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)yi x + cos yi xz+ = y iy cosh cos = yi xz+ = y iiysinh sin = 2sinh sin iz

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2014 年度
複素関数 I
2014/05/12
第 2 回レポート課題
学籍番号:
1.
模範解答
複素関数 cosx  yi  を双曲線関数を用いて表せ。ただし,途中の導出過程も書くこと。
exp iz  expiz 
2
z  x  iy を代入
オイラーの公式を用いて
cos z 
exp y cos x  i sin x   expy conxKi sin x 
2
実部と虚部に分けて
cos z 
exp i x  iy   exp i x  ut 
2
exp y expix   exp y exp ix 

2
cos z 
2.
氏名:
cos z 
exp y  expycos x   exp y  expysin x 
2
cosx  iy   cos x cosh y  i sin x sinh y
複素数 z  x  yi として cosiy  cosh y であることを示せ。
cos, cosh をテーラー展開して
z  iz を cos z に代入すると
1
1
1
cos z  1  z 2  z 4     1 n
z 2n  
2n !
2!
4!
1
1
1
cosh z  1  z 2  z 4   
z 2n  
2n !
2!
4!
cos iz  cosh z
3.
複素数 z  x  yi として sin iy  i sinh y であることを示せ。
sin, sinh をテーラー展開して
1
1
1
sin z  z  z 3  z 5     1n
z 2n 1  
2n  1!
3!
5!
1
1
1
sinh z  z  z 3  z 5   
z 2n 1  
2n  1!
3!
5!
4.
x  0 とする
z  iz を sin z に代入すると
sin iz  i sinh z
x  0 とする
方程式 sin z  i sinh 2 を解け。
sin z  sin x cos iy  cos x sin iy ,
sin iz  i sinh z ,
coniz  cosh z より
sin z  sin x cosh y  i cos x sinh y  i sinh y  i sinh 2
実部と虚部を比べて
 
ln e z
sinh y 
ln e z  ln e x  i y  2n   x  yi  2ni
なので
sinh 2
  1 n sinh 2
cos x
 x  nx  2i

 x  nx  2i
n  0,  2,  4
n  1,  3
の値を求めよ
z  x  yi なので
exp z  expx  yi   exp x expyi 
 

x  n n  0,  1,  2
sin x  0
y   1 n 2
sin x cosh y  0

cos x sinh y  sinh 2
5.

cosh y  1 / 2 e y  e  y  0
n は整数
提出日時:2014 年 5 月 19 日(月) 12:15 (=次回の講義が始まるまで) 提出場所:3A402
2
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