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D2950

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Écoulement d’un métal liquide
en présence d’un champ magnétique
par
René MOREAU
D 2 950
12 - 1992
Professeur à l’Institut National Polytechnique de Grenoble, Laboratoire MADYLAM
Correspondant de l’Académie des Sciences
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Rappels de magnétohydrodynamique (MHD)...................................
Équation de l’induction ...............................................................................
Nombre de Reynolds magnétique .............................................................
Équations du mouvement...........................................................................
Résumé.........................................................................................................
Ondes d’Alfvén dans les métaux liquides .................................................
D 2 950 - 2
—
2
—
3
—
4
—
4
—
5
2.
2.1
2.2
2.3
Éléments de magnétohydrostatique (MHS) ......................................
Existence des équilibres MHS ....................................................................
Approximation MHS des systèmes à induction........................................
Application au contrôle électromagnétique des surfaces libres .............
—
—
—
—
6
6
7
8
3.
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Écoulements en conduites en présence
d’un champ magnétique transversal ..................................................
Écoulement de Hartmann ...........................................................................
Couche de Hartmann...................................................................................
Conduites de section uniforme ..................................................................
Conduites rectangulaires ............................................................................
Entrée et sortie de l’aimant.........................................................................
—
—
—
—
—
—
10
10
12
13
14
16
4.
4.1
4.2
4.3
Écoulements non confinés ....................................................................
Sillage lointain .............................................................................................
Jet libre dans un champ magnétique transversal ....................................
Écoulement autour d’un objet en mouvement .........................................
—
—
—
—
17
17
18
19
5.
5.1
5.2
Écoulements recirculants ......................................................................
Brassage dans les fours à induction à creuset..........................................
Brassage à l’aide d’un champ tournant .....................................................
5.2.1 Cas général..........................................................................................
5.2.2 Cas limite de basses fréquences (R ω ? 1)........................................
5.2.3 Cas limite des hautes fréquences (R ω ! 1) ......................................
5.2.4 Aperçu sur les résultats expérimentaux ...........................................
—
—
—
—
—
—
—
20
20
21
21
22
23
24
6.
6.1
6.2
6.3
6.4
Stabilité et turbulence............................................................................
Influence stabilisante d’un champ magnétique uniforme .......................
Instabilité des jets liquides parcourus par un courant électrique............
Turbulence des écoulements en conduites ...............................................
Turbulence bidimensionnelle .....................................................................
—
—
—
—
—
24
24
25
25
26
Références bibliographiques .........................................................................
—
29
es métaux liquides sont conducteurs de l’électricité, mais 60 fois moins que
le cuivre à l’état solide et 10 000 fois plus que les meilleurs électrolytes. Ils
peuvent donc être parcourus par des courants électriques élevés, que l’on peut
amener par des électrodes ou induire. Mais même sans cela, dès qu’ils s’écoulent
L
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
D 2 950 − 1
ÉCOULEMENT D’UN MÉTAL LIQUIDE EN PRÉSENCE D’UN CHAMP MAGNÉTIQUE ____________________________________________________________________
en présence d’un champ magnétique, tout comme le rotor d’un alternateur, ils
sont le siège d’un champ électromoteur et de courants de Foucault. L’écoulement
des métaux liquides en présence d’un champ magnétique s’écarte donc des lois
de la mécanique des fluides classique car la force de Laplace par unité de volume
qui s’écrit j ∧ B (avec j densité de courant en B induction magnétique)
s’ajoute aux autres et peut devenir prépondérante. Le champ magnétique devient
alors un paramètre essentiel de l’écoulement.
Le cadre théorique nécessaire à l’étude de ces phénomènes est la magnétohydrodynamique (MHD). La classe de phénomènes décrits par cette discipline
est énorme, puisque la mécanique des fluides d’une part, l’électromagnétisme
d’autre part, n’en sont que des cas particuliers. Elle constitue en fait le cadre
dans lequel le couplage de ces deux disciplines classiques peut devenir plus
important que les phénomène propres à chacune d’elles.
La MHD est loin d’être un simple jeu intellectuel, puisque dans l’univers la plus
grande partie de la matière est fluide et conductrice de l’électricité. Mais ici nous
nous limitons au cas des métaux liquides à l’échelle du laboratoire ou de
l’industrie ; nous excluons donc les phénomènes MHD à l’échelle géophysique,
bien que la Terre soit pratiquement une boule de métal liquide. On trouve des
métaux liquides en présence de champs magnétiques dans l’industrie (fours à
induction, cuves à électrolyse, etc.) depuis près d’un siècle. Plus récemment, maîtrisant mieux les lois de la MHD, on a introduit des techniques nouvelles basées
sur des phénomènes proprement MHD, comme les pompes, les débit-mètres
et les générateurs MHD. En métallurgie d’élaboration et en cristallo-génèse, on
étudie et développe en ce moment des procédés originaux basés sur la MHD.
L’importance industrielle de ces applications justifie bien cet article.
Pour mieux comprendre cet article, le lecteur peut se reporter aux articles :
— Mécanique des fluides [A 1 870], dans le traité Sciences fondamentales ;
— Électromagnétisme [D 1 020], dans ce traité.
Afin d’élargir ses connaissances, le lecteur peut aussi se reporter aux articles de ce traité :
— Gaz ionisés et plasmas [D 320] ;
— Plasmas thermiques. Production et applications [D 2 820] ;
— Mouvement d’un liquide en présence d’un champ électrique [D 2 850].
1. Rappels
de magnétohydrodynamique
(MHD)
Les équations de Maxwell sont plus souvent rencontrées sous
cette forme qu’avec l’opérateur nabla ∇ que nous utilisons
dans la suite de cet article pour simplifier les écritures. Les équations (1), (2) et (3) s’écrivent alors :
∇ ⋅B = 0
1.1 Équation de l’induction
Dans les métaux liquides, comme dans tous les matériaux assez
bons conducteurs de l’électricité pour que le temps de relaxation
de la charge électrique soit nettement plus court que le temps de
transit des ondes électromagnétiques, les équations de Maxwell se
réduisent à leur forme dans l’approximation de l’électromagnétisme. Si l’on note E le champ électrique, t le temps et µ la perméabilité [d’ailleurs égale à celle du vide (µ 0 = 4π · 10–7 H · m–1)],
elles s’écrivent :
div B = 0
(1)
rot B = µ j
(2)
∂B
rot E = – ---------∂t
(3)
∇
∧
B = µj
∇
∧
∂B
E = – ---------∂t
Par ailleurs, ces métaux vérifient la loi d’Ohm qui implique que,
pour un observateur lié à la particule fluide (qui voit j ′ et E′ ), on
ait :
j ′ = σE′
avec
σ
conductivité.
Le référentiel le mieux adapté à la description du mouvement
d’un fluide est celui du laboratoire dans lequel la particule se
déplace à la vitesse u . Compte tenu de la transformation de
Lorentz, qui conserve la densité de courant ( j ′ = j ) mais modifie
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∧
Ce nombre représente le rapport du premier au second terme du
second membre de l’équation (8).
le champ électrique ( E ′ = E + u
référentiel du laboratoire :
j = σ (E + u
B ), cette loi devient dans le
∧
(4)
B)
■ Lorsqu’il est très petit par rapport à l’unité, l’équation (8) se réduit
à sa forme dans les milieux au repos (diffusion pure). Et il est assez
simple d’évaluer la correction b à apporter à l’induction magné-
Le champ électrique E peut lui-même s’exprimer à l’aide du
potentiel électrique ϕ et du potentiel vecteur A par la relation :
∂A
E = – ∇ ϕ – ---------∂t
(5)
tique B 0 que l’on aurait si le métal liquide était au repos. Limitonsnous au cas où B 0 est uniforme et permanent. L’équation (8) de la
petite perturbation s’écrit [en tenant compte de la conservation de la
masse, équation (17)] :
qui n’est autre qu’une forme intégrée de la relation de Faraday (3).
La relation d’Ampère (2) implique :
1
∂b
--------- = ( B 0 ⋅ ∇ ) u + --------- ∇ 2 b
µσ
∂t
∇ ⋅ j = 0
∂b
Si l’écoulement est lui aussi permanent alors --------- = 0 , b /B0 est de
∂t
l’ordre de Rm , l’expression précise dépendant de la configuration
étudiée.
(6)
ce qui exprime la conservation de la charge électrique. Et, en
prenant la divergence de la loi d’Ohm (4), on en déduit :
∂A
∆ ϕ = ∇ ⋅ – ---------- + u
∂t
∧
B
(7)
∂B
--------- = ∇
∂t
magnétique fondamentale, puisque les autres grandeurs comme E
tion, qui exprime l’évolution dans le temps et l’espace de B ,
s’obtient en prenant le rotationnel de la loi d’Ohm (4) :
∂B
--------- = ∇
∂t
∧ (u ∧
1
B ) + --------- ∇ 2 B
µσ
(8)
Dans un milieu au repos ( u = 0 ), elle se réduit à l’équation de
diffusion classique, dont de nombreuses solutions sont bien
connues. Ainsi, en régime permanent, entre les pièces polaires parallèles d’un aimant parfait (µ → ∞), elle conduit tout simplement à un
champ magnétique uniforme. Dans les systèmes alternatifs monophasés de pulsation ω , on connaît bien la solution :
n
π
n
B = B 0 exp – -------- sin ω t – -------- – ----- es
δB
δB 4
avec
B0
es
n
δB
(9)
induction magnétique à la frontière du milieu
conducteur,
vecteur unitaire tangent à la frontière plane du milieu
conducteur,
coordonnée normale à la frontière plane du milieu
conducteur dirigée vers l’intérieur,
profondeur de pénétration de l’induction magnétique :
δB =
2
------------µσω
(10)
Le terme ∇ ∧ ( u ∧ B ) de l’équation (8), qui fait apparaître
l’influence du champ de vitesse sur le champ magnétique, est discuté
au paragraphe 1.2.
1.2 Nombre de Reynolds magnétique
Soit et l deux valeurs caractéristiques de la vitesse du métal
liquide et des dimensions de l’écoulement. On appelle nombre de
Reynolds magnétique la quantité sans dimension :
Rm = µσ l
(11)
■ Au contraire, lorsque le nombre Rm est beaucoup plus grand que
l’unité, c’est le dernier terme du second membre de (8) qui devient
négligeable. L’équation de l’induction se réduit, quand Rm → ∞, à :
Il est commode de considérer B comme la grandeur électro-
et j s’en déduisent simplement par (2) et (3). L’équation de l’induc-
(12)
∧ (u ∧ B
)
(13)
La solution possède alors une propriété fort remarquable :
l’induction magnétique est gelée dans la matière (à titre d’exemple,
cette propriété est la base de l’explication des taches solaires). En
pratique, cela signifie qu’il devient extrêmement difficile de faire
pénétrer le champ magnétique dans la matière, ou qu’il faudrait un
temps très long par rapport au temps de transit l/ des particules
fluides. La figure 1 met bien cet effet en évidence. On note donc
que l’on peut empêcher la pénétration du champ magnétique aussi
bien en déplaçant très vite un objet modérément conducteur, qu’en
déplaçant lentement un objet extrêmement conducteur, puisque
c’est le produit µσ l qui caractérise cet effet.
Lorsque Rm!1, il peut cependant exister des régions de faible
épaisseur (nappes ou filaments) où les dérivées secondes par rapport aux coordonnées sont très grandes (∇ 2
≈ 1 / δ B2 !1/ l 2 ) . Dans
ces régions, si :
δB
≈ lRm –1/ 2
(14)
1
le terme de diffusion --------- ∇ 2 B peut entrer en compétition avec le
µσ
terme de convection ∇ ∧ ( u ∧ B ) . On retrouve là une sorte
d’effet de peau, déjà visible sur la figure 1a avec la concentration
des lignes de flux magnétique à la surface du cylindre en mouvement, bien que Rm soit encore modéré (10 2). Cet effet est essentiel
dans les conditions astrophysiques.
Dans les métaux liquides, à l’échelle du laboratoire, on peut adopter les estimations suivantes : (µσ )–1 ≈ 1 m2 · s–1 , ≈ 10 –1 m ⋅ s –1,
l ≈ 10 m . Il en résulte que Rm ≈ 10–2 et que l’évolution du champ
magnétique est dominée par la diffusion. À l’échelle des réacteurs
nucléaires surgénérateurs refroidis au sodium liquide, comme
Superphénix en France, il apparaît que Rm peut devenir supérieur
à l’unité et que, par suite, la convection du champ magnétique peut
devenir non négligeable. À l’échelle géophysique, en considérant la
Terre comme une boule de métal liquide où la vitesse est très lente
(≈ 10–3 m · s–1), mais dont les dimensions sont énormes (≈ 107 m),
Rm atteint des valeurs de l’ordre de 10 4 . La convection devient alors
prépondérante par rapport à la diffusion et conduit à des conséquences remarquables comme l’autoentretien du champ magnétique terrestre par effet dynamo, comme dans une machine
homopolaire où µσ est très grand.
–1
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β
coefficient de dilatation volumique,
ρ0 masse volumique à T0 .
Mais le coefficient de dilatation volumique est assez faible
(≈ 2 · 10–4 K–1) pour que l’équation de continuité, qui exprime le
principe de conservation de la masse, s’écrive :
avec
∇ ⋅u = 0
(17)
La loi fondamentale de la dynamique conduit à l’équation de
Navier-Stokes :
1
1
∂u
--------- + ( u ⋅ ∇ ) u = – ----- ∇ p + ν ∇ 2 u + g + ----- j
ρ
ρ
∂t
∧B
(18)
avec
g
p
ν
où, parmi
accélération due à la pesanteur,
pression,
viscosité cinématique,
les forces extérieures, nous retenons la force de Laplace
1
par unité de masse ----- j ∧ B .
ρ
Nota : dans toute la suite de cet article, on suppose que ρ = Cte et donc la définition de
la pression est modifiée pour tenir compte de la gravité (p désigne la quantité p + ρgz , avec
z coordonnée suivant la verticale ascendante).
Cette équation introduit la viscosité cinématique ν du fluide, tellement petite dans les métaux liquides (≈ 10–7 m2 · s–1) que le
nombre de Reynolds Re = l /ν est en général très grand par rapport
à l’unité (≈ 107). Cela a pour conséquence qu’à grande échelle le frottement visqueux est négligeable. Toutefois, il existe des régions très
minces, que l’on appelle couches limites, où le terme ν ∇ 2 u devient
capable d’entrer en compétition avec les autres. Ces couches limites
ont une épaisseur δ
Figure 1 – Lignes de flux d’une induction magnétique
uniforme à l’infini distordues par la rotation d’un cylindre de rayon R
à la vitesse angulaire Il est quelquefois utile de comparer le champ électromoteur
u
∧B
, qui apparaît dans la loi d’Ohm (4), à j / σ . On obtient :
σ u ∧B
-----------------------------j
B
Bj
≈ Rm -------v-
(15)
où B v désigne l’induction magnétique vraie et Bj l’induction propre
au courant qui circule dans le métal. Lorsque B v et Bj coïncident,
comme dans les pompes à induction, cette relation (15) montre
que, si Rm?1 , on peut négliger le champ électromoteur. Par
contre, lorsque l’on applique avec un aimant une induction magnétique B v , souvent très supérieure à Bj , comme dans certaines
pompes à conduction, ce champ électromoteur est essentiel. On
verra par la suite (§ 3.5 et 6) qu’il peut jouer un rôle crucial dans
l’organisation de l’écoulement.
≈ lRe –1/ 2
[noter l’analogie avec l’équation (14)].
Lorsque la température T est une variable importante du problème, comme c’est bien souvent le cas dans les métaux fondus,
on doit encore exprimer le premier principe de la thermodynamique
pour fermer le système d’équations. Cette équations de l’énergie
s’écrit :
Φν
∂T
j2
(19)
-------- + ( u ⋅ ∇ )T = α ∆T + ------------ + -------σρ c ρ c
∂t
avec
c
capacité thermique massique,
Φν dissipation volumique par viscosité,
α diffusivité thermique (α = κ /ρc),
κ
conductivité thermique.
La dissipation Φν est en général négligeable dans les métaux
liquides. Dans de nombreux problèmes, c’est aussi le cas pour la
dissipation par effet Joule j 2/σρc . On a en effet, en notant Θ une
différence de température caractéristique :
j2
----------------σκ ∆T
ν σB l
σ B l
≈ --------------------------- = --------- ------ ------------------2
2 2
κΘ
2
cΘ α
2 2
ρν
(20)
ν
Le nombre de Prandtl ------ est petit (≈ 10–3 ), et le nombre d’Eckert
α
/ c Θ est lui aussi habituellement petit (≈ 10–2 ). Il faudrait des
valeurs spécialement élevées de l’induction magnétique pour que
σ
-------- B l soit assez grand pour
ρν
rendre l’effet Joule non négligeable par rapport à la conduction
thermique (ce nombre de Hartmann est interprété § 3.1).
le nombre de
Hartmann Ha =
1.3 Équations du mouvement
L’équation d’état des métaux liquides peut souvent se ramener
à ρ = Cte (avec ρ masse volumique). Lorsque les variations de
température T sont suffisantes pour provoquer des variations de
densité, on peut adopter la loi Boussinesq, de la forme :
ρ = ρ 0 [1 – β (T – T0 )]
D 2 950 − 4
(16)
1.4 Résumé
La plupart des situations où un métal liquide s’écoule en présence d’un champ magnétique peuvent être traitées en considérant
l’induction magnétique B (ainsi que le potentiel vecteur A ) et la
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ÉCOULEMENT D’UN MÉTAL LIQUIDE EN PRÉSENCE D’UN CHAMP MAGNÉTIQUE
masse volumique ρ comme connues et indépendantes du mouvement. En excluant de l’analyse les problèmes thermiques (convection naturelle ou forcée), le problème se ramène à la détermination
■ Les équations sont aussi vérifiées si u = – a et P ’ = 0, et elles
se ramènent alors à la forme :
des composantes de la vitesse u et des deux scalaires ϕ et p , qui
vérifient le système fondamental d’équations :
∂u
∂u
--------- = – 0 --------∂x
∂t
dont les solutions sont des ondes se propageant avec la célérité
+ 0 dans la direction Ox :
∇ ⋅u = ∇ ⋅ j = 0
1
1
∂u
--------- + ( u ⋅ ∇ ) u = – ----- ∇ p + ν ∇ 2 u + ----- j
ρ
ρ
∂t
∂A
j = σ – ∇ ϕ – ---------- + u
∂t
(29)
∧B
u = – a = f ( x – 0 t , y , z )
∧B
(30)
Si maintenant on se limite à des ondes de petite amplitude
( a, u? 0 ) , les quatre termes non linéaires ( u ⋅ ∇ ) u , ( a ⋅ ∇ ) a ,
( u ⋅ ∇ ) a et ( a ⋅ ∇ ) u peuvent être négligés. Et il est possible de
tenir compte des termes dissipatifs négligés au début de ce paragraphe (frottement visqueux ν ∇ 2 u et diffusion magnétique η ∇ 2 a ,
1
avec η = --------- diffusivité magnétique). La linéarité du système
µσ
d’équations permet alors de supposer que toute grandeur G est une
somme de modes périodiques que l’on peut écrire :
1.5 Ondes d’Alfvén
dans les métaux liquides
Considérons un fluide non visqueux, infiniment conducteur de
l’électricité, initialement au repos, en présence d’un champ magné-
G = Re { G exp j( k ⋅ x – ω t ) }
tique uniforme d’induction B 0 (soit Ox l’axe de la coordonnée
caractérisés chacun par un vecteur d’onde k , une pulsation ω
^
a priori complexe et leur amplitude G .
dans la direction de B 0 . Cet état initial peut être résumé par les
relations :
u = 0,
avec
P0
B = B0 ,
B2
1
----- p + --------- = P 0
ρ
2µ
constante.
(– j ω + ν k 2 )u = j( 0 ⋅ k ) a 
^ 
^
(– j ω + η k 2 ) a = j( 0 ⋅ k ) u 
^
^
(22)
qui permet d’exprimer l’induction magnétique comme une grandeur
ayant la dimension d’une vitesse, et superposons à l’état initial une
perturbation a telle que :
1
B2
----- p + --------- = P 0 + P ′
ρ
2µ
(23)
Cette perturbation vérifie les équations suivantes :
∇ ⋅u = ∇ ⋅a = 0
(24)
∂a
∂u
--------- + ( u ⋅ ∇ ) u = – ∇ P ′ + 0 --------- + ( a ⋅ ∇ ) a
∂x
∂t
(25)
∂u
∂a
--------- + ( u ⋅ ∇ ) a = 0 --------- + ( a ⋅ ∇ ) u
∂x
∂t
(26)
On remarque deux solutions évidentes sans qu’il soit nécessaire
de supposer petite l’amplitude de la perturbation.
■ Les équations sont vérifiées si u = a
ramènent à la forme simple :
^
(32)
^
avec a et u amplitudes de a et u .
Toute solution non identiquement nulle doit vérifier l’équation de
dispersion :
B
= --------------µρ
= 0 + a ,
(31)
Les équations du mouvement et de l’induction deviennent :
(21)
Introduisons la notation :
u ≠ 0,
^
et P ’ = 0, et elles se
∂u
∂u
--------- = 0 --------∂x
∂t
(27)
(33)
En séparant la partie réelle et la partie imaginaire de ω = α + jβ et
en notant θ l’angle ( 0 ⋅ k ) , les racines s’écrivent :

