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Contribution à la commande robuste synergétique et

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21 / 2011 - M / EL
République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche
Scientifique
Université des Science et de la Technologie Houari Boumediene
Faculté d’Electronique et Informatique
Département d’Electrotechnique
Mémoire
Présentée pour l’obtention du diplôme de
Magister en Electronique option systèmes Electro
Electro-énergétiques
Par
Contribution à la Commande robuste synergétique
et à structures
structure variables floue d’un
un moteur
asynchrone à cage
Soutenu publiquement le 20-06-2011 devant le jury composé de :
Me Larabi Abdelkader
lkader Maitre de conférences A l’USTHB
STHB
Mme. L.BARAZANE
Professeur A l’USTHB
Me Tadjine Mohamed
Professeur A ENP
Me Krim Yazid
Maitre de conférences
Président
Directeur de mémoire
Examinateur
A l’USTHB
Examinateur
Département d’Electrotechnique
YAHI ABDENOUR
Remerciement
. ? È?Ç ãíß? Ç æåæ ÉÑÎ? Ç ? Ïã? Ç åáæ ÖÑ? Ç ? Çãæ ÊÇæãÓáÇ ? Çã åáíÐáÇ ? Ïã? Ç
Je tiens a remercie tous d’abord mes parents pour leurs soutient et leurs encouragement,
Mme BARAZANE et Mr Tadjine pour leur disponibilité et leur conseils et leur patience
durant la phase du travail.
L’exprime aussi, mes remerciements à tous mes enseignants du début à la fin pour leurs
efforts.
Je remercie profondément mon oncle « Abdelkader », ma ………« F.MAMACHE », sa
sœur « B.KADRI », « Souaii Réda » , notre groupe de magister pour ces
encouragements qui me poussaient toujours vers l’avant.
Un remerciement très particulier s’adresse à mes frères et camarades pour leur
encouragement et leur soutien moral sans cesse pendant des moments très difficiles.
Dédicaces
A mes parents
A mes proches
A tous mes amis
Et tous les musulmans
Nomenclature
Nomenclature
a , b, c :
Indices correspondant aux trois phases de la machine
d, q :
Indices correspondant au référentiel lié au champ tournant
,  :
Indices correspondant au référentiel fixe (lié au stator)
i:
v:
U:
 :
Courant instantané
Tension instantanée
tension composé
Flux instantané
Rs , Rr : Résistances du stator et du rotor
Ls , Lr : Inductances (cycliques) du stator et du rotor
Lm :
Inductance mutuelle cyclique entre le stator et le rotor
Las , Lar : Inductances d’une phase statorique et d’une phase rotorique
Ts :
Constante de temps statorique ( Ls / Rs )
Tr :
Constante de temps rotorique ( Lr / Rr )
 :
Coefficient de fuite (Blondel)   1  L2m /( Lr Ls ) 
p:
 :
Nombre de paires de pôles
Vitesse mécanique
 sl :
Vitesse de glissement
r :
Position du rotor (  d r / dt )
s :
Position du référentiel par rapport au stator
s :
Pulsation statorique
r :
Pulsation rotorique
J :
f :
Moment d’inertie
Coefficient de frottements visqueux
Cem :
Couple électromagnétique
Cr :
Couple résistant
K:
Coefficient de frottement.
e:
Ecart de réglage
w:
Valeur de référence.
Kpv, kiv, Kpc, kic: paramètres de réglage.
x, y, u, v: Grandeurs d’état, de sortie, d’entrée, et de perturbation.
Sommaire
Introduction générale ………………………………………………………………..…….01
Chapitre 1 Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle
I .1 Introduction ……………………………………………………………………………03
I.2 Modélisation de la machine asynchrone ……………………………………………….03
I.2.1 Hypothèses simplificatrices……………………………………………………………03
I.2.2 Equations de la Machine Asynchrone ……………………………………………….04
I.2.2.1 Equations électriques ……………………………………………………….………04
I.2.2.2 Équations magnétiques ………………………………………...…..……………….05
I.2.2.3 Equations mécaniques ………………………………………………..…………….06
I.2.3 Transformation de Park …………………………………..…………………….……06
I.2.3.1 Equations des tensions ……………………………………..……………………….07
I.2.3.2 Equations des flux ………………………………………………………………….07
I.2.3.4 Équations mécaniques ……………………………………………………………..09
I.2.4 Choix du référentiel ………………………………………………………………….09
I.2.4.1 Représentation d'état du modèle de la machine asynchrone à cage
d’écureuil…………………………………………………………………………………....09
I.3 Mode d’alimentation ……………..…………………………………………………….10
I.3.1 Modélisation de l’onduleur …………………………………………….……………11
I.3.2 Stratégie de commande de l’onduleur ……………………………………….………13
I.3.4 Stratégies des MLI (stratégies triangulo-sinusoïdale) ………………………………13
I.4 La commande vectorielle ……………………………………………………………….14
I.4.1 La philosophie de la commande………………………………...…………………….14
I.4.2 Principe de découplage ……………………….……………………………………….15
I.4.3 Découplage par compensation ………………..………………………………………18
I.4.4 Schéma de principe …………………………………………………………………..18
I.4.5 Différentes méthodes de commande par orientation du flux ………………………19
Sommaire
I.4.5.1 Technique d’orientation directe du flux ……………………...……………………19
I.4.5.2 Méthode indirecte ………………………………………………………………..…21
I.4.6 Structure d’un schéma de commande par orientation du flux rotorique………….21
I.4.7 Commande vectorielle indirecte avec réglage de vitesse ……………………………22
I.4.8 Simulation Numérique ………………………………………………………………..23
I.4.7 Interprétation des résultats ………………………………………….……………….26
I.4.8 Test de robustesse ……………..………………………………………………………26
I.5 Conclusion ……………………………………………………………….………………27
Chapitre 2 La commande à structures variables
II.1 Introduction …………………………………………………………………………….28
II.2 Configuration pour les systèmes à structure variables ………………...……………29
II.2.1 Solution des systèmes dynamiques à second membre discontinu………………….30
II.2.2 Principe de base de la Commandes équivalente ……………………………….….31
II.3 Conception des régulateurs à structures variables …………………………….……32
II.3.1 Choix des surfaces de glissement ………………………….………………………..32
II.3.2 Condition d’existence et de convergence …………..……………………….………33
II.3.2.1 Fonction directe de commutation …………………………………..………….….33
II.3.3 Expression analytique de la commande ……….…………………………….…….35
II.4 Le phénomène du Chattering ……………………………..……..……………………36
II.5 Application de la commande à structures variables ………………………….……..37
II.5 .1 Mise en œuvre du régulateur de vitesse à structures variables ……………..…...38
II.5. 2 Simulation numérique ………………………………………………………….…..39
II.5.3 Interprétation de résultats …………………………………………………….…….42
II.6 Commande adoucie à plusieurs rampes …………………………………….……….42
II.6.1 simulation et interprétation ………………………………………………….……..43
II.6.2 Test de robustesse ………………………………………………………..………….46
Sommaire
II.6.3 Interprétation de résultats ……………………………………………….………….49
II.7 Estimation en temps réel de la constante du temps rotorique ………………………50
II.7.1 Estimation en temps réel de la constante de temps rotorique par la technique
MRAS…………………………………………………………………………………..……50
II.7.2 MRAS base sur l’estimation du flux rotorique …………………………………….51
II.7.3 Simulation Numérique ……………………………………………………………….55
II.8 Conclusion …………………….………………………………………………………..57
Chapitre 3 La commande à structures variables flou
III.1 Introduction……………………………………………………………………………58
III.2 Première approche de Commande à structure variable floue de Ben Ghalia….....58
III.2.1 Réglage par logique floue de type mamdani (Ben Ghalia)…………..……………58
III.2.2 Structure générale d’un correcteur flou……….…………………………………..59
III.3.2 La fuzzification …………………….………………………………………………..60
III.3.3 Les inférences floues ……………………………………….…………………… …61
III.3.4 La Défuzzification …………………………………………………...………………62
ІII.4 Application sur la machine asynchrone à cage……………………………...………65
ІII.4.1 Mise en œuvre des régulateurs à structures variables flous ………………….…..65
III.5 Deuxième approche de Commande à structures variables floue de BenGhalia………………………………………………………………..……………………….69
ІII.6 Simulation et interprétation des résultats …………………………………………71
III.6.1Interprétation…………………………………………………………………………74
III.7 Test de robustesse ……………………………………………………………..………75
III.8 Conclusion …………………………………………………………………………….76
Chapitre 4 La commande synergétique
IV.1 Introduction ……………………………………………………………………..…..77
Sommaire
IV.1.1Principe de la synergie ……………………………………………….……………77
IV.1.2 Caractères général …………………..…………………………………………….77
IV.1.3 Spécificité par domaine d’application………………………………….………...78
IV.1.4 Notion de base de la synergétique………………………………….…………….78
IV.2 Présentation de la théorie de la commande synergétique……..…………………..79
IV.2.1 Principes de la commande synergétique…………………………….……………80
IV.2.3 Les invariants pour un système électromécanique………………………….……81
IV.3 Procédé général de la commande synergétique ………………………..…..…..82
IV.3.1 La fonctionnelle optimisée associée à l’équation fonctionnelle……………….….85
IV.4 Application de la commande synergétique vectorielle au moteur asynchrone
à cage……………...………………………………………………………..……………….87
IV.4.1 Expressions des lois des commandes….……………….………………….……….87
IV.4.2 Loi synergétique de base………………………………………..…………………88
IV.4.3 Schéma d’implémentation de la commande synergétique………………..……..89
IV.5 Simulation et Interprétation…………………………………………………………90
IV.5.1 Test de robustesse …………………………………………………….……………93
IV.6 Conclusion ……………………………………………………………………………93
IV.I Conclusion générale …………………………………….……………………..…….95
ANNEXES
Annexe A : Paramètres de moteur asynchrone à cage……………………………………97
Annexe B : Régulateurs classiques…………………………………………………………98
Annexe : Logique floue………………………………………………...………………….101
Bibliographie ……………………………………………………………………………....
Introduction Générale
Introduction Générale
Les machines à courant continu à excitation séparé ont été largement utilisées dans les
domaines nécessitant des entraînements à vitesse et position variables, grâce à la simplicité de
la commande du flux et du couple à partir du courant d’excitation et du courant d’induit
[Fer02].
Cependant, malgré les avantages de ce type de machine, la machine asynchrone, de par sa
simplicité de conception et d'entretien, a réussi à avoir la faveur des industriels depuis son
invention par N. TESLA. Cette simplicité s'accompagne toutefois d'une grande complexité
physique, liée aux interactions électromagnétiques entre le stator et le rotor, la raison pour
laquelle elle a été utilisée depuis longtemps dans les entraînements à vitesse constante
[Rez09].Par ailleurs, la machine asynchrone à cage est actuellement la machine électrique
dont l'usage est le plus répandu dans l'industrie. Ses principaux avantages résident dans
l'absence de bobinage rotorique, structure simple, robuste et facilité de construction. Son
domaine de puissance va de quelques watts à plusieurs mégawatts. Reliée directement au
réseau industriel à tension et fréquence constante, elle tourne à vitesses peu inférieures de la
vitesse de synchronisme ce qui correspond à ce que l’on appelle « glissement ». [Bou99]
D’un autre coté, grâce à l’évolution technologique de l’électronique de puissance et des
microcontrôleurs et les DSP, le domaine d’entraînement électrique à vitesse variable, a connu
ces dernières années un essor considérable. Cet avantage a joué en faveur de cette machine,
car actuellement elle est utilisée pour la réalisation de la majorité des entraînements à vitesse
variable.[Fer02]
En effet, la première commande qui a été introduite dans l'industrie était la commande
scalaire, qui est répandue pour sa simplicité et son coût réduit, elle a occupée une grande
partie des applications industrielles à vitesses variables. Seulement, les demandes aux
applications plus performantes ont ouvert les voix aux chercheurs pour réaliser des
commandes appropriées et performants qui répondent aux exigences industrielles.
Parmi ces commandes, nous citons la commande vectorielle (FOC) qui constitue depuis
quelque décennies un domaine de recherche particulièrement intéressant, car elle assimile le
comportement dynamique da la machine asynchrone à celui de la machine à courant continu à
excitation séparé, ce qui permet d’éliminer le problème de couplage entre les deux grandeurs
de commande « couple et flux ». La grande différence entre ces deux stratégies de commande
scalaire et vectorielle, réside dans le fait que pour le deuxième type de contrôle les paramètres
1
Introduction Générale
de la machine doivent être connus assez précisément, et dans ce cas, la dynamique du contrôle
devient de plus en plus efficace et suffisante pour assurer les performance aquises.
Malheureusement et dans la pratique, ceci n’est pas toujours acquis, faute d’une mauvaise
estimation ou capture de la résistance rotorique ; ce qui présente un inconvénient majeure qui
a nécessiter plusieurs recherches a fin de le solutionner, car la moindre variation de ce
paramètre provoque une dégradation des performances [Bla72][Bar93][Rez09].
Dans ce contexte et, pour pallier à ces problèmes, le recours aux techniques de commandes
non-linéaires [Isi89], [Slo91], [Kha96] s’avérait opportun et justifié. La
techniques de
commande à structures variables (CSV) [Sab89][Cha93][Sob96a][Bar98], connue par sa
simplicité, sa rapidité et sa robustesse fut largement adoptée et a montré son efficacité dans
de nombreuses applications. Elle consiste à changer la structure de commande en fonction de
l’état du système, tout en en assurant de bonnes performances du système et une robustesse
vis à vis des perturbations externes et des variations paramétriques.
Néanmoins, en dépit de leurs nombreux avantages, les contrôleurs à structures variables qui
correspondent à ce type de technique de commande souffrent d’un inconvénient majeur
appelé « le phénomène de chattering » qui est caractérisé par une commutation infinie entre
les structures de commande en particulier l’étage de l’onduleur. Ceci est impossible à avoir
avec des composants réels, et aussi néfaste pour le bon fonctionnement du processus global
[Utk91]. En effet, les limites physiques des composants semi-conducteurs de l’onduleur quel
que soit leur type, lorsqu’ils ne peuvent pas suivre la commutation imposée par la commande
conduisent à une oscillation de la variable à contrôler autour d’une surface appelée « surface
de glissement » au lieu de glisser sur elle, ce qui peut exciter des dynamiques non modélisées
du système global.
Dans ce sens, et afin de réduire ce dernier, plusieurs axes de recherches ont été proposés,
plus particulièrement ceux qui font intervenir les commandes émergentes ou commandes
intelligentes. Parmi ces dernières, nous citons la commande à structure variables floue de type
Ben-Ghalia qui a été adoptée dans ce mémoire et appliquée pour la première fois dans la
commande de la machine asynchrone à cage. Deux approches de ce type de techniques
existent et sont largement détaillée et appliquées ici : [Amm05][Bar05] [Yah11].
- celle qui s’intéresse à rendre le gain M(s) de la loi de commande Un flou,
- et celle qui fuzzifie la partie signe de cette même lois de commande discontinue.
Malheureusement, d’après les résultats obtenus, il s’est avéré que ce type de technique ne
permet pas une réduction totale ou presque insignifiante du phénomène de chattering. Aussi,
et afin de contourner ce problème néfaste tout en optimisant nos performances ou les garder,
2
Introduction Générale
nous avons opté pour un autre type de commande dite : « commande synergétique ». qui
pourrait selon la bibliographie et les éloges qui ont été faite à ce sujet, nous permettre
d’atteindre nos objectifs visés c.à.d. avoir des performances similaires à celle de la machine à
courant continu à excitation séparé avec une excellente robustesse vis-à-vis de toutes variation
paramétrique quel qu’elle soit et perturbation externe, sans compter une réduction de la
dimension du modèle du système globale et par conséquent simplifier l’implémentation du
schéma correspondant sur banc d’essai dans le futur.
Aussi, notre thèse de magister à été subdivisé en quatre chapitres dont chacun donne toutes les
étapes de conception et résultats de simulation correspondants à chaque type de commande
sus citées.
Ce mémoire est structuré en quatre parties :
 La première partie est consacrée à la modélisation de la machine asynchrone et son
alimentation en utilisant la transformation de Park. Puis, nous présentons la technique de
commande par orientation de flux et l’implémentation d’un régulateur classique de type PI
pour la régulation de la vitesse.
 La technique de commande à structures variables avec application pour le réglage de
vitesse de la machine asynchrone est développée dans la deuxième partie.
 La troisième partie est consacrée à la commande à structure variable flou afin de réduire le
phénomène du chattering avec application pour la vitesse de la machine asynchrone
 Dans la quatrième
partie, nous présentons les concepts de base de la commande
synergétique et l’application du contrôleur de vitesse synergétique pour une commande
vectorielle d'un moteur à induction.
Une conclusion générale donnera une synthèse du travail effectué, et résumera les principaux
résultats obtenus, ainsi que les perspectives envisagées pour d’éventuelles améliorations.
3
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
I .1 Introduction
Jusqu’à nos jours la machine asynchrone à cage d’écureuil, de part sa simplicité de conception
et d'entretien, à la faveur des industriels, et cela depuis son invention par Nikola tesla en
1890, quand il découvrit les champs magnétiques tournants engendrés par un système de
courants polyphasés [Bek09].
Cette, simplicité s’accompagne toutefois d’une grande complexité physique, liée aux
interactions électromagnétiques entre le stator et le rotor [Bek09].Néanmoins, il est connu que
la modélisation d’une telle machine est une étape très importante et nécessaire, que soit pour
étudier son comportements dynamique en boucle ouvert ou/et élaborer les différentes types
de commandes qui lui sont associées.
Dans ce contexte, nous présenterons, dans ce chapitre et dans un premier lieu, la modélisation
classique de la machine asynchrone à cage en utilisant la transformation de Park, puis nous
citerons les propriétés des différents repères et les équations mathématiques (magnétiques et
électriques) qui gèrent la machine dans chacun d’eux. Par ailleurs, nous décrirons
l’alimentation qui lui associée et qui réside en un étage redresseur associé à un onduleur de
tension à modulation de largeurs d’impulsion MLI contrôlé par la stratégie « triangulosinusoïdale » (Modulation par la Largeur d’Impulsion, PWM (Pulse Width Modulation en
anglais)[Bos91][Seg4].
Enfin, nous associerons au précédent ensemble, la technique de commande qui consiste à
réécrire les équations du modèle obtenu dans un référentiel lié au flux rotorique et qui est
nommée : « commande vectorielle indirecte par orientation du flux rotorique ».
De plus, pour valider le comportement dynamique du processus global obtenu dans les deux
modes de fonctionnement (En charge et en défluxé), une simulation est effectuée et les
résultats largement interprétés.
I.2 Modélisation de la machine asynchrone à cage
I.2.1 Hypothèses simplificatrices
Le modèle mathématique de la machine repose sur les hypothèses simplificatrices suivantes
[Han95] :
Le circuit magnétique est parfaitement feuilleté, ce qui permet de considérer que seuls
les enroulements sont parcourus par des courants,
3
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
Le circuit magnétique n’est pas saturé, ce qui permet d’exprimer le flux comme une
fonction linéaire des courants,
L’effet pelliculaire est négligé,
Les résistances ne varient pas avec la température,
L’entrefer est d’épaisseur uniforme et l’effet d’encochage est négligé, ceci suppose la
perméance de l’entrefer constante,
prise en compte du premier harmonique d’espace de la distribution de la force
magnétomotrice créée dans chaque phase du stator et du rotor.
En tenant compte de ces hypothèses, la machine peut être représentée schématiquement
comme indiqué sur la figure (I.1).
Figure I.1 Représentation réelle des bobinages de la machine
I.2.2 Equations de la Machine Asynchrone à cage
De plus, en adoptant la convention de signe moteur, les expressions générales de la
machine exprimées en fonction des flux et des courants sont définies comme suit [Ch83] :
I.2.2.1 Equations électriques
d





abc  au stator
V

R
i

abc
S
abc

dt

 0  R i   d   au rotor
r ABC
ABC

dt
Où :
4
(I.1)
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
Vabc  = (V
sa
, V sb , V sc ) t
et
VABC 
= (0, 0 ,0)t : représentent les tensions des trois phases
statoriques et rotoriques respectivement.
iabc  =
( I sa , I sb , I sc )t et
iABC  = (irA , irB , irC ) t :
sont les vecteurs des courants traversant ces
phases.
[  abc ] = ( sa , sb , sc )t ,   ABC  = ( (rA , rB , rC )t : correspondent aux vecteurs des flux
totalisés traversant les enroulements statoriques et rotoriques.
I.2.2.2 Équations magnétiques
Les équations magnétiques qui établissent la relation entre les flux et les courants statoriques
et rotoriques quant à elles, s’écrivent comme suit:
abc  Ls iabc  Lsr iABC


