Plan du cours
A.
Rappel des notions de base
Statistiques, distributions de probabilité, tests d’hypothèses, intervalles de confiance,
ANOVA, données aberrantes, rappels d’algèbre linéaire
B.
Méthodes de régression
Régression multiple (moindres carrés), analyse des modèles de régression, régression
Ridge, régression non-linéaire, estimation basée sur de multiples réponses
C.
Planification des expériences
Terminologie, blocage et randomisation, plans factoriels complets à 2 niveaux et analyse,
plans factoriels fractionnés, plans à plus de deux niveaux, méthode de surface des
réponses et optimisation empirique, plans optimaux
D.
Contrôle statistique des procédés (CSP)
1
Design des expériences
en
ce
s
ex
pé
ri
e
e
ex
pé
ri
s
aly
an
s
aly
an
ex
pé
rie
nc
es
données
en
ce
s
données
Nature itérative des expériences:
hypothèse(s)
(conjectures, modèles, etc.)
connaissances
Pourquoi planifier les expériences?
–
–
–
–
Réduire le nombre d’expériences à réaliser (temps, $)
S’assurer d’une plage de variations adéquate pour chaque facteur (x)
Minimiser la confusion entre les effets des différents facteurs
Permet d’identifier des relations de cause à effet
2
Cause à effet vs corrélation
Exemple d’un réacteur (BH2, p. 493)
On observe qu’une mousse indésirable peut
être atténuée en augmentant la pression (x1)
pression x1
Observé
(mousse)
rendement y
Procédure opératoire:
Niveau d’impureté élevé (x2) crée de la
mousse
–
Niveau d’impureté élevé (x2) diminue le
rendement (y)
–
Pour minimiser la formation de mousse, on
augmente la pression (x1)
–
La pression (x1) n’a aucun effet sur le
rendement (y)
Non observable
(« lurking variables »)
impureté x2
IC à 95% sur la pente: -1.05 ± 0.17
85
rendement y
–
80
75
25
30
35
pression x1 3
Terminologie
Facteurs : conditions (variables xi) des expériences
dont on veut étudier l’influence
Réponses: variables y à l’étude, que l’on veut optimiser
(influencées par les facteurs)
Effets:
valeurs quantitatives de l’influence du facteur
xi sur la (les) réponse(s) y
Niveaux:
nombre de valeurs discrètes prises
par les facteurs xi
4
Randomisation et blocage
Effet de deux traitements (A et B) sur la résistance en traction de pièces de
plastique:
A
A
A
A
B
B
B
B
H0 : µB − µ A = 0
H1 : µ B − µ A > 0
Test :
(y B − y A )
sp
1
1
+
n A nB
~ t n A +nB − 2
A
y A1
B
y B1
y An
y Bn
yA
A
B
yB
Problème avec cette manière d’attribuer les traitements A et B?
5
Randomisation
Et si l’épaisseur des pièces était variable en fonction du temps ?
A
A
A
A
B
B
B
B
y B − y A pourrait ne refléter que l’effet de l’épaisseur (perturbation non
observée) et non plus l’effet du traitement!!
Solution: randomiser l’allocation des traitements A et B!
A
•
•
B
B
A
B
A
A
B
L’effet de perturbations non observée sera distribué aléatoirement
sur chacun des traitements (A et B)
Assure que les tests d’hypothèses sont valides
6
Blocage
Si on s’attend à ce que la variation d’épaisseur soit progressive en fonction du
temps: deux pièces adjacentes sont similaires mais deux pièces distantes le sont
beaucoup moins!
Bloquer les paires de pièces adjacentes ensembles et assigner le traitement (A
ou B) de façon aléatoire à l’intérieur du bloc: plans aléatoires en blocs
A
B
bloc 1
B
A
bloc 2
B
A
bloc 3
A
B
bloc 4
A
B
bloc n
Comparer les résultats à l’intérieur des blocs (différence) plutôt que toutes les
mesures ensembles
Permet d’enlever l’effet des variations non observables pour se concentrer
seulement l’effet du traitement (A, B)
7
Blocage
A
B
bloc 1
B
A
bloc 2
bloc
A
B
différence
1
2
y A1
y A2
y B1
y B2
d 1 = y B1 − y A 1
d2 = y B2 − y A2
n
y An
y Bn
d n = y Bn − y An
d
B
A
bloc 3
A
B
bloc 4
A
B
bloc n
d est une meilleure mesure de µ B − µ A
que y B − y A
H 0 : E[ d ] = 0
Test statistique: Student par paires
(paired t-test)
∴
d−0
~ t n −1
sd
∴ sd =
sd
n
8
Plans pour études empiriques
Montgomery et Runger: chapitre 12
BH2: chapitres: 9-12
1.
Plans pour études préliminaires (screening designs): à partir d’un
grand nombre de facteurs potentiels, identifier lesquels ont un effet
significatif sur la (les) réponses d’intérêt.
2.
Construction de modèles empiriques: Y = η ( x1 , x 2 ,
Région 1: un modèle linéaire est approprié
, xk ) + ε
Contours de Y
1
Région 2: un modèle quadratique est
nécessaire (non linéaire)
x1
2
x2
9
Plans factoriels complets 2k
nombre de facteurs
Terminologie: factoriel 2k = nombre d’expériences
nombre de niveaux
Le plus simple est le 21: 1 facteur, 2 niveaux donc 2 expériences:
plage d’intérêt
y
x-
•
On désire estimer l’effet linéaire de x sur y
•
Quelles sont les 2 meilleures expériences?
x+
10
Plan factoriel 21
L’effet sur y du changement de x- à x+ est (y2-y1): c’est l’effet
principal du facteur x
Si l’on construit un modèle de régression par moindres carrés aux
résultats de ces expériences:
y
yˆ = βˆ 0 + βˆ 1 x
y2
βˆ 1
y1
•
βˆ 0
x-
x+
•
βˆ 1 est l’effet sur y d’un changement d’une
unité de x
Effet linéaire seulement (deux niveaux!)
11
Plan factoriel 22
Deux facteurs indépendants, deux niveaux
4 expériences (22)
Exemple: rendement d’un réacteur discontinu
plage
température (T):
160°C - 180°C
concentration (C) d’un réactif:
20% - 40%
}
}
facteurs (2)
niveaux des facteurs (2)
On désire étudier l’effet de T et de C sur le rendement Y
4 expériences = toutes les combinaisons possibles de 2 niveaux
pour 2 variables (effets principaux + interactions)
12
Plan factoriel 22
40%
54
68
% rendement, Y
C
direction dans laquelle le
rendement augmente
20%
72
60
160°C
T
180°C
13
Plan factoriel 22 – effets principaux
40%
54
68
54 – 60 = -6
68 – 72 = -4
moy.: -5
C
20%
Deux mesures de l’effet de C (rouge)
72
60
160°C
-5% / +20% de C
T
180°C
effets principaux de T et C sur Y
Deux mesures de l’effet de T (vert)
68 – 54 = 14
72 – 60 = 12
moy.: 13
+13% / +20°C de T
14
Plan factoriel 22 - interactions
Les facteurs T et C agissent-ils de façon indépendante sur Y?
Est-ce que l’effet de T est le même aux deux niveaux de C et viceversa?
