Skymions q-BPS
Facteurs de forme électromagnétiques
Mémoire
Marc-Olivier Beaudoin
Maîtrise en physique
Maître ès sciences (M.Sc.)
Québec, Canada
c Marc-Olivier Beaudoin, 2013
Résumé
La recherche d’une théorie décrivant les états de hadrons à basse énergie est primordial pour
la compréhension complète de la chromodynamique quantique. Dans ce domaine, les théories
de Skyrme sont encore reconnues comme d’excellentes candidates. Existant depuis plus de
soixante ans, plusieurs extensions ont été proposées et une d’entre elles fera l’objet de ce
mémoire : l’extension quasi-BPS (Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfield). L’énergie classique des
configurations de ce modèle BPS est près de saturer une certaine borne qui assure que les
états de la théorie ne seront presque pas liés, ce qui se rapproche grandement de l’observation
expérimentale. La possibilité de réintroduire une énergie de liaison par l’ajout de perturbations
ainsi que diverses contributions énergétiques ressortant de la quantification des états sera
examinée. Nous verrons que cette approche est prometteuse, puisqu’elle permet d’obtenir des
prédictions convaincantes sur la majorité des caractéristiques des noyaux atomiques.
iii
Remerciements
L’écriture de ce mémoire n’aurait pu être possible sans l’aide de plusieurs personnes. J’aimerais
tout d’abord exprimer ma gratitude à mon directeur de maîtrise, le professeur Luc Marleau,
pour m’avoir soutenu tout au long de ce projet et pour m’avoir donné la chance de poursuivre
mes études en physique théorique. J’aimerais aussi remercier les anciens et les nouveaux
étudiants du groupe de physique théorique, Éric, Louis, Ludovic, Nicolas et Olivier, pour
leurs suggestions, leur aide et leur entrain. Sans eux, mon passage n’aurait pas été aussi
enrichissant. Finalement, je dois un remerciement particulier à mes parents et ma conjointe
pour leur soutien inconditionnel.
v
Table des matières
Résumé
iii
Remerciements
v
Liste des tableaux
ix
Table des figures
xi
Introduction
1
1 Solitons
5
1.1
1.2
1.3
Modèle de sine-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.1
Introduction aux solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.2
Modèle de sine-Gordon
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.3
Courant topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Généralisation aux dimensions supérieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1
Théorème de Derrick-Hobart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2
Vers les 3+1 dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Modèle sigma non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1
Symétrie chirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2
Modèle sigma non-linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Modèle de Skyrme
2.1
17
Idée et modèle de Skyrme original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1
Introduction du lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2
Courant topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3
Solution du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2
Quantification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3
Extensions du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1
Terme de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2
Termes d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
vii
3 Skyrmions q-BPS
3.1
3.2
3.3
33
Modèle BPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.1
Lagrangien et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.2
Borne BPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.3
Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.4
Compacton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Modèle q-BPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.1
Quantification et rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2
Contribution électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2.3
Modèle q-BPS et solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Prédictions du modèle q-BPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1
Considérations préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.2
Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Conclusion
57
A Courant électromagnétique
59
˜
A.1 Calcul de L0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A.2 Calcul de la contribution GSM,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A.3 Calcul de la contribution GVM,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
viii
Liste des tableaux
2.1
Énergie totale, énergie de liaison et la valeur r.m.s. du rayon des cinq
configurations obtenues numériquement par Braaten, Townsend et Carson. . . . 24
2.2
Polynômes associés à la symétrie des Skyrmions pour quelques valeurs de n
obtenues par Houghton, Manton et Sutcliffe [28]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1
Valeurs des paramètres pour une optimisation globale de la fonction Fopt . . . . 52
3.2
Masses calculées et expérimentales pour divers noyaux dans le modèle q-BPS. . 53
3.3
Séparation de la variance autour du fer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4
Moments magnétiques de quelques configurations avec les éléments de matrice
correspondants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5
Valeurs des paramètres pour les fonctions F2010 et F2012 . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6
Quantités caractéristiques pour les fonctions F2010 , F2012 et F2013 .
. . . . . . . 56
ix
Table des figures
1.1
Solution de type kink interpolant entre 0 et 2π. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Densité d’énergie en fonction de x du lagrangien de sine-Gordon. . . . . . . . .
8
1.3
Potentiel en fonction de φ avec un kink. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Position du champ φ selon x projeté sur l’espace interne des champs. . . . . . .
9
2.1
Solution hérisson dans l’espace R3 . La sphère des champs πi s’y retrouve ainsi
que l’orientation du vecteur φj . La figure est tirée de [26]. . . . . . . . . . . . . 20
2.2
Solution asymptotique de Skyrme pour a = π et solution numérique de Liu
pour le modèle de Skyrme original dans le secteur n = 1. . . . . . . . . . . . . . 22
2.3
Solutions numériques du modèle de Skyrme original telles qu’obtenues par
Braaten, Townsend et Carson dans [17]. La configuration B = 1 a un rayon
de 1.1 fm, les autres solutions sont à l’échelle par rapport à celle-ci. La
configuration fautive B = 6 a été retirée de l’image par l’auteur. . . . . . . . . 23
3.1
Solution de type compacte √
dans le modèle de Skyrme purement BPS en fonction
de la variable r avec x →
3.2
2µ 3
3nλ r .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Densité baryonique normalisée pour n = 1 dans le modèle de Skyrme purement
BPS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3
Quelques solutions du système décrit par (3.91), y compris celle du groupe
d’Adam et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4
Densités baryoniques associées aux fonctions (3.92) à (3.95) . . . . . . . . . . . 49
3.5
Densités baryoniques associées aux fonctions F2012 et F2013 pour des valeurs
d’enroulement de n = 1, 8, 27, 64. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.6
Énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de nucléons avec le groupe
I. La courbe en bleu représente la théorie et les points représentent les données. 53
3.7
Énergie de Coulomb pour les bosons considérés dans l’optimisation avec les
paramètres du groupe I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
xi
Introduction
Tony Hilton Roye Skyrme est un physicien anglais qui a gradué à Cambridge, en Angleterre,
en 1943. Après un bref passage aux États-Unis, notamment afin d’y travailler sur le projet
Manhattan, il retourne à sa terre natale en 1950 où il commence des travaux en physique
atomique et nucléaire [42]. Par la publication de quelques articles sur les fluides mésoniques
vers les années 1954, où il traite avec des techniques novatrices des objets non-ponctuels,
il attire l’attention des physiciens du domaine. Comme il le dit lui-même, Skyrme n’a
jamais apprécié la description ponctuelle des particules [45] et surtout l’utilisation de la
renormalisation pour éviter les divergences que cela implique. Selon lui, la description des
particules passe par une théorie non-linéaire, laquelle admet généralement des solutions
étendues dans l’espace. Sur ce point, Skyrme rejoint bien Heisenberg qui, en 1953 [19],
travaille sur sa théorie unifiée des champs. Par contre, ces deux physiciens sont profondément
en désaccord sur la question des fermions. Comme ses travaux le démontrent, Heisenberg
est plutôt partisan de ceux-ci, objets qu’il considère comme fondamentaux dans une théorie
quantique. Skyrme, lui, est certain qu’ils ne sont qu’une construction mathématique utile
dans certaines situations, mais sans aucun lien avec la réalité tangible. Il est d’ailleurs
possible d’apprécier le genre de raisonnement qui l’a poussé à formuler une théorie bosonique
de la matière nucléaire avec cette citation personnelle : « [...] it would be fun to see if I could
get everything out of self-interacting boson field theory [...] »[45], soit complètement l’opposé
de son homologue allemand...
Que ce soit par compétition ou par conviction, Skyrme décide de continuer sur son
propre chemin. Comme beaucoup de physiciens et de mathématiciens des siècles précédents,
Skyrme croit que tout phénomène doit avoir une contrepartie classique. Il n’est pas
parfaitement convaincu par des théories comme la mécanique quantique, qui peinent à
rejoindre la physique plus classique dans certains domaines. Étonnamment, la théorie que
Skyrme a construite s’apparente en quelque sorte à la théorie des vortex de Sir William
Thomson (Lord Kelvin) [49]. Ce dernier a émis l’hypothèse que les atomes ne sont pas
des particules ponctuelles, mais de petits vortex baignant dans un fluide, l’éther. Le
rapprochement entre les théories s’intensifie lorsque Thomson justifie la stabilité de ces
vortex par la connectivité de l’espace physique. Une certaine ressemblance avec le concept de
soliton topologique peut être reconnue et ce concept constitue la base de la théorie de Skyrme.
1
En fait, Skyrme propose un modèle fondé sur des mésons, les pions, comme théorie
efficace de l’interaction forte à basse énergie. Dans le premier chapitre, il sera vu que le
modèle sigma non-linéaire constitue une base particulièrement bien adaptée à la physique
des pions. En effet, lorsque la brisure de symétrie chirale est appliquée sur un modèle sigma,
trois bosons avec masse apparaissent dans la théorie. Ils sont généralement associés aux
trois champs du pion, π + , π − et π 0 . Les noyaux atomiques y naissent à partir des solitons,
enroulement des champs autour de l’espace, et leur interaction est décrite par l’échange
de pions. Skyrme suggère d’associer la quantité topologiquement conservée par ces solitons
au nombre baryonique, soit l’équivalent du nombre de masse des noyaux atomiques qui se
retrouve dans la physique nucléaire. Le pion est d’ailleurs un très bon candidat comme boson
de l’interaction forte résiduelle, puisqu’il possède une courte portée lorsqu’on lui confère
une masse. Dans sa formulation originale, Skyrme obtient des prédictions sur les propriétés
du nucléon avec une précision d’environ 30%, ce qui est acceptable pour un modèle à deux
paramètres.
Quelques années après sa création, le modèle Skyrme est par contre éclipsé en grande
partie par l’avènement de la chromodynamique quantique (CDQ). Toutefois, malgré les
attentes et les perspectives liées à cette théorie, elle est rapidement confrontée à des problèmes
de taille, tels que l’explication du confinement et de la brisure de symétrie chirale, la taille
incroyable des calculs à effectuer pour obtenir des prédictions et, particulièrement, le régime
à basse énergie des états liés de hadrons, constituant à lui seul un cas singulier de la théorie.
Tous ces problèmes ont poussé les théoriciens à trouver une approximation efficace de la
CDQ. C’est vers la fin des années 70, après les travaux de ’t Hooft [48] et de Witten [51],
que la théorie de Skyrme reprend son envol. En effet, ’t Hooft propose de faire tendre
le nombre de couleurs des quarks vers l’infini et d’espérer rejoindre qualitativement et si
possible quantitativement la CDQ à trois couleurs. Cela permet, entre autres, de faire un
développement en puissance avec le nombre de couleurs comme paramètre perturbatif, ce
qui simplifie grandement la théorie. Witten pousse ensuite l’idée en prouvant que lorsque la
chromodynamique quantique possède un nombre de couleurs tendant vers l’infini, elle est
équivalente à une théorie efficace de mésons.
Il s’ensuit une étude détaillée du modèle de Skyrme original, qui rencontre malheureusement
d’autres problèmes surtout liés à la non-intégrabilité des équations. Cette caractéristique est
typique des modèles solitoniques, qui sont rarement exactement solubles en trois dimensions.
Dans ce mémoire, une extension particulière de la théorie qui permet un traitement analytique
complet de cette dernière sera analysée en profondeur. Cette stratégie a été établie par
un groupe de recherche qui tentait de mettre au point un modèle saturant la borne BPS
(Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfield). Cette borne implique une inégalité sur l’énergie minimale
2
liée à une équation différentielle particulière. Pour des raisons qui seront détaillées un peu
plus tard, la solution doit posséder une topologie non-triviale. Elle est conséquemment bien
adaptée aux équations menant à des solitons topologiques.
Dans les théories de Skyrme, un modèle qui possède l’énergie exacte de la borne BPS
décrit des objets n’étant pas liés entre eux. Ce type de modèle est un bon point de départ
pour une description baryonique, puisque les noyaux des atomes possèdent une énergie de
liaison d’environ 1% par rapport à leur énergie de masse. Le plan est donc de perturber la
solution près de la borne pour créer cette faible interaction qui lie les noyaux. Cela permet,
d’une part, de garder l’analycité des équations de la théorie et, d’autre part, de produire
une description de la physique atomique digne d’intérêt. Une autre propriété intéressante
qui sera désirable d’exploiter est la possibilité de décrire l’ensemble des noyaux avec une
seule hypothèse de solution. Dans ces premières ébauches, les solutions solitoniques originales
enroulaient l’espace de façon radiale. Si une hypothèse de variables séparables est admise,
cela implique un seul enroulement angulaire et un recouvrement radial multiple selon la
configuration étudiée. Le problème majeur de cette approche est que les équations de champs
doivent être solutionnées de façon répétitive pour chaque nouvel état qui se complexifie
plus le nombre baryonique augmente. L’approche du modèle quasi-BPS (q-BPS) propose
d’inverser les rôles et de laisser la partie angulaire de la solution enrouler l’espace de façon
très simple. Les conséquences sont qu’une seule solution est nécessaire et que la symétrie du
problème devient axiale.
Dans le premier chapitre, les notions de base des solitons seront abordées. Il sera vu
en détail comment générer des solutions à topologie non-triviale dans un cas particulier
à 1+1 dimensions. Une généralisation aux dimensions supérieures sera présentée pour se
rapprocher de notre but qui est d’obtenir une description réaliste de l’interaction forte à basse
énergie. Cela se fera majoritairement par l’introduction du modèle sigma non-linéaire, pierre
angulaire du modèle de Skyrme. Une analyse de la stabilité des solitons sera présentée ainsi
qu’une revue d’une propriété liée à l’interaction forte, la symétrie chirale. Dans le second
chapitre, le modèle de Skyrme original sera étudié dans plusieurs de ses aspects. L’hypothèse
primordiale de ce modèle consiste à ajouter un terme lagrangien spécial pour stabiliser la
solution du modèle sigma non-linéaire. Ces deux termes combinés constituent la forme la plus
simple d’une théorie de pions de type Skyrme. Les trois approches principales menant à des
solutions seront étudiées brièvement : la solution asymptotique, l’application rationnelle ainsi
que la solution numérique. Dans le but de décrire la matière nucléaire, la théorie sera ensuite
quantifiée pour obtenir des états de spin et d’isospin. Malgré tout, ce modèle ne parvient
pas à décrire de façon satisfaisante cette matière. C’est pour cette raison que des extensions
qui tentent d’améliorer les diverses prédictions seront introduites, comme l’ajout d’un terme
d’ordre supérieur et d’un potentiel dans le lagrangien. Finalement, le dernier chapitre sera
3
consacré au modèle q-BPS, une extension unique de la théorie originale. Contrairement
au modèle BPS sur lequel il se base, q-BPS décrit des états qui possèdent une énergie de
liaison, puisque, entre autres, certains termes perturbatifs sont ajoutés au lagrangien. Aussi,
une caractérisation de l’interaction électromagnétique des configurations chargées du modèle
sera présentée par le biais des facteurs de forme. Vers la fin du chapitre, les simulations
numériques ainsi que les nombreuses prédictions liées au modèle seront détaillées.
4
Chapitre 1
Solitons
Le concept de soliton est une notion fondamentale au sein de la théorie de Skyrme. Afin
de bien cerner les diverses caractéristiques de ces solutions, l’étude du modèle sine-Gordon
fera l’objet de la première section. Ce dernier est représenté par une équation dans un
espace à 1+1 dimensions qui se solutionne analytiquement. Cette dernière particularité est
partagée par un nombre assez restreint d’équations non-linéaires, notamment l’équation
Korteweg-De Vries (KdV), mais ne l’est pas par le modèle de Skyrme. L’existence d’une telle
solution permet un approfondissement de la notion de soliton tout en gardant la simplicité
et l’élégance du traitement analytique.
Après cette introduction aux solitons, une généralisation naturelle du concept aux
dimensions supérieures sera abordée. De plus, le théorème de Derrick-Hobart permettra de
tester la stabilité des solutions solitons en fonction du nombre de dimensions d’espace-temps.
Finalement, la revue du modèle non-linéaire sigma et de la symétrie chirale, qui est nécessaire
à la compréhension du lagrangien, nous préparera à entrer au cœur de ce mémoire.
1.1
1.1.1
Modèle de sine-Gordon
Introduction aux solitons
Les phénomènes naturels sont en grande partie modélisés par des équations non-linéaires.
En fait, la mécanique quantique est l’une des seules exceptions notables à cet énoncé. Cela
entraîne une difficulté majeure, soit que de tels systèmes sont la plupart du temps difficiles à
solutionner directement. Des méthodes alternatives peuvent être avancées, comme le calcul
perturbatif, le calcul numérique ou l’approximation linéaire, si l’importance de la non-linéarité
du phénomène est assez faible. Les difficultés mentionnées surviennent majoritairement parce
qu’il est impossible de se servir du principe de superposition pour trouver des solutions
analytiques aux équations qui les régissent.
5
Parfois, il arrive que l’effet dispersif d’une équation non-linéaire soit contrebalancé
parfaitement par un effet stabilisateur au sein même de cette équation. Dans ce cas, il est
possible de se retrouver face à des solutions dites solitoniques. Ces solutions sont caractérisées
par trois propriétés indispensables [22] :
• Elles possèdent une forme permanente ;
• Elles sont localisées dans une région de l’espace ;
• Elles restent inchangées à la suite d’une collision avec d’autres solitons.
Il se trouve que ces trois propriétés sont aussi partagées par les particules ponctuelles. L’idée
de les associer est donc tentante, d’autant plus que les particules occuperaient un volume
non-nul issu de l’équation elle-même. Le type d’équation dans lequel peut se retrouver des
solitons peut être décrit de façon plus rigoureuse. Voici deux mécanismes différents pouvant
en générer [10], ils ne constituent pas une liste exhaustive, mais englobent les cas les plus
simples et probables :
• L’intégrabilité complète (e.g. l’équation KdV) ;
• La présence d’une contrainte topologique (e.g. l’équation sine-Gordon).
La première méthode consiste à considérer les équations non-linéaires comme une série de
systèmes hamiltoniens de dimension infinie. Vers la fin des années 1960, l’étude de ces systèmes
a mené à de nouvelles techniques d’intégration qui généralisent la linéarisation locale et qui
permettent de relier l’intégrabilité d’une équation aux solitons. La deuxième méthode, celle
qui nous intéresse, fera l’objet de la prochaine section. Elle permet d’introduire le type de
solitons qui ressort des théories de Skyrme.
1.1.2
Modèle de sine-Gordon
Le modèle sine-Gordon est l’un des plus simples systèmes menant à des solitons topologiques.
Il se fonde sur une légère variante de l’équation de Klein-Gordon, qui est définie comme suit
selon [41],
∂ µ ∂µ + m2 φ = 0,
(1.1)
où φ est un champ à valeur réelle dépendant de la position et du temps, et m un simple
paramètre. La densité lagrangienne permettant d’obtenir cette équation est
1
1
L = (∂µ φ)2 − m2 φ2 .
2
2
(1.2)
Pour obtenir l’équation sine-Gordon, le lagrangien doit être légèrement modifié de façon
à retrouver un terme en sinus plutôt que linéaire en φ après la résolution des équations
d’Euler-Lagrange. Une façon d’y arriver est d’introduire deux champs scalaires θ1 et θ2 soumis
à la contrainte suivante
θ12 + θ22 = a2 .
6
(1.3)
Une paramétrisation possible des deux champs qui la respecte est
θ1 = a cos φ,
(1.4)
θ2 = a sin φ,
(1.5)
où le champ φ représente maintenant l’angle sur un cercle de rayon a. Considérons la densité
lagrangienne comprenant les deux champs ainsi qu’un couplage simple entre ceux-ci
1
1
L = (∂µ θ1 )2 + (∂µ θ2 )2 + 2λθ12 θ22 .
2
2
(1.6)
En substituant la paramétrisation (1.4) et (1.5) dans l’équation (1.6), elle devient
L=
a2
