MATHEMATIQUES
TL - TES 2014-2015
Sujets des devoirs
DS1 24 /09/2014 page2
DV 06/10/2014 page 5
DS 12/11/2014 page 6
DV 24/11/2014 page 10
DS 17/12/2014 page 12
Bac Blanc 13/01/2015 page 18
A.Berger
TES Bleue TL Rouge
2014-2015
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DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES Bleue et Pervenche 24/09/2014 3 H
UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE
AUCUN DOCUMENT
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l’appréciation des copies.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les
questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Inscrivez le nom de votre enseignant.
EXERCICE I : (6 points)
La courbe ci-dessous représente une fonction définie et dérivable sur
2; 11 . Elle est notée .
La fonction dérivée de est notée ′.
Dans ce repère, on a aussi tracé :
• La droite
tangente à en .
• La tangente à en S.
On précise que le point
2; 2,75 est sur la courbe .
Rappel : le réel ’ désigne le coefficient directeur de la tangente à au point de coordonnées ;
Aucune justification n’est demandée dans la question 1°
1° Donner :
a) Le tableau de variation de la fonction . On mettra aussi la ligne ’
b) Le tableau de signe de
c) Les valeurs suivantes : ′ 1 ; 4
d) L’ensemble de solutions sur de l’inéquation
0.
e) L’équation de la droite
f) L’intervalle image par la fonction de 4; 10 , puis de 2; 11
2° a) Résoudre l’équation
b) Résoudre l’inéquation
1
1.
3° On considère la fonction définie sur
2; 11 par
a) Tracer "
b) Donner les coordonnées des points d’intersection de
c) Résoudre l’inéquation
#
A.Berger
.
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!
et
"
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.
EXERCICE II : (8 points)
L’entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une longueur
exprimée en kilomètre, étant compris entre 0 et 8.
Le coût total de production en euros de l’entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur par la
formule :
= 15 $ − 120 ² + 500 + 750
Le graphique annexe donne la représentation graphique de la fonction
Si le marché offre un prix % en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l’entreprise CoTon
pour la vente d’une quantité est : &
= % .
d’équation ' = 400 .
1. Tracer sur le graphique annexe la droite
Expliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l’entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice si le prix % du
marché est de 400 euros.
2. Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros.
a. Tracer sur le graphique annexe la droite ( d’équation ' = 680 .
Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, pour quelles quantités produites et
vendues, l’entreprise CoTon réalise un bénéfice si le prix % du marché est de 680 euros.
b. On désigne par
le bénéfice réalisé lors de la production et vente de kilomètres de tissu.
Montrer que, pour ∈ [0 ; 8], on a :
= −15 $ + 120 ( + 180 − 750
(
′
c. Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 8] , on a :
= −45 − 6 , + $d. Étudier le signe de ′
sur [0 ; 8].
e. Dresser le tableau de variations de la fonction B sur [0 ; 8].
f. En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l’entreprise CoTon est
maximum. Donner la valeur de ce bénéfice.
= 0 admet une unique solution dans [0 ; 6], on la note ..
3. a. Montrer que l’équation
b. Déterminer un encadrement de . à 0,1 près.
.
c. Dresser le tableau de signe de
d. Placer . sur le graphique.
e. En déduire à 0,1 km près la quantité minimale à produire pour que l’entreprise réalise un bénéfice.
EXERCICE III : (6 points)
1° On considère le polynôme /
= −15 ( − 120 + 135
Déterminer les racines et le signe de /
2° On considère la fonction définie sur par
=
15 + 60
²+9
a) Montrer que pour tout
de , on a
/
(+9 (
b) Etudier le signe de ′
c) Enoncer le sens de variation de la fonction .