2
k4
α = ± 20 k 2 cos θ – -------- ( η – ν ) 2 

4


k2
β = – -------- ( ν + η )

2

(34)
On observe que le taux d’amplification β est systématiquement
négatif et que les deux diffusivités s’ajoutent pour amortir ces
ondes de petite amplitude. On observe aussi que, puisque la pulsation α doit être réelle, le nombre d’onde k ne peut pas être
quelconque :
cos θ
k 2 0 ------------------(35)
η–ν
Cette condition, illustrée sur la figure 2, signifie que le vecteur k
doit être situé à l’intérieur des sphères de diamètre 2 0 / η – ν . En
pratique, pour que la propagation soit observable, on doit adopter
une condition plus sévère, par exemple exiger que la durée
d’amortissement 1/β soit nettement plus grande que la période
2π/α . On peut admettre le critère :
2
dont les solutions sont des ondes se propageant avec la célérité
– 0 dans la direction Ox :
u = a = f (x + 0 t, y, z )
ω 2 + j ω k 2 ( ν + η ) + νηk 4 – ( 0 ⋅ k ) 2 = 0
(28)
2 20 cos θ
k 2 < -----------------------------ν 2 + η2
(36)
Cette condition illustrée également sur la figure 2 restreint
encore davantage le domaine de l’espace des vecteurs d’ondes
puisqu’elle impose à k de se trouver à l’intérieur des deux petites
2
- .
sphères de diamètre 0 ------------------η2 + ν2
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Figure 3 – Illustration du mécanisme de propagation
des ondes d’Alfvén en présence d’une induction
Figure 2 – Domaines où peuvent exister (I) ou se propager (II)
les ondes d’Alfvén de petite amplitude dans les fluides réels
magnétique uniforme B 0
Dans le cas des métaux liquides ( η ! ν ) , cette condition d’observabilité des ondes d’Alfvén s’écrit :
0 l
Lu = ------------ > 1
η
(37)
avec Lu nombre de Lundquist. Avec les valeurs usuelles
(ρ = 104 kg · m–3 , µ = 4 π · 10–7 H · m–1 , σ = 106 Ω–1 · m–1 ) et avec un
champ magnétique de 1 T, la vitesse d’Alfvén 0 est de l’ordre de
10 m · s–1 et il faut que l soit supérieur à 10 cm pour que les ondes
d’Alfvén soient observables. Il va de soi qu’elles peuvent interagir
avec d’autres familles d’ondes comme les ondes de surface (ondes
de gravité plutôt que rides capillaires trop courtes).
Le mécanisme physique qui permet cette propagation est illustré sur la figure 3. Supposons que, dans un fluide initialement au
repos, on déplace brusquement l’échantillon ABCD perpendiculairement au plan de la figure avec une vitesse u ( 0, u, 0 ) dans un
champ d’induction magnétique B 0 (B 0 , 0, 0) . Le champ électromoteur u
∧
B 0 (0, 0, – uB 0 ) pousse les ions positifs dans la
direction – z et un champ électrique E doit apparaître pour permettre aux lignes de courant électrique de densité j ( 0, 0, j ) de se
refermer dans le plan (Ox , Oz ) : dan la section ABCD, u
∧
B0
l’emporte sur E , par contre, à l’extérieur, c’est E qui l’emporte. Les
forces de Laplace j ∧ B 0 (0, jB 0 , 0) freinent le fluide dans la région
centrale ABCD et l’accélèrent de part et d’autre. Un peu plus tard,
deux sections fluides AA’D’D et BB’C’C sont ainsi à leur tour en
mouvement alors que la zone centrale ABCD revient au repos (sauf
si son mouvement est maintenu par une source extérieure). La répétition de proche en proche de cet effet conduit bien à une propagation
le long de O x , dans les deux directions, de l’énergie fournie
initialement à l’échantillon ABCD. Il est aussi intéressant de comparer
les lignes de flux magnétique à des cordes vibrantes soumises à la
tension de Maxwell B 2 /2 µ. Toute perturbation se propage le long
des lignes de flux comme le long de cordes vibrantes.
D 2 950 − 6
2. Éléments
de magnétohydrostatique
(MHS)
2.1 Existence des équilibres MHS
Dans un fluide au repos ( u = 0 ) en régime permanent, l’équation de l’induction (8) se réduit à l’équation de Laplace :
∇2 B = 0
(38)
et l’équation du mouvement (18) impose que :
∇p = j
∧B
1
B2
= ----- ( B ⋅ ∇ ) B – ∇ --------µ
2µ
(39)
En prenant le rotationnel de cette équation de la MHS, on obtient
la condition que doit vérifier le champ magnétique pour que cet
équilibre ( u = 0 ) existe :
∇
∧ ( B
⋅ ∇ )B = 0
(40)
En général, les solutions de (38) et (40) ne coïncident pas. Cela
signifie qu’un éventuel état initial MHS est soumis à une évolution
du champ magnétique, conforme à l’équation :
1
∂B
--------- = --------- ∇ 2 B
µσ
∂t
(41)
qui détruit l’équilibre. La durée nécessaire à cette destruction est le
temps de diffusion τ d ≈ µσ l 2 . Dans les métaux liquides à l’échelle
du laboratoire, τd est très court, de l’ordre de 10–2 s, et par
conséquent le système ne peut pas être observé à l’état MHS, sauf
dans un petit nombre de situations particulières où les deux équations (38) et (40) sont vérifiées simultanément. Ces configurations
ont été étudiées à propos des gaz ionisés (plasmas) en vue de leur
confinement électromagnétique dans les réacteurs de fusion thermonucléaire (tokamaks), mais les résultats s’appliquent aux métaux
liquides.
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L’exemple le plus simple est celui des équilibres cylindriques.
Un courant longitudinal de densité j 0, 0, j (r ) induit une induction magnétique orthoradiale
d’Ampère (2) implique :
B = 0, B (r ), 0
1 d
µ j = ----- -------- ( rB )
r dr
et la relation
(42)
Si la densité de courant est uniforme dans une colonne de
rayon R et nulle à l’extérieur, le champ magnétique est donné par
la relation :
r

si r R
B = µ j ----- ,

2
(43)