(∂µ φ)2 + λa2 (1 − cos φ).
2
(1.7)
En appliquant les équations d’Euler-Lagrange, l’équation sine-Gordon est retrouvée
φtt − φxx + λ sin φ = 0,
(1.8)
où le rayon a est posé égal à un dans le but de simplifier l’équation. Notons au passage
que l’équation (1.8) se réduit à l’équation (1.1) si le champ φ varie seulement à de faibles
amplitudes. Une vérification permet de voir que
φ(x) = 4 arctan e±mx
(1.9)
est bel et bien solution de l’équation (1.8). La solution statique, qui représente un soliton, a été
choisie plutôt que celle dépendante du temps, qui est associée à un instanton. La solution avec
l’argument de signe positif se nomme un kink et celle de signe négatif un antikink. La figure 1.1
montre qu’un kink interpole entre deux minima du potentiel, φ(−∞) = 0 et φ(+∞) = 2π, ce
qui a une incidence importante pour la suite des choses.
Figure 1.1 – Solution de type kink interpolant entre 0 et 2π.
2.0
Φ @ΠD
1.5
1.0
0.5
0.0
-4
-2
0
x
2
4
7
Vérifions à présent que nous sommes bien en présence d’une solution solitonique. Reprenons
le lagrangien (1.7) et changeons le signe du potentiel pour obtenir l’expression de la densité
d’énergie statique. En insérant la solution (1.9) dans cette nouvelle équation, elle se réduit à
E(x) = sech(mx) (m + 2λ sech(mx)) .
(1.10)
Une représentation graphique (voir figure 1.2), avec m = 1 et λ = 1, permet de mieux apprécier
la distribution spatiale.
Figure 1.2 – Densité d’énergie en fonction de x du lagrangien de sine-Gordon.
3.0
2.5
Énergie
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-4
-2
0
x
2
4
En plus du fait que l’indépendance temporelle empêche le soliton de se dissiper, une
localisation de l’énergie de la solution est observée dans une région précise de l’espace ;
un soliton est bel et bien décrit. Éclaircissons maintenant le côté topologique de cette
solution. Ce dernier est dû à la présence d’un potentiel qui possède une infinité de minima à
φ = 0, 2π, 4π, ..., 2nπ. La figure 1.1 montre qu’une des solutions possibles interpole entre les
valeurs 0 et 2π. Une façon de représenter cela est donnée par la figure suivante.
Figure 1.3 – Potentiel en fonction de φ avec un kink.
Kink
La configuration est contrainte entre deux minimums du potentiel. Il est d’ailleurs possible de
démontrer [7] que toute une famille de solutions existe avec comme caractéristique le nombre
8
d’enroulements Q définit comme
Q=
1
(φ(∞) − φ(−∞)) .
2π
(1.11)
Cet enroulement peut être illustré dans l’espace interne des champs à l’aide de la
paramétrisation (1.4) et (1.5).
(a) Pour Q = 0
(b) Pour Q = 1
θ1
1
φ
θ2
2
Figure 1.4 – Position du champ φ selon x projeté sur l’espace interne des champs.
D’un point de vue plus rigoureux, l’idée générale est de considérer φ comme une application
entre deux espaces,
φ : R → S 1.
(1.12)
À chaque point x de l’espace correspond une position sur le cercle φ(x). Quand la configuration
du champ est contrainte sur son espace interne et qu’elle est caractérisée par un nombre
d’enroulements, il s’agit en réalité d’une mesure du premier groupe d’homotopie de la 1-sphère,
qui est isomorphe aux entiers
π1 (S 1 ) ∼
= Z.
(1.13)
C’est le groupe qui est directement relié à l’enroulement d’une boucle autour d’un espace [38].
Finalement, l’enroulement Q = 0 est la solution triviale de cette théorie, puisque peu importe
le parcours, la boucle pourra se réduire en un point.
1.1.3
Courant topologique
Tel que vu dans la précédente sous-section, pour un soliton donné, il est impossible de
déformer de façon continue sa configuration de charge de telle sorte que la configuration
résultante ait une charge topologique différente Q. Cela découle directement de la stabilité
9
du soliton et permet de considérer Q comme une quantité conservée pour un soliton donné.
En d’autres mots, l’énergie du soliton diverge sous variation de la charge.
Comme dans le cas de la charge électromagnétique, la charge conservée peut être déduite
de l’intégrale spatiale de la composante temporelle d’un courant conservé [40]. Cependant,
cette conservation ne découle pas directement du théorème de Noether. En effet, la symétrie
ne vient pas du lagrangien, mais de considérations topologiques en lien avec la solution. Le
courant s’écrit
Qµ =
1 µν
∂ν φ.
2π
(1.14)
Le tenseur de Levi-Civita assure la conservation, puisqu’il est antisymétrique
∂µ Qµ = −∂0 01 ∂1 φ − ∂1 10 ∂0 φ,
= − 01 + 10 ∂0 ∂1 φ,
= 0.
Il est facile obtenir l’expression de la charge en intégrant la composante 0 de (1.14)
Z ∞
Q0 dx =
Z ∞
1 01
∂1 φ dx,
−∞
−∞
=
2π
1
(φ(∞) − φ(−∞)) .
2π
(1.15)
Il sera vu plus loin qu’une généralisation de ce courant a une grande importance dans le
modèle de Skyrme, puisqu’il est associé au courant baryonique.
1.2
Généralisation aux dimensions supérieures
La section précédente a permis d’introduire les concepts fondamentaux liés aux solitons.
Maintenant, une généralisation aux dimensions supérieures, plus précisément à la troisième
dimension, sera présentée. Skyrme a dû surmonter un premier obstacle avant de formuler sa
théorie, soit la stabilité des solitons à plusieurs dimensions. La caractérisation complète de
cette stabilité a été introduite à peu près simultanément en 1963 par R.H. Hobart [25] et en
1964 par G.H. Derrick [20] et fera l’objet de la première sous-section. Ensuite, un passage
naturel vers la troisième dimension d’espace sera discuté, ce qui mènera au modèle sigma
non-linéaire.
1.2.1
Théorème de Derrick-Hobart
Malgré le fait que le théorème de Derrick-Hobart a été formulé après la théorie de Skyrme, il est
plus intuitif de les introduire dans l’ordre inverse. Effectivement, le cheminement de Skyrme
est plus clair avec une compréhension de la stabilité des solutions solitons. Considérons une
10
théorie de champs classiques soumis à un potentiel V (φ)
L=
1
(∂k φ)2 − V (φ),
2
(1.16)
où φ dépend seulement de la position r et possède une contrainte non-linéaire similaire à
celle développée dans la sous-section 1.1.2. L’énergie statique d’un tel système est donnée
simplement par
Z E=
1
(∂k φ)2 + V (φ) d3 r.
2
(1.17)
Les conditions nécessaires à la stabilité d’une solution possédant cette énergie sont que δE = 0
et δ 2 E > 0. Supposons une solution φ et opérons le changement d’échelle ~r → Λ~r et φ(~r) →
φ(Λ~r) sur cette dernière. En posant pour plus de clarté que
1
(∂k φ)2 d3 r,
2
Z
I2 = V (φ)d3 r,
Z
I1 =
(1.18)
(1.19)
l’équation (1.17) adaptée au nouveau champ est donnée par
Z Eλ =
I1
I2
+ 3 d3 r.
Λ
Λ
(1.20)
Comme (1.20) est le résultat de (1.16) pour Λ = 1, les conditions de stabilité sont
dEΛ
dΛ
d2 EΛ
dΛ2
!
= −I1 − 3I2 = 0,
(1.21)
= 2I1 + 12I2 = −2I1 < 0.
(1.22)
Λ=1
Λ=1
Puisque I1 > 0, la solution statique d’un tel système à trois dimensions sera toujours instable.
C’est le résultat de Derrick-Hobart et il peut être généralisé à une dimension arbitraire [21].
Le résultat démontre que pour D > 2, il n’existe pas de solution statique stable autre que la
solution triviale.
1.2.2
Vers les 3+1 dimensions
Les résultats de la précédente sous-section empêchent de chercher des solutions solitons dans
des modèles purement non-linéaires à D > 2. Skyrme a su contourner ce problème avec des
hypothèses présentées au début du chapitre suivant. Pour l’instant, continuons l’étude avec
une généralisation des précédents concepts à 3+1 dimensions.
Le modèle a maintenant quatre champs liés par une contrainte, toujours dans le but
11
d’ajouter une non-linéarité au lagrangien,
φ2 = π12 + π22 + π32 + σ 2 = a2 ,
(1.23)
Les champs sont nommés ainsi dans le but de faire le pont avec la prochaine section. Il est
important de constater que la contrainte réduit le nombre de champs indépendants de un,
comme dans le cas en 1+1 dimensions. Une paramétrisation possible est donnée par
π1 = a sin F sin θ sin φ,
(1.24)
π2 = a sin F sin θ sin φ,
(1.25)
π3 = a sin F cos θ,
(1.26)
σ = a cos F,
(1.27)
où F se trouve à être l’angle entre ~π et σ.
1.3
Modèle sigma non-linéaire
Nous sommes maintenant prêt à faire nos premiers pas vers le modèle de Skyrme. Il sera
premièrement nécessaire de bien introduire la symétrie chirale de sorte à bien comprendre la
base du modèle. Deuxièmement, le modèle sigma non-linéaire, qui est, comme nous le verrons,
un candidat naturel comme lagrangien invariant chiral, sera étudié.
1.3.1
Symétrie chirale
La symétrie chirale est respectée seulement dans la limite où la masse des quarks est nulle
[31]. Comme ce n’est évidemment pas le cas dans la nature, elle est plutôt considérée comme
une symétrie approximative de la chromodynamique quantique. Un régime où la symétrie
chirale est particulièrement proche d’une symétrie globale est celui des hadrons composés
uniquement de quarks up et down. Les noyaux atomiques tombent dans cette catégorie et la
masse d’un noyau est beaucoup plus grande que la masse d’un quark.
Une façon intuitive d’introduire la symétrie chirale est de reproduire sur l’isospin la
technique de généralisation du spin vers le groupe de Lorentz [26]. Le concept d’isospin a fait
son apparition dans les années succédant la découverte du neutron [50]. Les physiciens de
l’époque se sont rendus compte qu’il était plus simple de considérer le proton et le neutron
comme deux facettes d’une même particule, le nucléon. Pour les différencier, ils ont introduit
un nouvel opérateur, l’isospin I, qui se manipule exactement comme le spin. Les deux
nucléons sont alors définis comme
1
1
p → i = , i3 =
,
2
2
12
1
1
,
n → i = , i3 = −
2
2
où i et i3 sont les valeurs propres des opérateurs d’isospin I et I3 . Une façon d’exprimer la
troisième composante d’isospin, notamment utile dans l’étude des noyaux atomiques, est de
tout simplement faire la somme des neutrons et des protons pondérée par l’isospin respective
de chacun
i3 =
1
1
Nproton − Nneutron ,
2
2
ce qui peut être réécrit comme
i3 = Z −
n
,
2
(1.28)
(1.29)
où Z est la charge électrique et n le nombre de nucléons présents dans le noyau.
Pour faire apparaître la symétrie chirale, les transformations de Lorentz sur l’isospin
Ai , parfois appelées charges axiales, sont intégrées à la structure du groupe des opérateurs
d’isospin Ii . Possédant déjà une algèbre su(2),
[Ii , Ij ] = iijk Ik ,
(1.30)
la structure a les deux relations de commutation supplémentaires suivantes
[Ii , Aj ] = iijk Ak ,
[Ai , Aj ] = iijk Ik .
(1.31)
(1.32)
Afin de faire ressortir une structure plus claire, deux opérateurs sont introduits, la charge
chirale gauche Li et la charge chirale droite Ri ,
1
Ri = (Ii + Ai ),
2
1
Li = (Ii − Ai ).
2
(1.33)
(1.34)
En remaniant les équations (1.30), (1.31) et (1.32), les trois relations suivantes peuvent être
obtenues
[Ri , Rj ] = iijk Rk ,
(1.35)
[Li , Rj ] = 0,
(1.36)
[Li , Lj ] = iijk Lk ,
(1.37)
où il est maintenant plus évident qu’il y a présence de deux copies indépendantes du groupe
SU (2). C’est d’ailleurs pour cette raison que la symétrie chirale est dite équivalente à SU (2)R ×
13
SU (2)L . Notons aussi que Ii est pair et que Ai est impaire sous transformation de parité
P Ii P −1 = Ii ,
P Ai P −1 = −Ai .
(1.38)
La nécessité d’inclure un quatrième champ dans notre modèle surgit naturellement afin de
compléter le quadrivecteur φ = (π1 , π2 , π3 , σ). Les deux opérateurs Ai et Ii agissent sur le
champ φ selon
[Ii , πj ] = iijk πk ,
[Ii , σ] = 0,
(1.39)
[Ai , πj ] = −iδij σ,
[Ai , σ] = iπi .
(1.40)
Des relations (1.38), (1.39) et (1.40), nous déduisons que si les πi créent des particules
isovectorielles, alors σ est un champ possédant les nombres quantiques associés au vide (spin
et isospin nuls et parité positive). Il s’agit de la particule du modèle sigma non-linéaire qui sera
présentée à la sous-section suivante. Comme elle n’a jamais été observée expérimentalement et
qu’elle correspond au vide, elle est considérée tout simplement comme la partenaire nécessaire
à la symétrie chirale des champs πi .
1.3.2
Modèle sigma non-linéaire
Le groupe SU (2)R × SU (2)L possède la même algèbre de Lie que le groupe O(4). Si un
lagrangien invariant chiral peut être construit, il doit contenir uniquement des termes ne
mélangeant pas les composantes πi et le champ σ. En d’autres termes, la dépendance sur les
champs sera de type produit pseudo-scalaire. Le lagrangien le plus simple s’écrit
1
(∂µ φν )2 d3 x,
2
Z
1
=
∂µ πi ∂ µ π i + ∂µ σ∂ µ σ d3 x,
2
L=
Z
(1.41)
(1.42)
et il constitue le lagrangien du modèle sigma non-linéaire. La symétrie chirale n’est toutefois
pas observée dans la nature, il est donc préférable de s’en débarrasser en utilisant le mécanisme
de brisure spontanée de symétrie. Une astuce efficace pour y parvenir est de définir une
nouvelle paramétrisation sous la forme d’une matrice U (x) élément de SU (2). Comme l’algèbre
de l’isospin est aussi décrite par su(2), il est possible de décomposer les éléments de U (x) sur
les générateurs d’isospin, soit les matrices de Pauli plus l’identité [11],
U (x) = Iσ + iτi π i ,
i
= eiτi φ ∈ SU (2).
(1.43)
Sous transformation chirale, cette matrice se développe comme
U (x) → LU (x)R−1 ,
14
(1.44)
U † (x) → RU † (x)L−1 .
(1.45)
Le lagrangien (1.41) se réécrit
L=
Z
i
1 h
Tr ∂µ U ∂ µ U † d3 x.
4
(1.46)
Il est trivial de constater que le lagrangien reste invariant sous les transformations (1.44)
et (1.45). L’état du vide de la théorie correspond à la matrice U (x) constante. Par simplicité,
considérons la matrice identité. Le vide n’est donc pas invariant chiral,
LU (x)R−1 = LIR−1 6= I,
(1.47)
mais bien invariant sous transformation d’isospin telle que nous l’avons défini. Une brisure
spontanée de la symétrie chirale est générée. Donc, selon le théorème de Goldstone [53], il y
a apparition de bosons sans masse. Le nombre de bosons est égal au nombre de charges ne
laissant pas invariant l’état du vide. Une copie de SU (2) est perdue lors de la brisure
SU (2)L × SU (2)R → SU (2),
(1.48)
et 3 bosons sans masse apparaissent, puisque SU (2) possède trois générateurs, donc trois
charges.
15
Chapitre 2
Modèle de Skyrme
Le chapitre 1 a permis de poser les fondations d’une théorie de champs brisant spontanément
la symétrie chirale. Il s’agit maintenant de voir comment Skyrme a su tirer avantage de tous
ces outils afin de formuler une théorie des baryons à basse énergie. Une étude approfondie des
ajouts et des hypothèses de Skyrme sera tout d’abord présentée. Ensuite, une quantification
de la théorie sera nécessaire pour retrouver les nombres quantiques du spin et de l’isospin des
états de celle-ci. Cette étape fera aussi surgir les moments d’inertie ainsi que les opérateurs très
importants de moments angulaires. Les extensions et généralisations du modèle seront par la
suite explorées. Comme le modèle de Skyrme a été proposé il y a environ soixante ans, plusieurs
groupes de recherche ont proposé des ajouts, qui ont pris la forme de nouvelles explications
ou tout simplement d’élargissements de la théorie. Quelques-uns de ceux-ci feront l’objet de la
fin du chapitre 2 et finalement, un certain type d’extension retiendra particulièrement notre
attention, soit le modèle de Skyrme BPS.
2.1
2.1.1
Idée et modèle de Skyrme original
Introduction du lagrangien
L’idée fondamentale de Skyrme est de construire une théorie de l’interaction forte à basse
énergie basée sur la physique des mésons. Plus particulièrement, il considère un modèle sigma
non-linéaire sans potentiel où les trois champs sans masse sont associés aux pions. Comme il a
été vu à la sous-section 1.2.1, il doit premièrement composer avec le problème de stabilité sous
changement d’échelle du soliton. La façon la plus simple de le solidifier est d’introduire un
nouveau terme dans le lagrangien qui possède la dépendance inverse sous changement d’échelle
de celle du terme sigma non-linéaire. En d’autres termes, l’énergie totale sous changement
d’échelle est
EΛ =
Eσ
+ Λ ESkyrme ,
Λ
(2.1)
17
où Eσ représente l’énergie du terme sigma, ESkyrme l’énergie du terme que Skyrme doit
construire et Λ le paramètre d’échelle. Le soliton se stabilise à
Λ2 =
Eσ
ESkyrme
,
(2.2)
donc le problème associé au terme sigma est esquivé. De plus, si la symétrie chirale du
lagrangien doit être conservée, il existe uniquement trois choix possibles pour un terme
possédant cette symétrie. Avant de les introduire, il convient de définir les deux courants
associés à la symétrie chirale comme
Lµ = U † ∂µ U,
(2.3)
Rµ = U ∂µ U † .
(2.4)
Les trois termes possibles s’écrivent alors
LSkyrme = k1 Tr [Lµ , Lν ]2 + k2 Tr {Lµ , Lν }2 + k3 Tr (∂µ Lµ )2 .
(2.5)
Skyrme a choisi le terme contenant la moins grande puissance en dérivé temporelle, soit
le terme proportionnel à k1 . Cela permet une quantification par la méthode Hamiltonienne
standard sans problème de stabilité [39]. En effet, comme cela arrive parfois dans une théorie
des champs à plus de deux puissances de dérivées temporelles, des états fantômes à énergie
négative apparaissent lors de la quantification. Dans un modèle de soliton classique, ces états
sont évidemment indésirables et injustifiables. Le lagrangien du modèle de Skyrme se réduit
à
L = α Tr (Lµ Lµ ) + β Tr [Lµ , Lν ]2 ,
(2.6)
où α est lié à la constante de désintégration du pion et β à un paramètre sans dimension
α=
2.1.2
Fπ2
,
4
β=
1
.
32e2
(2.7)
Courant topologique
Avant de solutionner ce lagrangien, il est désirable de se replonger dans des considérations
topologiques. Il y a toujours présence d’une contrainte non-linéaire, établie dans la
sous-section 1.3.2. Celle-ci est transmise directement au terme de Skyrme par la
paramétrisation du champ U (r). Une des conditions pour la finitude de l’énergie est que
la dérivée du champ à l’infini doit être nulle,
U (∞) → cte.
(2.8)
En imposant la valeur constante, l’espace R3 est compactifiée à S 3 avec une projection
stéréographique. Appliquons maintenant le traitement qu’a subi le modèle sine-Gordon à
18
la sous-section 1.1.2. Cette fois, la paramétrisation est une application agissant ainsi
φ : S 3 → S 3.
(2.9)
Les solutions intéressantes sont celles recouvrant la sphère U (r) et donc caractérisées, cette
fois-ci, par le troisième groupe d’homotopie de la 3-sphère
π3 (S 3 ) ∼
= Z.
(2.10)
Les solutions sont encore associées à un entier correspondant à une charge topologique
particulière. Il est d’ailleurs facile de se convaincre qu’à une dimension arbitraire, toute
contrainte non-linéaire du champ φ = (φ1 , φ2 , ..., φi ) pouvant s’exprimer comme
X
φ2i = 1,
(2.11)
i
est caractérisée par un entier, puisque
πi−1 (S i−1 ) ∼
= Z.
(2.12)
Il existe un courant topologique [8] relié à la contrainte décrite à l’équation (2.9), qui s’écrit
Bµ =
1 µνρσ †
†
†
Tr
U
∂
U
U
∂
U
U
∂
U
.
ν
ρ
σ
24π 2
(2.13)
Ce courant satisfait la loi de conservation
∂µ B µ = 0,
(2.14)
ce qui permet d’obtenir la charge conservée
Z
B=
B 0 d3 x,
1 0νρσ
Tr (Lν Lρ Lσ ) d3 x,
24π 2
Z
ijk
=−
Tr (Li Lj Lk ) d3 x.
24π 2
Z
=
(2.15)
Elle correspond une fois de plus au nombre d’enroulements de la configuration sur l’espace des
champs. Proposée par Skyrme [43], la charge conservée est associée au nombre de particules
de la théorie. De ce fait, elle est parfois nommée nombre baryonique. Ce fut un grand pas vers
la description d’états de plusieurs particules tels que rencontrés en physique nucléaire à basse
énergie.
19
2.1.3
Solution du modèle
Retournons maintenant au lagrangien (2.6). Pour le solutionner, Skyrme propose la fameuse
hypothèse hérisson [43],
ˆj F (r)
U (r) = eiτj φ
,
= cos F + iτj φˆj sin F,
(2.16)
avec τj les matrices de Pauli, φˆj la direction du vecteur champ φj et F (r) l’angle chiral.
Comme dans le cas du modèle sigma non-linéaire, pour avoir une charge topologique conservée
non-nulle, S 3 doit être recouverte de sorte qu’une déformation ne puisse anéantir la solution.
Si U (r), tel que défini à l’équation (2.16), satisfait cette condition, le vecteur φˆj doit recouvrir
la surface de S 2 peu importe la valeur de φj . Le choix le plus simple est d’associer la direction
de φ au système de coordonnées cartésiennes,
φˆj = x
ˆj
(2.17)
Figure 2.1 – Solution hérisson dans l’espace R3 . La sphère des champs πi s’y retrouve ainsi
que l’orientation du vecteur φj . La figure est tirée de [26].
La représentation graphique permet de bien synthétiser cette information et de visualiser
le hérisson. La symétrie sphérique de cette solution implique qu’une rotation dans l’espace
d’isospin est équivalente à une rotation dans l’espace de spin. Les états hérisson quantifiés
de Skyrmions ont donc nécessairement les mêmes spin et isospin.
Pour un champ indépendant du temps, le lagrangien se réduit à l’énergie statique,
Estatique = −
20
Z
(Lσ + LSkyrme ) d3 r
(2.18)
et en insérant la solution hérisson (2.16), elle se développe comme
Fπ2
8
Z ∞
Estatique = 4π
0
2 sin2 F
F 02 +
r2
!
1 sin2 F
+ 2
2e
r2
sin2 F
+ 2F 02
r2
Pour obtenir une intégrale sans unité, le changement de variable r →
!!
r2 dr.
eF
√π r
2
(2.19)
est proposé.
L’expression (2.19) devient
Estatique
Fπ
= 4π
e
Z ∞
0
1
2 sin2 F
F 02 +
2
r2
!
1 sin2 F
+
2 r2
sin2 F
+ 2F 02
r2
!!
r2 dr.
(2.20)
Pour minimiser l’énergie, l’endroit où la variation de l’intérieur de l’intégrale par rapport à
l’angle chiral F (r) est nulle doit être trouvé,
r2 + sin2 F F 00 + 2rF 0 + sin F cos F F 02 − 2 sin F cos F −
sin3 F cos F
= 0.
r2
(2.21)
Cette équation doit être solutionnée avec les conditions frontières correspondant à l’état choisi.
Pour l’instant, concentrons nous simplement sur le nombre baryonique qui impose un certain
nombre d’enroulements. En insérant la solution hérisson dans (2.15), une relation sur les
conditions frontières est obtenue,
1
sin2 F 0
F (r)d3 r,
2π 2
r2
Z
2 F (∞) 2
=
sin F dF,
π F (0)
F (0) − F (∞) − cos (F (0)) sin (F (0)) + cos (F (∞)) sin (F (∞))
=
.
π
Z
B=
(2.22)
Une façon simple d’adhérer à (2.22) est
F (0) = nπ,
F (∞) = 0.
(2.23)
Sans surprise, l’équation différentielle (2.21) ne possède pas de solution analytique avec une
borne topologique non-triviale. Il existe néanmoins plusieurs façons de surmonter cet obstacle.
Tout d’abord, Skyrme, dans les années soixante, a considéré un traitement asymptotique
autour de r = 0 pour le secteur n = 1. Sa solution est, selon [43],
F (r) =

