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COMMANDE

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Département Automatique-Robotique
COMMANDE
COURS
Franck PLESTAN
Année 2009/2010
SOMMAIRE GENERAL
COURS ------------------------------------------------------------------------------------------ 1
EXEMPLES DE SYNTHESES DE CORRECTEURS --------------------------------- 111
Commande
SOMMAIRE GENERAL
Commande
SOMMAIRE GENERAL
SOMMAIRE
Chapitre 1: Généralités sur les Systèmes Asservis.................................................... 1
A. Un exemple................................................................................................................ 1
B. Chaîne de commande................................................................................................. 2
1. Chaîne de commande sans amplification de puissance .................................... 2
2. Chaîne de commande avec amplification de puissance.................................... 2
3. Entrées "secondaires" : les perturbations.......................................................... 2
C. Système en boucle fermée ......................................................................................... 2
D. Qualités d'un système asservi .................................................................................... 3
1. Stabilité ............................................................................................................. 3
2. Précision............................................................................................................ 4
3. Rapidité............................................................................................................. 4
E. Synthèse d'un asservissement .................................................................................... 4
F. Quelques types de régulateurs ................................................................................... 5
Chapitre 2: Modélisation des systèmes dynamiques linéaires continus.................. 7
A. Comportement d'un système dynamique................................................................... 7
B. Transformée de Laplace ............................................................................................ 9
1. Définition .......................................................................................................... 9
2. Propriétés .......................................................................................................... 10
3. Transformées classiques de Laplace................................................................. 11
C. Fonction de transfert.................................................................................................. 11
1. Définition .......................................................................................................... 11
2. Standardisation de l'écriture des fonctions de transfert .................................... 12
3. Principe de l'analyse des systèmes, entrées typiques........................................ 12
a. Entrées pour analyse temporelle.............................................................. 13
b. Entrée pour une analyse harmonique ...................................................... 13
D. Exemples de fonction de transfert ............................................................................. 15
1. Circuit RC ......................................................................................................... 15
2. Circuit RLC....................................................................................................... 15
Chapitre 3: Systèmes linéaires continus du premier ordre...................................... 17
A. Processus à constante de temps ................................................................................. 17
1. Définition .......................................................................................................... 17
2. Analyse temporelle ........................................................................................... 17
a. Réponse impulsionnelle........................................................................... 17
b. Réponse indicielle ................................................................................... 18
c. Réponse en vitesse................................................................................... 19
3. Analyse harmonique ......................................................................................... 21
a. Représentations de Bode et de Black ...................................................... 21
b. Représentation de Nyquist ...................................................................... 22
4. Conclusions....................................................................................................... 23
B. Un 1er ordre particulier : l'intégrateur ........................................................................ 23
1. Définition .......................................................................................................... 23
Cours de Commande
SOMMAIRE
2. Analyse temporelle ........................................................................................... 24
a. Réponse impulsionnelle........................................................................... 24
b. Réponse indicielle ................................................................................... 24
3. Analyse harmonique ......................................................................................... 24
C. Système asservi du 1er ordre ...................................................................................... 25
1. Réponse indicielle............................................................................................. 26
2. Réponse en vitesse ............................................................................................ 26
Chapitre 4: Systèmes linéaires continus du second ordre ........................................ 27
A. Définition................................................................................................................... 27
B. Réponse à un échelon - dépassements, temps de réponse ......................................... 27
1. Cas n° 1 : ξ > 1 ................................................................................................. 27
2. Cas n° 2 : ξ = 1 ................................................................................................. 29
3. Cas n°3 : ξ < 1 ................................................................................................. 29
a. Calcul du temps de montée...................................................................... 31
b. Calcul du temps du 1er maximum............................................................ 31
c. Calcul des dépassements successifs ........................................................ 32
d. Coefficient d'amortissement ξ ................................................................. 32
e. Temps de réponse à 5% ........................................................................... 33
C. Réponse harmonique ................................................................................................. 33
1. Etude du gain .................................................................................................... 35
a. Pulsation de résonance ............................................................................ 35
b. Facteur de surtension............................................................................... 35
c. Pulsation de coupure................................................................................ 36
2. Etude de la phase .............................................................................................. 36
3. Lieux de Black et de Nyquist............................................................................ 36
4. Conclusions....................................................................................................... 37
D. Système du second ordre bouclé ............................................................................... 37
Chapitre 5: Systèmes de degré quelconque-systèmes à retard ................................ 39
A. Fonction de transfert et forme canonique.................................................................. 39
B. Réponse harmonique, lieux de transferts................................................................... 39
1. Représentation dans le plan de Bode ................................................................ 40
2. Représentation dans le plan complexe : lieu de Nyquist .................................. 44
3. Représentation dans le plan de Black ............................................................... 44
4. Caractéristiques de la réponse fréquentielle ..................................................... 45
C. Système à déphasage minimal (ou non-minimal)...................................................... 45
1. Problème ........................................................................................................... 45
2. Définition .......................................................................................................... 45
3. Réponse indicielle d’un système à déphasage non minimal............................. 45
4. Exemple ............................................................................................................ 46
D. Système du second ordre équivalent à un système d’ordre quelconque .................. 49
E. Système à retard......................................................................................................... 50
1. Etude harmonique du retard pur ....................................................................... 50
2. Lieux de transfert .............................................................................................. 51
a. Lieu de Nyquist ....................................................................................... 51
b. Plan de Bode............................................................................................ 51
Cours de Commande
SOMMAIRE
c. Lieu de Black........................................................................................... 52
Chapitre 6: Systèmes asservis linéaires continus ...................................................... 53
A. Fonction de transfert en boucle fermée ..................................................................... 53
1. Introduction....................................................................................................... 53
2. Sensibilité et sensibilité complémentaire.......................................................... 53
a. Sensibilité aux perturbations ................................................................... 53
b. Sensibilité aux erreurs de modèles .......................................................... 54
c. Sensibilité complémentaire...................................................................... 54
B. Réduction des schémas blocs .................................................................................... 54
C. Détermination graphique du lieu de transfert d’un système en boucle fermée ......... 56
1. Transformation transfert de boucle–transfert de sensibilité complémentaire... 56
2. Détermination graphique du lieu de transfert de la sensibilité complé. ........... 57
3. Détermination des paramètres du système en boucle fermée ........................... 58
D. Intérêt de la boucle fermée ........................................................................................ 60
1. Cas du 1er ordre ................................................................................................. 60
2. Cas d'un intégrateur. ......................................................................................... 61
3. Cas d'un deuxième ordre................................................................................... 61
E. Conclusions................................................................................................................ 61
Chapitre 7: Performances des systèmes linéaires asservis continus........................ 63
STABILITE DES SYSTEMES BOUCLES
A. Définition................................................................................................................... 63
B. Exemples ................................................................................................................... 63
1. Système du 1er ordre ......................................................................................... 63
2. Système du 2ème ordre ....................................................................................... 63
C. Critères de stabilité d'un système bouclé................................................................... 64
1. Méthodes algébriques ....................................................................................... 65
2. Méthodes graphiques ........................................................................................ 68
a. Critère de Nyquist.................................................................................... 68
(1) Théorème de Cauchy.................................................................... 68
(2) Application à l’analyse de la stabilité .......................................... 68
(3) Cas des pôles de L(s) appartenant au contour de Nyquist............ 71
b. Critère du revers ...................................................................................... 74
(1) Critère du revers dans le plan de Bode......................................... 76
(2) Critère du revers dans le plan de Black-Nichols.......................... 76
3. Influence du gain statique sur la stabilité ......................................................... 77
D. Degré de stabilité d'un système bouclé ..................................................................... 77
PRECISION STATIQUE DES SYSTEMES ASSERVIS
E. Introduction................................................................................................................ 78
F. Système sans perturbation et entrée variable ............................................................. 78
1. Système de classe 0........................................................................................... 79
2. Système de classe 1........................................................................................... 79
3. Système de classe 2........................................................................................... 80
G. Système avec perturbations seules ............................................................................ 80
Cours de Commande
SOMMAIRE
PRECISION DYNAMIQUE DES SYSTEMES ASSERVIS
H. Introduction ............................................................................................................... 81
I. Critères de performance.............................................................................................. 82
1. Critère IAE (Integral of Absolute Error) .......................................................... 82
2. Critère ISE (Integral of Square Error) .............................................................. 82
3. Critère ITAE (Time Multiplied by Absolute Error) ......................................... 82
4. Critère ITSE (Time Multiplied by Square Error) ............................................. 83
Chapitre 8: Synthèse de régulateurs dans le domaine fréquentiel .......................... 85
A. Introduction ............................................................................................................... 85
B. Régulateur à action proportionnelle .......................................................................... 86
C. Régulateur à action proportionnelle et dérivée.......................................................... 87
1. Correcteur à action P.D..................................................................................... 87
2. Correcteur à avance de phase ........................................................................... 88
D. Régulateur à action proportionnelle et intégrale ....................................................... 92
1. Correcteur à action P.I. ..................................................................................... 92
2. Correcteur à retard de phase ............................................................................. 94
3. Correcteur à retard de phase ou correcteur P.I. ?.............................................. 95
E. Régulateur à action proportionnelle, intégrale et dérivée.......................................... 95
1. Correcteur à action P.I.D. ................................................................................. 95
2. Correcteur à avance-retard de phase................................................................. 100
F. Conclusion générale................................................................................................... 101
Chapitre 9: Introduction aux techniques de régulation industrielle ....................... 103
A.Structures des régulateurs industriels......................................................................... 103
1. Régulateur en cascade....................................................................................... 103
2. Régulateur de tendance..................................................................................... 103
3. Chaîne d’anticipation........................................................................................ 104
B. Méthodes industrielles de synthèse d’un PID ........................................................... 104
1. Méthodes empiriques........................................................................................ 105
a) Méthode de Ziegler-Nichols ................................................................... 105
b) Méthode de Chien-Hrones-Reswick ....................................................... 106
2. Réglages après identification du processus ...................................................... 106
a) Modèle non évolutif ................................................................................ 106
b) Modèle évolutif ....................................................................................... 106
3. Structure des régulateurs PID ........................................................................... 107
Bibliographie................................................................................................................. 109
Cours de Commande
SOMMAIRE
I.
A.
GENERALITES SUR LES SYSTEMES ASSERVIS
UN EXEMPLE
Il y a asservissement d'une grandeur y à une grandeur de consigne yc lorsqu'on force par un
dispositif particulier la grandeur y à suivre au mieux l'évolution de la grandeur yc.
Lorsque la consigne est constante, on parle en général de régulation ; si la constante est
variable dans le temps, on parle de poursuite, ou d’asservissement.
REGULATION DE TEMPERATURE
On considère une douche dont le réglage est assuré par un mitigeur à commande manuelle, et
on s'intéresse à la température de l'eau.
• Réglage de la température à l'extérieur (par exemple, vestiaires sportifs) : la personne se
douchant n'a aucune possibilité d'agir sur la température de l'eau → Commande en boucle
ouverte → il peut y avoir une différence importante entre la température souhaitée
(consigne) et la température réelle.
• Le réglage se fait maintenant par une personne plaçant la main dans le jet de la douche :
cette personne a ainsi une information directe sur la température de l'eau (par une mesure)
et agit alors de façon à diminuer l'erreur entre la température réelle et la consigne.
• Si la douche n'a pas été utilisée récemment, il s'écoule un certain laps de temps entre le
moment où on règle le mitigeur et celui où l'eau arrive à la bonne température. Le retard
dû à la longueur des tuyauteries est un retard pur indépendant de la température de l'eau.
Une deuxième cause de retard correspondant au refroidissement de l'eau chaude dû aux
échanges thermiques avec les tuyauteries froides : ce refroidissement d'abord important
diminue progressivement jusqu'au moment où les tuyauteries se sont réchauffées et où
s'établit un équilibre thermique. On met ici en évidence la notion de constante de temps et
de temps de réponse du système.
• Si, l'équilibre étant atteint, la température est trop chaude ou trop froide, l'utilisateur adapte
son réglage pour atteindre la température souhaitée : on a alors une réaction et mise en
oeuvre d'une commande en boucle fermée.
• Si une autre personne tire de l'eau pendant l'utilisation de la douche, il peut y avoir des cas
de perturbations.
Cours de Commande
1
B.
CHAINE DE COMMANDE
1.
Chaîne de commande sans amplification de puissance
Ex : Braquage de la roue d'un vélo. L'angle de braquage de la roue est égal à l'angle entre la
position finale et la position de départ.
Signal
d'entrée
Signal
de Sortie
PROCESSUS
→ Transmission directe du signal d'entrée vers la sortie.
2.
Chaîne de commande avec amplification de puissance
Ex : Commande d'un four. Le réglage d'un four se fait par l'intermédiaire d'un gradateur qui
va commander un organe permettant de dissiper suffisamment de chaleur.
x
i
Potentiomètre
Courant
Position du
Potentiomètre
Résistance
Q
Puissance
Calorifique
T
Four
Température
Amplification de puissance
3.
Entrées "secondaires" : les perturbations
Ex : Commande d'un four → fuites thermiques.
Q'
x
i
Potentiomètre
Courant
Position du
Potentiomètre
Résistance
+
Q
Puissance
Calorifique
T
Four
Température
En sortie du sommateur, on a alors (Q-Q'). En fait, cela montre bien qu'en boucle ouverte, on
n'est pas du tout sûr d'avoir la température désirée dans le four : la commande en boucle
ouverte n'est donc ni sûre, ni précise.
C.
SYSTEME EN BOUCLE FERMEE
Dans le cas général, un système asservi peut être représenté de la manière suivante :
Cours de Commande
2
Consigne
yc
Entrée du
Système
ACTIONNEUR
u
DETECTEUR
D'ECART
REGULATEUR
SYSTEME
PROCESSUS
Sortie du
Système
y
CAPTEUR
On distingue :
• Le calcul de l’erreur permet de comparer la valeur de la consigne à la valeur réelle de
la sortie (grandeur à réguler),
• un régulateur qui calcule la commande de façon à ce que le système atteigne
l'objectif fixé,
• un actionneur qui réalise l'interface de puissance,
• un capteur permettant la mesure (ou l'estimation) de la valeur à réguler.
D.
QUALITES D'UN SYSTEME ASSERVI
Tous les systèmes asservis ont pour but d'assurer l'égalité (ou au moins la plus petite erreur)
entre la consigne et la sortie. Le cahier des charges de tout système bouclé s'énonce au moins
en 3 points :
STABILITE
1.
PRECISION
RAPIDITE DE REPONSE
Stabilité
Un des risques majeurs de tout système bouclé dans un asservissement est l'oscillation. On
considère le système suivant :
εe
Consigne
yc
+
K
u
SYSTEME
PROCESSUS
y
−
Si K est très grand, une faible erreur e impose une commande u importante. Dans ce cas, la
sortie y peut dépasser la consigne yc, entraînant ainsi une réaction en sens oppose mais toute
aussi importante. Le système peut alors fortement osciller sans jamais trouver une position
d'équilibre.
Cours de Commande
3
2.
Précision
Sur la figure précédente, l'écart e mesure la précision du système asservi. Or, puisque la
commande u est déterminée à partir de l'erreur e, il est aisé de voir qu'une loi de commande
du type u = K.e exigera un grand gain pour avoir une erreur e faible (e = u/K). Il faudra alors
trouver un compromis pour le choix du gain afin d'éviter que le système ne devienne instable
(voir précédemment).
3.
Rapidité
C'est l'inertie propre du processus qui limite sa rapidité de réponse. On ne peut donc espérer
rendre un processus plus rapide qu'en modifiant son signal de commande u (u grand de façon
à faire réagir très vite le système). Néanmoins, il convient là encore de faire attention à des
dépassements ou des saturations.
ASSERVIR UN SYSTEME CONSISTE A CHERCHER UN REGULATEUR FAISANT
UN COMPROMIS ENTRE RAPIDITE, PRECISION ET STABILITE : CELA
SIGNIFIE QU'IL FAUT BIEN CONNAITRE LE SYSTEME.
E.
SYNTHESE D'UN ASSERVISSEMENT
Identification
Modélisation
Choix de la
Commande
Synthèse du
régulateur
Essais
Expérimentaux
Cours de Commande
Modélisation du processus
Lois physiques ou essais en BO / BF
Continue ? Echantillonnée ?
Quelle stratégie de calcul ?
Choix des paramètres du régulateur
REGLAGE
Validation par simulation et
essais réels
4
F.
QUELQUES TYPES DE REGULATEURS
On distingue trois grandes classes de régulateurs :
• Analogique : il est réalisé avec des composants analogiques et son signal de sortie
évolue de manière continue avec le temps → système asservi continu.
• Numérique : il est réalisé à partir d'un système programmable et son signal de sortie
est le résultat d'un algorithme de calcul → système asservi échantillonné.
• T.O.R. (Tout ou Rien).
Cours de Commande
5
Cours de Commande
6
II.
MODELISATION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEAIRES
CONTINUS
Pour effectuer la commande et le réglage d'un système dynamique, il est important d'en
connaître le comportement, et donc les relations mathématiques existant entre les grandeurs
d'entrées et les grandeurs de sortie : on cherche le modèle mathématique du système.
On peut distinguer deux sortes de modèles :
• Modèle de connaissance. C'est le modèle du physicien qui est obtenu en écrivant
toutes les équations différentielles régissant le fonctionnement du système.