2
R
B = µ j --------- ,
si r R 

2r
et la pression, que l’on suppose uniforme et égale à pe à l’extérieur
du cylindre, varie à l’intérieur suivant la relation :
µ j 2R 2
r2
p = p e + ------------------ 1 – -------24
R
(44)
ÉCOULEMENT D’UN MÉTAL LIQUIDE EN PRÉSENCE D’UN CHAMP MAGNÉTIQUE
présence d’une frontière de révolution à courbure non nulle
comme la courbe méridienne de la figure 6, elle devient :
dA
n
n
B = – ------------- exp – -------- cos ω t – -------- δ
ds
δ
n
n
j = σω A ( s ) exp – -------- sin ω t – -------- δ
δ













n
n
A = A 0 (s) exp – -------- cos ω t – -------δB
δB
A0 ( s )
n
n
π
B s = ----------------- exp – -------- sin ω t – -------- – ----δB
δB
δB 4
0
n
B
0
B
B
B
(46)
Dans la base ( e n , e s , e θ ) , s désigne la coordonnée curviligne
le long de la courbe méridienne et n la coordonnée normale dirigée vers l’intérieur. L’indice 0 caractérise les amplitudes à la frontière (n = 0) du métal liquide. Le potentiel vecteur j e θ et la densité
de courant A e θ sont alors orthoradiaux (suivant e θ ).
La force de Laplace par unité de volume s’écrit :
Dans une expérience sur une colonne de liquides superposés,
illustrée sur la figure 4, on peut vérifier l’existence de l’équilibre
MHS, à condition que la colonne soit assez longue. Près des
extrémités (électrodes et surface libre), on observe la présence
∂A
F = – σ --------- e θ
∂t
∧ ( ∇A ∧
∂A
e θ ) = – σ --------- ∇ A
∂t
(47)
d’un mouvement dû au fait que la force de Laplace j ∧ B n’est
pas rigoureusement irrotationnelle. Mais, dans la région centrale
(éloignée des extrémités), on vérifie exactement la relation (44).
Les cuves à électrodes pour la production d’aluminium
(figure 5) représentent une situation tout à fait voisine. La surface libre, réelle entre les anodes élémentaires, virtuelle à l’intérieur de celles-ci, a la forme d’un dôme parabolique d’équation :
µj 2 R 2
r2
z = -------------------- 1 – -------2- + Cte
4 ρg
R
(45)
On remarque que l’interface entre les deux liquides superposés (figures 4 et 5) demeure plane et horizontale. En effet, la distribution de pression parabolique (44), établie dans le fluide
supérieur, doit rester inchangée au-dessous de l’interface
puisque la force de Laplace est elle-même inchangée. Aucune
dénivellation de l’interface, qui entraînerait une modification de
cette distribution de pression, n’est donc possible. Bien entendu,
dans les cuves réelles, les distributions de j et B sont plus
complexes, notamment à cause du champ magnétique des
conducteurs extérieurs, et la force j ∧ B n’est pas exactement
irrotationnelle. Les deux couches fluides sont donc en mouvement et l’interface n’est pas rigoureusement plane.
Figure 4 – Colonne de liquides conducteurs superposés
dans laquelle circule un courant électrique uniforme
(sauf au voisinage de l’anode)
2.2 Approximation MHS
des systèmes à induction
Considérons un domaine fluide conducteur de l’électricité, au
repos, situé au voisinage d’un circuit inducteur où circule un courant alternatif de fréquence assez élevée pour que l’effet de peau
soit très marqué. Plus précisément, supposons que la profondeur
de pénétration du champ magnétique δB soit beaucoup plus petite
que toute longueur caractéristique du domaine fluide (rayons de
courbure, etc.) ; la solution élémentaire (9) est alors justifiée et, en
Figure 5 – Allure schématique d’une cuve de production d’aluminium
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D 2 950 − 7
ÉCOULEMENT D’UN MÉTAL LIQUIDE EN PRÉSENCE D’UN CHAMP MAGNÉTIQUE ____________________________________________________________________
δB 1/2
Laplace sont de l’ordre de B 0 ------------, où B 0 désigne la valeur
µρ l
moyenne de Bs à la frontière (n = 0), et tendent vers zéro lorsque
2
δB → 0. Introduisons le nombre sans dimension R ω = µσω l quelquefois appelé paramètre d’écran. Aux fréquences assez élevées
pour que :
R ω !1
(53)
il apparaît donc justifié d’ignorer le mouvement et de calculer les
pressions et les surfaces libres comme si le fluide était au repos.
La distribution de pression p qui satisfait à la condition de l’équilibre MHS (39) s’écrit alors :
σω A 20
2n
p + ------------------ exp – --------4
δB
=p
(54)
c
avec pc pression uniforme qui règne au centre du domaine fluide.
La quantité :
2
σω A 2
B0
p m = -----------------0- = -------4
2µ
Figure 6 – Effet de peau et coordonnées locales (s , n ) au point P
est souvent appelée pression magnétique.
Avec les notations :
n
A* = A 0 (s ) exp – -------- ,
δB
τ = ω t – n / δB
(48)
on obtient encore :
σω
F = ---------- A* ∇ A* sin 2 τ – A* 2 ∇ τ (1 – cos 2 τ ) 2
(49)
Dans les métaux liquides, les forces d’inertie sont en général telles
(sauf à des fréquences faibles, inférieures à quelques dizaines de
herzt) qu’ils ne peuvent pas suivre les fluctuations de cette force.
On peut alors remplacer celle-ci par sa valeur moyenne :
ω
〈 F 〉 = --------2π
2π/ ω
0
σω
2n
F dt = ----------- A 20 (s ) exp – --------- e n
δB
2 δB
∧
〈 F 〉 = – σω A * ∇ A *
∧
∇τ
2.3 Application au contrôle
électromagnétique des surfaces libres
La forme de la surface libre S d’une masse de métal liquide, telle
que celle de la figure 6 , dépend donc de cette pression
magnétique (55), ainsi que de la pesanteur et de la tension superficielle γ du métal liquide. Si patm désigne la pression atmosphérique
et K la courbure locale de la surface libre à l’altitude z au-dessus
du point considéré, la pression vraie en ce point est la somme
2
B0
p atm + ρ gz + γ K + -------- . L’équation de la surface libre s’en déduit
2µ
immédiatement :
2
(50)
Celle-ci est dirigée suivant la normale e n mais son module varie
le long de la surface frontière. Elle n’est pas irrotationnelle
(c’est-à-dire réductible à une pression) puisque :
∇
(55)
(51)
sauf lorsque ∇A* et ∇τ sont colinéaires, c’est-à-dire loin des
extrémités, dans une région cylindrique. On peut remarquer que :
B0
ρ gz + γ K + -------- = Cte sur S
2µ
(56)
La résolution de cette équation n’est cependant pas simple
puisque B0 (S ) dépend de la forme de la surface libre. Un théorème
variationnel facilite le calcul. On montre que la somme Eg + Eγ – Em ,
où :
Eg =
D
ρ gz dV ,
Eγ = γ S ,
Em =
^
D
B2
--------- dV
2µ
(57)
(52)
est minimale lorsque l’équation (56) est vérifiée. Les trois quantités
ci-dessus désignent respectivement l’énergie potentielle du métal
liquide dans le champ de pesanteur, l’énergie de la surface libre d’aire
En toute rigueur, l’équilibre MHS n’existe donc que dans les systèmes cylindriques. Nous verrons par la suite [relation (133)] que
les vitesses engendrées par cette partie rotationnelle de la force de
S et l’énergie magnétique du domaine D qui est le complément
de D , domaine occupé par le métal liquide. Ce théorème ouvre des
perspectives de résolution numérique tout à fait rapides et précises.
∇∧ 〈F 〉
≈
dA 0 1
〈 F 〉 ------------- -------ds A 0
^
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ÉCOULEMENT D’UN MÉTAL LIQUIDE EN PRÉSENCE D’UN CHAMP MAGNÉTIQUE
Exemples
■ La figure 7 montre deux exemples de surfaces libres d’acier liquide
chauffé par induction dans un creuset d’acier (§ 5.1), calculées à
l’aide de cette approximation MHS et comparées à celles réellement
observées. L’accord, excellent dans le cas où δB = 0,133R i (figure 7b ),
est déjà acceptable dans le cas où δB = 0,385R i (figure 7a ) (R i désigne
le rayon intérieur du creuset).
■ L’une des applications les plus connues est sans doute le calcul de
la forme d’une masse de métal fondu en lévitation, illustrée par la
figure 8. L’inducteur exerce une pression magnétique supérieure dans
la partie basse en raison de sa forme conique, mais celle-ci s’annule de
toute façon au point le plus bas S où B0 = 0 par symétrie. Au voisinage
de ce point, les particules fluides sont donc toutes portées contre la
pesanteur uniquement par la tension superficielle. En écrivant l’égalité
entre le poids de la colonne liquide de hauteur h = NS située le long de
l’axe et cette tension capillaire, on obtient :
γK
h = ---------ρg
(58)
1
qui permet d’estimer, puisque K est de l’ordre de ----- , la masse susceph
tible d’être ainsi lévitée (h est au plus de l’ordre de quelques centimètres pour l’aluminium, quelques millimètres pour le plomb).
■ Les applications pratiques les plus prometteuses de cette possibilité
d’exercer une pression magnétique sur un métal liquide semblent en
réalité situées hors des cas où il faut vaincre la pesanteur. Le contrôle
électromagnétique des jets métalliques en est un exemple particulièrement intéressant. Le fluide s’écoule verticalement à une vitesse u
mais, dans le plans horizontal, la distribution de pression obéit à la loi
de la MHS. On a ainsi pu contrôler la forme de la section droite d’un jet
métallique en l’aplatissant (figure 9). La figure 10 illustre le cas où l’on
n’utilise la pression magnétique que pour vaincre en partie la pesanteur,
de façon à réaliser la striction d’un jet métallique liquide. Le coefficient
de contraction, rapport du diamètre contracté d 2 au diamètre initial d 1 ,
peut être évalué à l’aide de la relation :
d2
--------- =
d1
2
1 – -----------------
µρ u
B0
Figure 7 – Surfaces libres d’acier fondu
par induction dans un creuset
1/4
(59)
2
lorsque la fréquence est très élevée. Lorsque la profondeur de pénétration δB du champ magnétique est une fraction non négligeable du dia2
mètre d , la pression magnétique est seulement Cω B 0 /2µ , où le
coefficient Cω est défini par la relation :
1 – exp (– R ω )
C ω = 1 – --------------------------------------------------------Rω
(60)
Figure 8 – Section droite d’une masse métallique
initialement sphérique (de rayon R ) fondue
et lévitée dans un inducteur à 4 spires
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D 2 950 − 9
ÉCOULEMENT D’UN MÉTAL LIQUIDE EN PRÉSENCE D’UN CHAMP MAGNÉTIQUE ____________________________________________________________________
3.1 Écoulement de Hartmann
Limitons d’abord notre attention au cas des conduites très longues
en régime établi (∂ / ∂t = ∂ / ∂x = 0) situées dans l’entrefer d’un aimant
(figure 11a ). Le fluide s’écoule avec la vitesse u ( u, 0, 0 ) dans un
champ magnétique uniforme d’induction B 0 (0, B 0 , 0). Le champ
électromoteur u ∧ B = (0, 0, uB y ) pousse les ions positifs dans
la direction Oz et, pour que les lignes de courant électrique se
referment, un champ électrique E = – ∇ ϕ apparaît. Le potentiel ϕ
est maximal en M et minimal en M’ , et la différence ϕ (M) – ϕ (M’)
est proportionnelle au débit. Ce champ électrique permet le retour
des lignes de courant électrique soit dans la paroi, soit dans la couche
limite, au prorata des conductances de ces deux régions. Ce circuit
électrique forme deux spires de sens opposés qui induisent une
induction B x = b , mais ne modifient pas l’induction transversale
By = B0 .
En identifiant les expressions de jy et jz déduites de la relation
d’Ampère (2) et de la loi d’Ohm (4) :







1 ∂b
∂ϕ
j y = ----- --------- = – σ -------∂y
µ ∂z
∂ϕ
1 ∂b
j z = – ----- --------- = σ – -------- + uB 0
µ ∂y
∂z
Figure 9 – Aplatissement d’un jet (débit 25 cm3 /s)
initialement circulaire (diamètre d = 5 mm)
par une induction magnétique à haute fréquence (380 kHz)
(61)
et en tenant compte de la relation (6), on obtient les relations qui
lient b et ϕ à u :
∂u
∆b + µσ B 0 --------- = 0
(62)
∂y
∂u
∆ ϕ – B 0 --------- = 0
∂z
(63)
La troisième équation, qui ferme le système, est l’équation du
mouvement, qui s’écrit :
B 0 ∂b
Gp
∆u + ------------ --------- = – ------ν
ρνµ ∂y
(64)
∂p
en notant --------- = – ρ Gp la gradient de pression moteur appliqué de
∂x
l’extérieur.
Les conditions aux limites, qui doivent être associées à ces équations (62) à (64) pour déterminer complètement la solution,
expriment :
— que la vitesse u s’annule sur le contour intérieur Ci de la
paroi ;
— que la composante b du champ magnétique s’annule sur le
contour extérieur Ce de la paroi ;
— que la composante du champ électrique normale à la paroi
Figure 10 – Contraction d’un jet de mercure
à l’aide d’une induction magnétique alternative
3. Écoulements en conduites
en présence d’un champ
magnétique transversal
Dans ce paragraphe, nous utilisons les coordonnées
adimensionnelles :
1
X, Y, Z = ----- (x, y, z)
avec
demi-largeur de la conduite.
D 2 950 − 10
( e n ⋅ ∇ ϕ ) est nulle sur Ce et continue sur Ci , et que ϕ est aussi
continu sur Ci .
La solution de ce problème est élémentaire lorsque la conduite
est un rectangle de demi-longueur dans la direction Oz
(figure 11b ). Loin des bords Z = ± Γ , les distributions de u , b et ϕ
sont indépendantes de z , les équations (62), (63) et (64) se réduisent à des équations différentielles ordinaires et leur solution
s’écrit :
u
ch ( HaY )
------- = 1 – ---------------------------V
ch Ha
1 sh (HaY )
E
b
------------------ = --------- ----------------------------- – 1 + ------------- Y
Ha
ch Ha
B0 V
B 0 Rm
jz
E
ch ( HaY )
---------------- = ------------- + 1 – ---------------------------σ B0 V
B0 V
ch Ha
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