=
3° Dresser le tableau de variation de la fonction
A.Berger
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Annexe Exercice 2 : à rendre
NOM :
y
5500
5000
Coût total
4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
A.Berger
1
2
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5
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7
8
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x
DEVOIR DE MATHEMATIQUES TES B - TL R 06/10/2014 1 HEURE
CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE
AUCUN DOCUMENT
EXERCICE I : (5 points)
On donne la courbe représentative d’une fonction
définie sur 2; 11 .
Aucune justification n’est demandée.
1° Donner les valeurs suivantes :
3
3 5
9
5
9
2° Déterminer une équation de la tangente en A.
3° Déterminer une équation de la tangente en S.
EXERCICE II : (5 points)
On considère une fonction définie et dérivable sur 0; 7 .
On donne, ci-contre, la courbe de sa fonction dérivée ′
1° a) Déterminer le signe de ′ .
b) Que pouvez-en déduire pour la fonction ?
2° a) Déterminer les variations de la fonction .
b) En déduire la convexité de la fonction .
c) La courbe admet-elle un point d’inflexion ?
EXERCICE III : (7 points)
On considère la fonction définie sur 0; 10 par
1° Calculer ′
et ′′ .
2° Etudier la convexité de la fonction .
3° Dresser le tableau de variations de la fonction ′.
4° a) Etudier le signe de ′
b) Dresser le tableau de variations de la fonction .
$
6
(
! 7.
EXERCICE IV : (3 points)
Soit une fonction définie et deux fois dérivable sur 0; 6 .
En exploitant au mieux les informations données par le logiciel de calcul formel :
1° La fonction est-elle convexe ou concave sur 0; 6 ?
2° Etudier le signe de ′
3° Dresser le tableau de variation de la fonction .
A.Berger
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MATHEMATIQUES TES Bleue, Pervenche -TL (spécialité) 12/11/2014 3 H
UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE
AUCUN DOCUMENT
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l’appréciation des copies.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les
questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Inscrivez le nom de votre enseignant.
EXERCICE I : (5 points)
d’après Centres étrangers juin 2013
On considère la fonction f définie sur l’intervalle 2 ; 8] par :
− ( + 10 − 16
=
(
On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.
1. Montrer que pour tout réel de l’intervalle [2 ; 8], on a :
−10 + 32
=
$
2. a. Étudier le signe de ′
sur l’intervalle [2; 8].
2. b. En déduire le tableau de variations de sur l’intervalle [2; 8].
3. On appelle ′′ la dérivée seconde de sur [2 ; 8].
On admet que, pour tout réel x de l’intervalle [2 ; 8], on a :
20 − 96
=
3
3. a. Déterminer en le justifiant l’intervalle sur lequel la fonction est convexe, et l’intervalle sur lequel elle
est concave.
3. b. Montrer que la courbe
admet un point d’inflexion, dont on précisera les coordonnées.
A.Berger
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EXERCICE II : (6 points)
d’après Polynésie juin 2013
La production des perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la Polynésie.
Les montants réalisés à l’exportation des produits perliers de 2008 à 2011 sont donnés dans le tableau
suivant, en milliers d’euros :
année
2008
2009
2010
2011
Valeurs brutes des produits perliers 81295
66052
64690 63182
(en milliers d’euros)
Source : ISPF (Institut de Statistiques de Polynésie Française)
On admet pour tout l’exercice que la production baissera de 8% par an à partir de 2011
1. On considère l’algorithme suivant :
Entrée
Saisir un nombre positif P
Traitement : Affecter la valeur 0 à la variable / {initialisation}
Affecter la valeur 63 182 à 4
{initialisation}
Tant que 4 > 6
Affecter la valeur / + 1 à /
Affecter la valeur 0,92 × 4 à 4
Fin de Tant que
Affecter la valeur / + 2011 à /
Sortie
Afficher /
Pour la valeur 6 = 50 000 saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant.
Valeur de /
0
1
………………..
Valeur de 4
63 182
………………..
Condition 4 > 6
Vrai
……………
Qu’obtient-on en sortie par cet algorithme ?