• Modèle de commande. C'est le modèle de l'ingénieur qui n'est qu'un modèle
approché plus simple, mais suffisant pour appréhender le comportement dynamique
du système.
A.
COMPORTEMENT D'UN SYSTEME DYNAMIQUE
Sortie y
e
Entrée u
SYSTEME
s
Le but est de déterminer la relation reliant l'entrée de commande u et la sortie y du système.
Définition Un système dynamique linéaire admet une relation entre son entrée u et sa sortie y
de la forme d'une équation différentielle à coefficients constants :
n
i
m
d y
d y
d u
dy
an⋅ n + " + ai⋅ i + " + a1⋅ + a0⋅y = b0⋅u + b1⋅du + " +bm⋅ m
dt
dt
dt
dt
dt
(1)
La réalisation physique impose d'avoir m ≤ n, n étant l'ordre du système.
On introduit ci-dessous la notion de régimes transitoire et permanent. On suppose que les
dérivées de l'entrée u(t) n'interviennent pas :
i
n
d y
d y
dy
an⋅ n + " + ai⋅ i + " + a1⋅ + a0⋅y = b0⋅u
dt
dt
dt
(2)
Solution de l'équation sans second membre (ESSM)
n
i
d y
d y
dy
an⋅ n + " + ai⋅ i + " + a1⋅ +a0⋅y = 0
dt
dt
dt
Cours de Commande
(3)
7
Equation caractéristique
an ⋅ r n + ⋅⋅⋅ + ai ⋅ r i + ⋅⋅⋅ + a1 ⋅ r + a0 = 0
(4)
Comme tous les coefficients sont réels, on a alors n racines réelles ou complexes conjuguées :
an ⋅ (r − rn ) ⋅ (r − rn −1 ) ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ (r − r1 ) = 0
(5)
y 1(t) = K1⋅er1⋅t + K2⋅er 2⋅t + " + Kn⋅er n⋅t
(6)
Solution de l'ESSM
où les coefficients Ki sont les constantes d'intégration.
ri réel.
Si ri < 0, alors lorsque t → ∞, Ki ⋅ e ri ⋅t → 0 : stable.
Si ri > 0, alors lorsque t → ∞, Ki ⋅ e ri ⋅t → ∞ : instable.
ri complexe conjugué. Il existe alors une autre racine ri+1 complexe conjuguée. On a
donc :
ri = α i + j ⋅ ω i
(7)
r = α + j ⋅ω = α − j ⋅ω
i +1
i +1
i +1
i
i
D'où :
Ki ⋅ e ri ⋅t + Ki +1 ⋅ e ri+1 ⋅t = Mi ⋅ eα i ⋅t ⋅ cos(ω i ⋅ t + φ )
(8)
On obtient un terme sinusoïdal modulé en amplitude par un terme exponentiel. Si
αi<0, alors lorsque t → ∞, eα i ⋅t → 0 : stable. Si αi>0, alors lorsque t → ∞, eα i ⋅t →
∞ : instable.
k
l
y1(t) = ∑Ki⋅e +∑Mi⋅e i ⋅cos(ωi⋅t+ϕi)
i=1
r ⋅t
i
α ⋅t
i=1
avec Mi réel et k + 2 ⋅ l = n
Conséquences
• Racines réelles uniquement → régime libre apériodique. Stable si racines négatives.
• Racines complexes uniquement → régime oscillatoire (instable). Disparaît si partie réelle
des racines négative.
Solution particulière de l'équation complète (SPEC) (a0 ≠ 0).
Cette solution correspond en fait au régime permanent.
• u(t)=K → y2(t)=K'
• u(t)=K ⋅sin(ω⋅t)→ y2(t)=K'⋅sin(ω⋅t +ϕ)
Cours de Commande
8
→ Le régime permanent a la même forme que l'excitation.
• Tout système (2) a une réponse en sortie composée d'un régime transitoire et d'un régime
permanent.
• Le régime transitoire tend vers 0 si les racines de l'équation caractéristique sont à partie
réelle négative. Dans le cas contraire, le système est instable
La résolution d'équation par cette voie peut être assez vite difficile et fastidieuse. Une façon
de simplifier les calculs est d'utiliser la transformée de Laplace. En fait, la transformée de
Laplace fournit un outil puissant de résolution dans un espace "fréquentiel" de problèmes
posés dans l'espace "temporel" sous forme d'équations différentielles linéaires et à
coefficients constants : elle permet en fait de transformer les équations différentielles en
une simple équation algébrique.
B.
TRANSFORMEE DE LAPLACE
1.
Définition
Soit f(t) une fonction du temps, définie pour tout t ≥ 0. Soit s une variable complexe. On
appelle Transformée de Laplace de la fonction f(t) la fonction de la variable complexe notée
F(s) telle que :
∞
F( s) = L[ f (t )] = ∫ e − s⋅t ⋅ f (t ) ⋅ dt
(9)
0
L'existence de F(s) suppose bien sûr que l'intégrale converge. Cette transformation est
bijective ; f(t) est dite transformée inverse de F(s) :
f (t ) = L-1[ F( s)]
(10)
Exemple 1. Calculer la transformée de Laplace de f(t) =1 avec f(0)=0. On obtient alors :
∞
1
1
F( s) = ∫ e − s⋅t dt = − ⋅ [e − s⋅t ]∞0 =
0
s
s
Exemple 2. Calculer la transformée de Laplace de f(t) = t avec f(0)=0.
∞
F( s) = ∫ e − s⋅t ⋅ t ⋅dt
0
On pose :
u=t
u' = 1
v = e − s⋅t
1
v' = − ⋅ e − s⋅t
s
On obtient alors :
Cours de Commande
9
∞
∞
F( s) = ∫ u ⋅ v' ⋅dt = [u ⋅ v]0∞ − ∫ u' ⋅v ⋅ dt
0
0
∞
1
1
= [ − ⋅ e − s⋅t ⋅ t ]∞0 + ⋅ ∫ e − s⋅t ⋅ dt
s
s 0
1
1
1
= ⋅ [− ⋅ e − s⋅t ]∞0 = 2
s
s
s
2.
Propriétés
• La Transformation de Laplace est une transformation linéaire :
L[ f1 (t ) + f2 (t )] = F1 ( s) + F2 (s)
L[a ⋅ f (t )] = a ⋅ F( s)
• La Transformée de Laplace de la dérivée d'une fonction f(t) est égale à :
df
L[ ] = s ⋅ F( s) − f (0)
dt
• La Transformée de Laplace de la dérivée seconde d'une fonction f(t) est égale à :
d2 f
df
L[ 2 ] = s 2 ⋅ F(s) − s ⋅ f (0) − (0)
dt
dt
• La Transformée de Laplace de l'intégrale d'une fonction f(t) est égale à :
1
1
dg(t )
= f (t )
L[ ∫ f (t ) ⋅ dt ] = G( s) = ⋅ F( s) + ⋅ g(0) , avec
dt
s
s
• Théorème du retard. Soit une fonction f(t) nulle pour t<0 et admettant une transformée
de Laplace F(s). Alors, si on retarde cette fonction d'un temps T, on obtient :
L[ f (t − T )] = e − s⋅T ⋅ F( s)
L−1[ F( s + a)] = e − a⋅t ⋅ f (t )
• Théorème de la valeur initiale.
• Théorème de la valeur finale.
lim f (t ) = lim s ⋅ F( s)
t →0 +
s →∞
lim f (t ) = lim s ⋅ F( s)
t →∞
s→ 0
Ce dernier théorème est utilisé de manière fréquente dans la suite de ce cours pour
déterminer la valeur de la sortie du système en régime permanent (une fois le régime
transitoire terminé).
Cours de Commande
10
3.
Transformées classiques de Laplace
f(t) pour t>0
δ(t)
1
t
t n−1
(n − 1)!
e − a⋅t
t ⋅ e − a⋅t
cos(ω ⋅t )
sin(ω ⋅t )
F(s)
1
1
s
1
s2
1
sn
1
s+a
1
(s + a)2
s
2
s +ω2
ω
s +ω2
2
e − a⋅t ⋅ cos(ω ⋅ t )
s+a
(s + a)2 + ω 2
e − a⋅t ⋅ sin(ω ⋅ t )
ω
e − a⋅t ⋅ cos(ω ⋅ t + φ )
C.
(s + a)2 + ω 2
( s + a) ⋅ cos φ − ω ⋅ sin φ
(s + a)2 + ω 2
FONCTION DE TRANSFERT
1.
Définition
On considère un système dont toutes les conditions initiales sont nulles (conditions initiales
des fonctions d'entrées et de sorties, ainsi que de leurs dérivées nulles. Dans la suite de ce
cours, sauf précision explicite, cette hypothèse sur les conditions initiales sera toujours vraie).
Le système est donc régi par l’équation :
n
i
m
d y
d y
d u
dy
an⋅ n + " + ai⋅ i + " + a1⋅ + a0⋅y = b0⋅u + b1⋅du + " +bm⋅ m
dt
dt
dt
dt
dt
(11)
En appliquant la Transformée de Laplace des dérivées, on obtient (Y(s) (resp. U(s)) représente
la transformée de Laplace de y(t) (resp. u(t))
an⋅s ⋅Y(s) + " + a1⋅s⋅Y(s) + a0⋅Y(s) = b0⋅U(s) + b1⋅s⋅U(s) + " + bm⋅s ⋅U(s)
n
Cours de Commande
m
(12)
11
Aussi, on déduit (pour les processus physiques m ≤ n) :
m−1
Y(s) bm⋅s +bm−1⋅s + " +b1⋅s+b0
F(s) =
=
U(s) an⋅s n+an−1⋅s n−1+ " +a1⋅s+a0
m
(13)
F(s) est appelée Fonction de Transfert ou Transmittance du système.
E(s)
U
H(s)
F(s)
SY
(s)
La Fonction de Transfert est l'expression reliant les variations, vis à vis d'un régime initial
ou d'un point de fonctionnement, du signal de sortie par rapport au signal d’entrée.
2.
Standardisation de l'écriture des fonctions de transfert
Du fait de l'usage de la fonction de transfert, l'habitude a été prise de présenter les fonctions
de transfert sous forme normalisée. On ne verra ici que la représentation type "Bode". Elle
consiste à mettre en évidence les racines du dénominateur (appelées pôles) et les racines du
numérateur (appelées zéros). On a
b1
bm m
Y(s) b0 1+ b0⋅s+ " + b0 ⋅s
F(s) =
= ⋅
U(s) a0 1+ a1⋅s+ " + an ⋅s n
a0
a0
Donc, la fonction de transfert peut être écrite sous la forme :
F(s)=K⋅
p
q
i=1
k
j=1
l
∏(1+τi⋅s)⋅∏(1+aj⋅s+bj⋅s2)
∏(1+τ ⋅s)⋅∏(1+a ⋅s+b ⋅s )
j
j=1
j
(14)
j 2
j=1
avec n=k+2l et m=p+2q.
• K =F(0)= b0 est le gain statique du système.
a0
• Les τi et τj sont les constantes de temps (réelles) du système. Une constante de temps rend
compte de la dynamique d'un système : plus elle est faible, plus le système est rapide.
• Les termes du second ordre doivent être laissés ainsi, s'ils ne sont pas décomposables en
termes avec constantes de temps (regroupant les racines complexes conjuguées).
3.
Principe de l'analyse des systèmes, entrées typiques
Le but de l'automaticien est, dans un premier temps, de connaître le système qu'il doit
asservir. Afin de déterminer la fonction de transfert du système, on fait appel soit aux lois de
la physique, soit à des systèmes dont on connaît le comportement pour certaines entrées. Le
but est alors de mettre sur l'entrée du système un signal permettant de tester sa réaction afin
de voir s'il ne se "rapproche" pas de systèmes connus. Comme il n'est pas possible de prévoir
Cours de Commande
12
tous les types de situations rencontrés, ni tous les types de signaux d'entrée, on a pris
l'habitude de se référer à certains signaux. Ces derniers correspondent à des situations
rencontrées lors de l'évolution d'un système d'un état à l'autre et concernent donc l'analyse
transitoire du système. Par opposition, l'analyse harmonique permet l'étude de la réponse
du système à une entrée sinusoïdale en fonction de la fréquence.
a)
Entrées pour analyse transitoire
• L'impulsion de Dirac (u(t)=δ(t)). La réponse est dite impulsionnelle. L’impulsion de
Dirac est la limite lorsque ∆t tend vers 0 d'un créneau rectangulaire de hauteur de 1/∆t et
de durée ∆t. Sa transformée de Laplace est égale à 1.
• L'échelon unité (u(t)=0, t<0, u(t)=1, t≥0). La réponse est dite réponse indicielle ou
réponse à un échelon de position.
• La fonction rampe (u(t)=0, t<0 ; u(t)=a.t, t≥0). La réponse est dite réponse à une rampe
ou réponse à un échelon de vitesse.
Lors de l'analyse transitoire, on caractérise la rapidité (temps de réponse), la nature plus ou
moins oscillante du système (dépassement ou non), et la précision.
b)
Entrée pour analyse harmonique
Si on applique un signal sinusoïdal à un système linéaire, on sait que la réponse est
sinusoïdale (voir précédemment). On montre également qu'une fois le régime transitoire
établi, la sortie est sinusoïdale, de même pulsation que l'entrée, mais d'amplitude et de phase
différente. La fonction de transfert s'écrit alors (avec s = jω, ω étant la pulsation du signal
d’entrée)
F(j⋅ω) =
bm⋅(jω)m+ " + b1⋅(jω) + b0
an⋅(jω)n+ " + a1⋅(jω) + a0
(16)
La représentation pour l'analyse harmonique peut se faire des trois manières différentes mais
équivalentes :
• Plan de Bode. Il représente le gain FdB=20 log[|F(jω)|] et φ=Arg[F(jω)] en fonction
de ω dans un plan semi-logarithmique. (Ci-dessous, représentation d’un système du
premier ordre de gain statique 10 et de constante de temps 0.01 sec.).
Cours de Commande
13
• Plan de Black. Il s'agit d’une représentation équivalente à celle de Bode, mais tracée
dans un seul plan, φ=Arg[F(jω)] étant placé en abscisse et FdB=20 log[|F(jω)|] en
ordonnée, chaque point du plan correspondant à une pulsation. Le lieu est donc
gradué en ω croissantes. (Ci-dessous, représentation d’un système du premier ordre
de gain statique 10 et de constante de temps 0.01 sec.).
• Plan de Nyquist. Il s'agit de la représentation graphique paramètrée par ω de l'affixe
de F(jω) . Le lieu est gradué en ω croissantes. (Ci-dessous, représentation d’un
système du premier ordre de gain statique 10 et de constante de temps 0.01 sec.).
Cours de Commande
14
L'analyse harmonique permet d'avoir accès aux notions de fréquence de coupure, de gain en
fonction de la fréquence, … , et donc de rapidité et de précision.
D.
EXEMPLES DE FONCTION DE TRANSFERT
1.
Circuit RC
R
i
Eu(t)
S
C
y(t)
On a les relations suivantes :
dy(t)
u(t) = R⋅i(t)+ y(t), y(t) = 1 ⋅∫i(t)⋅dt ⇒ i(t) =C⋅
C
dt
D'où :
R⋅C⋅
dy(t)
+ y(t) = u(t)
dt
En supposant le condensateur déchargé à t=0, la passage en transformée de Laplace permet
d'écrire la fonction de transfert du circuit :
F(s) =
2.
R
Eu(t)
Cours de Commande
Y(s)
= 1
U(s) 1+R⋅C⋅s
Circuit RLC
L
On a les relations suivantes :
di ( t )
dy ( t )
u ( t ) = R⋅i ( t ) + L⋅
+ 1 ⋅∫i ( t )⋅dt → i ( t ) = C ⋅
dt
C
dt
i
C
S
y(t)
15
D'où :
2
u(t) = L⋅C⋅
d y(t)
dy(t)
+ R⋅C⋅
+ y(t)
2
dt
dt
En prenant la transformée de Laplace de cette expression, on obtient la fonction de transfert
du circuit :
Y(s)
1
=
F(s) =
U(s) L⋅C⋅s 2+R⋅C⋅s+1
Cours de Commande
16
III.
A.
SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS DU PREMIER ORDRE
PROCESSUS A CONSTANTE DE TEMPS
1.
Définition
Un système du 1er ordre à constante du temps est un système régi par l'équation différentielle :
τ ⋅dy(t) + y(t) = K⋅u(t)
dt
En supposant que les conditions initiales soient nulles, la fonction de transfert de ce type de
système s'écrit :
Y(s)
F(s) =
= K
U(s) 1+τ ⋅s
K est le gain statique et τ est la constante de temps (voir par exemple le circuit RC du
chapitre précédent).
2.
Analyse temporelle
a)
Réponse impulsionnelle
On applique à l'entrée du système une impulsion de Dirac (u(t)=δ(t) - U(s)=1). La sortie Y(s)
du système s'écrit alors :
Y(s) = K = K ⋅ 11
1+τ ⋅s τ s+ τ
La sortie y(t) est obtenue en appliquant la transformée de Laplace inverse :
−t
y(t) = K ⋅e τ
τ
Exemple. Soit un système décrit par la fonction de transfert
1
F(s) =
1 + 0.1 ⋅ s
La réponse impulsionnelle de ce système est décrite par la figure suivante :
Cours de Commande
17
K ⋅τ
b)
Réponse indicielle
On applique à l'entrée du système un échelon unité (u(t)=1- U(s)=1/s). La sortie Y(s) s'écrit
alors :
Y(s) =
K
s ⋅ (1+τ ⋅s)
A partir de la ré-écriture de cette fonction sous la forme Y(s) = K ⋅ (1 − 11 ) , et en appliquant
s s+ τ
la transformée de Laplace inverse, on obtient :
y(t) = K⋅(1−e τ )
−t
La réponse indicielle d’un système du premier ordre est décrite par la figure ci-après. On
caractérise à partir de cette courbe :
• le temps de réponse à 5% tr. Il s'agit du temps que met le système à atteindre l’amplitude
finale à ± 5%. Ici, on a tr = 3τ.