(65)
___________________________________________________________________
avec :
Rm = µσ V ,
Ha =
σ
-------- B 0 ρν
et
ρ Gp
E
V = ------------ – -------2
σ B 0 B0
(66)
On retrouve le rôle attendu du nombre de Reynolds magnétique
et un nombre nouveau apparaît, le nombre de Hartmann Ha , dont
2 2
ÉCOULEMENT D’UN MÉTAL LIQUIDE EN PRÉSENCE D’UN CHAMP MAGNÉTIQUE
La figure 12 met en évidence le rôle crucial de ce nombre de
Hartmann. Lorsqu’il est modéré (Ha 1 ) , le profil de vitesse est
encore proche de la parabole de Poiseuille. Mais, lorsqu’il devient
très grand (Ha!1) , ce profil est tout à fait plat, sauf dans une mince
couche limite située le long des parois perpendiculaires à B 0 , dont
l’épaisseur est indépendante de la largeur de la conduite :
le carré σ B 0 / ρν est une mesure du rapport des forces électro-
1
δ⊥ = -------B0
magnétiques aux forces de viscosité.
ρν
-------σ
(67)
où est concentrée toute la variation de vitesse. Les paramètres
globaux de cet écoulement sont aussi fortement dépendants du
nombre de Hartmann, notamment :
— la vitesse moyenne :
1
u = ----
0
th Ha
u dy = V 1 – ---------------Ha
— la densité de courant moyenne :
1
j = ----
0
j z dy = σ E + σ B 0 u
— le coefficient de frottement :
2 ν ∂u
- --------C f = ----------2
∂y
u
1
2Ha 2
= ---------------- ---------------------------Re
Ha
---------------- – 1
th Ha
— le coefficient de perte de charge :
B0 j 2G p = C f + 2 --------------λ = ----------------2
ρu 2
u
Tous ces paramètres, ainsi que E et V , liés par une des
relations (66), dépendent également de la conductance du circuit
extérieur, que celui-ci se limite aux parois ou bien qu’il existe effectivement un circuit électrique extérieur lié au domaine fluide par des
électrodes placées aux bouts Z = ± Γ . Deux cas particuliers simples
se dégagent.
Figure 11 – Écoulement en conduite
en présence d’une induction magnétique transversale uniforme
Figure 12 – Profils de vitesse de l’écoulement de Hartmann
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D 2 950 − 11
ÉCOULEMENT D’UN MÉTAL LIQUIDE EN PRÉSENCE D’UN CHAMP MAGNÉTIQUE ____________________________________________________________________
Dans une conduite à parois isolantes, sans circuit extérieur, on a :
ρ Gp
Ha
E = ------------- 1 – ---------------- ,
σ B0
th Ha
j = 0,
ρ G p Ha
V = ------------2- ---------------σ B 0 th Ha
E = 0,
ρ Gp
V = -----------2
σB 0
et quand Ha ! 1 , j = ρ Gp /B0 .
Dans le cas le plus général, on doit introduire le rapport C des
conductances respectives des parois (épaisseur e , conductivité σ p)
et du fluide (largeur 2 , conductivité σ ) :
σp e
C = -----------σ
2
2
σB 0
d2 u σ B 0
-----------2- – ------------- u = – ------------- u 0
ρν
ρν
dy
Dans une conduite à parois parfaitement conductrices, on a :
ρ Gp
th Ha
j = ------------- 1 – ---------------- ,
B0
Ha
la vitesse loin de la paroi a priori inconnue. L’équation du mouvement
(64) s’écrit :
(72)
La solution qui s’annule à la paroi et qui tend asymptotiquement
vers u 0 est :
u = u 0 [1 – exp (– HaY )]
(73)
Elle montre bien que, quelle que soit la valeur de u 0 , la variation
de vitesse est localisée dans la couche d’épaisseur δ ⊥ donnée par
l’équation (67).
La densité de courant s’en déduit à partir de la loi d’Ohm (4) :
jz = σ (E + B 0 u) = σE + σB 0 u 0 [1 – exp(– HaY )]
(74)
(69)
et jz / σB 0
sont donc identiques à une
Si la couche de Hartmann n’était pas présente, le densité de courant serait uniforme jusqu’à la paroi et
égale à :
ρ Gp
(75)
j 0 = σ E + σ B 0 u 0 = -----------B0
Quand I = 0, l’expression globale de l’équilibre des forces appliquées à une tranche fluide se ramène à :
En réalité, la présence de la couche de Hartmann impose de
superposer à ce courant uniforme un courant complémentaire
confiné dans cette couche :
(68)
ainsi que le courant électrique par unité de longueur I forcé de
l’extérieur. La condition de fermeture du circuit s’écrit :
I
σ E(1 + C ) + σ B 0 u = ----2
Ha 2
th Ha
C
λ = 2 ------------- ------------------------------ + --------------Re Ha – th Ha 1 + C
(70)
puissance mécanique fournie au fluide est en effet convertie en puissance électrique dissipée elle-même dans le circuit. Si I < 0, le système fonctionne comme une pompe et le débit est supérieur à ce
qu’il serait à courant nul ; la puissance électrique provient alors d’un
générateur placé sur le circuit extérieur. Enfin, si I > 2 ρ G p /B 0 , les
forces électromagnétiques s’opposent au gradient de pression
moteur et le système est un frein électromagnétique. Si
I > 2 ρ G p ( 1 + C )/B 0 , la direction de l’écoulement peut être inversée.
u0
∞
(j 0 – j z ) dy = σ B 0 u 0 δ ⊥ = u 0
σρν
(76)
Cette propriété très caractéristique distingue nettement cette
couche de Hartmann de la plupart des couches limites en mécanique
des fluides, qui s’adaptent à l’écoulement voisin sans réagir sur lui,
puisque la vitesse au loin est directement proportionnelle au courant
qui transite dans la couche.
Il est remarquable que les propriétés de cette couche, justifiées
ci-avant dans le cas particulier des écoulements parallèles, se généralisent à des écoulements lointains tout à fait complexes. Deux
conditions sont cependant nécessaires : il faut que les échelles caractéristiques de vitesse u 0 et de longueur l de l’écoulement lointain
vérifient :
u 0l
Re = ------------ !1 ,
ν
2
σB 0l
N = ----------------!1
ρ u0
(77)
Alors, les forces de viscosité et les forces d’inertie sont négligeables dans cet écoulement lointain dominé par l’équilibre entre
forces de pression et forces électromagnétiques. On note en effet
que le paramètre d’interaction N n’est autre qu’une mesure du rapport entre les forces électromagnétiques et les forces d’inertie.
Ces propriétés générales des couches de Hartmann peuvent être
résumées comme suit [1].
3.2 Couche de Hartmann
■ Le potentiel électrique au loin ϕ 0 et la vitesse au loin u 0 vérifient
la relation :
Le fait que, si Ha!1, les variations de vitesse et de densité de
courant soient concentrées dans une couche mince située le long
de la paroi est un résultat très général et les propriétés de cette
couche de Hartmann méritent d’être soulignées. Supposons d’abord
que la paroi soit plane et perpendiculaire à l’induction magnétique
B 0 appliquée. Plaçons l’origine des y à la paroi et notons :
D 2 950 − 12
0
On note les deux formes asymptotiques de cette loi lorsque
Ha → ∞ : si C = 0, λ → 2Ha/Re , alors que, si C → ∞ , λ → 2Ha 2 /Re .
Autrement dit, à Gp et B 0 donnés, la vitesse est Ha fois plus faible
en présence de parois très conductrices qu’en présence de parois
isolantes ; on parle de blocage électromagnétique du fluide
lorsque ces parois sont très conductrices et de freinage électromagnétique lorsqu’elles sont isolantes.
Quand I ≠ 0, le fonctionnement du système peut être interprété
en termes de conversion d’énergie. Le système est un générateur
de courant électrique continu si 0 < I < 2 ρ G p /B 0 ; une part de la
ρ Gp
E
u 0 = ------------ – -------2
σ B 0 B0
Les deux profils u/u 0
translation près E/B 0 u 0 .
(71)
∂2 ϕ0
∂2 u 0
------------- = ---------------- = 0
∂y 2
∂y 2
(78)
Ce résultat peut être interprété comme une conséquence des
ondes d’Alfvén qui, en régime permanent établi, ont tout le temps
nécessaire pour établir une forte corrélation entre les plans perpendiculaire à B 0 . Si les conditions aux parois imposent des solutions
paires, ces équations (78) conduisent simplement à des structures
colonnaires comme celle observée par Lehnert (figure 13) [2].
■ Le potentiel électrique ne peut pas varier de façon appréciable à
travers la couche de Hartmann : ϕ = ϕ 0 .
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ÉCOULEMENT D’UN MÉTAL LIQUIDE EN PRÉSENCE D’UN CHAMP MAGNÉTIQUE
■ Enfin, dans le cas des écoulements tourbillonnaires, si la paroi est
isolante, dans l’écoulement lointain les projections de la densité de
courant et du vecteur tourbillon ( ∇ ∧ u 0 ) dans la direction y du
champ magnétique sont proportionnelles :
0
j y = σδ ⊥ B 0 ⋅ ( ∇
∧
u0 )
(81)
3.3 Conduites de section uniforme
Considérons la conduite de la figure 11a dont la section droite
est définie par le contour Ci d’équations :
Y = Y1 ( Z )
si
Y<0
et
Y = Y2 ( Z )
si
Y>0
(82)
et utilisons des grandeurs adimensionnelles :
uν
-,
U = ---------------Gp 2
σρ
--------ν
b
= -------------------µ Gp 2
(83)
définies à partir de la demi-largeur de la conduite, du gradient de
pression Gp et des propriétés physiques µ , σ , ρ , ν . Les équations
de l’induction (62) et du mouvement (64) s’écrivent :
∂U
∆ + Ha ---------- = 0
∂Y
∂
∆U + Ha ---------- = – 1
∂Y





(84)
Les conditions aux limites sur la vitesse se réduisent à U = 0 sur
Ci . Pour exprimer les conditions aux limites électriques, limitonsnous au cas d’une paroi assez mince (épaisseur e? , conductivité
σp) pour que l’on puisse admettre que la densité de courant y est
tangente au contour, et située dans un milieu extérieur isolant
( = 0 sur le contour extérieur Ce ). On a alors, en tout point de Ci :
∂
= C ---------- ,
∂n
V+ = U + ,
■ Les projections des vecteurs vitesse et densité de courant sur un
plan Y = Cte (perpendiculaire à B 0 ) varient exponentiellement à
travers la couche de Hartmann suivant les lois :
0
u ⊥ = u ⊥ 1 – exp (– HaY ) ∧ B 0 ) exp (– HaY )





(79)
■ De façon analogue à (76), la valeur locale du courant électrique
qui transite dans la couche de Hartmann est proportionnelle à la
0
vitesse au loin u H :
∞
0
0
(85)
avec n défini par l’équation (89).
Limitons-nous aussi au cas très fréquent avec les métaux
liquides où Ha!1 . Il est commode d’introduire les variables :
Figure 13 – Expérience de Lehnert
j ⊥ = j 0⊥ – σ ( u 0⊥
σp e
C = -----------σ
0
( j H – j H ) dy = σδ ⊥ ( u H
∧ B0 )
(80)
V– = U – (86)
qui vérifient les équations :
∂ Vn
∆V n n Ha -------------- = – 1
∂Y
(87)
Nota : cette forme d’équation, utilisée également par la suite, permet de rendre l’écriture plus concise et signifie :







∂V +
∆V + + Ha ----------= –1
∂Y
∂V
∆ V – – Ha ----------–- = – 1
∂Y
Si Ha!1 , mis à part une couche de Hartmann près des parois
∂V n ∂U
∂
(où -------------- , ---------- et ---------- sont tous de l’ordre de Ha), l’équation se
∂Y
∂Y
∂Y
réduit à :
∂V n
1
(88)
------------- = --------Ha
∂Y
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D 2 950 − 13
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Et, dans la couche de Hartmann, le laplacien se réduit à la
∂2
dérivée ----------où n représente la coordonnée normale à la conduite
∂n 2
(figure 11 a ), définie en fonction de Y , de Y1 (ou Y2) et de θ :
n = (Y2 – Y ) cos θ
ou
n = (Y – Y1) cos θ
(89)
Si H = Ha cos θ ! 1 , l’équation (87) peut être approchée par :
∂ 2 Vn
∂ Vn
---------------N H -------------- = – 1
∂n
∂n 2
ou
∂ 2 Vn
∂ Vn
---------------n H -------------- = – 1
∂n
∂n 2
(90)
suivant le côté considéré (Y2 ou Y1). La solution prend l’une des
deux formes suivantes :
n
Vn (n ) = n ------ + M n 1 – exp ( n Hn ) + Vn (0)
H





n
Vn (n ) = N ------ + N n 1 – exp ( N Hn ) + Vn (0)
H
Y – Y1 ( Z )
0
V – = V – (0) + --------------------------Ha
(92)
Y1 ( Z ) + Y2 ( Z )
1
–Y
0 = --------- ----------------------------------------Ha
2







(93)
On obtient ainsi un résultat remarquable : la distribution de
vitesse dans la région centrale est invariante dans la direction Y du
champ magnétique appliqué, ce qui est conforme à la propriété
générale (78), et elle varie dans la direction Z comme la largeur de
la conduite Y 2 (Z ) – Y 1 (Z ) .
■ Lorsque C a une valeur finie, on ne peut achever la détermination
de la vitesse qu’en écrivant une condition de fermeture du circuit
électrique, de façon analogue à l’équation (69), de chaque côté de la
conduite, pour déterminer V + (0) et V – (0).
■ Mais le cas particulier C → ∞ échappe à cette analyse. Il se résout
toutefois de façon élémentaire puisque le potentiel électrique,
constant sur la paroi, ne peut pas non plus varier à travers la couche
de Hartmann. Le potentiel électrique doit donc être uniforme dans la
région centrale. En identifiant les deux expressions de j z (61), on
obtient :
1
(94)
U 0 = ----------Ha 2
et l’on retrouve ce blocage électromagnétique déjà mis en évidence
dans la géométrie élémentaire de l’écoulement de Hartmann (§ 4.1).
De la distribution de vitesse trouvée on peut aisément déduire le
débit ou la vitesse adimensionnelle moyenne U . Ainsi, dans le cas
d’une conduite circulaire isolante, la relation (93) implique :
1
U 0 = --------- (1 – Z 2 ) 1/2
Ha
D 2 950 − 14
Ce problème (figure 11b ) se distingue de celui traité au paragraphe précédent par la présence d’une région assez étendue le long
des parois parallèles au champ magnétique d’équations Z = ± Γ où
ni les expressions (92), ni les expressions (93) ne sont justifiées. Dans
ce paragraphe, nous devons donc examiner ces couches limites
parallèles au champ magnétique. Le laplacien de l’équation (87) peut
être réduit à la dérivée ∂ 2 /∂Z 2 , qui devient beaucoup plus grande
que ∂ 2 / ∂ Y 2 (a priori , de l’ordre de l’unité). Alors l’équation (87)
devient :
∂ 2 Vn
∂V n
---------------- n Ha ------------- = –1
(97)
∂Y
∂Z 2
Elle impose que ∂/∂Z soit de l’ordre de Ha 1/2 , c’est-à-dire qu’il
■ Supposons d’abord la paroi isolante [C = 0 et par suite,
V + (0) = V – (0) = 0]. On en déduit les distributions élémentaires :
Y2 ( Z ) – Y1 ( Z )
U 0 = ---------------------------------------2Ha
(96)
3.4 Conduites rectangulaires
Pour que ces fonctions puissent tendre asymptotiquement vers
des valeurs finies dans la région centrale, il faut que M + = N – = 0,
c’est-à-dire que, dans la distribution de V + , il n’y ait pas de couche
de Hartmann du côté Y2 (Z ) et de même pour V – (Z ) du côté Y1 (Z ).
Finalement, il faut donc que, au loin :