Si l’effet est différent, alors il y a une interaction entre T et C
Dans l’exemple précédent, il n’y avait que très peu d’interactions,
mais changeons le rendement de 68% par 85%: 40%
effet de T à C élevée: 85 – 54 = 31
effet de T à C faible: 72 – 60 = 12
effet de C à T élevée: 85 – 72 = +13
effet de C à T faible: 54 – 60 = -6
importante interaction entre T et C !
54
85
60
72
C
20%
160°C
T
180°C
15
Plan factoriel 22 - analyse
Plan
T C
160 20
180 20
160 40
180 40
Plan normalisé
x1 x2
-1 -1
+1 -1
-1 +1
+1 +1
Conditions centrales
T = 170°C
C = 30 %
Transformation
xi =
var iable − po int central
plage 2
x1 =
T − 170 C T − 170 C
=
20 C 2
10 C
x2 =
C − 30% C − 30%
=
20% 2
10%
+1
matrice du design: X
x2
-1
-1
x1
+1
16
Plan factoriel 22 - analyse
x0
+1
+1
X=
+1
+1
matrice du design:
x1
−1
+1
−1
+1
x2
−1
−1
+1
+1
x1 x 2
+1
−1
−1
+1
Y=
60
72
54
68
interaction
intercepte
(
)
−1 T
T
analyse des résultats par régression moindres carrés: βˆ = X X X Y
x 02
T
X X=
0
0
0
0
x12
0
0
0
0
x 22
0
0
0
0
(x1 x 2 )2
4 0 0 0
=
0 4 0 0
0 0 4 0
0 0 0 4
Colonnes de X sont orthogonales !!!
17
Plan factoriel 22 - analyse
x 02
1
βˆ =
βˆ i =
0
0
x12
1
0
0
0
0
xi y
x i2
0
0
x0 y
0
0
x1 y
0
x2 y
x 22
1
0
1
(x1 x 2 )2
(x1 x 2 ) y
effet de xi sur y (xi change de 0 à +1)
la plupart des livres (BH2, MR) définissent
l’effet de xi en passant de -1 à +1 (donc 2βi)
+ y1 + y 2 + y 3 + y 4
=y
βˆ 0 =
4
− y1 + y 2 − y 3 + y 4
βˆ 1 =
4
chaque coefficient se calculent
indépendamment!
18
Plan factoriel 22 - analyse
() (
T
Var βˆ = X X
( )
2
)
−1
σ2
2
σ
σ
Var βˆ i =
=
4
x i2
Les coefficients ne sont pas corrélés
en raison de l’orthogonalité du design (plan)!
Si σ2 est inconnue, l’estimer (s2) à partir d’historiques de données
ou d’expériences répliquées:
54
85
1) répliquer toutes les expériences du plan
2) répliquer seulement le point central
3) graphiques de probabilité normale (plus tard)
60
72
Intervalle de confiance à 95% sur les effets (coefficients):
βˆ i ± t ν ,0.025
s2
x i2
19
Plan factoriel 23
(-1,+1,+1)
(+1,+1,+1)
+1
(+1,-1,+1)
(-1,-1,+1)
x3
(-1,+1,-1)
Exemple d’un réacteur:
variables: T, C, type de catalyseur (A, B)
x3= -1 pour catalyseur A
x3= +1 pour catalyseur B
-1
(+1,+1,-1)
+1
(+1,-1,-1)
(-1,-1,-1)
-1
x1
x2
+1
-1
Plan factoriel 23 = 8 expériences
Toutes les combinaisons possibles
des 2 niveaux de 3 variables
20
Plan factoriel 23
Ordre des
expériences
x0
x1
x2
x3
x1 x2
x1 x3
x2 x3
x1 x2 x3
6
+1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
-1
3
+1
+1
-1
-1
-1
-1
+1
+1
1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
-1
+1
7
+1
+1
+1
-1
+1
-1
-1
-1
2
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
8
+1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
5
+1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
-1
4
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
Randomisé
(catalyseur)
intercepte Matrice du design
(expériences)
Interactions 2è et 3è ordre
X (matrice des variations indépendantes)
21
Plan factoriel 23 - analyse
Modèle de régression:
η = β 0 + β1 x1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + β12 x1 x 2 + β13 x1 x 3 + β 23 x 2 x 3 + β123 x1 x 2 x 3
η= Xβ
Estimer les coefficients par moindres carrés:
βˆ i =
xi y
x i2
ou
(
)
−1 T
T
βˆ = X X X Y
22
Avantages des plans factoriels
Orthogonaux (calculs simples, estimés des coefficients non corrélés)
Bonne plage de variations pour tous les facteurs et dans toutes les
directions
Utilisation efficace de tous les points (expériences)
Patron simple et symétrique (facilite la visualisation)
Possible d’effectuer les expériences en blocs (plans fractionnés)
Augmentation facile de l’ordre du design par l’ajout séquentiel
d’expériences supplémentaires
23
Problèmes d’inférence sur les β
Si un estimé de σ2 avec ν dl est disponible, alors l’IC à 95% est:
βˆ i ± t ν ,0.025
s2
16
( )
Var βˆ i
Et si un tel estimé n’est pas disponible? (Ex.: pas de répétition ni de
point central, ν=0)
Estimer σ2 à partir des effets correspondant aux interactions d’ordre
supérieur (3, 4, 5 et +)
probable que ces interactions ne soit pas réelles, donc estime l’erreur
expérimentale: E[effets ordre 3+] = 0!
Exemple d’un plan factoriel 24 pour le développement d’un procédé
(BH2, p. 326)
24
Problèmes d’inférence sur les β
Exemple de développement d’un procédé (BH2, p. 326)
Utiliser ces effets pour estimer σ2!
25
Problèmes d’inférence sur les β
BH2, p. 327
BH2, p. 327
Effets les plus
importants
Si ces effets ne sont
pas réels, alors ils
estiment l’erreur
expérimentale (σ
σ2)!
( )
Est . Var βˆ i = n1−1
(βˆ − β )
2
i
i
i
= n1
i
( )
1.5
= 0.3
Est . Var βˆ i =
5
∴ σˆ βˆ = 0.55
Comment sélectionner les interactions à utiliser dans ce calcul?
Si on utilise seulement les plus faibles, on sous-estime σ2!
26
βˆ i2
Problèmes d’inférence sur les β
Graphiques de probabilité normale
Montgomery et Runger, p. 213
BH2, p. 329-334
Draper et Smith, p. 70-77
Exemple du factoriel 24 (16 expériences)
On peut estimer 15 effets: βˆ i (i = 1
15) + βˆ 0
Sous l’hypothèse H0: βi = 0 ∀ i, on devrait s’attendre à ce que:
2
βˆ i ~ N 0, σ
x i2
Utiliser les graphiques de probabilité normale pour vérifier cette
hypothèse!
27
Graphique de probabilité normale
BH2, p. 330
a)
Distribution normale
b)
Distribution normale
cumulative
c)
Graphique de probabilité
normale (normal probability
plots)
28
Graphique de probabilité normale
Si m effets sont distribués normalement autour d’une moyenne
nulle: diviser la distribution en m intervalles de même aire (1/m)
aire = 1
En moyenne, on s’attend à ce
qu’une observation (un effet)
tombe dans chaque intervalle
Arranger les effets en
ordre croissant
aire totale =
m
m
1
1
=1
m
0
Aire cumulative jusqu’au
centre de l’intervalle i = i − 1 2 m
(
)
βˆ i , βˆ j ,
, βˆ m
(
)
Probabilité cumulative (%) pour le ième effet plus important: Pi = 100 i − 1 2 m
Porter les βˆ i en ordre croissant vs Pi sur un graphique de probabilité normale
29
Graphique de probabilité normale
Calcul des probabilités Pi
BH2, p. 331
30
Graphique de probabilité normale
BH2, p. 332
Cohérents avec
l’hypothèse H0:
2
βˆ i ~ N 0, σ
xi2
utiliser ces effets pour
estimer σ2!
