DS n°7 - MPSI

Année Scolaire 2013–2014
MATHÉMATIQUES MPSI3
DS No 7
Samedi 15/03/2014 (4h)
Les candidats sont invités à composer avec une encre suffisamment visible (en bleu foncé ou en noir
par exemple), le bleu pâle est à proscrire. Les candidats sont également invités à porter une attention
particulière à la qualité de leurs raisonnements ainsi qu’à la rédaction (les copies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées). La référence des questions doit obligatoirement être mentionnée et les
résultats doivent être encadrés .
La calculatrice, les formulaires et les téléphones sont interdits.
Problème 1
Étude de la fonction f : x 7→ x 2 ln 1 +
Q1) a) Déterminer l’ensemble de définition de f .
1 .
x b) Montrer que la droite d’équation x = −1 est asymptote à la courbe représentative de f .
Q2) a) On pose f (0) = `. Quelle valeur numérique doit-on donner à ` pour que f soit continue en 0 ?
Dans la suite, on suppose que ` a cette valeur.
b) Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur R \ {−1, 0}.
c) Étudier la dérivabilité de f en 0.
d) Montrer que f admet un dl1 (0) (à préciser), mais pas de dl2 (0). Que peut-on en déduire pour f ?
Q3) a) Pour x ∈ R \ {−1, 0}, calculer f 0 (x) et déterminer la fonction h telle que f 0 (x) = 2xh(x).
b) Étudier le sens de variation de h, et la limite de h aux différentes bornes de R \ {−1, 0}.
c) Justifier l’existence d’un unique réel α ∈] − 2; −1[ et d’un unique réel β ∈] − 1; 0[ qui annulent
h(x).
d) Écrire un algorithme en Python permettant un calcul approché de α à 10−4 près par dichotomie.
e) En déduire le signe de h(x) puis le tableau des variations de f .
Q4) a) Calculer un développement asymptotique de f (x) à l’ordre 1 en +∞.
b) En déduire l’étude locale de f au voisinage de +∞, plus précisément :
i) Montrer que la courbe de f admet une droite asymptote (à préciser).
ii) Justifier la position courbe - asymptote au voisinage de +∞.
1
c) De même, étudier la branche infinie en −∞.
Q5) Faire la représentation graphique complète de f .
Rx
Q6) Pour x > 0, calculer 0 f (t) dt.
Problème 2
Soit f : K3 → K3 définie par : f (x, y, z) = (2y − 2z, x + y − 2z, x − y). On note id = idK3 . On rappelle
que f n = id si n = 0 et f n = f ◦ · · · ◦ f , n fois si n > 1.
Q1) a) Montrer que f ∈ L (K3 ).
b) Déterminer ker( f ) et Im( f ). On donnera une base de chacun de ces deux sev.
c) f est-elle injective ? surjective ? bijective ?
d) Démontrer que R3 = ker( f ) ⊕ Im( f ).
e) Soit p la projection sur ker( f ) parallèlement à Im( f ), calculer p(x, y, z).
Q2) a) Déterminer f 2 (x, y, z) et f 3 (x, y, z).
b) En déduire que f 3 − f 2 − 2 f = 0.
1
.
X 3 −X 2 −2X
+ id) + 13 f ◦
c) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle
d) En déduire que id = − 21 ( f + id) ◦ ( f − 2id) + 16 f ◦ ( f
( f − 2id).
1
1



q = − ( f + id) ◦ ( f − 2id) = − ( f 2 − f − 2id)



2
2




1
1
On pose : 
. On a donc id = q + r + s.
r = f ◦ ( f + id) = ( f 2 + f )