0,
r > a,
r
2π 1 −
a ,
(2.24)
r < a,
et elle correspond à la droite sur la figure 2.2. Il a trouvé, à l’aide de sa solution, une borne
supérieure à l’énergie et a ainsi déduit la borne inférieure à partir d’un cas limite du lagrangien.
Son inégalité est
740 MeV ≤ En=1 ≤ 1480 MeV,
(2.25)
21
et elle recoupe la bonne valeur expérimentale. Toujours avec sa solution approximative, il a
fixé ensuite les deux paramètres libres afin d’obtenir la bonne énergie pour n = 1 et il a calculé
l’énergie du secteur suivant. Il a obtenu [44]
En=2 ≈ 2960 MeV,
(2.26)
soit une valeur 1.5 fois trop grande.
Une autre alternative, qui est celle pour laquelle K.-F. Liu [32] a opté, est d’obtenir
une solution numérique. Comme la figure 2.2 semble l’indiquer, sa solution ressemble
beaucoup plus à une solution d’un modèle non-linéaire. Par exemple, l’angle chiral enroule
bien l’espace d’un facteur nπ avec n = 1 dans ce cas-ci.
Figure 2.2 – Solution asymptotique de Skyrme pour a = π et solution numérique de Liu
pour le modèle de Skyrme original dans le secteur n = 1.
1.0
FH r L @ ΠD
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
2
4
6
8
r
Il est important de mentionner que les solutions numériques sont apparues plusieurs années
après la solution approximative de Skyrme. En effet, en 1990, seulement cinq configurations
étaient connues [17], soit n = 1, 2, 3, 4, 5. Étrangement, pour un modèle qui essaie de décrire
la physique nucléaire, les solutions numériques possèdent des symétries très particulières
comme le montre la figure 2.3 à la page 23.
En fait, la densité d’énergie maximale des solutions n’arrive jamais à q
r = 0, tel qu’attendu.
Notons aussi que la valeur r.m.s. du rayon de la première densité ( r12 = 0.64 fm) est
deux fois trop petite par rapport aux données expérimentales, mais que les plus grosses
configurations suivent une règle conforme à l’expérience
q
22
hrn2 i = r0 n1/α
avec α = 3.0 ± 0.8.
(2.27)
Figure 2.3 – Solutions numériques du modèle de Skyrme original telles qu’obtenues par
Braaten, Townsend et Carson dans [17]. La configuration B = 1 a un rayon de 1.1 fm, les
autres solutions sont à l’échelle par rapport à celle-ci. La configuration fautive B = 6 a été
retirée de l’image par l’auteur.
Pour l’énergie, les résultats restent dans un intervalle de confiance d’environ 16%. Toutefois,
l’énergie de liaison B, donnée par la formule suivante,
B = −E +
X
Mi .
(2.28)
i
où E est l’énergie totale et Mi la masse du constituant i du noyau, est extrêmement élevée.
En résumé, le modèle présente des configurations trop petites, trop liées et n’ayant pas la
bonne symétrie. Les données numériques sont présentées dans le tableau ci-dessous.
23
Modèle
Expérience
n
En
Bn /n
–
(MeV)
(MeV)
1
852
2
p
hr2 i
En
Bn /n
(fm)
(MeV)
(MeV)
0
0.64
938
0
1638
33
0.86
1876
1.1
3
2396
53
0.99
2808
2.6
4
3135
68
1.08
3727
7.1
5
3919
68
1.19
4658
—
Table 2.1 – Énergie totale, énergie de liaison et la valeur r.m.s. du rayon des cinq
configurations obtenues numériquement par Braaten, Townsend et Carson.
Avant de discuter des améliorations possibles au modèle, il convient d’introduire une dernière
astuce utilisée pour solutionner les équations de champs. Elle se base sur le concept
d’application rationnelle utilisée dans le cas particulier de la configuration étudiée. L’idée
générale [34] est de modifier l’ansatz (2.16) comme suit
U (r) = eif (r)nj τ
j
(2.29)
où f (r) contient la dépendance radiale des champs et nj sont les composantes du vecteur
~n =
1
2
¯
¯
R(z)
+
R(z),
−i(R(z)
−
R(z)),
1
−
|R(z)|
,
1 + |R(z)|2
(2.30)
contenant la dépendance angulaire des champs par le biais de l’application rationnelle R(z)
définie comme le quotient de deux polynômes
R(z) =
p(z)
.
q(z)
(2.31)
L’équation (2.30) peut être vue comme la projection stéréographique des champs dans l’espace
R3 sur S 3 . Précédemment, l’enroulement de l’angle chiral F (r) autour de l’espace faisait
changer le secteur topologique de la solution. Avec l’application rationnelle, l’enroulement est
divisé entre la dépendance angulaire des champs qui s’enroulent j fois sur S 2 et f (r) qui
s’enroulent k fois sur le cercle. Le nombre baryonique n se présente maintenant comme un
produit
n = j · k.
(2.32)
Le nombre j est associé aux puissances de la fonction z des polynômes p(z) et q(z). Cette
fonction angulaire est souvent posée comme étant égale à
z(θ, φ) = g(θ)eiφ
24
(2.33)
et g(θ) est obtenue en solutionnant l’équation angulaire des champs
1
1
∂θ sin θ(∂θ z)2 +
∂φφ z = 0.
sin θ
sin2 θ
(2.34)
θ
z(θ, φ) = tan eiφ .
2
(2.35)
Une solution possible est
z j enroule bien j fois la sphère S 2 à cause de l’exponentielle. Le travail à effectuer pour obtenir
des prédictions sur l’énergie des configurations consiste à trouver la bonne symétrie angulaire
et à calculer numériquement la fonction f (r). Les symétries ainsi que le quotient de polynômes
R(z) sont présentés dans le tableau 2.2.
n
R(z)
Symétrie
1
z
O(3)
2
z 2 −a
−az 2 +1
√
3az 2 −1
O(2) × Z2
3
4
6
√
z(z 2 −
√ 3a)
2
4
√3iz +1
c zz 4 +2
−2 3iz 2 +1
z 4 +ia
z 2 (iaz 4 +1)
Tétrahédrale
Octahédrale
Dihédrale 4d
Table 2.2 – Polynômes associés à la symétrie des Skyrmions pour quelques valeurs de n
obtenues par Houghton, Manton et Sutcliffe [28].
L’énergie obtenue par cette méthode reste une approximation de la solution exacte, puisqu’elle
suppose des symétries idéales et une séparation des variables radiale et angulaires. Les écarts
avec les solutions numériques exactes, par exemple celles du tableau 2.1, sont d’environ 1% à
3%. Finalement, il est intéressant de voir qu’il est possible de décrire des particules comme
des objets à plusieurs couches. Les résultats du tableau 2.2 montrent que la puissance de z est
toujours égale à n pour les configurations présentées. Par contre, il est fort probable [28] que
des configurations à grand n requièrent deux ou plusieurs symétries plus simples imbriquées
les unes dans les autres pour obtenir l’énergie minimale plutôt qu’une symétrie complexe
unique.
Les trois types de solutions étudiées sont un peu décevantes, puisqu’elles ne permettent pas
une description de toute la physique nucléaire (1 ≤ n ≤ 238). En effet, le calcul numérique
brut est ardu même pour les premiers noyaux et les applications rationnelles nécessitent une
connaissance des symétries de la solution qui tendent à se multiplier et à se complexifier plus
n augmente.
25
2.2
Quantification
La théorie de Skyrme est un modèle classique ne possédant pas d’états de spin et d’isospin.
Afin de bien décrire les différents noyaux nucléaires, une quantification de la théorie s’avère
essentielle. L’approche standard ne fonctionne toutefois pas sur les solitons, puisqu’ils sont
étendus dans l’espace. Historiquement, les premières tentatives de quantification furent plutôt
semi-classiques et elles dépendaient des symétries propres à la configuration quantifiée. Ces
symétries étaient alors identifiées à des contraintes dans l’espace d’Hilbert par un mécanisme
décrit en détail dans [23]. Le problème majeur de cette approche est le manque de généralité,
la quantification est différente et doit être répétée pour chaque valeur de n. Cette étape sera
sautée et une quantification plus récente sera considérée, nommée la quantification des modes
zéro [27].
Cette quantification se base sur l’invariance sous rotation et translation du lagrangien.
Considérons une configuration du champ stable, c’est-à-dire un U (r) composé d’un angle
chiral F (r) qui solutionne l’équation (2.21), et appliquons une petite variation dépendante
du temps sur celui-ci
U (r) = U0 (r) + δU (r, t).
(2.36)
Cette variation permet de petites oscillations autour de la solution, mais elle fait aussi
apparaître des modes dans le temps qui ne sont pas forcément contraints à rester à de faibles
amplitudes. Il y a plusieurs modes possibles : rotationnels, translationnel, vibratoire, etc.
Seulement les rotations sont considérées, puisque le but est de décrire les états quantiques de
spin et d’isospin. Le mode translationnel est surtout utile pour la description d’interactions
entre skyrmions et les autres pour traiter des déformations des configurations. Techniquement,
la dépendance temporelle du champ est incluse dans deux matrices A(t) et B(t) et elles agiront
sur le champ statique de la façon suivante
˜ (r, t) = A(t)B(t)U (r)B † (t)A† (t),
U
(2.37)
où A et B agissent respectivement sur l’espace de l’isospin et sur celui du spin. Comme les
rotations sont des symétries du lagrangien, ce dernier reste invariant et l’énergie est dégénérée.
L’espace de dégénérescence se nomme l’espace des modes zéro. Les deux matrices sont reliées
aux générateurs de spin, Jk = iijk ri ∂j , et d’isospin, Ik =
τk
2 ,
par la paramétrisation suivante
A(t) = e−iIk ak t ∈ SU (2),
(2.38)
B(t) = e−iJk bk t ∈ SU (2),
(2.39)
où les vecteurs ak et bk sont assimilés à la vitesse de rotation selon les trois axes du système
de coordonnées respectifs. En réinsérant ensuite le champ (2.37) dans le lagrangien (2.6), il
26
se divise comme
L = −Lstatique + Lrotation ,
(2.40)
avec Lstatique , le lagrangien statique intégré, et Lrotation , qui est donné par
1
1
Lrotation = ai Uij aj − ai Wij bj + bi Vij bj .
2
2
(2.41)
Les matrices Uij , Wij et Vij peuvent être interprétées comme les moments d’inertie de la
solution selon l’axe associé aux indices i et j (ai → isospin ou bi → spin). L’expression de ces
moments est
1
d3 r Tr (Ti Tj + [Lk , Ti ] [Lk , Tj ]) ,
3
8e Fπ
Z
i
Wij = 3
d3 r Tr (Ti Sj + [Lk , Ti ] [Lk , Sj ]) ,
8e Fπ
Z
1
Vij = − 3
d3 r Tr (Si Sj + [Lk , Si ] [Lk , Sj ]) ,
8e Fπ
Z
Uij =
où Ti = U †
τi
2
,U
(2.42)
(2.43)
(2.44)
et Si = ijk rj Lk et ils sont tous diagonaux. En traitant les
vitesses angulaires comme des variables canoniques du lagrangien, les moments conjugués
correspondants sont
∂L
= Uij aj − Wij bj ,
∂ai
∂L
Li =
= −Wij† aj − Vij bj ,
∂bi
Ki =
(2.45)
(2.46)
qui sont associés respectivement à l’opérateur d’isospin et à celui de spin dans le repère du
skyrmion. Ce repère est lié par une rotation au repère du laboratoire,
Ii = Rij (A)Kj ,
(2.47)
Ji = −Rij (B)† Lj .
(2.48)
Sans perte de généralité, les matrices A et B seront associées à des rotations générales selon
trois angles d’Euler qui se réduisent à des rotations pour passer d’un système de coordonnées
à l’autre par le biais des matrices Rij . La symétrie sphérique du soliton impose la relation
suivante
(K3 + L3 ) |i, j, i3 , j3 i = 0,
(2.49)
ce qui revient à dire qu’une rotation autour du troisième axe de l’espace du spin est équivalente
à une rotation autour du troisième axe de l’espace d’isospin. Finalement, il est possible d’écrire
l’hamiltonien général en fonction des moments et des variables canoniques,
Hrot = Ki ai + Li bi − Lrot ,
27