Interpréter ce résultat dans le contexte de la production de perles.
2. Pour prévoir les montants réalisés à l’exportation des perles de Tahiti, on modélise la situation par une
suite 89
On note 8: le montant en 2011, en milliers d’euros, et 89 le montant en 2011 + ;, en milliers d’euros.
On a donc 8: =63 182 et on suppose que la valeur baisse tous les ans de 8%.
a. Montrer que 89 est une suite géométrique dont on précisera la raison.
b. Exprimer, pour tout entier naturel n, 89 en fonction de n.
c. Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l’exportation des produits perliers de Polynésie en
2016 ? On arrondira le résultat au millier d’euros.
d. Avec ce modèle, à partir de quelle année peut-on prévoir un montant d’exportation des produits perliers
de Polynésie inférieur à 20 000 milliers d’euros ?
3. Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l’on peut prévoir avec ce modèle à partir de
2011 (comprise) jusqu’à 2020 (comprise). On donnera une valeur approchée au millier d’euros.
4. On veut produire une feuille de calcul à l’aide d’un tableur donnant les valeurs de 89 et de la somme des
termes consécutifs <9 = 8: + 8 + ⋯ + 89
Quelles formules ont été saisies dans les cellules
B3 et C3 et étirées vers le bas pour commencer à
produire cette feuille de calcul ?
A.Berger
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1
2
3
4
5
6
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A
B
C
n
0
1
2
3
un
63182
58127,44
53477,24
Sn
63182
121309,44
174786,68
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EXERCICE III : (4 points)
On considère une fonction f définie sur et deux fois dérivable. On donne ci-dessous la courbe
dérivée seconde de la fonction , dans un repère orthonormé.
représentative de la fonction
Les points suivants appartiennent à la courbe :
2; 0 ; 0; 0,5 et 3; 0 .
Courbe représentative de la fonction >′′
Dans tout cet exercice, chaque réponse sera justifiée à partir d’arguments graphiques.
1. a. Dresser le tableau de signe de ′′
1. b. La courbe représentative de admet-elle des points d’inflexion?
1. c. Dresser le tableau de variations de la fonction ′
2. Sur
2; 3 , la fonction est-elle convexe ? Est-elle concave ?
3. Une des deux courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction et l'autre celle de ′.
Déterminer la courbe qui représente la fonction et celle qui représente la dérivée ′. Justifier la réponse.
A.Berger
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EXERCICE IV : (5 points)
Partie A :
y
On considère les fonctions et définies et
dérivables sur [0 ; 3] telles que :
3
=
$
et
= 3− .
1. Les courbes représentatives respectives
et
et , dans un repère orthogonal,
" des fonctions
sont tracées ci-contre.
2
1
Lire avec la précision permise par le graphique
une valeur approchée des coordonnées de leur
point d'intersection E.
0
1
2
3
x
2. Pour déterminer l’abscisse de E de façon précise, on est amené à résoudre dans [0 ; 3] l'équation :
=
.
Pour cela, on considère la fonction ℎ définie sur l'intervalle [0 ; 3] par ℎ
=
2. a. Montrer que la fonction h est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 3]
2. b. Dresser le tableau de variation de la fonction ℎ .
2. c. Démontrer que l'équation ℎ
= 0 admet une solution unique
2. d. A l'aide de la calculatrice, déterminer l'arrondi de
Partie B : Les fonctions
d'un produit :
•
et
:
:
au centième.
−
.
dans l'intervalle [0 ; 3]
définies dans la partie A modélisent respectivement l'offre et la demande
est la quantité, en milliers d'articles, que les producteurs sont prêts à vendre au prix unitaire de
x centaines d'euros;
•
est la quantité, en milliers d'articles, que les consommateurs sont prêts à acheter au prix
unitaire de x centaines d'euros.
