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Chapitre 8 Dénombrement et probabilité.

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PCSI 1 - 2014/2015
www.ericreynaud.fr
Chapitre 8
Dénombrement et probabilité.
1
2
Points importants
Plan du cours
3
4
5
Questions de cours
Exercices types
Exercices
1
6
7
Exercices corrigés
Devoir maison
Chap 7
Dénombrement et probabilité.
Et s’il ne fallait retenir que neuf points ?
1. Savoir dénombrer un ensemble. Mis à part la méthode directe, il existe deux méthodes très
efficaces pour dénombrer un ensemble :
a) Trouver une bijection entre l’ensemble que l’on souhaite dénombrer E et un que l’on sait
dénombrer F . Alors, on a |E| = |F |
b) Casser l’ensemble que l’on souhaite dénombrer en morceaux que l’on sait dénombrer.
2. Les p-listes avec répétitions. Soit E un ensemble de cardinal n :
a) Il y a np p-listes de N.
b) il y a autant de p-listes de E que d’applications d’un ensemble F de cardinal p dans E. Ainsi :
F(F, E) = |E||F |
c) On peut en déduire que P(E) = 2n
3. Les arrangements. Soit E un ensemble de cardinal n :
n!
a) Si 0 ≤ p ≤ n , il y a Apn =
arrangements d’ordre p de E et 0 sinon.
(n − p)!
b) Apn correspond au nombre de façons de choisir p éléments parmi n et ce en tenant compte de
l’ordre.
c) Il y a Apn applications injectives d’un ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments.
En particulier, si n = p, il y a n! bijections.
4. Les combinaisons. Soit E un ensemble de cardinal n :
n!
n
p
a) Si 0 ≤ p ≤ n , il y a Cn =
=
combinaisons d’ordre p de E et 0 sinon.
p
p!(n − p)!
n
b)
correspond au nombre de façons de choisir p éléments parmi n et ce sans tenir compte
p
de l’ordre.
n+1
n
n
c)
=
+
(Propriété de Pascal).
p
p
p−1
n X
n
d)
= 2n (C’est la formule de Newton pour a = b = 1)
k
k=0
n
e) Il faut savoir reproduire le triangle de Pascal pour connaître les valeurs de
si n et p
p
petits (petits étant défini par votre courage).
1
5. Leibnitz / Newton. Soient a et b réels, n un entier naturel non nul, f et g des fonctions
dérivables n fois d’un intervalle I de R dans R, alors :
n
(a + b) =
n
X
k=0
Cnk ak bn−k
=
n
X
Cnk an−k bk
(f × g)
k=0
(n)
=
n
X
Cnk f (k) g (n−k)
k=0
=
n
X
Cnk f (n−k) g (k)
k=0
Attention à ne pas confondre ces deux propriétés. L’une est une somme, l’autre un produit, l’une
est une puissance, l’autre une dérivée. . .
6. Quelques notions sur les probabilités.
a) Savoir que pour étudier un événement aléatoire, il faut déterminer :
– un univers Ω. c’est un ensemble représentant les résultats possibles de l’expérience. Cette
année on n’étudiera uniquement les expériences où l’univers est finie.
– un ensemble d’événements : dans le cas où l’univers est fini, l’ensemble des événement est
toujours P(E).
– une probabilité : c’est une application de l’ensemble des événements (P(E)) vers [0, 1]
vérifiant quelques propriétés.
b) Dans le cas où Ω est fini (toujours cette année), pour calculer la probabilité d’un événement, il
suffit d’additionner les probabilités des événements élémentaires qui composent cet événement,
c’est-à-dire pour tout événement A on a :
X
p(A) =
p({x})
x∈A
c) Dans le cas d’une probabilité uniforme, on a pour tout événement A :
p(A) =
Nombre de cas favorables
Nombre de cas total
2
Dénombrement et probabilité.