   L i   L i 
rs abc
r
ABC
 ABC
 ls
Ls   M s
 M s
Où :
Ms
ls
Ms
Ms
M s 
l s 
(I.2)
 lr
Lr   M r
 M r
et
Mr
lr
Mr
Mr
M r 
l r 
cos
cos  4 3 cos  2 3


Lsr   M sr cos  2 3
cos
cos  4 3
cos  4 3 cos  2 3

cos
L rs   L sr t
 : angle entre la phase « a » du stator et celle correspondant au rotor avec  = d /dt.
Ls, (Lr): inductance propre d’une phase statorique (rotorique).
Ms, (Mr) : inductance mutuelle entre deux phases statoriques (rotoriques).
Lsr : inductance mutuelle maximale entre une phase du stator et une phase du rotor.
5
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
Sous une forme plus explicite, les expressions sont données comme :
d
d

Vabc   Rs iabc   Ls  dt iabc   dt  Lsr i ABC  



d
d
 0  Rr iABC   Lr  iABC    Lrs iabc  
dt
dt

(I.3)
I.2.2.3 Equations mécaniques
L’équation du couple s’exprime comme :
C em 
1 t 
i   Li 
2  

(I.4)
Avec :
i t  i a , i b , i c , i A , i B , i C 
L  
Ls
 Lrs
et
Lsr 
Lr 
Etant donné que les sous matrices Ls et Lr contiennent des termes constants, la forme
condensée du couple peut s’écrire comme suit :
C em 
1
i abc
2

L sr
 
t 
i ABC 
(I.5)

Malheureusement, cette modélisation triphasée présente un inconvénient majeur qui réside
dans le fait que les matrices [Lsr]et [Lrs] des inductances mutuelles dépendent de l’angle de
rotation θ. Pour cette raison, le modèle mathématique de cette machine est établi dans le
repère à deux axes orthogonaux permettant de rendre toutes les inductances constantes, dit
repère de Park [Mar05].
I.2.3 Transformation de Park
Comme il à été mentionner plus haut, la mise en équation du moteur asynchrone triphasé se
traduit par des équations différentielles à coefficients variables, aussi l’étude analytique du
comportement du système est alors relativement laborieuse, et cela vu le grand nombre de
variables qui interviennent dans son modèle. C’est pourquoi, nous faisons appel à des
6
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
transformations qui permettent de décrire le comportement de la machine à l’aide d’équations
différentielles à coefficients constants.
Ces transformations utilisées doivent conserver, non seulement la puissance instantanée, mais
aussi, la réciprocité des inductances mutuelles, ce qui permet d’établir une expression du
couple électromagnétique dans le repère correspondant au système transformé qui reste
variable pour la machine réelle [Bar93]. Parmi les transformations utilisées, nous citons celle
de Park et de Concordia (Fig I.2).Dans cette thése nous nous intéressons au premier type c.à.d
celle de Park.
bs
d
Vbs
ids
Vds
T.Park
Vas
iar ar
cr
icr
idr

ibr
as
q
br
iqs
iqr
Vcs
Vq
cs
Figure I.2 Modélisation de la machine asynchrone dans le repère de Park.
Soit [Vs]: le vecteur tension appliqué aux trois phases statoriques de la machine.
Vas 
Vs   Vbs 
Vcs 
Cette transformée de PARK notée [P(θ)], correspond au changement de base (triphaséebiphasé), et permet de diagonaliser la matrice « inductance » Msr est définie par :
7
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
 cos   cos   2 / 3 cos   2 / 3 


2 
P  
 sin    sin   2 / 3  sin   2 / 3


3
1
1
 1

2
2
2


(I.6)
La matrice de changement de base [P (θ)] étant orthonormée, le calcul de sa matrice inverse
est très simple et est donné par :
[P (θ)]ିଵ = transposée [P (θ)] = [P (θ)]௧
Ce qui revient à :
P 1   

cos  
 sin  


2 
cos   2 / 3  sin   2 / 3
3 
 cos   2 / 3  sin   2 / 3




2
1

2 

1
2 
1
(I.7)
I.2.3.1 Equations des tensions
Dans le repère biphasé de Park d’axes (d, q) tournant à la vitesse de rotation du référentiel
quelconque ωc, les équations électriques de tensions s’écrivent comme:
d  ds

V ds  R S i ds  dt   c  qs

d  qs

V qs  R s i qs  d t   c  ds

 0  R i  d  dr   
r dr
r qr

dt

 0  R i  d  qr   
r qr
r dr

dt
(I.8)
I.2.3.2 Equations des flux
Les relations entre les flux et courants statoriques et rotoriques sont données par:
  ds

 qs

  dr
  qr

 L s i ds  L M i dr
 L s i qs  L M i qr
(I.9)
 L r i dr  L M i ds
 L r i qr  L M i qs
Avec:
8
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
c = ds / dt
la vitesse de rotation du référentiel.
r = p   = p  dr / dt
la vitesse électrique de rotation du rotor.
Ls, Lr inductances propres cycliques du stator et du rotor respectivement ;
Ls = Las – Mas et Lr = Lar – Mar
LM : inductance mutuelle cyclique entre stator et rotor (LM= 3/2 Msr),
Msr: inductance mutuelle entre une phase statorique et une phase rotoriques.
I.2.3.4 Équations mécaniques
D’une manière générale, l’expression du couple pour une machine à p paires de pôles est
donnée par :
C em 

pLM
 dr iqs   qr ids
Lr

(I.10)
En substituant les flux par leurs expressions (I.9) dans les équations de tension (I.8), nous
aboutissons à la forme matricielle suivante :
Vds 
V 
 qs 
0
 
0
d

 Rs  Ls dt

  s Ls

 L d
M

dt

 s   r LM

  s Ls
R s  Ls
d
dt
  s   r LM
LM
d
dt
LM
d
dt
 s LM
R r  Lr


 i dS 
d
 i 
LM
dt
  qS 
i 
  s   r Lr   dr 
i 
d   qr 
R r  Lr

dt 
  s LM
d
dt
 s   r Lr
(I.11)
I.2.4 Choix du référentiel
Il existe trois types de référentiels à savoir : celui lié au stator, au rotor ou au champ
tournant. Le choix de l’un d’entre eux dépend du type de problème à étudier et cela en
attribuant une vitesse bien définie au repère « d-q ».Dans notre cas nous avons choisi le repére
liée au champs tournant.
I.2.4.1 Représentation d'état du modèle de la machine asynchrone à cage d’écureuil
Vu la nécessité de représenter le modèle non linéaire de la machine asynchrone à cage
sous forme d’équation d’état, et en manipulant les équations électriques précédentes, nous
aboutissons à une représentation de celui-ci sous forme d’état condensée suivante :
9
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
 
X  Fx  X ,U , t 

Y  Fx  X ,U , t 
Avec :
X : vecteur d’état
U : vecteur d’entrée
Y : vecteur de sortie
Le choix des variables d’état dépend des objectifs visés (Commande et observation).
Dans notre cas, si nous considérons
X  ids , iqs ,  dr ,  qr ,  r 
T
comme variables d’état et les
variables (Vds, Vqs et s) comme variable de commande, le système d’état qui représente
notre machine est donné par [Bar93] :
 dids

Lm
L
1 

dr  m qr  Vds 

  Rsm ids  s Ls iqs 
Lr Tr
Lr

 dt  Ls 
 di
 qs  1  s Ls ids  Rsm iqs  Lm dr  Lm qr  Vqs 
 dt  Ls 
Lr
Lr Tr


1
 ddr Lm

ids   dr  s  r  qr

Tr
Tr
 dt
 dqr L
1

 m iqs  s  r  dr  qr
Tr
Tr
 dt

 d   1  PLM  i   i  C  f  
qr ds 
r
r 
 dt r J  Lr  dr qs


Avec: Rsm  Rs 
L2m
;
Lr Tr
  1
(I.12)
L2m
L
; Tr  r
Ls Lr
Rr
I.3 Modes d’alimentation de la machine asynchrone à cage
Dans certaines applications pour lesquelles la variation de la vitesse est nécessaire, le moteur
sera alimenté par un système de tensions triphasées ou par un système de courants triphasés
(injectés) dans les enroulements du stator, par l’intermédiaire d’un convertisseur électronique
de puissance. Celui ci est placé entre le moteur et le réseau industriel électrique, comme il est
représenté dans la figure (I.3).
10
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
Redresseur
de tension
Réseau
Filtre PB
Onduleur
MLI
MAS
de tension
Commande des
interrupteurs
MLI
Triangulosinusoïdale
Comparaison
Vref et
porteuse
Signal
porteuse
FigureI.3 Association convertisseur-moteur asynchrone.
I.3.1 Modélisation de l’onduleur associé
Pour la modélisation de l’onduleur de tension, nous considérons que [Fer09]:
 La commutation des interrupteurs instantanée,
 La chute de tension aux bornes des interrupteurs négligeable,
 La charge équilibrée et couplée en étoile avec neutre isolé.
On note KA ,KB ,KC les interrupteurs du haut, et K A ' , K B ' , K C ' ceux du bas. De plus, nous
supposons que les commandes des interrupteurs d’un même bras sont complémentaires
comme le montre la figure (I.4).
Figure I.4 Représentation de l’ensemble onduleur –machine asynchrone à cage
Par ailleurs, cet onduleur est commandé à partir des grandeurs logiques C i [i = A,B,C ]les
quels sont définies comme suit :
11
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1

si C i =1 , alors K i est fermée et K 'i est ouvert,

si C i =0, alors K i est ouvert et K 'i est fermé.
Les tensions composées U AB ,U BC ,U CA sont obtenues à partir des sorties de l’onduleur comme
suit :
UAB =VA0-VB0
(I.13)
UBC=VB0-VC0
UCA=VC0-VA0
Où ,V A0 ,V B0, V C0 sont les tensions simples des phases.
Puisque Les tensions simples des phases de la machine ont une somme nulle, on peut obtenir
les relations qui les lient entres elles et qui sont données par :
ଵ
VAn= ଷ [UAB - UCA]
ଵ
VBn= ଷ [UBC – UAB]
(I.14)
ଵ
VCn= ଷ [UCA – UBC]
Donc, nous pouvons déduire que :
ଵ
(I.15)
Vn0=ଷ (VA0+VB0+VCO)
D’autre part, pour une commutation idéale, nous avons la relation suivante :
Vi0=CiUc -
௎௖
ଶ
Ce qui conduit à :
VA0= (CA- 0.5)Uc
(I.16)
Donc, en remplaçant l’équation (I.15) dans le système (I.14), nous obtenons les relations des
tensions suivantes :
ଶ
ଵ
ଵ
VAn= VA0 - VB0 - VC0
ଷ
ଵ
ଷ
ଶ
ଷ
ଵ
VBn=- VA0 + VB0 - VC0
ଷ
ଵ
ଷ
ଵ
(I.17)
ଷ
ଶ
Vcn=- VA0 - VB0 + VC0
ଷ
ଷ
ଷ
De plus, en remplaçant l’équation (I.16) dans (I.17), nous aboutissons à :
ܸ஺௡
ܸ஻௡
ܸ஼௡
2 −1 −1
ଵ
= ଷ Uc −1 2 −1
−1 −1 2
‫ܥ‬஺
‫ܥ‬஻
‫ܥ‬஼
(I.18)
12
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
I.3.2 Stratégie de commande de l’onduleur
Les grandeurs de sortie des commandes analogiques ou numériques représentent les tensions
ou les courants désirés aux bornes de la machine. La technique de modulation de la largeur
d’impulsion (M.L.I.) permet de reconstituer ces grandeurs à partir d’une source à fréquence
fixe et tension fixe ; en général une tension continue par l’intermédiaire d’un convertisseur.
Celui-ci réalise les liaisons électriques entre la source et la charge. Le réglage est effectué par
les durées d’ouverture et de fermeture des interrupteurs et par les séquences de
fonctionnement.
La méthode de contrôle par M. L. I. à partir d’une source de tension continue constante
consiste à imposer aux bornes de la machine des créneaux de tension, de manière que le
fondamental de la tension, obtenu soit la plus proche possible de la référence de tension
sinusoïdale.
D’un autre coté, la multiplication du nombre des impulsions formant chacune des alternances
de chacun des tension de sortie d’un onduleur à M. L. I. présente deux avantages importants à
savoir [Ség89] :

Repousser vers des fréquences les plus élevées les harmoniques de la tension, ce qui
facilite le filtrage,

Elle permet de faire varier la valeur du fondamental de cette dernière.
Cependant, l’essor de la M. L. I. est lié au progrès des semi-conducteurs de puissance à
utiliser. De plus, l’augmentation du nombre de commutation entraînerait des pertes excessives
si on ne réussi pas à réduire les pertes à chacune des commutations ce qui est faisable
aujourd’hui.
I.3.4 Stratégies des MLI Stratégie triangulo-sinusoïdale
Fondamentalement, les méthodes de modulation de largeur d’impulsion ont comme principe
l’échantillonnage du signal qui contient l’information devant être transmise, et qui se nomme
« signal modulant ». Cette information est ensuite convertie en une série d’impulsions dont la
largeur est définie en fonction de l’amplitude du signal modulant aux instants
d’échantillonnage requis.
Quatre catégories de M. L. I. ont été développées [Cle97].
13
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
 Les modulations sinus-triangulaire effectuant la comparaison d’un signal de référence
à une porteuse, en général, triangulaire, comme le montre la figure (1.5) et qui sera
utilisée dans la suite de notre présent travail.
 Les modulations pré-calculées pour lesquelles les angles de commutations sont
calculés hors ligne pour annuler certaines composantes de spectre fréquentiel,
 et les modulations post-calculées encore appelées M. L. I. régulières symétriques ou
M. L. I. vectorielle dans lesquelles les angles de commutations sont calculés en ligne.
Figure I.5 Principe de MLI sinus-triangulaire
I.4.1Modulation de largeur d’impulsions sinusoïdale
La technique MLI sinusoïdale est une technique très utilisée en industrie et est largement
passée en revue dans la littérature.
Le principe de cette technique consiste à comparer un signal de référence (modulante) à une
porteuse. Le signal de référence représente l’image de la sinusoïde requise à la sortie de
l’onduleur. Ce signal est modulable en amplitude et en fréquence, lorsque la porteuse, définit
la cadence de la commutation des interrupteurs statiques de l’onduleur, c’est un signal de
haute fréquence par rapport au signal de référence.
Cette stratégie est caractérisée par deux grandeurs de réglage à savoir :

L’indice de modulation m égal au rapport de la fréquence de la porteuse sur la
fréquence du modulante.
m= fp / f
14
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1

Le taux de réglage r égal au rapport de l’amplitude de référence sur l’amplitude de
la porteuse.
r = Vm/ Vp
I.4 La commande vectorielle
La commande vectorielle est un terme générique désignant l'ensemble des commandes tenant
compte en temps réel des équations du système qu'elle commande. Le nom de ces commandes
vient du fait que les relations finales sont vectorielles à la différence des commandes scalaires.
Les relations ainsi obtenues sont bien plus complexes que celles des commandes scalaires,
mais en contrepartie elles permettent d'obtenir de meilleures performances lors des régimes
transitoires.
I.4.1 La philosophie de la commande
La commande vectorielle introduite par Kovacs en 1959, et repris après une dizaine d'années
en 1972 par Blaschke fût la première technique capable de doter la machine asynchrone de
nouvelles performances au moins comparables à celles de la machine courant continu
[Ade07]. Son rôle consiste à agir sur la période de fonctionnement de l’onduleur. En effet, la
commande doit ouvrir ou fermer les interrupteurs de puissance (IGBT ou autre) de manière à
créer dans la machine électrique un champ magnétique résultant dont le module et la direction
sont optimaux pour répondre aux consignes de vitesse et de couple [Bla72].
Par construction, la machine à courant continu produit un champ magnétique statorique
toujours perpendiculaire au rotor. C’est ce comportement que l’on va chercher à obtenir avec
les machines alternatives en particulier la machine asynchrone à cage. Le calculateur qui va
agir sur la commande des interrupteurs doit d’avoir quelques informations pour effectuer le
calcul de la position et du module du flux à orienter [Fer09].
Ces informations sont obtenues à l’aide d’un capteur de position ou de vitesse ou/et des
capteurs de tension et courants de la machine.
I.4.2 Principe de découplage
Le principe de la commande vectorielle ou commande par flux orienté consiste à réaliser un
découplage « efficace » entre les deux variables principales de la machine asynchrone, soient
le couple et le flux dont l’interdépendance est montrée dans l’équation du couple (I.19)
suivante [Ade07] :
‫ܥ‬௘௠ =
௉௅೘
௅ೝ
15
݅௤௦Φ௥
(I.19)
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
Ce qui revient à dire que ce type de commande est basée sur une orientation du repère
tournant d’axes (d,q) tels que l’axe (d) soit confondu avec la direction du flux comme le
montre la figure (I.6).
Lié au rotor
Lié au flux
du rotor
θs
Lié au stator
Figure I. 6 Illustration de l’orientation de flux
Le flux  représenté à la figure (I.6) peut être, le flux rotorique, flux statorique ou le flux
d’entrefer suivant le type de commande vectorielle à réaliser et qui est régit par les conditions
suivantes :

Cas due flux rotorique:
 dr   r

 qr  0
(I.20)
Cas du flux statorique:
 ds   s

;
;
 qs  0
(I.21)
Cas du flux d’entrefer:
 dg   g
;
(I.22)
 qg  0
L’intérêt de la technique à flux orienté est d’aboutir à un variateur de vitesse où comme il a
été dit précédemment, le flux et le couple sont commandés séparément par les composantes
du courant statorique (ids et iqs) respectivement. Il est également possible que ces deux
composantes soient contrôlées indépendamment par l’action sur les tensions Vds et Vqs
données par le système d’équation (I.12).
De plus, il s’avère que pour simplifier la commande, il est nécessaire de faire un choix
judicieux du type de flux à orienter. En effet, la commande vectorielle à orientation du flux
16
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
rotorique est connu d’après la bibliographie [Bla72][Fu91][Bar95][Bos91] pour être
la
technique la plus utilisée car elle est décrite par un modèle très simple par rapport à ceux
basés sur l’orientation du flux statorique ou d’entrefer.
En effet, en considérant les conditions d’orientation du flux rotorique précédentes (I.20), et en
les introduisant dans le modèle (I.12) de la machine asynchrone à cage, nous aboutissons au
système d'équations suivant :
 dids
1 


