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Cours-Mécanique des fluides - Nathalie Lidgi

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N. Lidgi-Guigui
DUT Génie Biologique
2014
Mécaniqué dés fluidés
I.
Introduction
A. Qu'est-ce qu'un fluide ?
 Un solide est caractérisé par le fait que son volume peut être modifié sous certaines conditions et
que le seul moyen de le déformer est d'appliquer une force sur l'une de ses parois
 Un liquide est caractérisé par le fait qu'il n'a pas de forme propre il va occuper tout l'espace qui lui
est alloué. Son volume ne peut pas être modifié par un changement de pression.
 Un gaz est caractérisé par le fait qu'il n'a pas de forme propre et que son volume peut être modifié
par un changement de pression.
On appelle fluide tout ce qui est liquide ou gazeux.
La mécanique des fluides s’intéresse au mouvement d’ensemble du fluide. La mécanique des fluides
traite une gamme très vaste de phénomènes : de l’étude des mouvements des liquides (écoulements
dans des conduites, les océans, les fleuves, la circulation sanguine) aux actions mécaniques sur des
corps immergés dans des fluides (avions, bateaux, projectiles, fusées, embryon dans le liquide
amniotique). Dans ce module nous nous intéresserons aux principes généraux de la mécanique des
fluides sans rentrer dans les détails d’un de ces champs d’application.
II.
Statique des fluides
La statique des fluides s’intéresse aux fluides dans un état d’équilibre : le fluide n’a pas de mouvement
d’ensemble.
A. Rappels
1.
Masse Volumique
La masse volumique est noté  (rhô) et caractérise la masse par unité de volume :
(1)
Son unité est donc le kg.l-1.
En ce qui concerne les liquides, la masse volumique ne dépend essentiellement que de la température.
Pour les gaz, il faut prendre en considération la pression en plus de la température.
1
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A température ambiante la masse volumique de l'eau est de 1 kg.l-1.
2.
Densité
La densité est une masse volumique rapportée à une masse volumique de référence. Pour un liquide:
(2)
Pour un gaz :
(3)
Dans le cas du liquide, il est nécessaire de préciser les conditions de températures. Par contre, dans le
cas d'un gaz, la densité est indépendante de la température et de la pression.
La densité n'a pas d'unité, à température ambiante, la densité de l'eau est donc de 1.
3.
Pression
La pression est une force rapportée à une surface :
(4)
A force égale la pression exercée par la pointe d'une aiguille est donc plus élevée que celle d'un fer à
repasser. Dans le dessin de la figure 1, la planche de fakir est proposée sous deux modèles : un
"confort" composé d'un grand nombre d'aiguilles et un "saignant" composé de seulement 5 aiguilles. Si
on additionne les surfaces de toutes les aiguilles on aboutit à une plus grande surface pour le modèle
"confort" que pour le modèle "saignant". La force exercée par le corps du fakir sur la surface des
pointes des aiguilles est la même dans les deux cas (le poids du fakir en fait). Par conséquent, la
pression exercée par les aiguilles sur les corps du fakir est bien plus faible dans le cas du modèle
"confort" que dans le cas du modèle "saignant", d'où le choix de la dénomination.
Figure 1 : Le modèle confort est moins douloureux que le modèle saignant car la pression exercée par
les aiguilles y est moins forte.
La pression se mesure en N.m-1, ou en pascale (Pa)
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B. Principe fondamental de l'hydrostatique
Dans le cas d'un fluide incompressible, il est possible de préciser l'équation (4). Considérons un
cylindre incompressible (c’est-à-dire dont la masse volumique ne dépend pas de la pression) plongé
dans un fluide (figure 2).
Figure 2 : Un cylindre incompressible est plongé dans un fluide
Lorsque l'on fait le bilan des forces qui s'appliquent sur chacune des faces de ce cylindre on s'appercoit
que les force ⃗⃗⃗ appliquée sur les parois verticales se compensent. Il faut ensuite prend en compte la
force ⃗⃗⃗ exercée sur la face supérieure du cylindre, la force ⃗⃗⃗ exercée sur la face inférieure et bien
entendu le poids du cylindre. A l'équilibre, d'après la première loi de Newton, on aura :
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗
(5)
Grâce aux équations (1) et (4) on peut exprimer cette équation en fonction de la pression :
(6)
Où S est la surface des faces circulaires du cylindre et h la hauteur du cylindre.