Chap 7
Plan du cours
I. Les p-listes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1/ Les p-listes avec répétition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2/ Les p-listes sans répétition ou arrangements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II. Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1/
2/
3/
4/
Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Calcul du nombre de combinaisons.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Propriétés et triangle de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Binôme de Newton / Formule de Leibniz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
III. Méthodes générales de dénombrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1/
2/
3/
4/
Trois méthodes classiques de dénombrements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Dénombrement de P(E) de 3 manières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Dénombrement et applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Exercies de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV. Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1/
2/
3/
4/
5/
Univers.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
Événements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Probabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Expression en fonction des probabilités des événements élémentaires. . . . . . . . . 5
Le cas de la probabilité uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1
Chap 7
Dénombrement et probabilité.
Questions de cours
Apn
n
p
.
1.
Donner les formules avec les factorielles de
2.
Énoncer les formules de Newton et Leibniz. Vous en montrerez une sur les deux.
(II)
3.
Soient E un ensemble de cardinal n et p un entier naturel inférieur à n. Déterminer
le nombre de sous ensembles de E ayant exactement p éléments.
(V)
4.
Donner le cardinal P(E) en fonction de celui de E. Vous démontrerez votre résultat.
(VI)
1
et
Cnp
=
(I, II)
Dénombrement et probabilité.
Chap 7
Exercices types
Exercice 1 - Probabilité basique.
On lance deux dés à 6 faces parfaitement équilibrés.
1. Déterminer un univers convenable pour étudier ce processus aléatoire.
2. Rappeler pourquoi dans ce cas, pour définir une probabilité il suffit de donner une valeur aux
probabilités des évènements élémentaires.
3. Implicitement, quelle probabilité a-t-on sur les évènements élémentaires ?
4. Calculer la probabilité que la somme fasse 7.
5. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins un 6.
6. Calculer la probabilité que le résultat l’un des dés au moins soit pair.
Exercice 2 - Quelques calculs de sommes.
Calculer les sommes :
S4 =
n
X
k=0
Cnk
S5 =
n
X
(−1)k Cnk
S6 =
k=0
n
X
kCnk
k=0
Exercice 3 - Dénombrement et applications.
Soit E et F des ensembles finis. Donner en fonction de |E| et |F |,
1. le nombre d’applications de E dans F .
2. le nombre d’applications injectives de E dans F .
3. le nombre d’applications bijectives de E dans F .
4. En déduire le cardinal de P(E).
1
S7 =
n
X
k=0
k 2 Cnk
Chap 8
Dénombrement et probabilité.
Exercices
Si les miroirs réfléchissaient vraiment,
ils ne reflèteraient pas n’importe qui !
Vrai - Faux
Exercice 1.
Soient E et F des ensembles finis, et f une application de E dans F . Déterminer si les propositions
suivantes sont vraies ou fausses :
1. Le nombre d’injection de E dans F est Apn où n = Card(E) et p = Card(F ).
n X
n
= 2n .
2.
k
k=1
n
n
n−1
∗
3. ∀n ∈ N ,
=
+
p−1
p
p−1
4. Le nombre de bijections de E dans E est nn si n = Card(E).
n
n
.
=
5. ∀p ∈ Z, ∀n ∈ N,
n−p
p
n
où n = Card(F ) et p = Card(E).
6. Le nombre d’applications de E dans F est
p
7. Si Card(E) = Card(F ). Pour montrer que f est bijective, il suffit de montrer que f est injective.
Niveau 1
Exercice 2.
Un groupe de 10 personnes est composé de 4 hommes et 6 femmes : on choisit 5 personnes.
1. Probabilité pour qu’il n’y ait aucun homme.
2. Probabilité d’obtenir 3 hommes et 2 femmes.
1
Exercice 3.
Pour disputer un match, 10 personnes discernables se répartissent en deux équipes discernables de 5
membres chacune.
1. Nombre de répartitions possibles.
2. Nombre de répartitions possibles sachant qu’il y a deux personnes qui ne veulent pas jouer
ensembles.
3. Nombre de répartitions possibles sachant qu’il y a deux personnes qui ne veulent pas être opposées.
Exercice 4.
Une urne contient 3 boules numérotées 1, 2, 3. On effectue 5 tirages avec remise et on note le nombre
de fois où chaque boule est apparue.
1. Quel est nombre de résultats ?
2. Quel est nombre de résultats sachant que la boule 2 n’est pas sortie ?
3. Quel est nombre de résultats sachant que chaque boule est apparue au moins une fois ?
4. Reprendre les questions précédentes mais cette fois on note les couleurs des boules sortie et leur
position.