On appelle prix unitaire d'équilibre du marché la valeur de x pour laquelle l'offre est égale à la demande.
1. Quel est, exprimé à l'euro près, le prix unitaire d'équilibre du marché ?
2. Quel nombre d'articles, (arrondi à la centaine d’articles près), correspond à ce prix unitaire d'équilibre ?
A.Berger
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DEVOIR DE MATHEMATIQUES TL - TES B 24/11/2014 1 Heure
CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE
AUCUN DOCUMENT
EXERCICE I : (13 points)
d’après Centres étrangers Juin 2011
Un producteur de fruits rouges propose en vente directe des framboises, des groseilles et des myrtilles.
Le client peut acheter, soit des barquettes de fruits à déguster, soit des barquettes de fruits à confiture.
Le producteur a remarqué que, parmi ses clients, 9 sur 10 achètent une barquette de fruits à confiture.
Lorsqu’un client achète une barquette de fruits à confiture, la probabilité qu’il demande une barquette de
myrtilles est de 0,3 et la probabilité qu’il demande une barquette de groseilles est de 0,5. Lorsqu’un client
achète une barquette de fruits à déguster, il ne demande jamais des groseilles et demande des framboises
dans 60 % des cas.
Un client achète une barquette. On notera :
− C l’évènement « le client achète une barquette de fruits à confiture »,
− F l’évènement « le client demande des framboises »,
− G l’évènement « le client demande des groseilles »,
− M l’évènement « le client demande des myrtilles ».
1. Recopier et compléter l’arbre pondéré.
M
C
F
G
M
F
2. Quelle est la probabilité que le client achète une barquette de framboises à déguster.
3. Montrer que la probabilité que le client achète une barquette de framboises est égale à 0,24.
4. Le client achète une barquette de framboises. Quelle est la probabilité que ce soit une barquette de
fruits à confiture ?
5. Le producteur vend :
5 € la barquette de fruits à confiture, quel que soit le fruit,
2 € la barquette de framboises à déguster,
3 € la barquette de myrtilles à déguster.
5. a. On note xi les valeurs possibles, en euros, du gain du producteur par barquette vendue et pi leur
probabilité.
Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi du gain du producteur par barquette vendue. On
justifiera les réponses.
Valeur xi
Probabilité associée : pi
5
2
3
5. b. Calculer l’espérance de cette loi de probabilité.
A.Berger
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EXERCICE II : (7 points)
d’après La réunion Juin 2011
NOM :
En vue de sa prochaine brochure d’information sur les dangers d’internet un lycée a fait remplir un
questionnaire à chacun des 2 000 élèves, répartis dans les sections de seconde, première et terminale.
On obtient la répartition suivante :
• 1 740 élèves utilisent régulièrement internet.
• un quart des élèves est en terminale ;
• 35 % des élèves sont en première ;
• tous les autres sont en seconde ;
• parmi les élèves de terminale, 70 % utilisent régulièrement internet ;
• 630 élèves sont des élèves de première qui utilisent régulièrement internet.
Cette enquête permet de modéliser le choix d’un élève du lycée.
On choisit au hasard un questionnaire d’élève en supposant que ce choix se fait en situation
d’équiprobabilité. On note :
• < l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de seconde »
• @ l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de première »
• A l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de terminale »
•
l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève qui utilise régulièrement internet »
1. Compléter le tableau d’effectifs donné ci-dessous.
Seconde
Première
Utilise internet régulièrement
Terminale
Total
1740
N’utilise pas internet
régulièrement
Total
2000
2. Déterminer la probabilité d’obtenir le questionnaire d’un élève de seconde qui utilise régulièrement
internet.
3. Calculer la probabilité de I sachant , notée %B
, et interpréter ce résultat à l’aide d’une phrase.
4. Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d’un élève qui n’utilise pas internet.