• le temps de montée tm. Il s'agit du temps mis pour que le signal atteigne 90% de
l’amplitude finale. Ici, on a tm=2.3τ.
Il est important de noter que le système atteint 63% de la valeur finale au bout d'un temps
égale à la constante de temps τ. De plus, le gain statique peut être facilement trouvé par la
formule (∆y = y(∞)-y(0) ; ∆u = u(∞) – u(0))
∆y
K=
∆u
Cours de Commande
18
Toutes ces remarques montrent que l'identification (c’est à dire la détermination des
paramètres K et τ) d'un système de 1er ordre peut être faite avec un essai indicielle.
Remarque. Si la constante est faible, alors le temps de réponse est faible et le système est
rapide. Si la constante est élevée, le système est lent.
c)
Réponse en vitesse
On applique à l'entrée du système une rampe unitaire (u(t)=t - U(s)=1/s2). La sortie Y(s)
s'écrit alors :
Y(s) =
K
s ⋅ (1+τ ⋅s)
2
τ
1 τ
En ré-écrivant la fonction de transfert sous la forme Y(s) = K⋅( 2 − s + s+ 1 ) , la sortie
τ
s
y(t) est obtenue en appliquant la transformée de Laplace inverse :
Cours de Commande
19
y(t) = K ⋅ (t − τ + τ ⋅e τ )
−t
Exemple. La réponse en vitesse du système F( s) =
1.5
est donnée par
1 + 0.1 ⋅ s
L'écart de traînage
augmente
Remarque. La réponse en vitesse du système
F(s) = 1
1+ s
est donnée ci-dessous.
τ
Cours de Commande
20
On voit que, si K est différent de 1, la sortie ne suit pas : on dit qu'elle "traîne". En effet,
l'écart entre y(t) et u(t) augmente quand t tend vers l’infini. En effet, comme on a
y(t) = K ⋅ (t − τ + τ ⋅e τ ) , on obtient
−t
•
y(t)−u(t) =τ
Si K = 1, lim
t →∞
•
K(t − τ + τ ⋅ e−t/τ ) − t = ∞
Si K ≠ 1, lim
t→∞
3.
Analyse harmonique
On envoie sur l'entrée du système un signal sinusoïdal. On utilise la fonction de transfert :
F ( jω ) =
K
1+ jω ω
c
avec ω c = 1τ . Le gain et l'argument de cette fonction de transfert s’écrivent :
F ( jω ) =
K
1 + (ω ω )
2
φ = Arg[F(jω)] = − Arctan ω
ωc
c
a)
Représentations de Bode et de Black
Le gain est exprimé en dB :
FdB = 20⋅log( F(jω))
La représentation dans le plan de Bode se fait sur 2 tracés (gain et phase) en fonction de ω.
Dans le plan de Black, on trace le lieu dans le plan [FdB,φ], ce qui impose de le graduer en ω
et de l'orienter.
Exemple. Analyse harmonique d'un système du 1er ordre (avec K = 10 et τ = 0.01 sec)
Cours de Commande
21
20 log K
Le système est caractérisé par :
• son gain statique K (pour une
pulsation nulle),
• sa pulsation de coupure ωc
(correspondant à un gain égal à
20log10(K)- 3, et à une phase φ = –
45°),
• sa bande passante BP = 2πfc = ωc.
20 log K
Un système du 1er ordre est un filtre passe-bas
b)
Représentation de Nyquist
C'est le lieu de l'extrémité du vecteur image du nombre complexe F( j ⋅ ω ) .
ω
⎜F(jω)⎜
φ
0
K
0
ωc/2
ωc
0.89K
-26.5°
0.707K
-45°
2ωc
0.44K
-63.5°
∞
0
-90°
Exemple. Analyse harmonique d'un système du 1er ordre (avec K = 10 et τ = 0.01 sec)
Cours de Commande
22
ω=∞
ω =0
ωc
Pour ω = ω c = 1τ , alors on a Arg[ F( jω )] = −45° .
4.
Conclusions
Le comportement dynamique d'un système est entièrement décrit par sa constante de temps τ.
La fréquence de coupure d'un système est définie par :
1
fc =
2 ⋅π ⋅τ
er
• Un système du 1 ordre est un filtre passe-bas.
• Un système rapide est un système ayant une large bande passante (faible constante de
temps).
• Une système lent a une bande passante étroite.
B.
UN 1ER ORDRE PARTICULIER : L'INTEGRATEUR
1.
Définition
L'intégrateur est régi par l'équation différentielle :
τ ⋅ dy(t) = K⋅u(t)
dt
La fonction de transfert est alors déduite en utilisant la Transformée de Laplace :
Cours de Commande
23
F(s) =
2.
Y(s) K
=
U(s) τ ⋅s
Analyse temporelle
a)
Réponse impulsionnelle
On applique à l'entrée du système une impulsion de Dirac (u(t)=δ(t) - U(s)=1). La sortie Y(s)
du système s'écrit alors :
Y(s) = K
τ ⋅s
La sortie y(t) est obtenue en appliquant la Transformée de Laplace inverse :
y(t) = K
τ
La réponse est donc un échelon. Le système ne revient pas à son état d'origine.
b)
Réponse indicielle
On applique à l'entrée du système un échelon unité (u(t)=1 - U(s)=1/s). La sortie Y(s) s'écrit
alors :
Y(s) = K 2
τ ⋅s
La sortie y(t) est obtenue en appliquant la transformée de Laplace inverse :
y(t) = K ⋅t
τ
On obtient donc une rampe. Le régime permanent tend vers l'infini : on a donc instabilité.
3.
Analyse harmonique
La fonction de transfert est la suivante :
F(jω) =
Y(jω)
= K
U(jω) j⋅τ ⋅ω
La figure ci-après présente le tracé de la fonction de transfert
F(jω) = 1
j⋅τ ⋅ω
dans le plan
de Bode.
Cours de Commande
24
C.
SYSTEME ASSERVI DU 1ER ORDRE
On considère un système du 1er ordre bouclé. Le retour est composé d'un gain A. Yc est la
consigne.
EY(sc ) +
U
ε (s)
Y
S(s)
K
1+ τ ⋅ s
-
A
La fonction de transfert s'écrit :
K
Y(s)
K
= 1+τ ⋅s =
1+K⋅A+τ ⋅s
Yc (s) 1+ A⋅ K
1+τ ⋅s
Après la mise en forme "standart", on obtient alors un système du 1er ordre de la forme :
Y(s)
1
= K' = K ⋅
U(s) 1+τ'⋅s 1+K⋅A 1+ τ ⋅s
K⋅A+1
On a donc :
τ' =
τ
K ⋅ A +1
K' =
K
1+ K ⋅ A
Le système bouclé est plus rapide : sa constante de temps est plus faible que celle du
système en boucle ouverte. L'analyse est exactement la même que pour un système en
boucle ouverte.
Cours de Commande
25
1.
Réponse indicielle
On note ep(t) = yc(t) – Ay(t) (Transformée de Laplace = Ep(s)) avec la consigne égale à un
échelon unitaire, i.e.
yc(t) = 1 → Yc (s) = 1
s
On a donc :
Y(s)
= K' ⇒ Y(s) = K' ⋅Yc (s)
1+τ'⋅s
Yc (s) 1+τ'⋅s
Aussi, on obtient :
Ep(s) = Yc (s)− A ⋅ Y(s) = Yc (s) ⋅ (1 − AK' ) = 1 ⋅ (1 − AK' )
s
1+τ'⋅s
1+τ'⋅s
On applique le théorème de la valeur finale :
lim
[ep(t)] = slim
[s⋅ep(s)] = lim
(1− AK' ) = 1− AK' = 1
t →∞
→0
s→0
1+τ'⋅s
1+K ⋅A
2.
Réponse en vitesse
On note et(t) = yc(t) – Ay(t) (Transformée de Laplace = Et(s)) avec la consigne égale à une
rampe unitaire, i.e.
yc(t) = t → Yc (s) = 12
s
Aussi, on obtient :
Et (s) = 12 ⋅ (1 − AK' )
1+τ'⋅s
s
On applique le théorème de la valeur finale :
1(1 − AK' ) = ∞
lim
et(t) = lim
s⋅Et (s) = lim
t→∞
s→0
s→0 s
1+τ'⋅s
Cours de Commande
26
IV.
SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS DU SECOND ORDRE
A.
DEFINITION
Un système du 2nd ordre est décrit par l'équation différentielle suivante :
2
d y(t)
dy(t)
a2 ⋅
+ a1⋅
+ a 0 ⋅ y(t) = b 0⋅ u(t)
2
dt
dt
En supposant que les conditions initiales sont nulles, la transformée de Laplace de ce système
donne :
b0
1
⋅
F ( s) =
a
a
a0
1 + 1 ⋅ s + 2 ⋅ s2
a0
a0
On définit alors :
b
• K = 0 : gain statique,
a0
K
F(s) =
2
a0
s
ξ
2
: pulsation propre non amortie,
• ωn =
1+
⋅s+ 2
a
ωn
2
• ξ=
ωn
a1
1
: coeff. d'amortissement.
⋅
2
a0 ⋅ a2
N.B. On suppose que les coefficients a0, a1et a2 sont positifs.
B.
REPONSE A UN ECHELON - DEPASSEMENTS, TEMPS DE
REPONSE
L'entrée du système u(t) est = 0 pour t ≤ 0 , = 1 pour t > 0 (U(s) = 1/s). En utilisant la
fonction de transfert définie plus haut, on obtient :
2
K ⋅ω n
K
Y(s) =
=
2
2
2
2ξ
s ⋅ (1 +
⋅ s + s ) s ⋅ (s + 2ξ ⋅ ω n ⋅ s + ω )
ωn
ω 2n
n
Afin d'étudier la réponse indicielle de ce système, on souhaite factoriser le dénominateur. On
calculer alors le discriminant réduit du dénominateur :
∆' = ω n2 ⋅ (ξ 2 − 1)
On remarque alors que, si ξ ≥ 1, le dénominateur admet deux racines réelles (ou une racine
double). Par contre, si ξ < 1, le dénominateur admet deux racines complexes conjuguées.
1.
Cas n° 1 : ξ > 1
Les deux racines réelles sont de la forme :
Cours de Commande
27
s1 = −ξ ⋅ ω n + ∆'
s2 = −ξ ⋅ ω n − ∆'
= ω n ⋅ ( −ξ + ξ 2 − 1 )
= ω n ⋅ ( −ξ − ξ 2 − 1 )
On obtient alors :
K ⋅ω n
Y(s) =
= K ⋅ (A + B + C )
s s−s 1 s−s 2
s ⋅ (s−s 1) ⋅ (s−s 2)
2
On identifie les coefficients A, B et C :
A=1
B=
ω n2
C=
s1 ⋅ ( s1 − s2 )
ω n2
s2 ⋅ ( s2 − s1 )
La fonction y(t) peut alors s'écrire (à noter que les termes exponentiels sont décroissants étant
donné que les racines s1 et s2 sont strictement négatives) :
y(t) = K ⋅ (1 + B⋅e
s 1⋅t
+ C⋅e
s ⋅t
2
)
La Figure ci-dessous représente la réponse indicielle d’un système du second ordre avec K =
1, ωn = 10 rad/s, et différentes valeurs supérieures à 1 pour le coefficient d’amortissement.
Cours de Commande
28
2.
Cas n° 2 : ξ = 1
La racine réelle double est de la forme s1 = s2 = −ξ ⋅ ω n < 0. Comme le coefficient
d'amortissement est égal à 1, on a alors s1 = s2 = −ω n . Donc, on obtient :
K ⋅ω n
2
Y(s) =
s ⋅ (s+ω n)
2
C )
= K ⋅ (A + B +
s s+ω n (s+ω ) 2
n
On identifie les coefficients A, B et C :
A=1
C = −ω n
B = −1
La fonction y(t) peut alors s'écrire :
y(t)=K ⋅ (1−e
−ω ⋅t
n
−ω n⋅t⋅e
−ω ⋅t
n
) = K ⋅ (1−e
−ω ⋅t
n
⋅ (ω n⋅t + 1))
La Figure ci-dessous représente la réponse indicielle d’un système du second ordre avec K =
1, ωn = 10 rad/s, et ξ = 1.
3.
Cas n°3: ξ < 1
Les deux racines complexes conjuguées sont de la forme (à notre que Re(s1)<0 et Re(s2)<0) :
s1 = −ξ ⋅ ω n + j ⋅ ∆'
= ω n ⋅ ( −ξ + j ⋅ ξ 2 − 1 )
s2 = −ξ ⋅ ω n − j ⋅ ∆'
= ω n ⋅ ( −ξ − j ⋅ ξ 2 − 1 )
Au dénominateur, on peut faire apparaître :
Cours de Commande
29
⎡
Bs + C
⎢A +
=
K
2
2
2
s
s ⋅ (s +2ξ ⋅ω n⋅s + ω n)
(s+ξω n)2 + ω n 1−ξ
⎢⎣
K⋅ω n
2
Y(s) =
⎤
2⎥
⎥⎦
( )
On identifie les coefficients A, B et C :
B = −1
A=1
C = −2ξ ⋅ ω n2
La fonction Y(s) peut alors s'écrire :
s+2ξ ⋅ωn
)
Y(s)=K ⋅(1 −
s (s+ξ ⋅ωn) 2+ωn2⋅(1−ξ 2)
En utilisant les transformées inverses de Laplace, on en déduit la fonction y(t) (on a donc un
régime oscillatoire amorti) :
y(t) = K ⋅ (1 −
e
−ξ ⋅ω ⋅t
n
1−ξ
2
⋅ cos(ω n⋅ 1−ξ ⋅t+φ))
2
φ = −arctg( ξ 2 )
1−ξ
La Figure ci-dessous représente la réponse indicielle d’un système du second ordre avec K =
1, ωn = 10 rad/s, et différentes valeurs inférieures à 1 pour le coefficient d’amortissement.
Cours de Commande
30
a)
Calcul du temps de montée
Le temps de montée tm est le temps que met le système à atteindre, pour la 1ère fois, la valeur
finale K :
e − ξ ⋅ω n ⋅tm
⋅ cos(ω n ⋅ 1 − ξ 2 ⋅ t m + φ )) = K
y(t)s(t ) = K ⋅ (1 −
2
1− ξ
⇒
e −ξ ⋅ω n ⋅tm
1− ξ
⋅ cos(ω n ⋅ 1 − ξ 2 ⋅ t m + φ ) = 0
2
⇒ cos(ω n ⋅ 1 − ξ 2 ⋅ t m + φ ) = 0
⇒ ωn ⋅ 1 − ξ 2 ⋅ t m + φ =
π
2
+ k ⋅π
A chaque valeur k correspond un point d'intersection avec la droite y(t) = K. Le temps de
montée correspond donc au 1er point d'intersection, i.e. à la valeur k = 0. Donc, on a :
⇒ tm =
b)
1
ωn ⋅ 1 − ξ
⋅(
2
π
2
− φ)
Calcul du temps du 1er maximum
Les valeurs de t correspondant aux maxima et aux minima correspondent aux instants pour
lesquels la dérivée de y(t) s'annule. On obtient alors :
ξ ⋅ ωn
1− ξ
2
⋅ e −ξ ⋅ω n ⋅t ⋅ cos(ω n ⋅ 1 − ξ 2 ⋅ t + φ ) +
e − ξ ⋅ωn ⋅t
1− ξ
2
⋅ ω n ⋅ 1 − ξ 2 ⋅ sin(ω n ⋅ 1 − ξ 2 ⋅ t + φ ) = 0
⇒ ξ ⋅ cos(ω n ⋅ 1 − ξ 2 ⋅ t + φ ) + 1 − ξ 2 ⋅ sin(ω n ⋅ 1 − ξ 2 ⋅ t + φ ) = 0
⇒ tan(ω n ⋅ 1 − ξ 2 ⋅ t + φ ) = −
ξ
1− ξ2
= tan(φ )
⇒ ωn ⋅ 1 − ξ 2 ⋅ t + φ = φ + k ⋅ π
⇒ t Max =
k ⋅π
ωn ⋅ 1 − ξ 2
Le premier dépassement correspond au 1er maximum (k=1) :
⇒ t Max =
Cours de Commande
π
ωn ⋅ 1 − ξ 2
31
c)
Calcul des dépassements successifs
Donc, en notant yk la valeur du k-ième maxima (ou minima), on obtient :
ξ ⋅ω n ⋅
e
ysk k = K ⋅ (1 −
k ⋅π
ω n ⋅ 1−ξ 2
1− ξ
−ξ ⋅
⇒
yk sk = K ⋅ [1 −
e
⇒yksk = K ⋅ [1 −
e
k ⋅π
ωn ⋅ 1 − ξ 2
+ φ)
k ⋅π
1−ξ 2
1− ξ2
−ξ ⋅
⋅ cos(ω n ⋅ 1 − ξ 2 ⋅
2
⋅ cos( k ⋅ π + φ )]
k ⋅π
1−ξ 2
1− ξ2
⋅ (cos( k ⋅ π ) ⋅ cos(φ ) − sin( k ⋅ π ) ⋅ sin(φ ))]
−ξ ⋅
2 ⋅ k −1
⇒
⋅
yk sk = K ⋅ [1 − ( −1)
e
k ⋅π
1−ξ 2
1− ξ2
⋅ cos(φ )]
Or, comme cos(φ ) = 1 − ξ 2 , on obtient alors :
⇒y k = K ⋅ [1−(−1)
2⋅k−1
−ξ⋅ k⋅π
1−ξ
⋅e
2
]
On peut ainsi prédéterminer le niveau de
chacun des dépassements. Le 1er dépassement
a lieu pour k = 1 :
−ξ ⋅ π
1−ξ
y 1 = K ⋅ [1 + e
2
]
Le dépassement relatif est noté X1 et s’écrit :
−ξ ⋅
X 1=e
d)
π
1−ξ
2
Coefficient d'amortissement ξ
D'après l'expression des dépassements, on a :
Cours de Commande
32
−
ξ ⋅π
)=
(
X 1 e 1−ξ 2
= 3⋅ξ⋅π ⇒ ln X1
−
X2
X2
2
−
ξ
1
e
2⋅ξ ⋅π
1−ξ
2
On peut donc déterminer le coefficient d'amortissement d'un système du second ordre à partir
d'un essai indiciel :
2
⎡ ⎛ X ⎞⎤
⎢ln⎜⎜ X 1 ⎟⎟⎥
⎣⎢ ⎝ 2 ⎠⎦⎥
⇒ξ =
2
⎡ ⎛ X ⎞⎤
2
(4⋅π + ⎢ln⎜⎜ 1 ⎟⎟⎥ )
X
⎣⎢ ⎝ 2 ⎠⎦⎥
e)
Temps de réponse à 5%
Pour déterminer tr, il faut trouver l'instant au bout duquel la réponse indicielle est entrée et
reste dans le canal des 5%. Les équations résultantes de cette affirmation n'étant pas triviales à
résoudre, on utilise alors l'abaque suivant, donnant le facteur d'amortissement ξ en fonction du
produit t r ⋅ ω n .