6
6




1
1


 s = f ◦ ( f − 2id) = ( f 2 − 2 f )
3
3

Q3) a) Montrer que q est un projecteur.
b) Montrer que ker(q) ⊂ Im( f ) et que q ◦ f = 0. En déduire que ker(q) = Im( f ).
c) Montrer que f ◦ q = 0 et que ker( f ) ⊂ ker(q − id), en déduire que ker(q − id) = ker( f ). Quelle
relation peut-on en déduire entre q et p (p est défini dans la première question) ?
d) Montrer que r et s sont deux projecteurs, que r ◦ s = s ◦ r = 0, que f ◦ r = 2r et f ◦ s = −s.
e) En déduire que pour n > 1, f n = 2n r + (−1) n s. Calculer l’expression de f n (x, y, z).
Q4) Autre méthode pour calculer f n : soit P(X ) = X 3 − X 2 − 2X.
a) Déterminer le reste de la division euclidienne de X n par P(X ) pour n > 1.
b) En déduire l’expression de f n en fonction de f et f 2 , puis retrouver l’expression de f n (x, y, z).

x n+1 = 2yn − 2z n





Q5) Application 1 : soient (x n ), (yn ), (z n ) trois suites telles que ∀ n ∈ N : 
yn+1 = x n + yn − 2z n .




z
 n+1 = x n − yn
a) Montrer que (x n , yn , z n ) = f n (x 0 , y0 , z0 ).
b) En déduire les expressions de x n , yn et z n en fonction de n et de x 0 , y0 , z0 .
2
Q6) Application 2 : dans cette question K = R. On considère trois fonctions : x, y, z : R → R dérivables
sur R qui vérifient le système :
= 2y(t) − 2z(t)


x 0 (t)




 0
∀t ∈ R, 
y (t)





 z0 (t)

= x(t) + y(t) − 2z(t)
= x(t) − y(t)
avec la condition initiale x(0) = x 0 ∈ R, y(0) = y0 ∈ R et z(0) = z0 ∈ R.
On a donc ∀t ∈ R, f (x(t), y(t), z(t)) = (x 0 (t), y0 (t), z0 (t)).
a) Justifier (sans calcul) les égalités :
r (x 0 (t), y0 (t), z0 (t)) = 2r (x(t), y(t), z(t)) et s(x 0 (t), y0 (t), z0 (t)) = −s(x(t), y(t), z(t))
b) Soient a, b, c : R → R telles que r (x(t), y(t), z(t)) = (a(t), b(t), c(t)). Calculer a, b, c, vérifier
qu’elles sont dérivables et que :
r (x 0 (t), y0 (t), z0 (t)) = (a0 (t), b0 (t), c0 (t))
En déduire que r (x(t), y(t), z(t)) = e2t r (x 0 , y0 , z0 ).
c) De même, montrer que s(x(t), y(t), z(t)) = e−t s(x 0 , y0 , z0 ).
d) En déduire les expressions de x(t), y(t) et z(t).
Problème 3
Pour tout entier n ∈ N, on pose Pn (X ) = X 2
n+1
n
+ X 2 + 1.
Q1) a) Calculer P0 (X ), P1 (X ), P2 (X ).
b) Factoriser P1 (X ) et P2 (X ) dans R[X].
c) Factoriser P0 (X ), P1 (X ) et P2 (X ) dans C[X].
Q2) Démontrer que Pn+1 (X ) = Pn (X )(X 2
n+1
n
− X 2 + 1).
n
n
Q3) Soit j = e2iπ/3 et n ∈ N, résoudre dans C l’équation z 2 = j, puis l’équation z 2 = j.
n
Q4) a) Justifier l’égalité Pn (X ) = P0 (X 2 ).
2(3k+1)π
b) En déduire que les racines complexes de Pn (X ) sont les nombres : exp(i 2(3k+1)π
3·2n ) et exp(−i 3·2n )
avec k entier quelconque compris entre 0 et 2n − 1.
c) En déduire la factorisation de Pn (X ) dans C[X], puis dans R[X].
d) Calculer la somme et le produit des racines de Pn (X ).
1
.
P0
1
b) Décomposer en éléments simples dans C(X ) la fraction 2n
.
X −j
1
c) Donner la décomposition en éléments simples dans C(X ) de .
Pn
Q5) a) Décomposer en éléments simples dans C(X ) la fraction
d) En déduire la décomposition en éléments simples dans R(X ) de
3
1
.
Pn

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