A.Berger
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MATHEMATIQUES TES Bleue, Pervenche -TL (spécialité) 17/12/2014 3 H
UNE SEULE CALCULATRICE AUTORISEE
AUCUN DOCUMENT
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l’appréciation des copies.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les
questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Inscrivez le nom de votre enseignant.
EXERCICE I : (5 points)
Sujet national juin 2013
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.
Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l’industrie automobile. On suppose que toute la
production est vendue.
L’entreprise peut fabriquer entre 0 et 3 600 poulies par semaine. On note x le nombre de milliers de poulies
fabriquées et vendues en une semaine. ( varie donc dans l’intervalle 0 ; 3,6]).
Le bénéfice hebdomadaire est noté
, il est exprimé en milliers d’euros.
L’objet de cet exercice est d’étudier cette fonction .
Partie A : étude graphique
On a représenté, en annexe page 5, la fonction B dans un repère du plan.
Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas.
Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur
la copie sera attendue pour chaque question posée.
1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou
égal à 13 000 euros.
2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l’entreprise ?
Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé ?
Partie B : étude théorique
Le bénéfice hebdomadaire noté B(x), exprimé en milliers d’euros vaut :
= −5 + 4 −
CD .
1. a. On note B′ la fonction dérivée de la fonction B.
Montrer que pour tout réel x de l’intervalle = [0 ; 3,6], on a :
= 3−
b. Déterminer le signe de la fonction dérivée ′ sur l’intervalle I.
c. Dresser le tableau de variation de la fonction
On indiquera les valeurs de la fonction
CD.
sur l’intervalle I.
aux bornes de l’intervalle.
2. a. Justifier que l’équation
= 13 admet deux solutions
l’autre dans l’intervalle [3 ; 3,6].
et
(
, l’une dans l’intervalle [0 ; 3],
2. b. À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,01 près de chacune des deux solutions.
A.Berger
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EXERCICE II : (5 points)
Polynésie Septembre 2014
Une enquête a été réalisée auprès des élèves inscrits à la demi-pension d’un lycée.
Les résultats révèlent que :
•
95% des élèves déclarent manger régulièrement à la cantine et parmi ceux-ci 70% sont satisfaits de
la qualité des repas ;
• 20% des élèves qui ne mangent pas régulièrement sont satisfaits de la qualité des repas.
On choisit un élève au hasard parmi les élèves inscrits à la demi-pension.
On note les évènements suivants :
& l’évènement : « l’élève mange régulièrement à la cantine » ;
< l’évènement : « l’élève est satisfait ».
On notera &E et <̅ les évènements contraires de & et <.
1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2. Calculer la probabilité que l’élève mange régulièrement à la cantine et soit satisfait de la qualité des
repas.
3. Montrer que la probabilité de l’évènement S est égale à 0,675.
4. Sachant que l’élève n’est pas satisfait de la qualité des repas, calculer la probabilité qu’il mange
régulièrement à la cantine. Donner le résultat arrondi à 10G$.
5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves
inscrits à la demi-pension.
On note X la variable aléatoire égale au nombre d’élèves déclarant être satisfaits de la qualité des repas. Le
nombre d’élèves étant suffisamment grand, on considère que X suit une loi binomiale.
Les résultats seront arrondis au millième.
a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
b. Calculer la probabilité de l’évènement
: « les quatre élèves sont satisfaits de la qualité des repas ».
c. Décrire à l’aide d’une phrase l’évènement
A.Berger
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̅ et calculer sa probabilité.
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EXERCICE III : (5 points)
Antilles septembre 2014
En 2008, une entreprise internationale s’est dotée d’un centre de visio-conférence qui permet de réaliser de
grandes économies dans le budget « déplacement des cadres ».
Lors d’un conseil d’administration de fin d’année, le responsable du centre de visio-conférence fait le
compte rendu suivant : on a observé un fort accroissement de l’utilisation de cette technologie, le nombre de
visio-conférences, qui était de 30 en 2008, a augmenté de 20% tous les ans.