On note que le compromis entre temps de réponse faible et dépassement raisonnable se fait
pour un coefficient d'amortissement ξ égal à 0.707. En effet, pour cette valeur, on a :
ω n ⋅ t r = 3 ⇒ X 1 = 4.32%
C.
REPONSE HARMONIQUE
La fonction de transfert harmonique d'un système du second ordre s'écrit :
Cours de Commande
33
F ( jω ) =
K
ω ⎛ j ⋅ω ⎞
+⎜
1+ 2 j ⋅ξ ⋅
⎟
ωn ⎝ ωn ⎠
2
On pose w = ω . On obtient alors F(jw) =
K
2 .
1+2 j ⋅ ξ ⋅ w + ( j ⋅ w)
Le module et l'argument de la fonction de transfert s'écrivent alors :
ωn
F(j⋅w) =
K
2
2
(1−w ) + 4⋅ξ ⋅w
2 2
⎛
⎞
⎜1−w ⎟
⎝
⎠
φ = Arg(F(j⋅w)) = −arctg⎜ 2⋅ξ ⋅w2 ⎟
On considère maintenant les variations de F(j⋅w) , de 20⋅log F(j⋅w) et de Arg(F(j⋅w)) .
w
F(j⋅w)
20⋅log(F(j⋅w)
Arg(F(j⋅w))
0
∞
K
0
20 ⋅ log( K )
-∞
0
-π
Ces données peuvent se résumer par des diagrammes asymptotiques :
♦ Diagramme d'amplitude :
• Pour w < 1, on a une asymptote horizontale en 20 ⋅ log( K ) .
• Pour w >1, on a une asymptote à -40dB/décade.
♦ Diagramme de phase :
• En hautes fréquences, on a une asymptote horizontale en 0°.
• En basses fréquences, on a une asymptote horizontale en -180°.
Cours de Commande
34
Les 2 asymptotes du diagramme d'amplitude se coupent en (20 ⋅ log( K ), ω n ) . La Figure ciavant décrit, dans le plan de Bode, le lieu de transfert d’un système du second ordre avec un
gain statique K = 10, une pulsation propre ωn = 100 rad/s, et différentes valeurs du coefficient
d’amortissement.
1.
Etude du gain
On souhaite maintenant savoir la valeur de w pour laquelle on obtient un module maximum.
On calcule la dérivée du module par rapport à w :
d F(j⋅w)
4⋅w −4⋅w⋅(1−2⋅ξ )
=−
2 2
2
2 3
dw
[(1−w ) +4⋅ξ ⋅w ] 2
3
2
On a donc un module maximum pour w annulant :
3
2
4⋅w − 4 w ⋅ (1 − 2⋅ξ ) = 0
Une des solutions est w = 0. En posant que w>0 , on a alors w = 1−2⋅ξ . La condition
2
d'existence de cette solution est que ξ < 0.707 .
a)
Pulsation de résonance
On dit alors qu'il y a résonance si ξ < 0.707, la pulsation de résonance étant égale à :
ωr = ωn ⋅ 1 − 2 ⋅ ξ 2
La pulsation de résonance ωr est inférieure à la pulsation propre non amortie ωn . Ces deux
pulsations deviennent plus proches quand le coefficient d'amortissement diminue, pour être
égales quand ξ = 0 : le système est alors un oscillateur libre.
b)
Facteur de surtension (ou de résonance)
Ce facteur permet de quantifier la valeur du "pic" de gain à la fréquence de résonance. On
suppose donc que le coefficient d'amortissement ξ est inférieur à 0.707. La valeur maximum
du gain est atteinte pour la fréquence de résonance, i.e. w = 1−2⋅ξ . Donc, on a :
2
F(j⋅w) MAX =
K
2⋅ξ ⋅ 1−ξ
2
On appelle facteur de surtension (ou de résonance) le rapport Q défini par :
F(j⋅u) MAX
2
1
Q=
=
⇒ QdB = −20⋅log(2⋅ξ ⋅ 1−ξ )
2
K
2⋅ξ ⋅ 1−ξ
Cours de Commande
35
c)
Pulsation de coupure
Il s'agit de la pulsation pour laquelle le gain chute de 3dB par rapport au gain statique (ou une
division par 2 du gain naturel par rapport au gain statique). En posant wc=ωc/ωn, on a alors :
2 2
2
2
4
2
2
K
= K ⇒ (1−wc ) + 4⋅ξ ⋅wc = 2 ⇒ wc +2⋅wc ⋅(2⋅ξ −1) − 1 = 0
2
2
2
(1−wc ) +4⋅ξ ⋅wc
2 2
Cette équation a deux solutions réelles en wc2. Seule la positive est conservée :
wc = 1 − 2⋅ξ + (2⋅ξ −1) +1
2
2
2
2
Donc, la pulsation de coupure est égale à :
ω c = ω n ⋅ 1 − 2 ⋅ ξ 2 + (2 ⋅ ξ 2 − 1) 2 + 1
2.
Etude de la phase
⎛ 2⋅ξ ⋅w ⎞
⎟ . Pour le diagramme de phase, on a vu précédemment que :
On a Arg(F(j⋅w)) = −arctg⎜
⎜ 1−w 2 ⎟
⎝
⎠
• En hautes fréquences, on a une asymptote horizontale en 0°.
• En basses fréquences, on a une asymptote horizontale en -180°.
• Pour ω = ω n , on a une phase égale à -90°.
Il faut de plus noter que la jonction des 2 asymptotes se fait par l'intermédiaire d'une droite
dont la pente dépend de ξ (voir plan de Bode).
3.
Lieux de Black et de Nyquist
La Figure ci-après décrit, dans les plan de Nyquist (gauche) et de Black (droite), le lieu de
transfert d’un système du second ordre avec un gain statique K = 10, une pulsation propre ωn
= 100 rad/s, et différentes valeurs du coefficient d’amortissement.
Cours de Commande
36
4.
ξ
0.26
0.4235
0.43
0.7
> 0.7
Conclusions
Réponse unitaire
Réponse très oscillatoire amortie
Réponse oscillatoire amortie
Réponse oscillatoire amortie
Réponse à peine oscillatoire
Réponse monotone
Réponse harmonique
QdB = 6 dB
QdB = 2.3 dB
QdB = 2.3 dB
QdB = 0 dB
-
tr
10.72/ωn
7.1/ωn
5.22/ωn
2.89/ωn
6ξ/ωn
Pour la valeur ξ = 0.43, on réalise le meilleur compromis entre bande passante et temps de
réponse.
D.
SYSTEME DU SECOND ORDRE BOUCLE
On considère le système du second ordre avec une fonction de transfert F(s) bouclé par un
retour A :
Y
S(p)
YUcp) +
Ε(
εU(p)
F(p)
F(s
−
G
A
On obtient donc :
U(s) = Yc (s) − AY(s) ⇒
Y(s)
F(s)
=
1
+
AF(s)
Yc (s)
La fonction de transfert du système en boucle fermée s'écrit donc :
Cours de Commande
37
F '(s) =
Y(s)
=
Yc (s)
K
1+ A⋅K
2
s
2⋅ξ
⋅s + 2
1+
ω n⋅(1+ A⋅K)
ω ⋅(1+ A⋅K)
n
=
K'
2
s
ξ'
1 + 2⋅ ' ⋅s + ' 2
ωn
ωn
Les paramètres du système du second ordre s'écrivent :
K '=
K
1+ A⋅K
ω n = ω n⋅ 1+ A⋅K
'
ξ '=
ξ
1+ A⋅K
• Précision dynamique Un système bouclé du second ordre est plus rapide qu'un système en
boucle ouverte.
• Précision statique : calcul de l’écart ep(t) = yc(t) –Ay(t) , avec yc(t) = échelon unitaire
AK '
)
Ep(s) = Yc (s) - AY(s) = Yc (s)⋅(1 −
2
'⋅s + ( s ) 2
⋅
ξ
1+
ω 'n
ω 'n
1
⇒ lim
(ep(t)) = lim
(s⋅Ep(s)) = 1− AK' =
t→∞
s→0
1+ A⋅K
Si on considère qu'on a un retour unitaire (A=1), on a alors :
lim
(ep(t)) = 1
t→∞
1+K
Cours de Commande
38
V. SYSTEMES DE DEGRE QUELCONQUE – SYSTEMES A RETARD
A.
FONCTION DE TRANSFERT ET FORME CANONIQUE
Soit un système linéaire ayant la fonction de transfert H(s) défini par
N(s)
H(s) =
D(s)
avec d°(N) = n et d°(D) = m. La forme canonique de ce système s’écrit
H(s) = Kc F(s)
s
avec K le gain statique, F(0) = 1 et c un entier appelé « classe du système » tel que
c > 0 : c = nombre de pôles à l’origine (nombre d’intégrateurs)
c < 0 : c = nombre de zéros à l’origine (nombre de dérivateurs)
La fonction de transfert de F(s) est défini par
F(s) =
(1+τ1s)(1+τ2s) ...
(1+T1s)(1+T2s) ...
où Ti et τj peuvent être à parties réelles positives ou négatives.
Si Re[Ti] > 0 pour tout i, alors H(s) est stable,
S’il existe des Ti (ou des τj ) complexes, ils apparaissent par paires conjuguées. Dans
s + s2 ) .
ce cas, on les rassemble dans un terme du second ordre de la forme : (1+2ξi ω
i ω2
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
i
L’entier ξi peut être positif, négatif, ou nul. Si ξi > 0 pour tout i, alors H(s) est stable
B
B
B
B
Pour résumer, la fonction de transfert peut être écrite sous la forme d’un produit de polynôme
d’ordre 0, 1 ou 2 tel que
N
F(s) = ∏Fi(s)
i=1
avec
2 γi ⎫
⎧
s
s
)
+
βi (1 + 2ξi
⎪
αi
ωi ωi2 ⎪⎬
Fi(s) ∈ ⎨Ki , s , (1+sTi ) ,
⎪
⎪
⎩
⎭
B.
et αι, βι, γι entiers relatifs
B
B
B
B
B
B
REPONSE HARMONIQUE, LIEUX DE TRANSFERTS
Comme il a été mentionné précédemment, l’analyse harmonique d’un système se fait en
mettant sur l’entrée du système un signal sinusoïdal. En notant u(t) l’entrée du système, on a
u(t) = U1 sin(ωt)
Pour la classe de systèmes considérée, une entrée sinusoïdale implique une sortie sinusoïdale,
à savoir
Cours de Commande
39
y(t) = Y1 sin(ωt + Φ)
avec
Φ = Arg[F(jω )] = ∑ Arg[Fi(jω )]
N
Y1 = F(jω ) = ∏
Fi(jω )
U1
i=1
N
i=1
Les gains étant exprimés habituellement en dB, on obtient
FdB = ∑20 Log10[Fi(jω )]
i=1
N
Φ = Arg[F(jω )]=∑ Arg[Fi(jω )]
N
i=1
Pour résumer
Le gain en dB du système soumis à une entrée sinusoïdale est égal à la somme des gains en
dB des systèmes élémentaires composants ce système.
La phase du système soumis à une entrée sinusoïdale est égale à la somme des phases des
systèmes élémentaires composants ce système.
1.
Représentation dans le plan de Bode
• Sous-système proportionnel F(s) = K > 0
U
U
FdB = 20 Log10[K ]
Φ = Arg[K ] = 0°
Les courbes d’amplitude et de phase sont :
dB FdB
20logK
Φ°
ω
0
1
0.1
10
• Sous-système F(s) = sα
U
U
P
ω
0
1
0.1
10
P
FdB = 20α Log10[ω]
Φ = α×90°
La courbe d’amplitude est une droite de pente 20α dB par décade (ou 6α dB/octave).
La courbe de phase est une horizontale à α × 90°
EXEMPLE. Pour α > 0, les courbes d’amplitude et de phase sont :
Cours de Commande
40
Φ°
dB FdB
90α
20α
ω
0
0.1
1
ω
0
10
0.1
-20α
1
10
• Sous-système F(s) = (1+ sT)β :
U
U
P
P
2
Φ = β Atan[ωT ]
2
FdB = 10 β Log10[1+ω T ]
Les courbes d’amplitude et de phase se déduisent de celles du premier degré : pour le gain,
pente de [sign(β)20dB] par décade à partir de la pulsation de coupure … (voir Chapitre III).
EXEMPLE. Si β > 0 et T > 0, les courbes d’amplitude et de phase sont
dB
0.1
FdB
1
20β
10
10β
7β
6β
3β
β
0
90β
ωT
Φ°
45β
ωT
0
0.1
1
β
10
β
REMARQUE . Si T < 0, alors 1 + jωT = 1 − jωT : le gain est donc inchangé ; on obtient donc
la même courbe d’amplitude. Par contre, on a Arg[1+ jωT] =− Arg[1− jωT] : ceci implique
alors une symétrie de la courbe de phase par rapport à l’axe des ω.
Cours de Commande
41
2
• Sous-système
U
U
γ
F(s) = (1+2ξ s + s 2 )
ω ω
Les courbes se déduisent de celles du second degré :
La courbe de gain en dB en fonction de log(ω) a 2 asymptotes (ω est porté en
échelle logarithmique): une asymptote horizontale FdB = 0 quand ω → 0 et une
asymptote oblique de pente 40γ dB par décade (ou 12γ dB/octave) quand ω
→ ∞ . On démontre que ces 2 asymptotes se coupent au point [ω = ωn ; FdB =
0].
La courbe Φ( ω) a 2 asymptotes horizontales : Φ = 0 quand ω → 0 et Φ =
γ x180° quand ω → ∞
B
B
B
B
B
B
Exemple. Tracer dans le plan de Bode, en utilisant les approximations asymptotiques et
pseudo- asymptotiques, les courbes d’amplitude et de phase de la fonction de transfert :
U
U
F(s) =
10
s(1+2s)(1+5s)
AMPLITUDE. On trace les amplitudes des 4 termes élémentaires en utilisant les approximations
asymptotiques pour les 2 constantes de Temps .
U
U
1
1
160 1 + 5s
1 + 5s 1 + 5s
dB FdB
40
34
K=10
20
18
1/s
ω
0
1/1+5s
-20
1/1+2s
-40
-60
0.01
0.1
0.2
0.5
1
10
La somme des 4 termes élémentaires présente donc une pente de -20dB/décade (-6dB/octave)
entre 0 et 0.2 rd/s, de –40dB/décade (-12dB/octave) entre 0.2 rd/s et 0.5 rd/s, et de –60
dB/décade (-18dB/octave) entre 0.5 rd/s et ∞.
Cours de Commande
42
Pour ω = 0.01 rd/s :
db
Pour ω = 1 rd/s :
Pour ω = 0.2 rd/s :
Pour ω = 0.5 rd/s :
la somme des 4 termes élémentaires est : 20 + 40 + 0 + 0 = 60
la somme des 4 termes élémentaires est : 20 + 0 – 6 –14 = 0 db
l’amplitude est : 40 – 6 = 34 db
l’amplitude est : 0 + 3x6 = 18 db
Les coordonnées des points caractéristiques peuvent être résumées dans le tableau suivant :
ω
|H|
0
∞
0.01
60
0.2
34
0.5
18
∞
∞
10
-60
PHASE. On trace les phases des 4 termes élémentaires en utilisant les approximations pseudoasymptotiques pour les 2 constantes de Temps .