=
1

2
L1 + W11 UK111
2
W11
V11 − U11
2
+
L2 + W22 UK222
2
W22
V22 − U22
2
+
L3 + W33 UK333
2
W33
V33 − U33
2

+
K12
U11
+
K22
U22
+
K32
U33

.
(2.50)
Il permet d’obtenir l’énergie associée aux rotations de l’état de |i, j, i3 , j3 i par ses valeurs
propres. Dans le cas précis de l’hypothèse sphérique, les moments d’inertie possèdent les
symétries suivantes
U11 = U22 = U33 ,
(2.51)
Wii2 = Uii Vii
(2.52)
et l’équation générale (2.50) se réduit à, puisque les trois premiers termes tombent et que le
spin et l’isospin sont équivalents,
H=
1
J(J + 1).
2U33
(2.53)
Cette équation peut décrire, dans le cas n = 1, l’état |i = j = 1/2i du nucléon ou |i = j = 3/2i
de l’isobare ∆. Par contre, l’impossibilité de décrire le proton et le neutron de façon distincte
ainsi que le manque de contrainte sur le spin qui permet de prédire des états physiquement
inexistants (par exemple j = 1 pour n = 1) sont problématiques.
Il y a d’autres problèmes reliés à ce type de quantification. Le soliton peut par exemple se
déformer sous rotation et ainsi éloigner la configuration du champ de son minimum. Cela
entraîne évidemment des problèmes sur l’hypothèse de départ ainsi que sur les symétries
accordées au soliton. Une façon efficace de se débarrasser de ce problème est de proposer
que le skyrmion agit comme un rotateur rigide, ce qui implique une absence complète de
déformations. Les deux autres problèmes viennent de l’absence de masse des trois pions.
D’une part, il n’est pas évident de savoir si une partie du soliton tourne plus vite que la
vitesse de la lumière. D’autre part, il existe une grande quantité d’orbites classiquement
stables, mais complètement inacceptables au point de vue de la mécanique quantique. Ces
deux derniers problèmes peuvent par contre être palliés par l’ajout d’un terme qui brise la
symétrie chirale et ainsi confère une masse aux pions [16].
2.3
Extensions du modèle
Les précédentes sections ont montré que le modèle de Skyrme original possède un bon pouvoir
descriptif des états nucléaires. À présent, les modifications et extensions qui permettent
d’améliorer ce modèle seront explorées. Le premier changement consiste à ajouter un potentiel
ou terme de masse au lagrangien. L’attribution d’une masse aux pions implique la brisure
explicite de la symétrie chirale de la théorie. Ensuite, un terme d’ordre supérieur en dérivées
28
au lagrangien sera inclus. Cette étape se veut une généralisation, puisqu’à priori, aucune
restriction ne s’impose sur le nombre de termes à considérer en puissance de dérivées.
2.3.1
Terme de masse
L’ajout d’un potentiel dans le modèle a pour but de mieux représenter la physique des pions.
Comme dans la chromodynamique quantique, où les masses des quarks up et down sont
petites par rapport à celles des baryons, le modèle de Skyrme brise faiblement la symétrie
chirale. En effet, la masse des pions est moins grande que celle des quarks.
Suivant les travaux initiés par Adkins et Nappi [5], un nouveau terme V sera introduit au
lagrangien,
V =
m2π Fπ2
Tr (I − U ) ,
8
(2.54)
avec I la matrice identité. La première chose à vérifier est que nous obtenons le bon
comportement autour du vide, défini comme la matrice U à r → ∞, c’est-à-dire la limite
des champs faibles,
U (r → ∞) = I 1 +
2i
τj φj + · · ·
Fπ
.
(2.55)
L’équation (2.54) devient, autour du vide,
V →
m2π φj φj
,
2
(2.56)
soit le comportement attendu pour un terme de masse. L’effet sur les prédictions d’un tel
ajout est présenté dans [5]. La grande majorité des prédictions du modèle sont améliorées
et certaines divergences sont même levées. Rappelons aussi que lorsque les pions ont une
masse non-nulle, le processus de quantification est mieux justifié et correspond à la physique
réelle. Pour bien comprendre ce dernier point, remplaçons U (F ) dans (2.54) et trouvons la
configuration qui minimise l’énergie,
Z
EV =
d3 r
m2π Fπ2
(1 − cos F )
8
(2.57)
En effectuant le changement de variable z = eFπ r et en gardant les premières dérivées
seulement, la variation d’énergie s’écrit
δEV
m2
= zF 00 + 2F 0 + 2 π2 zF = 0.
δF
e Fπ
(2.58)
La solution à cette équation est, en fonction de l’ancienne variable,
F (r) = k
e−mπ r
.
r
(2.59)
29
Le potentiel a un effet localisateur sur la solution autour de r = 0. Cela signifie que les régions
non-physiques apparaissant dans la quantification à un rayon élevé deviennent négligeables
et peuvent être ignorées sans conséquence.
Le choix du potentiel n’est pas unique. L’absence d’information de la part de CDQ
sur sa forme est en soi une difficulté, mais permet aussi une certaine liberté supplémentaire
dans le lagrangien. La seule contrainte à respecter pour obtenir un bon terme de masse est
d’obtenir l’équation (2.56) dans la limite du vide. Une approche plus générale [35] consiste à
tenter de réécrire le potentiel comme
V = Ck Tr U †k + U k − 2I ,
avec
Ck =
(2.60)
m2π Fπ2
.
4k 2
(2.61)
Si une telle écriture est possible, nous sommes en présence d’un terme de masse valable.
L’énergie statique du soliton sera alors modifiée par
Z
EV = 4π
r2 dr 8Ck sin2
kF
2
,
(2.62)
où il est maintenant plus clair que nous avons affaire à un coefficient de Fourier (Ck ).
Enfin, si un potentiel plus complexe doit être obtenu, qui s’exprime comme une série de
l’équation (2.60), les coefficients devront obéir à
∞
X
k=1
2.3.2
k 2 Ck =
m2π fπ2
.
4
(2.63)
Termes d’ordre supérieur
Le lagrangien étudié dans la section 2.1 s’avère être une description de la physique des pions.
En ajoutant un potentiel, une masse leur est redonnée et ainsi un certain accord est retrouvé
avec les données expérimentales. Toutefois, une théorie basée sur le plus léger des mésons,
le pion, reste une approximation d’un modèle plus complet contenant l’interaction de tous
les mésons. Dans le but de se rapprocher d’une bonne description, un terme d’ordre six en
dérivées est introduit dans le lagrangien.
L’origine d’un tel terme remonte à un article [4] qui examine l’ajout du méson vecteur
le plus léger, soit le ω. Les auteurs se sont aperçus que son inclusion au lagrangien rend
le terme de Skyrme superflu en terme de stabilisation. En fait, le terme d’ordre six joue
pratiquement ce rôle tout en décrivant en plus un nouveau méson. Avec des terme d’ordre
30
deux, quatre et six en dérivées, l’énergie sous changement d’échelle est donnée par
Z
EΛ,BP S =
E4 E6
d x ΛE2 +
+ 3 .
Λ
Λ
3
(2.64)
Dans les cas limites, Λ → ∞ et Λ → 0, les termes dominants sont E2 et E6 . Pour assurer
la stabilité dans ces limites, il n’est donc plus nécessaire de considérer le terme de Skyrme.
En utilisant cette approche, les auteurs ont obtenu encore une amélioration sur pratiquement
toutes les constantes du modèle. Ce n’est qu’un peu plus tard [29] qu’une équipe le considère
non pas comme un remplacement, mais comme un ajout au modèle de Skyrme. Souvent appelé
le terme de Jackson, il s’écrit
LJackson = π 4 λ2 Bµ B µ ,
(2.65)
où λ est un nouveau paramètre et Bµ le courant baryonique défini à l’équation (2.13). Si
la contrainte de stabilisation du terme de Skyrme est relâchée, il peut changer de signe et
permettre la description de l’interaction des pions.
L’effort de généralisation du nombre de termes ne s’arrête pas là. Le skyrmion étant
un objet étendu, le gradient de son champ reste grand dans certaines régions de l’espace.
Considérer les premiers termes en dérivées devient une supposition plus ou moins justifiée,
puisque le développement autour des petites puissances n’est pas souhaitable avec des objets
non-ponctuels. Notons que l’une des généralisations les plus poussées fut de considérer
une série infinie de termes [36] dans le lagrangien. Le problème principal de ce modèle est
de déterminer la forme exacte des termes d’ordre supérieur, qui, à partir de l’ordre huit,
contiennent pratiquement tous des dérivées temporelles de puissance supérieure à deux.
31
Chapitre 3
Skyrmions q-BPS
Les points soulevés à la fin du chapitre précédent semblent indiquer que deux chemins
sont possibles pour la suite de l’étude du modèle de Skyrme. D’un côté, la généralisation
complète semble améliorer le modèle, mais le complexifie grandement. D’un autre côté, la
recherche d’un principe fondamental qui simplifierait les contributions à considérer pourrait
être intéressant. C’est cette dernière proposition qui retiendra notre attention dans le reste
de ce mémoire. L’objectif est d’analyser un certain modèle de soliton qui n’a pas d’énergie de
liaison. En introduisant des perturbations autour de ce régime, nous espérons retrouver une
faible liaison dans les états nucléaires et ainsi recouper la physique que tente de décrire le
modèle de Skyrme depuis sa création.
L’étude du modèle BPS sera le premier sujet de ce chapitre. Ce dernier est construit
autour du terme de Jackson et d’un potentiel. Comme il sera vu, le lagrangien correspondant
sature la borne BPS de la théorie en plus d’être parfaitement intégrable. Cela constitue un
avantage majeur sur les autres modèles, dont les solutions sont majoritairement numériques.
Ensuite l’adaptation du régime BPS à une théorie plus près de la physique sera présentée
avec l’introduction de perturbations et de différentes contributions énergétiques. Par la suite,
le modèle sera solutionné pour trouver la valeur optimale des paramètres libres par des
méthodes numériques précises. Il s’ensuivra un approfondissement détaillé de plusieurs points
en lien avec les propriétés des noyaux atomiques.
33
3.1
Modèle BPS
Le modèle sur lequel porte le reste de ce mémoire est basé sur une construction particulière
déduite du lagrangien du modèle de Skyrme. Il est intéressant de constater que ce n’est pas
la seule avenue qui mène à une théorie BPS. Sutcliffe [46] a démontré que les solutions d’un
modèle de Skyrme comprenant tous les mésons tendent vers les solutions d’un modèle de
skyrmions BPS. Il a démontré que plus la tour de mésons est tronquée, plus les solutions
s’éloignent du régime BPS. En gardant les deux premiers mésons, Sutcliffe a obtenu des
résultats sur la masse des premières noyaux atomiques avec une erreur d’au plus 20 MeV [47],
ce qui est déjà une importante amélioration par rapport au modèle de Skyrme original.
Le modèle des skyrmions BPS qui sera étudié possèdent deux caractéristiques uniques
qui motivent son approche
• L’énergie de liaison des noyaux atomiques est petite par rapport à l’énergie totale. En
effet, les données expérimentales montrent qu’elle ne dépasse jamais 1% de l’énergie
du noyau. Une solution saturant la borne BPS n’a pas d’énergie de liaison, ce qui doit
fournir une bonne approximation pour la description de la masse des noyaux. Quant à
lui, le modèle de Skyrme ne sature pas la borne et excède l’énergie totale ;
• Le modèle de Skyrme a le comportement d’un cristal lorsque Nc → ∞ [30]. Un
comportement de fluide incompressible est plutôt attendu, comme le suggère le modèle
de la goutte. De plus, les configurations qui y apparaissent sont de type coquille, ce qui
ne correspond pas à l’expérience. Ces deux points ont la possibilité d’être éliminés avec
l’approche BPS.
Ce modèle possède un moins grand lien avec la théorie que celui proposé par Sutcliffe, mais
il est beaucoup mieux adapté au calcul de prédictions. Un rapprochement plus détaillé sera
souhaitable afin de profiter de leurs points forts respectifs.
3.1.1
Lagrangien et symétries
La famille de modèles proposée dans [3], qui respecte ces deux énoncés, a comme lagrangien
L = L6 + L0 = π 4 λ2 Bµ B µ − µ2 V (U, U † ),
=
λ sin2 F
(1 + |z|2 )2
!2
(3.1)
2
lmn ∂l F ∂m z ∂n z¯
− µ2 V,
(3.2)
où les sous-indices 0 et 6 réfèrent à la puissance des dérivées. Les deux termes doivent rester
positifs, d’où le carré sur chacun des paramètres du lagrangien (3.1). Pour solutionner celui-ci,
une hypothèse s’apparentant légèrement au recouvrement angulaire proposé par l’application
rationnelle est utilisée
j
U = eiF (r)nj τ ,
34
(3.3)
avec un vecteur nj égal à
1
2
¯
¯
,
R(z)
+
R(z),
−i(R(z)
−
R(z)),
1
−
|R(z)|
1 + |R(z)|2
1
=
¯, −i(z − z¯), 1 − |z|2 ,
2 z+z
1 + |z|
nj =
(3.4)
(3.5)
où z contient encore une fois la dépendance angulaire des champs. Le but est d’obtenir
une solution unique qui permet la description de tous les états possibles, contrairement à
l’application rationnelle qui nécessite une hypothèse nouvelle pour chaque solution. Notons
aussi que la fonction F (r) enroule une seule fois l’espace (F (0) = π et F (∞) = 0).
Le terme L6 possède une symétrie importante. Comme il est composé du carré du
courant topologique conservé, il est possible de l’associer au pullback de l’élément de volume
de R3 sur S 3 ,
r2 sin θ dr ∧ dθ ∧ dφ = −i
sin2 F
dF ∧ dz ∧ d¯
z,
(1 + |z|2 )2
(3.6)
où la barre symbolise le conjugué complexe. En d’autres mots, la substitution de la
paramétrisation de SU (2) ' S 3 du côté droit de (3.6) redonne l’élément de volume de R3 .
D’autre part, lorsque le courant baryonique est inséré dans le terme L6 , la contribution à
l’énergie suivante est obtenue
Z
E6 =
3
d r
λ sin2 F
(1 + |z|2 )2
!2
2
ilmn ∂l F ∂m z ∂n z¯
,
(3.7)
soit le carré du pullback. Les équations (3.6) et (3.7) impliquent que le terme de Jackson
est invariant sous tout difféomorphisme préservant l’élément de volume. La paramétrisation
particulière implique aussi que ces difféomorphismes agissent non-trivialement seulement sur
z et z¯, ils laissent F inchangé. Afin de généraliser cette symétrie au lagrangien, la dépendance
du potentiel sera imposée, soit qu’il dépendra de F uniquement. Finalement, observons que le
traitement est général par rapport à la paramétrisation, donc que le lagrangien possède une
infinité de symétries. Cette caractéristique est reliée à l’intégrabilité du modèle, puisque ces
symétries s’appliquent à l’action du modèle et conséquemment forment des courants conservés
avec charges conservées de Noether [2].
3.1.2
Borne BPS
De façon générale, la borne BPS, Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfield, est définie comme une
borne inférieure sur la masse ou l’énergie d’une théorie de champs classique. Lorsque l’énergie
de la borne inférieure est imposée, il est souvent possible de réduire l’ordre de l’équation
différentielle à résoudre d’un système de type soliton [33]. Elle est souvent associée à la
35
supersymétrie, puisque lorsqu’une théorie la préserve, les corrections quantiques sont absentes
et donc la borne est toujours valable dans le domaine quantique. Dans notre cas, c’est la
borne classique qui est intéressante, soit une simple limite inférieure à l’énergie.
L’expression de l’énergie statique liée au lagrangien est donnée par l’équation (3.7) à
laquelle est ajoutée la contribution du potentiel,