1. On s’intéresse au nombre d’utilisations de la visio-conférence lors de l’année 2008+n. On modélise la
situation par une suite géométrique 89 où le terme 89 est une estimation de ce nombre d’utilisations lors
de l’année 2008 + ;.
a. Donner la raison H et le premier terme 8: de cette suite.
b. Donner l’expression de 89 en fonction de n.
c. Vérifier qu’en 2013 on a atteint 74 utilisations de la visio-conférence.
2. On considère l’algorithme suivant :
Variables :
; est un nombre entier naturel
4 et sont des nombres réels
Entrée :
Saisir
Affecter à 4 la valeur 30
Affecter à ; la valeur 0
Tant que 4 < faire
4 prend la valeur 4 + 4 × 0,2
; prend la valeur ; + 1
Fin Tant que
Traitement :
Afficher ;
Sortie :
a. On donne la valeur 100 à .
Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant.
Les valeurs de 4 seront données approchées par défaut à l’entier près.
Test 4 <
Valeur de 4
Valeur de ;
30
0
vrai
36
1
………………..
………………..
……………
b. Quelle est la valeur affichée en sortie de cet algorithme ?
c. Interpréter cette valeur affichée dans le contexte de ce problème.
3. Le coût de l’installation des appareils de visio-conférence sera amorti quand le nombre total d’utilisations
aura dépassé 400.
À partir de quelle année cette installation sera-t-elle amortie ? Justifier la réponse.
A.Berger
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EXERCICE IV : (5 points)
Polynésie Juin 2014
Une entreprise fabrique chaque jour des objets. Cette production ne peut dépasser 700 objets par jour.
On modélise le coût total de production par une fonction .
Lorsque x désigne le nombre d’objets fabriqués, exprimé en centaines, on désigne par
correspondant, exprimé en centaines d’euros.
La courbe représentative de la fonction
le coût total
est donnée en annexe page 5.
Partie A
Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes en arrondissant au mieux. On laissera apparents les
traits de construction sur la figure donnée en annexe.
1. Quel est le coût total de production pour 450 objets ?
2. Combien d’objets sont produits pour un coût total de 60 000 euros ?
3. On considère que le coût marginal est donné par la fonction ′ dérivée de la fonction
a. Estimer le coût marginal pour une production de 450 objets, puis de 600 objets.
b. Que pensez-vous de l’affirmation : « le coût marginal est croissant sur l’intervalle [0 ; 7] » ?
Partie B
Le prix de vente de chacun de ces objets est de 75 euros.
1. On note J la fonction « recette ». Pour tout nombre réel x dans l’intervalle [0 ; 7], J
vente, en centaines d’euros, de centaines d’objets.
est le prix de
Représenter la fonction J dans le repère donné en annexe.
2. En utilisant les représentations graphiques portées sur l’annexe, répondre aux questions qui suivent.
a. En supposant que tous les objets produits sont vendus, quelle est, pour l’entreprise, la fourchette
maximale de rentabilité ? Justifier la réponse.
b. Que penser de l’affirmation : « il est préférable pour l’entreprise de fabriquer 500 objets plutôt que 600
objets » ?
A.Berger
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Annexe exercice I
A.Berger
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Annexe exercice IV
A.Berger
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BAC BLANC MATHEMATIQUES
TERMINALE ES - L 13/01/2015
Une seule calculatrice autorisée - Le prêt est interdit
3 HEURES
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante
dans l’appréciation des copies.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour
aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le sujet est composé de 4 exercices et comporte 4 pages. Aucune page n’est à rendre
Chacun traite les 4 exercices qui le concernent selon sa spécialité.
Exercices I – III – IV communs à tous les candidats
Exercice II : TES spécialité Maths
ou
TES non spécialité Maths et TL spécialité Maths
EXERCICE I : (5 points) POUR TOUS Amérique du sud novembre 2014
On considère la fonction
définie sur l’intervalle [0 ; 4] par
= 3 − 4 C GD + 2
1. On désigne par
′ la dérivée de la fonction
.