  R sm i ds   s  L s iqs 
 Ls 
 dt
 di
 qs  1    s  L s i ds  R sm iqs 
 dt
 Ls 

L
1
 dr
 m i ds 
r

dt
T
T
r
r


L
 0  m i qs   s   r   r
Tr


 d   1  P L m   i   C  f
r qs
r
 dt r
J  Lr


Lm
 r  V ds 
Lr Tr


Lm
  r  V qs 
Lr

(I.21)

r 

D’après ces équations, nous remarquons que le flux rotorique ne dépend que de la
composante du courant suivant l’axe « d » et le couple dépend de celle qui est suivant l’axe
« q » [Bar95].
Par ailleurs, les tensions Vds et Vqs influent à la fois sur ids et iqs donc sur le flux et sur
le couple (Fig I.7). Ce qui nous oblige à réaliser un découplage entre les deux axes d et q
[Cle97].
ܸௗ௦
௙௖௧
∑
ܸௗ௦ ሱሮ ݅ௗ௦
݅ௗ௦
௙௖௧
௙௖௧
݅ௗ௦ ሱሮ Φ
݂݈‫ݔݑ‬
ܸௗ௦ ሱሮ ݅௤௦
௙௖௧
ܸ௤௦
௙௖௧
ܸ௤௦ ሱሮ ݅ௗ௦
ܸ௤௦ ሱሮ ݅௤௦
∑
Couplages
Figure I.7 Description du couplage.
17
݅௤௦
௙௖௧
݅௤௦ ሱሮ ‫ܥ‬௘௠
couple
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
L’idée d’un tel découplage se résume à essayer de limiter l’effet d’une entrée à une seule
sortie, on aboutit donc à des systèmes mono-variables évoluant en parallèle.
Il existe plusieurs techniques assurant le découplage à savoir : en utilisant un régulateur, en
ayant recours à un découplage par retour d’état ou à un découplage par compensation. Nous
adoptons dans ce travail le dernier type de découplage.
I.4.3 Découplage par compensation
L’idée de base de ce type de découplage consiste à éliminer le couplage entre les deux
équations de Vds et Vqs, pour ce faire nous faisons appel à une méthode de compensation qui
consiste à faire la régulation tout en négligeant dans un premier temps les termes de couplage.
Puis afin de reconstituer les tensions de références, les termes de couplage sont rajoutés à la
sortie des correcteurs de courant utilisées comme le montre la figure (I.8). Aussi, et dans ce
sens, nous définissons deux nouvelles variables Vsd1 et Vsq1 telle que :
ܸௗ௦ = ܸௗ௦ଵ + ݁ௗ௦
൜ܸ = ܸ + ݁ ௤௦
௤௦ଵ
௤௦
Avec :
(I.22)
ௗ
ܸௗ௦ଵ = ܴ௦݅ௗ௦ + ߪ‫ܮ‬௦ ௗ௧ ݅ௗ௦
ቐ
ௗ
ܸ௤௦ଵ = ܴ௦݅௤௦ + ߪ‫ܮ‬௦ ௗ௧ ݅௤௦
Et :
݁ௗ௦ =
(I.23)
௅೘ ௗ
Φ − ߱ ௦ߪ‫ܮ‬௦݅௤௦
௅ೝ ௗ௧ ௥
ቐ
௅
݁௤௦ = ௅೘ ߱ ௦Φ௥ + ߱ ௦ߪ‫ܮ‬௦݅ௗ௦
(I.24)
ೝ
De cette façon, les actions sur les axes d et q sons complètement découplés.
݁ௗ௦
ܸௗ௦ଵ
ܸ௤௦ଵ
Σ
ܸௗ௦
Commande
vectorielle
݂݈‫ݔݑ‬
+
Σ
MAS
ܸ௤௦
݁௤௦
Figure I.8 Reconstitution des tensions Vds et Vqs.
18
ܿ‫݈݁݌ݑ݋‬
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
I.4.4 Schéma de principe
A partir du modèle du moteur, et des équations de découplage données par les
expressions (I.22, I.23, I.24), nous pouvons élaborer un schéma de principe de la commande
vectorielle à flux rotorique orienté sur l’axe « d », représenté par la figure (I.9). La position θs
de l’axe « d » par rapport au stator est obtenu par l’intégration de la pulsation statorique ωs.
Vd
ܸௗ௦ଵ
‫ܦ‬éܿ‫݈݁݃ܽ݌ݑ݋‬
ܸ௤௦ଵ
Φ୰ୣ୤
Φ
߱௦
iୢୱ
Calcul
Φ, ωୱ, θୱ
i୯ୱ
Vd
ܶ‫݊݋݅ݐܽ ݉ݎ݋݂ݏ݊ܽݎ‬
௣௔௥௞షభ
(݀, ‫ )ݍ‬ሱ⎯⎯⎯ሮ (ܽ, ܾ, ܿ)
ܸ௦௔௕௖
MAS
ωୱ
θୱ
݅ௗ௦
ܶ‫݊݋݅ݐܽ ݉ݎ݋݂ݏ݊ܽݎ‬
௣௔௥௞
݅௤௦
(ܽ, ܾ, ܿ) ሱ⎯⎯ሮ (݀, ‫)ݍ‬
݅௦௔௕௖
Figure I.9 schéma de principe d’une commande vectorielle.
I.4.5 Différentes méthodes de commande par orientation du flux
Il existe deux approches pour la détermination de la phase du flux à orienté θs, ainsi
que son amplitude Φ:
-La commande directe : où cet angle est mesuré électriquement [Khe05].
-la commande indirecte : où il est estimé à partir de la relation donnant la vitesse de
glissement dans la théorie du flux orienté [Khe05].
I.4.5.1 Technique d’orientation directe du flux
Cette méthode nécessite une bonne connaissance du module du flux et de sa phase et
celle-ci doit être vérifiée quelque soit le régime transitoire effectué. Il faut donc procéder à
une série de mesures aux bornes du système [Wik].
19
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
Une première possibilité consiste à mettre des capteurs de flux dans l’entrefer et de mesurer
directement les composantes φ et φ de manière à en déduire l’amplitude et la phase. Dans
de
qe
ce cas, les capteurs, mécaniquement fragiles, sont soumis à des conditions sévères dues aux
vibrations et aux échauffements. Les signaux captés sont entachés d’harmoniques d’encoches
et leur fréquence varie avec la vitesse de rotation du moteur. Ce qui nécessite des filtres
ajustables [Bou07].
D’autre part, la précision de la définition du flux dépend des paramètres inductifs, affectés
par la saturation du circuit magnétique. La phase des courants est déterminée à partir de
l’angle de charge défini par le courant i et la position angulaire du flux rotorique.
qs
Aussi, il est clair que même si la mesure directe permet de connaître exactement la position du
flux, ce mode de contrôle nécessite l’utilisation d’un moteur équipé de capteurs de flux. Ceci
augmente considérablement le coût de sa fabrication et rend plus fragile son utilisation. En
effet, les capteurs de flux dans ce cas sont disposés à l’intérieur de la machine effectuent une
mesure de la composante directe et transversale du
flux
de la machine(Fig
I.10)[Bos88][Bou07].
Calculateur
Фd
MAS
.
.
ඥФߙଶ + Фߚଶ
IФeI
.
.
Фq
Cos θe
sinθe
Figure I.10 Technique de mesure de la position et de l’amplitude du flux d’entrefer.
La détermination du modèle et de la position du flux d’entrefer s’effectue donc, dans le repère
stationnaire de la machine, comme suit [Bou07][Bos88]:
Фde=|Ф݁| cos (θe)
(I.25)
Фqe=|Ф݁| sin (θe)
(I.26)
|Ф݁| =ඥФߙଶ + Фߚଶ
(I.27)
20
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
θe : correspond a la position du flux.
Notons que, dans une commande vectorielle directe, à orientation du flux d’entrefer, nous
avons besoin de cos(θe) et sin(θe), afin de réaliser la transformation des consignes de courant.
À partir de (I.25) et (I.26), il est évident que :
Cos (θe)
Sin (θe)
=
=
Фௗ௘
ඥФఈ మାФఉ మ
(I.26)
Ф௤௘
ඥФఈ మାФఉ మ
(I.27)
Une fois le flux d’entrefer mesuré, nous procédons à la détermination du flux rotorique.
Par conséquent, nous pouvons dire que la méthode directe par orientation du flux est donc
basée sur la détermination de la position instantanée du flux dans la machine. Cette
détermination peut s’effectuer grâce à la mesure du flux comme illustré à la figure (I.10).
Cette mesure est réalisée par l’utilisation de capteurs de flux de type à effet hall ou
magnétiques. Ces capteurs nécessitent d’être installés dans la machine ce qui entraîne des
modifications dans sa conception. Ceci n’est pas toujours adapté aux moteurs industriels à
usage général. De plus, la tension de sortie des capteurs à effet hall dérive avec la
température. En plus, ce type de capteurs n’est pas aussi robuste que le moteur et donc réduit
la fiabilité du système [Mat94]. Finalement, il est important de noter que le signal obtenu par
les capteurs magnétiques du flux à basse vitesse est fortement perturbé par les harmoniques
[Bou07].
I.4.5.2 Méthode indirecte
Cette méthode se base sur le contrôle de la pulsation de glissement afin de pouvoir aligner
l’axe (od) du repère (d-q) avec le vecteur flux rotorique. Par conséquent, nous n’avons
nullement besoin de connaître l’amplitude du flux, mais seulement sa position laquelle est
calculée à partir des grandeurs de référence (flux- couple), et de la vitesse de rotation
mesurée, ou bien par un estimateur de position du flux, [Cle97]. Ce qui a été adopté dans
notre présent travail de recherche.
I.4.5.3 Méthode à base d’estimateur
A partir des équations d’état de la machine, on peut aboutir à plusieurs formulations qui
permettent d’estimer la position (θs), la quelle est estimée à partir des composantes (α, β) du
flux, comme suit :
21
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
 s  Arctg (

)

(I.28)
Toute la difficulté est dans l’estimation des flux. En utilisant les courants mesurés et les
tensions d’alimentation de la machine, on reconstitue les f.e.m puis les flux :
   (V  Rs I )dt
(I.29)
   (V  Rs I  )dt
On peut aussi opter pour les flux rotoriques, mais il s’avère que cela introduit des paramètres
supplémentaires pour l’estimation comme il est défini dans (I.30)
 r 
Lr
( s   Ls I s )
Lm
 r 
Lr
( s   Ls I  s )
Lm
θs
(I.30)
Vs(α,β)
φα
A,b,c
Estimation
du Flux
Arctg
φβ
Is(α,β)
Vs(a,b,c)
α ,β
Is (a,b,c)
Figure I .11 Estimation de la position du flux de la machine asynchrone en boucle ouverte
I.4.6 Structure d’un schéma de commande par orientation du flux rotorique
Afin de montrer qu'effectivement la commande vectorielle permet de rendre le modèle de la
machine asynchrone alimentée en tension découplé, le schéma bloc de la figure (I.12) est
utilisé. Les variables de commande (Vds, Vqs, s) de la machine sont générées par le bloc
désigné « FOC » (Field-oriented-control) et sont en fonction des grandeurs de consigne: Le
flux Φr ref et le couple Cem ref [Cle97].
Φr ref
Cemr ref
Modèle de
commande par
flux orienté
(F.O.C)
Vds
Φdr
Modèle de la
machine
asynchrone
alimentée an
tension
Vqs
ωs
Figure I.12 schéma de la structure d’une commande par flux orienté.
22
Φqr
Cem
ωr
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
En considérant le couple électromagnétique Cem et le flux rotorique r comme références de
commande et en inversant le système (I.12), nous obtenons les équations de commande
suivantes :

1
d
I ds  (Tr r ref  r ref )
Lm
dt


L Cem
I qs  r
pLm r ref


Lm I qs

s  r 
Tr r ref


d
Vds  Rsm I ds   Ls dI ds  ( Lm ) r ref  s Ls I qs

dt
Lr
dt

V  R I   L dI qs   Lm    L I 
sm qs
s
r
r ref
s ds s
 qs
dt
Lr

(I.31)
I.4.7 Commande vectorielle indirecte avec réglage de vitesse
Dans le cas où une régulation de vitesse est envisagée, le couple de référence est obtenu à
partir d’un régulateur proportionnel (P.I), lequel traite le signal d’erreur entre la vitesse de
consigne et celle mesurée [voir annexe B]. Cependant, le flux de référence est obtenu à partir
d’un bloc dit de défluxage ayant pour rôle de diminuer le flux dans la machine (par
conséquent le couple) lors du fonctionnement à des vitesses supérieures à la vitesse nominale
et de le maintenir constant pour des vitesses inférieures ou égales à la vitesse nominale
suivant la relation (II.8) [Bos91][Cle97]:
nom

nom
rref  


nom

r

si
r  nom
si
r  nom
(I.32)
Ainsi, la structure de la commande vectorielle de la machine asynchrone commandée par la
méthode indirecte du flux orienté qui en résulte et pour laquelle nous avons opté dans notre
travail est donnée par la figure (I.13)
23
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
Redresseur
Réseau
Filtre PB
Onduleur
MLI
MAS

Régulateur
*
e
vds*
Ce*
PI
F.O.C
r*

vqs*
va*
d,c
θs*
a,b,c
vb*
vc*
r
1/P
Vs(a,b,c)
θs
Estimateur
Is(a,b,c)
Figure I.13 schéma de bloc de la commande vectorielle indirect avec régulation de vitesse.
I.4.8 Simulation Numérique :
La dynamique de cette commande avec orientation de flux rotorique est observée pour
deux modes distincts :
1) A flux constant avec une référence de vitesse Ω
ref
=100 rd/s, un flux rotorique Ф
ref
=1wb,
suivi d’une application d’un couple de charge de 10 N.m entre 1s et 2s (Fig I.14).
2) Le cas d’un fonctionnement à mode défluxé avec application d’une vitesse de référence
égale à 100 rad/s puis une autre supérieure à la vitesse nominale et égale à 160 rad/s à
t= 2s et un flux de référence décrit par la relation(I.29) (mode défluxé) (Fig I.15).
24
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
Figure I.14 simulation de la dynamique de la machine asynchrone commandée par l’orientation de
flux rotorique suivie d’une application d’un couple résistant de
10 N.m.
25
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
Figure I.15 simulation de la dynamique de la machine asynchrone commandée par l’orientation de
flux rotorique suivie d’une application d’un couple résistant de
5 N.m en mode défluxé.
26
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
I.4.7 Interprétation des résultats
A partir des résultats de la figure (I.14), il est clair que la commande vectorielle est mise en
évidence par l’annulation de la composante en quadrature en régime établi, et pour le flux
Фdr =1wb. La vitesse suit avec précision sa valeur de référence grâce a l’action du régulateur
et le courant de phase présente une allure sinusoïdale avec une pointe de 13A lors de
démarrage.
Et à partir de la figure (I.15), il est clair que si la commande vectorielle est mise en évidence
dans cet essai par l’annulation de la composante en quadrature du flux rotorique Фr, .Le flux
réel atteint sa référence en régime permanent tout en ayant une allure hyperbolique à t=2s.
I.4.8 Test de robustesse
Afin de mettre en évidence l’influence des incertitudes et des variations paramétriques, en
particulier celles de la résistance rotorique sur le processus de commande, un test de
robustesse avec Ωref =100 rd/s et Ф ref =1wb est effectué dans les mêmes conditions que celle
de la figure (I.14) en provoquant une augmentation de la résistance rotorique de 5% par
rapport à sa valeur nominale.
Les résultats de simulations sont donnés à la figure (І.16).
Figures I.16 simulation de la dynamique de la machine asynchrone commandée par l’orientation de
flux rotorique suivie d’une application d’un couple résistant de
10 N.m et une variation de Rr de 5%.
27
Modélisation de la MAS, onduleur et commande vectorielle Chapitre1
D’après les résultats de simulation, obtenus, nous remarquons que La sensibilité est très
grande par rapport à ce paramètre, le flux rotorique n’est pas vraiment orienté sur l’axe d
(perte de découplage entre le flux et le couple). Un changement de la résistance rotorique
conduit à une erreur sur l’amplitude et la phase du vecteur flux (perte du control vectoriel).
Le flux n’est plus maintenu constant avec un couplage entre le flux et le couple qui diffère
alors temporairement de la valeur de référence. Aussi, une adaptation de ce paramètre est
nécessaire pour éviter une dégradation du contrôle vectoriel (fig I.16)
I.5 Conclusion
Le travail présenté dans ce chapitre concerne la modélisation et la commande vectorielle par
orientation du flux rotorique de la machine asynchrone à cage d’écureuil.
En premier lieu, nous avons abordé le modèle de la machine généralisée triphasé, suivie du
passage vers le modèle biphasé, dit de Park.
En seconde lieu, l’étude de la commande vectorielle (simulation, de la commande, les
résultats et leurs interprétations), l’influence de la
variation de la résistance rotorique
« constante du temps rotorique » sur les performances de la commande ont été largement
détaillés.
D’après les résultats de simulation obtenus, nous avons pu constate que la commande
vectorielle par orientation du flux rotorique est très performante et permet d’imposer à la
machine asynchrone un comportement semblable à celui de la machine à courant continu à
excitation séparé.
De plus, les résultats de simulation correspondant aux tests de robustesse, montrent la
dégradation des performances de ce type de commande lorsque les paramètres de la machine
subissent une variation en particulier celle de la résistance rotorique (Rr).Cette variation
provoque une erreur sur la phase du flux par rapport au stator, ce qui introduit un couplage
supplémentaire entre le flux et le couple, ce qui permet d’assurer que la commande vectorielle
indirecte est très sensible aux variations paramétriques. Ceci, nous oblige à nous orienter vers
des modèles de commande basés sur des régulateurs plus robustes lesquels prennent en
considération ces variations paramétriques et toutes les perturbations externes qui peuvent
subvenir lors du fonctionnement du moteur, ce qui fera l’objet du prochain chapitre.
28
Commande à structures variables Chapitre 2
II.1 Introduction
Nous avons vu précédemment que Le schéma de commande vectorielle basé sur des
régulateurs classiques de type PI, donne de bons résultats dans le cas où le système est linéaire
à paramètres constants. Cependant, elle reste très limitée pour un système non linéaire ayant
des paramètres variables qui nous impose le recours à une technique de commande robuste
dite à structure variables la quelle répond aux exigences requise par les industrielles à savoir :
l'insensibilité aux variations des paramètres et aux perturbations externes aux systèmes à
contrôler.
La théorie des systèmes à structures variables (SSV) et les modes glissants (MG) associés
(en anglais : sliding mode)[Eml67][Utk78], est une technique de commande non linéaire. Elle
est caractérisée par la discontinuité de la commande aux passages par une surface de
commutation, appelé encore « surface de glissement ».
L’idée des systèmes à structures variables a jailli à l’issue des travaux du mathématicien
soviétique A.G.Fillipov sur les équations différentielles à second membre discontinu [Fil 60],
et a été étudiée et développée exclusivement en union soviétique dans les années quatre-vingts
par le chercheur V.I.Utkin [Utk 87]. Par la suite, de nombreuses recherches ont été menées
partout ailleurs, soit pour compléter l’étude théorique, soit pour l’appliquer aux différents
systèmes physiques. Néanmoins, l’utilisation de cette méthode de commande a été longtemps
limitée par les oscillations causées par un phénomène non désirable dit : broutement (en
anglais :chattering). En effet, dans ce cas, les composants semi-conducteurs utilisés en
interrupteurs au niveau de l’étage onduleur seront soumis à une fréquence de commutation
élevée qui pourrait les détruire. [Fer91]
Le principe de ce type de technique, consiste à amener la trajectoire d’état vers la surface
de glissement et de la faire commuter à l’aide d’une logique de commutation appropriée
autour de celle-ci jusqu’au point d’équilibre, ce qui correspond à ce que nous appelons « le
phénomène de glissement ». Ce dernier rend le système bouclé insensible à certaines
variations des paramètres et aux perturbations. Il est cependant important de noter qu’une
propriété importante des régimes glissants est que la trajectoire d’état en mode glissant
évolue dans un espace de dimension inférieure, ce qui réduit donc l’ordre du système
global.[Fer91] Parmi les applications de cette technique de commande, nous citons les travaux
de Asif Sabanovic [Sab81] sur les applications du mode glissant à une machine asynchrone à
cage d’écureuil pour le réglage de la position, la vitesse et le couple. D’autre part,
l’implémentation numérique de ce même type de commande sur une machine asynchrone a
28
Commande à structures variables Chapitre 2
été également effectuée par Bose pour le réglage de la position, [Bos85] et cela sans compter
d’autres travaux qui ont été mené dans d’autres domaines.
II.2 Configuration pour les systèmes à structure variables
Il existe deux configurations de base pour les systèmes à structures variables :
-
La première permet un changement de la structure par commutation entre deux
retours d’état différente (Fig II.1)
-
et une autre configuration permet la variation de la structure du système par simple
commutation d’interrupteurs (Fig II.2), ce qui est le cas pour les convertisseurs
électriques.
࢞̇ =f(x)+g(x)u
-K1(x)
x
-K2(x)
Y=s(x)=h(x
Figure II.1 Configuration par retour d’état
Dans le cas de la figure (II.1), la surface de glissement notée S(x), peut être positive ou
négative. La commande u est donnée par u=-k1(x) si S(x)>0 et u = k2(x) si S(x)<0.
En mode de glissement, le système évolue sur la surface de glissement, et par conséquent
S(x)=0.
umax
u
࢞̇ =f(x)+g(x)u
umin
y
Y=s(x)=h(x)
Figure II.2 Configuration en changeant la structure par commutation d’interrupteurs.
29
Commande à structures variables Chapitre 2
Par contre, dans le cas de la deuxième figure (II.2), seule l’information sur le signe de la
fonction S(x) suffit pour décider de l’ouverture ou de la fermeture de l’interrupteur pilotant le
convertisseur [Bar03].
Dans ce dernier cas de configuration, la logique de commutation est donnée par
umax si S(x)>0
(II.1)
u=
Umin si S(x)<0
Lorsque le régime glissant est atteint, les variables d’état sont reliées entre elles par la
relation S(x)=0, et la trajectoire d’état du système dans ce cas s’écrit comme :
ௗ௫
= f(x,t) +g(x,t)u
ௗ௧
(II.2)
II.2.1 Solution des systèmes dynamiques à second membre discontinu
La méthode de Fillipov [Fil60] est l’une des premières méthodes qui a montré l’existence et
l’unicité de la solution des systèmes dynamiques à second membre discontinu en régime
glissant.
En effet, Fillipov a définie un champ « vecteur moyen » décrivant la trajectoire d’état en
mode de glissement idéal, lequel
est obtenu par la moyenne géométrique ou par une
combinaison convexe des champs de vecteurs définis de chaque coté de S(x) comme le
montre la figure (II.3). Ce champ de vecteurs moyen est tangentiel à la surface de glissement
où le mode glissant existe.
D’un autre coté, il est montré par Fillipov [Fil60] que la trajectoire d’état du système (II.2)
avec la loi de commande (II.3) en régime glissant i.e s(x,t)=0 est donnée par la relation
suivante :
Avec 0 ≤ α ≤ 1
ௗ௫
ௗ௧
= αf+ + (1-α)f- = f0
f+ =f(x,u+,t)
(II.3)
f- =f(x,u-,t)
et
f+
S(x)
f0
fFigure II.3 Construction du champ de vecteurs moyen f0àpartir des champs f+et f-
30
Commande à structures variables Chapitre 2
Une autre méthode de commande à structures variables qui a prouvé sont efficacité dans
plusieurs applications, appelé méthode de commande équivalente, laquelle a été proposée par
Utkin et fera l’objet du présent travail [Utk78].Sa théorie sera présentée en détail
ultérieurement.
II.2.2 Principe de base de la Commandes équivalente
Ce type de technique est la plus fréquemment utilisé dans la commande des processus
industriels.
La structure du contrôleur à structures variables dans ce cas est décrit par l’équation (II.4) et
est constituée de deux parties; une première concernant la linéarisation exacte, et une
deuxième stabilisante représentant la dynamique du système durant le mode de convergence
[Bar03]. Cette dernière est très importante dans la technique de commande non linéaire, car
elle est utilisée pour éliminer les effets d’imprécision du modèle global du système à contrôler
et les perturbations extérieures qui peuvent survenir lors des fonctionnement de ce dernier.
U (t )  U eq (t )  U n (t )
(II.4)
Avec :
Ueq(t) : Correspond à la commande équivalente proposée par FILIPOV et UTKIN.
Un(t) : loi de commande discontinue ou stabilisante.
La loi de commande Ueq(t) est calculée en admettant que le comportement du système est
idéal et est décrit par :
S ( X )  0
(II.5)
D’autre part, cette commande équivalente peut être interprétée comme la valeur moyenne
modulée de grandeur continue que prend la commande lors de la commutation rapide entre
ces deux valeurs extrêmes Umax et Umin comme le montre la figure (II.4) [Utk91].
31
Commande à structures variables Chapitre 2
U
Ueq
Un
Umax
temps (s)
Umin
Figure II.4 Commande équivalente et commande réel.
Par contre, la loi de commande Un, elle détermine le comportement dynamique du système
durant le mode de convergence, et pour garantir l’attractivité de la variable à contrôler vers la
surface de glissement, elle doit vérifier la relation, laquelle sera détaillée plus loin
S (x).S (x)  0
(II.6)
II.3 Conception des régulateurs à structures variables
Il a été prouvés par les travaux d’Utkin et de Slotine que la conception des régulateurs par
modes glissants prend en charge les problèmes de stabilité et des performances désirées de
façon systématique. Leur mise en œuvre nécessite trois étapes successives à savoir :
1. Choix des surfaces de glissement,
2. Etablissement des conditions d’existence et de la convergence vus la surface de
glissement (modes glissants),
3. Détermination de la loi de commande.
II.3.1 Choix des surfaces de glissement
En général, pour un système défini par l’équation d’état suivante :
x  [ A( x)]  [ B( x)][ui ]
(II.7)
avec :
 x1 
 
