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7 第2講 無理関数と逆関数 数学Ⅲ 【問題 1】 (1) のグラフを用いて, の

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第2講 無理関数と逆関数
【問題 1】
(1) y = -2x のグラフを用いて, y = 6 - 2x のグラフをかけ.
(2)関数 y = 6 - 2x + 2 のグラフをかけ.
{
}
(3) x - 3 ≦ x ≦1 を定義域とするとき,(2)の関数の値域を求めよ.
7
2
数学Ⅲ
【問題 2】
(1)不等式 2 x - 1 ≧ 1 x + 1 を解け.
2
(2)方程式 2 x - 1 = 1 x + k が 2 つの異なる実数解をもつために,実数 k がとる値の範囲を求
2
めよ.
8
【問題 3】
関数 y = x 2 - 4 ( x ≧ 0)
…① , y =
x + 4 ( x ≧ - 4)
…②について,次の問いに答えよ.
(1)①のグラフ上の点を ( a,b) とすれば,点 (b,a ) は②のグラフ上にあることを示せ.また
逆も成り立つことを示せ.
(2)①,②のグラフの交点は直線 y = x 上にあることを証明せよ.
(3)
(2)を用いて①,②のグラフの交点を求めよ.
9
第2講 無理関数と逆関数 解答
数学Ⅲ
【問題 1】
(1) y = -2x のグラフを用いて, y = 6 - 2x のグラフをかけ.
(2)関数 y = 6 - 2x + 2 のグラフをかけ.
{
}
(3) x - 3 ≦ x ≦1 を定義域とするとき,(2)の関数の値域を求めよ.
2
(1) y = -2( x - 3) のグラフは y = -2x のグラフをかき,これを x 軸方向に 3 だけ平行
移動して得られる(太線の曲線の部分).
y
2
-2
O
1
x
3
(2) y = -2( x - 3) + 2
よって, y = -2x のグラフを, x 軸方向に 3, y 軸方向に 2 だけ平行移動して得ら
れる(太線の曲線の部分).
y
4
5
2
-2 - 3
2
(3)上図より関数の値域は { y|4 ≦ y ≦ 5}
10
O1
3
x
【問題 2】
(1)不等式 2 x - 1 ≧ 1 x + 1 を解け.
2
(2)方程式 2 x - 1 = 1 x + k が 2 つの異なる実数解をもつために,実数 k がとる値の範囲を求
2
めよ.
(1) y = 2 x - 1 , y = 1 x + 1 とおき,曲線が直線の上側(交点も含む)にある部分に対す
2
る x の値の範囲を求める.
y
1
O 12
10 x
2 x - 1 = 1 x + 1 より,
2
( x - 2)( x - 10) = 0
\ x = 2, 10
であるから,グラフより,求める x の値の範囲は, 2 ≦ x ≦10
(2)題意を満たす k の最小値は,直線が点 (1, 0) を通るときで, k = - 1
2
次に,2 つのグラフが接するときの k の値を求める.接するのは,与方程式の両辺
を 2 乗して展開整理することから得られる方程式
x 2 + 4( k - 4)x + 4( k2 + 4) = 0
が重解をもつ場合であるから,
D = 4( k - 4)2 - 4( k 2 + 4) = 0 より, k = 3
4
2
よって,求める k の値の範囲は,
-1 ≦k< 3
2
2
11
【問題 3】
関数 y = x 2 - 4 ( x ≧ 0)
…① , y =
x + 4 ( x ≧ - 4)
…②について,次の問いに答えよ.
(1)①のグラフ上の点を ( a,b) とすれば,点 (b,a ) は②のグラフ上にあることを示せ.また
逆も成り立つことを示せ.
(2)①,②のグラフの交点は直線 y = x 上にあることを証明せよ.
(3)
(2)を用いて①,②のグラフの交点を求めよ.
(1) y = x 2 - 4 ( x ≧ 0)
y=
…①
x + 4 ( x ≧ - 4)
…②
点 ( a, b) が①の上にあるとすれば
b = a2- 4
a2 = b + 4
a ≧ 0 より,
a = b+4
(b ≧ - 4)
\ (b, a ) は②の上にある.
(b, a ) が②の上にあるとすれば
a = b+4
a ≧0 ,b≧ - 4
両辺を 2 乗して, b + 4 = a 2
b = a2- 4
( a ≧ 0)
\ ( a, b) は①の上にある.
よって、①,②のグラフの交点は直線 y = x 上に存在する. …終
(1)より (b, a ) も交点となるから
(2)交点を ( a, b) とすると,
b = a2- 4
…③ a = b2 - 4 …④
③-④より (b - a ) = -(b - a )(b + a )
\ a = b または a + b = -1
y = -x - 1 と y = x 2 - 4 ( x ≧ 0) との交点は 1 個であり,その点は②をみたさないから
a + b ¹ -1
\ a =b
\ 交点は y = x 上にある.
(3) y = x 2 - 4 ( x ≧ 0) , y = x より
x 2- x - 4 = 0
x = 1 ± 17 , x ≧ 0 より
2
(1 + 2 17 , 1 + 2 17 )
12
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