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Correction devoir maison n°8

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Correction devoir maison n°8
Exercice 1 : La pièce montée
(5 points)
Heiata et Hiro ont choisi comme gâteau de mariage une pièce
montée composée de trois gâteaux cylindriques superposés,
tous centrés sur l’axe (d) comme l’indique la figure ci-contre :
La figure n’est pas à l’échelle.
Les trois gâteaux cylindriques sont de même hauteur : 10 cm.
! Le plus grand gâteau cylindrique, le n°1, a pour rayon 30 cm.
2
! Le rayon du gâteau n°2 est égal au de celui du gâteau n°1.
3
3
! Le rayon du gâteau n°3 est égal au
de celui du gâteau n°2.
4
1°) Montrer que le rayon du gâteau n°2 est de 20 cm.
€
2
Le rayon du gâteau n°2 est égal au
de celui du
3
€
gâteau
n°1,
soit
gâteau
n°2,
soit
2
× 30 = 2 × (30 : 3) = 2 ×10 = 20
3
Le rayon du gâteau n°2 est 20 cm.
€
€
2°) Calculer le rayon du gâteau n°3.
Le
rayon
du
gâteau
n°3
est
égal
3
4
au
3
× 20 = 3 × (20 : 4) = 3 × 5 = 15
4
Le rayon du gâteau n°3 est 15 cm.
€
de
celui
du
€
3°) Montrer que le volume exact de la pièce montée est égal à 15 250π cm3.
Vpièce = Vcylindre 1 + Vcylindre 2 + Vcylindre 3
2
2
2
Vpièce = π × r1 × h + π × r2 × h + π × r3 × h
Vpièce = π × 30 2 ×10 + π × 20 2 ×10 + π ×15 2 ×10
Vpièce = 9 000 π + 4 000 π + 2 250 π
Vpièce = 15 250 π
Le volume exact de la pièce montée est égal à 15 250π cm3.
€
4°) Quelle fraction du volume total représente le volume du gâteau n°2 ? Donner le
résultat sous forme de fraction irréductible.
V2
4 000 π 250 π ×16 16
=
=
=
Vpièce 15 250 π 250 π × 61 61 Le volume du gâteau n°2 est égal au
€
16
du volume total du gâteau.
61
Exercice 2 : Cross du collège (7 points)
Voici le parcours du cross du collège Auguste
Blanqui schématisé par la figure ci-contre :
1°) Calculer la longueur NT.
Le triangle UNT est rectangle en U, donc
d’après le théorème de Pythagore, on a :
NT 2 = UN 2 + UT 2
Je remplace les longueurs connues par leur valeur.
2
NT 2 = (234 − 90) + (155 − 25)
€
2
NT 2 = 144 2 + 130 2
NT 2 = 20 736 + 16 900
NT 2 = 37 636
NT est un nombre positif, donc NT = 37 636
NT = 194 m
€
€
€
2°) Le départ et l’arrivée de chaque course du cross se trouvent au point B. Calculer la
longueur d’un tour de parcours.
BY + YT + TN + NO + OB = 90 + 25 + 194 + 234 + 155 = 698 m Un tour de parcours a une longueur de 698 m.
3°) Les élèves de 3ème doivent effectuer 4 tours de parcours. Calculer la longueur totale
de leur course.
698 × 4 = 2 792 m La longueur totale de la course des 3èmes est de 2 792 m, soit 2,792 km.
4°) Adrien, le vainqueur de la course des garçons de 3ème a effectué sa course en 10
minutes et 42 secondes.
Calculer sa vitesse moyenne et l’exprimer en m/s. Arrondir au centième près.
On convertit 10 minutes et 42 secondes en secondes :
10 min 42s = 10 × 60 + 42 s = 642s On calcule ensuite la vitesse :
v=
€
€
d 2 792 m
=
≈ 4,35 m/s t
642 s
La vitesse moyenne d’Adrien est d’environ 4,35 m/s.
5°) Si Adrien maintenait sa vitesse moyenne, penses-tu qu’il pourrait battre le champion
Bart Simpson qui a gagné dernièrement les 15 km de la Prom’ Classique à Nice en 55
minutes et 11 secondes ?
Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte
dans l’évaluation.
