close

Enter

Log in using OpenID

Article 2726 code civil du qu bec.pdf

embedDownload
2
Modèles de turbulence algébriques à 0 équation : écoulements libres
2.1
Jet plan turbulent
On considère un jet plan d’air se développant dans de l’air au repos (voir figure 1). On
note (u, v) les composantes de la vitesse selon (x, y), avec x la direction longitudinale
(l’origine x = 0 est prise à la sortie de l’injecteur) et y la direction transverse. La
largeur d de l’injecteur étant très petite devant la profondeur ∆z (normale au plan de
la figure), on peut considérer, pour des distances x < ∆z en aval, que l’écoulement est
statistiquement bidimensionnel : toutes les grandeurs statistiques sont indépendantes
de z.
Figure 1 – Développement d’un jet plan turbulent et profils de vitesse dans la partie
autosimilaire.
On rappelle l’équation de Reynolds (avec ui la composante i de la vitesse moyenne
et u0i la fluctuation associée) :
∂
∂
∂
1 ∂p
∂ui
0
0
+ uj
(ui ) = −
+
ν
− ui uj
∂t
∂xj
ρ ∂xi ∂xj
∂xj
Equations générales du jet plan
On note L l’échelle de longueur caractéristique selon x et ` celle selon y, avec ` << L.
On note U l’ordre de grandeur de la vitesse moyenne axiale u et V celle de la
vitesse moyenne latérale v. Enfin, on note urms l’ordre de grandeur des fluctuations
turbulentes, que nous supposerons isotropes (c’est-à-dire telles que u02 ≈ v 02 ≈ u0 v 0 ≈
u2rms ).
1. Exprimer l’ordre de grandeur de la vitesse latérale V en fonction de U , L
et `. Ecrire les équations de Reynolds en régime statistiquement stationnaire
1
pour les composantes u et v, et évaluer les ordres de grandeur des différents
termes (sauf la pression qui se cale toujours sur les termes les plus grands...).
Montrer que les termes visqueux sont négligeables devant les termes inertiels
et les termes turbulents si
Re` >> (L/`) et Re` >> (U/urms )2
où on a posé Re` = U `/ν.
2. Montrer que si la condition `/L << urms /U est aussi vérifiée, les équations de
Reynolds se réduisent à :
u
∂u
∂u
+v
∂x
∂y
= −
0 = −
1 ∂p ∂u0 v 0
−
ρ ∂x
∂y
1 ∂p ∂v 02
−
ρ ∂y
∂y
3. Exprimer, à partir de l’équation de Reynolds selon y, la pression moyenne p
en fonction de la pression à l’infini p0 et des fluctuations de vitesse. Montrer
(toujours avec l’hypothèse `/L << 1) que l’équation de Reynolds selon x se
réduit à :
∂ u2
∂ (u v)
∂u0 v 0
+
=−
(1)
∂x
∂y
∂y
Recherche de solution autosimilaire
On s’intéresse à la région autosimilaire du jet : à suffisamment grande distance en
aval, le jet s’élargit et sa vitesse moyenne diminue, mais le profil de vitesse garde la
même forme. On définit la vitesse centrale moyenne par U0 (x) = u(x, y = 0) et la
largeur δ(x) telle que
1
u (x, y = δ(x)) = U0 (x)
2
L’autosimilarité permet d’écrire le profil moyen sous la forme adimensionnée :
u(x, y) = U0 (x)f (ξ)
u0 v 0 (x, y)
= U0 (x)2 g(ξ)
(2)
où on a introduit la coordonnée réduite ξ = y/δ(x), avec, par construction f (1) =
1/2.
On définit le flux de quantité de mouvement selon x (par unité de profondeur
selon z) Φ comme :
Z +∞
Φ=
ρu2 dy
−∞
1. En intégrant l’équation (1) par rapport à y entre −∞ et +∞, montrer que Φ
est indépendant de x.
En écrivant la vitesse axiale u sous la forme autosimilaire (2), en déduire la
relation suivante entre déclin de la vitesse axiale et élargissement du jet :
δ dU0
1 dδ
=−
U0 dx
2 dx
2
(3)
2. A partir de l’équation de continuité pour les vitesses moyennes, montrer que
la vitesse moyenne latérale s’écrit :
Z ξ
1 dδ
v=
f (s)ds
(4)
U0 2ξf (ξ) −
2 dx
0
3. En substituant les profils autosimilaires (2) et (4) dans l’équation de Reynolds
(1), et en utilisant la relation (3), montrer que :
00
1 dδ
F 2 = g0
4 dx
où F (ξ) =
ξ.