Z
EBP S =
λ sin2 F
d3 r 
(1 + |z|2 )2
!2

2
ilmn ∂l F ∂m z ∂n z¯
+ µ2 V (F ) .
(3.8)
Exprimée en une somme de deux carrés, elle devient

Z
EBP S =
!2
λ sin2 F
d3 r 
ilmn ∂l F ∂m z ∂n z¯
(1 + |z|2 )2
√ 2
+ µ V

(3.9)

et en complétant le carré,

Z
EBP S =
√
λ sin2 F
lmn
V
d3 r 
i
∂
F
∂
z
∂
z
¯
±
µ
m
n
l
(1 + |z|2 )2
!2
√ λ sin2 F
2µ V
ilmn ∂l F ∂m z ∂n z¯
(1 + |z|2 )2
!!
∓
.
(3.10)
Finalement, puisque a2 ∓ b ≥ ∓b, une inégalité peu contraignante, l’énergie se borne ainsi
EBP S ≥ ∓
Z
√
!
λ sin2 F
lmn
d r 2µ V
∂l F ∂m z ∂n z¯ .
2 2 i
(1 + |z| )
3
(3.11)
En imposant la borne, l’équation (3.10) doit obéir à
√
λ sin2 F
lmn
Fl zm z¯n = ∓µ V ,
2 2 i
(1 + |z| )
(3.12)
nommée équation de Bogomol’nyi du modèle. Cette équation est laissée en suspend le temps
de solutionner le lagrangien par la méthode variationnelle. Comme il sera vu, les solutions
du modèle sature la borne, c’est-à-dire que la configuration qui minimise l’énergie possède
l’énergie inférieure dans (3.11). Cela constitue un résultat assez surprenant et surtout puissant
dans le modèle BPS.
3.1.3
Solution
La solution angulaire proposée a la forme suivante
nj = (sin θ cos nφ, sin θ sin nφ, cos θ).
36
(3.13)
La restriction imposée par ce choix est que les solutions auront une symétrie axiale pour
tout n. Par contre, cela ne se répercute pas sur l’énergie statique et la densité baryonique,
qui possèdent la symétrie sphérique. Cela constitue une rupture avec le modèle de base,
mais une tentative de rapprochement avec la physique nucléaire expérimentale. L’équation du
mouvement dans la direction radiale du lagrangien (3.1) est
sin2 F ∂F
∂r
r2
n2 λ2 sin2 F ∂
2r2
∂r
!
− µ2
∂V
= 0,
∂F
(3.14)
et celle angulaire,
∂µ
Kµ
(1 + |z|2 )2
!
= 0,
Kµ =
avec
∂ (ανρσ ∂ν F ∂ρ z ∂σ z¯)2
,
∂ z¯µ
(3.15)
qui se réduit après substitution à
1
∂θ
sin θ
z 2 (∂θ z)
(1 + z 2 )2 sin θ
!
−
z(∂z)2
= 0.
(1 + z 2 )2 sin2 θ
(3.16)
Notons que la paramétrisation qui solutionne l’équation (3.5) et qui permet d’obtenir la
solution angulaire (3.13) est donnée par
θ
z(θ, φ) = tan einφ .
2
(3.17)
Ce choix n’est pas unique, il constitue en fait une possibilité parmi une infinité de solution.
Pour résoudre la partie radiale, un changement de variable est proposé
√
x=
2µr3
.
3nλ
(3.18)
L’équation (3.14) devient
sin2 F
∂
∂F
sin2 F
∂x
∂x
−
∂V
= 0,
∂F
(3.19)
et elle se solutionne par
sin4 F
V =
2
∂F
∂x
2
,
(3.20)
ou bien, en terme de l’ancienne variable,
n2 λ2 sin4 F
V = 2 4
4µ r
2
∂F
∂r
2
.
(3.21)
37
En insérant l’hypothèse de départ dans l’équation de Bogomol’nyi, la même expression est
obtenue. L’énergie de la borne inférieure est
Z
E = 4π
2
r dr
λ2 n2 sin4 F
4r2
∂F
∂r
!
2
2
+µ V
.
(3.22)
En fonction du potentiel, elle s’écrit
2
E = 8πµ
Z
r2 dr V (F (r)),
√
= 4 2πµλn
(3.23)
Z
dx V (F (x)),
(3.24)
une relation extrêmement simple à résoudre. Pour des questions de finitude d’énergie, le
potentiel doit décroitre de façon monotone vers 0 lorsque r → ∞. Aussi, dans ce modèle BPS,
une seule quantité indépendante est à définir, soit V ou bien F . L’équation du mouvement
est directement respectée en utilisant (3.21). Ce traitement simple et analytique est l’une des
grandes forces du modèle.
3.1.4
Compacton
La solution proposée dans [2] est un compacton, une structure qui est bornée dans un certain
volume de l’espace. L’approche consiste à utiliser le potentiel de Skyrme,
V = 1 − cos F (x),
(3.25)
et à restreindre la solution au domaine 0 < x < 43 ,
F (x) =

q
2 arccos 3 3x ,
0 < x < 34 ,
0,
x ≥ 34 ,
4
(3.26)
afin de rester dans la même branche du cos(F ). Le but est de tester la théorie dans son
expression la plus simple et de comparer les résultats avec le modèle original sur un pied
d’égalité. Remarquons que la dérivée de la fonction (3.26) est problématique à x =
4
3.
Cette divergence n’a toutefois pas d’impact sur le modèle, puisque la dérivée apparaît
toujours accompagnée d’un sinus carré (sin F )2k
∂F
∂x
k
, expression qui donne 0 à x =
4
3.
Le graphique de la fonction est présentée à la figure 3.1. La figure montre la nature
compacte de la fonction F . Il est d’ailleurs possible d’observer plus clairement son impact
sur la densité baryonique de la figure 3.2 (définie comme la composante 0 de l’équation (2.13)).
Ce modèle reproduit la bonne dépendance en n de la dimension du skyrmion. En
38
effet, le calcul du rayon r.m.s. donne
sR
q
hr2 i =
=
r2 dr(r2 B0 )
R
,
r2 drB0
√ !1
2 2λ 3 1
n3 ,
µ
(3.27)
(3.28)
1
= r0 n 3 .
(3.29)
Les paramètres obtenus par Adam et al. donne un rayon r0 de 0.90 fm.
Figure 3.1 – Solution de type
compacte dans le modèle de Skyrme purement BPS en fonction
√
2µ 3
de la variable r avec x → 3nλ r .
1.0
FH r L @ ΠD
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
r
Figure 3.2 – Densité baryonique normalisée pour n = 1 dans le modèle de Skyrme purement
BPS.
1.0
B 0 H r L  B 0 H 0L
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
r
39
3.2
Modèle q-BPS
D’après les résultats obtenus, le modèle BPS semble une approche prometteuse. Il reste par
contre quelques points qui doivent être éliminés ou travaillés si une description satisfaisante
des noyaux atomiques veut être atteinte. Les plus importants sont
• La nature compacte des noyaux doit changer. L’expérience indique un comportement
en plateau autour de r = 0 suivi d’une décroissance exponentielle quand r → ∞.
L’introduction d’un nouveau potentiel, admettant une solution F qui possède un
comportement plus adapté, est proposée ;
• Le lien avec la physique des pions doit être rétabli. Le modèle BPS suggère par ces
résultats que l’interaction méson-méson a beaucoup d’importance dans une théorie
de l’interaction forte. Toutefois, aucune explication ne motive l’absence d’un terme
dynamique décrivant le méson le plus fondamental, pilier dans les théories de Skyrme.
Les termes originaux L2 et L4 seront réintroduits dans le lagrangien en tant que
perturbations du régime BPS ;
• L’analycité et la simplicité des équations du modèle permettent la description de tous
les états nucléaires. Une généralisation de la quantification est proposée afin de tenir
compte du spin et de l’isospin de façon distincte. Il sera possible de couvrir beaucoup
plus d’états et ainsi analyser plus de prédictions ;
• Les corrections électromagnétiques seront ajoutées à l’énergie du modèle. Cela permettra
entre autres de différencier les deux nucléons par leur charge électrique.
3.2.1
Quantification et rotation
La quantification ressemble énormément à celle introduite dans la section 2.2. La seule
différence vient de la présence du n dans la partie angulaire de l’hypothèse de solution. Ce
changement différencie la rotation du spin de celle de l’isospin. La relation suivante,
(nK3 + L3 ) |i, j, i3 , j3 i = 0,
(3.30)
illustre qu’une rotation d’un angle de nω autour de l’axe 3 du repère associé au spin est
l’équivalent d’une rotation d’un angle de ω autour de l’axe 3 du repère associé à l’isospin.
Cette correspondance est directement reliée à la symétrie axiale du système. Les symétries
entre les moments d’inertie sont :
U11 = U22 ,
(3.31)
V11 = V22 ,
(3.32)
W11 = W22 ,
(3.33)
U33 =
40
W33
V33
= 2.
n
n
(3.34)
L’hamiltonien de rotation (2.50) ne se réduit plus à la forme simple (2.53), mais s’écrit plutôt
Hrot,n≥2
1
=
2
K2
L2
+
+
V11 U11
1
1
n2
−
−
U33 U11 V11
!
!
K32
(3.35)
pour n ≥ 2. Le cas sphérique n = 1 demeure, quant à lui, inchangé. Pour obtenir une
expression dépendante des opérateurs du repère du laboratoire I et J, l’invariance du carré
des spins et des isospins est utilisée,
I2 = K2
J 2 = L2 ,
(3.36)
aussi nommée invariance de Casimir. Pour l’opérateur K3 , la relation (3.30) implique
K3 =
−L3
.
n
(3.37)
De plus, la valeur propre |l3 | de L3 sera toujours plus petite ou égale à la valeur propre |l|
de L et donc aussi à la valeur propre |j| de J par (3.36). Finalement, en considérant que la
valeur de spin la plus élevée que peut avoir un noyau est le nombre de particules multiplié
par le spin,
l3 j n 1
|k3 | = ≤ ≤ ≤ .
n
n
2n
2
(3.38)
Comme k3 doit être pair pour les noyaux avec n pair et impair pour les noyaux avec n
impair, il convient d’associer k3 à 0 et
1
2
pour les deux cas respectifs. Cela entraîne par contre
l’impossibilité de décrire les noyaux fermioniques de façon conforme. Par exemple, le noyau
3 He
a k3 =
1
2
et donc l3 =
des valeurs de spins j ≥
3
2
3
2.
par (3.30). Conséquemment, les invariants de Casimir imposent
La valeur expérimentale de l’état fondamental de spin de 3 He
est de 12 . Le problème s’accentue plus le valeur de n augmente. Les seuls états fermioniques
descriptibles par la théorie sont le proton et le neutron, puisque dans leur cas, la relation (3.30)
est cohérente avec les observations. L’hamiltonien bosonique de rotation pour n > 1 est
1
Hrot |i, i3 , j, j3 i =
2
3.2.2
j(j + 1) i(i + 1)
+
|i, i3 , j, j3 i .
V11
U11
(3.39)
Contribution électromagnétique
Les skyrmions ont une densité de charge électrique non-nulle qui entraîne nécessairement
une répulsion au sein des configurations. La plupart du temps, cette contribution est ignorée
dans les modèles de Skyrme, puisque les configurations sont assez complexes et difficiles à
solutionner sans que cette correction électrique de l’ordre de 1% soit ajoutée. Par contre,
au sein du modèle q-BPS, les calculs permettent sans trop de compromis d’inclure l’énergie
électromagnétique. De plus, l’objectif est de déterminer avec le plus de précision possible la
masse des noyaux ; chaque correction à l’énergie a, en principe, de l’importance.
41
Dans les articles [9, 12, 13], la description d’une telle énergie passe par l’interaction
directe entre les densités de charge électrique. L’énergie de Coulomb est calculée en suivant
l’expression
ECoulomb
1
=
8π
Z
ρ(r)ρ(r0 ) 3 3 0
d rd r ,
|r − r0 |
(3.40)
soit l’interaction d’une distribution de charges électriques avec elle-même intégrée sur tout
l’espace. La difficulté de cette approche réside dans le dénominateur de l’équation, qui pose
problème lorsque la symétrie n’est pas sphérique. Un développement multipolaire (voir [18])
doit être invoquée afin d’arriver à une expression intégrable. Un calcul indépendant devrait
aussi être effectué pour inclure l’énergie magnétique.
Le but est de généraliser cette approche par un traitement utilisant les facteurs de
forme. La couverture du magnétisme s’en trouve grandement simplifiée, tout en reproduisant
les résultats de l’ancien traitement qui procède par calcul direct de (3.40). L’ajout du
magnétisme permet en plus de déterminer les moments magnétiques des noyaux. Considérons
tout d’abord le courant électromagnétique tel que défini dans [6],
1 ˜µ
J˜µ (r) = B
(r) + V˜3µ (r),
2
(3.41)
où le tilde dénote les quantités dépendantes du temps par la paramétrisation dynamique (2.37).
V˜ µ est la troisième composante de la densité de courant vectoriel qui est obtenue en faisant
3
la somme des courants gauche et droit définis comme le lagrangien sous transformation de
gauche et de droite [24],
µ
µ
V˜aµ = V˜a,L
+ V˜a,R
,
˜ → LU
˜, U
˜† → U
˜ † L† ) + L˜µ (U
˜ →U
˜ R† , U
˜ † → RU
˜ † ).
= L˜µa (U
a
Cette équation donne, en prenant la troisième composante après simplification,
˜ µ + 4β Tr
V˜3µ = i 2α Tr T˜3 L
h
˜ν
T˜3 , L
ih
˜ µ, L
˜ν
L
i
!
ih
i
h
ih
9λ2
˜ν L
˜ν , L
˜ω L
˜ω, L
˜µ
+ 2 Tr T˜3 , L
.
16
(3.42)
Les facteurs de forme sont la transformée de Fourier des densités de charges et de courants
sur l’espace des impulsions. Les définitions suivantes [52] sont considérées,
GM,k (q 2 ) = mn
GE (q 2 ) =
Z
Z
~
d3 r eiq·r ~r × J(r)
d3 r eiq·r J 0 (r),
k
,
(3.43)
(3.44)
où mn est la masse du nucléon qui est prise comme la moyenne entre la masse du neutron et
du proton. Le courant (3.41) comporte deux composantes foncièrement différentes : une partie
scalaire proportionnelle au courant baryonique B µ et une partie vectorielle proportionnelle
42
à la troisième composante du courant vectoriel V3µ . Cette séparation permet de diviser les
équations (3.43) et (3.44) en deux parties chacune,
mn
~ ,
=
d3 r eiq·r ~r × B
k
2 Z
~3 ,
GVM,k (q 2 ) = mn d3 r eiq·r ~r × V
Z
GSM,k (q 2 )
k
GSE (q 2 ) =
GVE (q 2 ) =
1
Z2
Z
d3 r eiq·r B 0 ,
d3 r eiq·r V30 .
(3.45)
(3.46)
(3.47)
(3.48)
Afin de simplifier les calculs, le développement de l’onde plane de l’exponentielle est utilisé
eiq·r =
∞ X
l
X
il Ylm∗ (θq , φq )Ylm∗ (θr , φr )jl (qr),
(3.49)
l=0 m=−l
où Ylm∗ sont les harmoniques sphériques et jl , les fonctions de Bessel sphériques. À partir
de maintenant, l’espace auquel l’harmonique appartient sera noté en indice inférieur, e.g.
m∗ . Les relations d’orthogonalité des harmoniques permettent de faire tomber
Ylm∗ (θr , φr ) = Yl,Ω
r
tous les indices sauf un ou deux dans chacun des termes. Effectivement, les deux termes du
facteur de forme électrique sont proportionnels à
√
0
B 0 (r, θ, φ) = B 0 (r) = 2 π Y0,Ω
B 0 (r),
r
(3.50)
˜ 0 (annexe A.1, éq. (A.3)) dans V 0 (éq. (3.42)),
et, en insérant L
3
V30 (r, θ, φ) = R3i (A) (Uij aj − Wij bj ) ,
(3.51)
où l’écriture calligraphique symbolise la densité pour les moments d’inertie et elle est introduite
de sorte à bien les différentier des moments intégrés. La relation (2.45) du moment canonique
conjugué Ki nous permet d’écrire
a1 =
K1
,
U11
a2 =
K2
U22
et
a3 =
K3 + W33 b3
K3
=
+ nb3 .
U33
U33
(3.52)
Ces équations, combinées à la relation (2.47), simplifient V30 à
U11 + U22
I3 ,
2U
√ 112
√ 0 π sin F 2 0
0 2
=
I
64r
10Y
+
5Y
α
+
8β(F
)
3
0,Ωr
2,Ωr
120U11 r2
√ 0 0
+ sin2 F 5 + 15n2 Y0,Ω
+ 2 5Y2,Ω
256β + 9λ2 (F 0 )2 .
r
r
V30 =
(3.53)
43
Pour la partie magnétique, des simplifications sont nécessaires. Commençons avec l’équation
(3.45), dans laquelle il faut d’abord effectuer une rotation sur l’indice i afin d’obtenir les
coordonnées du laboratoire. La troisième composante est prise pour satisfaire la symétrie de
notre modèle
GSM (q 2 ) = R3i (B † )
mn
2
Z
˜k .
d3 r eiq·r ijk rj B
(3.54)
˜k , nous obtenons
Ensuite, en suivant les calculs de l’annexe A.2 et en insérant la définition de B
GSM (q 2 )
mn
=−
2
Z
2 3
r d re
iq·r
J3
+
−
V11
2
sin θB0
1
n
−
R33 (B † )K3 ,
W33 V11
(3.55)
De la même façon avec l’équation (3.46),
GVM,3 (q 2 )
†
= imn R3i (B )
Z
˜ k + 4β Tr
d3 r eiq·r ijk rj 2α Tr T˜3 L
h
˜ν
T˜3 , L
ih
˜k, L
˜ν
L
i
!
h
ih
ih
i
9λ2
˜ν L
˜ν , L
˜ω L
˜ω, L
˜k
+ 2 Tr T˜3 , L
,
16
(3.56)
qui devient, telle que calculée dans l’annexe A.3,
GVM,3 (q 2 ) = mn R33 (B † )R33 (A)
†
Z
d3 r eiq·r W33 ,
Z
d3 r eiq·r w33 (r) sin2 θ.
= mn R33 (B )R33 (A)
(3.57)
En exprimant la dépendance angulaire en terme d’harmoniques sphériques, les équations (3.45)
à (3.48) se réduisent à
GSM
J3
mn
−
=−
+
2
V11
×
Z
1
n
R33 (B † )K3
−
W33 V11