On en déduit la relation fondamentale de la pression en hydrostatique :
(7)
La pression d’un fluide incompressible dans un champ de pesanteur ne dépend que de la coordonnée
verticale. La différence de pression entre deux points de cotes différentes se calcule à l’aide de la
formule (6).
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C. Conséquences du principe fondamental
1.
Hauteur de mesure
La pression d'un fluide prise à la même hauteur est toujours la même quelle que soit la forme du
contenant.
2.
Surface d'un liquide
La surface libre d'un liquide est plane quelle que soit la forme de son contenant
3.
Poussée d’Archimède
Reprenons le schéma de la figure 2. D'après le principe fondamental de l'hydrostatique, on a
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
(10)
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
(11)
(8)
(9)
Où V est le volume de fluide déplacé. Ce volume n'est pas forcément le même que celui de l'objet
immergé dans le fluide.
L'équation (11) est l'expression de la poussée d'Archimède. L'accélération de la pesanteur étant dirigée
vers le bas "
" est dirigée vers le haut. Par conséquent, la poussée d'Archimède ⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ est
dirigée vers le haut.
On remarque que la poussée d'Archimède dépend de la masse volumique du fluide dans lequel l'objet
est immergé. Il sera donc plus facile de flotter sur de l'huile que sur de l'eau.
4.
Théorème de Pascal
D'après l'équation (4), la pression est définie par le rapport entre une force et une surface. De plus, le
principe fondamental de l'hydrostatique nous explique que la différence de pression ne dépend que de
la différence de hauteur. Par conséquent, à une hauteur fixe on peut obtenir la même pression en
appliquant une grande force F sur une grande surface S ou une faible force f sur une petite surface s :
(12)
Le théorème de Pascal s'énonce donc ainsi :
Tout liquide en équilibre transmet intégralement et en tous ses points une variation de pression
imposée en l’un quelconque de ces points.
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Sur ce principe fonctionnent un grand nombre de dispositifs dont les freins des voitures ou les vérins
hydraulique (figure 3)
Figure 3 : Une force faible est appliquée sur une petite surface. La forme du dispositif permet de
transmettre la pression ainsi exercée et d'obtenir une force bien plus grande en sortir permettant de
soulever une voiture.
D. Tension superficielle
Lorsque l'on observe par exemple une goutte d'eau, on se rend compte qu'elle a une forme bien
spécifique qui se rapproche de la sphère. Lorsque l'on observe certains insectes, tels le gerris (figure
4), qui peuvent marcher sur l'eau, on a l'impression que la surface de l'eau est recouverte d'un film en
plastique très fin. Ce phénomène se produit à l'interface entre un liquide et un gaz, il s'explique par le
fait que les molécules du liquide vont empêcher les molécules de gaz de pénétrer à l'intérieur de leur
volume. Cette force qui rend difficile la rupture d'un film liquide s'appelle la tension superficielle.
Figure 4 : (A Gauche), le capitaine Haddock sur la lune remarque que le whisky a une forme
sphérique. (A droite) Les gerris tire parti de la tension superficielle de l'eau pour pouvoir marche
dessus
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Dans l'expérience de la figure 5 (dont une vidéo est visible ici : http://youtu.be/DZOB5GVAxJg), la
tige métallique transversale roule toujours vers le film savonneux car il applique une force sur cette
tige mobile qui va l'attirer vers lui.
Figure 5 : Un film savonneux est formé grâce à une tige métallique courbée en U sur laquelle une autre
tige métallique mobile est placée. La tige mobile roulera systématiquement vers le film savonneux.
En général la force de tension superficielle peut s'exprimer de la manière suivante :
(14)
 est le coefficient de tension superficielle et l est la longueur sur laquelle la force est appliquée.
Attention ! Dans le cas de la figure 5, le filme savonneux a deux faces, la force s'applique non
seulement sur le haut de la tige mobile mais également sur le bas, on a donc l qui est égal à deux fois
la longueur de la tige.
 se mesure donc en N.m-1.
Le phénomène de tension superficielle explique la présence de ménisque dans les tubes à essai
(phénomène de capillarité). C'est ce phénomène qui permet à la sève des arbres d'aller de la terre vers
les branches.