Exercice 5.
1. On permute les lettres du mot LOUCHE
a) Probabilité d’obtenir le mot CHELOU.
b) Probabilité que le mot commence par L.
2. On permute les lettres du mot BABAR
a) Probabilité d’obtenir le même mot.
b) Probabilité que les A se suivent.
Exercice 6.
Pour tout m de N, on pose fm (x) = xm . Montrer que pour tout p de N inférieur à n
(p)
fm
(x) = Apm xm−p
où Apm =
m!
.
(m − p)!
Exercice 7.
1. On permute les lettres du mot LOUCHE
a) Probabilité d’obtenir le mot CHELOU.
b) Probabilité que le mot commence par L.
2. On permute les lettres du mot BABAR
a) Probabilité d’obtenir le même mot.
b) Probabilité que les A se suivent.
2
Exercice 8.
Soient n et k des entiers naturels vérifiant 0 < k ≤ n. Calculer les sommes suivantes :
1.
S1
2.
S2
n
n
n
=
+2
+
k
k−1
k−2
n
n
n
n
n
n
n
k
=
−
+
−
+
−
+ . . . + (−1)
0
1
2
3
4
5
k
Exercice 9.
On répartit 10 œufs indiscernables dans 3 paniers discernables.
1. Probabilité d’avoir la répartition (2, 5, 3).
2. Probabilité pour que tous les œufs soient dans le même panier.
3. Probabilité pour que tous les œufs ne soient pas dans le même panier.
Exercice 10.
Déterminer la probabilité que parmi n personnes, il y en ait deux au moins qui soient nées le même
jour de l’année. Montrer que 23 personnes est le premier entier qui donne une probabilité supérieure à
50 %.
Niveau 2
Exercice 11.
Le but de l’exercice est de calculer les sommes S1 =
n
X
kCnk , S2 =
k=0
1. Considérons la fonction f (x) =
n
X
Cnk xk .
k=0
a) Donner une expression de f sans symbole somme.
b) Dériver f sous ses deux formes et en déduire S1 .
c) En dérivant la fonction x 7→ x.f 0 (x) en déduire S2 .
d) Trouver la primitive de f nulle en 0. En déduire S3
2. Autre méthode pour la première somme.
k−1
a) Montrer que kCnk = nCn−1
.
b) En déduire S1 .
3
n
X
k=0
k 2 Cnk et S3 =
n
X
k=0
1
Ck
k+1 n
Exercice 12.
1. Dans une assemblée de n personnes, combien y-a-il de façons de choisir un bureau de p personnes
et un président.
p
2. En déduire que nCn−1
= (n − p)Cnp = (p + 1)Cnp+1
Exercice 13.
Une urne contient des boules blanches indiscernables et des boules noires indiscernables. On tire
successivement n boules de l’urne en remettant chaque fois la boule tirée.
1. Quel est le nombre de résultats possibles ?
2. Parmi ces résultats combien y-en-a-t-il contenant :
a) 1 boule noire au plus ?
b) 3 boules blanches exactement ?
c) 1 boule blanche au moins ?
Exercice 14.
Un jeu comporte 32 cartes dont 8 par couleur (coeur, pique, carreau, trèfle). Une main est constituée
de 8 cartes non ordonnées.
1. Quels est le nombre de mains possibles ?
2. Combien de mains contiennent un as au moins ?
3. Combien comprennent au moins un coeur ou une dame ?
4. Combien ne contiennent que des cartes de deux couleurs au plus.
j
k
R
Exercice 15.
En calculant (1 +
x)2n
de 2 manières différentes, montrer que
n X
k=0
Cnk
2
n
= C2n
Exercice 16.
On dispose au hasard 8 tours indiscernables sur un échiquier (64 cases).
1. De combien de manières peut-on disposer ces 8 tours.
2. De combien de manières peut-on disposer ces 8 tours, pour que respectivement :
a) sur chaque ligne, il n’y ait qu’une seule tour.
b) sur chaque ligne et chaque colonne, il n’y ait qu’une seule tour.
c) sur chaque colonne, il n’y ait qu’une seule tour, mais deux par deux, les tours sont sur une
même ligne.