r
∞ X
l
X
√
4
π4 0
2 3 
l m∗ m∗
0
r d r
i Yl,Ωq Yl,Ωr jl (qr)
π Y0,Ωr −
Y2,Ωr B0 ,
3
53
(3.58)
l=0 m=−l
GVM = mn R33 (B † )R33 (A)
×
Z


r
∞ X
l
X
√
π4 0
4
0
3 
l m∗ m∗
d r
π Y0,Ωr −
Y2,Ωr w33 (r),
i Yl,Ωq Yl,Ωr jl (qr)
3
53
(3.59)
l=0 m=−l
1
GSE =
2
Z
√


∞ X
l
√
X
0
0
m∗ m∗

d3 r 
π
Y
il Yl,Ω
Y
j
(qr)
2
0,Ωr B (r),
q l,Ωr l
πI3
GVE =
120U11
Z


∞ X
l
X
√ 0 sin2 F 2 0
m∗ m∗

d3 r 
64r
10Y
+
5Y2,Ωr
il Yl,Ω
Y
j
(qr)
0,Ωr
q l,Ωr l
r2
l=0 m=−l
× α + 8β(F 0 )2 + sin2 F
44
(3.60)
l=0 m=−l
√ 0 2
0 2
0
+
2
. (3.61)
5 + 15n2 Y0,Ω
5Y
256β
+
9λ
(F
)
2,Ω
r
r
En utilisant la relation d’orthogonalité
Z
i
dΩr Yj,Ω
Y k∗ = δjl δ ik ,
r l,Ωr
(3.62)
où dΩx = sin θx dθx dφx est sous-entendu, les équations deviennent,
1
n
−
R33 (B † )K3
W33 V11
r
Z
4√
π4 0
0
×
π Y0,Ωq −
Y
r4 dr j0 (qr)B0 ,
3
5 3 2,Ωq
r
Z
π4 0
4√
0
V
†
2
π Y0,Ωq j0 (qr) +
Y
j2 (qr) w33 (r),
GM = mn R33 (B )R33 (A) r dr
3
5 3 2,Ωq
Z
√ 0
GSE = πY0,Ω
r2 dr j0 (qr)B 0 (r),
q
√
Z
√
sin2 F 2 πI3
0 2
V
0
0
α
+
8β(F
)
GE =
d3 r 2
5j
(qr)Y
64r 10j0 (qr)Y0,Ω
+
2
2,Ωq
q
120U11
r
√
0
0
2
0 2
+ sin2 F 5 + 15n2 j0 (qr)Y0,Ω
+
2
5j
(qr)Y
256β
+
9λ
(F
)
.
2
2,Ωr
q
GSM
mn
J3
=
−
+
2
V11
(3.63)
(3.64)
(3.65)
(3.66)
Les équations sont maintenant intégrées sur les angles Ωq , seule l’harmonique Y00 ne tombe
pas à l’intégration, d’où l’absence des contributions dépendantes de j2 (qr),
∞
1
n
¯ SM (q 2 ) = − 2nmn − J3 +
−
R33 (B † )K3
r2 drj0 (qr) sin2 F F 0 ,
G
3π
V11
W33 V11
0
Z ∞
8πmn
V
2
†
¯
GM (q ) =
r2 drj0 (qr)
hψ| R33 (B )R33 (A) |ψi
3
0
!
!
sin2 F
9λ2 sin2 F
2
0 2
× n sin F 4α + 32β 2 + 32β +
(F ) ,
r
8r2
Z
n ∞
S 2
¯
GE (q ) = −
drj0 (qr) sin2 F F 0 ,
π 0
Z ∞
π I3
V 2
¯
GE (q ) =
drj0 (qr) sin2 F 32r2 α + 8β(F 0 )2
3 U11 0
!!
9λ2 0 2
2
2
+ sin F 1 + 3n
64β +
(F )
.
4
Z
(3.67)
(3.68)
(3.69)
(3.70)
Les normalisations peuvent être vérifiées,
D E
J3
1
n
nmn
†
S
2
¯
−
+
−
R33 (B )K3 r2 ≡ µSn ,
GM (q → 0) = −
3
V11
W33 V11
¯ V (q 2 → 0) = mn R33 (B † )R33 (A)W33 ≡ µV ,
G
M
¯ SE (q 2 → 0) = n ,
G
2
V 2
¯
GE (q → 0) = I3 ,
n
(3.71)
(3.72)
(3.73)
(3.74)
45
où le moment magnétique du noyau à n nucléons µn = µSn + µVn est retrouvé. L’énergie
électromagnétique est donnée par la formule suivante [37]
Eem
αem
=
π
Z
dq
D
E
D
¯ SE + G
¯ VE
G
E2
!
q 2 D ¯ S E D ¯ V E2
−
G M + GM
,
2m2n
(3.75)
D E
¯ est la valeur moyenne, prise dans un état de spin et d’isospin donnés, des expressions
où G
retrouvées de (3.67) à (3.70). L’opérateur J3 a le comportement habituel dans la valeur
moyenne, mais les matrices de rotation subiront un changement plus radical. Rappelons
d’abord l’action de la valeur moyenne sur un opérateur O(A) [32],
hψ| O(A) ψ 0 =
Z
dΩ hψ|Ai O(A) A|ψ 0 ,
(3.76)
avec l’équivalent pour un opérateur O(B). Les produits internes sont donnés par les fonctions
d’onde du skyrmion [15],
s
hA|ψi =
s
hB|ψi =
2i + 1 i
D
(A),
2π 2 k3 ,i3
(3.77)
2j + 1 j
Dj3 ,l3 (B),
2π 2
(3.78)
n
avec Dm,m
0 les fonctions de Wigner. L’équation (3.76) devient pour une matrice de rotation
sur l’espace d’isospin R33 (A)
hψ| R33 (A) ψ 0 =
2i + 1
2π 2
Z
dΩ Dki∗3 ,i3 (A)R33 (A)Dki 3 ,i3 (A),
(3.79)
où les états sont égaux |ψi = |ψ 0 i, puisque des valeurs moyennes sont considérées et non des
états de transition. Les matrices Rij , étant dépendantes de A et B, sont décrites par trois
angles d’Euler et peuvent ainsi être écrites en terme des fonctions de Wigner. Suivant [32], il
est possible d’écrire simplement
1
R33 (A) = D00
(A).
(3.80)
Il s’avère que l’intégrale sur tous les angles d’Euler d’un produit de trois fonctions de Wigner
se simplifie grandement. Ce type de calcul peut se trouver dans un ouvrage tel que [54] et
donne
Z
n1 ∗
n2
n3
dΩ Dm
0 (A)Dm ,m0 (A)Dm ,m0 (A) =
3
1 ,m
2
1
2
3
2π 2
(−1)2(1−i+k3 ) hn2 , m2 ; n3 , m3 |n1 , m1 i n2 , m02 ; n3 , m03 |n1 , m01 ,
2n1 + 1
46
(3.81)
où les deux dernières expressions sont des coefficients de Clebsch-Gordan. En appliquant ce
résultat à l’équation, elle devient
hψ| R33 (A) |ψi = (−1)2(−i+k3 ) h1, 0; i, k3 |i, k3 i h1, 0; i, i3 |i, i3 i .
(3.82)
Parallèlement dans l’espace du spin,
hψ| R33 (B) |ψi = (−1)2(−j+j3 ) h1, 0; j, l3 |j, l3 i h1, 0; j, j3 |j, j3 i .
(3.83)
Ces expressions sont relativement simples à solutionner pour les premiers noyaux, mais plus
le spin et l’isospin s’élèvent, plus le nombre de possibilités augmente. Pour le neutron et le
proton de spin up, ce serait par exemple
1
= ,
3
1
hψ| R33 (A) ψ 0 p = − hψ| R33 (A) ψ 0 n = .
3
hψ| R33 (B) ψ 0
= hψ| R33 (B) ψ 0
p
n
(3.84)
(3.85)
Dans la limite des bosons, k3 = l3 = 0, les deux éléments de matrice tombent à zéro pour
tout n.
3.2.3
Modèle q-BPS et solutions
Dans les deux sous-sections 3.2.1 et 3.2.2, deux nouvelles contributions à l’énergie des
configurations ont été présentées. La possibilité d’ajouter les deux termes du lagrangien
original de Skyrme en tant que perturbations du modèle purement BPS sera explorée. Le
lagrangien de notre théorie est
L = µ2 L0 + αL2 + βL4 + λ2 L6 ,
(3.86)
avec le sous-indice indiquant la puissance des dérivées du champ. Le lagrangien original de
Skyrme a été réintroduit avec deux nouveaux paramètres α et β, associés aux perturbations.
Les termes s’expriment explicitement par
L0 = −V,
(3.87)
µ
L2 = − Tr (Lµ L ) ,
(3.88)
µ
ν
L4 = Tr ([Lµ , Lν ] [L , L ]) ,
(3.89)
L6 = −π 4 Bµ B µ .
(3.90)
Il est possible de trouver l’énergie statique associée au modèle en prenant la dépendance
temporelle nulle et en intégrant la densité lagrangienne,
47
Estat = −
Z
d3 rLstat =
Z
sin2 F
9λ2 n2 (∂r F )2 sin4 F
2
2
+
2α
(∂
F
)
+
(n
+
1)
d3 r µ2 V +
r
16
r4
r2
4
sin2 F
2 sin F
+16β (n + 1) (∂r F )
+
n
r2
r4
!!
2
2
!
.
(3.91)
Selon la valeur des paramètres α et β, le régime BPS sera quitté et ainsi de l’énergie de
liaison pour les noyaux atomiques sera créée.
En posant les deux perturbations nulles, le système se retrouve dans le cas BPS, dont
la solution est connue. Depuis quelques années, plusieurs potentiels solutionnant ce régime
ont été proposés et ils possèdent tous des caractéristiques uniques.
Figure 3.3 – Quelques solutions du système décrit par (3.91), y compris celle du groupe
d’Adam et al.
1.0
F Adam
FH xL @ ΠD
0.8
F 2010
F 2012
0.6
F 2013
0.4
0.2
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x
L’angle chiral F (x) qui leur est associé est présentée dans la figure ci-dessus où les fonctions
F2010 , F2012 , F2013 apparaissent dans [13], [12] et [9] respectivement et où FAdam est la solution
du groupe d’Adam et al. [2]. Les quatre fonctions sont décrites par les expressions suivantes
µ
3
3
F2010 = 2 arcsin e− 18nλ r → 2 arcsin e−x ,
µ
F2012 = 2 arcsin e−( 18nλ )
2
→ 2 arcsin e−x ,
où un changement de variable, r →
18nλ
µ
1
3
(3.92)
(3.93)
4
µ
( 18nλ
) 3 r4 → 2 arcsin e−x2 − 75 x4 ,
!1
√
√
1
2µr3 3
= 2 arccos
→ 2 arccos 3 2x3 3 ,
6nλ
µ
F2013 = 2 arcsin e−( 18nλ )
FAdam
2
3 r2 − 7
5
2
3 r2
(3.94)
(3.95)
x, a été utilisé pour offrir une meilleur visibilité
aux équations. Les trois solutions qui sont proposées ne sont pas compactes et elles n’enroulent
48
l’espace qu’une seule fois de F (0) = π à F (∞) = 0. Cela vient directement de la construction
de la fonction, qui s’assure, avec l’exponentielle négative, de rester dans une branche bien
définie de l’arcsinus
a
e−x ∈ [0, 1]
pour
x ∈ [0, ∞]
(3.96)
2 arcsin f ∈ [0, π]
pour
f ∈ [0, 1] .
(3.97)
De plus, le comportement de la dérivée de F a de l’importance dans la structure des noyaux,
puisque la densité baryonique lui est directement proportionnelle
n ∂F
sin2 F
B0 = − ∂r 2 2 .
2π r
(3.98)
Si une structure pleine avec un maximum près de zéro est désirée, un potentiel menant à une
solution n’ayant pas sa dérivée nulle à r = 0 sera construit. La figure des densités 3.4, en
parallèle avec la figure 3.3, illustre bien ce dernier point.
Figure 3.4 – Densités baryoniques associées aux fonctions (3.92) à (3.95)
B Adam
20
B 2010
BH xL
15
B 2012
B 2013
10
5
0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
x
La motivation majeure du saut de F2010 vers F2012 est justement de se débarrasser des noyaux
en forme de coquille. Par contre, cette nouvelle fonction n’a toujours pas le bon comportement
autour de l’origine. Les états nucléaires possèdent plutôt une densité constante autour du
cœur de l’atome et non pas une valeur maximale qui retombe immédiatement. La nouvelle
fonction F2013 a pour but de redresser cette incongruité. De fait, elle est un peu plus complexe,
puisqu’elle a comme fondement un développement des dérivées autour de r = 0 dans lequel
l’imposition de l’annulation de la deuxième dérivée de la fonction seulement est choisie. Cela
constitue un compromis entre la complexification des calculs et une bonne description de la
matière. Techniquement, un développement en puissances paires à l’intérieur de l’exponentielle
49
est considéré,
F (r) = 2 arcsin exp −x2 − a1 x4 − a2 x6 − a3 x8 − · · · ,
(3.99)
et les coefficients suivants sont obtenus
7
a1 = ,
5
a2 =
1384
,
525
a3 =
6302
1125
...
(3.100)
La figure 3.5 montre qu’en ajoutant simplement le terme proportionnel à a1 , un plus long
plateau devient possible pour chaque noyau.
Figure 3.5 – Densités baryoniques associées aux fonctions F2012 et F2013 pour des valeurs
d’enroulement de n = 1, 8, 27, 64.
0.06
F 2012
0.05
F 2013
BH r L
0.04
0.03
0.02
0.01
0.00
0
2
4
6
8
10
r
Une dernière caractéristique des solutions en lien avec la physique nucléaire sera discutée :
l’épaisseur de peau. Remarquons que peu importe la fonction utilisée, la pente de la densité de
baryons varie selon n. Cela vient directement des racines du modèle q-BPS, plus précisément
de la solution (3.21), qui implique nécessairement que F a une dépendance en
µ 31
nλ
r, soit que
n agit comme paramètre d’échelle de notre angle chiral. Il est difficile d’espérer décrire la peau
constante des noyaux avec ce modèle. Toutefois, la figure 3.5 montre que le comportement est
bon en n pour la dimension des noyaux. Effectivement, le rayon des configurations n = 8, 27, 64
1
double, triple et quadruple par rapport à n = 1, ce qui indique une dépendance en n 3 , telle
qu’attendue.
3.3
3.3.1
Prédictions du modèle q-BPS
Considérations préliminaires
Plusieurs concepts fondamentaux ainsi que diverses extensions de la théorie des skyrmions
q-BPS ont été examinés. Les résultats qui motivent la poursuite des recherches dans cette
branche de la physique nucléaire seront maintenant présentés. L’expression complète de
50
l’énergie du modèle est la somme des énergies statique, de rotation, électromagnétique et
de brisure d’isospin,
Etot = Estat + Erot + Eem + Eiso ,
(3.101)
avec Estat définie à l’équation (3.91), Erot à l’équation (3.39) et Eem à l’équation (3.75). Quant
à Eiso , elle est une contribution ajoutée dans le but de séparer la masse du neutron de celle
du proton. Eiso est posée comme une relation linéaire en i3
Eiso = −kiso i3 ,
(3.102)
où kiso se veut une constante qui assurera la bonne séparation de masses entre les deux
particules
kiso = ∆mnp,exp − ∆mnp,th ,
(3.103)
avec ∆mnp , la différence de masses entre le neutron et le proton. Cette constante se réduit à
kiso = ∆mnp,exp − Eem,n + Eem,p ,
(3.104)
puisque seule l’électromagnétisme diffère entre les deux dans le modèle.
La méthode utilisée pour trouver les paramètres libres du lagrangien, α, β, µ et λ,
consiste à minimiser l’écart entre les valeurs énergétiques expérimentales et les expressions
présentées plus haut. Précédemment, les paramètres α et β étaient laissés libres de prendre
leur valeur dans tout le domaine des réels. De récentes révisions [9] ont permis de montrer
qu’en fait la théorie BPS doit n’avoir que des paramètres positifs. En effet, les termes
contribuant à l’énergie classique du lagrangien sont
Etot = µ2 E0 + αE2 + βE4 + λ2 E6 ,
(3.105)
où E0 , E2 , E4 et E6 sont les énergies statiques associées à L0 , L2 , L4 et L6 . De façon similaire
aux cas étudiés avec le théorème de Derrick-Hobart, ces termes varient sous changement
d’échelle Λ comme
Eclassique (Λ) = µ2 E0 + αΛE2 + β
E4
+ λ2 E6 ,
Λ
(3.106)
en se rappelant que dans un modèle BPS, E0 et E6 sont invariants d’échelle. Si β est pris
négatif, les solutions peuvent avoir une énergie négative sous changement d’échelle, ce qui
impliquerait que l’énergie classique du modèle n’est pas bornée inférieurement. La stabilité de
la solution quantique est moins évidente à établir. Par exemple, l’énergie électromagnétique
possède la même dépendance en Λ autour de Λ → 0 que le terme E4 , mais de signe inverse.
Il est alors possible d’établir un équilibre entre la contribution négative du terme de Skyrme
proportionnel à β et la contribution positive de la répulsion de Coulomb. Afin de s’assurer