1
8
U = ----------------- ------------------------3π
3π Ha
1 + ------------2Ha
(91)
où M + , M – , N + , N – , V + (0) et V – (0) sont les constantes d’intégration.
Y2 ( Z ) – Y
0
V + = V + (0) + --------------------------Ha
8
et conduit, après une intégration élémentaire, à U = ----------------- . Cette
3π Ha
valeur peut être améliorée en cherchant le terme d’ordre supérieur
qui provient, d’une part, de la réduction de vitesse dans la couche
de Hartmann et, d’autre part, de la correction de la distribution
U 0 (Z ) (95) due à la viscosité dans un développement d’ordre supé1
rieur suivant les puissances de ---------. On montre que [3] :
Ha
(95)
existe le long des parois parallèles au champ magnétique B 0 une
couche limite d’épaisseur adimensionnelle δ // de l’ordre de Ha –1/2
beaucoup plus épaisse que la couche de Hartmann.
Lorsque les parois sont toutes isolantes, l’équation (97) admet
une solution autosimilaire, de la forme :
1–Y
V + = --------------- + V 0 (Y ) F ( ζ )
Ha
(98)
avec ζ = Z/ δ (Y ), F et δ fonctions, V0 (Y ) coefficient, et origine des Z
prise à la paroi, dont l’interprétation est tout à fait intéressante. On
passe de V+ à V– en changeant Y en – Y, à U en prenant la partie
paire en Y et à en prenant la partie impaire. La quantité δ (Y )
peut avoir l’une des deux expressions :
2
--------- (1 n Y )
Ha
δ n (Y ) =
(99)
Elle mesure alors l’épaisseur adimensionnelle δ // d’une couche
limite le long des parois parallèles à B 0 où les ondes d’Alfvén propagent U et de l’un des coins Y = ± 1 vers l’autre, avec une diffusion transversale proportionnelle à
ν
-------µσ 1/2
. La couche limite le
long de chacune des parois parallèles à B 0 est ainsi une superposition de deux solutions autosimilaires (98). Le profil de vitesse,
illustré par la figure 14, se déduit de l’expression :
ζ
2
F ( ζ ) = (1 + ζ 2 ) 1 – erf ----------- – ζ ----- exp (– ζ 2 / 2)
π
2
2
Nota : rappelons que erf (x ) = ----------π
(100)
x
exp (– t 2 ) d t .
0
Le cas des conduites à parois parallèles très conductrices et à
parois perpendiculaires isolantes, à coup sûr l’un des plus intéressants du point de vue pratique puisque c’est la configuration des
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Figure 14 – Profils de vitesse dans une section (Y = 0) des couches
situées le long d’une paroi parallèle à l’induction magnétique B 0 ,
lorsque les parois perpendiculaires à B 0 sont isolantes [4]
pompes à conduction et des générateurs d’électricité, est plus
difficile à analyser. En effet, pour que la paroi parallèle à B 0 soit à
potentiel électrique uniforme, chaque élément de longueur dY de
celle-ci se comporte lui aussi comme un émetteur d’ondes d’Alfvén.
La solution [4] a donc la forme d’une somme d’une infinité de solutions élémentaires qui s’ajoutent aux ondes émises par les deux
coins. Malgré la complexité mathématique de la solution, le profil
de vitesse demeure tout à fait régulier, comme le montre la figure 14.
Les figures 15 et 16 illustrent deux situations plus curieuses où
les parois perpendiculaires à B 0 sont supposées parfaitement
conductrices, alors que les parois parallèles peuvent être isolantes
(figure 15) ou bien aussi parfaitement conductrices (figure 16). Dans
la région centrale, le fluide est en état de blocage électromagnétique
puisque les parois perpendiculaires court-circuitent les couches de
Hartmann. Mais, si les parois parallèles sont isolantes, la
composante jz s’effondre devant la composante jy dans leur voisinage. Alors la force de résistance à l’avancement du fluide (– jz B0)
s’effondre elle aussi et, localement, on peut retrouver une vitesse
de l’ordre de Ha –1 . Cette vitesse élevée (Ha fois plus grande que
dans la région centrale) représente un vrai jet rasant la paroi. Ce
phénomène a été observé (figure 17) expérimentalement, mais à un
niveau plus faible que celui prédit par la théorie de Hunt [5] en raison
du niveau de turbulence assez élevé (survitesse de 10 %) entretenu
dans ces couches très cisaillées. Le cas où la paroi parallèle est elle
aussi parfaitement conductrice (figure 16) est un peu plus banal. La
survitesse prédite est de l’ordre de 20 % et le phénomène majeur
demeure le blocage électromagnétique du fluide.
Ces couches limites parallèles au champ magnétique appliqué,
que nous venons d’étudier, peuvent aussi être rencontrées ailleurs
qu’au voisinage d’une paroi, comme dans l’expérience de Lehnert
(figure 13) entre l’anneau fluide bloqué en rotation et les autres
régions bloquées au repos. Dans l’expérience de Rosant [1]
(figure 17), on observe aussi une telle couche parallèle au milieu
de la conduite rectangulaire, faisant la transition entre le noyau
bloqué au repos entre les parois conductrices et le noyau en mouvement entre les parois isolantes. Dans tous les cas, ces couches
parallèles peuvent être interprétées comme des ondes d’Alfvén, excitées par une singularité (coin ou disconstinuité de vitesse ou de
Figure 15 – Profils de vitesse en jet rasant dans une section Y = Cte
de la couche parallèle à l’induction magnétique située le long
d’une paroi isolante lorsque les parois perpendiculaires
sont parfaitement conductrices [5]
Figure 16 – Profils de vitesse dans une section Y = Cte
de la couche parallèle à l’induction magnétique
lorsque toutes les parois sont parfaitement conductrices
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D 2 950 − 15
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conductivité), se propageant à la vitesse n B 0 / µρ et atténuées par
la double diffusion magnétique et visqueuse. On peut aussi noter
qu’à la différence des couches de Hartmann (qui exercent une
influence sur l’écoulement dans la région centrale) les couches parallèles sont totalement passives et s’adaptent aux propriétés de l’écoulement lointain.
3.5 Entrée et sortie de l’aimant
Limitons-nous à une approche simplifiée de cet effet d’entrée (ou
de sortie), qui permet de comprendre le mécanisme et d’en évaluer
l’importance sans entrer dans la complexité du phénomène. Supposons donc la conduite rectangulaire à parois isolantes, et très élancée ( Γ !1) , de telle sorte que les lignes de courant électrique soient
contenues dans les plans Y = Cte (j y ?j x , j z ) , et limitons notre analyse aux situations où Ha!1 (viscosité négligeable).
u
À l’intérieur de l’entrefer, le champ électromoteur
∧B
engendre un champ électrique E de sens opposé. Le potentiel
électrique est donc maximal sur la paroi Z = + Γ et minimal sur la
paroi Z = – Γ . La densité de courant, proportionnelle à la petite différence entre ces deux vecteurs, demeure toutefois dans la direction de u
∧B
et est de l’ordre de σuB0 /Ha . Mais à l’extérieur de
l’entrefer de l’aimant, où B s’annule, j devient colinéaire à E et
les lignes de courant électrique peuvent se refermer dans les plans
Y = Cte , comme indiqué sur la figure 18. La longueur typique e
de cette région extérieure où se renferment ces lignes peut être
estimée, dans cette configuration simple, à environ 10 fois la demilargeur de la conduite .
Dans ces régions d’entrée et de sortie, l’accélération du fluide
résulte de la différence entre la force de Laplace et le gradient de
pression :
ρ(u ⋅ ∇)u = – ∇ p+ j
∧B
(101)
En prenant le rotationnel de cette équation et en s’attachant
essentiellement à :
∂u
ω y ≈ --------(102)
∂z
la composante la plus significative du vecteur ω = ∇
obtient :
∂ ωy
∂ By
ρu ------------ ≈ – j x -----------∂x
∂x
∧
u , on
(103)
En raison du signe de jx , quantité qui apparaît à l’origine de ce
mécanisme de création de tourbillon, fonction impaire de z , ∂ωy / ∂x
doit être positif dans la moitié z > 0 et négatif dans l’autre moitié.
Les profils de vitesse doivent donc se développer comme indiqué
sur la figure 18, en faisant apparaître une forme en M. On note qu’à
∂B y
la sortie, puisque les signes de jx et ------------ changent tous les deux,
∂x
le phénomène est renforcé.
L’ordre de grandeur de la survitesse δu peut être estimé à partir
de la relation :
δu
(104)
ρu -------- ≈ – jx B0
δz
qui représente une intégration approximative de la relation (103).
Avec δz
Figure 17 – Expérience de Rosant [1]
D 2 950 − 16
≈ Γ
et – j x
δu
--------u
≈ σ B 0 u e / Ha , on obtient :
2
σB Ha ρu
Γ e
Ha
0
- ------- ---------------- ≈ 10 Γ --------≈ -------Re
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(105)
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Figure 18 – Lignes de courant électrique
(en tireté), profils de vitesse u en forme de M
et distribution longitudinale de pression p
à l’entrée et à la sortie de l’aimant
4. Écoulements non confinés
Les écoulements qui disposent pour se développer de domaines
assez vastes par rapport aux échelles caractéristiques de l’écoulement proprement dit, comme les sillages et les jets, se distinguent
des écoulements en conduites par trois caractères principaux :
— leur largeur est en général variable avec l’abscisse (ou avec le
temps) à cause de la diffusion par viscosité ;
— ils ne sont pas assujettis à la conservation du débit mais, au
contraire, peuvent entraîner le fluide ambiant (cas des jets) ou être
entraînés par lui ;
— ils sont cependant soumis à une autre contrainte, liée à l’existence du fluide ambiant, en général la conservation d’un débit de
quantité de mouvement.
Nous réexaminons ici leurs propriétés dans le cas de métaux
liquides en présence d’un champ magnétique uniforme (à moins
que l’on ne précise le contraire). Nous verrons (§ 6.1 et § 6.3) que
les ondes d’Alfvén jouent un rôle majeur, même lorsque Rm?1.
Figure 19 – Demi-profils de vitesse en forme de M
dans une conduite rectangulaire ( = 7,6) à parois isolantes [6]
4.1 Sillage lointain
Les expériences de Tananaev (figure 19) confirment bien ces estimations. L’élancement de la conduite utilisée est Γ = 7,6 ; avec les
valeurs de Ha et Re indiquées sur la figure (Ha = 700, Re = 2 · 105 ),
la relation (105) conduit à δu /u = 0,27, valeur tout à fait en accord
avec les mesures.
Considérons le sillage plan d’un obstacle cylindrique (figure 20),
et limitons-nous aux régions assez éloignées de celui-ci pour que
le sillage ne dépende plus des détails de forme de l’obstacle, mais
uniquement de sa traînée. En mécanique des fluides ordinaire, supposant le régime laminaire, on trouve une solution bien connue : la
distribution de vitesse est autosimilaire, de la forme :
On remarque que tout moyen permettant de diminuer jx dans le
fluide (par exemple, l’introduction d’un court-circuit électrique
dans les parois) réduit nécessairement la formation de ces profils
en forme de M. Par ailleurs, on note que cette analyse approchée
peut être adaptée au cas d’un rapide changement de section droite
de la conduite dans un champ magnétique uniforme en changeant
∂ By
∂ jx
– j x ------------ en – B 0 --------- .
∂x
∂x
u (x, y) = u 0 (x ) exp (– ξ 2 /4 ) , ξ = y / δ s (x ) , δ s ( x ) = Cte
avec
νx
-------uf
(106)
u (x , y )
vitesse uniforme du fluide ambiant par rapport à
l’obstacle,
vitesse déficitaire locale du fluide dans le sillage,
u 0 (x )
vitesse déficitaire du fluide sur l’axe.
uf
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La vitesse u0 varie comme x –1/2 de façon à vérifier le théorème
des quantités de mouvement qui lie le débit déficitaire par unité de
longueur :
+∞
u (x, y) dy =
–∞
π u0 δs
(107)
à la traînée par unité de longueur T par la relation :
T = ρu f
+∞
–∞
(108)
u dy
■ Lorsqu’un champ magnétique uniforme B 0 est appliqué dans la
même direction que l’écoulement ambiant, les formes linéaires des
équations du mouvement et de l’induction sont, si on suppose
u?u f et a? 0 (avec 0 = B 0 / µρ vitesse des ondes d’Alfvén et
a = b / µρ sa perturbation dans le sillage) :
∂u
∂a
∂ 2u
u f --------- = 0 -------- + ν ----------∂x
∂x
∂y 2
∂a
∂u
∂ 2a
u f -------- = 0 --------- + η ----------∂x
∂x
∂y 2







(109)
Figure 20 – Double sillage dans un fluide en mouvement
autour d’un obstacle cylindrique
B2
et la pression totale p + --------- doit demeurer invariante. Les conditions
2µ
aux limites s’écrivent :
u (x, y & n
∞)
= a (x, y & n
∞)
= 0
∂u
∂a
--------- ( x , y = 0 ) = -------- (x, y = 0 ) = 0
∂y
∂y





u
a
--------f- ----------------- = g ( ξ ),
0 u 0 (x )
y
ξ = -----------------δ s (x )
(111)
avec des fonctions f (ξ ) et g (ξ ) qui vérifient les équations :
df
--------- + εξ f = εβ 2 ξ g
dξ
dg
--------- + ε Pm ξ g = ε Pm ξ f
dξ