Rξ
0
(5)
f (s)ds et les symboles ’ désignent ici les dérivées par rapport à
4. Déduire de l’équation (5) que le jet croît linéairement, c’est-à-dire que son taux
d’élargissement S = dδ/dx est constant. En déduire la loi de variation de la
vitesse moyenne axiale U0 (x) et du débit Q(x) en fonction de la distance x à
l’injecteur (on négligera la présence d’une région non autosimilaire à x petit,
c’est-à-dire que l’on supposera que la largeur du jet est δ(x) = Sx). Proposez
un mécanisme permettant d’expliquer l’augmentation du débit Q avec x.
Modèle de turbulence et solution autosimilaire
On écrit la contrainte de Reynolds τxy = −ρu0 v 0 dans le cadre du modèle de viscosité
turbulente sous la forme
∂u
τxy = ρνT
(6)
∂y
où νT est le coefficient de viscosité turbulente (on a négligé ici la contribution ∂v/∂x
de la déformation moyenne).
Cette viscosité turbulente dépend a priori de la position dans l’écoulement, mais
l’hypothèse d’autosimilarité permet de supposer qu’il ne dépend que de x. Nous supposerons en outre que le nombre de Reynolds turbulent, défini par ReT = U0 (x)δ(x)/νT (x)
est constant dans tout l’écoulement.
Il s’agit en fait du cas particuliers d’une expression non locale de la viscosité turbulente, supposée constante dans les plans transversaux à l’écoulement, et exprimée
sous la forme νT (x) = A(Umax (x) − Umin (x))δ(x). Cette modélisation est appelée
formule de Prandtl - Reichardt et fonctionne très bien pour les écoulements
turbulents « libres »(jets, couches de mélange, etc. . . ), des mesures expérimentales
permettant de caler la constante A.
0
1. Montrer, à partir de l’équation (6) que l’autosimilarité de u0 v (équation (2))
permet d’exprimer g(ξ) en fonction d’une dérivée de F (ξ) et de ReT . En déduire
que l’équation de Reynolds adimensionnée (5) peut se mettre sous la forme :
F 000 + α2 (F 2 )00 = 0
(7)
où α est une constante sans dimension que l’on exprimera en fonction de S et
ReT .
3
2. En tenant compte de la symétrie du profil de vitesse moyen, quelle est la parité
de la fonction F (ξ) ? En déduire que l’équation (7) peut s’intégrer sous la
forme :
F 0 = 1 − (αF )2
3. Vérifier que cette équation admet pour solution F (ξ) = tanh(αξ)/α. En déduire la forme du profil de vitesse suivante :
f (ξ) =
1
(8)
ch2 (αξ)
4. La figure 2 représente un profil expérimental de vitesse moyenne adimensionnée,
comparé à l’expression (8). Dans quelle région du jet l’approximation d’une
viscosité turbulente indépendante de y s’applique-t-elle ? En dehors de cette
région, comment faudrait-il que varie cette viscosité turbulente pour reproduire
les mesures expérimentales ?
5. En réécrivant la définition de l’épaisseur du jet δ pour la fonction f (ξ) ou en
utilisant la figure 2, trouver ce que vaut α.
Figure 2 – Profil de vitesse axiale moyenne dans la région autosimilaire d’un jet
plan. Points : Données de Heskestad (1965) ; – : équation (8). D’après Pope (2000).
6. Pour un jet plan, les mesures expérimentales montrent que S = 0.10 (voir Pope
2000 « turbulent flows », page 366). En déduire la valeur de ReT et la forme
complète du champ de vitesse u(x, y) pour le jet plan turbulent.
7. Pour le jet plan laminaire, on rappelle la forme du champ de vitesse si le flux
de quantité de mouvement est Φ :
1
u(x, y) =
2
3Φ2
4νρ2 x
1/3
1
ch2 y/ (24ρν 2 x2 /Φ)1/3
(9)
8. Comparer la quantité d’air entraînée par le jet laminaire et le jet turbulent
9. En supposant une transition brutale laminaire - turbulent autour de Reδ1 ≈
500, calculer la forme complète du jet, depuis la buse jusqu’à la partie turbulente.