La tension superficielle est également utile en biologie animale. Les alvéoles pulmonaires sont
délimitées par des membranes. Ces dernières sont attirées les unes vers les autres par le phénomène de
tension superficielle. Pour faciliter la respiration (c’est-à-dire gonfler les alvéoles), des molécules
appelées surfactant1 sont présentes à la surface des alvéoles. Elles réduisent la tension superficielle et
laissent les alvéoles se gonfler. Mais une fois gonflées, le nombre de molécules de surfactant par unité
de surface diminue et la tension superficielle d'origine réapparait. La tension superficielle étant
redevenue trop grande, les alvéoles n'ont d'autre choix que de se dégonfler.
1
Les surfactants ou tensioactifs sont notamment présents dans le savon. Dans ce cas ils réduisent la tension
superficielle existant entre l'eau et l'huile ce qui permet à l'eau de nettoyer les tâches de gras.
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III. Hydrodynamique
L’hydrodynamique se réfère aux phénomènes de mouvement des fluides. Elle s’intéresse à la manière
de décrire ces mouvements et aux relations entre ces mouvements et les actions exercées sur les
fluides. Les phénomènes de mouvement dans les fluides sont généralement très compliqués ; il suffit
d’imaginer un liquide versé d’une bouteille ou sortant d’un robinet ou le mouvement de l’eau dans un
torrent ; il faudra donc faire attention aux définitions et on se placera d’abord dans des cas idéaux pour
compliquer le modèle de fluide petit à petit.
A. Définitions
1.
Ligne de courant
En tout point d'un fluide, ligne tangente à la vitesse instantanée du fluide en ce point.
Figure 6 (d'après physsique.vije.net) : (a) L'écoulement du fluide est illustré en traçant les vecteurs
vitesses aux différents points d'un fluide, Les lignes de courants suivent la direction de ces vecteurs
vitesse. (b) Les lignes de courant d'un fluide autour d'un obstacle et (c) dans un conduit. Notons que
plus les lignes de courant sont serrées, plus la vitesse est grande.
2.
Tube de courant
Un tube de courant est constitué de l’ensemble des lignes de courant qui passent par un contour fermé.
Le fluide contenu dans un tube de courant ne sort pas de ce tube de courant au cours du temps.
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3.
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Le débit
Le débit Q est par définition le volume de fluide qui traverse une section droite du tube de courant
pendant l’unité de temps. Le débit en correspondance d’une section droite S du tube de courant vaut :
Q=Sv
4.
(15)
Viscosité
La viscosité (du latin viscosus, gluant) est la propriété d'un fluide qui tend à empêcher son écoulement.
Les fluides de grande viscosité résistent à l'écoulement et les fluides de faible viscosité s'écoulent
facilement.
Pour exprimer la viscosité, considérons l'expérience de la figure 7. Une plaque se déplace sur la
surface d'un fluide à une distance b du fond. La couche du fluide en contact avec la plaque, est en
mouvement à la même vitesse vlim que la plaque, tandis que la couche de fluide en contact avec le fond
du récipient a une vitesse nulle.
Figure 7 : Une plaque solide se déplace sur un liquide. Le liquide sera entrainé en dessous de la plaque
à une vitesse v qui diminuera avec la profondeur du liquide.
Les couches parallèles de fluide ont des vitesses qui ne dépendent que de la distance z du fond du
récipient. Ce phénomène est dû aux forces de cohésion entre les particules du fluide et se manifeste
comme une force que chaque couche de fluide exerce sur les couches voisines.
La vitesse à une hauteur z du fond s'exprime comme :
(16)
Expérimentalement on trouve que la vitesse limite vlim est proportionnelle au rapport entre la force F
appliquée à la plaque et la surface de la plaque :
(17)
Où
(éta) est la constante de viscosité du liquide.
On obtient donc :
(18)
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L’unité de mesure de la viscosité dans le système international est le poiseuille (PI) avec 1 PI=1 Pa.s.
Un fluide pour lequel
= 0 s’appelle fluide idéal.
Produit
Température (°C)
Viscosité (mPa.s)
Confiture
20
8 500
Crème 30 à 50% MG
20
15-115
Glycérine 100%
20
12 100
50
0,5
20
1
0
1,8
Huile alimentaire
20
65
Miel
20
100 000
Liquide vaisselle
20
275
Sang
37
4-25
Eau
Tableau 1 : Viscosité de liquides courants
B. Equation de continuité
1.
