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2012 年11月 30 日 初版第1刷

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改訂日:2014 年 4 月 18 日
Arduino と MATLAB で制御系設計をはじめよう!
「2012 年11月 30 日 初版第1刷」 改訂表
改訂箇所
頁v
目次
P006
1.4
本文
改 訂 内 容
(旧)
1.5
本書で作成したソースコードについて
(新)
1.5
本書で作成したソースコードと補足情報について
次の文章に書き改めました。
本書執筆時の動作環境を表1.1に示します。MATLAB/Simulink のバージョンについ
て,RoTH を試す場合はR2012a 以降が必要です。また,Student Version での動
作も確認しています。なお,ArduinoIOについては,バージョンアップにともなって
古いバージョンは非公開になるようです。2014 年3 月現在の最新版は4.4 ですが,
問題無く動作することを確認しています。
表1.1 本書執筆時の作動環境
ホストPC のOS
Windows 7 32bit
MATLAB/Simulink のバージョン
R2012a
MATLAB/Simulink のツールボックス Control System Toolbox (必須)
P006
1.5
見出し
P006
本文
1.5
Arduino
Uno R3 またはMega 2560 R3
Arduino IDE のバージョン
Version 1.01
ArduinoIO のバージョン
Version 4.2
(旧)
本書で作成したソースコードについて
(新)
本書で作成したソースコードと補足情報について
次の文章に書き改めました。
本書で作成したMATLAB のm-file やSimulink モデルについては,下記のURL から
ダウンロードできます。また,最新のMATLAB/Simulink での動作状況といった補足
情報も掲載していますので,是非ご参照ください。
http://books.techshare.co.jp/
P006
1.6
本文
次の文章に書き改めました。
本書で製作した実験装置は,街のホビーショップなどで一般的に入手できる部材を
使っています。しかしながら,第5 章で製作するモータ角度制御実験装置において
のみ,角度検出のポテンショメータを取り付けるための専用プレートを使っていま
す。アルミ板等を加工して製作できますが,加工が苦手な方のために,実験キット
を用意しました。詳しくは下記Web サイトをご覧ください。
http://store.techshare.jp/
P023
2.5.1
3行目
P025
2.5.3
4行目
P025
補足欄
(誤)
本書執筆時点のバージョンは4.4です。
(正)
本書執筆時点のバージョンは4.2です。
(旧)
…次のスケッチを開きます。
(新)
…次のスケッチを開きます2。
追加
2
ArduinoIO のバージョンによって異なります。2014年3月現在,最新版
(4.4)ではC:\Arduino\ArduinoIO\pde\adioes\adioes.pde になります。
P026
P026
P026
下から4行目
下から3行目
補足欄
(旧)
…モータシールドに「Adafruit Motor/Stepper/Servo Shield」2が、…
(新)
…モータシールドに「Adafruit Motor/Stepper/Servo Shield」3が、…
(旧)
…そのためのAFMotorライブラリ3を…
(新)
…そのためのAFMotorライブラリ4を…
(旧)
2
http://www.adafruit.com/products/81
3
https://github.com/adafruit/Adafruit-Motor-Shield-library/zipball/master
(新)
3
http://www.adafruit.com/products/81
4
https://github.com/adafruit/Adafruit-Motor-Shield-library/zipball/master
P045
2 行目
(誤)
a.digitalRead(0);
(正)
a.analogRead(0);
P048
P055
補足欄
4.2
7行目
(誤)
現在のバージョン(4.4)では、…
(正)
本書執筆時のバージョン(4.2)では、…
(旧)
また、実態配線図を図4.5に示します。
(新)
また,モータとタコメータにはマブチモータ製FA-130RA-2270を使用しま
した。実体配線図を図4.5に示します。
P056
図 4.3
2SK2231 とモータとの結線に誤りがありました。
(誤)
+5V
IOREF
RESET
3.3V
5V
GND
GND
Vin
A0
A1
A2
A3
A4
A5
AREF
GND
13
12
11
10
9
Arduino
8
7
6
5
4
3
2
1
+4.5V
1.5kΩ
D
G
Motor
S
2SK2231
+5V
FET amplifier
10kΩ
100kΩ
M
1N4001
0.1μF
M
指令値入力用
ポテンショ
0.1μF
1N4001
0.1μF
Low pass filter
(正)
P057
図4.5
2SK2231 とモータとの結線に誤りがありました。
(誤)
(正)
P090
プログラム 4-4
⇒付属のソースコードをご参照下さい。
P097
補足欄
(旧)
下から3行目
専用プレートを含む製作キットが TechShare Store から販売される予定で
す。
(新)
専用プレートを含む実験キットがTechShare Store から販売されていま
す。(http://store.techshare.jp/)
P106
下から 2 行目
P111 プログラム 5-3
P124
P126
9 行目
1行目
(誤)
ζ=1の不足減衰では、…
(正)
ζ= 0.2の不足減衰では、…
⇒付属のソースコードをご参照下さい。
(誤)
これらの式をKP,KIについて…
(正)
これらの式をKP,KDについて…
(旧)
omega_n=10, zeta=0.6に…
(新)
一例として、omega_n=10, zeta=0.6に…
P170
プログラム 6-3
⇒付属のソースコードをご参照下さい。
P175
プログラム 6-4
⇒付属のソースコードをご参照下さい。
P176
プログラム 6-4
⇒付属のソースコードをご参照下さい。
P190
プログラム 7-1
⇒付属のソースコードをご参照下さい。
P199
プログラム 7-2
⇒付属のソースコードをご参照下さい。
P200
プログラム 7-1
⇒付属のソースコードをご参照下さい。