que les skyrmions classiques et quantiques sont stables, la limite α, β ≥ 0 sera imposée.
51
Rappelons aussi que le but premier de l’optimisation des paramètres est de reproduire
la courbe bien connue de B/n, soit l’énergie de liaison par nucléon. Cette dernière est définie
comme
B
Np Ep + Nn En − Etot
=
,
n
n
(3.107)
où Np/n est le nombre de protons/neutrons et Ep/n , leur masse respective.
3.3.2
Résultats
La fonction à minimiser avec les paramètres libres du lagrangien est prise comme l’erreur
relative de l’énergie totale par rapport aux données expérimentales au carré
Fopt =
X
n
Etot,n − Eexp,n
Eexp,n
!2
.
(3.108)
Les résultats obtenus avec cette équation sont notés ci-dessous.
Nom
Paramètres
µ
I
13937
MeV2
λ
0.0041836
α
MeV−1
0.0015541
β
MeV2
0 MeV0
Table 3.1 – Valeurs des paramètres pour une optimisation globale de la fonction Fopt .
Pour mieux commenter les paramètres, un graphique de l’énergie de liaison par nucléon
en fonction du nombre de nucléons est présenté à la figure 3.6 à la page 53 ainsi qu’un
tableau contenant la masse de quelques noyaux représentatifs à la table 3.2 à la page 53.
L’optimisation semble favoriser les noyaux plus lourds qui ont un comportement plus
monotone que les premiers. Cela s’explique en partie à cause de l’hypothèse de solution
axiale. Les premiers noyaux possèdent une structure qui pourrait s’en éloigner, puisque la
matière semble, d’un point vue classique, formée d’agglomérats de particules. Pour les noyaux
lourds, cet aspect particulier est absorbé par la grande quantité de nucléons qui ont tendance
à former une sphère grossière. Rappelons aussi que l’énergie électromagnétique, qui contribue
de façon majeure à la quantité B/n, favorise une configuration plutôt sphérique. De plus, le
modèle de la goutte possède un terme de surface qui est particulièrement important pour les
premiers noyaux. Ce dernier n’a pas d’équivalent évident dans le modèle q-BPS. Il a aussi été
mentionné que notre modèle décrit les skyrmions comme un liquide incompressible. Encore
une fois, cette vision des noyaux correspond beaucoup mieux lorsque n est grand.
Il convient toutefois de mentionner que les résultats sont une progression par rapport
au modèle de Skyrme original, qui prédit les masses nucléaires dans un intervalle de confiance
d’environ 7% [2]. Le modèle q-BPS dévie au maximum de 0.5% des valeurs expérimentales.
52
Le graphique de l’énergie de liaison par nucléon propose aussi une nette amélioration sur le
modèle original, qui se situe parfois à un ordre de grandeur des données expérimentales.
Figure 3.6 – Énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de nucléons avec le groupe
I. La courbe en bleu représente la théorie et les points représentent les données.
B n HMeVL
10
8
6
4
2
0
50
100
150
200
Noyau
Mexp
Etot
% erreur
1H
938.272 MeV
938.27 MeV
0%
2H
1875.61 MeV
1866.0 MeV
0.51%
4 He
3727.38 MeV
3715.3 MeV
0.33%
12 C
11174.9 MeV
11149 MeV
0.23%
32 S
29773.6 MeV
29745 MeV
0.095%
58 Fe
53951.2 MeV
53932 MeV
0.036%
84 Kr
78144.7 MeV
78131 MeV
0.017%
130 Te
120980 MeV
120965 MeV
0.0078%
238 U
221696 MeV
221679 MeV
0.0078%
n
Table 3.2 – Masses calculées et expérimentales pour divers noyaux dans le modèle q-BPS.
L’absence du terme de Skyrme (proportionnel à β) dans l’optimisation n’est pas surprenante.
En effet, en considérant le régime positif uniquement, ce terme ne possède pas le signe
nécessaire à la description de l’interaction des champs de pions. Le rôle principal de ce terme
est de stabiliser la solution, ce qui devient superflu étant donné l’ajout du terme d’ordre
53
six. Pour commenter le terme d’ordre deux, il est intéressant de regarder un article récent
du groupe d’Adam et al. [1]. Dans ce dernier, les auteurs calculent l’énergie de liaison dans
un modèle BPS non-perturbé. Ils obtiennent un comportement similaire à celui présenté
dans ce mémoire, mais moins exact pour les noyaux lourds. Cela est explicable directement
par l’absence du terme non-linéaire sigma dans leur lagrangien. Ce terme contribue à
l’énergie par un facteur n7/3 dans la limite des noyaux à n élevé. Cette contribution, malgré
son caractère perturbatif, est importante pour des quantités aussi fines que l’énergie de liaison.
La figure 3.6 montre aussi que les données de l’énergie de liaison par nucléon possèdent deux
régimes distincts qui sont séparés approximativement par le
56 Fe.
Ils peuvent être expliqués
en partie par les symétries énoncées plus haut, qui perdent de l’importance plus n augmente.
L’optimisation considère l’ensemble des noyaux et semble mieux adaptée à décrire la partie
n > 56 soit la partie plus conforme à la description sphérique. En introduisant la quantité
suivante, qui est une équation de type variance non-biaisée,
s
− Xexp,i )2
,
N −1
P
i (Xi
σ(X) =
(3.109)
où N est le nombre de cas indépendants, Xi la valeur calculée et Xexp,i la valeur attendue, il
est possible de la calculer pour les deux régimes différentes en prenant X comme l’énergie de
liaison. La table 3.3 est obtenue et supporte le point énoncé plus haut.
Nom
σ(Bn<56 )
σ(Bn>56 )
σ(B)
I
2.442 MeV
0.1135 MeV
1.042 MeV
Table 3.3 – Séparation de la variance autour du fer
Finalement, la valeur du rayon r.m.s. (voir éq. (3.27)) est calculée avec les paramètres du
groupe I,
q
hr2 i
1
≈ 1.3982
λ
µ
3
MeV−1 = 1.848 fm,
(3.110)
et qui, lui, indique la taille typique des configurations. La partie de l’énergie qui est le plus
affectée par le rayon r.m.s. est l’énergie électromagnétique. En effet, comme les charges sont
normalisées à leur bonne valeur, un rayon trop grand par rapport à l’expérience entraîne
nécessairement une densité de charge plus diffuse et donc une énergie électromagnétique plus
petite dans le noyau. Le contraire est aussi vrai. Ceci dit, le graphique de l’énergie de Coulomb
pour les états nucléaires est présenté ci-bas.
54
Figure 3.7 – Énergie de Coulomb pour les bosons considérés dans l’optimisation avec les
paramètres du groupe I.
E Coulomb HMeVL
800
600
400
200
50
100
150
A
200
Ce résultat est compatible avec le rayon moyen qui a été calculé précédemment. Les moments
magnétiques, définis comme la normalisation à q → 0 du facteur de forme magnétique,
ont été discutés dans la section 3.2.2. Seulement quelques moments ainsi que les valeurs
expérimentales associées sont présentés, puisque le moment magnétique est nul pour la
majorité des noyaux bosoniques.
Noyau
µ
µexp
Erreur
hR33 (A)i
hR33 (B)i
Proton
4.240 µN
2.793 µN
51.8%
1
3
Neutron
-3.500 µN
-1.913 µN
83.0%
− 31
1
3
1
3
Deutéron
0.7395 µN
0.8574 µN
13.8%
0
0
Table 3.4 – Moments magnétiques de quelques configurations avec les éléments de matrice
correspondants
Encore une fois, les moments sont grandement affectés par la taille des noyaux. Le moment
magnétique étant directement proportionnel à la surface d’une boucle de courant, plus le
rayon augmente, plus le moment augmente aussi. Il est peut-être plus intéressant de regarder
les rapports de ceux-ci, puisqu’ils sont plus indépendants des échelles,
µp = 1.211 (1.460),
µ (3.111)
n
55
µ
d
= 1.000 (0.9746),
µn + µp (3.112)
avec la valeur expérimentale entre parenthèse. L’erreur diminue à 17.1 % et 2.61 %
respectivement pour les deux rapports, cela suggère que les différences entre les données du
tableau 3.4 sont principalement dues aux paramètres de la théorie plutôt qu’à la description
elle-même des propriétés magnétiques des noyaux.
À des fins de comparaison, les calculs présentés ci-haut ont été répétés pour les solutions
précédentes (équations (3.92) et (3.93)), puisque la méthode a changé.
Solution
Paramètres
µ
λ
MeV2
F2010
39421
F2012
19263 MeV2
0.0037488
α
MeV−1
0.0049471 MeV−1
β
MeV2
0 MeV0
0.0015083 MeV2
0 MeV0
0.0016915
Table 3.5 – Valeurs des paramètres pour les fonctions F2010 et F2012 .
Solution
σ(B/n)
Erreur max. sur Etot
Rayon r.m.s.
F2010
1.051 MeV
0.52%
1.237 fm
F2012
1.010 MeV
0.50%
2.192 fm
F2013
1.042 MeV
0.51%
1.848 fm
Table 3.6 – Quantités caractéristiques pour les fonctions F2010 , F2012 et F2013 .
La figure de l’énergie de liaison par nucléon n’est pas représentée, puisqu’elle est identique pour
chaque fonction. Les variances ne varient pas de façon significative non plus, ce qui suggère
que la théorie est assez stable par rapport à la solution utilisée. Les fonctions F2012 et F2013
avaient pour but d’améliorer la description qualitative des densités baryoniques, mais cela ne
semble pas se répercuter sur les résultats numériques. Du côté du rayon r.m.s., la solution
F2013 propose un meilleur résultat que sa précédente, ce qui s’explique par l’agglutinement de
la matière près de r = 0. Comme la densité baryonique associée à la première solution possède
une structure coquille, son rayon est plus ou moins comparable aux autres.
56
Conclusion
Le modèle sigma non-linéaire s’avère une approche incontournable pour la description de la
physique de l’interaction forte en terme de solitons topologiques. Effectivement, la facilité
d’y inclure la symétrie chirale ainsi que l’apparition de trois bosons sans masse, qui peuvent
être associés aux pions, fournissent un cadre qui lui est particulièrement bien adapté. Une
fois les problèmes de stabilité résolus, le modèle de Skyrme est obtenu, qui constitue la base
d’une grande variété d’extensions et de généralisations. Après quantification, le modèle est
en mesure de décrire des états particuliers de spin et d’isospin et de procéder ainsi à des
prédictions concrètes sur les états nucléaires. Un type particulier d’extension des théories
de Skyrme a été considéré, le régime BPS. Ce dernier est atteint lorsque la borne BPS du
modèle, construit à partir d’un terme d’ordre six en dérivées du lagrangien accompagné d’un
potentiel, est saturée. Ils sont associés à un terme d’interaction entre mésons ainsi qu’à un
terme de masse généralisé. La base topologique en fait un modèle hautement analytique.
Dans sa forme la plus simple, ce modèle parvient déjà à de bonnes prédictions, qui sont
améliorées par divers ajouts. Il est important de rappeler que d’autres groupes parviennent à
des solutions BPS à partir d’approches complètement différentes. C’est le cas de Sutcliffe [46],
qui solutionne une théorie de mésons pour trouver des solutions BPS.
Il est possible de décrire au sein d’une théorie q-BPS les états nucléaires à une précision de
0.5% sur la masse. Cela constitue un succès en plus d’une évolution notable par rapport au
modèle de Skyrme original, qui surestimait les masses d’environ 7%. Toutefois, la réelle force
du modèle réside dans sa simplicité ; les équations se solutionnent analytiquement. C’est un
avantage qui semble faire défaut dans la plupart des modèles de Skyrme, mais qui permet
une étude approfondie des propriétés des états prédits. Cela a permis de raffiner la solution
par des méthodes d’analyse algébrique, pour finalement obtenir une description élégante
de la matière nucléaire, soit une densité constante près du centre de la configuration. De
plus, une unification de l’électromagnétisme avec l’introduction des facteurs de forme a été
exposé. Il a été possible de calculer quelques moments magnétiques et de valider l’approche
des facteurs de forme pour les premières configurations. Finalement, le modèle reste valable
et compétitif malgré l’absence du terme de Skyrme en tant que perturbation des termes
BPS du lagrangien. L’inconvénient majeur reste la description de l’énergie de liaison, qui est
fortement influencée par cette contribution.
57
Au cours des dernières années, l’amélioration majeure du modèle est passée par la
possibilité de raffiner le potentiel du lagrangien. Il fut ainsi possible de se débarrasser des
solutions compactes originales en les remplaçant par des noyaux coquilles. Un peu plus tard, la
description est passée à une densité de matière pleine et, finalement, à une densité constante
près du centre des noyaux. Malgré l’amélioration qualitative de la physique nucléaire
qui ressort de cette évolution, les prédictions du modèle restent grosso modo constantes,
parfois meilleures, parfois moins convaincantes. Cela motive la recherche d’un chemin différent.
Il existe d’ailleurs plusieurs façons prometteuses de modifier le modèle. Il a été mentionné
plus tôt la modification de l’hypothèse de la solution. En se libérant des configurations
sphériques, la théorie pourrait fort probablement rejoindre la physique des premiers noyaux
plus facilement. Cela devra toutefois se faire sans affecter la description des noyaux plus