4
2.2
Couche de mélange turbulente
Figure 3 – Image par ombroscopie d’une couche de cisaillement turbulente (en haut)
et définition de l’épaisseur de la couche de cisaillement (en bas).
Deux régions d’un fluide s’écoulant à des vitesses différentes U1 (en y > 0) et
U2 (en y < 0) entrent en contact à l’issue d’une plaque séparatrice en x = 0 (voir
figure 3). Il se forme á l’interface entre ces deux régions une couche de mélange
(encore appelée couche de cisaillement). A mesure que l’on s’éloigne en aval, le saut
de vitesse U1 − U2 tend à s’étaler dans la direction transverse.
On note (u, v) les composantes de la vitesse selon (x, y), avec x la direction
longitudinale et y la direction transverse. L’extension selon z (normale au plan de
la figure) est très grande devant les autres dimensions, de sorte que l’écoulement est
statistiquement invariant selon z et peut être considéré comme bidimensionnel. On
pose :
1
(U1 + U2 )
2
∆U = U1 − U2
Um =
vitesse moyenne
(10)
saut de vitesse
(11)
On note L l’échelle de longueur caracréristique selon x et δ celle selon y, avec
δ << L. On introduit le nombre de Reynolds Reδ = Um δ/ν, que l’on suppose
très grand (Reδ >> 1). Enfin, on suppose que l’ordre de grandeur des fluctuations
turbulentes est donné par ∆U (soit u02 ≈ v 02 ≈ u0 v 0 ≈ ∆U 2 ).
5
1. Ecrire les équations de Reynolds (R.AN.S.) en régime statistiquement stationnaire pour les composantes u et v, sans oublier l’équation de continuité.
2. Evaluer sous les équations les ordres de grandeur des différents termes (Pour
la pression, on notera Pref l’ordre de grandeur).
Remarque : pour les termes impliquant u, il faudra utiliser Um lorsque u apparaît tel quel, ou bien ∆U si il s’agit d’une dérivée spatiale de u.
3. Exprimer l’ordre de grandeur de la vitesse latérale V en fonction de ∆U , L et
δ à partir de l’équation de continuité.
4. Montrer dans les équations du moment selon x que les termes visqueux sont
négligeables devant les termes inertiels et les termes de transport turbulent si
Reδ >> L/δ et Reδ >> Um /∆U .
5. Avec quel(s) terme(s) la pression va-t-elle s’équilibrer ? En déduire que Pref =
ρUm ∆U .
6. Montrer que les équations RANS se simplifient alors en :
∂u ∂v
+
∂x ∂y
∂u
∂u
u
+v
∂x
∂y
= 0
= −
0 = −
1 ∂p ∂u0 v 0
−
ρ ∂x
∂y
1 ∂p ∂v 02
−
ρ ∂y
∂y
7. Exprimer la pression moyenne p en fonction de la pression à l’infini p(x, y =
±∞) = p0 = Cste et des fluctuations de vitesse. En déduire que l’équation
RANS selon x se réduit à :
u
∂u0 v 0
∂u
∂u
+v
=−
∂x
∂y
∂y
(12)
Approche autosimilaire (semblable)
A une distance x en aval de la plaque séparatrice, on définit l’épaisseur δ(x) de la
couche de mélange par la relation :
1
u x, y = ± δ(x) = Um ± 0.4∆U
(13)
2
Suffisamment loin en aval, les mesures expérimentales montrent que le profil de
vitesse u(x, y) est autosimilaire : son épaisseur δ(x) croît, mais le profil garde la
même forme lorsqu’il est exprimé en fonction de la coordonnée réduite η = y/δ(x).