Montrer que l’on a, pour tout x appartenant à l’intervalle [0 ; 4],
′
= 7 − 3 C GD
2. Étudier les variations de sur l’intervalle [0 ; 4] , puis dresser le tableau de variations de
intervalle. Toutes les valeurs du tableau seront données sous forme exacte.
3. a. Montrer que l’équation
sur cet
= 0 admet une unique solution . sur l’intervalle [0 ; 4].
b. Donner à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée de . à 0,01 près.
4. On admet que la dérivée seconde de la fonction
′′
= 3 − 10 C GD
a. Déterminer l’intervalle sur lequel la fonction
b. Montrer que la courbe représentative
l’abscisse.
A.Berger
est la fonction
est convexe.
de la fonction
TES Bleue TL Rouge
′′ définie sur l’intervalle [0 ; 4] par
possède un point d’inflexion dont on précisera
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EXERCICE II : (5 points) TES - SPECIALITE
Les deux parties sont indépendantes.
Partie A
Lors d’une campagne de marketing l’entreprise B distribue un stylo ou un porte-clés ; il en coûte à
l’entreprise 0,80 € par stylo et 1,20 € par porte-clés distribué.
À la fin de la journée l’entreprise a distribué 550 objets et cela lui a coûté 540 €.
On cherche le nombre s de stylos et le nombre c de porte-clés distribués.
1. Écrire un système traduisant cette situation.
2. Montrer que le système précédent est équivalent à & × K
A où &
,
matrices que l’on précisera.
1
1
- et K et A sont des
0,8 1,2
3. Résoudre le système à l’aide de la calculatrice. Interpréter le résultat.
Partie B
L’entreprise U fournit ses clients en recharges pour les fontaines à eau et dispose des résultats antérieurs
suivants :
Nombre de recharges en milliers
1
3
5
Coût total annuel de production en centaines d’euros
11
27,4
83
Le coût total de production est modélisé par une fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle
[0; 10] par :
= $ + L ( + M + 10 , où a , b et c sont des nombres réels.
Lorsque le nombre x désigne le nombre de milliers de recharges produites,
production en centaines d’euros.
1. Montrer que le triplet
est le coût total de
+L+M =1
, L, M est solution du système (S) N 27 + 9L + 3M = 17,4 .
125 + 25L + 5M = 73
2. a. On pose K = OL P. Écrire ce système sous la forme QK = R où M et Y sont des matrices que l’on
M
précisera.
2. b. On admet que la matrice M est inversible. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, le triplet
solution du système (S).
, L, M
3. En utilisant cette modélisation, quel serait le coût total annuel de production pour 8000 recharges d’eau
produites ?
A.Berger
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EXERCICE II : (5 points)
TES NON SPECIALITE et TL Centres étrangers Juin 2013
Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.
On sait que :
• 15% des sacs sont vendus directement dans l’exploitation agricole et le reste est vendu dans des
supermarchés.
• Parmi les sacs vendus directement dans l’exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés
différentes et les autres ne contiennent qu’un seul type de pommes.
• Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, l0% contiennent des pommes de variétés différentes et les
autres ne contiennent qu’un seul type de pommes.
On désigne par :
E l’évènement « les sacs de pommes sont vendus sur l’exploitation »
V l’évènement « les sacs contiennent des pommes de variétés différentes ».
L’évènement contraire de l’évènement
sera noté
̅.
On achète de façon aléatoire un sac de pommes.
1. Traduire les trois données de l’énoncé en termes de probabilités.
2. Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.
3. Définir par une phrase l’évènement @ ∩ T puis calculer sa probabilité.
4. Montrer que la probabilité que le sac acheté contienne des pommes de variétés différentes est égale
à 0,205.