Effets βˆ 2 , βˆ 24 , βˆ 1 , βˆ 4 sont
trop grands pour être issus
de la même distribution!
31
Graphique de probabilité normale
BH2, p. 333
Utilisation des
graphiques de probabilité
normale pour valider
l’hypothèse de normalité
des résidus de
régression
32
Blocage d’un plan factoriel 23
On désire examiner un plan de 3 facteurs à deux niveaux 23=8
expériences
Problème : le matériel nécessaire pour les expériences est reçu en
lots et il n’en reste assez que pour 4 expériences + il existe des
différences entre les lots
Peut-on séparer le plan en deux de sorte que les différences entre
les lots de matériel n’influencent pas les résultats?
Il faut bloquer le plan de manière appropriée!
33
Blocage d’un plan factoriel 23
Bloquer sur interaction de 3è ordre (123)
1
2
3
12
13
23
-
-
-
-
+
-
-
+
-
+
-
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
-
+
-
-
+
+
-
+
+
+
+
x3
123
x2
x1
Toutes les expériences 123+ bloc 1
Toutes les expériences 123- bloc 2
Randomiser chacun des blocs
∴ L’effet des blocs (différences reliées aux lots de matériel) sera
confondu à l’interaction des 3 facteurs (123) !!
34
Blocage d’un plan factoriel 23
∴ Impossible de savoir si βˆ 123 représente une vraie interaction de 3
facteurs ou bien l’effet des blocs (variations du matériel)
βˆ 123 =
effet 123
x3
+ effet des blocs
devrait être faible ?
x2
x1
∴ Comme la colonne 123 est orthogonale aux autres, les blocs
(variations du matériel) n’auront aucune influence sur les autres effets!!
35
Plans factoriels fractionnés 2k-1
Plans fractionnés: fraction d’un plan factoriel complet
Plans 2k-1 = demi-fraction d’un plan 2k (autres fractions plus tard, 2k-p)
Utilisé lorsque trop d’expériences à réaliser (beaucoup de facteurs):
25 = 32 expériences
25-1 = 24 = 16 expériences
Ex.: étude préliminaire de sélection des facteurs (« screening design »)
Plan 25-1 = 24 pour le nombre d’expériences, non pour les résultats!
Effets de certains facteurs (ou interactions) sont confondus!!
Problème: pré-sélectionner quels facteurs seront confondus
(interactions d’ordre supérieur)
36
Plan factoriel fractionné 23-1
Plan 23 = 8 expériences, 23-1 = 4 expériences!
Écrire un plan factoriel 22 complet + associer le 3è facteur à l’interaction:
1
2
12
-
-
+
+
-
-
-
+
-
+
+
+
Si on associe le
facteur 3 avec -12
facteur (variable) 3
1ère
x3
fraction
1
2
-12 = 3
-
-
-
+
-
+
-
+
+
+
+
-
x2
x1
2ième fraction
37
Plan factoriel fractionné 23-1
Problème: avec seulement 4 expériences, on ne peut tout estimer:
3 effets principaux, 3 interactions de 2 facteurs, 1 interaction de 3 facteurs
Patron de confusion des effets (1ère fraction
I
1
2
3
12
13
23
123
+
-
-
+
+
-
-
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
-
+
-
-
+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
):
yˆ = βˆ 0 + βˆ 1 x1 + βˆ 2 x 2 + βˆ 3 x 3
βˆ 0 → moy .
+ effet 123
βˆ 1 → effet 1 + effet 23
βˆ 2 → effet 2 + effet 13
βˆ 3 → effet 3 + effet 12
38
Plan factoriel fractionné 23-1
Patron de confusion des effets (2ième fraction
I
1
2
3
12
13
23
123
+
-
-
-
+
+
+
-
+
+
-
+
-
+
-
-
+
-
+
+
-
-
+
-
+
+
+
-
+
-
-
-
):
yˆ = βˆ 0 + βˆ 1 x1 + βˆ 2 x 2 + βˆ 3 x 3
βˆ 0 → moy .
+ effet 123
βˆ 1 → effet 1 + effet 23
βˆ 2 → effet 2 + effet 13
βˆ 3 → effet 3 + effet 12
corrélation parfaite entre les mêmes facteurs,
mais négative p/r à la 1ère fraction
39
Générateur des plans 2k-1
Possible de prédire et sélectionner le patron de confusion à l’aide du
12
22
32
I
123
générateur: I
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
I = 12 = 22 = 32
I = 123 car 3 est
associé à 12!
Multiplier chaque côté de la relation de génération I = 123 par chaque
facteur (1, 2, 3):
I = 123
1 x I → 1 = 12 23 = 23
2 x I → 2 = 122 3 = 13
3 x I → 3 = 1232 = 12
βˆ 0 → moy . + effet 123
βˆ 1 → effet 1 + effet 23
βˆ 2 → effet 2 + effet 13
βˆ → effet 3 + effet 12
3
40
Réalisation séquentielle des fractions
Réalisation de la première demi-fraction du plan 23 (23-1)
sont confondus
certains effets
Si on désire séparer les effets confondus – besoin d’information
(expériences) supplémentaire
Réaliser la deuxième demi-fraction et la combiner à la 1ère
complet en deux blocs, comme précédemment
plan 23
Possible alors d’estimer tous les effets de façon indépendante:
tous les effets principaux (3)
toutes les interactions de 2 facteurs (3)
l’effet des blocs (s’il y a lieu) + l’interaction à 3 facteurs
41
Plan factoriel fractionné 24-1
Écrire un plan fractionnel 23 complet
Assigner le facteur 4 à l’interaction à trois facteurs (123)
4=
yˆ = βˆ 0 + βˆ 1 x1 + βˆ 2 x 2 + βˆ 3 x 3 + βˆ 4 x4
+ βˆ 12 x12 + βˆ 13 x13 + βˆ 23 x 23
I
1
2
3
+
-
-
-
-
+
+
-
-
+
I = 1234
+
-
+
-
+
1 x I → 1 = 12 234 = 234
+
+
+
-
12
13
23
123
-
2 x I → 2 = 122 34 = 134
3 x I → 3 = 12324 = 124
+
-
-
+
+
4 x I → 4 = 12342 = 123
+
+
-
+
-
12 x I → 12 = 12 22 34 = 34
+
-
+
+
-
13 x I → 13 = 12 2324 = 24
+
+
+
+
+
23 x I → 23 = 122 324 = 14
βˆ 0 → y + 1234
βˆ → 1 + 234
1
βˆ 2 → 2 + 134
βˆ → 3 + 124
3
βˆ 4 → 4 + 124
βˆ → 12 + 34
12
βˆ 13 → 13 + 24
βˆ → 23 + 14
23
42
Plan factoriel fractionné 24-1
βˆ 0 → y + 1234
βˆ → 1 + 234
Moyenne confondue à l’interaction à 4 facteurs
βˆ 2 → 2 + 134
βˆ → 3 + 124
Effets principaux confondus avec les
interactions de 3 facteurs (généralement
faibles)
1
3
βˆ 4 → 4 + 124
βˆ → 12 + 34
12
βˆ 13 → 13 + 24
βˆ → 23 + 14
Combinaisons des effets des
interactions à 2 facteurs
23
Comme les interactions à 3+ facteurs sont généralement faibles, ce plan
factoriel fractionné permet d’estimer de façon indépendante:
Tous les effets principaux (4)
3 combinaisons d’interactions à 2 facteurs
43
Plan factoriel fractionné 24-1
Pourquoi ne pas définir I autrement, comme par exemple I=124 (assigner
le facteur 4 à la colonne 12)?