U
U
Φ°
ω
0
K=10
-45
1/1+2s
1/1+5s
-90
-108
1/s
-135
-180
-225
-252
-270
0.01
0.02
0.05
0.1
1
2
5
10
La somme des 4 termes élémentaires présente donc une horizontale à –90° entre 0 et 0.02
rd/s, une droite de pente de –45°/décade (–13.5°/octave) entre 0.02 rd/s et 0.05 rd/s, de
–90°/décade (–27°/octave) entre 0.5 rd/s et 2 rd/s, de de –45°/décade (–13.5°/octave) entre 2
rd/s et 5 rd/s, enfin une horizontale à –270° entre 5 rd/s et ∞.
Pour ω = 0.05 rd/s : l’amplitude est : -90° –(45° –13.5° –13.5°) = –108°
Pour ω = 0.5 rd/s : l’amplitude est : -270° +(45° –13.5° –13.5°) = –252°
Les coordonnées des points caractéristiques peuvent être résumées dans le tableau suivant :
Cours de Commande
43
ω
Arg[H]
2.
0
−90°
0.02
−90°
0.05
−108°
2
−252°
5
−270°
∞
−270°
Représentation dans le plan complexe : lieu de Nyquist
La construction point par point est longue et fastidieuse. On utilise donc, en pratique, les
tracés dans le plan de Bode.
⇒
⇒
Variations de F(ω) et Φ(ω)
Lieu de Nyquist
10
. Des tracés (pseudo) asymptotiques précédents, on déduit le
s(1+2s)(1+5s)
tableau des variations suivant :
EXEMPLE. F(s) =
ω
|F|
Arg[F]
0
∞
-90°
∞
0
- -270°
Quand ω varie de 0 à ∞, on se rapproche de l’origine en tournant dans le sens inverse
trigonométrique de –90° à –270°. Le lieu de Nyquist a donc l’allure suivante :
Im
ω=∞
Re
ω=0
3.
Représentation dans le plan de Black
La représentation dans Black est basée sur les mêmes outils que la représentation dans le plan
de Bode. Il s’agit donc d’un outil parfaitement adapté à la représentation fréquentielle de
systèmes d’ordre quelconque (en particulier pour la synthèse des correcteurs - voir chapitres
suivants).
Cours de Commande
44
4.
Caractéristiques de la réponse fréquentielle
Pour les systèmes de degré quelconque les définitions (Chapitre 2) de pulsation de coupure,
ωc , bande passante, pulsation de résonance, ωR , et coefficient de surtension, Q , restent
valables.
B
B
B
C.
B
SYSTEME A DEPHASAGE MINIMAL (OU NON MINIMAL)
1.
Problème
Soit un système linéaire de fonction de transfert F(s) inconnue dont on ne connaît que la
courbe de module F(jω ) . Le problème est de déterminer
Φ(ω) = Arg[F(jω )]
REPONSE. Il existe une infinité de systèmes S0, S1, S2, ,… de fonction de transfert F0(s), F1(s),
F2(s),… qui possèdent la même courbe de module F(jω ) . Ces systèmes ne différent que par
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
la présence de facteurs
D1 (s) =
1 - sτ
1 + sτ
τ>0
ou (et)
1 − 2ξi s +
ωn
D2(s) =
1 + 2ξi s +
ωn
2
s
2
ωn
2
s
2
ωn
ζ > 0 et ωn > 0
B
B
En effet :
D1 (jω) =
1 - jωτ
=1
1 + jωτ
ω2
jω
− 2ξ
2
ωn
ωn
=1
D2(j ω) =
2
ω
jω
1- 2 + 2ξ
ωn
ωn
et
1-
et
Arg[D1(j ω)] = −2 Atan(ωτ)
2ςω/ω n
⎧
⎪− 2Atan 1 - ω2 / ω2 ; ω ≤ ωn
⎪
n
Arg[D2 (jω)] = ⎨
⎪− 2Atan 2ςω/ω n − 2π ; ω ≥ ω
n
⎪⎩
1 - ω2 / ω2n
Il existe alors un seul système S0, de fonction de transfert F0(s), sans termes déphaseurs tel
que :
+∞ Ln F(ju)-Ln F(j ω)
F0(jω ) = F(jω )
⇒
Φ0(ω)= 2ω ∫−∞
du
2
2
π
u −ω
B
2.
B
B
B
Définition
Un système est à déphasage minimal s’il ne possède pas de zéro à partie réelle positive. Il est
à déphasage non minimal s’il possède un (ou plusieurs) zéro à partie réelle positive.
3.
Réponse indicielle d’un système à déphasage non minimal
La réponse indicielle, y(t), d’un système à non minimum de phase possédant un seul zéro à
partie réelle positive (cas le plus fréquent) « démarre dans le mauvais sens ».
Cours de Commande
45
y
y
t
t
0
Système S0 à minimum de phase
B
Système S1 à non minimum de phase
B
B
B
m
Preuve. Le système S0 admet pour fonction de transfert F0(s) = K bm s n +...+1 avec K > 0 (non
an s +...+1
restrictif), et
an > 0 → le système S0 est supposé stable
bm > 0 → le système S0 est à minimum de phase
U
U
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Le système S1 admet comme fonction de transfert
F1(s) = F0(s)1-sτ
1+sτ
B
B
Pour le système S0, la première dérivée non nulle est positive
dy(0)
dy(0)
d 2 y(0)
> 0 ; ou si
= 0 alors
>0 …
dt
dt
dt 2
B
B
En effet, d’après les théorèmes de la dérivée et de la valeur initiale sur la transformée de
Laplace
d n - m y(0)
b ms m + ... + 1 1
b
n -m
= lim[s(s K
⋅ )] = K m > 0
n -m
n
s
→
∞
dt
a n s + ... + 1 s
an
Pour le système S1, la première dérivée non nulle est négative
d n - m y(0)
b ms m + ... + 1 1 - sτ 1
b -τ
n -m
= lim[s(s K
⋅
⋅ )] = K m ⋅
<0
n -m
n
s
→
∞
dt
a n s + ... + 1 1 + sτ s
an τ
B
B
B
B
4.
Exemple
Tracer dans le plan de Bode, en utilisant les approximations asymptotiques et pseudoasymptotiques, les courbes d’amplitude et de phase des deux fonctions de transfert
F0(s) =
1+0.5s
et
(1+s)(1+0.1s)
F1(s) =
(1+0.5s)(1−s)
2
(1+s) (1+0.1s)
F0(s) est à minimum de phase et F1(s) est à non minimum de phase (un terme déphaseur du
premier ordre)
F1(s) = F0 (s)1−s
1+s
B
B
Cours de Commande
B
B
46
GAINS. Les courbes d’amplitude des deux fonctions de transfert sont évidemment
identiques. On trace les amplitudes des 3 constantes de Temps en utilisant les approximations
asymptotiques. La somme des 3 termes élémentaires présente donc une horizontale à 0 dB
entre 0 et 1 rd/s, une droite de pente de –20dB/décade (-6dB/octave) entre 1 rd/s et 2 rd/s,
une horizontale à –6 dB entre 2 et 10 rd/s, et une droite de pente de -20dB/décade (6dB/octave) entre 10 rd/s et ∞.
PHASES. Les On trace les phases des 3 constantes de Temps en utilisant les approximations
pseudo-asymptotiques. Arg[F0(s)] présente donc une horizontale à 0° entre 0 et 0.1 rd/s, une
droite de pente –45° /décade (–13.5°/octave) entre 0.1 rd/s et 0.2 rd/s, une horizontale à –
13.5° entre 0.2 et 1 rd/s, une droite de pente de –90°/décade (–27°/octave) entre 1 rd/s et 10
rd/s, une horizontale à –58.5° entre 10 et 20 rd/s, une droite de pente –45°/décade (–
13.5°/octave) entre 20 rd/s et 100 rd/s, enfin une horizontale à –90° entre 100 rd/s et ∞. On
trace la phase du terme déphaseur en utilisant les approximations pseudo-asymptotiques.
Arg[F1(s)] présente donc une horizontale à 0° entre 0 et 0.1 rd/s, une droite de pente –135°
/décade (–40.5°/octave) entre 0.1 rd/s et 0.2 rd/s, de –90° /décade (–27°/octave) entre 0.2 et 1
rd/s, de –135° /décade (–40.5°/octave)entre 1 rd/s et 10 rd/s, une horizontale à –238.5° entre
10 et 20 rd/s, une droite de pente –45°/décade (–13.5°/octave) entre 20 rd/s et 100 rd/s, enfin
une horizontale à –270° entre 100 rd/s et ∞.
B
B
B
B
La phase F0(s) de varie entre 0 et –90° et celle de F1(s) entre 0 et –270°. Le déphasage de
F0(s) de varie donc entre 0 et 90° et celui de F1(s) entre 0 et 270°. Ceci justifie l’appellation
de système à non minimum de phase pour F0(s).
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Les courbes d’amplitude et de phase exactes (tracées avec la boîte à outils « commande » de
Matlab) sont données par la figure page suivante. On constate un écart faible avec les
constructions (pseudo) asymptotiques.
Remarque. Les réponses indicielles y0(t) et y1(t) de F0(s) et F1(s) (tracées avec la boîte à
outils « commande » de Matlab) sont les suivantes
B
B
B
B
B
B
B
B
y0 y1
1
0.8
y0(t)
0.6
y1(t)
0.4
0.2
t
0
-0.2
-0.4
Cours de Commande
0
1
2
3
4
5
6s
47
dB F0dB = F1dB
20
1+0.5s
10
ω
0
1/1+0.1s
-6
-10
1/1+s
-20
-30
90
Φ°
1+0.5s
ω
0
-13.5
1/1+0.1s
F0(s)
-40.5
-58.5
1/1+s
-90
-103.5
1-s/1+s
-180
F1(s)
-238.5
-270
Cours de Commande
0.1-1
10
1
10
100
48
D.
SYSTEME DU SECOND ORDRE EQUIVALENT A UN
SYSTEME D’ORDRE QUELCONQUE
De nombreux systèmes asservis ou régulés présentent une surtension en régime harmonique,
tout comme les systèmes du second ordre.
DEFINITION. Le système du second ordre équivalent à un système d’ordre quelconque,de
fonction de transfert F(s) est le système du second ordre présentant la même surtension Q, la
même pulsation de résonance ωR et le même gain statique |F(0)|.
Notons F2(s) la fonction de transfert du système du second ordre équivalent
K
F2(s) =
2
s
1 + 2ξ ωsn + ω
n2
La différence principale entre les lieux de transfert du système réel et du système équivalent
apparaît principalement en hautes fréquences, c’est à dire pour les pulsations supérieures à la
pulsation de coupure.
dB
F
Q
|F|
ω
ωR ωn
|F 2|
Généralement, les réponses temporelles sont relativement voisines l’une de l’autre. Par
exemple, pour les deux réponses indicielles y(t) et y2(t) (réponses du système réel et du
système équivalent), les dépassements X1 et X12 et les instants mis pour atteindre les
dépassements tp et tp2 seront proches. En conséquence, on utilise pour les systèmes de degré
quelconque la relation X1 = X1(Q) calculée pour les systèmes du second degré :
Q (valeur naturelle) →
Q =
π 2 + [ln( X 1 )]2
2 π ln( X 1 )
Cours de Commande
1- 1-1/Q
ξ=
2
⇔
2
→
X1 = exp(-
πξ
)
2
1-ξ
X1 = exp[-π (Q - Q 2 - 1)]
49
Les valeurs numériques les plus utilisées sont
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
QdB
21.8
22.4
X1 % 19.9 20.6 21.2
B
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
23.0
23.6
24.2
24.8
25.4
26.0
B
E.
SYSTEME A RETARD
Un système à retard pur (égal à τ) est défini par y(t) = u(t-τ).
u
Retard pur τ
y
D’après le théorème du retard sur la transformée de Laplace, on obtient
Y(s) = e- sτ U(s)
Si on compare avec la définition de la fonction de transfert d’un système linéaire :
Y(s) = F(s)⋅U(s) (conditions initiales nulles).
on pourrait conclure (trop) rapidement que la fonction de transfert du retard pur = τ s’écrit
H(s) = e−sτ , ce qui n’est pas juste car e- sτ n’est pas une fraction rationnelle.
1.
Etude harmonique du retard pur
Soit l’entrée de la cellule retard pur, u(t) = U1 sin(ωt) . La sortie s’écrit alors
y(t) = U1 sin [ω(t-τ)]
On retrouve donc ici un régime permanent sinusoïdal :
y(t) = Y1 sin(ωt+Φ)
avec
Y1
- jωτ
- jωτ ⎤
=e
= 1 et Φ = Arg ⎡⎢e
⎥⎦ = −ωτ
U1
⎣
Par convention on choisit comme diagramme fonctionnel du retard pur
u
e - sτ
y
EXEMPLE. Soit l’asservissement ci dessous dont on désire étudier la stabilité en boucle
fermée.
Cours de Commande
50
yC
B
+
B
K
_
e - sτ
1 + sT
u
y
La « fonction de transfert » en asservissement est :
K e-sτ
N(s)
Y(s)
= F(s) =
-sτ = D(s)
YC(s)
1+sT +K e
Il est impossible d’appliquer certains critères « classiques » (critère de Routh, par exemple ;
voir chapitres suivants) à la fonction D(s). En effet, D(s) n’est pas un polynôme. Il faut
néanmoins noter qu’il existe une théorie de la stabilité des systèmes à retard.
2.
Lieux de transfert
a)
Lieu de Nyquist
C’est un cercle centré autour de l’origine, de rayon 1, parcouru une infinité de fois.
Im
ω= 3π/2τ , 7π/2τ , …
Re
ω= π/τ , 3π/τ , …
0
ω= 0, 2π/τ , 4π/τ , …
ω= π/2τ , 5π/2τ , …
b)
Plan de Bode
La courbe d’amplitude est une horizontale à 0 db. La courbe de phase décroît de 0° à -∞.
Cours de Commande
51
db A
1
0.5
ωτ
0
-0.5
-1
ωτ
Φ°
0
-90
-180
-270
-360
-450
-540
-630
0.1
1
c)
10
Lieu de Black
C’est une horizontale à 0db, parcourue une infinité de fois de 0° à –360°.
db A
-360°
-180°
ω = 2π/τ , 4π/τ , …
ω = π/τ , 3π/4τ , 5π/4τ , ...
Cours de Commande
0
Φ°
+
ω = 0 , 2π/τ , 4π/τ , …
52
VI.
A.
SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES CONTINUS
FONCTION DE TRANSFERT EN BOUCLE FERMEE
1.
Introduction
D'une manière générale, un système asservi peut se mettre sous la forme suivante :
w
d
Gw(s)
Régulateur ou Correcteur
yc
yr
Rc(s)
e
C(s)
+
+
u
F(s) +
Actionneur
+ Processus
+ Capteur
y
-
On note :
yc la consigne (détermine l’objectif à atteindre),
yr la référence (mise en forme de la consigne, de manière à la comparer à la sortie
mesurée),
e l’erreur (l’objectif est de l’annuler),
u la commande,
w perturbation,
y la sortie.
Les deux blocs composant le régulateur/correcteur sont :
Rc(s) le précompensateur. Ce système a pour rôle de mettre en forme la consigne
suivant différents objectifs (par exemple non-saturation de la commande u en filtrant
la consigne : le précompensateur peut alors être un filtre passe-bas ; annulation de
l’écart statique entre la sortie et la consigne : le précompensateur est alors un gain).
C(s) la loi de commande.
Définition
Y = Mesure = Fonction de transfert en asservissement,
Yc Consigne
Y = Mesure = Fonction de transfert en régulation.
W Perturbation
2.
Sensibilité et sensibilité complémentaire
a)
Sensibilité aux perturbations
L’objectif est de quantifier l’influence de la perturbation w sur la sortie y. On suppose que
yc=0. A partir du schéma précédent, la fonction de transfert entre la perturbation d et l’écart e
s’écrit
Cours de Commande
53
e(s) =
−1
d(s)
1+C(s)F(s)
Par définition, on a
La sensibilité S(s) : S(s) =
1
,
1+C(s)F(s)
Le transfert de boucle : L(s) = C(s)F(s) ,
La différence de retour : [1 + L(s)] .
b)
Sensibilité aux erreurs de modèles
L’objectif est de quantifier l’influence des erreurs de modèles sur la sortie y. On suppose que
w=0. La fonction de transfert en asservissement est
Y = H(s) = C(s)F(s)R c(s)
1+C(s)F(s)
Yc
Supposons que la consigne yc soit sinusoïdale, de pulsation ω. La fonction de transfert
précédente s’écrit
C(jω)F(jω)R c(jω)
H(jω) =
1+C(jω)F(jω)
La variation ∆F(jω) sur F(jω) entraîne une variation ∆H(jω). A partir de l’approximation du
premier ordre de ∆H(jω)
∆H ≅ dH ∆F = CR c 2 ∆F ,
(1+CF)
dF
on obtient
∆H = 1 ⋅ ∆F
H
1+CF F
La variation relative du lieu de transfert du processus se transmet sur la variation relative du
lieu de transfert en asservissement par l’intermédiaire, à nouveau, de la sensibilité S(s).
c)
Sensibilité complémentaire
L’objectif est de minimiser la sensibilité S(s) grâce à un réglage judicieux de C(s). Cette
minimisation revient, d’une façon équivalente, à avoir (1-S) proche de 1. Ainsi, la sensibilité
complémentaire est définie par
T(s) = 1−S(s) = CF = L
1+CF 1+L
La fonction de transfert en asservissement s’écrit alors
H(s) = T(s)Rc (s)
B.