4
Niveau 3
Exercice 17.
1. Montrer que
(a1 + a2 + . . . + ap )n =
X
n1 +n2 +...+np =n
ni ≥0
n!
n
an1 an2 . . . ap p
n1 !n2 ! . . . np ! 1 2
2. Déterminer le nombre de termes dans le développement de (a1 + a2 + . . . + ap )n .
Exercice 18.
Une entreprise emploie 16 femmes et 19 hommes. On élit le bureau directeur du comité d’entreprise,
composé d’un président, d’un vice-président et d’un trésorier. Les postes ne sont pas cumulables.
1. Quel est le nombre de bureaux possibles ?
2. Quel est le nombre de bureau :
a) où le poste de vice-président est occupé par une femme ?
b) où le président et le trésorier sont des hommes ?
c) où le président et le vice-président ? sont de sexes différents.
3. Quel est le nombre de bureaux possibles, sachant que le président est un homme, le vice-président,
une femme et que M. Dupond refuse siéger avec Mme Dupuis ?
Exercice 19.
Soit E un ensemble fini tel que |E| = n. Calculer
X
X
|A|
|A ∩ B|
A⊂E
A⊂E, B⊂E
5
X
A⊂E, B⊂E
|A ∪ B|
Dénombrement et probabilité.
Chap 8
Quelques exercices corrigés
j
k
R
Exercice 15.
En calculant (1 +
x)2n
de 2 manières différentes, montrer que
n X
Cnk
k=0
2
n
= C2n
--------------------------------------------------------------En développant avec le binôme de Newton on trouve :
P (x) = (1 + x)
2n
=
2n
X
k k
C2n
x
k=0
On peut également développer ainsi :
n 2
P (x) = ((1 + x) ) =
n
X
Cnk xk
k=0
!
n
X
Cnk xk
k=0
!
=
n X
n
X
0
Cnk Cnk xk+k
0
k=0 k0 =0
On effectue ensuite une sommation par pacquet à p = k + k 0 constant, on obtient :
P (x) =
2n X
X
0
Cnk Cnk xk+k
0
p=0 k+k0 =p
Or deux polynômes sont égaux si leur coefficients sont égaux. Ainsi le coefficient de xn doit être
identique dans les deux expressions de P , on trouve alors :
n
C2n
=
X
k+k0 =n
0
Cnk Cnk =
n
X
k=0
1
Cnk Cnn−k =
n X
k=0
Cnk
2
Dénombrement et probabilité.
Chap 7
Devoir maison
Exercice - Dénombrement des triominos
Un triomino est un domino en forme de triangle sur lequel on note un chiffre entre 0 et 5 dans chaque
coin. Voici trois exemples de triominos :
4
2
2
3
4
3
4
T1
3
T2
2
T3
On notera par exemple que les triominos T1 et T2 sont identiques car l’un est obtenu à partir de
l’autre par une rotation mais différents du triomino T3 . Combien y a-t-il de triominos différents ?
Les numéros sur les triominos sont à présent compris entre 0 et n. Généraliser le résultat obtenu
précédemment.
Exercice - Nombre d’applications croissantes
Soient A = {1, . . . , n} et B = {1, . . . , p}. Notons respectivement C(A, B) (resp. C + (A, B)) l’ensemble
des fonctions croissantes (resp. strictement croissante) de A dans B. Pour déterminer le cardinal de
ces ensembles, considérons l’application φ définie par :
φ:
C + (A, B)
f
→
7→
En
f (A)
où En désigne l’ensemble contenant les sous ensembles de B de cardinal n.
1. Donner le cardinal de En .
2. Montrer que φ est bijective. En déduire le cardinal de C + (A, B).
3. Soit f une application croissante A dans B. Notons par g l’application définie par g(x) = f (x) +
x − 1. Montrer que g est une application à valeurs dans D = {1, . . . , p + n − 1}.
4. Montrer que g est strictement croissante.
5. Montrer que l’application ψ qui à une application f de C(A, B) associe l’application g de
C + (A, D) est bijective.
6. En déduire le cardinal de C(A, B).
1
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