(112)
ε = signe (x) ,
β 0 = --------0- ,
uf
Pm = µσν (113)
Le sillage MHD apparaît donc comme la superposition de deux
sillages élémentaires qui peuvent avoir les dispositions indiquées
sur la figure 20. Lorsque β 0 < 1 (régime superalfvénique), les deux
sillages se trouvent à l’aval de l’obstacle comme en l’absence du
champ magnétique. Mais lorsque β 0 > 1 (régime subalfvénique), l’un
d’eux est situé à l’amont. Le caractère un peu surprenant de cette
configuration s’explique par l’influence des ondes d’Alfvén. Ce sont
elles qui, lorsque leur célérité 0 est supérieure à la vitesse uf du
liquide ambiant, peuvent propager un sillage à l’amont aussi bien
qu’à l’aval. On note les demi-largeurs respectives des deux sillages
élémentaires, qui combinent les deux diffusivités à travers le nombre
de Prandtl magnétique Pm :
2
δ sn
8 νx
= ---------- -------- ,
αn uf
D 2 950 − 18
αn
2
α – = Pm ( 1 – β 0 )
(115)
La première conduit au sillage visqueux classique, toujours situé
à l’aval. La seconde conduit à un sillage magnétique, plus large
que le sillage visqueux, situé à l’amont ou à l’aval suivant le signe
2
de 1 – β 0 .
La présence du sillage amont est bien observée par Lajhomri [8],
mais avec une loi d’évolution axiale modifiée par le confinement inévitable de son expérience dans un tube de diamètre fini [u0 (x ) décroît
en exp(– x ) et non pas en x –1/2]. Quant au sillage aval, sa signature
magnétique a pu être mesurée ; l’existence d’une rue de tourbillons
alternés est mise en évidence lorsque Ha / Re < 3,5 · 10 –3 , avec le
déphasage attendu des tourbillons magnétiques par rapport aux
tourbillons mécaniques.
■ Le cas d’un champ magnétique B 0 incliné d’un angle ≠ 0 par
rapport à la vitesse u f a lui aussi fait l’objet d’une analyse
détaillée [9]. Là encore, deux sillages coexistent, d’épaisseurs
conformes à celle donnée par l’équation (114), et se développent
avec :
2νx
2
δ s (x) = ε ------------ ,
uf
α + = 1,
(110)
Ce problème assez fondamental, où la similitude entre les
équations (109) et celles des ondes d’Alfvén (25) et (26) est remarquable, a été résolu par Hasimoto [7]. Mais la solution brièvement
décrite ci-après n’a fait l’objet de comparaison avec des résultats
expérimentaux que très récemment [8]. Cette solution est autosimilaire, de la forme :
u
----------------- = f ( ξ ) ,
u 0 (x )
Dans le cas précis des métaux liquides (Pm ≈ 10 –7), les deux
racines deviennent :
1
2
= ----- Pm + 1n (Pm – 1 ) 2 + 4 β 0 Pm (114)
2
dans les directions des vecteurs unités s n donnés par les relations :
2 N1/2
s n = (1n2 β 0 cos α + β 0 )
( i n β0 k )
(116)
avec i et k vecteurs orientés respectivement dans les directions
de u f et B 0 .
4.2 Jet libre dans un champ magnétique
transversal
Ce problème représente un autre prototype d’écoulement tout à
fait important, car il met bien en lumière le rôle organisateur du
champ magnétique. Le jet est supposé issu d’une fente très mince,
alignée suivant Oz (figure 21), et dirigé dans le sens des x dans un
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demi-espace occupé par le même métal liquide. Le champ magnétique B0 (x ), dirigé suivant Oy , dans le plan de l’écoulement, est a
priori variable avec x . L’aspect le plus remarquable de ce problème
est le fait que la résistance opposée à la pénétration du jet à travers
les lignes de flux magnétique soit maximale car, en raison de la
présence de grands domaines fluides conducteurs de part et
d’autre du jet, le champ électrique est nul.
La solution exacte des équations de ce jet plan est autosimilaire
[10] de la forme :
u
1
-,
----------------- = --------------u 0 (x)
ch 2 ξ
y
ξ = ---------------δ j (x)
(117)
La vitesse u0 (x ) (u0 est la vitesse sur l’axe du jet) et la largeur
δ j (x ) doivent vérifier les équations :





2
u0 δ j = 6 ν x
2
σB 0
du
u0
-----------0- + -------- = – ------------ρ
dx
3x
(118)
On retrouve donc la même relation entre u 0 et δ j (x ) qu’en l’absence
de champ magnétique :
νx
2
δ j ( x ) = 6 -------u0
(119)
Figure 21 – Lignes de courant hydrodynamiques
et profils de vitesse d’un jet libre plan (y = 0),
dans un demi-espace rempli du même métal,
arrêté par une induction magnétique B 0 transversale uniforme
mais la vitesse est modifiée suivant la loi :
u 0 = x –1/3 k –
x
0
2
σB
------------0- χ 1/3 d χ
ρ
(120)
où la constante k est liée au débit de quantité de mouvement injecté.
■ Lorsque B0 est constant, cette expression devient :
2
3 σB 0
u 0 = x –1/3 k – ----- ------------- x 4/3
4 ρ
(121)
Elle conduit à un jet arrêté par le champ magnétique et détourné
dans les directions n B 0 à une distance de l’origine égale à
4 ρk
----- ------------23 σB
0
3/4
.
■ Le cas d’un champ magnétique à variation exponentielle, du type
x
B 0 = B 1 exp – -------- , où δB représente la profondeur de pénétration
δB
[équation (10)], est lui aussi tout à fait intéressant du point de vue de
l’application aux systèmes à induction. La relation (120) conduit à :
2
u0 = x
x
où Γ m, -------δB
–1/3
σ B 1 4/3
4 x
k – ------------- δ B Γ ----- , -------ρ
3 δB
(122)
est la fonction gamma incomplète :
x
Γ m, -------δB
=
χ m – 1 exp (– χ ) d χ
(123)
Cette fonction monotone croît avec x jusqu’à la valeur limite
4
Γ ----- , ∞ = 0,893 . Cela signifie que seuls les jets assez puissants,
3
pour lesquels :
2
σ B 1 4/3
4
k > ------------- δ B Γ ----- , ∞
ρ
3
arrêtés et détournés dans les directions n B 0 .
4.3 Écoulement autour d’un objet
en mouvement
La troisième famille de problèmes à aborder dans le cadre des
fluides illimités concerne les écoulements au voisinage d’obstacles
en mouvement ; ceux-ci sont en général très complexes en mécanique des fluides ordinaires. Mais, en MHD, lorsque le champ magnétique est assez grand pour que le nombre de Hartmann soit très
supérieur à l’unité, l’écoulement retrouve une certaine simplicité,
toujours en raison du rôle organisateur du champ magnétique qui
impose aux vecteurs u et j une structure bien particulière
(figure 22) caractérisée par :
— des colonnes de fluide C quasi bidimensionnelles alignées sur
le champ magnétique, imposées par la propagation des ondes
d’Alfvén ;
— une couche de Hartmann d’épaisseur δ⊥ le long de la portion
des parois nettement non parallèle au champ magnétique ;
— des couches parallèles à B 0 dont l’épaisseur δ// est de l’ordre
x/ δ B
0
sont capables de franchir la barrière magnétique que constitue
l’épaisseur de peau. Après quoi, ils poursuivent leur expansion
comme un fluide non conducteur. Les jets moins puissants sont
(124)
de Ha –1/2 et varie avec la distance du corps, qui assurent les transitions nécessaires.
Le cas le plus simple, auquel nous nous limitons, est celui d’un
cylindre circulaire de rayon R infiniment long, mobile avec une
vitesse u 1 dans la direction de son axe, en présence d’un champ
magnétique uniforme B 0 perpendiculaire à u 1 . L’organisation de
l’écoulement est illustrée sur la figure 22. On remarque la faible différence entre le cas d’un corps isolant (figure 22a) et celui d’un corps
parfaitement conducteur (figure 22b) sur le plan de cette organisation. L’aspect original de ce problème tient au fait que les couches
parallèles, d’épaisseur δ// de l’ordre de
Y/Ha , doivent se rejoindre
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électromagnétique par unité de volume F soit négligeable. La partie
moyenne de cette force [équation (50)] peut encore s’écrire sous la
forme :
σω 2
2n
〈 F 〉 = – ∇ ---------- A 0 exp – -------4
δB
d A0
σω
2n
+ ---------- A 0 ----------- exp – -------- e s
2
ds
δB
(128)
qui met bien en évidence, d’une part, la pression magnétique
2n
σω 2
---------- A 0 exp – --------δB
4
responsable de la forme de la surface libre
(§ 3.3), d’autre part, la force rotationnelle par unité de volume :
dA 0
σω
2n
F R = ---------- A 0 ------------- exp – --------- e s
δB
2
ds
Figure 22 – Organisation de l’écoulement autour d’un obstacle
en mouvement uniforme dans un fluide au repos lorsque Ha ! 1
quand δ// ≈ 1, c’est-à-dire à une distance du corps Y ≈ Ha . Au-delà,
la colonne C, où j = 0 et où le fluide avance avec une vitesse
uniforme contrôlée par le courant électrique qui transite dans la
couche de Hartmann, évolue vers une sorte de sillage lointain que
l’on peut décrire en adoptant la solution étudiée au paragraphe 4.1.
Le champ de vitesse au voisinage de l’obstacle est décrit par
l’équation :
∂ 2u
= 0
∆ 2 u – Ha 2 -----------(125)
∂Y 2
dont la résolution ne présente pas de réelle difficulté [1]. Il est donc
assez facile de calculer la contrainte tangentielle à la paroi du cylindre
et, par suite, la force de frottement par unité de longueur F f . Suivant
que le cylindre est isolant ou parfaitement conducteur, on trouve
deux valeurs du même ordre de grandeur :
Ha
2
F f = ρ u 1 Rπ --------Re
ou
π Ha
2
F f = ρ u 1 R ----- --------2 Re
(126)
Mais, dans le cas du cylindre conducteur, une force de volume
supplémentaire, due au courant électrique qui circule dans l’objet,
s’exerce sur celui-ci. Sa valeur dépend de la structure interne du
cylindre solide. Dans le cas où celui-ci est homogène, cette force
par unité de longueur s’écrit :
Ha 2
2
F V = ρ u 1 R π -----------Re
=
ρ ( u ⋅ ∇ ) u = – ∇ p* + F R + ∇ ⋅ τ
2
σω A 0
2n
p* = p + ρ gz + ------------------ exp – --------4
δB
où
5. Écoulements recirculants
5.1 Brassage dans les fours
à induction à creuset
Les fours à induction à creuset, illustrés sur la figure 23, sont très
utilisés dans les aciéries pour fondre de grandes masses de métal
(plusieurs dizaines de tonnes dans des creusets de rayon supérieur
à 1 m) à l’aide de la puissance libérée par effet Joule. L’inducteur
est une spire coaxiale au creuset, parcourue par un courant électrique
alternatif monophasé I de fréquence f assez élevée (50 à 103 Hz) pour
que l’effet de peau soit significatif et que la partie pulsante de la force
(129)
(130)
=
représente la pression totale et où τ représente le tenseur de
Reynolds, de composantes – ρ u i′ u j′ (avec ui la composante de la
vitesse moyenne temporelle locale dans la direction Oxi , u i′ sa
fluctuation dans le temps et dans l’espace et u i′ u j′ la valeur
moyenne du produit des fluctuations u i′ et u ′j ).
Ces écoulements recirculants vérifient tous une propriété
commune : l’intégrale de l’équation (129) le long de toute ligne de
courant de fluide fermée C s’écrit :
C
FR ⋅ d s +
C
=
( ∇ ⋅ τ ) ⋅ ds = 0
(131)
avec s = s e s . Cette relation impose que, dans l’écoulement voisin
=
de la paroi engendré par F R , ∇ ⋅ τ atteigne une valeur de l’ordre
2
(127)
On note qu’elle est Ha fois plus grande en ordre de grandeur que F f qui peut donc être
totalement masqué par FV .
D 2 950 − 20
qui est l’origine du mouvement du fluide. Celle-ci est tangentielle
et concentrée dans la peau électromagnétique. Compte tenu du
dA 0
signe de ------------- , positif de S à E et négatif de E à N, on s’attend à
ds
ce qu’elle engendre deux vortex (figure 23).
L’écoulement est turbulent et vérifie l’équation :
2
de σω A 0 h, soit encore B 0 / µh ou ρ 2 /h en notant la vitesse des
ondes d’Alfvén. Dans l’épaisseur de peau, que nous supposons très
petite par rapport au rayon R et à la hauteur h du creuset, la force
tangentielle F R est équilibrée par la dérivée suivant la normale de
la composante τ ns du tenseur de Reynolds. En introduisant la vitesse
de frottement u , telle que τ ns = ρ u 2 , on a :
*
*
u2
*
δ
h
B
≈ 2 -------
(132)
Rien ne s’y opposant, on doit admettre que les échanges d’énergie entre la turbulence et l’écoulement moyen sont analogues à
ceux des écoulements cisaillés classiques et que, par suite, u est
*
1
de l’ordre de -------- de la vitesse moyenne temporelle locale u :
10
u
≈ 10
δB
-------h- 1/2
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(133)
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Figure 23 – Schéma d’un four à induction à creuset
Mais, au centre du creuset, tout particulièrement lorsque δ B ?R ,
la vitesse uc peut être nettement inférieure à la vitesse up (≈ u )
d’une sorte de jet pariétal poussé par la force F R . La condition de
continuité du débit :
π R 2 uc ≈ 2 π R δ p up
(134)
et une bonne estimation de l’épaisseur δ p de ce jet pariétal :
1 h
δ p = -------- ----20 2
conduisent à
uc
h
≈ ------2r
δB
-------h- 1/2
h
- R ω –1/4
≈ ------2r
(135)
Exemple : dans les métaux fondus avec une fréquence de 103 Hz,
l’épaisseur δB est de l’ordre de 2 · 10–2 m. Avec un champ magnétique
de 6 · 10 –2 T, la vitesse des ondes d’Alfvén est de l’ordre
de 0,6 m · s–1 . Dans un creuset tel que h = 2R = 2 m, les estimations
précédentes conduisent aux vitesses :
u p = 0,6 m ⋅ s –1 ,
uc = u ,
*
≈ 0,06 m ⋅ s –1
Figure 24 – Champ de vitesse mesuré
dans un modèle à mercure de four à induction [11]
Rω –1/4
sont bien confirmées par les
Ces estimations et la loi en
expériences [11] [12]. La figure 24 montre le champ de vitesse
mesuré dans un modèle à mercure pour les fréquences 50 et 400 Hz.
On peut y noter la présence de ce jet le long de la paroi proche de
l’inducteur ; les formes des deux vortex sont assez peu sensibles à
ce changement de fréquence.
La figure 25 met en évidence l’influence de la fréquence sur les
valeurs de u et de la valeur efficace des fluctuations dans le temps
de vitesse u ’. On peut remarquer que la valeur 1/10 demeure une
bonne estimation du rapport u ’/u quel que soit R ω . On vérifie bien
la loi asymptotique en R ω –1/4 et on remarque l’autre limite en
R ω 5/2 dans le cas des basses fréquences, lorsque la turbulence est
excitée et alimentée par la pulsation de la force électromagnétique.
Cette figure montre que le brassage le plus intense est obtenu
lorsque R ω ≈ 30.
5.2 Brassage à l’aide d’un champ tournant
5.2.1 Cas général
Avec un inducteur monophasé, qui induit un champ magnétique
pulsant, le brassage demeure modéré. On peut par contre atteindre
des vitesses élevées avec un inducteur polyphasé, qui induit un
champ magnétique mobile à une vitesse dite vitesse de synchronisme. L’analyse de ce phénomène demeure difficile dans les situations industrielles et les prédictions théoriques ou numériques sont
souvent assez éloignées des valeurs mesurées. Nous nous limitons
ici à dégager les idées directrices qui permettent de comprendre
ces phénomènes et cela dans le cadre limité des systèmes circulaires infiniment longs soumis à un champ magnétique tournant.
La plupart des résultats se transposent assez simplement au cas
d’un champ magnétique glissant (inducteur linéaire).
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avec, à l’intérieur du cylindre de rayon R :
2B 0 rJ 2 ( m )
f (r *) = -------------------------------------------------------------2J 2 ( m 0 ) + J ′ 2 ( m 0 )









r
m = (1 + j ) ---δ
R
m 0 = (1 + j ) -----δ
δ =
avec J
Figure 25 – Influence de la fréquence
sur la vitesse moyenne temporelle locale u
et sur la valeur efficace de ses fluctuations u ’
L’inducteur, situé à l’extérieur du cylindre de rayon R d’axe Oz
occupé par le métal liquide, est modélisé comme une nappe de
courant plaquée contre ce cylindre, dont l’intensité par unité de
longueur est :
(136)
I = – I0 cos(p θ – ω t)
et qui induit un champ d’induction magnétique dont les
composantes ont les expressions dans le système de coordonnées
cylindriques (r, θ , z) :
-----Rr r
B r = B 0 ----R
Bθ = B0
p–1
p–1
sin (p θ – ω t )
cos (p θ – ω t )
Bz = 0









