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A New Look at the Modeling of
Secondary Breakup
Nicolas Rimbert *1,2, Sébastian Castrillon-Escobar1,2,3, Renaud
Meignen3, Michel Gradeck1,2
1LEMTA, Université de Lorraine, Nancy France
2CNRS, UMR 7563, Nancy, France
3IRSN, Service des accidents graves, Cadarache, France
*Corresponding author: [email protected]
Modélisation de l’atomisation secondaire
Journée SFT Spray & gouttes 2014
1
Experimental studies
• Since Eotvos
– Drop tower
• Hochwelder (1919)
– Shock tube
• Ranger & Nicholls (1968)
• Faeth’s group in Michigan (90ies)
– Wind Tunnel
• Nowadays…
– (Opfer et al. 2014, Kulkarni & Sojka 2014…etc.)
» Easier…
– And many more…
Modélisation de l’atomisation secondaire
Journée SFT Spray & gouttes 2014
2
First Classification (Pilch and Erdman, 1987)
U 2 L
inertia
We 


surface tension
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Deformation We < 12
bag break-up: 12 < We < 50
umbrella break-up for 50 <
We < 100
Multimode breakup
Shear break-up for 100 < We
< 350)
Wavy Shear Breakup: 350 <
We
Piercing break-up
Catastrophic break-up
Modélisation de l’atomisation secondaire
Journée SFT Spray & gouttes 2014
3
Second Classification (Faeth’s Group)
Regime map for
shock wave
disturbance
Univ. Ann Arbor
Hsiang and Faeth Drop
Deformation and breakup
due to shock wave and
steady disturbance
IJMF, 21, 545-560, 1995
Oh  Z 

We


Re
 D
Viscosity
Inertia  Surface Tension
Modélisation de l’atomisation secondaire
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4
Droplet Deformation Models
• Droplet deformation and breakup model
– Oscillator-like Model
• TAB Taylor Analogy Breakup (O’Rourke 1987)
• DDB Droplet Deformation and Breakup (Ibrahim et al. 1993)
– More recent
• Elongational deformation (Villermaux & Bossa 2009, Kulkarni
& Sojka 2014)
• Potential flow around a disc (Opfer et al. 2014)
• A new model
– Without fitting parameters… Is it possible?
Modélisation de l’atomisation secondaire
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5
Bag-Breakup, Qualititavely
• In the literature
12(23) < We < 50
Udr
RT
• Six stages
–
–
–
–
–
–
6
Inception
Deformation
RT Wave Growth
Bag Growth
Bag breakup
Rim Breakup
y
x
2RT
N. Rimbert Instabilité, Films, Turbulence et Atomisation 02/10/2014
Quantitatively
• Balance between:
– Kinetic (deformation) energy: K
– Surface energy: Es
– Viscous Dissipation: D
– Air Pressure Work: Wp
dK dES

 WP  D
dt
dt
• Simple modelling
– Imposes a 1-parameter deformation path
Modélisation de l’atomisation secondaire
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7
Hypotheses
• Chosen deformation path: Oblate Ellipsoid
– Greater semi-axis: a
– Lesser semi-axis: b
2R0
z
2a = 2yR0
2b
r
U
U
• Other hypotheses
– Axisymetric potential outside flow
– Viscous extensional flow inside
– Volume conservation a 2b  R03
Modélisation de l’atomisation secondaire
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8
Flow inside the spheroid
• Viscous Extensional Flow
y

vr  y r

v  2 y z
 z
y
a
y
R0
Modélisation de l’atomisation secondaire
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9
Flow outside the spheroid
• Axisymmetric potential flow
– Batchelor An introduction to
fluid dynamics
1 
Uz 
r r
1 
Ur 
r z

 12 U   a 2  b 2 
e 1  e2  Sin 1  e 
Sinh    Cosh
2
  Cot 1 Sinh     Sin 2   
– Conformal transformation
1
2
U  r  , 
2
z  ir  a 2  b2 Sinh   i 
Modélisation de l’atomisation secondaire
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10
Not that bad approximation
• Gerris Simulation (Azzara, 2014)
Modélisation de l’atomisation secondaire
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11
Kinetic Energy Term
• Can be computed
1
1 
2 3
K   L  V d x   L 
2 V t 
2 
y
y 
2

r
2
 2 z 2  2 rdrdz
Ellipse ( yR0 , R0 / y 2 )
– Thanks to Mathematica!
– And given the shape
2