On pose donc :
u(x, y) = Um + ∆U f (η)
(14)
Les contraintes de Reynolds sont elles aussi autosimilaires, c’est-à-dire qu’elles s’expriment sous la forme :
u0 v 0 (x, y) = ∆U 2 g(η)
(15)
6
8. En intégrant l’équation de continuité, montrer que la vitesse transverse est
donnée par :
Z η
dδ
f (ξ)dξ
(16)
ηf (η) −
v(x, y) = ∆U
dx
0
9. En substituant les profils autosimilaires de u, v et u0 v 0 dans l’équation (12),
montrer que f et g doivent vérifier :
Z
Um dδ
∆U η
η+
f (ξ)dξ f 0 = g 0
(17)
∆U dx
Um 0
On écrit la contrainte de Reynolds τxy = −ρu0 v 0 dans le cadre du modèle de viscosité
turbulente sous la forme
∂u
τxy = ρνT
(18)
∂y
où νT est la viscosité turbulente cinématique.
Cette viscosité turbulente dépend a priori de la position dans l’écoulement, mais
l’hypothèse d’autosimilarité permet de supposer qu’elle ne dépend que de x. Nous
supposerons en outre que le nombre de Reynolds turbulent, défini par ReT = ∆U δ(x)/νT (x)
est constant dans tout l’écoulement.
10. Pour quels autres écoulements turbulents cette modélisation peut être appliquée ?
11. Montrer que ce modèle de turbulence permet d’obtenir une seconde équation
reliant f et g, qui s’écrit sous la forme :
f 0 = −ReT g
12. Montrer qu’avec cette modélisation, la fonction f satisfait l’équation :
Z
Um dδ
∆U η
ReT
η+
f (ξ)dξ f 0 + f 00 = 0
∆U dx
Um 0
(19)
(20)
13. A quelle condition sur δ(x) est-il possible de trouver une solution autosimilaire
(semblable) à ce problème ?
Solution pour la couche de mélange dite « temporelle »(∆U/Um → 0)
L’équation générale (20) pour la couche de mélange fait apparaître Um /∆U
comme un paramètre du problème. Dans le cas d’un très faible saut de vitesse entre
deux jets parallèles (i.e. ∆U/Um << 1), cette équation se simplifie alors en :
ReT
Um dδ 0
ηf + f 00 = 0
∆U dx
(21)
Expérimentalement, on observe un taux d’élargissement dδ/dx constant, tel que S =
(dδ/dx)(Um /∆U ) ≈ 0.1 pour ce type de couche de mélange.
7
14. Vérifier que la fonction suivante est solution de l’équation (21) :
Z
2
2
1 η 1
√
exp(−ξ /(2σ )) dξ
f (η) =
2 0
2πσ
(22)
Vous exprimerez le paramètre σ en fonction de ReT et S pour que cela soit le
cas.
15. Sachant que la forme de la solution donnée
dans l’équation (22) correspond à la
η
1
fonction « erreur », i.e. f (η) = 2 erf √2σ , vérifier que cette solution satisfait
bien les conditions limites en y → ±∞.
16. Montrer que les valeurs imposées plus haut dans le définition de f en η = ±0.4
imposent que :
1
σ= √
2 2erf −1 (4/5)
où erf −1 est la fonction inverse de erf .
17. Etant donné que erf (0.906) ≈ 0.8, en déduire que σ = 0.39.
18. De la connaissance expérimentale du taux d’élargissement S (S ≈ 0.1), déduire
que la valeur deReT pour le modèle doit prendre la valeur ReT ≈ 66.
Comparaison à des données expérimentales et numériques
19. Commenter la figure 4.
8
Figure 4 – Profil de vitesse adimensionné pour la couche de mélange plane autosimilaire. Les symboles sont les mesures expérimentales de Bell et Metha (1990) pour
une couche de mélange avec ∆U/Um = 0.6. La ligne noire représentent des résultats
de simulation directe numérique (DNS) par Rogers et Moser (1994). La ligne en tirets
représente une fonction « erreur »erf calée pour approximer au mieux les données
expérimentales vers le centre de la couche de mélange. La figure est tirée de Pope
(2000), page 143.
9
3
Modèles de turbulence algébriques à 0 équation : couches
limites turbulentes
On considère dans cette section des écoulements turbulents sur paroi, pour lesquels
une structure « universelle »émerge, explicable au moyen d’un simple modèle algébrique à zéro équation (premier exercice). La connaissance de la forme du profil
complet, et son approximation en loi de puissance (profil « classique »en y + 1/7 ), permettent alors d’utiliser les équations intégrales de la couche limite pour en prédire
le développement (deuxième exercice). On retrouve également cette structure universelle de la couche limite turbulente dans les écoulements en conduite (troisième
exercice), pour lesquels l’application de ce modèle permet de prédire le comportement
hydrauliquement lisse du diagramme de Moody (utilisé pour calculer le coefficient
de perte de charge linéaire).