I = 124
1 x I → 1 = 12 24 = 24
2 x I → 2 = 1224 = 14
3 x I → 3 = 1234 = 1234
4 x I → 4 = 1242 = 12
12 x I → 12 = 12 224 = 4
βˆ 0 → y + 124
βˆ 1 → 1 + 24
βˆ 2 → 2 + 14
βˆ → 3 + 1234
3
Effets principaux confondus avec les
interactions de 2 facteurs,
généralement plus importants!
βˆ 4 → 4 + 12
βˆ → 12 + 4
12
βˆ 13 → 13 + 234
23 x I → 23 = 122 34 = 134 βˆ 23 → 23 + 134
13 x I → 13 = 12 234 = 234
Il est toujours plus efficace d’associer le facteur supplémentaire (ex.: 4) à
l’interaction ayant l’ordre le plus élevé (ex.: 123)
44
Nature itérative des plans factoriels
Pour séparer tous les effets confondus, il faut réaliser la 2ième demi-fraction
du plan en assignant le facteur 4 à la colonne -123 (I = -1234)
Combiner les deux fractions pour obtenir le plan 24 complet en deux blocs
Approche itérative de la planification d’expériences:
Réaliser une des deux fractions du plan
Analyser les résultats
Réaliser et combiner l’autre fraction ou un sous-ensemble de cette fraction
si nécessaire
Pour résoudre la confusion qui existe entre certains effets spécifiques, il
n’est pas nécessaire de réaliser l’autre demi-fraction au complet!
Plans optimaux
Combien et quelles expériences supplémentaires réaliser pour séparer les
effets confondus?
45
Plans factoriels 2k-1 - résumé
1.
Écrire un plan factoriel complet ayant k-1 facteurs (variables)
2.
Assigner la kième variable à une colonne correspondant à une interaction.
N’importe quelle interaction peut être utilisée mais celle ayant l’ordre le
plus élevé génère le meilleur patron de confusion
3.
k
Plan
Générateur I
3
23-1
I = 123
4
4
24-1
I = 1234
8
5
25-1
I = 12345
16
# d’expériences
Pour k > 5, il faut utiliser des fractions plus petites que des demi-fractions
en raison du nombre d’expériences trop élevées:
plans factoriels fractionnés 2k-p (2-p fractions d’un plan 2k complet)
46
Plans factoriels fractionnés 2k-p
Les plans 2k-p permettent de générer de plus petites fractions à partir de
plans factoriels complets:
2k-1
2k-2
2k-3
2k-4
½ fraction
¼ fraction
1/8 fraction
1/16 fraction, etc.
La résolution d’un plan est une façon de cataloguer les plans fractionnels
en fonction de leur patron de confusion
Les plans de résolution III, IV et V sont les plus importants
Études préliminaires (« screening design): résolutions III, IV
Notation:
# facteurs
# niveaux
5 −1
2V
degré de fractionnement
résolution
47
Résolution des plans factoriels 2k-p
Plans de résolution III
Aucun effet principal n’est confondu avec un ou d’autres effets principaux
Certains effets principaux sont confondus avec des interactions à 2 facteurs
4 −1
Ex.: 2III → I = 124
Plans de résolution IV
Les effets principaux ne sont pas confondu entre eux, ni avec des
interactions à deux facteurs
Les interactions à 2 facteurs sont confondues entre elles
Ex.: 24IV−1 → I = 1234
Plans de résolution V
Les effets principaux et les interactions à deux facteurs ne sont pas
confondus avec d’autres effets principaux ou d’autres interactions à deux
facteurs
Ex.: 25V−1 → I = ±12345
48
Plans de résolution III saturés
Classe particulière de plans fractionnés 2k-p
Très utile pour les études préliminaires (« screening designs »)
Grand nombre de variables, peu d’expériences
Plans saturés: (N-1) facteurs en N expériences
7−4
7 facteurs en 8 expériences: 2
15 −11
15 facteurs en 16 expériences: 2
Exemple d’un plan 27III− 4 (8 expériences)
2-4 ou fraction 1/16 d’un plan factoriel complet 27 (128 exp.)
49
Exemple d’un plan
7−4
2III
Écrire un plan factoriel 23 complet (8 exp.)
Associer les facteurs 4, 5, 6 et 7 aux interactions
I
1
2
3
4=
5=
6=
7=
12
13
23
123
+
-
-
-
+
+
+
-
+
+
-
-
-
-
+
+
+
-
+
-
-
+
-
+
+
+
+
-
+
-
-
-
+
-
-
+
+
-
-
+
+
+
-
+
-
+
-
-
+
-
+
+
-
-
+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
I = 124 = 135 = 236 = 1237
plusieurs générateurs!!
Si I = 124 et I = 135
alors I = (124)(135) = 12 2345 = 2345
Lorsqu’un plan possède plus d’un
générateur, la relation de définition du
plan (liste des colonnes = I) est formée
des générateurs et de tous les
produits possibles de ceux-ci!
50
Exemple d’un plan
7−4
2III
Relation de définition du plan:
I = 124 = 135 = 236 = 1237
Chaque générateur
I = (124 ) (135 ) = 12 2345 = 2345
I = (124 ) (236 ) = 122 346 = 1346
I = (124 ) (1237 ) = 12 22 347 = 347
I = (135 ) (236 ) = 123 56 = 1256
2
Produits de deux
I = (135 ) (1237 ) = 12 23257 = 257
I = (236 ) (1237 ) = 12 2 32 67 = 167
Résolution III parce que la
plus petite chaîne de
caractères parmi les
générateurs de la relation de
définition est 3!
I = (124 ) (135 ) (236 ) = 12 22 32456 = 456
I = (124 ) (135 ) (1237 ) = 13 22 32457 = 1457
I = (135 ) (236 ) (1237 ) = 12 22 33567 = 3567
Produits de trois
I = (124 ) (236 ) (1237 ) = 12 23 32467 = 2467
I = (124 ) (135 ) (236 ) (1237 ) = 13 23 334567 = 1234567
Produit de quatre
51
Patron de confusion d’un plan
7−4
2III
Facteur 1: multiplier chaque côté de la relation de définition par 1
I = 124 = 135 = 236 = 1237 = 2345 = 1346 = 347 = 1256
= 257 = 167 = 456 = 1457 = 3567 = 2467 = 1234567
Répéter pour chacun des 7 facteurs…
βˆ 0 → y +
βˆ → 1 + 24 + 35 + 67 +
1
βˆ 2 → 2 + 14 + 36 + 57 +
βˆ → 3 + 15 + 26 + 47 +
3
βˆ 4 → 4 + 12 + 56 + 37 +
βˆ → 5 + 13 + 46 + 27 +
5
βˆ 6 → 6 + 23 + 45 + 17 +
βˆ → 7 + 34 + 25 + 16 +
7
BH2, p. 392
les interactions de 3 facteurs et + sont ignorées
Utile pour étude préliminaire (« screening »),
grand nombre de facteurs mais peu
d’expériences
Si βˆ 1 est significatif, alors au moins un effet
parmi 1, 24, 35, 67, etc. est significatif – à
clarifier par la suite
Si βˆ 1 n’est pas significatif, alors aucun de ces
effets ne l’est!