x     ;
x 
 n
 A1 ( x) 
 B11 ( x)    Bm1 ( x) 
 u1 ( x) 






A( x)       ; B( x)     
    ; ui      
 A ( x) 
 B ( x)    B ( x) 
 u ( x) 
mn
 n 
 1n

 m 
32
Commande à structures variables Chapitre 2
Il à été établit qu'il peut exister m surfaces de glissement relatives à chacune des variables de
commande ui. Leur choix doit être fait de manière à ce que leur intersection, qui représente en
réalité la surface de glissement (S=0), permet d'avoir le comportement désiré du système ,
ainsi qu'une bonne poursuite de cette surface. Généralement, cette surface est déterminée par
l’équation de SLOTINE donnée par [Slo91] [Bar03]:


S ( x)     x 
 t

r 1
(II.8)
 e( x )
Avec:
e(x) : est l’écart entre la variable à régler et sa référence.
λx : est une constante positive.
r : est un degré relatif qui présente le nombre de fois qu’il faut dériver la surface pour
faire apparaître la commande u.
L‘objectif de la commande u consiste à attirer la variable à contrôler vers la surface de
glissement S(x) en un temps fini (mode d’attractivité), et de la maintenir par la suite sur cette
même surface (mode de glissement).
D’après l’équation (II.8), il est clair que la surface S(x) est régit par une équation différentielle
dont l’unique solution est e(x)=0 et cela pour un choix convenable du paramètre λx. Ceci
revient à un problème de poursuite de trajectoire qui est équivalent à une linéarisation exacte
de l’écart tout en respectant la condition de convergence [Utk93] [Slo91] [Bar 03].
II.3.2 Condition d’existence et de convergence
Les conditions d’existence et de convergence sont les critères qui permettent aux différentes
dynamiques du système de converger vers la surface de glissement choisie.
II.3.2.1 Fonction directe de commutation
Il s’agit de formuler une fonction scalaire positive V(x) > 0 pour les variables d’état du
système, et de choisir la loi de commutation qui fera décroître cette fonction correspondant à
V ( x)  0 . Celle ci est généralement utilisée pour garantir la stabilité des systèmes nonlinéaires laquelle est déduite par le chercheur LYAPONOV et est définie par :
33
Commande à structures variables Chapitre 2
V ( x) 
1 2
S ( x)
2
(II.9)
Avec comme dérivée:
V ( x)  S ( x).S ( x)
(II.10)
Effectivement, et d’après l’équation (II.10), il est clair que pour que la fonction V(x) puisse
décroître, il suffit d’assurer que sa dérivée soit négative, ce qui n’est vérifié que si la condition
V(x)  S(x).S(x)  0 est vérifiée.
Par conséquent, nous pouvons donner une représentation graphique des équations précédentes
illustrées à la figure (II.5).
࢞̇
Xd(t)
Mode glissant convergence
exponentiel
λ
x
S(x)=0
Figure II.5 Représentation graphique des équations (II.8) et (II .9).
II.3.3 Expression analytique de la commande équivalente
Nous nous intéressons dans cette partie au calcul de la commande équivalente. Aussi, pour un
système comme celui du moteur asynchrone défini dans l’espace d’état par l’équation
suivante :
34
(II.11)
Commande à structures variables Chapitre 2
X   A( x). X   BU 
Et sachant que le vecteur correspond à la loi de commande appliquée U est composé de deux
grandeurs : Ueq et Un régies par [Bar03]:
U (t )  U eq  U n
(II.12)
Nous avons :


dS S x S
S
S ( X ) 


A( X )  BU eq 
BU n 
dt x t x
x
(II.13)
Durant le mode de glissement et le régime permanent, étant donné que l’expression de la
surface est égale à zéro et par conséquent sa dérivée est elle aussi nulle, nous aboutissons à :
 S
u eq   
 x
1
  S

B  A( x)
  x

avec U n  0
(II.14)
Dans le mode de convergence, en remplaçant le terme ueq par sa valeur dans l’équation
(III.12), nous obtenons une nouvelle expression de la dérivée de la surface régit par :
S
S ( x) 
B.U n
x
D’où :
 S
Un  
 x
(II.15)
1

B S ( x)

(II.16)
Il est important de noter, d’après les équations (II.15) et (II.16) que le déterminant de
 S
 x


B  0

Ainsi, le problème revient à trouver Un qui satisfait la condition S ( x)  S ( x)  0 tel que :
S
S ( x ).S ( x )  S ( x ). B.U n  0
x
(II.17)
La forme la plus simple que peut prendre Un et la plus fréquemment utilisée est celle d’un
relais représentée par la figure (II.6).
U n  M ( S ).sign.S ( x)
(II.18)
35
Commande à structures variables Chapitre 2
Avec : M(S) = K = constante
un
+K
S(x)
-K
Figure II.6 définition de la fonction Un.
Le choix de la constante K est très influant, car si la constante K est très petite, le temps de
réponse est trop long et si elle est trop grande, un phénomène indésirable appelé « chattering »
apparaît. Ce dernier peut être une source d’excitation des dynamique à hautes fréquences qui
ne figurent pas dans la modélisation du système à contrôler, en plus de l’échauffement des
interrupteurs de l’étage onduleur qui en résulte et qui est néfaste [Slo91].
II.4 Le phénomène du Chattering
Comme il été mentionné plus haut, le phénomène de Chattering est provoqué par une
commutation infiniment rapide de la commande quand les modes glissants sont effectifs. Il est
considéré comme étant un phénomène indésirable étant donné qu’il ajoute au spectre de la
commande des composantes de hautes fréquences lesquelles peuvent détériorer le système en
excitant les modes élevés non considérés lors de la modélisation du système à contrôler, ou
encore endommager les actionneurs par des sollicitations très fréquentes (Fig II.7) [Bar 03].
S(x)>0
u+(x)
S(x) > 0
S(x) > 0
ε
S(x)=0
S(x)<0
u–(x)
S(x) > 0
S(x) > 0
Figure II.7 Représentation des modes d’attractivités de glissement
d’un état à contrôler.
De ce fait, la méthode la plus simple et la plus fréquemment utilisée et qui permet de réduire
l’effet de ce phénomène consiste à remplacer la fonction discontinue de type relais par une
fonction de saturation dite également adoucie, c.à.d, à déterminer une bande limite autour de
la surface de glissement (S(x)=0) assurant ainsi un certain lissage de la commande et le
maintien de l’état à commander dans cette bande. Cette loi de commande peut prendre
36
Commande à structures variables Chapitre 2
plusieurs formes, nous citons à titre d’exemple : la commande adoucie à un seuil caractérisée
par la relation suivante (Fig II.8) :
+K
Un=
S(x)> + ε
(K/ ε). S(x)
-K
(II.19)
| S(x)| < + ε
S(x) < - ε
Un
+K
-
S(x)
+
-K
Figure II.8 Fonction signe de la commande adoucie.
II.5 Application de la commande à structures variables à notre système
Dans cette partie de notre travail, nous avons remplacé uniquement le régulateur de vitesse
classique (PI) de la figure (I.13) par un régulateur à structures variables comme le montre la
figure suivante :
Redresseur
Réseau
*
e
Régulateur à
structures
variables
r*

vds*
Ce*
F.O.C
vqs*
s*
Filtre PB
Onduleur
MLI
va*
d,c
a,b,c
vb*
MAS
MAS

vc*
r
p
Figure ІІ.9 schéma de principe de la commande en utilisant un contrôleur à structures variables.
II.5 .1 Mise en œuvre du régulateur de vitesse à structures variables
En se basant sur les concepts de base de conception des régulateurs à structures variables
décrit plus haut, nous procédons ici à la conception d’un régulateur à structures variables de
vitesse destiné à remplacer le régulateur classique PI de la figure(II.9). Pour ce faire, nous
37
Commande à structures variables Chapitre 2
avons opté pour une surface de glissement et une logique de commande équivalente donnée
par :
a) Détermination de la surface de glissement choisie S(x)
Soit l’erreur définie par :
e(x)= xref - x = ref _ r ;
(II.20)
et d’après l’équation de Slotine (II.8) et comme notre modéle (I.26)et doté d’un degré relatif
r=1:
S ( x)  x .e( x)
(II.21)
Le remplacement de l’erreur e(x) par sa valeur nous donne :
S ( x)   (ref  r )
(II.22)
b) Calcule de la loi de commande équivalente
La loi de commande équivalente est calculer en imposant S ( x)  0 , ce qui revient à :
0
 
 )0
 (
ref
r
 d
r
0
dt
(II.23)
Et d’après l’équation mécanique (I.12), nous aboutissant à:
J
d
( r )  Cem  Cr  f . r
dt
(II.24)
Enfin, en remplaçant l’équation (II.23) dans (II.24), nous obtenons l’expression suivante :
(II.25)
Cemeq  Cr  f . r
Ce qui correspond à notre commande équivalente de la variable vitesse, nécessaire à attirer
cette dernière vers la surface de glissement définie par l’équation (II.22) dans le cas où le
processus ne présenterait aucune variation paramétrique et n’est soumis à aucune perturbation
externe.
Cependant en pratique, ceci n’est pas vérifié, et dans ce cas il est nécessaire d’ajouter une loi
de commande supplémentaire Un pour pouvoir suivre la surface S(x)=0, comme il a été
largement détaillé dans les paragraphes précédents.
38
Commande à structures variables Chapitre 2
II.5. 2 Simulation numérique
Une fois notre schéma de commande à structures variables conçu, et afin de mettre en
évidence les avantages apportés par cette technique relativement à ceux avec un régulateur PI,
une simulation du comportement dynamique de la machine est effectuée et cela dans les
mêmes conditions que celle de la section (I.4.8) à savoir :
- démarrage à vide de la machine asynchrone (FigII.10), puis avec application d’une
perturbation Cr=10N.m à t=1s (FigII.11).
Figure II.10 simulation de la dynamique de la machine asynchrone en charge
avec la commande adoucie.
39
Commande à structures variables Chapitre 2
Figure II.11 simulation de la dynamique de la machine asynchrone avec application d’une
perturbation de 10N.m avec la commande adoucie.
40
Commande à structures variables Chapitre 2
II.5.3 Interprétation de résultats
Les figures (II.10 et II.11) montrent l’efficacité du type de régulateur à structures variables à
suivre la référence imposée. En effet, la vitesse trouve rapidement sa valeur de consigne après
0.2 seconde. Nous remarquons également, l’orientation de flux rotorique suivant l’axe « od »,
ce qui signifie que la commande vectorielle est maintenue.
L’application de la charge n’a pas perturbé, ni la vitesse qui se compense instantanément par
le couple, ni le flux rotorique qui garde l’orientation suivant l’axe « od » figure (II.10).
De même, nous constatons de fortes oscillations au niveau de couple et du courant iqs. Cela est
dû à la commutation rapide qui se fait avec une fréquence infiniment grande et qui correspond
au phénomène de chattering.
Dans le but de réduire le problème de chattering, nous utiliserons dans le paragraphe suivant,
une autre technique qui est la commande adoucie à plusieurs rampes.
II.6 Commande adoucie à plusieurs rampes
Cette commande est caractérisée par plusieurs seuils successifs, et cela dans le but d’adoucir
progressivement la valeur de la commande Un. En effet, pour minimiser le phénomène de
chattering décrit par une oscillation de l’état à contrôler autour de la surface de glissement,
l’idée consiste à se rapprocher de plus en plus lentement de cette surface [Utk93][Yah11]. De
ce fait, cette loi de commande doit être en fonction de l’approche de l’état vers la surface dans
la région qui encadre cette dernière, et cela suivant plusieurs pentes dont une passe par
l’origine dans le plan (S(x), un) dans le but d’éviter une certaine discontinuité de
fonctionnement (Fig II.12) [Bar05][Yah11].
Un
S
Figure II.12 Fonction signe de la commande à plusieurs rampes.
41
Commande à structures variables Chapitre 2
L’expression qui lui correspond est donnée par :
U n  M ( S ).sign( s )
Avec :
+K2
M(S) =
S(x)> + ε2
((K2-K1 )/( ε2- ε1)). S(x)
ε1 < |S(x)| < + ε2
( K1/ ε1 ).S(x)
- ε1 <|S(x)| < ε1
((K1-K2)1/( ε1- ε2)). S(x)
- ε2 < |S(x)| < - ε1
-K2
|S(x)| < - ε2
(III.26)
II.6.1 simulation et interprétation
Le même essai que celui du paragraphe (II.5.2) est effectué pour ce type de lois de commande
à plusieurs rampes. Les résultats obtenus sont représentés dans les figures (II.13 et II.14).
En effet, d’après les allures obtenues à la figure (II.13), on remarque que nos prévisions sont
effectives, décrites par une nette diminution des oscillations du couple et de courant iqs.
De plus, l’application de la charge entre les instants 1s et 2s sur la commande à plusieurs
rampes, montre clairement qu’aucune dégradation au niveau des réponses des flux n’existe,
avec en plus, une réduction meilleure du chattering en comparaison avec l’autre type de
commande adoucie précédemment utilisée.
42
Commande à structures variables Chapitre 2
Figure II.13 simulation de la dynamique de la machine asynchrone à vide avec la commande à
plusieurs rampes.
43
Commande à structures variables Chapitre 2
Figure II.14 simulation de la dynamique de la machine asynchrone avec application d’une
perturbation de 10N.m avec la commande à plusieurs rampes.
44
Commande à structures variables Chapitre 2
II.6.2 Test de robustesse
Pour tester la robustesse de cette commande par rapport aux variations des paramètres, nous
allons effectuer les mêmes essais que ceux de la section (II.6.1) avec une variation de l’inertie
du rotor(J) ,variation du coefficient du frottement(Kf) ,variation de la résistance statorique (
Rs) puis celle du rotor (Rr)et enfin une variation de la perturbation externe (couple de charge).
Figure II.15 simulation de la dynamique de la machine asynchrone à vide suivie d’une perturbation
d’un couple résistant de (5-10 )N.m avec variation de Kf de 100%.
45
Commande à structures variables Chapitre 2
Figure II.16 simulation de la dynamique de la machine asynchrone à vide suivie d’une perturbation
d’un couple résistant de (5-10 )N.m avec variation de J de 50%.
46
Commande à structures variables Chapitre 2
Figure II.17 simulation de la dynamique de la machine asynchrone à vide suivie d’une perturbation
d’un couple résistant de (5-10 )N.m avec variation de Rs de 50%.
47
Commande à structures variables Chapitre 2
Figure II.18 simulation de la dynamique de la machine asynchrone à vide suivie d’une perturbation
d’un couple résistant de (5-10 )N.m avec variation de Rr de 30%
II.6.3 Interprétation de résultats
D’après les réponses obtenus dans les figures (II.15-II.16 et II.17), nous constatons une très
bonne poursuite des valeurs de consignes appliquées, que ce soit pour le flux rotorique, ou ces
deux composantes. En effet, qr tend vers zéro, lorsque dr tend vers rréf =1wb, et ceci
indépendamment des variations paramétriques provoqués. Ce qui montre clairement la
robustesse de notre système vis-à-vis de telle variations, et qui confirme les aptitudes de ce
type de contrôle à structures variables dont le mérite a été largement cité par de nombreux
autre travaux cités dans le bibliographie [Ruth07].
Néanmoins, la figure (II.18) montre que lorsqu’on applique une variation de la résistance
rotorique, il y a réapparition du couplage entre les deux grandeurs du flux même s’il est
minime, donc la commande vectorielle n’est pas maintenue. Cette dégradation explique
l’intérêt de réévaluer en temps réel la constante de temps rotorique par le recours à un
estimateur.
48
Commande à structures variables Chapitre 2
II.7 Estimation en temps réel de la constante du temps rotorique
Comme il a été dit précédemment la commande vectorielle indirecte à flux orienté offre une
structure minimale pour atteindre un découplage effective entre le flux et le couple du moteur
asynchrone. Cependant, elle est caractérisee par sa sensibilité aux variations paramétriques, en
particulier la constante du temps rotorique. A cet effet, l’estimation et l’adaptation en temps
réel des paramètres s’avèrent être nécessaire.
Plusieurs approches d’estimation de la constante de temps du rotor sont présentées dans les
littératures spécialisées comme : [Kel 95] [Kub 94] [Shi 98] [Jen 97].

Estimateur basé sur un système adaptatif avec modèle de référence (MRAS),

Observateur de type Luenberger avec des dispositifs d’adaptation,

Filtre de Kalman étendu à la constante de temps rotorique.
Dans cette section, nous allons aborder la première approche qui concerne la présentation
d’un estimateur basé sur un système adaptatif avec modèle de référence (MRAS) qui a fait
l’objet de notre travail de recherche.
II.7.1 Estimation en temps réel de la constante de temps rotorique par la technique
MRAS
La première étude sur le système adaptatif de la vitesse par modèle de référence de la machine
asynchrone a été proposée par Schauder [Sch89]. Elle est basée sur les sorties de deux
estimateurs. Le premier appelé modèle de référence (modèle en tension) et le deuxième
modèle ajustable (modèle en courant). L’erreur entre les sorties des deux estimateurs pilotent
un algorithme d’adaptation générant la vitesse estimée. La figure (II.1) illustre la structure
d’un tel estimateur MRAS.
Dans notre cas, la même approche appliquée pour l’estimation de la vitesse sera utilisée pour
estimer la constante de temps rotorique.
Dans ce cas, nous considérons que la vitesse est un paramètre constant, alors que la constante
de temps rotorique est supposée être un paramètre variable.
Plusieurs structures MRAS sont dénombrées selon le choix de la variable x, tel que le flux
rotorique, la force contre électromotrice ou la puissance réactive [Shc 89].
Il est important de noter, que l’erreur entre les sorties des estimateurs peut être présenter sous
plusieurs formes à savoir :
49
Commande à structures variables Chapitre 2

Erreur entre le flux rotorique estimé par le modèle en courant et celui en tension [Tam
87] [Shc 89].

