小振幅を仮定すると、

h  w zH
t
(31)
(32)
と表せる。(16)、(28)、(30)を(32)に代入して、
 ˆ
h exp i kx  t   wˆ z  H  exp i kx  t 
t


 ihˆ expikx  t   C sinh kH expikx  t 
C
hˆ  i sinh kH 

(33)
が得られる。
以上の結果において、 u 、 w 、 h の位相の関係に注目して、水面波の水平構造
を考える。 まず、(31)、(33)より、 uˆ は hˆ の正の定数倍になっていることがわか
る。つまり、水面の高さの偏差 h が極大(極小)になるとき、水平流速 u も極大
(極小)になる。また、 u 、 h は w に比べて位相が  / 2 だけ進んでいる。これは
u 、 h の極大(極小)が w の極大(極小)に比べて 1 / 4 波長だけ  x 方向にずれ
た位置にあって、時間的には 1 / 4 周期だけ遅れていることを示している。
さたに、u 、w 、h の z 依存性に注目して、水面波の鉛直構造を考える。まず、
2
波長が水深に比べてじゅうぶんに長い場合、つまり、水深 H が波長
に比べて
k
じゅうぶんに浅い場合について、(31)、(28)で表される水面波の構造を検討する。
この場合、 kz  kH  1 だから、一般に、
coshkz   1
sinh kz   kz
が成り立つ。したがって、(31)、(28)は
uˆ  iC
wˆ  Ckz
wˆ
 kz  0
uˆ
(34)
となる。つまり、水平流 u に比べて鉛直流 w はじゅうぶんに小さいことがわかる。
30
これは水平方向の往復運動を意味する。この流速場は浅水波の構造に一致する。
2
次に、波長が水深に比べてじゅうぶんに短い場合、つまり、水深 H が波長
k
に比べてじゅうぶんに深い場合について、水面波の構造を検討する。この場合、
kH  1 だから、底面付近( z  0 )を除いて kz  1 である。このとき、一般に、
1
coshkz   e kz
2
sinh kz  
1 kz
e
2
が成り立つ。したがって、(31)、(28)は
1
uˆ  iCe kz
2
wˆ 
1 kz
Ce
2
(35)
wˆ
1
uˆ
となる。つまり、水平流 u と鉛直流 w は、位相が  / 2 だけずれるが、振幅は同程
度であることがわかる。これは円運動を意味する。また、円運動の振幅は、水
面付近で最大であり、水深とともに指数関数的に減少する。実際に、微小振幅
の深水波の場合、水面に浮いている物体は、波の伝播にともなって円運動をす
る。
問 4.1 周期が 6 秒、9 秒、12 秒の深水波について、それぞれの波長と位相速
度を有効数字2けたで求めよ。重力加速度は g  9.81 m/s2 とする。
問 4.2 周期が 6 秒、9 秒、12 秒の水面波について、水深 2 m の場合において、
それぞれの波長と位相速度を有効数字2けたで求めよ。いずれの水面波につい
ても、浅水波であることを仮定してよい。重力加速度は g  9.81 m/s2 とする。
課題 4.1 水深 H がじゅうぶんに深い場所で生じた水面波が、水深の浅い沿岸の
海域に向かって、水面波の分散関係
2
gk
 tanh kH 
[1]
をみたしながら伝播しているとする。 k は波数( k  0 )、  は角振動数、 g は重
力加速度である。伝播の過程で角振動数  は変化しないものとする。
31
①一般に 0  tanh x  1( x  0 )であることを用いて、 k の値の下限 k min を  と g
で表せ。
② k  k min および k   における H の値を求めよ。
dH
dH
③[1]の両辺に k をかけたうえで、 k で微分し、
を求めよ。また、
の符号
dk
dk
(正負)を検討せよ。 k と H 以外は定数であることに注意せよ。
dH
④ k  k min および k   における
の値を求めよ。
2
dk
d H
d 2H
⑤③の解を k で微分し、 2 を求めよ。また、 2 の符号(正負)を検討せよ。
dk
dk
⑥水深 H の変化とともに波数 k はどのように変化するか、概形を図示せよ。横
軸を水深 H 、縦軸を波数 k とする。
周期 12 秒
周期 9 秒
周期 6 秒
水深と水面波の波長との関係
32
補遺 定数係数の線形常微分方程式の解法
たとえば、 x についての関数 y に関して、次のような定数係数の線形常微分方
程式を考える。
y ' '2 y '3 y  9 x
(1)
(1)を解くためには、まず、右辺をゼロとして、
y ' '2 y '3 y  0
(2)
の解を考える。(1)のような形の定数係数の線形常微分方程式のうち、右辺がゼ
ロであるものをとくに斉次(同次)形(homogeneous form)という。ここで、
y  Cex ( C は定数)
(3)
とおいて、斉次方程式(2)に代入すると、
2Cex  2Cex  3Cex  0
(4)
となるから、
 2  2  3  0
である。これを特性方程式(characteristic equation)という。(5)の解は、
  1,3
だから、(2)を満たす y は、
y  C1e x  C2 e 3x
( C1 , C 2 は定数)
(5)
(6)
(7)
である。これを斉次(同次)解(homogeneous solution)という。一方、(1)を満
たす解のひとつとして、
y  3x  2
(8)
を挙げることができる。このような解を特殊解(particular solution)という。(1)
を満たす解は他にもあるが、ここでは例をひとつ挙げれば十分である。線形常
微分方程式の解は斉次解と特殊解との和であるから、(1)の解は、
y  C1e x  C2 e 3x  3x  2 ( C1 , C 2 は定数)
(9)
と表せる。これを一般解(general solution)という。一般に、 n 階常微分方程式
は n 個の任意定数を含む。
特性方程式が複素数解を持つ場合でも同様に考えることができる。たとえば、
y ' ' y  0
(10)
に対して、特性方程式
2  1  0
(11)
  i
(12)
の解は、
だから、(10)を満たす y は、
y  C1eix  C2 e ix
( C1 , C 2 は定数)
である。オイラーの公式
33
(13)
(14)
e ix  cos x  i sin x
に注意して、(13)を書きかえると、
y  C1 cos x  i sin x   C2 cos x  i sin x 
 C1  C2  cos x  i C1  C2  sin x
( C1 ' , C2 ' は定数)
(15)
 C1 ' cos x  C2 ' sin x
と表せる。
また、
y ' '2 y ' y  0
のように特性方程式が重解をもつときは、
y  C1e  x  C2 xe  x ( C1 , C 2 は定数)
が解である。
34
(16)
(17)
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