52
Autres fractions d’un plan
7−4
2III
16 fractions = 16 plans possibles: I = ±124 = ±135 = ±236 = ±1237
Par exemple, associer le facteur 5 avec -13 et le facteur 6 avec -23:
I = 124 = −135 = −236 = 1237
Nouveau patron de confusion:
Nouvelle relation de définition:
I = 124 = −135 = −236 = 1237
= −2345 = −1346 = 347 = 1256
= −257 = −167 = 456 = −1457
= 3567 = −2467 = 1234567
βˆ ′0 → y +
βˆ ′ → 1 + 24 − 35 − 67 +
1
βˆ ′2 → 2 + 14 − 36 − 57 +
βˆ ′ → 3 − 15 − 26 + 47 +
3
βˆ ′4 → 4 + 12 + 56 + 37 +
βˆ ′ → 5 − 13 + 46 − 27 +
5
βˆ ′6 → 6 − 23 + 45 − 17 +
βˆ ′ → 7 + 34 − 25 − 16 +
7
53
Autres fractions d’un plan
7−4
2III
16 fractions = 16 plans possibles: I = ±124 = ±135 = ±236 = ±1237
Par exemple, associer le facteur 5 avec -13 et le facteur 6 avec -23:
I = 124 = −135 = −236 = 1237
Nouveau patron de confusion:
Nouvelle relation de définition:
I = 124 = −135 = −236 = 1237
= −2345 = −1346 = 347 = 1256
= −257 = −167 = 456 = −1457
= 3567 = −2467 = 1234567
βˆ ′0 → y +
βˆ ′ → 1 + 24 − 35 − 67 +
1
βˆ ′2 → 2 + 14 − 36 − 57 +
βˆ ′ → 3 − 15 − 26 + 47 +
3
βˆ ′4 → 4 + 12 + 56 + 37 +
βˆ ′ → 5 − 13 + 46 − 27 +
5
βˆ ′6 → 6 − 23 + 45 − 17 +
βˆ ′ → 7 + 34 − 25 − 16 +
7
54
Combiner 2 fractions d’un plan
7−4
2III
Calculer les demi-sommes et demi-différences des effets estimés à partir
de chacune des deux fractions (inter. 3+ sont omises):
1 ˆ
1 ˆ
ˆ′
β + βˆ ′0 → y
2 β 0 − β 0 → effet du blocage
2 0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
1
2
3
4
5
6
7
)
+ βˆ ′ ) → 1 + 24
+ βˆ ′ ) → 2 + 14
+ βˆ ′ ) → 3 + 47
+ βˆ ′ ) → 4 + 12 + 56 + 37
+ βˆ ′ ) → 5 + 46
+ βˆ ′ ) → 6 + 45
+ βˆ ′ ) → 7 + 34
1
1
2
2
1
2
3
1
2
4
1
2
5
1
2
6
1
2
7
1
2
(
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
1
2
3
4
5
6
7
)
− βˆ ′ ) → 35 + 67
− βˆ ′ ) → 36 + 57
− βˆ ′ ) → 15 + 26
− βˆ ′ ) → int er . 3
− βˆ ′ ) → 13 + 27
− βˆ ′ ) → 23 + 17
− βˆ ′ ) → 25 + 16
1
2
3
4
è
ordre +
5
6
7
La relation de définition du plan combiné est formée des mots communs
aux deux fractions: I = 124 = 1237 = 347 = 1256 = 456 = 3567 = 1234567
Possible d’évaluer le patron de confusion pour les 16 effets estimés à
partir du plan combiné (16 exp.)
55
Résolution séquentielle des ambiguïtés
L’ajout séquentiel de fractions permet de libérer la confusion entre les
effets
Quelle fraction ajouter pour libérer certains effets spécifiques?
Changer le signe d’un facteur permet d’isoler l’effet principal de ce facteur
+ toutes ses interactions à deux facteurs
Changer le signe de tous les facteurs permet de libérer tous les effets
principaux des interactions à deux facteurs
56
Changer le signe d’un facteur d’un
7−4
2III
Supposons que nous avons déjà réalisé la fraction I = 124 = 135 = 236 = 1237
Réaliser une nouvelle fraction pour laquelle les signes du facteur 1 sont
inversés: I = −124 = −135 = 236 = −1237 + produits
1
-1
-
+
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
-
+
+
-
βˆ ′0 → y +
βˆ ′ → 1 − 24 − 35 − 67 +
1
βˆ ′2 → 2 − 14 + 36 + 57 +
βˆ ′ → 3 − 15 + 26 + 47 +
3
βˆ ′4 → 4 − 12 + 56 + 37 +
βˆ ′ → 5 − 13 + 46 + 27 +
5
βˆ ′6 → 6 + 23 + 45 − 17 +
βˆ ′ → 7 + 34 + 25 − 16 +
7
57
Changer le signe d’un facteur d’un
7−4
2III
En combinant les 2 fractions:
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
1
2
3
4
5
6
7
)
+ βˆ ′ ) → 14
+ βˆ ′ ) → 15
+ βˆ ′ ) → 12
+ βˆ ′ ) → 13
+ βˆ ′ ) → 17
+ βˆ ′ ) → 16
+ βˆ ′1 → 24 + 35 + 67
1
2
2
1
2
3
1
2
4
1
2
5
1
2
6
1
2
7
1
2
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
1
2
3
4
5
6
7
)
− βˆ ′ ) → 2 + 36 + 57
− βˆ ′ ) → 3 + 26 + 47
− βˆ ′ ) → 4 + 56 + 37
− βˆ ′ ) → 5 + 46 + 27
− βˆ ′ ) → 6 + 23 + 45
− βˆ ′ ) → 7 + 34 + 25
− βˆ ′1 → 1
2
3
4
5
6
7
1.
Le facteur 1 est libéré
2.
Les interactions à 2 facteurs impliquant le
facteur 1 sont également libérées
58
7−4
Changer les signes de tous les facteurs d’un 2III
Réaliser une nouvelle fraction pour laquelle les signes de tous les
facteurs ont été inversés: I = −124 = −135 = −236 = 1237 + produits
βˆ ′0 → y +
βˆ ′ → 1 − 24 − 35 − 67 +
1
1
2
1
2
βˆ ′2 → 2 − 14 − 36 − 57 +
βˆ ′ → 3 − 15 − 26 − 47 +
1
2
βˆ ′4 → 4 − 12 − 56 − 37 +
βˆ ′ → 5 − 13 − 46 − 27 +
1
2
3
5
βˆ ′6 → 6 − 23 − 45 − 17 +
βˆ ′ → 7 − 34 − 25 − 16 +
7
1
2
1
2
1
2
1
2
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
0
1
2
3
4
5
6
7
)
+ βˆ ′ ) → 1
+ βˆ ′ ) → 2
+ βˆ ′ ) → 3
+ βˆ ′ ) → 4
+ βˆ ′ ) → 5
+ βˆ ′ ) → 6
+ βˆ ′ ) → 7
+ βˆ ′0 → effet blocs
1
2
1
1
2
2
1
2
3
1
2
4
1
2
5
1
2
6
1
2
7
1
2
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
(βˆ
0
1
2
3
4
5
6
7
)
− βˆ ′ ) → 24 + 35 + 67
− βˆ ′ ) → 14 + 36 + 57
− βˆ ′ ) → 15 + 26 + 47
− βˆ ′ ) → 12 + 56 + 37
− βˆ ′ ) → 13 + 46 + 27
− βˆ ′ ) → 23 + 45 + 17
− βˆ ′ ) → 34 + 25 + 16
− βˆ ′0 → yˆ
1
2
3
4
5
6
7
∴ Tous les effets principaux sont libérés des
interactions à deux facteurs !