Erreur résultante du produit croisé entre les forces contre électromotrices estimées
[pen 93]. Cette méthode a pour avantage l’élimination de l’intégration pure du modèle
de tension.

erreur résultante de produit croisé entre les courants statoriques et les flux rotoriques
estimés par [Kub 92] [Kub 99].
II.7.2 MRAS base sur l’estimation du flux rotorique
La structure MRAS la plus courante se base sur les modèles tensions et courants de la machine
asynchrone.
Vୱ(ୟ,ୠ,ୡ)
iୱ(ୟ,ୠ,ୡ)
a,b,c
ߙ, ߚ
V(஑,ஒ)ୱ
Model de
i(஑,ஒ)ୱ
référence
Transformation
de Concordia
Φ୰ୣ୤
ത
തതത
തതതത
Ф
ത
୰ - Ф୰est = ε
Model de
ajustable
Mécanisme
d’adaptation
1/Trୣୱ୲
Φୟୢ
Figure II .16 Estimation de l’inverse de la constante du temps rotorique de la machine asynchrone par
la technique MRAS.
Soit Фrest : la valeur estime de Фr
et
ଵ
est
்௥
ଵ
: la valeur estimée
୘୰
Dans le référentiel lié au stator (α,β),on à :
a- pour le stator
ഥ
ௗ୍
௅
Vഥ௦ =Rs Iഥୱ+σ Ls ௗ௧౩ + ௅೘
തതത౨ത
ௗФ
(II.26)
ೝ ௗ௧
b- pour le rotor
ೝ
(II.27)
തതതത
ଵ
௅೘
തതത
ഥ ௗФ౨
0 =[ ୘୰ – jω] ത
Ф
୰ - ௅ Iୱ + ௗ௧
50
Commande à structures variables Chapitre 2
Par contre, le modèle de référence (tension) est donné comme suit :
തതത౨
ത
ௗФ
ௗ௧
=
௅೘
௅ೝ
ഥ
ௗ୍
(Vഥ௦- Rs ഥ
Iୱ - σ Ls ௗ௧౩)
(II.28)
Ce qui donne:
௅ೝ
௅ೝ
ത
തതത
ഥ
ഥ
ഥ
Ф
୰= ௅ ∫( V௦- Rs Iୱ)dt - ௅ σ Ls Iୱ
೘
(II.29)
೘
Le modèle ajustable (courant )est le suivant :
തതത౨ത
ௗФ
ଵ
௅೘
തതത
ഥ
=[- ୘୰ + jω] ത
Ф
୰ + ் Iୱ
(II.30)
ଵ
ത
തതത
തതതത ௅೘ ഥ
Ф
୰= ∫[ (- ୘୰ + jω) Ф୰ - ் Iୱ]dt
(II.31)
ௗ௧
ೝ
Alors :
ೝ
Pour la détermination du mécanisme d’adaptation nous supposons que le flux réel est
estimé et est donnée par l’équation du rotor :
തതത౨ത
ௗФ
ଵ
തതത
= (- ୘୰ + jω) ത
Ф
୰ௗ௧
௅೘
்ೝ
(II.32)
Iഥୱ
Le flux estimé quant à lui, il est décrit par:
തതത౨ത
ௗФ
ௗ௧
est=
ଵ
തതത
(- ୘୰ + jω) ത
Ф
୰est -
௅೘
(II.33)
ഥ
I
்ೝ ୱ
On définie l’erreur vectorielle comme suit :
തതത౨ത ௗФ
തതത౨ത
ௗФ
ௗ௧
-
ௗ௧
est
ଵ
ଵ
ଵ
ଵ
തതത
തതതത
തതതത തതതത
ഥ
=- ୘୰ ത
Ф
୰+ ୘୰estФ୰est + jω(Ф୰-Ф୰est ) + ‫ܮ‬௠ Iୱ [୘୰ - ୘୰est]
(III.3)
(II.34)
D’autre part, en imposant :
(II.35)
ത
തതത
തതതത
Ф
ത
୰ - Ф୰est = ε
തതത౨ത ௗФ
തതത౨ത
ௗФ
ௗ௧
-
ௗ௧
est
ଵ
ଵ
തതത
തതതത
ഥ ଵ ଵ
=- ୘୰ (εത+ ത
Ф
୰est )+ ୘୰estФ୰est + jωε + ‫ܮ‬௠ Iୱ [୘୰ - ୘୰est]
(II.36)
La dynamique de l’erreur s’écrira comme :
ത
ௗக
ௗ௧
(II.37)
ଵ
ଵ
ଵ
തതത
=[- ୘୰ +jω] εത+[୘୰ - ୘୰est]( ‫ܮ‬௠ Iഥୱ - ത
Ф
୰est)
51
Commande à structures variables Chapitre 2
Sous forme matricielle, nous obtenons :
ത
ௗக
ௗ௧
ௗఌഀ
(II.38)
= Aεത+ W
ௗ௧
ௗఌഁ
ଵ
− ୘୰ −߱
=
ଵ
߱
ௗ௧
− ୘୰
ߝఈ
ߝఉ
ଵ
ଵ
+ [ ୘୰ - ୘୰est]
‫ܮ‬௠ ‫ܫ‬௦ఈ
‫ܮ‬௠ ‫ܫ‬௦ఉ
Ф݁‫ݐݏ‬௥ఈ
Ф݁‫ݐݏ‬௥ఉ
avec :
A=
ଵ
− ୘୰ −߱
ଵ
߱
− ୘୰
ଵ
‫ܮ‬௠ ‫ܫ‬௦ఈ
‫ܮ‬௠ ‫ܫ‬௦ఉ
ଵ
, W =[ ୘୰ - ୘୰est]
Ф݁‫ݐݏ‬௥ఈ
Ф݁‫ݐݏ‬௥ఉ
ߝఈ
,ε= ߝ
ఉ
Dans ce cas, la matrice [A] sera considérée comme un pole complexe de l’évolution de
l’erreur du système linéaire. Cependant ce pole est à partie réelle négative, ce qui conduit à
affirmer que ce système est stable.
D’un autre coté, le terme W doit tendre vers zéro, sinon vers une quantité à énergie minimale.
Aussi la stabilité de l’erreur sera étudiée en utilisant la théorie de lyapunov et donc nous
devons considéré la fonction de lyapunov suivante :
T
V= ε ε + [
భ
೅ೝ
ି
ఒ
Avec :
Δ
୘୰
=
ଵ
ଵ
-
భ
೅ೝ೐ೞ೟ 2
(II.39)
]
(II.40)
est
୘୰ ୘୰
La dérivée par rapport au temps est donc donnée par :
ௗ௏
ௗ௧
ௗ
ௗ
ଵ ௗ
Δ
(II.41)
= (ௗ௧εT)ε + εT (ௗ௧ε) + ఒ ௗ௧ ( )2
୘୰
Après simplification, nous aboutissons à :
ௗ௏
ௗ௧
T
Avec :
T
T
భ
ଶ Δ ௗ(೅ೝ೐ೞ೟)
= ε ( A +A) + W ε + ε W -ఒ
T
୘୰
(II.42)
ௗ௧
W Tε + ε TW = 2 ε TW
(II.43)
52
Commande à structures variables Chapitre 2
ௗ௏
ௗ௧
T
భ
ଶ Δ ௗ(೅ೝ೐ೞ೟)
= ε ( A +A) + 2ε W -ఒ
T
T
୘୰
(II.44)
ௗ௧
Il est clair que pour assurer la convergence de l’erreur vers zéro, l’équation (II.44) doit être
définie négative.
Le premier terme de l’équation (II.44) est négatif.
ଶ
(AT+A) = -்௥ I < 0
Ce qui revient à dire que le reste de l’expression (II.44) doit être nul pour assurer la négativité.
భ
ଶ Δ ௗ(೅ೝ೐ೞ೟)
2εTW -
ఒ ୘୰
T
2ε W =
On a :
[ߝఈ
=0
ௗ௧
భ
ଶ Δ ௗ(೅ೝ೐ೞ೟)
ఒ ୘୰
ௗ௧
‫ܫ ܮ‬
ߝఉ ] ௠ ௦ఈ
‫ܮ‬௠ ‫ܫ‬௦ఉ
Ф݁‫ݐݏ‬௥ఈ
Ф݁‫ݐݏ‬௥ఉ
భ
ଵ ௗ(೅ೝ೐ೞ೟)
=-ఒ
(II.45)
ௗ௧
La loi d’adaptation est déduite comme suit :
భ
ଵ ௗ(೅ೝ೐ೞ೟)
ఒ
ௗ௧
= ߝఈ (‫ܮ‬௠ ‫ܫ‬௦ఈ - Ф݁‫ݐݏ‬௥ఈ ) + ߝఉ (‫ܮ‬௠ ‫ܫ‬௦ఉ - Ф݁‫ݐݏ‬௥ఉ )
(II.46)
ଵ
Aussi, on obtient la valeur estimée ்௥௘௦௧ donnée par la loi d’adaptation suivante :
ଵ
= Kp[ߝఈ (‫ܮ‬௠ ‫ܫ‬௦ఈ - Ф݁‫ݐݏ‬௥ఈ )+ߝఉ (‫ܮ‬௠ ‫ܫ‬௦ఉ - Ф݁‫ݐݏ‬௥ఉ )]
்௥௘௦௧
+
Ki[∫ ߝఈ ൫‫ܮ‬௠ ‫ܫ‬௦ఈ – Ф݁‫ݐݏ‬௥ఈ ൯+ ߝఉ (‫ܮ‬௠ ‫ܫ‬௦ఉ − Ф݁‫ݐݏ‬௥ఉ )]
Par conséquent, le schéma du système à base du MRAS est donnée à la figure (II.17)
53
(II.47)
Commande à structures variables Chapitre 2
Redresseur
Réseau
Filtre PB
Onduleur
MLI
MAS

*
e
Régulateur à
structures
variables
vds*
Ce*
r*

F.O.C
vqs*
s*
va*
d,c
a,b,c
vb*
vc*
r
1/P
Vs(a,b,c)
1/Trest
MRAS
Estimation de
1/Tr
Is(a,b,c)
Figure II.17 Schéma de principe de la commande en utilisant un contrôleur de vitesse à structures
variables associé à un estimateur MRAS.
II.7.3 Simulation Numérique
Dans le but de tester les performances de la commande à structures variables associé à
l’observateur MRAS, un test de robustesse est effectué dans les mêmes conditions que ceux de
la section (II.5.2) avec une variation de (100%) de l’inverse de la constante du temps
rotorique (1/Tr).
Les résultats obtenus sont représentés à la figure (II.18),(II.19),(II.20).
54
Commande à structures variables Chapitre 2
Figure II.18 les performances du MRAS a l’estimation de 1/Tr
Figure II.19 simulation de la dynamique de la machine asynchrone à vide suivie d’une perturbation
d’un couple résistant de 10 N.m avec variation de 100% de 1/Tr
55
Commande à structures variables Chapitre 2
Variation paramétriques avec
Variation paramétriques avec
Régulateur à structure variable
Régulateur PI
Figure II.20 comparaison entre les deux régulateurs de vitesse avec application des variations
Paramétriques et perturbation externe.
D’après les résultats obtenus, nous pouvons dire que notre objectif visé ici à été atteint avec
succès .En effet, notre système global présent présente une bonne dynamique et une erreur
statique faible.
II.8 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté la commande à structures variables : concepts de base
de la technique avec la procédure à suivre pour la conception du régulateur de vitesse associé.
Les résultats que nous avons obtenus ont clairement mis en évidence les avantages de ce type
de régulateur, ainsi que leur robustesse vis-à-vis des variations de paramètres de la machine et
des perturbations externes, surtout lors de l’intégration de l’observateur MRAS
Ce type de commande est très utilisé dans l'industrie où de hautes performances sont requises.
Mais comme dans le cas des moteurs asynchrones à cage, les paramètres varient en cours de
fonctionnement, et que les perturbations externes ne sont pas toujours connues, ce type de
commande s’avère susceptible de les prendre rapidement
dégradation des performances.
56
en charge pour éviter une
Commande à structures variables Chapitre 2
Cependant, nous avons montré également que la commande hybride ; vectorielle et à
structures variables présente une grande sensibilité vis-à-vis de la constante du temps
rotorique (Tr), puisque c’est une association d’une commande linéarisante (commande
vectorielle) et une autre non linéaire (structures variables), ce qui a nécessité le recours à
introduire un estimateur pour estimer cette constante.
Malheureusement, et dans ce sens, il s’est avéré que cette méthode de commande sollicite
très fortement les organes de commande surtout ceux de l’étage « onduleur » avec une haute
fréquence qui risque de les endommager. Ce phénomène est appelé chattering.
Par conséquent, le recours à la technique à plusieurs rampes a donné de très bons résultats
pour la réduction de ce dernier mais la détermination des paramètres εi et ki reste assez
difficile et non pratique, ce qui nous oblige à recourir à une technique de l’intelligence
artificielle dit : « à structure variable floue » qui fera l’objet du prochain chapitre.
57
La commande structures variables floue Chapitre 3
III.1 Introduction
Comme il à été dit dans le chapitre II, le problème de la commande à structures
variables conventionnelle réside dans le phénomène de chattering néfaste pour le bon
fonctionnement du système, du fait qu’il engendre des fluctuations plus ou moins importantes
sur les différentes variables de sortie de notre système. Afin de réduire ce dernier, des axes de
recherches ont été proposés, plus particulièrement ceux qui font intervenir les commandes
émergentes ou commandes intelligentes.
Parmi ces dernières, nous citons la commande à structures variables floue de type BenGhalia[ben94][ben95]qui à été en premier lieu appliquée sur un bras manipulateur, puis
étendue dans la commande du moteur asynchrone à cage pour la première fois en 2005 par
L .Barazane[bar05].La notion de base de ce type de technique est d’une part basée sur les
concept de base de la logique floue de type mamdani , et aussi sur la commande discontinue
de la commande à structures variables Un définie au chapitre II. Deux approches de ce type de
technique existent, celle qui s’intéresse au gain M(s) de la loi de commande Un, et celle qui
fuzzifie la partie signe correspondante. Dans ce chapitre, nous nous intéresserons aux deux
approches.
En effet, l’objectif de ce chapitre est de présenter dans un premier temps quelques concepts de
base de la logique floue, puis de décrire la méthode de commande robuste à structures
variables floue de Ben Ghalia, basée sur la combinaison de la commande à structures
variables et celle de la logique floue de type Mamdani. Dans ce sens, nous présenterons les
concepts de mise en œuvre de ce type de commande, ainsi que leurs applications pour la
synthèse du schéma de commande à structures variables floue de notre moteur à cage pour
les deux approches suscitées.
Enfin, une comparaison des résultats de simulation obtenus avec ceux du chapitre II
sera faite.
III.2 Première approche de Commande à structure variable floue de Ben Ghalia
III.2.1 Réglage par logique floue de type mamdani (Ben Ghalia)
Le principe de la commande floue a été expérimenté pour la première fois en 1974 par
l’équipe du professeur E.H. Mamdani [Mam74]. Les résultats obtenus ont été repris et
58
La commande structures variables floue Chapitre 3
développés par plusieurs équipes en Europe de l’Ouest [Will & Malv, 78]. Puis par l’Institut
de Technologie de Tokyo [Sug85] et dans quelques autres universités japonaises. Depuis
1987, date à laquelle la première application « Grand public » a vu le jour en utilisant cette
technique de commande pour le contrôle du métro de Sendai, la logique floue a envahit les
domaines industriels et a prouvé son efficacité.
Aujourd’hui, les différents travaux et publications récentes dans ce domaine semblent
indiquer que les deux domaines d’application de la logique floue les plus importants sont :
• La conception de régulateurs pour des processus difficilement modélisables,
• La conception de régulateurs linéaires pour des processus modélisables.
III.2.2 Structure générale d’un correcteur flou
La structure générale correspondant à un tel type de correcteur est illustrée à la figure (III .1)
Base de connaissance
S(x)
Base de
Base de
donnée
règles
Défuzzification
Fuzzification
Fuzzy
inference
Figure III.1 Configuration interne d’un correcteur floue.
Il existe trois (3) modules pour un régulateur à logique floue :
1. La fuzzification des entrées et sorties.
2. L’inférence floue selon une base de règle.
3. La défuzzification des sorties.
59
M(S) flou (e)  sign flou  s(e)
La commande structures variables floue Chapitre 3
Fuzzification
Valeurs
Numérique
Inférence
Défuzzification
Domaine
Valeurs
Flou
Numériques
Figure III.2 Configuration interne d’un régulateur par logique floue
III.3.2 La fuzzification
La fuzzification consiste à
passer du « monde réel » au « monde flou » en
transformant les entrées exactes du système en degrés d’appartenance.
Elle permet d’attribuer à la valeur réelle de chaque entrée, au temps t, son degré
d'appartenance à chacune des classes préalablement définies. L’objectif de cette étape est de
définir les fonctions d’appartenances pour les différentes variables, réalisant ainsi un passage
des grandeurs physiques aux variables linguistiques à traiter par la suite.
Le choix de la forme des fonctions d’appartenance (triangulaires, trapézoïdales,
exponentielles, gaussiennes,…) est arbitraire. Cependant, il s’est avéré que les formes
triangulaires facilitent la programmation et ne requiert que peu de temps de calcul. Ceci
explique qu’elles sont fréquemment utilisées.
Le nombre de ces fonctions d’appartenance, est généralement impair car elles se
répartissent autour de zéro (3, 5 et 7 sont des valeurs courantes). De plus, les recherches ont
montré qu’une subdivision très fine de l'univers de discours sur plus de sept ensembles flous,
n'apporte en général aucune amélioration du comportement dynamique du système à réguler.
Un exemple de fuzzification est donné à la figure (III.3).
60
La commande structures variables floue Chapitre 3
ZE
NG
-1
μ
NM
-0.5
PM
PG
0.5
0
1
x
Figure III.3 Transformation des entrées en variables floues.
Pour x = 0.5 →on associe : μ PM (0.5) = 0.75 et μ PG (0.5) = 0.25
Donc à chaque variable linguistique d’entrée (x), nous faisons correspondre une valeur
linguistique (Négatif Grand, Négatif Moyen,…etc) avec un degré d’appartenance associé.
III.3.3 Les inférences floues
La stratégie de réglage dépend essentiellement des inférences adoptées, lesquelles lient
les grandeurs mesurées, qui sont les variables d’entrée (transformées en variables
linguistiques à l’aide de la fuzzification), à la variable de sortie (exprimée également comme
variable linguistique), en utilisant les opérateurs logiques ET et OU. L’opérateur ET est utilisé
pour les variables à l’intérieur d’une même règle, alors que l’opérateur OU relie les
différentes règles entre elles. Elles permettent aussi de déterminer le signal de sortie du
contrôleur en fonction des signaux d’entrée.