3.1
Profil universel de la couche limite turbulente pour y < 0.2δ
On considère un écoulement uniforme de vitesse U au-dessus d’une plaque plane
horizontale semi-infinie, dont le bord d’attaque est en x = 0 (figure 5). On introduit
le nombre de Reynolds par rapport au bord d’attaque, Rex = U x/ν.
Figure 5 – Visualisation par lignes de colorant d’une couche limite turbulente, et
schéma du profil de vitesse moyen et de l’épaisseur δ(x).
10
1. En raisonnant sur les temps caractéristiques d’advection horizontale et de diffusion verticale, donner la variation de l’épaisseur δ(x) de la couche limite dans
le cas laminaire. Même question dans le cas turbulent, en considérant que la
diffusion verticale de quantité de mouvement est assuré par les fluctuations
turbulentes (on prendra u0 ≈ U/10).
2. A partir des résultats précédents, en déduire l’ordre de grandeur de la contrainte
pariétale (contrainte à la paroi) dans les cas laminaire et turbulent. Estimer
la variation du coefficient de frottement Cf = τxy /(1/2)ρU 2 en fonction du
nombre de Reynolds dans chaque cas. Tracer l’allure de Cf (Rex ) en coordonnées logarithmiques, sachant que la transition laminaire-turbulent a lieu pour
Rex ≈ 105 .
Dans toute la suite, on se place dans le cas turbulent. On considère une petite région
de largeur∆x de la couche limite, suffisamment loin de l’origine (x >> ∆x). On
suppose que dans cette région l’écoulement est statistiquement stationnaire, et que
les statistiques des fluctuations de vitesse sont indépendantes de x.
3. Montrer qu’il est possible de négliger v dans cette région, et écrire les équations
de Reynolds (R.A.N.S.) selon x et y.
4. Calculer p(x, y), et montrer que ∂p/∂x est constant dans tout l’écoulement. En
déduire que la contrainte totale s’exprime sous la forme
∂p
y
∂x
où τ0 est la valeur de la contrainte à la paroi.
5. Dessiner l’allure du profil de contrainte totale τ tot en fonction de y dans le cas
d’un gradient de pression ∂p/∂x < 0 (gradient favorable). Dessiner intuitivement l’allure des contributions visqueuse et turbulente à la contrainte totale.
6. Très près de la paroi, la contrainte totale est essentiellement de nature visqueuse. Si l’on néglige la variation de τ tot avec y, en déduire la forme du profil
de vitesse u(y) dans cette région.
7. Pour calculer l’épaisseur δν de cette sous-couche visqueuse, on suppose que la
vitesse moyenne u(y = δν ) doit être de l’ordre de la vitesse de frottement u∗ ,
une échelle de vitesse définie à partir de la contrainte pariétale par τ0 = ρu∗2 .
En déduire l’épaisseur de la sous-couche visqueuse. Que vaut le nombre de
Reynolds local associé u∗ δν /ν ?
τ tot (y) = τ0 +
Loin de la paroi, on suppose au contraire que le transport de quantité de mouvement
est essentiellement convectif (viscosité négligeable). Nous allons déterminer la forme
du profil de vitesse dans la sous-couche inertielle, telle que δν << y << δ. On se
place dans la situation d’un gradient de pression ∂p/∂x négligeable.
On modélise la contrainte de Reynolds en introduisant un coefficient de viscosité
turbulente :
∂uj
∂ui
R
τij = νT
+
∂xj
∂xi
avec
νT (y) = `(y)u0 (y)
où `(y) est l’échelle caractéristique des structures turbulentes (assimilée donc à la
longueur de mélange) et u0 (y) est la vitesse caractéristique de ces structures.
11
8. En raisonnant sur les structures turbulentes les plus efficaces pour transférer
la quantité de mouvement, justifiez le choix `(y) = κy où κ est une constante
sans dimension (appelée constante de Kolmogorov). En supposant en outre que
les fluctuations u0 sont indépendantes de y et données par u∗ , montrer que le
profil de vitesse moyen peut s’écrire sous la forme :
1
u
y
= ln
+C
(23)
∗
u
κ
δν
Déterminer la valeur de C pour que ce profil se raccorde avec le profil déterminé
dans la sous-couche visqueuse en y = 10δν (question 6). Dessiner l’allure de ce
profil pour des distances à la paroi y < δν et y > δν .