59
Exemple d’application d’un plan
7−4
2III
Identifier le goulot d’étranglement (« bottleneck ») de l’unité de filtration
d’un procédé industriel (BH2, p. 424-429)
Des procédés similaires sont opérés avec succès à différents endroits,
mais le plus récent connaît des problèmes de performance
Cycle de filtration typiquement de 40 minutes alors qu’il est ~ 80 minutes
pour le nouveau procédé…
Quel est le problème?
Rencontre de « brainstorming » pour lister les causes possibles – 7
facteurs (variables) ont été identifiées
Plan factoriel fractionné pour faire l’étude préliminaire (« screening »)
60
Exemple d’application d’un plan
7−4
2III
BH2, Tableau 13.4, p. 426
Variables
-
4=
5=
6=
7=
Cycle (min)
+
Test
1
2
3
12
13
23
123
Y
1. alimentation d’eau
Réservoir
ville
Puit
1
-
-
-
+
+
+
-
68.4
2. ingrédients
Sur le site
Autre
2
+
-
-
-
-
+
+
77.7
3. température
basse
Élevée
3
-
+
-
-
+
-
+
66.4
oui
Non
4
+
+
-
+
-
-
-
81.0
rapide
lent
5
-
-
+
+
-
-
+
78.6
nouveau
Ancien
6
+
-
+
-
+
-
-
41.2
court
long
7
-
+
+
-
-
+
-
68.7
8
+
+
+
+
+
+
+
38.7
4. recyclage
5. alimentation de
soude caustique
6. type de filtre
7. temps rétention
61
Exemple d’application d’un plan
7−4
2III
Interprétations possibles
2βˆ 1 = − 10.9 → 1 + 24 + 35 + 67 +
2βˆ 2 = − 2.8 → 2 + 14 + 36 + 57 +
2βˆ = − 16.6 → 3 + 15 + 26 + 47 +
3
2βˆ 4 = 3.2 → 4 + 12 + 37 + 56 +
2βˆ 5 = −22.8 → 5 + 13 + 27 + 46 +
2βˆ 6 = − 3.4 → 6 + 17 + 23 + 45 +
2βˆ = 0.5 → 7 + 16 + 25 + 34 +
7
1.Les effets principaux 1, 3 et 5 sont responsables
de l’effet sur y
2.Les effets principaux 1 et 3 ainsi que l’interaction
13 sont responsables de l’effet sur y
3.Les effets principaux 1 et 5 ainsi que l’interaction
15 sont responsables de l’effet sur y
4.Les effets principaux 3 et 5 ainsi que l’interaction
35 sont responsables de l’effet sur y
BH2, Tableau 13.5, p. 427
62
Exemple d’application d’un plan
2ième
Ajouter une
fraction en inversant
les signes de tous les facteurs pour
libérer les effets principaux
4=
5=
6=
7=
Cycle (min)
Test
1
2
3
-12
-13
-23
-123
Y
9
+
+
+
-
-
-
+
66.7
10
-
+
+
+
+
-
-
65.0
11
+
-
+
+
-
+
-
86.4
12
-
-
+
-
+
+
+
61.9
13
+
+
-
-
+
+
-
47.8
14
-
+
-
+
-
+
+
59.0
15
+
-
-
+
+
-
+
42.6
16
-
-
-
-
-
-
-
67.6
BH2, Tableau 13.6, p. 427
7−4
2III
2βˆ 1 = − 6.7 → 1 +
2βˆ 2 = − 3.9 → 2 +
2βˆ 3 = − 0.4 → 3 +
2βˆ = 2.8 → 4 +
4
2βˆ 5 = −19.2 → 5 +
2βˆ 6 = 0.1 → 6 +
2βˆ 7 = − 4.4 → 7 +
2βˆ = 0.5 → 12 + 37 + 56
12
2βˆ 13 = − 3.6
2βˆ 14 = 1.1
2βˆ = −16.2
15
→ 13 + 27 + 46 +
→ 14 + 36 + 57 +
→ 15 + 26 + 47 +
2βˆ 16 = 4.9 → 16 + 25 + 34 +
2βˆ 17 = − 3.4 → 17 + 23 + 45 +
2βˆ 24 = − 4.2 → 24 + 35 + 67 +
BH2, Tableau 13.7, p. 428 63
Exemple d’application d’un plan
7−4
2III
Conclusions:
Effets principaux 1 et 5 + leur interaction 15 constitue le goulot
d’étranglement
Provenance de l’alimentation d’eau (1) + vitesse d’addition de caustique (5)
Comment minimiser le temps de filtration (y)?
yˆ = βˆ 0 + βˆ 1 x1 + βˆ 5 x 5 + βˆ 15 x15
yˆ = βˆ 0 − 62.7 x1 − 192.2 x 5 − 162.2 x15
x1 = alimentation d’eau: ville (-1), puit (+1)
x5 = alimentation de caustique: rapide (-1), lente (+1)
1 5
15
yˆ − βˆ 0
-
-
+
4.85
+ -
-
14.35
- +
-
1.85
+ +
+
-21.05
Alimentation d’eau du puit + alimentation lente de caustique!
64
Exemple d’application d’un plan
BH2, Figure 13.2, p. 429
Vitesse d’ajout
de caustique (5)
lente
(+)
65.4
68.4
(1)
66.4
( 3)
65.0 (10)
61.9 (12)
42.6
59.0 (14)
rapide
(-)
7−4
2III
68.5
67.6 (16)
78.6
68.7
( 5)
(7)
réservoir de la Ville
(-)
41.2
( 6)
38.7
( 8)
47.8 (13)
42.6 (15)
66.7
78.0
( 9)
86.4 (11)
77.7
81.0
( 2)
( 4)
puit
(+)
Alimentation
d’eau (1)
Si les autres effets sont négligeables, alors le plan combinant
7−4
les deux fractions du 2III
(16 exp.) = 22 répété 4 fois !!
65
Plans de résolution III et IV
Nombre de
facteurs
Nombre
d’expériences
Plan
Générateurs
typiques
4
8
24IV−1
1234
5
8
5− 2
2III
1234, 235
6
8
6− 3
2III
1234, 235, 136
7
8
7− 4
2III
1234, 125, 136, 237
15
16
−11
215
III
31
32
31− 26
2III
8
16
8− 4
2IV
Travailler d’abord avec des symboles (1,2,…), puis leur assigner
une variable physique en fonction du patron de confusion
66
Autres plans saturés: Taguchi
À 2 niveaux:
L4
3 −1
→ 2III
L8
→ 27III− 4
L12
→ 12 exp ériences Plackett − Burman
L16
−11
→ 215
III
À 3 niveaux:
L9
x1 , x 2
x1 x 2
x12 , x 22
→ 32
2 variables (effets principaux, inter. 2 fact., quad.)
