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Corrigé 8 - Alg Geo Epfl

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`bre I
Cours d’Alge
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 3
10 novembre 2014
Corrig´
e8
Exercice 1.
Soit p un nombre premier. Soit G un groupe d’ordre p. Montrer que G est
cyclique.
Solution.
Soit g ∈ G avec g 6= 1G . D’apr`es le th´eor`eme de Lagrange, l’ordre de g divise
#G = p qui est premier. L’ordre g est donc 1 ou p. Or g 6= 1G donc l’ordre de g
est au moins 2. Ce n’est possible que si l’ordre de g est p. Par cons´equent, on a
#hgi = #G. Comme hgi ⊂ G, on en d´eduit que G = hgi.
Exercice 2. (Les r´
esultats de cet exercice sont `
a retenir).
Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. On appelle normalisateur de H
dans G et on note NG (H) l’ensemble
NG (H) := g ∈ G : gHg −1 = H .
(1) Montrer que NG (H) est un sous-groupe de G.
(2) Montrer que H est normal dans NG (H).
(3) Plus g´en´eralement, soit K un sous-groupe de G contenant H. Montrer
que H est normal dans K si et seulement si K ⊂ NG (H).
Solution.
(1) On remarque que NG (H) est non vide (il contient 1G ). Soit g1 , g2 ∈
NG (H). Comme
(g1 g2 ) H (g1 g2 )−1 = g1 g2 Hg2−1 g1−1 = g1 Hg1−1 = H,
on a g1 g2 ∈ NG (H). De plus, on a g1 Hg1−1 = H, et donc
−1
H = g1−1 g1 H g1−1 g1
= g1−1 g1 Hg1−1 g1 = g1−1 Hg1 .
On a donc g1−1 ∈ NG (H). Ainsi, NG (H) est bien un sous-groupe de G.
(2) Par d´efinition, H est normal dans NG (H) si et seulement si gHg −1 = H
pour tout g ∈ NG (H). Or par d´efinition de NG (H), on a gHg −1 = H si et
seulement si g ∈ NG (H). Le sous-groupe H est donc normal dans NG (H).
(3) Supposons K ⊂ NG (H). Si g ∈ K alors on a g ∈ NG (H). Par d´efinition
de NG (H), on a donc gHg −1 = H. Par suite, H est bien normal dans K.
Supposons maintenant H normal dans K. Alors gHg −1 = H pour tout
g ∈ K. On a donc bien g ∈ NG (H) pour tout g ∈ K.
2
Exercice 3.
Soient
A=
√
1/2
−
3/2
√
3/2
1/2
et
B=
−1 0
0 1
.
Soient H = hAi et K = hBi les sous-groupes de GL2 (R) engendr´es par A et B.
(1) Montrer que K ⊂ NGL2 (R) (H).
(2) Montrer que HK est un sous-groupe de GL2 (R) et que H est un sousgroupe normal de HK.
(3) Montrer que HK/H est isomorphe a` Z/2Z.
Solution.
(1) Comme K = {I2 , B}, il suffit de montrer que BHB −1 = H. Comme H est
cyclique et engendr´e par A, il suffit de montrer pour tout i ∈ Z l’existence
i
d’un ji ∈ Z tel que BAi B −1 = Aji . Or BAi B −1 = (BAB −1 ) , donc il suffit
de montrer l’existence de k ∈ Z tel que BAB −1 = Ak . On a
√
−1
−1 0
1/2
−
3/2
−1
0
−1
√
BAB
=
0 1
0 1
1/2
√ 3/2
3/2
1/2
√
=
− 3/2 1/2
√
−1
1/2 − 3/2
√
=
.
3/2
1/2
On a donc bien K ⊂ NGL2 (R) (H).
(2) Comme K ⊂ NGL2 (R) (H), on sait par une proposition du cours que HK
est un sous-groupe de GL2 (R) et que H est un sous-groupe normal de
HK.
(3) Comme A et B ne commutent pas, on sait que B ∈
/ hAi et donc que
H ∩ K = {I2 }. Comme H est un sous-groupe normal de HK, on sait
par le deuxi`eme th´eor`eme d’isomorphisme que HK/H est isomorphe `a
K/(H ∩ K) = K. Or K est cyclique d’ordre 2, donc HK/H ' K est
isomorphe `a Z/2Z.
Exercice 4.
Soient G un groupe, et H un sous-groupe normal de G.
(1) Soient x, y ∈ G d’ordres finis. Montrer que x et yxy −1 ont mˆeme ordre.
(2) Soient x, y, z ∈ G tels que
x9 ∈ H,
y 11 ∈ H,
Montrer que x ∈ H et y ∈ H.
yzxz −1 ∈ H.
3
Solution.
i
(1) Il suffit de remarquer que pour tout entier i on a (yxy −1 ) = yxi y −1 , et que
pour tout entier i on a yxi y −1 = 1G si et seulement si xi = y −1 1G y = 1G .
(2) Comme H est normal dans G, l’application
G/H × G/H → G/H, (aH, bH) 7→ (ab)H
est bien d´efinie et est une loi de groupe sur G/H. De plus, si a ∈ G, alors
on a a ∈ H si et seulement si aH = H = 1G/H . Les hypoth`eses de l’´enonc´e
se reformulent donc sous la forme
(xH)9 = x9 H = 1G/H ,
(1)
(yH)11 = y 11 H = 1G/H ,
(2)
−1
(yH)(zH)(xH)(zH) = 1G/H .
D’apr`es la derni`ere ´egalit´e, on a (yH) = (zH)(xH)−1 (zH)−1 . En particulier, d’apr`es la question pr´ec´edente, yH et (xH)−1 ont mˆeme ordre. Par
suite, yH et xH ont mˆeme ordre (car xH et (xH)−1 ont mˆeme ordre).
Or, d’apr`es (1) et (2), l’ordre de xH divise 9 et l’ordre de yH divise 11.
L’ordre de xH et de yH divise donc 9 et 11. Comme (9, 11) = 1, on en
d´eduit que xH et yH sont d’ordre 1, c’est-`a-dire que xH = 1G/H = H et
yH = 1G/H = H. On a donc x ∈ H et y ∈ H.
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