9. La figure 6 représente des profils de couche limite turbulente pour différents
nombres de Reynolds. On voit que le raccord entre les sous-couches visqueuse
et inertielle a lieu près de y ≈ 10δν . Déduire de cette courbe expérimentale
les valeurs de κ et C (Sur la base de toutes les données disponibles dans la
littérature, on adopte généralement κ ≈ 0.41 et C = 5.5).
Figure 6 – Vitesse normalisée u+ = u/u∗ en fonction de la distance normalisée
y + = yu∗ /ν (Document B.D. DeGraaf, 1999).
12
3.2
Développement de couche limite turbulente sur une plaque
plane en incidence nulle
On cherche ici à déterminer la loi de croissance et le frottement induit pour une couche
limite turbulente se développant le long d’une plaque plane soumis à un écoulement
incident de vitesse Uext . On adopte pour cela une méthode intégrale dans laquelle le
profil de vitesse adopté est une approximation en loi de puissance du profil universel
introduit dans la section précédente. Pour décrire le profil sur la totalité de la couche
limite, il faut introduire une loi de vitesse déficitaire au-delà de y > 0.2δ.
loi de vitesse déficitaire et approximation en loi de puissance
Dans la partie précédente, on a démontré que le profil de vitesse dans la loi log était
constitué d’une sous-couche visqueuse (y + < 10), d’une sous-couche de transition,
puis d’une sous-couche inertielle (y + > 30) dans laquelle la vitesse moyenne adopte
un profil en loi log tiré de l’équation (23), sous la forme :
u+ =
1
ln y + + 5.0
κ
(24)
où u+ = u/u∗ , y + = yu∗ /ν et u∗ est la vitesse de frottement définie à partir du
frottement pariétal comme τ0 = ρu∗2 .
Cette loi log résulte d’un profil de longueur de mélange de la forme `m (y) = κy.
Au-delà de y > 0.2δ, où δ est l’épaisseur de la couche limite, cette croissance cesse
et on trouve généralement une valeur à peu près constante, donnée par `m = 0.085δ.
Ce profil de longueur de mélange permet d’obtenir le profil complet de vitesse dans
la région 0.2δ < y < δ, qui se met sous la forme :
u+ =
1
ln y + + 5.0 + 1.34 (1 − cos (π(y/δ))
κ
(25)
où le terme supplémentaire à droite porte le nom de vitesse déficitaire.
1. En introduisant le nombre de Reynolds basé sur l’épaisseur de la couche limite,
Reδ = Uext δ/ν et en raccordant le champ de vitesse à l’écoulement externe Uext
en y = δ, trouver l’équation permettant de déterminer u ∗ /Uext en fonction de
Reδ .
2. Tracer les profils u/Uext en fonction de y/δ pour Reδ = 100, 1000, 10000.
3. On propose d’approximer les profils précédents au moyen d’une loi de puissance
pour la vitesse sous la forme u+ = 8, 75y + 1/7 . Trouver l’équation permettant
de calculer u∗ /Uext en fonction de Reδ .
4. Tracer les profils approximés u/Uext en fonction de y/δ pour Reδ = 100, 1000,
10000.
5. Conclure sur la capacité de la « loi en y + 1/7 »à représenter correctement le
profil exacte pour les valeurs de Reδ explorées.
13
Calcul du développement de la couche limite turbulente
On rappelle que l’équation intégrale de Von Karman-Polhausen s’écrit :
dUext
d
τ0
2
= δ1 Uext
+
δ2 Uext
ρ
dx
dx
(26)
où δ1 et δ2 sont respectivement les épaisseurs de déplacement et de quantité de
mouvement, définies comme :
Z δ
Z δ
u
u
u
δ1 =
dy et δ2 =
1−
dy
(27)
Uext
0 Uext
0 Uext
6. Retrouver les résultats classique pour la couche limite laminaire, obtenus avec
un profil polynomial de la forme u(y) = ay+by 2 +cy 3 (polynome de polhausen).