REDUCTION DES SCHEMAS BLOCS
La représentation des éléments d'un système par leur fonction de transfert permet de les
combiner pour réduire les schémas fonctionnels. Une liste non exhaustive des simplifications
induites par ces réductions est donnée ci-après :
Cours de Commande
54
E(s)
REGLE 1
E(s)
A(s)
E(s)
S(s)
B(s)
A(s)
+
S(s)
A(s).B(s)
E(s)
+-
S(s)
S(s)
+
A(s)-B(s)
REGLE 2
B(s)
E(s)
E(s)
S(s)
A(s)
S(s)
A(s)
REGLE 3
S'(s)
S'(s)
A(s)
E(s)
A(s)
+
E(s)
S(s)
+
+
REGLE 4
A(s)
+
S(s)
E'(s)
E'(s)
E(s)
REGLE 5
A(s)
+
H1(s)
+
-
E(s)
S(s)
H1(s)
1+H1(s).H2(s)
H2(s)
E(s)
A(s)
+
-
B(s)
S(s)
E(s)
REGLE 6
E(s) +
-
A(s)
S(s)
-
A(s) B(s)
S (s)
C (s)
A(s)
C (s)
REGLE 7
+
E(s)
+
-
A(s) B(s)
1 S(s)
A(s)
B (s)
Cours de Commande
55
C.
DETERMINATION GRAPHIQUE DU LIEU DE TRANSFERT
D’UN SYSTEME EN BOUCLE FERMEE
On considère la forme suivante de système bouclé
+
yc
Rc(s)
yr +
e
d
+
L(s)
y
-
L(s) est le transfert de boucle, et les fonctions de transfert en asservissement et en régulation
sont respectivement
Y = 1 = S(s)
Y = Rc (s) ⋅ L(s) = Rc (s)T(s) ,
D 1+L(s)
1+L(s)
Yc
Pour discuter des performances du système bouclé, on pourrait développer le calcul en
recherchant les racines du dénominateur des deux fonctions de transfert précédentes. Mais,
cela est peu intéressant car le calcul serait à refaire à chaque fois qu'on modifierait un
paramètre dans le transfert de boucle (rappel : le transfert de boucle est composé des fonctions
de transfert du correcteur et du système L(s) = C(s)F(s)). On utilise alors une méthode
graphique plus rapide et plus sûre. Le résultat sera utilisé dans le chapitre pour l’analyse des
systèmes.
1.
Transformation Transfert
sensibilité complémentaire
de
Boucle
–
Transfert
de
Dans le but de simplifier l’exposé, on suppose que Rc(s)=1. Donc, la sensibilité
complémentaire s’écrit
L(s)
T(s)=
1+ L(s)
L’idée est de chercher un moyen simple permettant de passer du lieu de transfert de boucle
L(s) (qui caractérise le système en boucle ouverte) au lieu de transfert de sensibilité
complémentaire T(s) (qui caractérise le système en boucle fermée). On suppose que L(s) est
caractérisé en régime harmonique par :
• un module A = L(ω) dépendant de la pulsation,
• un argument ϕ (ω ) dépendant de la pulsation.
On peut montrer que T(jω) est aussi un complexe dont le module et l'argument dépendent
directement de A et de ϕ (ω ) . En effet, T(jω) est caractérisé en régime harmonique par :
A
• un module B =
,
2
1+ A +2A⋅cosϕ
Cours de Commande
56
• un argument ψ = Atan(
sinϕ
).
A+cosϕ
Démonstration On calcule T(jw) en posant L(jω)= A⋅(cosϕ + j⋅sinϕ) .
A ⋅ (cosϕ + j ⋅ sin ϕ )
1 + A ⋅ (cos ϕ + j ⋅ sin ϕ )
A ⋅ (cos ϕ + j ⋅ sin ϕ ) ⋅ (1 + A ⋅ cosϕ − j ⋅ A ⋅ sin ϕ )
=
(1 + A ⋅ cosϕ ) 2 + A 2 ⋅ sin 2 ϕ
T(j
ω) =
FTBF
cosϕ + A ⋅ cos 2 ϕ − j ⋅ A ⋅ sin ϕ ⋅ cosϕ + j ⋅ sin ϕ + j ⋅ A ⋅ sin ϕ ⋅ cosϕ + A ⋅ sin 2 ϕ
(1 + A ⋅ cosϕ ) 2 + A 2 ⋅ sin 2 ϕ
A + cosϕ + j ⋅ sin ϕ
= A⋅
1 + 2 A ⋅ cosϕ + A 2
A
⋅ [( A + cos ϕ ) + j ⋅ sin ϕ ]
=
1 + 2 A ⋅ cosϕ + A 2
= A⋅
On en déduit alors le module
A
⋅ ( A + cosϕ ) 2 + sin 2 ϕ
1 + 2 A ⋅ cosϕ + A 2
A
2
=
2 ⋅ 1 + 2 A ⋅ cos ϕ + A
1 + 2 A ⋅ cosϕ + A
A
=
1 + 2 A ⋅ cos ϕ + A 2
|T(j
ω)| =
FTBF
ainsi que l’argument
ψ = arctg[
sin ϕ
]
A + cosϕ
CONCLUSION Pour tout ω, à un point du lieu de transfert de boucle L(jω) de coordonnées
[ A(ω ), ϕ (ω ) ] correspond un point du lieu de transfert de la sensibilité complémentaire T(jω)
de coordonnées [ B(ω ),ψ (ω ) ].
Pour réaliser cette transformation, on utilise l'abaque de Black-Nichols, sur lequel
apparaissent des contours en gain et des contours en phase. Cet abaque réalise la
transformation :
X (ω )
X (ω ) →
1 + X (ω )
2.
Cours de Commande
Détermination graphique du lieu de transfert de la sensibilité
complémentaire
57
Dans un premier temps, on trace le lieu de transfert de boucle dans le plan de Black-Nichols.
A un point M quelconque de ce lieu correspondant à une pulsation ω, on lit :
• sur les axes, le gain et la phase du transfert de boucle AM et ϕ M ,
• les valeurs des contours d'amplitude passant par le point M : ces valeurs correspondent
au gain et à la phase de la sensibilité complémentaire BM et ψ M .
Exemple (voir page suivante). Le tracé noir est le lieu de transfert de boucle tracé point-àpoint. A partir de ce tracé, on en déduit qu’au point M,
Le transfert de boucle (qui caractérise le système en boucle ouverte) a un gain de
8dB et une phase de –100°,
La sensibilité complémentaire (qui caractérise le système en boucle fermée) a un gain
de 0dB et une phase d’environ 23°.
3.
Détermination des paramètres du système en boucle fermée
On suppose que le système admet un gain statique K, c’est à dire F(0) = K, et que le
correcteur admet un gain statique KC, c’est à dire C(0) = KC. L’un des paramètres réglables du
correcteur est le gain statique du correcteur. Cela implique alors que le gain statique du
transfert de boucle L(s) est modifiable. Dans le plan de Black, multiplier le gain du correcteur
Kc d’un facteur α > 1 à partir d’un réglage donné revient à translater le lieu de transfert de
boucle verticalement vers le haut de 20 Log10(α). Au contraire, si α < 1, on translate le lieu de
transfert de boucle verticalement vers le bas de -20 Log10(α).
A partir de la lecture du lieu de transfert de la sensibilité complémentaire dans le plan de
Black-Nichols, on peut déterminer :
• la pulsation de résonance de la sensibilité complémentaire (donc, du système en boucle
fermée), correspondant à la pulsation pour laquelle la sensibilité complémentaire a un gain
maximum. Cette pulsation est égale à celle pour laquelle le lieu est le plus proche du point
centrale de l'abaque. Exemple (voir page suivante). La pulsation de résonance du transfert
de boucle est ωR (pulsation pour laquelle le transfert de boucle a un module de gain
maximum, AdBMAX = 10 dB ), alors que la pulsation de résonance de la sensibilité
complémentaire est ωR’ (pulsation pour laquelle la sensibilité complémentaire a un module
de gain maximum, BdBMAX ≅ 6.5 dB ). A noter que ωR’> ωR.
• le facteur de résonance de la sensibilité complémentaire. Exemple (voir page suivante). Le
facteur de résonance du transfert de boucle est égal à QLdB = 5 dB (Gain statique = 5 dB,
Gain max = 10 dB), alors que le facteur de résonance de la sensibilité complémentaire est
égal à QTdB = 10.5 dB (Gain statique = -4 dB, Gain Max = 6.5 dB).
On peut ainsi déduire :
• le coefficient d'amortissement du système du second degré équivalent à la sensibilité
complémentaire à partir de
1
QTdB =
2
2ξ ⋅ 1−ξ
Cours de Commande
58
ABAQUE DE BLACK-NICHOLS
Cours de Commande
59
• la pulsation propre non amortie du système du second degré équivalent à la sensibilité
complémentaire à partir de
ω Tn = ωR
1−ξ
'
2
A partir de ces informations, on est capable de déduire les valeurs du premier dépassement X1,
du temps de montée tm, du temps du 1er pic tpic et du temps de réponse tr de la sensibilité
complémentaire, donc du système bouclé.
Enfin, on peut déduire la pulsation de coupure de la sensibilité complémentaire (et donc du
système en boucle fermée) : on rappelle qu’il s'agit de la pulsation correspondant à
l'intersection du lieu de transfert de la sensibilité complémentaire avec le contour d'amplitude
(Gain Statique - 3 dB). Exemple (voir page suivante). La pulsation de coupure du transfert de
boucle est la pulsation pour laquelle le module du transfert de boucle est égal à 2 dB (Gain
statique du transfert de boucle = 5 dB), alors que la pulsation de résonance de la sensibilité
complémentaire est la pulsation pour laquelle le module de la sensibilité complémentaire est
égal à –7 dB (Gain statique du transfert de boucle = -4 dB). Il apparaît clairement que, pour
cet exemple, la pulsation de coupure de la sensibilité complémentaire est supérieure à celle du
transfert de boucle : cela signifie que le système en boucle fermée a une bande passante plus
large que celle du système en boucle ouverte. Le système en boucle fermée sera donc plus
rapide, mais également plus sensible aux bruits.
D.
INTERET DE LA BOUCLE FERMEE
Dans toute cette partie, on suppose que le système est bouclé de la manière suivante
yc +
e
y
L(s)
-
1.
Cas du 1er ordre
Soit un système défini par un transfert de boucle L(s)(on suppose K > 0)
L(s)= K
1+τ ⋅s
On boucle le système avec un retour unitaire. La sensibilité complémentaire (caractérisant la
fonction de transfert en boucle fermée) s’écrit
K
Y = L(s) = K +1
Yc 1+L(s) 1 + τ ⋅s
K +1
• Le gain statique de la sensibilité complémentaire est K / ( K+1 ), est donc inférieur à 1, et
tend vers 1 quand K tend vers l’infini: pour avoir une bonne précision, il faut donc
augmenter le gain K de façon à obtenir, après le régime transitoire, Y = Yc.
Cours de Commande
60
• La constante de temps de la sensibilité complémentaire τ’ = τ / (K+1) est plus faible que la
constante de temps du système en boucle ouverte. Le système en boucle fermée est donc
plus rapide qu’en boucle ouverte.
2.
Cas d'un intégrateur
On considère un système dont le transfert de boucle s'écrit (K > 0)
L(s)= K
τ ⋅s
On boucle le système avec un retour unitaire. La sensibilité complémentaire (caractérisant la
fonction de transfert en boucle fermée) s’écrit
Y = L(s) = 1
Yc 1+L(s) 1 + τ ⋅s
K
• Le gain statique de la sensibilité complémentaire est égal à 1 : il n'y a donc pas d'écart
entre la consigne Yc et la sortie Y.
• Si l'entrée est impulsionnelle, la sortie Y est de nature exponentielle décroissante, puis
revient au repos : l'effet déstabilisateur de l'intégrateur est supprimé.
3.
Cas d'un deuxième ordre
On considère un système dont le transfert de boucle s'écrit (K > 0)
K
L(s) =
2
2
ξ
1+ s+( s )
ωn
ωn
On boucle le système avec un retour unitaire. La sensibilité complémentaire s’écrit
Y =
K
K'
=
Yc K + 1+ 2ξ s + ( s ) 2 1 + 2ξ 's + ( s ) 2
ωn
ωn
ω'n
ω'n
• Le gain statique de la sensibilité complémentaire est égal à K ' =
K
. Le gain statique est
K +1
donc inférieur à 1, et tend vers 1 si K augmente.
• La pulsation propre non amortie de la sensibilité complémentaire est égale à
ω n' = ω n ⋅ K + 1 . La bande passante augmente : le système est alors plus rapide.
• Le coefficient d'amortissement de la sensibilité complémentaire est égal à ξ ' = ξ
.
K +1
Le coefficient d'amortissement diminue donc : ceci est particulièrement intéressant pour le
cas des systèmes rapides.
E.
CONCLUSIONS
Boucler un système par un retour proportionnel
• conserve l'ordre du système,
Cours de Commande
61
• améliore la précision statique, d'autant plus que le gain en boucle ouverte est élevé ; si, de
plus, le système contient un intégrateur, le gain statique est égal à 1 (en boucle fermée),
• augmente la bande passante.
Cours de Commande
62
VII. PERFORMANCES DE SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES
CONTINUS
STABILITE DES SYSTEMES BOUCLES
A.
DEFINITION
Un système est dit STABLE si, au repos et excité par une impulsion de Dirac, il revient en un
temps fini à sa position de repos. Il est instable dans le cas contraire. On considère un système
de fonction de transfert F(s) excité par une impulsion de Dirac (u(t) = δ(t) - U(s) = 1) :
Y(s) = F(s)⋅U(s) = F(s)
Or, toutes le fonctions de transfert peuvent être décomposées en la somme de fractions
"simples" du 1er et du 2nd ordre :
Bj⋅s+C j
F(s) = ∑ Ai + ∑
2ξ j
2
j
i s−si
1+ ⋅s+( s )
ωnj
ωnj
avec i + 2 j = n (ordre du système). On peut donc déduire la forme de y(t) :
y(t)=∑ Ai⋅e +∑ Aj⋅e ⋅cos(ω j⋅t+φ j)
si⋅t
i
a j⋅t
j
THEOREME Un système linéaire continu n'est stable que si tous les pôles de sa fonction de
transfert sont à partie réelle négative (si < 0), donc s'ils sont situés dans le ½ plan gauche de la
variable s.
B.
EXEMPLES
1.
On a F ( s) =
Système du 1er ordre
K
. Donc, la transformée de Laplace de la sortie s'écrit :
1+ τ ⋅ s
Y(s) = K ⋅ U(s) = K
1+τ ⋅s
1+τ ⋅s
en supposant que l'entrée est une impulsion de Dirac. Donc, la sortie y(t) s'écrit :
−t
y(t) = K ⋅e τ
τ
2.
On a F(s) =
Système du 2ème ordre
K
. Donc, la transformée de Laplace de la variable de sortie s'écrit :
2
2
ξ
1 + ⋅s + ( s )
ωn
Cours de Commande
ωn
63
Y(s) =
K
K
⋅U(s) =
2
2
ξ
ξ
2
2
s
1+ ⋅s+( )
1+ ⋅s+( s )
ωn
ωn
ωn
ωn
en supposant que l'entrée est une impulsion de Dirac. Si le coefficient d'amortissement est
supérieur ou égal à 1, alors la réponse ne présente pas d'oscillations. Sinon, la réponse est
oscillante.
C.
CRITERES DE STABILITE D'UN SYSTEME BOUCLE
On considère le système bouclé suivant :
+
yc
Rc(s)
yr +
e
L(s)
+
d
y
-
Ce système est décrit par les fonctions de transfert suivantes
Transfert de boucle : L(s),
Fonction de transfert en asservissement : Y = Rc L = RcT
1+L
Yc
Fonction de transfert en régulation : Y = 1 = S
D 1+L
On rappelle que S(s) est la sensibilité, T(s) la sensibilité complémentaire, [1+L(s)] la
différence de retour et Rc(s) le précompensateur. Si on suppose que Rc(s) est une fonction de
transfert stable (on rappelle que le précompensateur est réglé par l’utilisateur, qui peut
(doit ?) le rendre donc stable), la fonction de transfert en asservissement est stable si la
fonction de transfert T(s) est stable. T(s) (et donc le système en boucle fermée) est stable si
les pôles de T(s) sont à partie réelle négative. Or, ces pôles sont les racines de l'équation
suivante :
1+ L(s)=0 (EQUATION CARACTERISTIQUE DU SYSTEME EN BOUCLE FERMEE)
Donc, étant donné la forme de la fonction de transfert de régulation, la condition de stabilité
de cette dernière est la même que la stabilité de la fonction de transfert en asservissement.
L’analyse de la stabilité du système en boucle fermée (que ce soit en asservissement ou en
régulation) revient donc à étudier les racines de l’équation 1 + L(s) = 0.
Dans le but d’analyser la stabilité du système en boucle fermée, il est nécessaire de
déterminer de façon "simple" les racines de cette équation. Pour cela, deux types d'approches
sont possibles :
• Méthodes ALGEBRIQUES,
• Méthodes GRAPHIQUES.