Expression
Le fluide que nous allons considérer est incompressible, c’est à dire que la valeur de sa masse
volumique ne dépend pas de la pression (ni de la température), il est parfait, c’est à dire que sa
viscosité est nulle ( = 0)1.De plus nous nous limiterons à considérer uniquement le régime permanent,
c’est à dire une situation où les grandeurs physiques caractérisant le mouvement du fluide ne
dépendent pas du temps.
Considérons une portion d’un tube de courant limité par deux sections droites S1 et S2. Comme le
fluide est incompressible la quantité de matière dans un tube de courant est constante. Il faut que les
vitesses en correspondance de ces deux sections v1 et v2 soient telles que :
1
Cette hypothèse n’est valable que pour les superfluides en conditions particulières et éloigne sensiblement le
modèle de la réalité. Les résultats obtenus peuvent être considérés comme des résultats limites, qui approchent la
réalité pour des fluides peu visqueux.
9
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S1 v1 = S2 v2 = Q
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(19)
Cette équation nous informe que si l’on a un écoulement d’un fluide dans une conduite à section
variable, le fluide s’écoule plus rapidement à l’endroit où la conduite est plus étroite. Cette équation
préliminaire a été obtenue sans faire appel à l’hypothèse du fluide parfait, mais uniquement à
l’hypothèse d’incompressibilité.
Figure 8 : La vitesse d'écoulement est modifiée lorsque la taille du tube change, mais le débit est
toujours conservé
2.
Application : Vitesse de circulation sanguine
Figure 9 : Le système circulatoire est composé de vaisseau de différents diamètres
Le système circulatoire est composé de vaisseau de différents diamètres. D'après l'équation de
continuité, le débit sanguin restera constant dans tout le réseau ce qui implique un changement de
vitesse de circulation du sang.
D'après l'équation de continuité lorsque le sang passe de la veine de l'aorte à la veine puis au capillaire
la vitesse du sang devrait augmenter. Or lorsque l'on se coupe au bout du doigt, le sang coule plutôt
lentement alors qu'un capillaire a été touché. Ce paradoxe s'explique par le fait que l'équation de
continuité s'applique à l'ensemble des capillaires et non pas à chacun d'entre eux. Ainsi la somme des
sections de surfaces de tous les capillaires est supérieure à celui de l'aorte si bien que le sang y
circulera plus lentement.
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C. Théorème de Bernoulli
1.
Enoncé
Réfléchissons maintenant en termes d'énergie de ce fluide qui circule. L'énergie totale sera composée
de :

L'énergie de pesanteur liée à la masse du fluide et sa hauteur (Ep = mgh = Vgh)

L'énergie cinétique, liée à la vitesse du fluide (Ec = ½ mv² = 1/2Vv²)

L'énergie de pression, c’est-à-dire l'énergie dépensée à appuyer sur les parois de la conduite (
EPr = P.V)
Pour un volume V de liquide circulant dans une conduite, on obtient donc :
(20)
Puisque l'énergie se conserve tout au long de son parcours on a ETOT = constante. Et puisque l'énergie
est homogène au produit d'une pression par un volume, on en déduit que :
(21)
L'équation (21) est l'expression du théorème de Bernoulli. Nous verrons dans le paragraphe suivant
comment elle est utilisée en biologie.
2.
Applications à la circulation sanguine, le cas de la sténose
Lorsqu'un vaisseau sanguin se bouche son diamètre diminue, en fonction de cette diminution un
médecin prendra la décision d'intervenir ou non. La question est donc de pouvoir mesurer la taille du
rétrécissement sans avoir à ouvrir chaque vaisseau sanguin.
Pour mesurer le diamètre du vaisseau bouché, on mesure la vitesse de circulation. L'échographie
permet de mesurer la taille du vaisseau en amont du rétrécissement. Le Doppler permet de mesurer la
vitesse du sang. Grâce à l'équation de continuité il devient alors facile de déterminer le diamètre du
rétrécissement. Des exercices d'application seront proposés en TD sur ce sujet.
Le théorème de Bernoulli permet de calculer la différence de pression à l'endroit du rétrécissement. La
pression totale étant constante, on a:
(22)
En réorganisant cette équation on obtient :
(23)
De cette équation, on déduit que plus la sténose est serrée, plus la vitesse du sang à cet endroit sera
élevée et plus la pression artérielle sera grande. C'est cela qui déclenchera la décision d'opérer ou non.
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