Montrer que la loi de développement satisfait :
δ(x)
= 4, 64Rex−0,5
x
où Rex = Uext x/ν.
7. Utiliser l’approximation en loi de puissance pour le cas turbulent, et montrer
que la loi de développement vérifie :
δ(x)
= 0, 3703Re−0,2
x
x
8. Calculer les lois de frottement Cf pour une plaque plane de longueur L dans
les cas laminaire et turbulent. Tracer l’évolution du Cf en fonction de ReL où
ReL = Uext L/ν.
3.3
Ecoulement turbulent « hydrauliquement lisse »dans une conduite
cylindrique
On s’intéresse ici à la modélisation d’une couche limite turbulente pour une conduite
en charge de forme cylindrique de rayon R. On choisit une représentation cylindrique
(x, r, θ) où x est la coordonnée axiale coïncidant avec la direction de l’écoulement, r
la coordonnée radiale et θ la coordonnée angulaire (voir figure 7).
longueur d’établissement
On s’intéresse à la croissance de la couche limite à partir d’une entrée avec un
profil de vitesse uniforme de vitesse U0 .
1. Comment va croître la couche limite pariétale en régime laminaire ?
2. A quelle distance se produira la transition vers la turbulence ?
3. Comment se poursuivra la croissance de la couche limite ?
4. En négligeant la courbure (approximation cartésienne) et en supposant que la
croissance de la couche limite cesse lorsque son épaisseur atteint R, donnez les
équations permettant d’estimer la longueur L nécessaire au développement de
cette couche et permettant d’atteindre le régime stationnaire établi.
14
Figure 7 – Ecoulement et repérage cylindrique pour l’écoulement en conduite. La
coordonnée y est la coordonnée normale à la paroi introduite dans l’énoncé du problème
5. Donner les formules permettant de calculer L dans le cas où la couche limite
reste totalement laminaire ou dans le cas où elle est turbulente très rapidement
et se développe essentiellement dans ce régime
Rappels : Loi de croissance d’une couche limite laminaire, théorie de Blasius :
−1/2
δ(x)/x = 5Rex . Loi de croissance d’une couche limite turbulente, méthode in−1/5
tégrale : δ(x)/x = 0.37Rex . Transition laminaire - turbulence : Rex = 100000.
structure de la couche limite dans la partie établie
On s’intéresse maintenant à la partie établie stationnaire, loin de l’entrée. On
note ux la composante de la vitesse dans la direction longitudinale, ur la composante
dans la direction radiale et uθ celle dans la direction azimutale.
1. En simplifiant les équations RANS en cylindrique données en annexe pour le
problème considéré ici, montrer que la composante ux satisfait l’équation :
1 d
dux
0
0
=K
(28)
r ν
− ux ur
r dr
dr
où ν est la viscosité cinématique et K est une constante reliée au gradient de
pression le long du cylindre, K = (1/ρ)(dp/dx). Quel est le signe de K pour
un écoulement vers la droite (ux > 0) ?
2. Retrouver ce résultat en considérant un petit cylindre de contrôle de rayon r et
d’axe (0x), de face avant localisée en x et de face arrière localisée en x+dx : en
faisant le bilan des forces s’exerçant sur les surfaces, montrer que l’écoulement
satisfait l’équation :
r
dux
ν
− u0x u0r = K
(29)
dr
2
et vérifier que cette équation est bien celle obtenue en intégrant l’équation (28).
15
3. Pour la modélisation du tenseur de Reynolds, on utilise un modèle de longueur
de mélange avec le profil suivant (issu de mesures expérimentales) :
r 3 κR
lm (r) =
1−
3
R
où κ = 0.41 est la constante de Karman. Comment s’exprime alors le tenseur
de Reynolds −u0x u0r ?
4. En introduisant la coordonnée pariétale y telle que r = R − y (cf figure 7) et
en procédant à un développement limité en y/R, déterminer ce que vaut lm au
voisinage de y = 0 (càd r = R). Que pouvez-vous dire de la structure de la
couche limite turbulente proche de y = 0 ? Comment doit alors s’écrire le profil
de ux en fonction de y, au voisinage de y → 0 ?