Les types d’inférences floues
Il existe plusieurs méthodes pour définir les degrés d’appartenance de la variable de sortie
à ses sous-ensembles flous. Elles se différencient essentiellement par la manière dont vont
être réalisés les opérateurs ET et OU utilisés dans les règles d’inférences.
Les trois méthodes d’inférence les plus usuelles sont : Min-Max, Max- produit et Sommeproduit.
a)
La méthode d’inférence Min-Max :
Cette méthode est également dite « implication de Mamdani », où l’opérateur « ET » réalise
la fonction minimum et l’opérateur logique « OU » celle maximum.
61
La commande structures variables floue Chapitre 3
La conclusion dans chaque règle, introduite par ALORS, lie le facteur d’appartenance de la
condition avec la fonction d'appartenance de la variable de sortie par l'opérateur ET.
De ce fait, cette méthode présente l’inconvénient de nécessiter un temps de calcul trop
élevé qui la rend inutilisable pour les applications en temps réel [Annexe C].
b) La méthode d’inférence Max-Prod (Max produit)
La méthode Max-Prod est également dite « implication de Larsen » [Han 94]. La seule
différence avec la méthode précédente se trouve au niveau de la conclusion où la fonction
ALORS est représentée par la fonction Prod. Les opérateurs logiques ET et OU sont toujours
réalisés respectivement par les fonctions minimum et maximum [Annexe C].
c) La méthode d’inférence Somme-Prod (somme produit)
La méthode d’inférence Somme-Prod consiste à représenter l’opérateur logique ET par la
fonction Prod, et l’opérateur OU par la fonction Somme, tandis que l’opérateur ALORS est
représenté par la fonction Produit « prod ».
III.3.4 La Défuzzification
Par cette étape se fait le retour aux grandeurs de sortie réelles. Il s'agit de calculer à
partir des degrés d'appartenance de tous les ensembles flous de la variable de sortie, l'abscisse
qui correspond à la valeur de cette sortie.
Plusieurs méthodes de défuzzification sont proposées dans la littérature et aucune ne peut être
jugée meilleure que les autres. Le choix de la méthode à utiliser dépend essentiellement de
l’expérience du concepteur ou expert et du cahier des charges.
La priorité peut donc être donnée à la réduction du temps de calcul, ou à la diminution de la
complexité du système, ou encore à l’universalité de l’application (applicabilité à toutes les
situations considérées), ou bien alors à la plausibilité des résultats du point de vue expert.
a) La méthode du centre de gravité
C'est la méthode de défuzzification la plus courante et qui est caractérisée par le fait que
l'abscisse du centre de gravité de la fonction d'appartenance µ(x) résultant de l'inférence
correspond à la valeur de sortie du régulateur (Fig. III.3) [Bag 99]. Mathématiquement, cela
se traduit par la relation suivante:
62
La commande structures variables floue Chapitre 3
sortie 
  ( x).xdx
(III.1)
U
  ( x).dx
U
L’intégrale du dénominateur correspond à la surface, tandis que, celle du numérateur donne le
moment d’inertie correspondant.
Dans le cas où la sortie du système est discrète, l’intégrale devient une sommation donnée
par:
n
sortie 
 (x )
i
i 1
n
(III.2)
 (x )
i
i 1
La défuzzification par Centre de Gravité est la méthode la plus répandue [Aou 05]. Ceci dit, le
calcul de l’intégrale (ou de la somme) nécessite beaucoup de calculs. Le temps d’exécution de
cette méthode est donc assez important et ceci la rend inadéquate pour un traitement en temps
réel.
Figure III.4 la défuzzification par centre de gravité.
b) La méthode de la moyenne des maximas
Elle a été introduite afin de remédier à la lourdeur des calculs de la méthode du centre de
gravité. La sortie défuzzifiée est obtenue par le calcul de la moyenne des abscisses pour
lesquelles la fonction d’appartenance est maximale [Aou 05] :
n
sortie 
  (x )
i
i 1
(III.3)
n
63
La commande structures variables floue Chapitre 3
Où les xi sont définis par :
µ (xi) = max (µ(x)).
FigureIV.5 Déffuzification par la méthode moyenne de maximum
Finalement, il est important de noter que la particularité de la commande à structure
variable floue par rapport à celle de la logique floue conventionnelle, réside dans sa base de
règle définit comme suit :
Tab III.1 Tableau donnant les bases des règles d’inférence.
D’après cette table, nous pouvons remarquer que la loi de commande qui sera adoptée
est basée sur l’idée d’attirer la variable à contrôler vers la surface de glissement S=0 de
manière progressive ; ce qui correspond en fait à l’idée d’Utkin proposée pour réduire le
64
La commande structures variables floue Chapitre 3
chattering c.à.d, l’approche qui a été présenté dans le chapitre II, et qui est celle à plusieurs
rampes.
Aussi, nous pouvons prévoir une bonne réduction de ce phénomène : ce qui reste à être
vérifier dans les sections qui suivent.
ІII.4 Application sur la machine asynchrone à cage.
ІII.4.1 Mise en œuvre des régulateurs à structures variables flous
Nous avons vu, dans la commande à structures variables, que la réduction du phénomène
de chattering dépend étroitement du choix de la fonction gain M(S) et de la forme de la
fonction sign(S) de la partie discontinue Un. Pour cela, la fonction gain est généralement
choisie comme étant une relation linéaire en fonction de la distance entre la position de l’état
et la surface de glissement définie dans l’équation (II.2).
Dans cette partie du travail, la commande à structures variables floue consiste à concevoir
un système d’inférence flou ayant pour objectif de remplacer le régulateur de vitesse à
structures variables conventionnel du schéma de commande (II.10). Sachant que ce schéma a
pour entrées l’erreur e(Ω) et sa dérivée e (Ω) et pour sortie, le gain M(S) de la commande
discontinue adoucie Un. La sortie du contrôleur flou est régie par l’équation suivante :
u  ueq  M (S ) flou (e, e)  sign  s(e) 
(III.4)
Le bloc diagramme de ce contrôleur flou est illustré à la figure (III.6).
e(ࢹ)
݁̇ (ࢹ)
Mflou(s)
Fuzzification
Fuzzy control
Unflou(s)
Figure III.6 Bloc d’un contrôleur flou.
Les fonctions d’appartenance pour lesquelles nous avons opté dans ce travail sont
choisies comme étant de type triangulaire avec celles des extrémités prises comme
trapézoïdales, pour toutes les variables d’entrée, à savoir : l’erreur et sa dérivée (Fig. III.7),
ainsi que celles de la sortie M(S)flou,et de Unflou(s) comme illustré dans les figures (III.8-III.9).
Il est important de préciser que le nombre des fonctions d’appartenance relatives à chacune
des variables sont au nombre de sept.
65
La commande structures variables floue Chapitre 3
 (e),  (e)
NG
NM
NP
ZE PP
PM
PG
e , e
0
Figure ІII.7 La fonction d'appartenance des variables d'entrée ( e , e )
 M ( S ) Flou 
NM
NP
ZE
PP
PM
PG
0
M ( S ) Flou
Figure ІII.8 Fonctions d'appartenances des variables de sorties M(S)Flou.
Les ensembles flous sont définis comme suit :

Pour les variables d’entées, nous définissons les classes suivantes :
NG : Négatif grand
NM : Négatif moyen
NP : Négatif petit
EZ : Egale à Zéro
PP : Positif petit
66
La commande structures variables floue Chapitre 3
PM : Positif moyen
PG : Positif grand

Pour la sortie M(S)Flou, nous définissons les classes suivantes :
EZ : Egale à zéro
P : Petit
MP : Moyen petit
MG : Moyen grand
G : Grand
TG : Très grand.
Dans notre contrôle, pour pouvoir déterminer la table de règles qui génère la
commande discontinue Un qui sera présenté ultérieurement (Tab. III.2), et qui satisfait à la
condition d’attinyabilité S .S  0 , nous adopterons les variations de e et e suivantes :
1. Si e est PG et e est EZ ALORS Un est PG
2. Si e est PG et e est NP ALORS Un est PM
(départ)
(accélération)
3. Si e est PM et e est NP ALORS Un est PP
(diminution de l’accélération)
4. Si e est PP et e est NP ALORS Un est EZ
(convergence vers la valeur de consigne)
5. Si e est EZ et e est NP ALORS Un est NP
(freinage)
6. Si e est NP et e est PP ALORS Un est NM (inversion de la commande)
7. Si e est NM et e est EZ ALORS Un est NM (inversion de la commande)
8. Si e est EZ et e est PP ALORS Un est EZ (convergence vers l’équilibre)
9. Si e est EZ et e est EZ ALORS Un est EZ (inversion de la commande).
67
La commande structures variables floue Chapitre 3
Vitesse
(rad/s)
Vitesse de
référence
ࢹ*
e(ࢹ)
t
Figure III.9 les points d’attraction de la variable
La table de règles générant le M(S) qui en découle est la suivante :
݁̇ (ࢹ)
Un>0
NG
NM
NP
ZE
PP
PM
PG
NG
TG
TG
G
M
P
TP
ZE
NM
TG
G
M
P
TP
ZE
TP
NP
G
M
P
TP
ZE
TP
P
ZE
M
P
TP
ZE
TP
P
M
PP
P
TP
ZE
TP
P
M
G
PM
TP
ZE
TP
P
M
G
TG
PG
ZE
TP
P
M
G
TG
TG
݁̇ (ࢹ)
S(0)
Tab III.2 Tableau des règles d’inférence donnant M(S)
68
Un<0
La commande structures variables floue Chapitre 3
A partir de la table (III.2) définie précédemment, nous procéderons à la définition des
ensembles flous de M(S), agrégation et défuzzification pour l’obtention dune seule valeur de
M(S)floue . Par la suite, elle sera injecteé dans la relation (III.4) pour obtenir Un floue .
III.5 Deuxième approche de commande à structures variables floue de Ben Ghalia
Dans cette deuxième approche, c’est la fonction signe à plusieurs rampe qui va être fuzzifier.
En effet, cette fonction dépend étroitement de ces limites supérieurs k1, k2 ,ε1et ε2 qui
représentes les limites des pentes qui constituent, cette fonction .Il est difficile de trouvé ces
limites pour avoir une meilleure dynamique du moteur tout en assurant une réduction de
phénomène du chattering. Aussi, pour résoudre ce problème, on propose de fuzzifier cette
fonction signe(S), et pour faire apparaitre les plusieurs rampes on a joué sur les inférences des
domaines d’appartenances et sur leurs degrés d’appartenances.
De ce fait, nous définissons les classes suivantes pour la sortie signFlou(S) :
 (e)
NM
NG
ZE
PM
PG
e
Figure ІII.9 Fonctions d'appartenances des variables d’entrés e(ࢹ ).
 (e)
GN
MN
ZE
MP
GP
e
Figure ІII.9 Fonctions d'appartenances des variables de sortie signflou(s).
69
La commande structures variables floue Chapitre 3
Dans la figure (III.9), chaque intervalle est associé à une fonction d’appartenance dont la
forme est choisie par le concepteur de sorte à bien définir les ensembles flous relatifs aux
fonctions signe(S) [Bar07]
La table de règles générant la signflou(S) qui en découle est la suivante :
e(ࢹ)
NG
NM
ZE
PM
PG
Cem*
Grand Négatif
Moyen négatif
Zero
Moyen positif
Grand positif
Tab III.3 La table de règles générant la signfou(s)
Figure III.10 Fonction signe flou de la commande à plusieurs rampes.
Une fois notre contrôleur flou conçu, il sera injecté dans le processus de la figure (III.11) pour
remplacer le régulateur de vitesse à structures variables.
Le schéma de commande correspondant est donné par la figure (III.11) :
70
La commande structures variables floue Chapitre 3
Filtre PB
Redresseur
Réseau
Onduleur
MLI
MAS


*
e
Régulateur à
structures
variables
foue
r*

vds*
Ce*
F.O.C
va*
d,c
vqs*
a,b,c
s*
vb*
vc*
r
1/P
Vs(a,b,c)
1/Trest
MRAS
Estimation
de 1/Tr
Is(a,b,c)
Figure III.11 Structure du schéma de commande en vitesse à structures variables flou d’un moteur
asynchrone à cage
ІII.6 Simulation et interprétation des résultats
Une simulation du comportement dynamique de la machine, tous d’abord, pour une
consigne de vitesse de Ω ref =100 rd/s avec application d’un couple de charge de 10 N.m entre
1s et 2s pour les deux approches M(s)flou et signflou, puis avec une variation de la perturbation
en forme de pente (rampe) allons de 5N.m à10 N.m entre t=1s et t=2s, sont effectués. Les
résultats obtenus sont illustrées respectivement aux figures (III.12) et (III.13).
71
La commande structures variables floue Chapitre 3
Figure III.12 Simulation de la dynamique de la machine asynchrone à vide suivie d’une perturbation
d’un couple résistant de 10 N.m avec M(s)flou
72
La commande structures variables floue Chapitre 3
Figure III.13 Simulation de la dynamique de la machine asynchrone à vide suivie d’une perturbation
d’un couple résistant de 10 N.m avec la fonction signeflou
73
La commande structures variables floue Chapitre 3
Figure III.14 Simulation de la dynamique de la machine asynchrone à vide suivie d’une perturbation
d’un couple résistant en pente allons de 5N.m à 10 N.m avec signeflou.
74
La commande structures variables floue Chapitre 3
III.6.1Interprétation
D’après ces figures, nous pouvons remarquer que les allures obtenues sont typiquement
les mêmes que celles constatées avec le schéma de commande à base de régulateurs à
structures variables, avec cependant une certaine réduction du phénomène de broutement
(chattering).
De plus, nous avons remarqué que les résultats de simulation obtenus avec la commande à
structures variables avec Un à plusieurs rampes correspondent à ceux obtenus avec la
commande à structures variables floue avec une table de règle « à sept grandeurs d’entrée »
générant le M(S)flou et un autre bloc génère signflou (FigIII). Ceci nous permet de dire que la
command à structures variables avec plusieurs rampes de Un donnent les mêmes résultats que
ceux avec sept valeurs d’entrée en commande floue pour la première approche à condition de
faire un bons choix de ki et εi.
III.7 Test de robustesse
Dans le but de tester les performances de cette technique de commande à structures variables
flou associé à l’observateur MRAS, un test de robustesse est effectué avec une variation de
(100%) de l’inverse de la constante du temps rotorique (1/Tr) dans les mêmes conditions que
ceux du paragraphe III.4.2.
Figure III.15 Simulation de la dynamique de la machine asynchrone à vide suivie d’une perturbation
d’un couple résistant de 10 N.m avec variation de 100% de 1/Tr.
75
La commande structures variables floue Chapitre 3
D’après la figure (III.15) nous remarquons une très bonne poursuite de la valeur de
consigne par le flux rotorique. En effet, Φqr tend vers zero, Φdr tend vers Φr
réf
et ceci
indépendamment de la variation de la résistance rotorique, avec toujours un taux de chattering
réduit. Aussi, nous pouvons dire que les deux approches avec la structure variable floue a été
efficace et nous a permit d’atteindre nos objectifs.
III.8 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté en détail les concepts de base de la conception d’une
commande à structures variables floue de type Ben Ghalia pour ses deux approches à savoir :
pour la construction d’un gain et d’une fonction signe flou de la commande discontinue Un.
Les résultats obtenus ont montré l’efficacité de cette technique dans la réduction du
phénomène de chattering, laquelle a été notable comparés à ceux à structures variables.
Cependant, afin de réaliser nos objectifs de commande vectorielle avec robustesse vis-à-vis de
Tr et réduire efficacement le phénomène de chattering, nous proposons dans le chapitre qui va
suivre l’intégration d’une autre commande robuste performante dite « synergétique ».
76
La commande synergétique Chapitre 4
IV.1 Introduction
Ce chapitre introduit la théorie de la commande synergétique en vue d’une conception d’un
schéma de commande adéquat et performant. Aussi et dans un premier temps, les concepts de
base de cette technique sont présentés et suivies par les étapes de conception pour développer
un contrôleur synergétique unique de vitesse et de flux rotorique dans le schéma de
commande précédent du chapitre (III).Par la suit et après avoir donné le principe de ce type de
commande, son historique et les concepts de conception des régulateurs correspondants, nous
les appliquerons et donnerons les différentes étapes de conception du contrôleur synergétique
pour notre application.
A la fin, des simulations numériques qui mettrons en évidences l’apport de ce type de contrôle
comparé aux techniques précédemment utilisées seront présentées et interprétés.
IV.1.1Principe de la synergie
La synergie est un effet positif de complémentarité dans une organisation. Elle est
communément considérés de nos jours comme un phénomène par lequel plusieurs facteurs ou
influences agissant ensemble créent un effet plus grand et plus efficace que la somme de tous
les effets appliqués en même temps, et/ou créent un effet que chacun d'entre eux n'aurait pas
créé isolément.
IV.1.2 Caractères général
Il est possible de distinguer quatre (4) types de synergies à savoir :

La maintenabilité : la capacité à corriger et modifier simplement une structure, et même,
parfois, la possibilité de modifier celle-ci en cours d'utilisation.

La mutualisation : capacité à identifier une fonction et à l'utiliser dans plusieurs
contextes différents.

La scalabilité : capacité à pouvoir évoluer par un changement d'échelle, c'est-à-dire de
supporter des volumes plus importants de flux sans remettre en cause la structure sousjacente.