4.6 極指定法による PI ゲイン設計 (p.90)
プログラム 4-4 [velo pi mbd.m]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
%% velo_pi_mbd.m
%% Initialize & load data
close all
clear all
load model_data
%% PI design by pole placement
p1 = input(’p1 = ’);
p2 = p1; % 重根の場合
% p2 = input(’p2 = ’); % p2 も指定する場合
Kp = -((p1+p2)*T + 1)/K;
Ki = p1*p2*T/K;
%% Display PI parameters
disp(’>>> PI parameters <<<’)
fprintf(’Kp = %f\n’,Kp);
fprintf(’Ki = %f\n’,Ki);
%% Open simulink model
open_system(’velo_pi_mbd_sl’);
open_system(’velo_pi_mbd_sl/Output’);
%% Experiment
ts = 1/50;
sim(’velo_pi_mbd_sl’)
%% EOF of velo_pi_mbd.m
■ 5.3.3
ステップ応答実験 (p.111)
プログラム 5-3 [pos id step.m]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
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25
26
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28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
%% pos_id_step.m
%% Initialize
close all
clear all
load sim_param
%% Parameters for identification
r
= 60;
r_cyc = 8;
Kp_id = 0.12;
Ncyc
= 2;
tfinal = r_cyc*Ncyc;
%% ID Experiment
open_system(’pos_id_step_sl’)
open_system(’pos_id_step_sl/Scope’)
sim(’pos_id_step_sl’)
%% Data processing
y = yout.signals(1).values(:,2);
t = yout.time;
NN
N
yy
yf
=
=
=
=
length(y);
r_cyc/ts;
reshape(y(2:NN),N,(NN-1)/N);
yy(1:N/2,2:end); % 最初のデータを除き&前進データのみとする
% 平均化と正規化処理
ym = mean(yf’)’;
y0 = ym(1); yN = ym(end);
ym = (ym-y0)/(yN-y0);
%% Plot figure
t = (0:N/2-1)*ts;
figure(1)
subplot(211)
plot(t,yf), grid
xlabel(’Time [s]’),ylabel(’Output [deg]’)
subplot(212)
plot(t,ym), grid
xlabel(’Time [s]’),ylabel(’Output [deg]’)
%% EOF of pos_id_step.m
■ 6.4.2
I-PD+FF 制御のための Simulink モデル (p.170)
プログラム 6-3 [bb pid rc.m]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
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28
29
30
31
32
33
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35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
%% bb_pid_rc.m
%% Initialize & load data
close all
clear all
load sim_param
%% サーボ 1 度 あたりのアームの傾き
% RC サーボの場合
K_theta_rc = (pi/180)*(1.5/11.5); % [rad/deg]
%% ビーム傾き角 [rad] -> ボール位置 [cm] までの 1/s^2 のゲイン
K_b = (3/5*9.8)*100;
Pb = K_b/s^2;
Pbd = c2d(Pb,ts,’zoh’);
[numbd,denbd] = tfdata(Pbd,’v’);
%% PID パラメータ for Ball 位置制御
omega_n = 1.5;
zeta
= 0.6;
alpha
= 0.5;
p1 = (-zeta + j*sqrt(1-zeta^2))*omega_n;
p2 = (-zeta - j*sqrt(1-zeta^2))*omega_n;
p3 = -alpha;
kp =
ki =
kd =
% kff
kff =
(p1*p2 + p2*p3 + p3*p1)/K_b;
-p1*p2*p3/K_b;
-(p1+p2+p3)/K_b;
= 0;
ki/alpha;
disp(’>>> PID parameters for Ball and Beam <<<’)
fprintf(’kp = %f\n’,kp);
fprintf(’ki = %f\n’,ki);
fprintf(’kd = %f\n’,kd);
fprintf(’kff = %f\n’,kff);
%% Reference for ball position
r1 = 20-5;
r2 = 20+5;
%% LPF カットオフ周波数
wf = 2*pi*2;
%% LPF for ball position sensor
Fc = wf^2/(s^2+2*0.7*wf*s+wf^2);
Fd = c2d(Fc,ts,’tustin’);
[numlpf,denlpf] = tfdata(Fd,’v’);
%% Open simulink model
open_system(’bb_pid_rc_sl’);
open_system(’bb_pid_rc_sl/Ref angle’)
open_system(’bb_pid_rc_sl/Ball position and reference’)