5. En définissant et introduisant la coordonnée réduite pour la couche limite turbulente (notée y + en cours), quelle est la contribution du tenseur visqueux et
du tenseur de Reynolds dans la contrainte totale en fonction des valeurs de
y+ ?
6. En supposant que dans l’essentiel de la conduite, seul le tenseur de Reynolds
importe, et en négligeant donc le tenseur visqueux, montrer que le profil de
vitesse longitudinale moyenne ux satisfait l’équation :
r
p
r/R
dux
3 −K
=−
(30)
dr
κ 2R 1 − (r/R)3
7. Montrer que le profil de vitesse s’écrit alors :
r
−KR 1 1 + (r/R)3/2
ux (r) = Umax −
ln
2 κ 1 − (r/R)3/2
(31)
où Umax est la vitesse au centre de la conduite (en r = 0).
formule : on donne la primitive
Z
√
2
2
x
dx = th−1 (x3/2 ) =
3
1−x
3
3
1 1 + x3/2
ln
2 1 − x3/2
!
8. En retrouvant la relation liant u*, la vitesse de frottement, à K et en procédant
au développement limité pour r/R → 0, comparer le comportement de ce profil
de vitesse dans la zone centrale avec la formule empirique proposée par Darcy
en 1855 :
r 3/2
Umax − ux
= 5.08
(32)
u∗
R
9. Au voisinage de r/R → 1, que prédit l’équation (31) ? Quelle hypothèse n’est
plus valable ? Comment raccorder avec la condition de vitesse nulle en r/R =
1?
10. Au moyen de la formule approchée (32), et en assurant le raccordement avec la
loi universelle proche de la paroi lisse (cf question 4) de l’expression complète
du profil, calculer la vitesse moyenne Umoy dans la conduite, et déterminer
alors l’équation donnant le coefficient de frottement de Darcy-Weisbach f =
2 ).
8(u∗2 /Umoy
16
Figure 8 – Diagramme de Moody pour les calculs de perte de charge en conduite
circulaire
11. Comparer cette formule à la formule de Colebrook pour le régime hydrauliquement lisse, qui s’écrit :
2.51
1
√
√ = −2 log10
f
Re f
et qui permet de tracer le comportement hydrauliquement lisse dans le diagramme de Moody de la figure (8).
17
4
ANNEXE
Equations RANS en coordonnées cylindriques
∂ux
1 ∂ (rur ) 1 ∂uθ
+
+
r ∂r
r ∂θ
∂x
∂ur
∂ur
uθ ∂ur
∂ur
uθ 2
+ ur
+
+ ux
−
∂t
∂r
r ∂θ
∂x
r
= 0
1 ∂p
ρ ∂r
2
∂ ur
ur
1 ∂ur
1 ∂ 2 ur
∂ 2 ur
2 ∂uθ
+ν
+
− 2 + 2
+
− 2
∂r2
r ∂r
r
r ∂θ2
∂x2
r ∂θ
#
"
∂u02
1 ∂u0θ u0r
∂u0 u0
1 02
r
ur − u02
−
+
+ x r+
θ
∂r
r ∂θ
∂x
r
= −
∂uθ
∂uθ
∂uθ
uθ ∂uθ
uθ ur
+ ur
+
+ ux
+
∂t
∂r
r ∂θ
∂x
r
= −
∂ux
∂ux uθ ∂ux
∂ux
+ ur
+
+ ux
∂t
∂r
r ∂θ
∂x
= −
18
1 ∂p
ρr ∂θ
2
∂ uθ
1 ∂uθ
1 ∂ 2 uθ
∂ 2 uθ
2 ∂ur
uθ
+ν
+
− 2 + 2
+
+ 2
∂r2
r ∂r
r
r ∂θ2
∂x2
r ∂θ
#
"
∂u0 u0
∂u0θ u0r
1 ∂u02
2
θ
+
+ x θ + u0r u0θ
−
∂r
r ∂θ
∂x
r
1 ∂p
ρ ∂x
2
∂ ux
1 ∂ 2 ux ∂ 2 ux 1 ∂ux
+ν
+ 2
+
+
∂r2
r ∂θ2
∂x2
r ∂r
"
#
∂u0x u0r
1 0 0
1 ∂u0x u0θ
∂u02
−
+ ux ur +
+ x
∂r
r
r ∂θ
∂x
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
0
File Size
1 666 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content