La résilience : est la capacité à continuer de fonctionner en cas de panne, ou détérioration
d’un élément du processus.
La synergie découle du grec : syn (sun) et qui signifie « avec et ergazomai » qui veut
dire « je travaille », (ergasia signifiant le travail). Cette notion a été introduite par Émile
77
La commande synergétique Chapitre 4
Littré au XIXe dans son Dictionnaire de la langue française (1872-1877) et cela en la
présentant comme ne relevant que du domaine de la physiologie, c.à.d, le « Concours
d'action, d'effort, entre divers organes, divers muscles, et/ou Association de plusieurs organes
pour l'accomplissement d'une fonction donnée».
IV.1.3 Spécificité par domaine d’application
Physiologie : La synergie musculaire est une contraction coordonnée de plusieurs muscles
destinée à exécuter un mouvement précis.
Médecine : Elle correspond à l'action combinée de plusieurs médicaments en produisant des
actions additives, qualifiées de synergiques. Les doses peuvent être différentes des doses de
ces médicaments pris individuellement.
Economie : en économie, la notion de synergie est due à l'amélioration de l’organisation
d’une nation, ou l'entreprise...etc. Un exemple de synergie connue dans ce cas est celle qui
existe entre Intel et Microsoft (« Wintel ») : des microprocesseurs de plus en plus puissants
sont associés ou combinés afin d'offrir à l'utilisateur des fonctions plus conviviales .Néanmoins, ces nouvelles fonctions vont à leur tour, à mesure qu'elles sont de plus en plus
utilisées, entraîner une demande de microprocesseurs encore plus puissants. Par ailleurs, la
baisse des coûts engendre une plus grande demande, qui elle-même va permettre aussi un
nouvel abaissement des coûts (cercle vertueux).
Industrie : quand un régulateur unique dans un processus donné joue le même rôle que
plusieurs régulateurs associés, on parlera d’action synergétique.
Par ailleurs, l’opposé de la synergie est l'antagonisme (ou synergie négative), qui est un
phénomène dans lequel deux facteurs en combinaison ont un effet moindre que la somme de
leurs effets attendus. Les deux effets peuvent égalemet s'annuler (ex : ceux d'un acide et une
base) et l'absence de synergie est appelée l'asynergie.
IV.1.4 Notion de base de la synergétique
La synergétique, en Grec signifie comme il a été dit précédemment : " travailler pour un but
commun".C’est un domaine interdisciplinaire de recherche, lancé par Hermann Haken en
1969 [Hak 07]. Elle s’intéresse aux systèmes matériels et non matériels composés en général
d’un ensemble de parties individuelles.
La synergétique se base sur la spontanéité, c.-à-d. à l’apparition auto-organisée de nouvelles
qualités dans le système. Ces qualités peuvent être structurelles ou fonctionnelles [Hak 07].
78
La commande synergétique Chapitre 4
La question de base traitée par la synergétique est: y a-t-il des principes généraux d'autoorganisation, qui sont indépendants des natures des différentes parties d'un système et cela
malgré la grande variété entre les natures de ces différentes parties, qui peuvent être des
atomes, des molécules, neurones, ou mêmes des individus dans une société ?. Cette question
peut avoir une réponse positive en faveur de beaucoup de classe de systèmes, si l'attention est
basée sur les échanges qualitatifs sur les échelles macroscopiques, c.-à-d. sur les échelles
spatiales et temporelles entre ces éléments [Hak 07].
D’un autre coté, la synergétique peut prendre place entre les différentes parties d'un système,
entre des systèmes ou même entre des disciplines scientifiques. Sa caractéristique principale
réside dans la forte liaison entre l'expérience et la théorie ce qui à été prouvés par plusieurs
travaux de recherches et laboratoires [Hak 07].
IV.2 Présentation de la théorie de la commande synergétique
Certaines méthodes avancées telles que les techniques de linéarisation ou la commande par
modes glissants, permettent à des concepteurs d'éviter quelques problèmes de non-linéarité,
mais la multi-connectivité et la multi-dimensionnalité restent encore insurmontables.Ceci a
obligé les chercheurs à s’orienter vers d’autres techniques plus efficaces entre autre celle
synergétique [Kol 02a] [Kon 04] [Kon 06].
En effet, la théorie de ce type de commande dit « synergétique » est l’une des nouvelles
options prometteuses dans la théorie des commandes modernes et émergentes. Elle ouvre de
nouveaux horizons dans la conception efficace de commande des systèmes non linéaires
complexes et autres [Kol 02a] [Kon 04] [Kon 06].
Cette nouvelle approche permet la conception analytique des lois de commande qui assurent
non seulement la stabilité globale du système en boucle fermée, mais aussi la réduction de son
ordre par des décompositions successives.
Par conséquent, la théorie de la commande synergétique permet aux concepteurs de résoudre
efficacement beaucoup de problèmes difficiles de commande, lesquels n'ont toujours pas été
résolus par les méthodes classiques connues [Kol 02a] [Kon 04] [Kon 06]. Ces problèmes
sont liés non seulement, à la stabilité globale de fonctionnement du système dans une boucle
fermée ou à l'optimisation globale du comportement de ce dernier, mais également à la
simplification de la transition d'une stratégie de partage de puissance à une autre, ou à la
minimisation des pertes de l’énergie dans le système [Kol 02a] [Kon 04] [Kon 06].
En général, la théorie de la commande synergétique fournit des méthodes pour concevoir des
contrôleurs optimaux pour les systèmes dynamiques, lesquelles ont des secteurs d’attraction
79
La commande synergétique Chapitre 4
qui correspondent aux but de la commande utilisée. La représentation de tels secteurs
d’attraction des systèmes dynamiques ou attracteurs, est un des concepts principaux de cette
théorie de commande.
Un attracteur est une région dans l’espace d’état d’un système dynamique dont laquelle
toutes les trajectoires des secteurs voisins de l’espace d’état convergent vers elle comme le
montre la figure (IV.1).
Figure IV.1 Orientation vers un manifold de deux variables x1, x2
IV.2.1 Principes de la commande synergétique
La théorie de la commande synergétique est une nouvelle tendance dans le domaine du
contrôle des différents processus dans divers domaine d’application, laquelle est basée sur les
principes d’auto-organisation orientée et sur l'utilisation des propriétés dynamiques des
systèmes non-linéaires.
Les principes de base de la théorie de ce type de commande sont comme suit :
1- Les conditions de la réalisation ou de développement sont présentées sous forme d’un
ensemble d’invariants (techniques, de puissance, électromagnétique, etc.) qui décrivent
les modes de fonctionnement désirés des objets à commander [Son 04] [Kol 04].
2- Les attracteurs artificiels - des manifolds invariants – sont formés dans l'espace d'état
du système. Sur ces attracteurs, nous assurons l'organisation des qualités dynamiques et
statiques désirées de fonctionnement. De plus, la formation des attracteurs est la
réflexion d'un processus d'auto-organisation orienté [Son 04] [Kol 04],
3- Le principe dominant de la méthode synergétique de synthèse des commandes,
correspond au principe de la compression- décompression de l'espace de phase de
système à contrôler et cela, par l’imposition des manifolds (Fig IV.2) [Son 04] [Kol
04].
80
La commande synergétique Chapitre 4
Les
manifolds
Etat désiré
Figure IV.2 L’orientation vers l’état désiré du système
Les attracteurs crées dans l'espace d'état de l'objet simplifient le modèle, tout en réduisant sa
dimension qui est complètement non-linéaire et qui décrit les caractéristiques dynamiques du
système. En conséquence, il est possible de modéliser le système entier par un sous-système
simple, dont la dimension peut être trouvée selon la relation suivante : [Son 04] [Kol 04]:
A = n − k *m
(IV.1)
Où:
A - dimension du système décomposé;
n - dimension du système initial;
m - dimension du vecteur de commande;
k - nombre d'attracteurs séquentiellement utilisés.
V.2.3 Les invariants pour un système électromécanique
Dans la théorie de la commande synergétique les exigences des qualités dynamiques et
statiques des systèmes à commander, sont représentées sous forme d'un ensemble d'invariants
lesquelles entrent dans la structure des manifolds invariants formés dans l’espace d’état du
système selon la méthode de synthèse synergétique qui sera longuement détaillées ici. Ces
manifolds servent à attirer le système dans une boucle fermée.
Pour les systèmes électromécaniques, nous pouvons déterminer trois groupes d’invariants:
technologique, électromagnétique et d’énergie.
La forme d'un invariant technologique est déterminée par la tâche pratique spéciale réalisée
par le système électromécanique dans un certain processus technologique et caractérise l'état
statique ou dynamique désiré de la vitesse mécanique (position, couple…).
Les invariants énergétiques sont des corrélations
caractérisant la plupart des modes
entre les coordonnées de l'objet
énergiques avantageux de travail, par exemple la
minimisation de la consommation de l’énergie par le système ou bien la minimisation des
pertes de ce dernier.
81
La commande synergétique Chapitre 4
Par contre, les invariants d’un système électromécanique sont reliés à la constance de flux
magnétique (les invariants électromagnétique) et méritent une particulière attention.
Un système électromécanique, est généralement décrit par un système d’équations
différentielles non linéaires multi-variables et peut être sujet à des perturbations
d'environnement externes. Aussi les invariantes typiques qui lui correspondent peuvent être
résumées et présentées dans le tableau suivant :
Régulation du Flux Ф=cst
Invariant
Electromagnétique
Rotorique , statorique, entrefer
Invariant
Energétique
Flux optimale Ф=Фopt
Optimisation du flux magnétique
Ω ,θ,Cem =cst
Invariant
Technologique
Régulation de vitesse ou de la
position ou du couple
Figure IV.3 Les invariants typiques d’un système Electromécanique
IV.3 Procédé général de la commande synergétique
Supposons que le système à commander soit décrit par un ensemble d'équations non linéaires
de la forme suivante :
ܺ̇ = ݂(‫ݐ‬, ܺ, ‫)ݑ‬
(IV.2)
Où : X=(x1,x2,…Xn) est le vecteur d’état de dimension n.
u =(u1,u2,…um) le vecteur de commande de dimension m.
f(.) une fonction non linéaire et continue dans le temps.
a)
La première étape dans la conception d’une commande synergétique réside dans la
formation des macro-variables définies en fonction des variables d'état du système sous forme
de relation algébriques entre ces variables qui reflètent les caractéristiques des exigences de la
conception. Dans le cas simple, ces macro-variables peuvent être définies sous forme de
combinaisons linéaires de ces variables d'état et déterminent les propriétés du mouvement du
82
La commande synergétique Chapitre 4
système (IV.2) à partir d’un état initial quelconque à un état d'équilibre désiré dite : manifold.
Le nombre de macro-variables n'excède pas le nombre de variables à contrôler (Fig IV.4).
ψs = ψs(x1,x2,…xn)
s=1,2,..m
(IV.3)
ψs: représente les manifolds invariants.
m : le nombre des manifolds invariants.
Etat désiré
Les manifolds
invariants
Les conditions
Initiales
Figure IV.4 Formation des manifolds
Chaque manifold présente une nouvelle contrainte sur le système dans son espace d'état en
réduisant son ordre d’une unité, et en le forçant à converger vers l’état désiré. Par conséquent,
la commande forcera le système à opérer sur l’intersection des manifolds (Ψs = 0 ) [San 03]
[Kol 02c].
Etat désiré
(a)
Un Manifold invariant
(b)
Figure. IV.5. (a) Orientation vers un manifold de deux variables x1, x2, (b) la stabilisation sur le
Manifold.
83
La commande synergétique Chapitre 4
Le concepteur peut choisir les caractéristiques de ces macro-variables selon des exigences ou
des limitations sur quelques unes des variables d’état.
b) La fixation de l'évolution dynamique des macro-variables (IV.3) vers les manifolds
(ψs= 0) par une équation, l’équation fonctionnelle, définie par la forme générale suivante :

Ts   (  s )  0
s= 1,2,…m Ts >0
(IV.4)
Où la fonction φ doit satisfaire, les conditions suivantes afin de garantir la stabilité de cette
équation fonctionnelle:
φs(0)=0, φ(ψs) ψs >0,
pour tous ψs≠ 0
(IV.5)
Cette équation d’évolution (IV.4) peut être définie de différentes manières par le choix de la
fonction φ et du paramètres Ts [Kol04]
Où :
φ: détermine la caractéristique de la variable ψs.
La forme simple suivante de cette équation, où (ψs )= ψs, est couramment utilisée dans la
commande synergétique [San 03] [Kol 02a] [Kol 02c]. Nous l’avons adoptée dans notre
travail.

Ts   (  s )  0
s= 1,2,…m Ts >0
(IV.6)
La solution de cette équation est donné par :
(IV.7)
t
 (t )   0 .eTs
Le paramètre de conception Ts définit la vitesse de la convergence des macro-variables vers
l’intersection de manifolds Ψs = 0. La vitesse de la convergence se régule par la valeur de ce
paramètre (Fig IV.6° [Kol 04].
x
0.5
Temps
0.5
Figue IV.6 Convergence de Ψ de différentes condition initiales vers Ψ=0
84
La commande synergétique Chapitre 4
Les expressions des composantes du vecteur de commande sont trouvées en fonction des
variables d’état du système et en fonction de ses paramètres.
us = us(x1,x2,…xn) s= 1,2…m
(IV.8)
Et ceci en résolvant le système composé par la substitution des équations du système (IV.2)
dans l’équation fonctionnelle (IV.4). Les lois de commande obtenues (IV.6) assurent la
stabilité asymptotique de la convergence vers et le long de l'intersection des manifolds
présentés dans (IV.3) [Kol 02a] [Kon 04] [Kon 06].
Cette commande assure les propriétés spécifiques et décompose le système par contraction de
son espace d'état. L'ordre du système après l’introduction des manifolds devient égal à n-m.
Enfin, l’organigramme correspondant à ce type de commande est le suivant :

Les données
X  f ( x,t,u )
Initiales
X1=cst ,x2=cst,…xn=cst
Formation des
Manifolds
Solution de
L’équation
fonctionnelle
Expression de la loi
ψs(x1,x2,…xn)=0

Ts (s )  0
us = us(x1,x2,…xn)
De commande
Organigramme de la procédure générale de contrôle synergétique.
IV.3.1 La fonctionnelle optimisée associée à l’équation fonctionnelle
L’approche synergétique peut être énoncée en termes de la commande optimale, en utilisant
les méthodes standards de calcul variationnel. Aussi nous pouvons démontrer que l’équation
fonctionnelle principale (IV.4) n’est que l’équation d’Euler- Lagrange qui optimise la
fonctionnelle généralisée suivante [Kol 04] [Wit 00a] :
85
La commande synergétique Chapitre 4


m
m

J       s2 ( s )   Ts2  s2 (t ) dt
s 1

0  s 1
(IV.9)
Où m est la dimension du vecteur de commande.
Ce critère de qualité (JΣ) est appelé dans la théorie de l’approche synergétique : « la fonction
de Kolesnikov [Kon03] » ou bien « la fonctionnelle correspondante d’optimisation(FCO) »
Il est évident mathématiquement que l’équation (IV.4) donne une stabilité extrémale en
assurant la minimisation de la fonction (IV.9).De plus, les fonctions φ(ψs) doivent satisfaire
les conditions suivantes :
a- La continuité et la différentiabilité pour tout ψs.,
b- φ(0)=0,
(IV.10)
c- φ(ψs) ψs >0 Pour tous ψs ≠ 0.
Cette forme de (FCO), reflète les propriétés initiales de l’objet, ainsi que celles de son
système de commande [Kol 04]. Ceci signifie que, dans la méthode considérée de l’approche
synergétique, le critère à minimiser n’est pas définie obligatoirement au préalable, comme
dans le cas de la commande optimale [Kol 04] [Wit 00a].
En effet, dans la commande optimale, il est très difficile d’introduire les contraintes de la
commande dans la fonctionnelle à optimiser (critère de qualité), étant donné que cette
introduction vient en amont de la formation de la fonctionnelle [Wit 00a], lorsque dans
l’approche synergétique, la fonctionnelle est construite après le choix des ψs qui inclut les
contraintes de la commande, et des fonctions φ(ψs) correspondantes, tout en faisant appel aux
équations de correspondants au système à commander.
La tâche de synthèse de régulateurs sur la base de minimisation de (IV.9) et avec l’utilisation
des macro-variables agrégats, dont l’évolution est gérée par l’équation fonctionnelle (IV.4) est
appelée : Conception Analytique des Régulateurs Agrégats (Analytical Design of Aggregated
Regulators: ADAR).
Par ailleurs, en examinant la formule de la (FCO) de forme généralisée (IV.9), une
interprétation synergétique peut être définie comme suit [Kol 04] :
L’introduction rationnelle de la composante carrée φ2s(ψs) dans la formule de Kolsenikov,
reflète les mesures des actions macroscopiques du système à commander. Et pour l’efficacité
du système, du point de vue synergétique, la rapidité de changement des mesures des actions
macroscopiques est reflétée par l’introduction de la composante ૐ̇ s dans la fonction.
86
La commande synergétique Chapitre 4
IV.4 Application de la commande synergétique vectorielle au moteur asynchrone à cage
La théorie de commande synergétique pour les applications de l'électronique de puissance est
bien décrite dans [San03] [Kol02] [San05]; ici les mêmes concepts sont employés pour
synthétiser un contrôleur pour la commande d’un moteur asynchrone, dont le modèle est
représenté par le système d'équation (I.12). Afin de trouver la loi désirée de commande, la
première étape dans la conception de la commande synergétique est le choix des macrovariables appropriée; en général la macro-variable peut être une fonction des variables d'état.
Notre objectif est donc d'obtenir une loi de commande d'une fonction d'état de coordonnées
Ω,Ф qui fournit les valeurs de références exigées au moteur à savoir la vitesse de référence
Ω
ref
et un flux de référence Фref . Par conséquent un contrôle du couple doit être satisfait.
Nous employons le procédé décrit ci-dessus pour résoudre le problème, c.-à-d., pour trouver
une loi de commande u(Ω,etФ). La première étape est le choix des macro-variables. En
général la macro-variable peut être n'importe quelle fonction (fonctions non-linéaires y
compris) de variables d'état.
Nous avons trois composantes ωr,Vds et Vqs, ce qui nous permet d’imposer les invariants
suivants : technologique (ωr =constante) et électromagnétique (Фdr=Cont, Фqr = Cont=0).
IV.4.1 Expressions des lois des commandes
Nous avons dans le modèle de la commande avec orientation du flux rotorique (I .21) deux
composantes de commande principales (Vdset Vqs), et par conséquent, nous introduisons
uniquement deux manifolds (ψ1et ψ2) définie comme suit [Kol 04]:
r  s 
Lm I qs
Tr  r ref
et  qr  0
(IV.11)
 1  ids  1 (r , dr )
(IV.12)
Et
 2  iqs   2 (r ,  dr )
Ψ1 et Ψ2 doivent satisfaire les equations suivantes :


T1 1  1  0 , T2  2   2  0
(IV.13)
T1>0 ,T2>0.
La dérivation de Ψ1 donne :


(IV.14)

1  i ds   1
En introduisant l’équation (IV.14) dans la première équation fonctionnelle de (IV.13), nous
obtenons :


(IV.15)
T1 (i ds   1 )  1  0
87
La commande synergétique Chapitre 4

De plus, en remplaçant i ds par son expression dans le système initial (I.21), nous obtenons :
T1 (

 Rsm
Lm
V
ids  s iqs 
 dr  ds   1 )  ids  1  0
 Ls
Lr Tr  Ls
 Ls
(IV.16)
D’où :
(IV.17)
 

 Ls
L
 Ls1
Vds   ( Rsm 
)ids   Ls s iqs  m dr 
  Ls  1 
T1
Lr Tr
T1


D’autre part, la dérivation de Ψ2 donne :


(IV.18)

 2  i qs   2
Alors la deuxième équation fonctionnelle de (IV.13) donne :

(IV.19)

T2 (i qs   2 )   2  0

En remplaçant i qs par son expression dans le système initial (I.21), nous obtenons :
T2 (

Vqs
 Rsm
Lm
iqs  s ids 
r dr 
  2 )  iqs  2  0
 Ls
Lr  Ls
 Ls
(IV.20)
D’où :
 

 Ls
L
 Ls 2
Vqs   ( Rsm 
)iqs   Ls s ids  m r dr 
  Ls  2 
T2
Lr
T2


(IV.21)


Les commandes internes, 1 (r ,  dr ) , 2 (r , dr ) et par conséquent leurs dérivées  1 ,  2
quand à elles, elle vont être spécifiées par un deuxième groupe de macro-variables données
par :
ids  1 et iqs  2
D’où :
C K
d
1 PLm
r 
  r  2   r  f r
dt
J Lr
J
J
(IV.22)
dr Lm
1

1  r
dt
Tr
Tr
Pour ce système décomposé (IV.22), nous introduisons d’autres macro-variables Ψ 3, Ψ 4 pour
imposer les références souhaitées et qui seront calculées plus loin.
IV.4.2 Loi synergétique de base
Nous posons des macro-variables de la forme suivante [Bas 04] [Jia 04] [Kol 04] [Kon 06]
[Lid 05] [Mon 03a] [San 03] [Son 04]:
 3  k1 (ref   )  k2 ( ref   r )
(IV.23)
 4  k3 (ref   )  k 4 ( ref   r )
88
La commande synergétique Chapitre 4
Ces macro-variables doivent satisfaire les deux conditions différentielles homogènes
suivantes :

T3>0
T3  3   3  0

(IV.23)
T4>0
T4  4   4  0
Par dérivation :






 3   k1   k 2  r
(IV.24)
 4   k3   k 4  r
Alors (IV.22) s’écrira :




T3 (k1   k 2  r )   3  0
(IV.25)
T4 ( k1   k 2  r )   4  0


En remplaçant  ,  r par leurs expressions dans le système décomposé (4.21) nous obtenons :
T3 (k1 (
L
PC K P
1 P 2 Lm
1
  r2   r  f r )  k2 ( m 1  r ))   3  0
J Lr
J
J
Tr
Tr
T4 (k3 (
L
PC K P
1 P Lm
1
  r2   r  f r )  k4 ( m 1  r ))   4  0
J Lr
J
J
Tr
Tr
2
En résolvant ce système, nous obtenons les commandes internes 1 et 2 en fonction des
différentes variables d’état et de références. Par la suite en les remplaçant dans les expressions
de Vds, Vds données dans le chapitre(I), il seront ainsi déterminées en fonction des variables
d’état et de référence,( la vitesse de rotation et le flux rotorique).
V.4.3 Schéma d’implémentation de la commande synergétique
Le schema d’une telle commande hybride vectorielle-synergetique est donné à la figure IV.3
89
(IV.26)
La commande synergétique Chapitre 4
ࢹ*
Ф
Contrôleur
*
Synergétique
Vds
Park
-1
Va,b,c
Onduleur
Ia,b,c
MAS
MLI
Vqs
Ids
Ф
ࢹ
Park
Iqs
Tr/Lm
/
P
Lm/1+Trs
1/S
MRAS
1/Tr
1/Tr
Figure IV.3 Proposition d’un schéma fonctionnel globale de la commande combinée
Synergétique vectorielle avec le modèle rotorique.
V.5 Simulation et Interprétation

Une fois notre schéma de commande hybride synergétique-vectorielle du moteur
asynchrone à cage conçu, des simulations ont été effectuées afin de voir les
performances de ce type de technique par rapport à ceux obtenus avec les techniques
des chapitres précédents avec K1=K2=K4=1, K3=0, T1=T2=T4=T3=10-4 , et cela dans
les mêmes conditions d’essais que précédemment à savoir :
Démarrage à vide de la machine asynchrone avec une vitesse de référence Ω ref =100
rad/s et avec application d’un couple résistant Cr=10N.m entre 1s et 2s (FigIV.4)