1
K   L KC  y  
2

– Where
•
y
y 
Deformation y
K c  y   22.1797 - 36.5808 y  25.9328 y 2 - 8.2371y 3  1.5115 y 4 - 0.1425 y 5  0.0054 y 6
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12
Surface Energy Term
• Exact formula (oblate)
b2
 1 e 
S  2 a   Log 

e
 1 e 
2
• One gets
a2
e  1 2
b
dES
dE dy
1 dy
 S
  KS  y 
dt
dy dt
y dt
• Where KS can be approximated by
K S  y   -39.682  41.523 y - 5.242 y 2  3.818 y 3 - 0.404 y 4  0.017 y 5
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13
Viscous Dissipation Term
• Cylindrical coordinates
 Vr 2  V Vr 2  Vz 2   V / r  Vr  2  Vz V  2  Vr VZ  2 3
D   L  2 
  
 
    r

   r  z    z  r  d x

r
r


r

z

r
r


 
  

 

 
 
V 

• Can be computed exactly

D   L 12 

S y
2

y 3
3
d x  16 R0  L 

y

y
y 
2
– Schmehl et al. (ILASS 2002)
Modélisation de l’atomisation secondaire
Journée SFT Spray & gouttes 2014
14
Air Pressure Work
• Air pressure work is given by
W    P  V.n  dS  2  U  V.n  2 rdr
• Which can be given by
a
P
V
1
0 2
WP  GU 2 R02 K P  y 
2
dy
dt
• Where
Deformation y
K P  y   -0.599  0.535 y - 0.178 y 2  4.026 y 3 - 0.00137 y 4
Modélisation de l’atomisation secondaire
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15
Final Equation
• Using non dimensional numbers:

K L
G
Oh 
L
 L 2 R0
• One gets:
d 

* 
dt  
GU 2 2 R0
WeG 


G 2 R0
L U
G  L U  2 R0
Re 
L
t* 
t

2


y
128  y 
16
K
y


K
y

C 
 y  We S   

y 
Re
 

G

2
Modélisation de l’atomisation secondaire
Journée SFT Spray & gouttes 2014

y

8
K
y
P  
y 

y
y 
16
Steady State
• Equating Air Pressure and Surface Tension
2KS  y 
WeG 
KP  y 
– Compare with
experimental data
(Liquid/liquid)
1
3
 d max 

 1
d
 min 
Hsiang & Faeth (1995)
Modélisation de l’atomisation secondaire
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17
Unsteady behavior
• Linearisation  = y -1
64
 8

K C 1  
    2  4 2    0
Re
 We

WeC 
• Discriminant
 64 
 8 2



4
K
1

4



C
2


 Re 
 We

2 2
2
Non Oscillating
2
• Oscillating condition
Oh2 
4 KC 1
 64 
2
Oscillating
8 2  42We 
OhC 
Modélisation de l’atomisation secondaire
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32 KC 1 2
64
18
Decelerating (wind tunnel) drop
• Non dimensionalisation
U* 
• Momentum equation
U
U0
Deformation y
– U0 initial velocity
dU *
3
*2 *2


C
y
U
d
*
dt
2 K
 3 y3 + 4 
24
.6305
Cd  y, Re  
1+0.1935Re  Min  7 , 4
Re


• Deformation equation
d 
2 * 
dt  

Vortices inside
U = 14 m/s We = 11.3, Oh=0.006, K= 769
2
 128 1  y  2 16
y
1 
K
y