On convertit 15 kilomètres en mètres et 55 minutes et 11 secondes en secondes :
15 km = 15 000 m
55 min 11 s = 55 × 60 +11 s = 3 311 s
On calcule ensuite la vitesse moyenne de Bart Simpson sur la Prom’ Classique:
v=
€
€
d 15 000 m
=
≈ 4,53 m/s t
3 311 s
La vitesse moyenne de Bart Simpson sur la Prom’ Classique a été d’environ 4,53 m/s.
Si Adrien était capable de maintenir sa vitesse moyenne sur 15 km, il ne battrait pas
Bart Simpson.
Exercice 3 : Le fleuve Amazone
(3 points)
Dans cet exercice, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une trace de la
recherche, elle sera prise en compte dans l’évaluation.
Le fleuve Amazone est celui qui possède le débit moyen le plus important au monde. Il
est d’environ 190 000 m3/s.
En France, un foyer de 3 personnes consomme en moyenne 10 000 L d’eau par mois.
Donner un ordre de grandeur du nombre de ces foyers que pourrait alimenter ce fleuve
en un an.
On convertit les litres en m3 :
10 000 L = 10 m3
Je calcule la consommation moyenne d’un foyer de 3 personnes en un an.
10 ×12 = 120
En un an, un foyer de 3 personnes consomme en moyenne 120 m3.
€
Je cherche le nombre de secondes en une année de 365 jours.
365 × 24 × 3 600 = 31 536 000 s
Il y a 31 536 000 s en une année de 365 jours.
€
Je calcule le débit moyen de l’Amazone en une année de 365 jours.
31 536 000 s ×190 000 m 3 / s = 5 991 840 000 000 m 3
L’Amazone a un débit moyen de 5 991 840 000 m3 par an.
€
Je calcule enfin :
5 991 840 000 000 m 3
≈ 50 000 000 000 foyers
120 m 3 / foyer
Le fleuve Amazone pourrait alimenter environ 50 millions de foyer par an.
€
Exercice 4 : Deux programmes de calcul
(5 points)
On propose deux programmes de calcul :
Programme A
Programme B
• Choisir un nombre.
• Ajouter 5.
• Calculer le carré du résultat obtenu. • Choisir un nombre.
• Soustraire 7.
• Calculer le carré du résultat obtenu. 1°) On choisit 5 comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme B ?
• Choisir un nombre :
• Soustraire 7 :
• Calculer le carré du résultat obtenu :
Le résultat avec le programme B est 4.
5
5 – 7 = -2
(-2)2 = 4 2°) On choisit -2 comme nombre de départ. Quel est le résultat avec le programme A ?
• Choisir un nombre :
• Ajouter 5 :
• Calculer le carré du résultat obtenu :
Le résultat avec le programme A est 9.
-2
-2 + 5 = 3
32 = 9
3°) a) Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat du programme A soit 0 ?
On cherche x telle que :
2
( x + 5) = 0
Si a2 = 0, alors a = 0.
€
€
Soit
€ x+5=0
x = −5
Il faut choisir -5 pour que le résultat du programme A soit 0.
b) Quel nombre faut-il choisir pour que le résultat du programme B soit 9 ?
On cherche x telle que :
2
( x − 7) = 9
2
( x − 7) − 9 = 0
€ 2
( x − 7) − 3 2 = 0
[( x − 7) + 3][( x − 7) − 3] = 0
( x − 7 + 3)( x − 7 − 3) = 0
( x − 4 )( x −10) = 0
Si ab = 0, alors a = 0 ou b = 0.
Soit x − 4 = 0
Soit x −10 = 0
x=4
x = 10
S = {4;10}
Il faut choisir 4 ou 10 pour que le résultat du programme B soit 9.
€
4°) Quel nombre doit-on choisir pour obtenir le même résultat avec les deux
programmes ?
On cherche
x telle que :
2
( x + 5) = ( x − 7)
2
2
2
( x + 5) − ( x − 7) = 0
€
[( x + 5) + ( x − 7)][( x + 5) − ( x − 7)] = 0
( x + 5 + x − 7)( x + 5 − x + 7) = 0
(2x − 2) ×12 = 0
Si ab = 0, alors a = 0 ou b = 0.
Soit 2x − 2 = 0
2x − 2 + 2 = 0 + 2
2x = 2
2x 2
=
2 2
x =1
S = {1}
Il faut choisir 1 pour obtenir le même résultat à partir des deux programmes.
€
Attention, le barème est indicatif et pourra être modifié.
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