→ 3 3 −1
3 variables (effets principaux, groupes d’inter. 2 fact., quad.)
→ 34 − 2
4 variables (effets principaux , quad.)
67
Plans pour modèles de 2ième ordre
BH2, chapitre 15, Montgomery et Runger, chapitre 12.9
Si les effets de 1er ordre (effets principaux) et leurs interactions ne sont
pas suffisant pour expliquer la(les) réponse(s) y (« lack of fit »):
inclure les termes de 2ième ordre :
x12 , x 22 ,
y
Nécessite des plans à plus
de 2 niveaux !!!
x
68
Plans centraux composites, k = 2
1.
Débuter par un 2k ou un 2k-p avec points centraux
2.
Ajouter les branches de l’étoile
+α
-α
+α
-α
-1
+1
Test
x1
x2
1
-1
-1
2
+1
-1
3
-1
+1
4
+1
+1
5
0
0
6
−α
0
7
+α
0
8
0
−α
9
0
+α
10
0
0
22
point central
étoile
point central
pour k = 2, α = √2 = 1.414 est un bon choix
69
Plans centraux composites k = 3
-α
+α
pour k = 3, α = 1.68
Test
x1
x2
x3
1
-1
-1
-1
2
+1
-1
-1
3
-1
+1
-1
4
+1
+1
-1
5
-1
-1
+1
6
+1
-1
+1
7
-1
+1
+1
8
+1
+1
+1
9
0
0
0
10
0
0
0
11
-α
0
0
12
+α
0
0
13
0
-α
0
14
0
+α
0
15
0
0
-α
16
0
0
+α
17
0
0
0
18
0
0
0
23
point centraux
étoile
point centraux
70
Plans centraux composites k = 4+
pour k = 4, 24 + pc + étoile
pour k > 4, 2k-p + pc + étoile
k
Plan
α (rotation du plan)
2
22
1.414
3
23
1.68
4
24
2.0
5
25-1
2.0
6
26-1
2.38
71
Plans factoriels à 3 niveaux
Plan factoriel complet 32 (9 exp.)
Plan factoriel complet 33 (27 exp.)
72
Plans factoriels fractionnés à 3 niveaux
Plan factoriel fractionné 33 (15 exp.): Box + Behnken, Taguchi
Test
x1
x2
x3
Test
x1
x2
x3
1
-1
-1
0
9
0
-1
-1
2
+1
-1
0
10
0
+1
-1
3
-1
+1
0
11
0
-1
+1
4
+1
+1
0
12
0
+1
+1
5
-1
0
-1
13
0
0
0
6
+1
0
-1
14
0
0
0
7
-1
0
+1
15
0
0
0
8
+1
0
+1
73
Modèles de 2ième ordre
Les plans 33 complet ou fractionné (Box-Behnken) permettent d’estimer
les paramètres d’un modèle quadratique complet:
η = β 0 + β1 x1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + β12 x1 x 2 + β13 x1 x 3 + β 23 x 2 x 3
+ β11 x12 + β 22 x 22 + β 33 x 23
10 paramètres !
S’applique également lorsqu’il y a plusieurs réponses y
Les logiciels de statistiques (SAS, Jump, Minitab, MODDE, Matlab, etc.)
possèdent des fonctions de visulisation graphique 2-D et 3-D pour
examiner la surface des réponses
74
Surface des réponses
75
Surface des réponses
76
Méthodes de surface des réponses
BH2, chapitre 15; Montgomery et Runger, chapitre 12.9
Méthodes d’optimisation empirique employant les modèles de
régression développées à partir des données des plans d’expériences
1.
Réaliser un plan d’expériences dans la région d’intérêt
2.
Estimer les paramètres du modèle de régression: yˆ = f (x1 , x 2 ,
3.
Utiliser ce modèle pour trouver les nouvelles conditions x1 , x 2 , , xk qui
améliorent une réponse seule yˆ1 ou qui amène plusieurs réponses dans
une région désirée
4.
Répéter les étapes 1-3 jusqu’à l’atteinte de conditions optimales
, xk )
77
Optimisation un facteur à la fois
T = 225°C + varier t de 60-180 min.
BH2, p. 510-513
Trouver les conditions de
réaction (durée, température)
qui maximisent le rendement
t =130 min. + varier T = 210-250°C
On change chacun des deux
facteurs un à la fois!
Problème avec cette approche?
78
Optimisation un facteur à la fois
BH2, p. 510-513
L’information sur les
interactions est absente!
Les chances de trouver
l’optimum avec plusieurs
facteurs (3, 4+) + interactions
sont presque nulles!!
Appropriée seulement s’il n’y a
pas d’interaction entre les
facteurs (peu probable)
79
Optimisation empirique
5
4
6
+
3
x1
2
1
x2
80
Optimisation empirique
1.
Réaliser un plan factoriel (complet ou fractionné) autour des conditions
d’opération actuelles + estimer les paramètres du modèle de régression:
yˆ = βˆ 0 + βˆ 1 x1 + βˆ 2 x 2 + βˆ 12 x1 x 2
significatifs
2.
faible
Calculer le gradient: direction d’augmentation maximale de la réponse y
(« steepest ascent ») et se déplacer dans cette direction jusqu’à temps
que la réponse ne cesse de s’améliorer
∂ yˆ ˆ
= β1 et
∂ x1
∂ yˆ ˆ
= β 2 (si interaction faible)
∂ x2
∴ déplacement de βˆ 1 unités dans la direction de x1 pour
chaque déplacement de βˆ 2 unités dans la direction de x 2
yˆ = 3.5 + 1.5 x1 − 3.0 x 2
x1
0
x2
0
1.0 − 2.0
1.5 − 3.0
3 − 6.0
81
Optimisation empirique
3.
Réaliser un nouveau plan factoriel yˆ = βˆ 0 + βˆ 1 x1 + βˆ 2 x 2 + βˆ 12 x1 x 2
4.
Si les effets principaux sont toujours importants et les interactions sont
faibles, recalculer le gradient et progresser dans cette direction (voir
étape 2)
5.
Pour le 3ième plan factoriel, le modèle linéaire n’est plus approprié (« lack
of fit ») car la courbure de la surface de la réponse est plus prononcée:
Les effets principaux sont faibles
Les interactions deviennent importantes en raison de la courbure
Vérifier si la courbure est significative: ajouter termes quadratiques ?
yˆ = βˆ 0 + βˆ 1 x1 + βˆ 2 x 2 + βˆ 12 x1 x 2 + βˆ 11 x12 + βˆ 22 x 22
82
Optimisation empirique
5.
Pour le 3ième plan factoriel, le modèle linéaire n’est plus approprié (« lack
of fit ») car la courbure de la surface de la réponse est plus prononcée:
Vérifier si la courbure est significative: ajouter termes quadratiques
x0
x1
x2
x12
x22
+
-1
-1
+
+
+
+1
-1
+
+
+
-1
+1
+
+
+
+1
+1
+
+
+
0
0
0
0
+
0
0
0
0
βˆ 0 = y + βˆ 11 + βˆ 22
(
y pc
∴ y f − y pc
Si le modèle est réellement linéaire βˆ 11 = βˆ 22 = 0
alors βˆ 0 = yf est un estimé de la
réponse au point central du plan!