Cours de Commande
64
1.
Méthodes algébriques
Ces méthodes permettent, en étudiant les coefficients de l'équation caractéristique (Méthode
de ROUTH) ou les racines de l'équation caractéristique (Méthode de MIKAÏLOV), de
conclure rapidement sur la stabilité du système en boucle fermée.
• CRITERE DE ROUTH
Ce critère permet de connaître le nombre de racines à partie réelle positive d’une équation du
type
P(s) = bn sn+bn−1sn−1+"+b1 s+b0 = 0
sans la résoudre. Pour cela, on construit le tableau dont les deux premières lignes sont
bn
bn-1
bn-2
bn-3
bn-4
bn-5
bn-6
Pour les cases correspondant à Les éléments Ai,j des lignes suivantes sont calculés à partir des
éléments des lignes précédentes
Ai-2,2
Ai-1,2
Ai,2
↑
Colonne 2
Ai-2,1
Ai-1,1
Ai,1
↑
Colonne 1
…
…
…
…
…
Ai,j
↑
Colonne j
Ai-2,j+1
Ai-1,j+1
Ai,j+1
↑
Colonne j+1
← Ligne i-2
← Ligne i-1
Le terme Ai,j est défini par
Ai−2,1 × Ai−1, j+1
Ai−1,1
Le calcul s’arrête lorsque le terme de la première colonne est nul.
Ai, j = Ai−2, j+1 −
Le nombre de changements de signe dans la première colonne du tableau ainsi rempli est égal
au nombre de racines à partie réelle positive.
EXEMPLE 1. Soit l’équation
P(s) = s3−4s2+s+6
On obtient le tableau suivant
1
1
-4
6
5/2 = 1 – 1×6/(-4)
0 = 0 – 1×0/(-4)
6 = 6 – (-4)×0/(5/2) 0 = 0 - (-4)×0/(5/2)
0
0
0
0
0
0
La première colonne présente 2 changements de signe : on peut donc en conclure que le
polynôme P(s) a deux racines à partie réelle positive. Cela se vérifie en le résolvant, ses
racines étant –1, +2 et +3.
Cours de Commande
65
EXEMPLE 2. Soit l’équation
P(s) = s 3 + 1 s 2 + 1 s +1
2
2
On obtient le tableau suivant
1
1/2
-3/2
1
0
1/2
1
0
0
0
0
La première colonne présente 2 changements de signe : on peut donc en conclure que le
polynôme P(s) a deux racines à partie réelle positive. Cela se vérifie en le résolvant, ses
racines étant –1 et 1/ 4± 15 / 4 .
• CRITERE DE MIKAÏLOV
L'équation caractéristique s'écrit
1+ L(s)≡ A(ω)+ j⋅B(ω)
A(ω) étant la partie réelle, et B(ω) la partie imaginaire. Il est important de remarquer qu'on
travaille désormais en harmonique. Le critère de Mikaïlov s'énonce de la manière suivante :
Un système en boucle fermée est stable si les racines des 2 polynômes A(ω) et B(ω) sont
strictement distinctes et régulièrement alternées sur l'axe des abscisses.
EXEMPLE 1. Soit un système dont le transfert de boucle est donné par :
4
L(s) =
s ⋅ (1+s) ⋅ (1+0.1⋅s)
On étudie alors la structure intrinsèque de l'équation caractéristique :
4
1 + R(1+L(s)
s) ⋅ F ( s) = 1 +
. ⋅ s)
s ⋅ (1 + s) ⋅ (1 + 01
. ⋅ s)
4 + s ⋅ (1 + s) ⋅ (1 + 01
=
. ⋅ s)
s ⋅ (1 + s) ⋅ (1 + 01
. ⋅ s 2 + 01
. ⋅ s3
4 + s + 11
=
. ⋅ s)
s ⋅ (1 + s) ⋅ (1 + 01
Les racines de l'équation caractéristique sont donc déterminées en résolvant l'équation :
. ⋅ s 3 + 11
. ⋅ s2 + s + 4 = 0
01
En remplaçant la variable complexe s par la variable jω, et en séparant explicitement la partie
réelle et la partie imaginaire de l'équation caractéristique, on a :
(4 − 11
. ⋅ ω ) + j ⋅ (ω − 01
. ⋅ω 3) = 0
⇒ A(ω ) = 4 − 11
. ⋅ ω 2 , B(ω ) = ω − 01
. ⋅ω 3
Cours de Commande
66
ω étant une pulsation, la variable est donc considérée positive. A(ω) admet comme racine ω1
. ), et B(ω) ω2 = 0 rad/s et ω3 = 10 rad/s.
= 1.9 rad/s (= 4 / 11
Im
ω1
Re
ω2
ω3
Les racines des parties réelles et imaginaires étant distinctes et régulièrement alternées, on
peut alors conclure que le système en boucle fermée est stable.
EXEMPLE 2. Soit un système dont le transfert de boucle est donné par :
L(s) =
K
s ⋅ (1+s) ⋅ (1+0.1⋅s)
On étudie alors la structure intrinsèque de l'équation caractéristique :
K
1 + R(1+L(s)
s) ⋅ F ( s) = 1 +
. ⋅ s)
s ⋅ (1 + s) ⋅ (1 + 01
. ⋅ s)
K + s ⋅ (1 + s) ⋅ (1 + 01
=
. ⋅ s)
s ⋅ (1 + s) ⋅ (1 + 01
=
. ⋅ s 2 + 01
. ⋅ s3
K + s + 11
. ⋅ s)
s ⋅ (1 + s) ⋅ (1 + 01
Les racines de l'équation caractéristique sont donc déterminées en résolvant l'équation :
. ⋅ s 3 + 11
. ⋅ s2 + s + K = 0
01
En remplaçant la variable complexe s par la variable jω, et en séparant explicitement la partie
réelle et la partie imaginaire de l'équation caractéristique, on a :
( K − 11
. ⋅ ω ) + j ⋅ (ω − 01
. ⋅ω 3) = 0
⇒ A(ω ) = K − 11
. ⋅ ω 2 , B(ω ) = ω − 01
. ⋅ω 3
ω étant une pulsation, la variable est donc considérée positive. A(ω) admet comme racine
ω1 = K / 11
. rad/s, et B(ω) ω2 = 0 rad/s et ω3 = 10 rad/s.
Le système est stable en boucle fermée si :
ω1 ∈ ω 2 , ω 3
]
[
]
⇒ K / 11
. ∈ ω2 , ω3
[
⇒ 0 < K / 11
. < 10
⇒ 0 < K < 11
⇒ 0 < K < 11
Cours de Commande
67
2.
Méthodes graphiques
a)
Critère de Nyquist
Le critère de Nyquist est un critère de stabilité dans le domaine fréquentiel. Il permet
d’étudier la stabilité de la fonction de transfert T(s) à partir du lieu de transfert de L(s).
Ce critère est basé sur le Théorème de Cauchy.
(1)
Théorème de Cauchy
Soit F(s) une fonction complexe de la variable complexe s. Supposons que le point m, image
de s, décrive dans le plan complexe le contour (C) dans le sens inverse trigonométrique. Le
point M, image de F(s), décrit dans le plan complexe entièrement le contour (G). Les contours
(C) et (G) se correspondent point à point.
Im
Im
s
(C)
(G)
F(s)
Re
Re
On note P le nombre de pôles de F(s) situés dans (C), et Z le nombre de zéros de F(s) situés
dans (C).
THEOREME. Le nombre de tours N de (G) autour de l’origine (compté positivement dans le
sens trigonométrique) est égal à
N=P-Z
(2)
Application à l’analyse de la stabilité
Dans le cadre de l’étude de la stabilité des systèmes asservis, le but est de vérifier l’existence
ou non de pôles instables (c’est à dire à partie réelle positive) de l’équation caractéristique
1+L(s) = 0. Pour cela, on adapte le Théorème de Cauchy à l’équation caractéristique :
La contour (C) avec R→ ∞, appelé contour de Nyquist, englobe tout le demi-plan
complexe droit.
Cours de Commande
68
La fonction F(s) évaluée sur le contour (C ) est 1+L(s). L’objectif est donc clair : il
s’agit d’évaluer le nombre de zéros de 1+L(s) situé dans le demi-plan complexe droit,
ce qui indiquera la nature stable ou instable du système bouclé.
Afin d’illustrer la démarche, on suppose que le système étudié admet un transfert de boucle
L(s) de gain statique K et que
lim ( L(jω) )=0
ω →∞
La variable s évoluant sur le demi-complexe droit, et étant donné que s ≡ jω, la construction
de (G) s’effectue de la manière suivante
M décrit [OA], i.e. s = jω avec ω ∈ [0,∞[. M’, l’image de M par 1+L(jω), décrit un
contour pour ω croissant.
M décrit [BO], i.e. s = -jω avec ω ∈ [0,∞[. On a 1+L(-jω)= 1+conj(L(jω)). L(jω) étant
un fraction rationnelle, M’ décrit alors le symétrique du lieu précédent.
M décrit le demi-cercle de rayon infini. Pour un système physique, le degré du
numérateur de L(s) est inférieur ou égal au degré du dénominateur : dans la figure cidessous, on suppose qu’il est strictement inférieur ⇒ |L(jω)| → 0 pour ω → ∞ ⇒
|1+L(jω)| → 1. Donc, M’ est infiniment proche du point 1 sur l’axe réel. Le contour
(G) est donc fermé.
A
M
Im
R
Im(1+L)
(C)
Re
O
ω<0
ω=-∞
1+L(s)
0
1
1+K
(G)
Re(1+L)
ω=0
ω=+∞
ω>0
B
En appliquant le théorème de Cauchy, on peut déterminer le nombre Z de zéros de 1+L(s) à
partie réelle positive (Z devant être nul pour que le système soit stable) si on connaît :
le nombre P de pôles de 1+L(s) dans le demi plan droit,
le nombre N de tours que fait l'image de (C) par 1+L(s) autour de l'origine, compté
dans le sens trigonométrique.
Etant donné un système dont le transfert de boucle est L(s), P le nombre de pôles instables de
1+L(s) et N le nombre de tours de (G) autour de 0. Le système asservi est stable si et
seulement si :
Z = P-N = 0
Cours de Commande
69
On peut faire également l'étude en considérant le transfert de boucle L(s) car
P est également le nombre de pôles instables de L(s),
N est également le nombre de tours que fait l'image (G) de (C) par L(s) autour du
« Point Critique » -1.
A
M
Im
R
Im(L)
(C)
Re L(s)
O
ω<0
(G’)
ω=-∞
-1
K
0
ω=0
ω=+∞
B
Re(L)
ω>0
Critère de Nyquist. Le transfert T(s) = L(s)/(L(s)+1) (boucle fermée) est stable si et
seulement si, lorsque s décrit le contour de Nyquist (C), L(s) entoure le point critique (compté
positif dans le sens trigonométrique) autant de fois que L(s) comporte de modes instables. Si
N est le nombre de tours que (G’) fait autour de -1 (compté positif dans le sens
trigonométrique), et P le nombre de pôles de L(s) à partie réelle strictement positive, alors
T(s) est stable ⇔ N = P
EXEMPLE 1. Soit un système dont le transfert de boucle est (avec k>0 et τ>0)
L(s) = k
1+ sτ
Etape 1. L(s) admet un seul pôle (-1/τ) à partie réelle strictement négative. Donc,
P=0.
Etape 2. Tracé du lieu de L(jω). (dans l’exemple traité ci-dessous, τ=1, k=5) le long
du contour de Nyquist.
Etape 3. Le contour n’entoure pas le point critique (repéré par une croix sur la figure
ci-dessous) ; donc N=0. Aussi, on obtient Z=P-N=0. Il n’y a donc pas de zéros à
partie réelle à l’intérieur du contour de Nyquist. Le polynôme 1+L(s) n’a pas de zéros
à partie réelle >0.
Le système est donc stable en boucle fermée.
Cours de Commande
70
Ny quist Diagram
2.5
ω<0
2
1.5
1
0.5
Imaginary Axis
Im
ω=-∞
0
-1
-1.5
ω=+∞
ω>0
-2
-2.5
-2
k
ω=0
-0.5
-1
0
1
2
3
4
5
Real A x is
Re
EXEMPLE 2. Soit un système dont le transfert de boucle est (k > 0, T1 > 0, T2 > 0, T3 > 0)
k
L(s) =
(1+ sT1 )(1+ sT2 )(1+ sT3 )
Etape 1. L(s) admet 3 pôles (-1/Ti, 1 ≤ i ≤ 3) à partie réelle strictement négative. Donc,
P=0.
Etape 2. Tracé du lieu de L(jω). (dans l’exemple traité ci-dessous, T1 = 1, T2 = 1.2, T3
= 1.5,) le long du contour de Nyquist (Partie droite : Im(L(jω)) en fonction Re(L(jω))
– Partie gauche : Zoom autour du point critique).
Etape 3. Comme on le voit sur la figure précédente, le nombre N de tours que fait le
lieu de transfert dépend de k. On obtient
Si k<8,37 ⇒ N=0 , P=0 ⇒ Z = 0 ⇒ le système bouclé est stable
Si k>8.37 ⇒ N=-2 , P=0 ⇒ Z = 2 ⇒ le système bouclé est instable
Si k = 8.37, le système est à la limite de l’instabilité.
(3)
Cours de Commande
Cas des pôles de L(s) appartenant au contour de
Nyquist
71
Si des pôles sont sur l’axe imaginaire, on ne peut plus utiliser le contour de Nyquist
précédent. En effet, sont-ils à l’intérieur ou à l’extérieur ? Aussi, on utilise le contour de
Nyquist modifié.
A
(C)
ρ→0
ρ→0
R→∞
0+
0
0-
Dans ce cas, on fait éviter au contour de
Nyquist les pôles par des demi-cercles dont le
rayon r tend vers 0.
Cas d'un intégrateur s = 0
On pose s = ρe jθ avec ρ → 0.
Cas d'un oscillateur pur s=±jω0
On pose s = ± jω0 = ρe jθ avec ρ → 0.
Le diagramme de Nyquist présente alors
autant de branches infinies qu'il y a de pôles
sur l'axe imaginaire.
ρ→0
Supposons que L(s)= kc l(s) avec k le gain statique de L(s), l(0)=1, c la classe de L(s). La
s
portion de contour (G) (résultat de la transformation de (C ) par L(s)) correspondante au pôle
multiple situé à l’origine est un cercle de centre O et de rayon k/ρc (vu que
L(s→0)= kc l(s→0)= kc )), ce qui implique qu’il s’agit d’un cercle de centre O et de rayon
s
s
infini. Il s’agit maintenant de définir le sens de parcours de ce cercle : on a Arg[k/sc] = -c
Arg[jω]. On obtient donc le tableau de variation suivant
M
Arg[s]
Arg[L(s)]
0-π/2
cπ/2
→
→
→
0+
π/2
-cπ/2
Lorsque M parcourt le demi-cercle de rayon ρ, de 0- à 0+ (dans le sens trigonométrique), son
image par L(s) parcourt c demi-cercles (dans le sens inverse trigonométrique) de rayon infini.
EXEMPLE 3. Soit un système dont le transfert de boucle est (k > 0, T1 > 0, T2 > 0, T2 > T1)
k
L(s) =
s(1+sT1 )(1+sT2 )
Etape 1. L(s) admet 3 pôles (-1/Ti, 1 ≤ i ≤ 2 et 0) et sont donc tous à l’extérieur du
contour de Nyquist modifié. Donc, P=0.
Cours de Commande
72
Etape 2. On trace le lieu de transfert de L(jω), tout d’abord pour ω ∈ ]0 ∞ [. Il est aisé
de vérifier que
Pour ω → 0+, | L(jω)| → ∞ ; Re[L(jω)] → -k(T1+T2) ; Arg[L(jω)] = -π/2 rad.
Pour ω → ∞, | L(jω)| → 0 ; Arg[L(jω)] = -3π/2 rad.
De plus, on peut montrer que le point d’intersection entre l’axe des réels et le
lieu de transfert est d’abscisse –k(T1+T2)/ T1T2.
On obtient le tracé pour ω ∈ ]-∞ 0[ par symétrie par rapport à l’axe des
abscisses. Une fois obtenu les deux branches qui correspondent aux pulsations
non nulles (rouges sur la figure ci-dessus), il convient de fermer le contour en
étudiant le comportement du lieu de transfert au voisinage de 0.
Pour s → 0, le transfert de boucle est L(s) = K/s. Donc, si s → 0,alors |L| → ∞.
D’un point de vue phase, on obtient Arg[L(s)] = -Arg[s]. Donc, on a
M
Arg[s]
Arg[L(s)]
0-π/2
π/2
→
→
→
0+
π/2
-π/2
Ce tableau conduit donc au tracé en pointillés de la figure ci-dessus. Le
« passage » de 0- à 0+ se fait dans le sens inverse de s (variation en sens
opposée, voir tableau). Le rayon de ce cercle est infini.
Etape 3. Comme on le voit sur la figure précédente, le nombre N de tours que fait le
lieu de transfert autour du point critique (symbolisé par les deux disques noirs), le
système sera stable ou instable. Cette propriété dépend évidemment de k. On obtient
Si k(T1+T2)/T1T2 < 1 (cas où le point critique est représenté par le disque noir
de gauche), (G) n’entoure pas le point critique ⇒ N=0, P=0 ⇒ Z=0 ⇒ le
système bouclé est stable.