Démarrage à vide de la machine asynchrone avec application d’un couple résistant
Cr =10N.m entre 1 s et 2s et variation de la vitesse entre (100,160,50,0,-50 rad/s)
(FigIV.5)
90
La commande synergétique Chapitre 4
Figure IV.4 Simulation de la dynamique de la machine asynchrone à vide suivie d’une perturbation
d’un couple résistant de 10N .m entre (1- 2s)
91
La commande synergétique Chapitre 4
Figure IV.5 Simulation de la dynamique de la machine asynchrone à vide avec variation de vitesse
entre (100,160,50,0,-50rad/s)suivie d’une perturbation d’un couple résistant de 10N.m entre (1-2s)
92
La commande synergétique Chapitre 4
L’analyse des résultats obtenus dans les figures (IV.4 etIV.5) montre des bonnes
performances pour la poursuite de la consigne et le rejet des perturbations.
On constat en premier lieu que la condition d’orientation du flux est mise en évidence par
l’annulation du flux Фqr et par des performance similaires à celle de la machine a courant
continu a excitation séparée, et d’autre part que la commande synergétique donne des résultats
satisfaisants même avec variation ou changement du sens de rotation de la vitesse, et en plus
une réduction nette du phénomène du chattering.
V.5.1 Test de robustesse :
Pour tester la robustesse de cette technique de commande, on a procédé a un changent
paramétrique du moteur (Fig IV.6)
-
Variation de 100% de l’inertie du rotor (J).
-
Variation de (30% et 100%) de la résistance rotorique (Rr)
Figure IV.6 Simulation de la dynamique de la machine asynchrone à vide suivie d’une
perturbation d’un couple résistant de 10N .m entre (1- 2s) et avec variation de (+100%J)et
(+30%Rr)et (100%Rr)
Les résultats montrent clairement une meilleure robustesse par rapport aux autres commandes
vis-à-vis de la variation paramétrique (J et Rr) et de la perturbation externe. La commande
vectorielle, quant à elle, est mise en évidence par l’annulation de la composante en quadrature
du flux rotorique, ce qui se traduit par l’orientation du flux suivant l’axe d.
IV.6 Conclusion
Les différentes simulations montrent que le système synergétique donne de meilleures
performances par rapport aux autres techniques de commandes étudiées dans ce mémoire. Les
93
La commande synergétique Chapitre 4
résultats de simulations de la commande synergétique proposée pour le pilotage d'un moteur
asynchrone montrent clairement l'obtention de performances satisfaisantes exigées selon les
profils de références et une dynamique de réglage de la vitesse avec le rejet de toute
perturbation. La commande est parfaitement robuste, les courants et les flux sont dans les
limites tolérables par la machine. Les résultats de simulation obtenus confirment la validité de
ce schéma de commande robuste avec un modèle plus réduire encore et donc une
implémentation qui sera plus simple à réaliser. Les résultats obtenus démontrent l’efficacité
de ce type de contrôle, même dans le cas où les paramètres de la machine subissent des
variations. Et donc finalement, nous pouvons dire que nous avons pu atteindre nos objectif; ce
qui représente un grand pas dans notre travail de recherche.
94
Conclusion Générale
Conclusion générale
Dans notre travail, nous avons utilisé dans un premier temps, la transformation de
Park de la machine asynchrone à cage, suivie de la modélisation de l’alimentation et de
l’association convertisseur machine, et ceci afin de spécifier le modèle
non-linéaire et
fortement couplé que présente ce type de machines. Par la suite, et pour pallier à ces
problèmes, nous avons eu recours à une commande vectorielle à flux rotorique constant et/ou
variable (mode défluxé) qui a permit d’assimiler la machine asynchrone au moteur à courant
continu à excitation séparée et cela en faisant contrôler séparément les deux grandeurs couple
et flux. Ce découplage est prouvé par une série de testes de la dynamique de la machine
asynchrone associée à la commande vectorielle, à condition de maintenir le flux rotorique
constant, ce qui permet de simplifier considérablement la structure de commande.
D’autre part, les conséquences de la variation de la résistance rotorique ont été également
abordées, et solutionner en remplaçant le régulateur de vitesse PI par un correcteur à
structures variables dans le schéma de commande vectorielle.
Les résultats obtenus ont montré que ce type de correcteur permet de maintenir le découplage
effectif entre le flux et le couple et un bon rejet des perturbations impossible à atteindre avec
les techniques de réglage classiques.
D'un autre côté, afin de réduire le phénomène de « chattering », nous avons dans un premier
temps fait appel à une approximation continue au voisinage de la surface de commutation de
la partie discontinue de la commande, laquelle malheureusement s’est avérée insuffisante vu
les limites en fréquence de l’étage onduleur.
Par la suite, nous avons procédé à la combinaison de la logique floue avec celle
utilisée précédemment, d’abord par la fuzzification du gain de la partie discontinue de la
commande en fonction de la distance à la surface de commutation, puis en agissant sur la
fonction signe. Malheureusement, cette commande a entrainé, d’une part, une réduction
considérable du phénomène de chattering, mais non son entière élimination, sans compter une
certaine difficulté dans la détermination des ouvertures des fonctions d’appartenance.
Le dernier volet du présent travail, porte sur l’introduction d’une nouvelle approche
prometteuse, le contrôle synergétique qui a permit d'améliorer les performances du moteur
asynchrone du point de vue robustesse vis-à-vis des variations paramétriques et de réduire le
problème de "Chattering",ainsi que la dimension du schéma de contrôle et donc facilité sa
conception.
95
Conclusion Générale
Perspectives
Enfin ces travaux ouvrent de nombreuses voies de recherches et un certain nombre
d'améliorations possibles pour la continuité de ce travail. On peut citer :

Réalisation pratique des commandes proposées.

L’introduction du modèle non linéaire du convertisseur.

Utiliser la commande synergétique dans un système complet par exemple celui d’un
véhicule électrique ou bien les trains électriques.
96
Annexe A
Annexe A
Paramètres du moteur asynchrone à cage
La simulation est effectuée sur une machine définie par les paramètres suivant :
Puissance nominale………………….
1,5 KW
Tension nominale……………………
220 / 380 V
Facteur de puissance nominal………
0,8
Vitesse nominale……………………
1420 tr/min
Fréquence nominale…………………
50 Hz
Résistance statorique………………... 4,85 
Résistance rotorique………………...
3.805 
Inductance cyclique du stator……….. 0,274 H
Inductance cyclique du rotor………... 0,274 H
Inductance mutuelle cyclique……….. 0,258 H
Nombre de paires de pôles…………..
2
Moment d’inertie……………………. 0,031 Nm-s2 / rad
Coefficient de frottement……………
0,008 N.m.s/rad
Annexe B
Annexe B
La régulation
Pour chaqu’une des boucles de régulations, nous avons adopté classiquement un
régulateur proportionnelle-intégral (PI). Qui comporte une action proportionnelle qui sert à
réguler la rapidité avec laquelle la régulation doit avoir lieu et une action intégrale qui sert à
éliminer l’erreur statique entre la grandeur régulée et la grandeur consigne
Un régulateur proportionnelle-intégral-dérivée (PID) est à écarter, car bien qu’une
action dérivée permet d’anticiper et d’accélérer la régulation, elle amplifie néanmoins le
moindre bruit.
La méthode utilisée pour le calcul des paramètres des différents régulateurs de type
(PI) permet d’avoir une bonne précision, une rapidité et une stabilité du système
Tous les régulateurs que nous avons utilisés ont une fonction de transfert qui possède
une dynamique de deuxième ordre. En identifiant le dénominateur à la forme suivante:
ଶ∗ఌ
P(s)=߱ ௡ଶ ∗ ܵଶ + ఠ ∗ ܵ + 1
೙
Le tableau qui suit nous permet de choisir (߱ ௡ *ܶ௥௘௣(ହ%) ) en fonction du coefficient
d’amortissement.
ߝ
0.4
߱ ௡ ∗ ܶ௥௘௣(ହ%)
7.7
0.5
5.3
0.6
5.2
0.7
3
1
4.75
Tableau (B-1) : relation entre ( ߱ ௡ ∗ ܶ௥௘௣(ହ%) ) et (ζ).
Dans notre travail, nous prenons un coefficient d’amortissement ζ=1se qui correspond
ସ.଻ହ
a ߱௡ = ்
ೝ೐೛
Régulateurs de courants
Annexe B
Les régulateurs de courants direct et quadratique
fournissent les tensions
ܸௗ௦ଵ݁‫ܸݐ‬௤௦ଵ nécessaires pour maintenir le flux à sa valeur de référence. Les boucles de
régulation des courants ‫ܫ‬ௗ௦ ݁‫ܫݐ‬௤௦ sont présentées par les schémas bloc figures (B-1-a) et
(B-1-b); il est déduit des deux équations de découplages (II-3), (II-4) et (II-5)
‫ܫ‬ௗ௦௥௘௙
-
‫ܭ‬௜௖
‫ܭ‬௣௖ +
ܵ
ܸௗ௦ 1
1
ߪ ∗ ‫ܮ‬௦ ∗ ܵ + ܴ௦
‫ܫ‬ௗ௦
Figure (B-1-a) : Schéma bloc de régulation du courant ࡵࢊ࢙.
‫ܫ‬௤௦௥௘௙
-
‫ܭ‬௜௖
‫ܭ‬௣௖ +
ܵ
ܸ௤௦ 1
1
ߪ ∗ ‫ܮ‬௦ ∗ ܵ + ܴ௦
Figure (B-1-b) : Schéma bloc de régulation du courant ࡵ࢙ࢗ.
La fonction de transfère du système en boucle ouverte est donnée par :
௄೛೎∗ௌା௄
Bo=ఙ∗௅௦∗ௌమାோ೔೎∗ௌ
ೞ
La fonction de transfert du système en boucle fermée est donnée par:
௄೛೎∗ௌା௄ ೔೎
Bf=ఙ∗௅௦∗ௌమା(ோ
ೞశ಼ ೛೎)∗ௌା௄ ೔೎
Nous avons à résoudre le système d’équations suivant :
ߪ ∗ ‫ܮ‬௦
1
= ଶ
‫ܭ‬௜௖
߱௡
ܴ௦ + ‫ܭ‬௣௖ 2 ∗ ߝ
=
‫ܭ‬௜௖
߱௡
D’où:
‫ܫ‬௤௦
Annexe B
‫ܭ‬௣௖ = 2 ∗ ߪ ∗
4.75
− ܴ‫ݏ‬
ܶ௥௘௣௖
‫ܭ‬௜௖ = ߪ ∗ ‫ܮ‬௦ ∗ (
4.75 ଶ
)
ܶ௥௘௣௖
Régulateur de vitesse
Le régulateur de vitesse permet de déterminer le couple de référence ‫ܥ‬௘௠
௥௘௙,
afin de
maintenir la vitesse correspondante, cette dernière peut être contrôlée au moyen d’un
régulateur PI.
On choisit l’équation mécanique du modèle de la machine asynchrone pour le calcul des
paramètres du régulateur.
Le schéma bloc de la régulation est donné dans la figure (B-3) :
Ω௥௘௙
-
‫ܭ‬௜௩
‫ܭ‬௣௩ +
ܵ
‫ܥ‬௘௠
௥௘௙
1
‫ ܵ ∗ܬ‬+ ‫ܭ‬௙
Ω
Figure (B-3) : Schéma bloc de régulation de la vitesse de rotation Ω.
La fonction de transfère du système en boucle ouverte est donnée par :
௄೛ೡ∗ௌା௄ ೔ೡ
Bo= ௃∗ௌమା௄
೑ௌ
La fonction de transfert du système en boucle fermée est donnée par :
௄೛ೡ∗ௌା௄ ೔ೡ
Bf=௃∗ௌమା(௄
೑ ା௄೛ೡ)ௌା௄ ೔ೡ
Nous avons à résoudre le système d’équations suivant :
‫ܬ‬
1
= ଶ
‫ܭ‬௜௩ ߱ ௡
‫ܭ‬௙ + ‫ܭ‬௣௩ 2 ∗ ߝ
=
‫ܭ‬௜௩
߱௡
D’où:
Annexe B
‫ܭ‬௣௩ = 2 ∗ ‫∗ܬ‬
4.75
− ‫ܭ‬௙
ܶ௥௘௣௩
‫ܭ‬௜௩ = ‫( ∗ܬ‬
4.75 ଶ
)
ܶ௥௘௣௩
Les valeurs utilisée pour la simulation ne sont pas ceux calculé, néanmoins les calculs
ne sont pas inutile, ils évitent une long période de mise au point.
Régulateurs utilisé pour la simulation
Les paramètres des différents régulateurs utilisés dans notre simulation sont
retranscrits dans les tableaux suivants:
Régulateur de courant
‫ܭ‬௣௖
‫ܭ‬௜௖
28.7518
3.0287*10ଷ
Régulateur de vitesse
‫ܭ‬௣௩
‫ܭ‬௜௩
0.8029
9.3380
Pour le mécanisme d’adaptation de l’estimateur de vitesse MRAS , qui est une
fonction de la forme proportionelle integral. Le choix des parametres ܶ௣ et ܶ௜ c’est fait
manuellement.
Le tableau suivant présente les valeurs sur lesquel on ces arrétée
Mécanisme d’adaptation de
l’estimateur ‫ܵܣܴ ܯ‬
ܶ௣
ܶ௜
70
0.2
Annexe C
Annexe C : logique floue
C.1 Principe et définition de la logique floue conventielle
La logique floue repose sur la théorie des ensembles flous développée par Zadeh
[ZAD 65]. A coté d'un formalisme mathématique fort développé, nous préférons aborder la
présentation de manière intuitive.
Les notions de température moyenne ou de courant faible sont relativement difficiles à
spécifier de manière précise. On peut fixer des seuils et considérer que l'on attribue tel ou tel
qualificatif en fonction de la valeur de la variable par rapport à ces seuils. Ceci ne peut
exprimer qu'un avis très tranché du qualificatif "température moyenne" par exemple. L'aspect
"vague" de ce qualificatif n'est pas représenté (figure C.1).
On peut définir le degré d'appartenance de la variable température à l'ensemble
"faible" comme le "degré de vérité" de la proposition "la température est faible".
En logique booléenne, le degré d'appartenance (μ) ne peut prendre que deux valeurs (0 ou 1).
La température peut être :
-faible : μ faible(T) =1, μ moyenne (T) = 0, μ élevée (T) = 0
- moyenne : μ faible (T) =0, μ moyenne (T) = 1, μ élevée (T) = 0
- élevée : μ faible (T) =0, μ moyenne (T) = 1, μ élevée (T) = 0
Elle ne peut pas prendre deux qualificatifs à la fois.
Figure (C.1) exemple d’ensembles considérés en logique booléenne.
Annexe C
En logique floue, le degré d'appartenance devient une fonction qui peut prendre une
valeur réelle comprise entre 0 et 1 inclus. μ
moyenne
(T), par exemple, permet de quantifier le
fait que la température puisse être considérée comme moyenne. Dans ce cas, la température
peut être considérée, à la fois, comme faible avec un degré d'appartenance de 0,2 et comme
moyenne avec un degré d'appartenance de 0,8 (figure C.2).
μ faible(T) =0.2, μ moyenne (T) = 0.8, μ élevée (T) = 0
Figure (C.2) exemple d’ensembles considérés en logique floue.
Pour la variable floue x, on définit un ensemble flou A sur un univers de discours X
par une fonction degré d'appartenance :
μA : X → [0,1]
x→ μA (x)
(C.1)
L'univers de discours est l'ensemble des valeurs réelles que peut prendre la variable
floue x et μA(x) est le degré d'appartenance de l'élément x à l'ensemble flou A (figure C.3).
Plus généralement, le domaine de définition de μA(x) peut être réduit à un sousensemble de X [ZAD 65]. On peut ainsi avoir plusieurs fonctions d'appartenance, chacune
caractérisant un sous-ensemble flou. C'est par l'association de tous les sous-ensembles flous
de l'univers de discours, que l'on obtient l'ensemble flou de la variable floue x [MAM 75]. Par
abus de langage, les sous-ensembles flous sont fort souvent confondus avec l'ensemble flou
[Bag 99].
Annexe C
Figure (C.3) Représentation d'un ensemble flou par sa fonction d'appartenance.
C.2 Opérateurs et normes
Comme dans la théorie des ensembles classiques, on définit l'intersection, l'union des
ensembles flous ainsi que le complémentaire d'un ensemble flou. Ces relations sont traduites
par les opérateurs "et", "ou" et "non". De nouvelles fonctions d'appartenance liées à ces
opérateurs sont établies :

La réunion
A est l’ensemble flou des personnes petites.
B est l’ensemble flou des personnes moyennes.
L’ensemble des personnes petites OU moyennes est un ensemble flou de fonction
d’appartenance :
 A B  x   max   A  x  ,  B  x   x  U
(C.2)
Annexe C
Ensembleflou:"PersonnepetiteOUmoyenne"
Partition floue de l'univers du discours
1
Grand
Moyen
Petit
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
Taille(m)
0
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
1.8
1.85
Taille(m)
0
1.5
1.9
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
1.8
1.85
1.9
Figure (C.4) Présentation de la réunion des ensembles

L’intersection
A est l’ensemble flou des personnes petites.
B est l’ensemble flou des personnes moyennes.
L’ensemble des personnes petites ET moyennes est un ensemble flou de fonction
d’appartenance :
ߤ஺∩஻ (‫ߤ ( ݊݅ ݉ = )ݔ‬஺ (‫)ݔ‬, ߤ஻ (‫ܷ ∈ ݔ∀ ))ݔ‬
(C.3)
Ensemble flou: "Personne petite et moyenne"
Partition floue de l'univers du discours
1
Grand
Moyen
Petit
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
Taille(m)
0
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
1.8
1.85
1.9
Taille (m)
0
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
Figure (C.5) Présentation de l’intersection des ensembles
1.75
1.8
1.85
1.9
Annexe C

Le complément
A est l’ensemble flou des personnes petites.
L’ensemble des personnes NON petites est un ensemble flou de fonction d’appartenance :
 A  x   1   A  x  x  U
(C.4)
Ensemble floue :"Personnes non petites"
Partition floue de l'univers du discours
1
Grand
Moyen
Petit
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
Taille(m)
0
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
1.8
1.85
1.9
0
1.5
Taille (m)
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
1.8
1.85
1.9
Figure (C.6) Présentation du complément les ensembles

Opérateurs flous alternatifs
L'opérateur "et" se défini par une norme triangulaire (t-norme) :
T : [0,1] × [0,1] → [0,1]
(x,y) → z = xTy
(C.5)
T possède les propriétés suivantes :

Commutativité : xTy = yTx

associativité : xT(yTz) = (xTy)Tz

monotonie : xTz ≤ yTz si x ≤ y

admet 0 comme élément absorbant et 1 comme élément neutre : 0Tx=0, 1Tx = x
De même, l'opérateur "ou" se défini par une co-norme triangulaire (T*) qu'on appelle aussi snorme (S) :
S: [0,1] × [0,1] → [0,1]
(x, y) → z = xSy
(C.6)
Annexe C
S possède également les propriétés de commutativité, d'associativité et de monotonie. Elle
admet 1 comme élément absorbant et 0 comme élément neutre.
A l'aide de la loi de Morgan, on peut associer à chaque t-norme, la s-norme définie par :
xSy = 1-(1-x)T (1-y).
(C.7)
Les opérateurs les plus utilisés en logique floue sont :
 L’opérateur "et" pour la t-norme, qui correspond à l’intersection de deux ensembles A
et B. Il peut être réalisé par :

La fonction "Min" : µ A∩B (x) = min (µA (x), µB (x))

La fonction arithmétique "Produit" : µ A∩B (x) = µA (x).µB (x)
 L’opérateur "ou" pour la s-norme, qui correspond à l’union de deux ensembles A et B.
Il peut être réalisé par :


La fonction "Max" : μ A∪B (x) = max (μA(x), μB(x))
La fonction arithmétique "Somme" : μ A∪B (x) = μA(x) + μB(x)
ഥ (x) = 1 – μA (x).
 L’opérateur "non" est réalisé par : μA
C.3 Fonction d’appartenance
Afin de permettre un traitement numérique des variables linguistiques dans la prise de
décisions floues sur calculateur, une définition des variables linguistiques à l’aide de fonctions
d’appartenance s’impose. Dans ce contexte, nous associons à chaque valeur de la variable
linguistique une fonction d’appartenance désignée par μA(x), qui sera désignée par le degré ou
le facteur d’appartenance. Il est à noté que l’ensemble des éléments de x pour lesquels
μA(x) › 0, est appelé «support de A». Le plus souvent, nous utilisons pour les fonctions
d’appartenance les fonctions suivantes :

Fonction triangulaire : Elle est définie par trois paramètres {a, b, c} qui
déterminent les coordonnées des trois sommets.
୶ିୟ ୡି୶

Μ(x) = Max ቀmin ቀୠିୟ , ୡିୠቁ, 0ቁ
Fonction trapézoïdale : Elle est définie par quatre paramètres {a, b, c, d} :
(C.8)
Annexe C
୶ିୟ

(୶ି୫ )²
ଶσ²
ቁ
(C.10)
Fonction sigmoïdale : Elle est définie par deux paramètres {a, c} :
ଵ
μ(x) ଵାୣ୶୮൫ିୟ(୶ିୡ)൯
Figure (C.7) Présentation des fonctions d’appartenance
C.4 Méthodes d’inférence

(C.9)
Fonction gaussienne : Elle est définie par deux paramètres {s, m} :
μ(x) = exp ቀ−

ୡି୶
μ(x) = Max ቀmin ቀୠିୟ , 1, ୡିୠቁ, 0ቁ
Méthode d’inférence Max-Min
(C.11)
Annexe C
Figure (C.8) Exemple d’inférence Max-Min

Méthode d’inférence Max-Produit
Figure (C.9) Exemple d’inférence Max-Produit
Annexe C
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