→ βˆ 11 + βˆ 22
estimé de la courbure!
83
)
Optimisation empirique
6.
Si la courbure et/ou les interactions sont importantes par rapport aux
effets principaux, ajouter l’étoile au plan
plan central composite – estimer les effets quadratiques
estimer les paramètres du modèle de 2ième ordre complet (meilleure
approximation quadratique de la vraie surface)
yˆ = βˆ 0 + βˆ 1 x1 + βˆ 2 x 2 + βˆ 12 x1 x 2 + βˆ 11 x12 + βˆ 22 x 22
7.
Porter en graphique la surface de la réponse
visualisation 2-D ou 3-D de la surface à partir d’un logiciel statistique
examiner la surface et se déplacer vers l’optimum
Pour k > 3 facteurs (variables), utiliser des plans fractionnés
Au début, effets linéaires seulement pour progression rapide
L’optimisation suit l’étude préliminaire (« screening »)
84
Planification d’expériences
Modèles empiriques linéaires
(Factoriels complets et fractionnés, plans
randomisés bloqués, etc..)
Modèles phénoménologiques
non linéaires
fo
rm
e
in
e
co
u
n
on
nn
c
e
ue
m
r
fo
Plans pour la discrimination
des modèles
Plans pour estimation
précise des paramètres
y
Plans optimaux
T
D − Optimal → Max X X
max (yˆ 1 − yˆ 2 )
2
x
y = xβ+ε
y
Var ( βˆ ) =
σ2
xu2
Max XT X = Max
x
xu2
( )
= Min Var βˆ
y 1 = η1 (x , β ) + ε1
x
y 2 = η2 (x , β ) + ε 2
y n = ηn (x , β ) + ε n
85
Planification optimales d’expériences
Les plans optimaux sont des plans qui optimisent une fonction
objective via la sélection des facteurs x
Planification pour l’estimation précise des paramètres:
Sélectionner d’abord la structure: η = X β
η= f ( x,β
(linéaire)
)
(non linéaire)
2
2
Modèle linéaire: η = β 0 + β1 x1 + β 2 x 2 + β12 x1 x 2 + β11 x1 + β 22 x 2
X=
β1
1 x1
x2
x1 x 2
T
β2
2
x2
( ) ( ) σ
( β − βˆ ) ( X X ) ( β − βˆ ) = p s
Var βˆ = XT X
βˆ
2
x1
T
−1
2
2
Fα ( p , n − p
)
86
Plans optimaux
Objectifs : planifier les expériences de façon à minimiser l’incertitude
d’estimations des paramètres βˆ
Cas de 1 paramètre η = x β
( )
Min . Var βˆ
→ Max .
y
2
σ
Var βˆ =
xu2
( )
xu2
Placer tous les xu à la limite supérieure de x !
( ) (X X )
Plus d’un paramètre: Var βˆ =
T
x
−1
σ2
≠ f (y )
p (p +1 ) 2 param .
Nous avons besoin d’une seule
mesure d’incertitude…
On connaît l’incertitude avant de
réaliser les expériences!
87
Plans optimaux
(
T
A-optimalité: Min Trace X X
x
)
−1
p
2
σ = Min
x
i =1
( )
Var βˆ i
dépend des unités, les variables doivent être normalisées!
D-optimalité: Max XT X
x
volume (aire) de l’intervalle de
T
∝
X
X
confiance conjoint (tous les paramètres)
−1 2
indépendant des unités, le déterminant
change mais l’optimum demeure le même
88
Exemple d’un plan optimal
Modèle linéaire: η = β 0 + β1 x1 + β 2 x 2 + β12 x1 x 2
Trouver les 4 meilleures expériences maximisant la précision des
paramètres β dans le sens de la D-optimalité
4
Max XT X = Max
x
( x11 ,x 21 )
( x12 ,x 22 )
( x13 ,x 23 )
( x14 ,x 24 )
4
x1u
u =1
x12u
4
x 2u
u =1
x1u x 2u
x 22u
4
x1u x 2u
u =1
x12u x 2u
x1u x 22u
x12u x 22u
trouver les 8 conditions qui maximisent le − 1 ≤ x1 ≤ +1
déterminant sujet aux contraintes suivantes: − 1 ≤ x ≤ +1
2
algorithme (routine) d’optimisation pour la recherche des 4 expériences
89
Exemple d’un plan optimal
Solution optimale : plan factoriel complet 22 !!
Max XT X = Max
x
( −1, −1 )
( −1, +1 )
( + 1, −1 )
( + 1, +1 )
4 0
0 4
0 0
0 0
0 0
0 0
4
0
0
4
+1
= 64
x1
-1
-1
x2
+1
en général, pour p paramètres, le plan D-optimal place les
expériences à p endroits différents – les répéter si on désire
plus de p expériences
90
Importance des plans optimaux
1.
Plans à réaliser sur des régions limitées par des contraintes:
Estimer les paramètres du modèle η = X β
dans la région délimitée par les
contraintes suivantes:
Région de faisabilité
x2
Ex.: conception de mélanges
x1
x3
Contraintes:
Meilleur plan pour
cette région:
x1
x1 + x 2 + x 3 = 1
x3 ≤ c
x2
91
Importance des plans optimaux
2.
Plans séquentiels:
N expériences ont déjà été réalisées
Comment planifier la (N+1)ième expérience ou une série de m
nouvelles expérience qui, une fois combinées à celles existantes,
maximisent la précision d’estimation des paramètres?
X N +1 =
( N +1) x p
XN
x N +1
conditions connues (n x p)
conditions inconnues (1 x p) ou (m x p)
T
T
T
connues
inconnues
Max X N +1 X N +1 = Max X N X N + x N +1 x N +1
xN +1
xN +1
des logiciels permettent de calculer les expériences optimales pour les
situations 1 et 2 très facilement!
92
Plans optimaux – cas non linéaire
Modèle phénoménologique non linéaire (cinétique, transfert de
chaleur et de matière, etc.)
(
ηu = η ξu , β
)
Vecteur des facteurs
variables indépendantes pour l’expérience u
(température, pression, débit, etc.)
x iu =
(
∂ η ξu , β
)
∂ βi
X = { x iu
(n x p)
βˆ
}
Vecteur (p x 1) des paramètres
(constantes de vitesse de réactions
chimiques, coefficients de transfert de
chaleur et de matière, etc.)
u =1, 2,
,n
i =1,2,
,p
Max
XT X
ξ1 , ξ 2 , , ξ n
93
Plans optimaux – cas non linéaire
Problème:
(
∂ η ξu , β
∂ βi
)= f( β )
Nécessaire de connaître les paramètres
pour planifier les expériences!
Solution: estimation itérative des paramètres
Évaluer les dérivées aux valeurs actuelles des paramètres (estimé
de départ)
On ne veut pas planifier un grand nombre d’expériences sachant
que les estimés de départ ne sont pas précis!
1.
2.
3.
4.
Planifier 2-3 expériences à partir du plan D-optimal et des estimés
de départ.
Réaliser ces expériences
Estimer les paramètres de nouveau
Répéter les étapes 1-3 jusqu’à ce que la précision d’estimation des
paramètres soit satisfaisante
94
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