流れ学第２ハンドアウト（４）笠木 P==k~îáÉêJpíçâÉë !"#$%&$'()* 非圧縮性流体を考える（液体，高速でない気体( Ma £ 0.3 )） PKN !"#$ 物質の微小要素の運動と変形（ヘルムホルツの基本定理） (a) 並進 ←質点剛体 (b) 回転連続体 (c) 互いに直交する 3 つの方向の伸縮｝｝ P( x1 , x2 , x3 ) r 単位時間の移動，変形を変位ベクトルで表す． u P¢ r OO¢ = u0： u0 i r 変位ベクトル（ xi の関数） dx r r PP¢ = u ： ui u0 O¢ ｝ O(0, 0, 0) ui を u0 i の周りでテーラー展開すると Ê ∂u ˆ ui = u0 i + Á i ˜ dx j + LL Ë ∂x j ¯ 0 1 Ê ∂u ∂u ˆ 1 Ê ∂u ∂u ˆ = u0 i + Á i - j ˜ dx j + Á i + j ˜ dx j + LL 2 Ë ∂x j ∂xi ¯ 2 Ë ∂x j ∂xi ¯ 0 0 ↑ 並進回転速度歪速度（テンソル）（テンソル） Sij = S ji Wij = -W ji 反対称テンソル対称テンソル（3 つの独立成分）（6 つの独立成分） (＊) 一般に反対称テンソルとあるベクトルは対応関係にある．軸性ベクトル（axial vector or dual) - 1 - (3.1) E N FF !"#$ !"#$ Wij = !"#$%& 1 Ê ∂ui ∂u j ˆ 2 ÁË ∂x j ∂xi ˜¯ ex.) W12 = (3.2) 1 Ê ∂u1 ∂u2 ˆ Á ˜ = -W 21 2 Ë ∂x2 ∂x1 ¯ 1 ところで，Wij = 0 (if i = j ) だから，独立成分は 3 つしかない．あるベクトルを w k として 2 1 Wij = - 2 e ijkw k (3.3) と書ける． Wij dx j = 1 Ê ∂ui ∂u j ˆ 1 1 1 v v dx j = e ijk Ê - w k ˆ dx j = e ijk Ê w j ˆ dxk = Ê w ¥ dx ˆ Á ˜ Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯i 2 Ë ∂x j ∂xi ¯ 2 2 2 (3.4) v 1 v v v 従って，位置ベクトル dx が dx + (w ¥ dx ) に変化する．ベクトルの長さは不変． 2 2 Ê dxv + 1 wv ¥ dxvˆ = dxv ◊ dxv + 2 dxv ◊ wv ¥ dxv + wv ¥ dxv ◊ wv ¥ dxv ( ) ( )( ) ¯ Ë 2 1 r w 2 1 v w は回転角速度 2 r dx r 1 r w ¥ dx 2 r dx の要素をある軸の回りで回転する効果 Wij は xk 周りの角速度一方，w k を渦度(vorticity)という．渦度は速度ベクトルの回転であり， v e1 v v v ∂ v v ∂u w = rot u = — ¥ u = e ijk ei k = ∂x j ∂x1 u1 \ w k = e kji ∂ui ∂u = -e ijk i ∂x j ∂x j v e2 v e3 ∂x 2 ∂x3 ∂ u2 ∂ (3.5) u3 x2 (3.6) ∂u2 ∂u1 ex.) \ w 3 = ∂x - ∂x 1 2 w3 （角速度の 2 倍） x1 - 2 - ∂u ∂u ・u3 = 0 ， 1 = - a ， 2 = a とすると，u1 = - ax2 ，u2 = ax1 は連続式を満たす． ∂x2 ∂x1 v x2 v x1 v u1 u = a x12 + x22 = ar → u1 = u ，u2 = u r r u2 Solid Rotation で角速度は a \ ∂w k ∂ ∂x = ∂x k k 1 Ê ∂u dq ∂u ˆ = a = Á 2 - 1˜ 2 Ë ∂x1 ∂x2 ¯ dt Ê ∂ui ˆ ∂ui ∂ui e = -e ijk = e ikj ∫0 ijk Á ˜ ∂x j ∂xk ∂x j ∂xk ∂x j ¯ Ë (3.7) (*) 交換テンソル e ijk : ベクトルの外積表現に用いられる e ijk Ï 1 (1, 2, 3,1, 2, 3) Ô = Ì-1 (1, 3, 2,1, 3, 2) Ô0 Ó (3.8) ・反対称テンソルの一つ e ijk = -e jik v v v e1 e2 e3 v v v v v A ¥ B = A1 A2 A3 = ( A2 B3 - A3 B2 )e1 + ( A3 B1 - A1 B3 )e2 + ( A1 B2 - A2 B1 )e3 B1 B2 B3 v = e ijk ei Aj Bk v v \ A ¥ B i = e ijk Aj Bk ( ) (3.9) v ・ここで，A = — = ∂ とすると ∂xi v v v ∂B B B — ¥ = rot = e ijk ei k ∂x j v ∂B — ¥ B i = e ijk k : xi 成分 ∂x j ( ) - 3 - (3.10) ex.) y ÏÔu = - ar sin q = - ar y = - ay uq = ar Ì r x ÔÓv = ar cosq = ax w z = a + a = 2 a “強制渦” forced vortex ex.) a Ïu = - a y = - a y ÔÔ rr x 2 + y2 r Ì x Ôv = a 2 ÔÓ x + y2 uq = “自由渦” ∂v ∂u x 2 + y2 - 2 x 2 x 2 + y2 - 2 y2 =a a wz = + =0 2 2 2 2 2 2 ∂x ∂y free vortex x + y x y + ( ) ( ) (注) r = 0 Æ w z = 0 0 ex.) Rankine 渦（竜巻，吸込渦）渦核＜循環 (circulation)＞ G 渦線 dx dy dz = = （各位置での渦度ベクトルに接する） wx wy wz v v GC = Ú us ds = Ú us ◊ ds C C us (3.11) Stokes の積分定理を使う． r 渦管 u v v v v （ Ú (curl u ) ◊ ndA = Ú u ◊ ds ） r A C ds 面A v v v v v v GC = Ú (curl u ) ◊ ndA = Ú (— ¥ u ) ◊ ndA = Ú w ◊ ndA A A - 4 - ｝閉曲線 C (3.12) A w n 法線成分 2 次元とすると y A v v r GC = Ú u ◊ ds = - Ú w z dxdy (3.13) u r C A ds （ w z は反時計回り，G は時計回りを正とする） w x C x 0 流れが渦無しならば，循環は必ずゼロ流線 → 流管（流量）渦線 → 渦管（循環） E O FF ! " # $ % & ' ( " # $ % ) Sij = 1 Ê ∂ui ∂u j ˆ + 2 ÁË ∂x j ∂xi ˜¯ Ê S1 主軸変換を行うと，Á 0 Á Ë0 (3.14) 0 S2 0 トレース Sii = S1 + S2 + S3 = 0ˆ 0 ˜ と対角化できる．S1 ，S2 ，S3 は主値． ˜ S3 ¯ ∂ui ∂xi 辺長 1 の立方体が，1 ( + Si ) に伸縮する．体積 V ¢ = (1 + S1 )(1 + S2 )(1 + S3 ) = 1 + S1 + S2 + S3 + O( S 2 ) + LL V¢ - V = S1 + S2 + S3 : 体積歪み V 非圧縮では S1 + S2 + S3 = ∂ui =0 ∂xi (*) 対称テンソル Sij の主軸変換 Sij u j = lui = lu jd ij より ( ) ( ) Sij - ld ij ui = 0 有意 → det Sij - ld ij = 0 l3 - I l2 + II l - III = 0 対称テンソルの場合，重根を含めて，l は 3 つの実根を持つ． (m) 固有値 l( m ) に対し，固有ベクトル ui が求まる． l( m ) が全て等しい → 等方テンソル - 5 - (**) Sij を ( x, y, z ) で書くと 1 Ê ∂u ∂v ˆ ∂u ， Sxy = Á + ˜ 2 Ë ∂y ∂x ¯ ∂x ∂v 1 Ê ∂v ∂w ˆ ˜ Syy = ， Syz = Á + ∂y 2 Ë ∂z ∂y ¯ Sxx = Szz = 1 Ê ∂w ∂u ˆ ∂w + ˜ ， Szx = ÁË 2 ∂x ∂z ¯ ∂z ・Sxx の歪み Sxx > 0 膨張 Sxx < 0 圧縮・Sxy の歪み ∂u ∂v = const > 0 = const > 0 ∂y ∂x 単純せん断 Ê 0 t 0ˆ Sxy のみがゼロでない Á t 0 0˜ ˜ Á Ë 0 0 0¯ 純粋せん断（45°主軸） ex.) u = Cy ，v = w = 0 ∂ui w k = -e ijk ∂x j i = 1，j = 2 の時のみ値を有する 1 Cdy Æ w x = 0 ，w y = 0 ，w z = - C \ 2 dy 単純せん断＝（純粋せん断）＋（回転） 1 ¨ Cdy 2 - 6 -