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2013年度 線形代数学II(数理)期末試験(溝畑 潔)

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2013 年度 線形代数学 II(数理) 期末試験(溝畑 潔)
1 3 次元空間において次の問いに答えよ.


1

(1) 原点を含む法線ベクトル 
 2  の平面 S の方程式を求めよ.
−1
(2) 点 (4, 5, 2) から平面 S に垂線 l を下ろす. 直線 l の方程式と l と S の交点を求めよ.
(3) 直線 l を含み点 (0, 0, 0) も含む平面の方程式を求めよ.
2
 

¯


x ¯¯



¯
3
V = R として、W =  y ¯ 2x = y = 3z とする.

¯



z ¯
(1)
(2)
(3)
(4)
W が V の部分空間である事を示せ.
W の基底と次元を求めよ.
W の V における直交捕空間を求めよ.
(3) で求めた空間(W の V における直交捕空間)の正規直交基底を 1 組求めよ.


−1 −2 4

3 A =  −2 2 2  とする.
4
2 −1
(1) A の固有値を求めよ.
(2) 直交行列を用いて行列 A を対角化せよ.
4 n 行 n 列の実行列 A の rank が r であり, A2 = A を満たすとする. Rn の線形変換
TA (x) = Ax (x ∈ Rn ) を考える. 次の問いに答えよ.
(1) Ker(TA ) の次元を求めよ.(答えのみは 0 点. 説明せよ)
(2) W = {x ∈ Rn |Ax = x} とする。任意の x ∈ Rn に対して
Ax ∈ W であることを示せ.
(3) x = Ax + x − Ax を用いて Rn = Ker(TA ) ⊕ W を示せ.
(4) A の固有値を λ1 , λ2 , · · · , λ1 , とすると λ1 + λ2 + · · · + λn = tr(A)(対角成分の和)
となることを示せ. (ヒント 固有多項式 gA (t) = |tE − A| の tn−1 の係数)
(5) tr(A) = r を示せ.
5 n 行 m 列の実行列 A の rank が m とする。もし m 行 l 列の実行列 B と C が
AB = AC を満たせば B = C であることを示せ.
1
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