5. Le sac acheté contient des pommes d’une seule variété.
Calculer la probabilité qu’il ait été acheté directement sur l’exploitation agricole, arrondir le résultat à 0,001
près.
6. Des producteurs, interrogés lors de l’enquête, disposent ensemble de 45 000 sacs.
Chaque sac, qu’il contienne un seul type de pommes ou des pommes de variétés différentes, est vendu 0,80
euro sur l’exploitation agricole et 3,40 euros dans des supermarchés
Calculer le montant total des ventes qu’ils peuvent prévoir.
A.Berger
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EXERCICE III : (6 points) POUR TOUS
Amérique du sud novembre 2014
Une agence de presse a la charge de la publication d’un journal hebdomadaire traitant des informations
d’une communauté de communes dans le but de mieux faire connaître les différents évènements qui s’y
déroulent.
Un sondage prévoit un accueil favorable de ce journal dans la population.
Une étude de marché estime à 1 200 le nombre de journaux vendus lors du lancement du journal avec une
progression des ventes de 2% chaque semaine pour les éditions suivantes.
L’agence souhaite dépasser les 4 000 journaux vendus par semaine.
On modélise cette situation par une suite 89 où 89 représente le nombre de journaux vendus n semaines
après le début de l’opération. On a donc 8: 1200.
1. Calculer le nombre 8 de journaux vendus une semaine après le début de l’opération.
2. Écrire, pour tout entier naturel n, l’expression de 89 en fonction de n.
3. Déterminer à partir de combien de semaines le nombre de journaux vendus sera supérieur à 1 500.
4. Voici un algorithme :
VARIABLES :
INITIALISATION :
TRAITEMENT :
SORTIE :
4 est un réel
/ est un entier naturel
4 prend la valeur 1 200
/ prend la valeur 0
Tant que 4 ≤ 4000
/ prend la valeur / + 1
4 prend la valeur 1,02 × 4
Fin du Tant que
SORTIE : Afficher /
4. a. Déterminer la valeur de N affichée par cet algorithme.
4. b. Interpréter le résultat précédent.
5. a. Montrer que, pour tout entier n, on a :
1 + 1,02 + 1,02² + ⋯ + 1,029 = 50 × 1,029U − 1
5. b. On pose, pour tout entier n, <9 = 8: + 8 + 8( + ⋯ + 89
À l’aide de la question précédente, montrer que l’on a :
<9 = 60000 × 1,029U − 1
5. c. Déduire de la question précédente le nombre total de journaux vendus au bout de 52 semaines. Le
résultat sera arrondi à l’unité.
A.Berger
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EXERCICE IV : (4 points) POUR TOUS
On a tracé ci-contre :
La courbe représentative
d’après Polynésie septembre 2013
d’une
fonction définie sur ,
Ses tangentes :
au point d’abscisse 2,
au point d’abscisse 2
Aucune justification n’est
demandée dans cet exercice.
Partie A :
1. Dresser le tableau de signe de
0
3,5
2. L’affirmation
est-elle vraie ou fausse ?
Partie B :
Cette partie est un questionnaire à choix multiples. Les questions sont indépendantes les unes des autres.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Une bonne réponse rapporte
0,75 point. Une mauvaise réponse ou l’absence de réponse n’apporte, ni n’enlève aucun point.
1. Quelle est l’équation de la tangente à en A ?
a. ' C ! 2C
b. ' 3 ! 2C
2. Quelle est l’équation de la tangente à
a. 2
b. ' 2
3. La fonction est :
a. concave sur
∞; 0
en
b. convexe sur
c. '
C ! 3C
d. '
5 ! 4C
d. '
4
?
c. '
∞; 0
4
c. concave sur 0; 2
d. convexe sur 0; 2
4. Parmi les 4 courbes représentées
ci-contre, laquelle représente la fonction
dérivée de la fonction ?
A.Berger
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