%% EOF of bb_pid_rc.m
■ 6.5.3
実験してみよう (p.175–176)
プログラム 6-4 [bb pid hg.m]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
%% bb_pid_hg.m
%% Initialize & load data
close all
clear all
load sim_param
%% Set identified parameters
K = 300;
T = 0.28;
%% Discrete-time plant model
P = K/(T*s^2 + s);
Pd = c2d(P,ts,’zoh’);
[numpd,denpd] = tfdata(Pd,’v’);
%% PD パラメータ for 自作サーボ
omega_n_hg = 10;
zeta_hg
= 0.65;
p1 = (-zeta_hg + j*sqrt(1-zeta_hg^2))*omega_n_hg;
p2 = (-zeta_hg - j*sqrt(1-zeta_hg^2))*omega_n_hg;
%%
Kp
Kd
Ki
Set PD parameters
= p1*p2*T/K;
= -((p1+p2)*T + 1)/K;
= 0;
%% Display PID parameters
disp(’>>> PID parameters for HG Servo <<<’)
fprintf(’Kp = %f\n’,Kp);
fprintf(’Ki = %f\n’,Ki);
fprintf(’Kd = %f\n’,Kd);
%% サーボ 1 度 あたりのアームの傾き
% 自作サーボの場合
K_theta_hg = (pi/180)*(2.1/15); % [rad/deg]
%% ビーム傾き角 [rad] -> ボール位置 [cm] までの 1/s^2 のゲイン
K_b = (3/5*9.8)*100;
Pb = K_b/s^2;
Pbd = c2d(Pb,ts,’zoh’);
[numbd,denbd] = tfdata(Pbd,’v’);
%% PID パラメータ for Ball 位置制御
omega_n = 1.5;
zeta
= 0.6;
alpha
= 0.5;
p1 = (-zeta + j*sqrt(1-zeta^2))*omega_n;
p2 = (-zeta - j*sqrt(1-zeta^2))*omega_n;
p3 = -alpha;
kp =
ki =
kd =
% kff
kff =
(p1*p2 + p2*p3 + p3*p1)/K_b;
-p1*p2*p3/K_b;
-(p1+p2+p3)/K_b;
= 0;
ki/alpha;
disp(’>>> PID parameters for Ball and Beam <<<’)
fprintf(’kp = %f\n’,kp);
fprintf(’ki = %f\n’,ki);
fprintf(’kd = %f\n’,kd);
fprintf(’kff = %f\n’,kff);
%% Reference for ball position
r1 = 20-5;
r2 = 20+5;
%% LPF カットオフ周波数
wf = 2*pi*5;
%% LPF for ball position sensor
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
Fc = wf^2/(s^2+2*0.7*wf*s+wf^2);
Fd = c2d(Fc,ts,’tustin’);
[numlpf,denlpf] = tfdata(Fd,’v’);
%% Open simulink model
open_system(’bb_pid_hg_sl’);
open_system(’bb_pid_hg_sl/Servo angle’)
open_system(’bb_pid_hg_sl/Ball position and reference’)
%% EOF of bb_pid_hg.m
■ 7.3.2
最適状態フィードバックベクトルの設計 (p.190)
プログラム 7-1 [bb lqr test.m]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
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18
19
20
21
22
23
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25
26
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29
30
31
32
33
34
35
36
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38
39
40
41
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45
46
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51
52
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54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
%% bb_lqr_test.m
%% Initialize & load data
close all
clear all
load sim_param
%% Set identified parameters
K = 300;
T = 0.28;
%% ビーム傾き角 [rad] -> ボール位置 [cm] までの 1/s^2 のゲイン
K_b = (3/5*9.8)*100;
%% サーボ 1 度 あたりのアームの傾き
% 自作サーボの場合
K_theta_hg = (pi/180)*(2.1/15); % [rad/deg]
%% 状態方程式
A = [0 1 0
0
;
0 0 K_b*K_theta_hg 0
;
0 0 0
1
;
0 0 0
-1/T ];
B = [ 0
;
0
;
0
;
K/T ];
C = [ 1 0 0 0 ];
D = 0;
Pbb = ss(A,B,C,D);
%%
Q1
R1
F1
LQ design 1
= diag([100 20 20 1]);
= 10000;
= lqr(Pbb,Q1,R1);
%%
Q2
R2
F2
LQ design 2
= diag([500 20 20 1]);
= 10000;
= lqr(Pbb,Q2,R2);
%% Simulation