Le caractère essentiel de cette distribution est sa pénétration plus
ou moins grande, suivant la valeur de R ω . Faire varier la pulsation
ω ou le nombre de paires de pôles permet donc de modifier l’épaisseur de la région où s’exerce la force de Laplace et, par suite, l’efficacité du moteur. Cette force tend à empêcher le glissement du fluide
par rapport au champ magnétique, alors que le mouvement de la
paroi à la vitesse – Ω (dans le repère entraîné) impose un certain
glissement.
5.2.2 Cas limite des basses fréquences ( R ? 1 )
La pénétration du champ magnétique est alors parfaite et les
composantes de l’induction ont exactement les expressions (137),
comme si le fluide était isolant. Les forces par unité de volume,
auxquelles est soumis le mouvement plan du fluide de vitesse
2
F r = σ (– u r B θ + u θ B r B θ )
2
Fθ = σ ( ur Br Bθ – uθ B θ )



(144)
2
(138)
et il est commode de choisir un repère tournant à la vitesse de synω
r
ω
chronisme Ω = ------ et des coordonnées r * = ----- et θ * = θ – ------ t,
p
p
R
telles que :
(139)
x = x (r *, θ *)
Alors l’équation de l’induction se ramène à :
dont la solution est
( m ) la fonction de Bessel et J ′ 2 ( m ) sa dérivée.
(137)
Dans un fluide conducteur de l’électricité animé de vitesses
assez faibles pour que Rm?1 , la réaction magnétique provient
uniquement de la pulsation du courant. La symétrie cylindrique
permet assez simplement de calculer le champ magnétique réel.
Celui-ci dérive d’une fonction de flux x ( r, θ ) , telle que :
∂x
B θ = – --------∂r
2
-------------µσΩ
(143)
u = (ur , uθ , 0), s’écrivent :
avec B 0 = µI 0 , si le fluide est isolant. Le nombre p est un entier qui
désigne le nombre de paires de pôles du champ magnétique.
1 ∂x
B r = ----- --------- ,
r ∂θ
2
(142)
∂x
∆x + R ω ------------ = 0
∂θ*
(140)
x = lm{f (r*) exp(iθ *)}
(141)
Suivant que le temps caractéristique de ces forces ρ / σ B 0 est
beaucoup plus grand ou beaucoup plus petit que la durée d’une
révolution Ω –1 , on peut encore distinguer deux sous-régimes.
2
B 0
■ Tout d’abord, si -------------- ?1 , les forces électromagnétiques sont
incapables d’entretenir un mouvement radial. Le champ de vitesse
est alors purement axisymétrique et orthoradial. La vitesse adimensionnelle Uθ = uθ / ΩR doit vérifier l’équation :
dU
Uθ
1
Ha 2
-------- r * ------------θ- – ---------– ------------ r *2(p – 1 ) = 0
2
r*
dr*
2
r*
(145)
et les conditions aux limites :
Uθ (r * = 0) = 0, Uθ (r * = 1) = – 1
(146)
La solution est montrée sur les courbes de la figure 26. Dès que
le nombre de Hartmann est assez grand, on reconnaît une couche
de Hartmann près de la paroi et un cœur central où la vitesse de
synchronisme est atteinte. La figure montre aussi l’influence du
nombre de paires de pôles. Plus ce nombre grandit, plus le trou
central dans le champ de force (où les forces s’effondrent) est
grand et donc le couple moteur réduit.
2
B 0
■ À l’autre extrême, lorsque -------------- !1 , les forces d’inertie ne peuvent
pas lisser les variations périodiques des forces électromagnétiques.
Alors, l’équilibre dominant étant entre celles-ci et le forces de viscosité, le problème demeure linéaire. Si l’on se limite au cas des grands
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Figure 27 – Écoulement secondaire engendré
par une induction magnétique tournante
2
B 0
à basse fréquence lorsque -------------- !1 [13]
5.2.3 Cas limite des hautes fréquences (R ! 1)
La pénétration du champ magnétique est dans ce cas très faible.
En remplaçant les fonctions de Bessel J 2 (m) et J ′ 2 (m) (142)
Figure 26 – Profils de vitesse
en présence d’une induction magnétique tournante
par leurs expressions asymptotiques lorsque δB → 0, la fonction de
flux devient :
ur
nombres de Hartmann [13], les composantes U r U r = ---------- et Uθ de
ΩR
la vitesse adimensionnelle vérifient dans la couche de Hartmann les
équations :
∂ 2 Uθ
--------------- – Ha 2 U θ sin 2 p θ = 0
∂r* 2
∂U
∂U
-----------r- + -----------θ- = 0
∂r*
∂θ







(147)
Uθ = – exp [Ha |sin p θ | (1 – r *)] = – exp [– (1 – r *) R / δ⊥ ] (148)
L’épaisseur δ⊥ de la couche de Hartmann varie d’un point à
l’autre avec des minimums en N et S (figure 27). Par continuité, on
en déduit la valeur de la vitesse adimensionnelle de l’écoulement
de cœur Uc au voisinage de la couche de Hartmann (r * = 1). Dans
le cœur, le seul équilibre possible sans inertie ni viscosité impose
à j ∧ B de s’opposer exactement au gradient de pression. Un calcul sans difficulté [13] conduit à la solution :
U n = 0,
(149)
avec (t , n ) coordonnées curvilignes normale et tangentielle au
champ magnétique. Finalement, cet écoulement de cœur où la
vitesse est colinéaire au champ magnétique est constitué de p paires
de vortex tournant tous dans le même sens imposé par la vitesse
relative de la paroi.
R–r
R–r π
2 B 0 δB exp – -------------- sin θ + -------------- + ----δB
δB
4
(150)
On en déduit B [équation (137)] et la densité de courant dirigée
suivant l’axe z . Il est tout à fait remarquable [14] que, alors que
B et j dépendent tous les deux de l’angle θ , le rotationnel de la
force de Laplace en soit indépendant :
∇
Dans son voisinage, la paroi impose donc au fluide une vitesse :
p t ( t 2 + n2 )(p – 1) / 2p
U t = – --------- ------------------------------------------------Ha
(1 – t 2 ) 3/2
x =
∧ (j ∧ B )
2
4B 0
= – ------------- exp – 2 ( R – r )/ δB e z
µδ r
(151)
Par suite, le mouvement est axisymétrique. En supposant l’écoulement laminaire, on en déduit simplement la distribution de
vitesse uθ (r ) [14] :
2
2
B 0δB
u θ = – --------------------2 µρν R
exp – 2 ( R – r )/ δ – -----Rr B
(152)
Dans la région centrale où l’exponentielle s’annule, ce mouvement
se réduit à une rotation en bloc de vitesse angulaire :
2
2
2
B0
B 0δB
Ha 2
Ω f = ----------------------- = --------------------------------- = ------------2- Ω
2
2
2
Rω
2 µρν R
σµ ρνΩ R
(153)
inversement proportionnelle à la vitesse de synchronisme Ω . Ce
résultat tient au fait que, plus faible est l’épaisseur de peau, plus
grand est le frottement visqueux.
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5.2.4 Aperçu sur les résultats expérimentaux
La comparaison avec une expérience est difficile, car toute réalisation pratique s’écarte nettement des situations élémentaires décrites ci-avant. L’inducteur n’est pas une nappe de courant
[équation (136)] mais il est en général court avec des extrémités dont
l’influence est non négligeable, la fréquence n’est ni très faible ni
très grande et, enfin, l’écoulement est turbulent. Il existe toutefois
une expérience [15] qui a fait l’objet de mesures assez complètes,
qu’il est intéressant de situer par rapport aux théories précédentes.
L’inducteur a une longueur égale au diamètre du cylindre fluide et
R ω = 4. Il en résulte que la force de Laplace par unité de volume orthoradiale Fθ est réduite d’un facteur voisin de 2 par rapport à la valeur
2
σB 0Ωr
théorique
[équation (144)]. Le nombre de Hartmann peut
atteindre 90 et, en conséquence, Ha 2 / Rω 2 atteint des valeurs de
l’ordre de 5 · 10 2 , mais les mesures montrent que Ω f / Ω est toujours
inférieur à 0,2.
Les théories élémentaires des écoulements turbulents permettent
cependant d’estimer correctement Ω f , dès lors que l’on a admis que
Fθ peut s’écrire :
C
2
F θ = ----- σ B 0 Ω r
2
avec
C
(154)
1
≈ ---2
En notant :
2
V =
C σB
----- ------------0- Ω R
8 ρΩ
l’équilibre entre le couple moteur
frottement
2 πr 2 τ
(155)
r
0
Fθ
2πr 2
dr et le couple de
sipation d’énergie par effet Joule. L’exemple le plus connu pour illustrer cet effet est la configuration de Rayleigh-Bénard. Considérons
(figure 28a) une couche fluide horizontale d’épaisseur d, illimitée
dans les directions x et y, et chauffée par-dessous. Supposons que
les plans inférieur (z = – d /2) et supérieur (z = d /2) soient respectivement portés aux températures T1 et T2 (T1 > T2 ). Notons
G = (T1 – T2 )/d le gradient de température uniforme en régime de
conduction pure. En l’absence de champ magnétique, cet état peut
être instable et un régime convectif se développe dès que G dépasse
une certaine valeur critique G c . Plus précisément, pour que l’instabilité se développe, il faut que le nombre de Rayleigh :
gG β d 4
Ra = ---------------------να
(avec α diffusivité thermique et β coefficient de dilatation volumique)
atteigne une valeur critique Rac de l’ordre de 10 3 (1 708 si les deux
frontières sont solides, 1 100 si l’une est solide et si l’autre est une
surface libre et 658 si les deux sont des surfaces libres).
■ En présence d’un champ magnétique vertical (figure 28b), le
nombre de Rayleigh critique s’accroît fortement, comme le montre
la figure 29. La théorie linéaire de la stabilité [17] rend bien compte
de cette influence stabilisante. Sans en reprendre les détails, rappelons que l’on peut justifier l’approximation suivante. Toute perturbation périodique de nombre d’onde k, c’est-à-dire proportionnelle
à sin kx , devient instable (c’est-à-dire s’amplifie spontanément) dès
que :
π2 + K 2
(160)
(π 2 + K 2 ) 2 + π 2 Ha 2 Ra > --------------------K2
où K = kd désigne le nombre d’onde adimensionnel de la
perturbation.
(avec τ contrainte tangentielle) impose :
r
τ = – ρ V 2 ------R
2
(156)
Si l’on accepte qu’au voisinage de la paroi (hors de la souscouche visqueuse) on puisse écrire :
2 d uθ
τ = – ρ K 2 Y + -----------d Y+
2
(157)
où Y+ = V (R – r )/ ν et où K = 0,4 est la constante de Karman, on
retrouve la loi logarithmique :
uθ
-------- = 2,5 ln Y + + 5,5
V
(158)
En se plaçant à une distance de la paroi telle que Y+ ≈ 10, on trouve
immédiatement Ω f ≈ 10 V / R , ce qui est très proche des résultats
expérimentaux [15]. Il est remarquable que des modèles numériques
complexes [16] ne conduisent pas à une précision meilleure.
6. Stabilité et turbulence
6.1 Influence stabilisante
d’un champ magnétique uniforme
Toute perturbation d’un écoulement de vitesse u caractérisée par
son propre champ de vitesse ( u ′ ) induit des courants de Foucault
Figure 28 – Action d’une induction magnétique verticale
uniforme sur une perturbation cellulaire
dans la configuration de Rayleigh-Bénard
supplémentaires dans le métal liquide ( j ′ ) . Elle subit donc une dis-
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■ Si maintenant on applique un champ magnétique uniforme horizontal dans la direction Oy , que se passe-t-il ? Le champ électromoteur a deux composantes :
u
∧B
– Bw
0
(162)
Bu
et se réduit au gradient du scalaire B Ψ où Ψ désigne la fonction de
courant du champ de vitesse
Ψ
-,
u = + ∂-------∂z
∂Ψ
w = – --------∂x
.
Un champ électrique prend donc naissance, qui annule exactement en tout point la densité de courant et la force de Laplace.
Dans cette situation, les rouleaux d’axe Oy, parfaitement alignés
sur la direction du champ appliqué, ne ressentent aucun freinage
électromagnétique. Par contre, toutes les irrégularités tridimensionnelles de ces rouleaux induisent un courant et des forces qui
les freinent.
On peut donc noter que, si le champ magnétique est en général
stabilisant, c’est de façon sélective, certaines configurations pouvant parfois échapper au freinage électromagnétique.
Figure 29 – Variation du nombre de Rayleigh critique
en fonction du nombre de Hartmann
dans la configuration de Rayleigh-Bénard
6.2 Instabilité des jets liquides
parcourus par un courant électrique
Il est bien clair que cette expression possède un minimum pour
une certaine valeur K c ; cela veut dire que, lorsque l’on fait croître
G (ou Ra ), dès que l’on atteint la valeur critique Rac , correspondant
au minimum de l’expression (160), la perturbation de nombre d’onde
K c n’est plus stable. Si l’on dépasse cette valeur Ra c , la perturbation
de nombre d’onde K c est amplifiée. La présence du nombre de
Hartmann dans cette expression exprime l’influence du champ
magnétique appliqué. Conformément à la courbe de la figure 29,
qui représente la solution exacte et non pas l’approximation (160),
Ra c croît systématiquement lorsque Ha croît. Lorsque Ha!1, on peut
noter que :
≈ π 2 Ha 2
K c ≈ π 2/3 Ha 1/3 / 2
Ra c