lourds, puisque la sphère semble être un bon gabarit pour ceux-ci. L’énergie de liaison est
une quantité qui est hautement dépendante des comportements émergents dans le noyau.
Comme il a été vu, dans le régime q-BPS, les seules contributions sont
B = ∆Erot + ∆Eem + ∆Enlσ .
Les autres termes statiques s’annulent, puisqu’ils représentent l’énergie des blocs individuels
du noyau. La contribution de brisure d’isospin est absente aussi, car elle dépend d’une quantité
additive, la troisième composante d’isospin i3 . Une suggestion qui pourrait être proposée pour
l’amélioration de la liaison des noyaux est de réviser la méthode de perturbation du lagrangien,
puisque celle-ci entre directement dans le calcul de l’énergie de liaison. Dans un modèle q-BPS,
l’hypothèse de départ implique que le premier méson vectoriel est la contribution principale
de la théorie de l’interaction forte. Il a été supposé que le méson scalaire, le pion, est la bonne
perturbation de cet état. Il serait intéressant de voir l’effet de l’addition du deuxième méson
vectoriel à la théorie avec ou sans le pion.
58
Annexe A
Courant électromagnétique
Dans cette annexe, les calculs bruts nécessaires à l’obtention des expressions présentées dans
ce mémoire sont détaillés. Les relations de commutation suivantes, qui sont tirées de [14],
seront importantes pour la suite des calculs,
−1
τj A,
2
1
[Ji , A] = Bτi ,
2
[Ij , A] =
1
[Kj , A] = Aτj ,
2
−1
[Li , A] =
τi B,
2
(A.1)
(A.2)
et ils constituent les seuls commutateurs non-triviaux entre les opérateurs A et B, et I, J, K
et L.
A.1
˜0
Calcul de L
˜ µ en insérant le champ dynamique (2.37) dans
Calculons la composante temporelle de L
˜0 = U
˜ † ∂0 U
˜,
L
˙
˙ B † A† + ABU B˙ † A† + ABU B † A˙ † ,
= ABU † B † A† ABU
B † A† + ABU
˙
˙ + B˙ † B + B † A˙ † AB B † A† ,
= AB U † B † A† ABU
+ U † B † BU
= AB U † B † (−iJk ak ) BU + U † (−iIk bk ) U + (iIk bk ) + B † (iJk ak ) B B † A† .
Comme B et Jk commutent (voir les équations (A.1) et (A.2)),
˜ 0 = AB −U † i τk ak U − U † ijk ri ∂j bk U + ijk ri ∂j bk + i τk ak B † A† ,
L
2
2
= AB (−iTk ak − ijk ri Lj bk ) B † A† .
(A.3)
59
A.2
Calcul de la contribution GSM,3
Tel que vu dans la sous-section 3.2.2, à l’équation (3.54), la contribution scalaire du facteur
de forme magnétique s’exprime
GSM,3 (q 2 ) = R3i (B † )
mn
2
Z
˜k ,
d3 r eiq·r ijk rj B
(A.4)
où la composante 3 a été retenue, comme l’impose notre symétrie. La partie spatiale du
˜ k s’obtient à partir de B
˜ µ,
courant baryonique B
µνσκ
µ→k kνσκ
˜ν L
˜σL
˜κ −
˜ν L
˜σL
˜κ ,
˜ µ (r, t) = −
−
→
T
r
L
T
r
L
B
24π 2
24π 2
k0ij
3
˜j ,
˜ iL
˜ 0L
=
T
r
L
24π 2
kij
˜ 0L
˜ iL
˜j ,
= 2 Tr L
8π
(A.5)
˜ k dans l’équation (A.4), elle devient
En remplaçant B
GSM,3
mn
kab
˜ 0L
˜ aL
˜b ,
= R3i (B )
d3 r eiq·r ijk rj 2 T r L
2 Z
8π
† mn
3
iq·r
˜
˜
˜
= R3i (B )
L
L
L
d
r
e
r
T
r
0 a b .
ijk kab j
16π 2
†
Z
(A.6)
En substituant le résultat de l’annexe précédente, le facteur de forme est
mn
3
iq·r
† †
† †
d
r
e
r
T
r
AB
(−iT
a
−
r
L
b
)
B
A
ABL
L
B
A
,
x x
a b
ijk kab j
def d e f
16π 2 Z
mn
= R3i (B † )
d3 r eiq·r ijk kab rj T r ((−iTx ax − def rd Le bf ) La Lb ) .
16π 2
GSM,3 = R3i (B † )
Z
Maintenant, en substituant l’ansatz classique U dans Tx et Le , l’expression se réduit à
sin2 θ sin2 F F 0
J3
1
n
mn
+
−
R33 (B † )K3 ,
d3 r eiq·r
−
2
2
2π
V11
W33 V11
Z
2
mn
J3
1
n
3
iq·r
2 r B0
†
=−
d re
sin θ
−
+
−
R33 (B )K3 ,
2
n
V11
W
V11
33
Z
mn
J3
1
n
2 3
iq·r
2
†
=−
r d re
sin θB0 −
+
−
R33 (B )K3 .
2
V11
W33 V11
GSM,3 (q 2 ) =
A.3
Z
(A.7)
Calcul de la contribution GVM,3
Effectuons le même traitement qu’à la section précédente sur le terme vectoriel du facteur de
forme magnétique (3.68),
GVM,3 (q 2 ) = imn R3i (B † )
60
Z
˜ k + 4β Tr
d3 r eiq·r ijk rj 2α Tr T˜3 L
h
˜a
T˜3 , L
ih
˜k, L
˜a
L
i
!
h
ih
ih
i
9λ2
˜a L
˜ a, L
˜b L
˜ b, L
˜k
.
+ 2 Tr T˜3 , L
16
(A.8)
Séparerons le calcul en trois parties, soit une étape par trace. La première contribution vient
du terme non-linéaire σ,
GVM,3,σ
Z
= 2αimn
Z
= 2αimn
Z
= 2αimn
Z
= 2αimn
Z
= 2αimn
˜ † τ3 , U
˜ U
˜ † ∂k U
˜ ,
dV ijk rj T r U
2
† †
† † †
† †
† † † τ3
, ABU B A ABU B A AB∂k U B A ,
dV ijk rj T r ABU B A
2
† † † τ3
† †
† † τ3
ABLk ,
dV ijk rj T r U B A
ABU B A − ABU B A
2
2
τ3
τ3
dV ijk rj T r U † B † A† ABU Lk − U † U B † A† ABLk ,
2
2
!
†τ
†
R
(A)
R
(A)
τ
3v
v
3v
v
BU Lk − B †
BLk .
dV ijk rj T r U † B †
2
2
Comme la rotation d’isospin n’affecte pas l’espace de spin et que B commute avec les
générateurs d’isospin Iv ,
GVM,3,σ
Z
τv
U Lk − Lk ,
dV ijk rj R3v (A) T r U
2
2
Z
dV ijk rj R3v (A)† T r (Tv Lk ) ,
= 2αimn
= 2αimn
†
= mn R33 (B † )R33 (A† )
Z
† τv
d3 r eiq·r W33,σ .
(A.9)
La deuxième contribution vient du terme de Skyrme
h
i
˜ ,L
˜u L
˜k, L
˜u ,
˜ † τ3 , U
= 4βimn dV ijk rj T r U
2
Z
τ3 ˜
τ3
† τ3 ˜
† τ3 ˜
˜
˜
˜
˜
˜
˜
˜
= 4βimn dV ijk rj T r
U
U−
Lu − Lu U
U−
Lk Lu − Lu Lk ,
2
2
2
2
Z
˜U
˜ † ∂u U
˜ − τ3 U
˜ † ∂u U
˜ −U
˜ † ∂u U
˜U
˜ † τ3 U
˜ +U
˜ † ∂u U
˜ τ3 ,
˜ † τ3 U
= 4βimn dV ijk rj T r
U
2
2
2
2
Z
GVM,3,Sk
AB (Lk Lu − Lu Lk ) A† B †
τ3
τ3
AB∂u U B † A† − ABLu B † A† ,
2
2
τ
τ
3
3
† † †
† †
† †
† †
−ABLu U B A ABU B A + ABLu B A
AB (Lk Lu − Lu Lk ) B A .
2
2
Z
dV ijk rj T r
= 4βimn
ABU † B † A†
Utilisons la cyclicité de la trace pour amener B(t)† A(t)† en avant de l’expression et multiplions
les dans chaque terme de la grande parenthèse
GVM,3,Sk
Z
= 4βimn
dV ijk rj T r
U † B † A†
τ3
τ3
τ3
AB∂u U − B † A† ABLu − Lu U † B † A† ABU
2
2
2
61
†
+Lu B A
† τ3
2
AB [Lk , Lu ] .
Utilisant la même tactique qu’avec le terme σ,
GVM,3,Sk = 4βimn
Z
U†
dV ijk rj T r
R3v (A)† τv
+Lu
2
!
R3v (A)† τv
R3v (A)† τv
R3v (A)† τv
∂u U −
Lu − Lu U †
U
2
2
2
!
[Lk , Lu ] ,
= 4βimn R3v (A)†
Z
= 4βimn R3v (A)†
Z
dV ijk rj T r
U†
τw
τw
τw
τw
U Lu −
Lu − Lu U † U + Lu
2
2
2
2
[Lk , Lu ] ,
dV ijk rj T r ([Tv , Lu ] [Lk , Lu ]) ,
†
†
= mn R33 (B )R33 (A )
Z
d3 r eiq·r W33,Sk .
(A.10)
En utilisant le résultat obtenu pour certains commutateurs dans la section précédente, la
contribution du terme de Jackson s’exprime ainsi
GVM,3,Jk = R33 (B † )
9λ2 imn
162
Z
dV ijk rj T r
9λ2 imn
= R3v (A) R33 (B )
16Z2
†
†
= mn R33 (B † )R33 (A† )
Z
h
ih
ih
h
˜g
T˜3 , L
˜g, L
˜h
L
˜ h, L
˜k
L
dV ijk rj T r [Tv , Lg ] Lg , Lh
d3 r eiq·r W33,Jk .
i
ih
,
Lh , Lk
i
,
(A.11)
En réunissant tous les termes, nous obtenons simplement
GVM,3 = mn R33 (B † )R33 (A† )
62
Z
d3 r eiq·r W33 .
(A.12)
Bibliographie
[1] C. Adam, C. Naya, J. Sánchez-Guillén, and A. Wereszczyński. Nuclear binding energies
from a BPS Skyrme model. arXiv, 2013.
[2] C. Adam, J. Sánchez-Guillén, and A. Wereszczyński. BPS Skyrme model and baryons
at large Nc. Phys.Rev.D, 82, 2010.
[3] C. Adam, J. Sánchez-Guillén, and A. Wereszczyński.
A Skyrme-type proposal for
baryonic matter. Phys.Let.B, 691 :105–110, 2010.
[4] G.S. Adkins and C.R. Nappi.
Stabilization of chiral solitons via vector mesons.
Phys.Let.B, 137(3,4), 1983.
[5] G.S. Adkins and C.R. Nappi.
The Skyrme model with pion masses.
Nuc.Phys.B,
233 :109–115, 1984.
[6] G.S. Adkins, C.R. Nappi, and E. Witten. Static Properties of Nucleons in the Skyrme
Model. Nuc.Phys.B, 228, 1983.
[7] I.J.R. Aitchison. The Skyrme Model of the Nucleon. Surveys High Energy Phys., 1988.
[8] P. Bandyopadhyay. Geometry, Topology and Quantum Field Theory. Springer, 2003.
[9] M.O. Beaudoin and L. Marleau. Near-BPS Skyrmions : Constant baryon density. arXiv,
2013.
[10] J. Bellazzini, V. Benci, C. Bonanno, and A.M. Micheletti. Solitons for the nonlinear
Klein-Gordon equation. arXiv, 2007.
[11] E. Bonenfant. Énergie de liaison du deutéron dans un modèle de Skyrme étendu. Master’s
thesis, Université Laval, 2010.
[12] E. Bonenfant, L. Harbour, and L. Marleau.
Near-BPS Skyrmions : Non-shell
configurations and coulomb effects. Phys.Rev.D, 85, 2012.
[13] E. Bonenfant and L. Marleau. Nuclei as near BPS Skyrmions. Phys.Rev.D, 82, 2010.
[14] E. Braaten and L. Carson.
Deuteron as a toroidal Skyrmion.
Phys.Rev.D,
38(11) :3525–3539, 1988.
[15] E. Braaten and L. Carson. Deuteron as a toroidal Skyrmion : Electromagntic form
factors. Phys.Rev.D, 39(3) :838–843, 1989.
63
[16] E. Braaten and J.P. Ralston. Limitations of a semiclassical treatment of the Skyrme
soliton. Phys.Rev.D, 31 :598–602, 1985.
[17] E. Braaten, S. Townsend, and L. Carson. Novel structure of static multisoliton solutions
in the Skyrme model. Phys.Lett.B, 235(1,2), 1990.
[18] B.C. Carlson and G.L. Morley.
Multipole Expansion of Coulomb Energy.
Ame.Jour.Phys., 31(3) :209, 1963.
[19] D.C. Cassidy. Uncertainty : The Life and Science of Werner Heisenberg. Freeman, 1992.
[20] G.H. Derrick. Comments on nonlinear wave equations as models for elementary particles.
J.Math.Phys.5, pages 1252–1254, 1964.
[21] B. Dion. Génération de champs de Skyrme à partir des instantons. Master’s thesis,
Université Laval, 1995.
[22] P. G. Drazin and R. S. Johnson. Solitons : an introduction. Cambridge University Press,
1989.
[23] D. Finkelstein and J. Rubinstein.
Connection between Spin, Statistics and Kinks.
J.Math.Phys., 9(11) :1762–1779, 1968.
[24] L. Harbour. Multi-skyrmions quasi-BPS et noyaux atomiques : Énergie de Coulomb et
configurations pleines. Master’s thesis, Université Laval, 2012.
[25] R.H. Hobart. On the instability of a class of unitary field models. Proc. Phys. Soc.
London, (82), 1963.
[26] G. Holzwrath and B. Schwesinger. Baryons in the Skyrme Model. Rept.Prog.Phys.49,
page 825 à 844, 1985.
[27] C. Houghton and S. Magee. A zero-mode quantization of the Skyrmion. Phys.Let.B,
632(4) :593–596, 2006.
[28] C.J. Houghton, N.S. Manton, and P.M. Sutcliffe.
Rational Maps, Monopoles and
Skyrmions. Nucl.Phys.B, 510 :507–537, 1998.
[29] A. Jackson, A.D. Jackson, A.S. Goldhaber, G.E. Brown, and L.C. Castillejo. A modified
skyrmion. Phys.Let.B, 154(2,3), 1985.
[30] I. Klebanov. Nuclear matter in the Skyrme model. Nuc.Phys.B, 262 :133–143, 1985.
[31] V. Koch. Introduction to chiral symmetry. LBNL-Report 38000, 1995.
[32] K.-F. Liu. Chiral Solitons. World Scientific Publishing Company, 1987.
[33] N. Manton and P. Sutcliffe. Topological Solitons. Cambridge University Press, 2007.
[34] N.S. Manton and B.M.A.G. Piette. Understanding Skyrmions using Rational Maps.
arXiv :hep-th/0008110, 2000.
[35] L. Marleau. Modifying the Skyrme model : Pion mass and higher derivatives. Phys.Rev.D,
43(3), 1990.
64
[36] L. Marleau. All-orders Skyrmions. Phys.Rev.D, 45(5), 1992.
[37] Ulf-G. Meissner, A.M. Rakhimov, A. Wirzba, and U.T. Yakhshiev. Neutron-proton mass
difference in nuclear matter and in Finite Nuclei and the Nolen-Schiffer Anomaly. APJ
Web of Conferences, 3, 2010.
[38] N. Nakahara. Geometry, Topology and Physics. Taylor and Francis, 2003.
[39] M. Ostrogradsky. Memoires sur les equations differentielles relatives au probleme des
isoperimetres. Mem.Ac.St-Petersbourge, VI(4) :385, 1850.
[40] M. Paré. Le modèle de Skyrme et ses extensions. Master’s thesis, Université Laval, 1993.
[41] Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder. An Introduction to Quantum Field Theory.
Westview Press, 1995.
[42] V.I. Sanyuk.
Genesis and evolution of skyrme model from 1954 to the present.
Int.J.Mod.Phys.A, 07, 1992.
[43] T.H.R. Skyrme. A Nonlinear field theory. Proc.Roy.Soc.London, A260 :127–138, 1961.
[44] T.H.R. Skyrme. A unified field theory of mesons and baryons. Nuc.Phys., 31 :556–569,
1962.
[45] T.H.R. Skyrme. The Origins of Skyrmions. Int.J.Mod.Phys.A, 03, 1988.
[46] P.M. Sutcliffe. Skyrmions, instantons and holography. JHEP, 1008(019), 2010.
[47] P.M. Sutcliffe. Skyrmions in a truncated BPS theory. JHEP, 1104(045), 2011.
[48] G. ’t Hooft. A two-dimensional model for mesons. Nuc.Phys.B, 72 :461–473, 1974.
[49] Sir W. Thomson. On vortex atoms. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, VI,
1867.
[50] E. Wigner. On the Consequences of the Symmetry of the Nuclear Hamiltonian on the
Spectroscopy of Nuclei. Phys.Rev.51, pages 106–119, 1937.
[51] E. Witten. Baryons in the 1/N expansion. Nuc.Phys.B, 160 :57–115, 1979.
[52] U.T. Yakhshiev, Ulf-G. Meissner, and A. Wirzba. Electromagnetic form factors of bound
nucleons revisited. Eur.Phys.J, A16 :569–574, 2003.
[53] A. Zee. Quantum Field Theory in a Nutshell. Princeton University Press, 2010.
[54] N. Zettili. Quantum Mechanics : Concepts and Applications. John Wiley and Sons, 2009.
65

4 f (x) - Lycée Jacques Monod, CLAMART

Document 5409612

Toutes les solutions sont prises à 25 °C, température à laquelle Ke

Correction - TD n˚20 - Conversion électromécanique de puissance 1

M4 - Éléments de mécanique du solide 1 Coefficient de frottements

TD M0

Exercices : Mécanique

TC4 - Introduction aux courbes potentiel

TD Méca4 : - Physique en PCSI

Télécharger (PDF