t = 0:ts:5;
x0 = [10,0,0,0]’; % Set initial state
% Closed-loop system
Pcl1 = ss(A-B*F1,zeros(4,1),C,D);
Pcl2 = ss(A-B*F2,zeros(4,1),C,D);
% Initial state response
[y1,tt1,X1] = initial(Pcl1,x0,t);
[y2,tt2,X2] = initial(Pcl2,x0,t);
%% Plot figure
figure(1)
subplot(211)
plot(t,X1(:,1:2),t,X2(:,1:2),’--’)
xlabel(’Time [s]’), ylabel(’Ball position and velocity’)
legend(’Design 1 x’,’Design 1 d/dt x’,’Design 2 x’,’Design 2 d/dt x’)
subplot(212)
plot(t,X1(:,3:4),t,X2(:,3:4),’--’)
xlabel(’Time [s]’), ylabel(’Servo angle and angular velocity’)
legend(’Design 1 \phi’,’Design 1 d/dt \phi’,’Design 2 \phi’,’Design 2 d/dt \phi’)
%% EOF of bb_lqr_test.m
■ 7.4.4
実験してみよう (p.198–200)
プログラム 7-2 [bb lqr servo hg.m]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
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38
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40
41
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43
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45
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49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
%% bb_lqr_servo_hg.m
%% Initialize & load data
close all
clear all
load sim_param
%% Set identified parameters
K = 300;
T = 0.28;
%% Discrete-time plant model
P = K/(T*s^2 + s);
Pd = c2d(P,ts,’zoh’);
[numpd,denpd] = tfdata(Pd,’v’);
%% ビーム傾き角 [rad] -> ボール位置 [cm] までの 1/s^2 のゲイン
K_b = (3/5*9.8)*100;
Pb = K_b/s^2;
Pbd = c2d(Pb,ts,’zoh’);
[numbd,denbd] = tfdata(Pbd,’v’);
%% サーボ 1 度 あたりのアームの傾き
% 自作サーボの場合
K_theta_hg = (pi/180)*(2.1/15); % [rad/deg]
%% 状態方程式
A = [0 1 0
0
;
0 0 K_b*K_theta_hg 0
;
0 0 0
1
;
0 0 0
-1/T ];
B = [ 0
;
0
;
0
;
K/T ];
C = [ 1 0 0 0 ];
D = 0;
Pbb = ss(A,B,C,D);
%%
Qe
ru
rv
LQI design
= diag([100 20 20 1]);
= 10000;
= 1000;
% Error system
Abar = [A,
B
;
zeros(1,4), 0 ];
Bbar = [ zeros(4,1) ;
1
];
Pbar = ss(Abar,Bbar,[],[]);
Q
= [ Qe,
zeros(4,1) ;
zeros(1,4), ru
];
Fbar = lqr(Pbar,Q,rv);
E
= [A, B;
C, zeros(1,1) ];
Ftmp = Fbar*inv(E);
F
= Ftmp(:,1:4);
Ki
= Ftmp(:,5);
Faug = [F, -Ki];
%% 閉ループ系の構成とステップ応答
% 拡大システム
Aaug = [ A, zeros(4,1) ;
-C, 0
];
Baug = [ B ;
0 ];
Caug = [ C, 0 ];
Daug = [ 0 ];
Br
= [ zeros(4,1) ;
1
]; % 目標値に対する入力行列
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
% 閉ループシステム
Paug = ss(Aaug-Baug*Faug,Br,Caug,Daug);
% ステップ応答計算
t=0:ts:5;
[y,tt,x] = step(Paug,t);
%% Plot figure
figure(1)
subplot(211)
plot(t,x(:,1:2))
xlabel(’Time [s]’), ylabel(’Ball position and velocity’)
legend(’x’,’d/dt x’)
subplot(212)
plot(t,x(:,3:4))
xlabel(’Time [s]’), ylabel(’Servo angle and angular velocity’)
legend(’\phi’,’d/dt \phi’)
%% Reference for ball position
r1 = 20-5;
r2 = 20+5;
%% LPF カットオフ周波数
wf = 2*pi*5;
%% LPF for ball position sensor
Fc = wf^2/(s^2+2*0.7*wf*s+wf^2);
Fd = c2d(Fc,ts,’tustin’);
[numlpf,denlpf] = tfdata(Fd,’v’);
%% Open simulink model
open_system(’bb_lqr_servo_hg_sl’);
open_system(’bb_lqr_servo_hg_sl/Ball position and motor angle’)
%% EOF of bb_lqr_servo_hg.m
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