K
y





C
S

y 
Re U *  y  WeG
U *2 


y 8

K
y


P

y  2

Modélisation de l’atomisation secondaire Vortices
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y
y 
outside
19
Why Fitting parameters?
« Model »
« Reality »
Flock et al. (2012)
Modélisation de l’atomisation secondaire
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20
Deformation y
Deformation y
Comparison with experiments
Time t*
Time t*
U= 32 m/s We = 103.5, Oh=0.0014, K= 770.
R0= 2.8 mm Krzeczkowski (1980)
U= 13.5 m/s We = 18.4, Oh=0.0014, K= 770.
R0= 2.8 mm Krzeczkowski (1980)
Deformation y
U = 14 m/s We = 11.3, Oh=0.002, K= 769.
R0= 1.6 mm Opfer et al. (2014)
Modélisation de l’atomisation secondaire
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Time t*
21
Accelerating (freefall) drop
• Non dimensionalisation
Ul 
  L  G  g  2 R0 

4  K  1 R0
3 gCd
• Momentum equation
1
2
3


K Sin 1 e  e 1  e 2
Added Mass
Time t*
dU *
3
K 3/ 2 Eo
*2 *2

Cd y U 
*
dt
K  1 WeG
2 K
– Added mass effect

e   Sin e  1  e  dU
1
1  y

Deformation y
Eo 
Liquid metal/liquid
Ul=1.05 m/s, We = 26.88, Oh=0.00014,
K= 8, R0 = 6mm
*
3
K 3/ 2 Eo
*2 *2

Cd y U 
*
K  1 WeG
 dt
2 K

Modélisation de l’atomisation secondaire
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22
WHAT HAPPENS WHEN SIZE
DOUBLE?
Modélisation de l’atomisation secondaire
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23
Rayleigh-Taylor Growth
• Most amplified wavelength is given by
RT ,max  2
3
f 
• Droplet deceleration is given by
3 G x 2
2
f 
C
U
d
8 L r 3
• Which turns to
RT ,max
r
8
r
 2  
2
 x  Cd GU r
• Cd is equal to (Pilch et Erdman, 1987)
– 1.7 (falling droplet)
– 3.0 (shock tube)
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24
Critical Weber Number
• By assuming the following two-waves breakup
condition: x==2r, one gets:
4
1
 x
4
2

2

16

64

 
CdWe
r
• Which turns to
x
2RT
3RT
4 2
Wemin 
 23.2
Cd
4 2
Wemin 
 13
Cd
– Free Fall
– Shock tube
• With three waves
– Umbrella breakup
2 x  3RT
4
1
x
2 2

12

 
CdWe
r
Wemin
144 2

 52 (chute libre)
16Cd
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25
Theoretical Diagram
We
Umbrella breakup
52
Bag breakup
23
Oh
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26
DAUGHTER DROPS PDF
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27
Bag Breakup
Dispositif Experimental
N. Rimbert and G. Castanet Evidences of
turbulent cascading atomization in the
bag-breakup regime Phys. Rev. E (2011)
• Tuyère Lechler ref. 665-042, 8 bars
– Montée verticalement
– Oeil de chat, “Fan spray”, 80 L/minute
a b
• La lumière Laser est guidée optiquement dans une fibre
• PDPA: mesure la taille et la vitesse des gouttes
Modélisation de l’atomisation secondaire
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28
PDF à trois pics
(Hochschwender, 1919?)
Pic du sac
SMDbag
dinit

Injecteur: 3.23
200
 0.148
1350
Pic de l’anneau
Modélisation de l’atomisation secondaire
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Pic initial
29
Log Lévy Stable PDF
• Novikov and Dommermuth,
Phys. Rev. E, 1997
• Rimbert and Séro-Guillaume,
Phys. Rev. E, 2004
– Extension de résultats de
Kolmogorov
– Distribution volumique
– Données exp.
communiquées par
Simmons and Hanratty
• Ici, nos propres données
– 50,000 gouttelettes
– Distribution numérique
–  = 1.69
 ln d  1.1
Modélisation de l’atomisation secondaire
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30
Spray characteristics from truncated Lévy statistics
IXth ICLASS Sorrento 13-18 Jully 2003
Other representation of Log-Lévy PDF
1
1
x  log x  1
Divergence toward small sizes
Apparently two
The distribution
looksmodes
« double
peaked
»
Modélisation
de l’atomisation
secondaire
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