(161)
Pour comprendre le mécanisme par lequel s’exerce l’action du
champ magnétique, il est nécessaire de rappeler comment et pourquoi cette situation est instable. La perturbation marginale
(figure 28 a ) a la forme de rouleaux, qui draînent le fluide chauffé
près du plan inférieur dans la colonne montante (plus légère que
le reste) et le fluide refroidi près du plan supérieur dans la colonne
descendante (plus lourde que le reste). Chaque rouleau est donc soumis à un couple moteur. Mais il est aussi soumis à un couple résistant, d’une part en raison du frottement visqueux, d’autre part à
cause de la réduction de la différence de température entre colonne
chaude et colonne froide due à la conduction thermique horizontale.
On comprend ainsi pourquoi c’est le nombre de Rayleigh, proportionnel au rapport du couple moteur au couple résistant, qui marque
le critère de stabilité.
La présence d’un champ magnétique vertical suivant O z
(figure 28 b ) ajoute un couple résistant supplémentaire. La
composante de vitesse horizontale suivant x , fonction impaire de z ,
dans chaque rouleau, engendre un champ électromoteur u ∧ B
également impair. La densité de courant électrique est donc dirigée
suivant Oy et est elle aussi impaire. Le courant électrique global est
nul, et le champ électrique est lui aussi nul. C’est cette circonstance
qui rend aussi efficace le freinage électromagnétique dans cette
configuration. Par comparaison, en raison de la présence d’un champ
électrique non nul, l’écoulement de Hartmann est beaucoup moins
bien freiné.
Une expérience facile consiste à transvaser du mercure, d’un
réservoir circulaire comportant un orifice situé dans son fond, dans
un second réservoir situé au-dessous du premier, et à faire passer
un courant électrique continu dans le jet de mercure liquide [2]. On
constate que cette colonne liquide se pince et forme des instabilités en saucisses (figure 30 a ). Le mécanisme est simple. Dès
qu’une contraction locale apparaît, la densité du courant s’accroît
dans le col, la force de Laplace qui serre radialement le jet s’accroît
aussi et renforce le pincement initial.
Maintenant, dès qu’un champ magnétique axial est présent, même
faible, la structure de la déformation observée est modifiée et le jet
forme une spirale (figure 30 b ). Le sens de cette spirale n’est pas
quelconque : il est tel que le champ magnétique axial du courant
spiral s’ajoute au champ magnétique appliqué B z . Le mécanisme
est le suivant. Dès qu’une courbure du jet s’amorce, il apparaît une
composante radiale jr de la densité de courant qui donne lieu à une
force de Laplace horizontale jr Bz , perpendiculaire à jr , qui fait donc
tourner progressivement la direction de jr , formant ainsi la spirale
observée.
On retient donc de ces deux paragraphes (§ 6.1 et § 6.2), d’une
part, que l’application d’un champ magnétique uniforme est en général stabilisante pour un écoulement et que cette action est sélective
et, d’autre part, que le passage d’un courant électrique dans un métal
liquide peut être à l’origine d’instabilités.
6.3 Turbulence des écoulements
en conduites
Les particularités de la turbulence des écoulements de métaux
liquides en présence d’un champ magnétique transversal sont
maintenant relativement bien comprises [1].
Les premières observations, limitées à des mesures de perte de
charge, mettaient en évidence une sorte de laminarisation de l’écoulement. En fait, on observait que, lorsque Ha / Re était supérieur à
une valeur critique (Ha / Re ) c (de l’ordre de 250), la perte de charge
suivait la loi de l’écoulement laminaire (69). Mais les premiers expérimentateurs capables d’introduire dans l’écoulement des sondes à
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où u⊥ est une estimation de la vitesse locale perpendiculaire à B 0 .
En conséquence, ce mécanisme de diffusion dans la direction de
B 0 est capable de bien corréler tous les plans assez proches pour
que τ c τ r . On en déduit une bonne estimation de la longueur //
parallèle à B 0 acquise par les structures turbulentes dans la direction du champ magnétique :
//
≈ ⊥ N 1/2 ,
2
σ B 0 ⊥
N = ------------------ρ u⊥
(165)
Le nombre N est le paramètre d’interaction qui mesure le rapport
2
entre τ r et le temps caractéristique de l’effet Joule ρ / σ B 0 . Bien
entendu, si la largeur de la conduite a un ordre de grandeur inférieur
à // , on doit observer une turbulence quasi bidimensionnelle.
De telles colonnes tourbillonnaires ne seraient soumises à aucun
freinage électromagnétique si elles étaient exactement bidimensionnelles ; elles devraient donc persister sur de grandes distances, voire
même se nourrir des divers apports d’énergie à partir des instabilités
de l’écoulement moyen. En fait, elles ne sont pas exactement bidimensionnelles, notamment à cause des couches de Hartmann nécessairement présentes à leurs extrémités. Si les parois de la conduite
sont isolantes, le courant électrique global induit par ces structures
doit se refermer dans les couches de Hartmann. En généralisant la
condition de fermeture [équation (69)] [19], on met bien en évidence
le freinage électromagnétique associé à ce défaut de bidimensionnalité, et l’on peut justifier, pour ces mouvements quasi bidimensionnels à grande échelle pratiquement insensibles à la viscosité,
une équation de la forme :
Figure 30 – Illustration de l’instabilité des jets de métaux liquides
parcourus par un courant électrique
faible inertie et à bonne résolution (films chauds) s’aperçurent que,
même lorsque Ha / Re > (Ha / Re ) c , un niveau de turbulence relativement important existait (environ 50 % du niveau à champ nul). La
persistance de cette turbulence a très vite été expliquée par la formation de structures bidimensionnelles insensibles au champ
magnétique, comme les rouleaux de Rayleigh-Bénard lorsque le
champ magnétique est horizontal (§ 6.1).
Des expériences remarquables [18] ont mis en évidence de façon
directe la présence prépondérante de telles structures colonnaires
alignées dans la direction du champ appliqué entre les deux parois
perpendiculaires au champ magnétique. Néanmoins, il a été assez
difficile de comprendre comment se formaient ces structures à partir
d’une turbulence initialement tout à fait tridimensionnelle, et quelles
étaient l’importance et les conséquences du défaut inévitable de
bidimensionnalité (aux extrémités des colonnes quasi bidimensionnelles). Le mécanisme de formation des structures bidimensionnelles n’est autre que les ondes d’Alfvén. Sous leur forme
dégénérée dans les métaux liquides (lorsque Rm?1, elles se
ramènent à une diffusion dans la seule direction du champ magnétique [19], elles sont capables d’établir une bonne corrélation entre
deux plans perpendiculaires à B 0 et distants de d en un temps :
τc
ρ
2
d
- -------≈ -------------2
2
σB 0 ⊥
(163)
à partir d’une structure initialement tridimensionnelle de dimension ⊥ dans un plan perpendiculaire à B 0 . Or le temps pendant
lequel il est légitime d’attribuer une certaine durée de vie à une
structure turbulente est son temps de retournement :
τr
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⊥
≈ ------u
⊥
(164)
d u⊥
-------------dt
≈–
1
1
----- ∇⊥ p – -------- u ⊥
ρ
τH
(166)
où ∇⊥ p designe la projection de ∇ p sur un plan perpendiculaire
à B 0 et τH le temps caractéristique de ce freinage associé aux
couches de Hartmann présentes le long des parois et distantes
de 2 :
τH
≈
ρ --------- -------σν B 0
(167)
6.4 Turbulence bidimensionnelle
Au paragraphe précédent (§ 6.3), nous avons vu que la turbulence
des écoulements en conduite pouvait, sous champ magnétique assez
fort (τe < τr ), devenir quasi bidimensionnelle. Mais cette turbulence
demeure soumise à un freinage électromagnétique (166) et, par
ailleurs, le temps de transit dans l’aimant est en général trop court
pour en permettre une observation sur de longues périodes. Or le
besoin d’expériences de laboratoire bien contrôlées sur la turbulence
homogène bidimensionnelle était considérable depuis les premières
conjectures théoriques sur les propriétés singulières de celle-ci. On
prédisait une cascade inverse d’énergie, les tourbillons s’associant
pour en former de plus gros jusqu’aux limites du domaine. Par
ailleurs, ces propriétés sont à la base de la dynamique de l’atmosphère, couche fluide relativement mince (≈ 12 km) par rapport à son
étendue autour du globe terrestre. Ne pouvait-on pas mettre à profit
la MHD pour réaliser une expérience avec un métal liquide (mercure)
et un champ magnétique, permettant d’observer la dynamique de
la turbulence bidimensionnelle non modifiée par des effets
électromagnétiques ?
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Figure 31 – Dispositif expérimental de Somméria ayant permis de réaliser une turbulence bidimensionnelle
dans du mercure en présence d’une induction magnétique [20]
La réponse est positive et a été apportée par Somméria [20]. Il
est bien sûr nécessaire de vérifier largement la condition τ c < τ r et,
par conséquent, d’utiliser une couche fluide assez mince. Mais il faut
aussi que τ Ha ! τ r pour que le freinage de Hartmann soit négligeable
et que l’équation (166) se réduise à l’équation de Navier-Stokes
[équation (18)] ordinaire, sans aucun effet MHD. Avec du mercure,
cela conduit à une couche d’épaisseur voisine de 2 cm et à un champ
magnétique pas trop élevé, voisin de 0,2 T. Restait alors à engendrer
la turbulence et à disposer d’un paramètre de contrôle permettant
d’en faire varier l’intensité. Dans l’ expérience de Somméria
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(figure 31) la turbulence est le résultat de l’instabilité d’un réseau
régulier de vortex parallèles crées par un réseau périodique d’électrodes de signes alternés, situées au fond du réservoir. Le courant
électrique issu d’une électrode est confiné dans la couche de
Hartmann présente au fond du réservoir dont l’épaisseur est très
faible (environ 100 µm) et rejoint les électrodes voisines de signe
est radial et B 0 axial. Il crée une rotation dans un sens lié au signe
de l’électrode. Les ondes d’Alfvén propagent cette rotation sur toute
l’épaisseur de la couche de mercure. Mis à part la couche de
Hartmann, on réalise donc un réseau périodique de vortex maintenus
bien parallèles par le champ magnétique. Les figures 31 a , b et c
montrent la réalisation de cette expérience et la figure 31 d met en
évidence ce réseau régulier de vortex visualisés à la surface libre
à l’aide de traceurs.
Le paramètre de cette expérience est alors le courant ± I envoyé
de l’extérieur vers chaque électrode. Dès qu’il dépasse un certain
seuil, le réseau devient instable et alimente en énergie un
ensemble de phénomènes chaotiques ou ordonnés dont l’analyse
sort du sujet de cet article. Mais le fait que l’on ait pu réaliser un
état turbulent bidimensionnel dans un métal liquide, grâce à
l’application d’un champ magnétique, et mettre à profit cette expérience pour étudier les propriétés de la turbulence bidimensionnelle demeure tout à fait dans l’objet de cet article.
Notations et Symboles
Notations et Symboles
opposé. L’induction magnétique uniforme verticale B 0 est
engendrée par un solénoïde. Le mécanisme moteur de ces vortex
est la force j
∧
B 0 présente dans la couche de Hartmann, où j
Symbole
Unité
Définition
A
V · s ·m–1
m · s–1
Symbole
Unité
potentiel vecteur
d
m
diamètre
vitesse des ondes d’Alfvén ( = B/ µρ )
e
m
épaisseur
B
T
E
V · m–1
champ électrique
F
N · m–3
force de Laplace par unité de volume
es
force par unité de masse, ρGp est le
gradient de pression
eθ
Gp
m·
induction magnétique
s–2
σ
-------- B l
ρν
courant électrique par unité de
longueur
Ha
I
en
nombre de Hartmann =
A · m–1
g
m · s–2
h
m
j
A · m–2
Définition



base de vecteurs




accélération due à la pesanteur
(= 9,81 m · s–2)
hauteur
densité de courant
L
m
longueur de la conduite
m
demi-largeur d’une conduite
l
m
valeur caractéristique des dimensions
de l’écoulement
n
m
coordonnée normale
p
Pa
pression
pm
Pa
pression magnétique
r
m
coordonnée radiale
s
m
coordonnée curviligne
temps
R
Re
m
rayon
nombre de Reynolds ( = l / ν )
nombre de Reynolds magnétique
( = µσ l )
Rm
Rω
S
m2
T
K
paramètre d’écran ( = µσω l 2)
surface libre
température
uν
vitesse adimensionnelle = --------------Gp 2
valeur caractéristique de la vitesse du
métal liquide
U
m · s–1
coordonnée adimensionnelle = ----- y
1 coordonnée adimensionnelle = ----- z
1 1
coordonnée adimensionnelle = ----- x
X
Y
Z
a
m · s–1
b
c
s
m · s–1
x
m
coordonnée
y
m
coordonnée
z
m
coordonnée
Γ
T
vitesse du métal liquide
élancement d’une conduite
rectangulaire
α
m2 · s–1
β
K–1
γ
N · m–1
δB
m
profondeur de pénétration de
l’induction magnétique
correction d’induction magnétique
δp
m
épaisseur du jet pariétal
capacité thermique massique
δs
m
demi-largeur de sillage
perturbation de vitesse d’Alfvén
J · kg–1 · K–1
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t
u
diffusivité thermique
coefficient de dilatation volumique
tension superficielle
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Notations et Symboles
Symbole
Unité
δ⊥
m
δ//
Liste des Indices
Définition
H
couche de Hartmann
épaisseur d’une couche limite le long
des parois perpendiculaires à B0
(couche de Hartmann)
c
e
f
i
centre
extérieur
fluide
intérieur
n
0
p
r
coordonnée suivant en
métal liquide au repos en général valeur de référence
(§ 1.1 et § 2)
paroi
coordonnée radiale
s
x
y
z
θ
coordonnée curviligne
coordonnée suivant Ox
coordonnée suivant Oy
coordonnée suivant Oz
coordonnée suivant e θ
épaisseur adimensionnelle d’une
couche limite le long des parois
parallèles à B0
ϕ
V
κ
m–1
W·
potentiel électrique
·
K–1
λ
conductivité thermique
coefficient de perte de charge
µ
H·
ν
m2 · s–1
viscosité cinématique
ρ
kg · m–3
masse volumique
σ
Ω–1
·
m–1
conductivité du métal liquide
η
m2
·
s–1
1
diffusivité magnétique = --------µσ
pulsation du courant alternatif du
circuit inducteur ou d’une perturbation
ω
m–1
s–1
perméabilité
Liste des Exposants
0
loin de la paroi
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