Si k(T1+T2)/T1T2 < 1 (cas où le point critique est représenté par le disque noir
de droite), (G) entoure 2 fois le point critique dans le sens trigonométrique
inverse ⇒ N=-2, P=0 ⇒ Z=2 ⇒ le système bouclé est instable.
Cours de Commande
73
b)
Critère du revers
Il s’agit en fait d’une adaptation du critère de Nyquist au domaine fréquentiel physique, c’est
à dire qu’on ne considère que les pulsations positives. Il permet donc d’étudier la stabilité de
la fonction de transfert T(jω) à partir du lieu de transfert de boucle L(jω), et cela sans avoir
besoin de « fermer » le contour et sans considérer les pulsations négatives. Le critère du
revers s’applique à une classe de systèmes réduite répondant aux hypothèses suivantes :
H1. L(s) est à minimum de phase,
H2. L(s) est stable au sens large, i.e. tous les pôles de L(s) sont à partie réelle
strictement négatives, et s’il existe des pôles sur l’axe imaginaire, ils doivent être
simples.
CRITERE DU REVERS. Si, en parcourant dans le plan complexe le lieu de transfert de boucle
d'un système satisfaisant les hypothèses H1-H2 dans le sens des pulsations croissantes, on
laisse le point critique (-1,0) à gauche, le système en boucle fermée est stable. Il est instable
dans le cas contraire.
EXEMPLE 1. Soit un système dont le transfert de boucle est (k > 0, T1 > 0, T2 > 0, T3 > 0)
k
L(s) =
(1+ sT1 )(1+ sT2 )(1+ sT3 )
Le critère du revers est applicable, étant donné que L(s) est à minimum de phase et stable au
sens large. Le lieu de transfert est décrit par (voir Exemple 2 du paragraphe précédent)
Cours de Commande
74
D’après le critère du Revers, pour k=5, le point critique (disque jaune au contour rouge) est
laissé sur la gauche quand on parcourt le lieu dans le sens des ω croissants. Le système bouclé
est donc stable. Par contre, pour k=12.5, le point critique est laissé sur la droite : le système
bouclé est alors instable.
EXEMPLE 2. Soit un système dont le transfert de boucle est (k > 0, T1 > 0, T2 > 0, T2 > T1)
k
L(s) =
s(1+sT1 )(1+sT2 )
Le critère du revers est applicable, étant donné que L(s) est à minimum de phase et stable au
sens large (par de pôle multiple sur l’axe imaginaire). Le lieu de transfert est décrit par (voir
Exemple 3 du paragraphe précédent)
Cas n°1 (Trait plein – Figure ci-contre) : Si
k(T1+T2)/T1T2 < 1, le point critique est
laissé à gauche du point critique: le système
bouclé est stable.
Cas n°2 (Trait pointillé – Figure cicontre) : Si k(T1+T2)/T1T2 > 1, le point
critique est laissé à droite du point critique: le
système bouclé est instable.
Cours de Commande
75
(1)
Critère du revers dans le plan de Bode
Dans le plan de Bode, le point critique admet pour coordonnées ( (20 ⋅ log(1);−180° ) = (0 dB;180°). Le critère consiste donc à déterminer la valeur du gain du transfert de boucle quand
son argument est égal à -180°.
• Si le gain du transfert de boucle d’un système satisfaisant les hypothèses H1-H2 est
inférieur à 0 dB (gain naturel < 1) pour φ = −π , alors le système en boucle fermée est
stable.
• Si le gain du transfert de boucle d’un système satisfaisant les hypothèses H1-H2est
supérieur à 0 dB (gain naturel > 1) pour φ = −π , alors le système en boucle fermée est
stable.
EXEMPLE
(2)
Critère du revers dans le plan de Black-Nichols
Dans le plan de Black, le point critique est (0 dB;-180°).
Si le lieu de transfert de boucle d'un système satisfaisant les hypothèses H1-H2 laisse, en
parcourant dans le sens des ω croissants, le point critique [-180° ; 0 dB] à droite, le système
est stable en boucle fermée. Il est instable dans le cas contraire.
EXEMPLE
Cours de Commande
76
3.
Influence du gain statique sur la stabilité
L'influence du gain statique est très importante quant à la stabilité du système. En effet,
comme il a été vu précédemment, il est possible, avec un gain statique mal adapté, de faire
passer le lieu de transfert de boucle au dessus du point critique, et donc de rendre instable le
système en boucle fermée (malgré un amélioration de certaines performances comme la
rapidité).
CONCLUSION. Il existe donc une valeur appelée Gain Critique qui place le système en boucle
fermée à la limite de l'instabilité : le lieu de transfert de boucle passe alors par le point
critique. Le gain critique définit la stabilité absolue.
D.
DEGRE DE STABILITE D'UN SYSTEME BOUCLE
Apprécier le degré de stabilité, c'est quantifier l'éloignement du lieu de transfert du point
critique. Il est important de prendre en compte qu'on ne peut se contenter de se placer trop
près du point critique : il faut prévoir des MARGES.
• Si le lieu de transfert de boucle est trop proche du point critique, on peut montrer qu'il
existe une résonance importante. En effet, on a alors un coefficient d'amortissement ξ
faible, donc un système faiblement amorti et donc un temps de réponse important.
• Les variations du gain statique k (en pratique, cela peut être dû aux composants
électroniques) peuvent rendre le système instable en faisant passer le lieu de transfert de
l'autre côté du point critique.
• Il ne faut oublier l'influence des retards : ils peuvent avoir un effet déstabilisateur en
déplaçant le lieu de transfert de boucle vers les phases négatives.
• Les processus physiques sont souvent en milieu bruité et non linéaires : le modèle
mathématique souffre donc souvent d'imprécisions.
Il faut donc préserver le système de ces problèmes : la stabilité doit être ROBUSTE face à
eux. Des valeurs "limites" permettent d'assurer une stabilité relativement robuste.
• MARGE DE GAIN mG. La marge de gain,
notée mG, est la variation de gain qui
fait passer le lieu de transfert de boucle
par le point critique. Cette marge est
égale à la distance en gain entre le lieu
de transfert de boucle et le point
critique, pour Arg[L] = -180°.
• MARGE DE PHASE mφ. La marge de
phase, notée mφ, est la phase que l’on
doit ajouter pour que le lieu de transfert
de boucle passe exactement par le point
critique. Cette marge est à la distance
en phase entre le lieu de transfert de
boucle et le point critique, pour L dB=0
dB.
Cours de Commande
77
• MARGE DE GAIN-PHASE mGφ. La marge de
module, notée mGφ, est la plus petite
distance entre le point critique et le lieu de
transfert de boucle.
Les marges habituellement exigées sont
10dB < mg < 15dB
45° < mφ < 50°
.25 < mgφ < .5
PRECISION STATIQUE DES SYSTEMES ASSERVIS
E.
INTRODUCTION
L‘objectif de l’asservissement d’un système est de faire suivre à la sortie y(t) une loi fixée par
la consigne (on suppose dans la suite que yc(t) = yr(t)). Le but est d'avoir une erreur e(t)=yc(t)y(t) tendant vers 0. La performance du système asservi en terme de précision statique est
évaluée par le calcul de l’erreur de poursuite en régime établi
lim
e(t) = lim
s ⋅ E(s)
t→∞
s→0
L'erreur permanente est égale à l'écart en régime permanent, ou erreur statique. Le système
étudié est (avec L(s) le transfert de boucle et D(s) l’entrée de perturbation) :
D(s)
Yc(s)
+
E(s)
L(s)
On a
s ⋅ E(s) = slim
lim e(t) = lim
s→0
→0
t →∞
F.
+
−
Y (s)
s
⋅ [Yc (s) − D(s)]
1 + L(s)
SYSTEME SANS PERTURBATION ET ENTREE VARIABLE
On suppose que D(s) = 0. On obtient alors
Cours de Commande
78
s ⋅ E(s) = slim
lim e(t) = lim
s→0
→0
t →∞
s
⋅ [Yc (s)]
1 + L(s)
L'erreur est liée à la forme de yc(t) et au transfert de boucle.
• INFLUENCE DE yc(t) (rappel) Si yc(t) est un échelon, alors l'erreur est appelée écart en
position ou relatif (et est noté ep(t)). Si yc(t) est une rampe, alors l'erreur est appelée
écart en vitesse ou de traînage) (et est noté et(t)).
• INFLUENCE DE L(S). La forme de la réponse va dépendre du nombre d'intégrateurs que
contient L(s). Donc, on a :
K⋅N(s)
L(s) = r
s ⋅M(s)
avec r, nombre entier appelé classe du système. A noter que :
N(0) = 1 ; M(0) = 1 ; N(s) = 1 + a1 s + a2s2 + " ; M(s) = 1 + b1 s + b2 s2 + "
1.
Système de classe 0
Le système est tel que
L(s) =
K ⋅ N(s)
.
M(s)
On obtient
lim e(t) = lim
s ⋅ E(s) = slim
s→0
→0
t →∞
s⋅M
⋅ [Yc (s)]
M +K⋅N
• L’ENTREE EST UN ECHELON D’AMPLITUDE YC. L’écart statique est obtenu en appliquant le
théorème de la valeur finale, avec Yc(s) = YC/s.
s⋅M
⋅ YC = YC
ep(∞) = tlim
e(t) = lim
s ⋅ E(s) = lim
→∞
s→0
s→0 M + K ⋅ N
K +1
s
[ ]
• L’ENTREE EST UNE RAMPE DE PENTE YC. L’écart de traînage est obtenu en appliquant le
théorème de la valeur finale, avec Yc(s) = YC/s.
⎡ ⎤
s⋅M
⋅ YC = ∞
et (∞) = tlim
e(t) = lim
s ⋅ E(s) = slim
→∞
s→0
→ 0 M + K ⋅ N ⎢ s2 ⎥
⎣ ⎦
2.
Système de classe 1
Le système est tel que
L(s) =
K ⋅ N(s)
.
s ⋅ M(s)
On obtient
s ⋅ E(s) = slim
lim e(t) = lim
→0
t →∞
s→0
s2 ⋅ M
⋅ [Yc (s)]
s⋅M + K ⋅N
• L’ENTREE EST UN ECHELON D’AMPLITUDE YC.
ep(∞) = tlim
e(t) = lim
s ⋅ E(s) = slim
→∞
s→0
→0
Cours de Commande
[ ]
s2 ⋅ M
⋅ YC = 0
s⋅M + K ⋅N s
79
• L’ENTREE EST UNE RAMPE DE PENTE YC.
et (∞) = tlim
e(t) = lim
s ⋅ E(s) = slim
→∞
s→0
→0
3.
s2 ⋅ M
s⋅M + K ⋅N
⎡ ⎤ YC
⋅ ⎢YC
=
2
⎣ s ⎥⎦ K
Système de classe 2
Le système est tel que
L(s) =
K ⋅ N(s)
.
s2 ⋅ M(s)
On obtient
lim e(t) = lim
s ⋅ E(s) = lim
t →∞
s→0
s→0
s3 ⋅ M
⋅ [Yc (s)]
s2 ⋅ M + K ⋅ N
• L’ENTREE EST UN ECHELON D’AMPLITUDE YC.
ep(∞) = tlim
e(t) = lim
s ⋅ E(s) = slim
→∞
s→0
→0
[ ]
s3 ⋅ M
⋅ YC = 0
s2 ⋅ M + K ⋅ N s
• L’ENTREE EST UNE RAMPE DE PENTE YC.
et (∞) = tlim
e(t) = lim
s ⋅ E(s) = slim
→∞
s→0
→0
s3 ⋅ M
s ⋅M + K ⋅N
2
⎡ ⎤
⋅ ⎢YC
=0
2
⎣ s ⎥⎦
ep(∞)
CLASSE 0
YC
K +1
CLASSE 1
0
CLASSE 2
0
et (∞)
∞
YC
K
0
PRECISION
REMARQUES
• Les calculs précédents montrent clairement qu’il est intéressant d’avoir au moins un
intégrateur dans la boucle de régulation, de façon à pouvoir au moins annuler l’écart de
position.
• Il faut néanmoins limiter l’emploi de ces intégrateurs car ils peuvent rendre le système
instable, vu qu’ils introduisent un déphasage de -90° (voir partie précédente).
• Une des possibilités de rendre le système « relativement » précis est d’augmenter le gain :
en le rendant ainsi très grand, les écarts non nuls dans le tableau ci-dessus tendront vers 0.
Là aussi, comme pour les intégrateurs, il faut faire attention à ne pas rendre le système
instable.
G.
SYSTEME AVEC PERTURBATIONS SEULES
On suppose que yc(t) = 0. On obtient alors
lim e(t) = lim
s ⋅ E(s) = slim
t →∞
s→0
→0
s
⋅ [−D(s)]
1 + L(s)
L'erreur est liée à la forme de d(t) et au transfert de boucle.
Cours de Commande
80
Bien entendu, les calculs sont semblables à ceux de la section précédente, la seule différence
étant celle du signe de l’erreur. On obtient alors (DC représente l’amplitude de la
perturbation ; si cette dernière est une échelon, D(s) = DC/s – si elle est une rampe, D(s) =
DC/s2).
PRECISION
ep(∞)
CLASSE 0
− DC
K +1
CLASSE 1
0
CLASSE 2
0
et (∞)
∞
− DC
K
0
PRECISION DYNAMIQUE DES SYSTEMES ASSERVIS
H.
INTRODUCTION
Atteindre l’objectif fixé par la consigne est une chose ; prendre en compte le temps et les états
transitoires nécessaires pour l’atteindre en est une autre, toute aussi importante. En effet, il est
fréquent que le système ne supporte pas des transitoires supérieurs à une certaine valeur, ou
encore que le régime permanent (avec une erreur statique la plus faible possible) doit être
atteint en un temps donné.
Il s’agit donc là de quantifier la DYNAMIQUE de l’erreur entre la sortie et la consigne. La
précision dynamique chiffre l’erreur transitoire apparaissant dans la réponse à un échelon. Si
on veut un amortissement élevé pour un temps pour un temps de réponse faible, on a intérêt à
minimiser l’erreur dynamique, c’est à dire minimiser l’aire hachurée sur la figure ci-dessous.
Step Response
1.6
1.4
1.2
1
e
d
ut
i
pl
m
A
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
30
Time (sec.)
Cette aire hachurée correspond, en notant e(t) l’erreur entre la sortie et la consigne,
∫e(t) dt
Les bornes d’intégration dépendent de la valeur de l’erreur statique
• Si l’erreur statique est nulle, on intègre de 0 à l’infini,
• Si l’erreur statique n’est pas nulle, on intègre de 0 à 2 tr (tr étant le temps de réponse). On
considère en effet que , au bout de 2 tr, on est sûr que le régime transitoire est terminé.
On pourrait se contenter d’intégrer l’erreur. Néanmoins, cette intégrale étant égale à la somme
des aires hachurées, si on intègre la valeur algébrique de l’erreur de 0 à l’infini, l’intégrale
Cours de Commande
81
sera systématiquement nulle (même si le nombre de dépassements est important …). On
définit donc un critère de performance (avec T égal à ∞ ou 2 tr).
T
I = ∫ f[e(t)]dt
0
Ce critère dépend évidemment des paramètres du système asservi. Le but est maintenant de
régler judicieusement ces paramètres de façon à minimiser la valeur de I, ce réglage
dépendant du choix de la fonction f.
I.
CRITERES DE PERFORMANCE
1.
Critère IAE (Integral of Absolute Error)
Le critère choisi est
T
I = ∫ e(t) dt
0
Par ce critère, tous les éléments de la réponse transitoire sont pris en compte. Plus la réponse
est nerveuse et oscillatoire, plus l’intégrale est importante. On favorise ici les systèmes à
amortissement moyen (réponse peu oscillante), et on pénalise les systèmes trop énergétiques.
Pour un système du second ordre, le critère I est minimum pour un coefficient
d’amortissement égal à 0.7.
2.
Critère ISE (Integral of Square Error)
Le critère, encore appelé de l’erreur quadratique ou de Hall-Satorius, est
T
I = ∫ [e(t)2 ]dt
0
Du fait que les écarts soient élevés au carré et inférieurs à 1, on minimise l’influence des
dépassements de faible amplitude. En fait, on cherche surtout à minimiser l’aire du premier
dépassement, ce qui impose un temps de montée plus faible, et donc un amortissement plus
faible également. Pour un système du second ordre, le critère I est minimum pour un
coefficient d’amortissement égal à 0.43.
3.
Critère ITAE (Time Multiplied by Absolute Error)
Le critère choisi est
T
I = ∫ t ⋅ e(t) dt
0
L’introduction de la variable temps va favoriser les systèmes à réponse oscillante. Pour un
système du second ordre, le critère I est minimum pour un coefficient d’amortissement égal à
0.7.
Cours de Commande
82
4.
Critère ITSE (Time Multiplied by Square Error)
Le critère choisi est
T
I = ∫ t ⋅ [e(t)]2 dt
0
Ce critère insiste plutôt sur l’erreur en fin de régime transitoire (effet de la variable du temps)
sans trop pénaliser le début du régime transitoire. Pour un système du second ordre, le critère
I est minimum pour un coefficient d’amortissement égal à 0.58.
Cours de Commande
83
Cours de Commande
84
VIII. SYNTHESE DE REGULATEURS DANS LE DOMAINE
FREQUENTIEL
A.
INTRODUCTION
La configuration standard d’une boucle d’asservissement ou de régulation est
Régulateur ou Correcteur
yc
Rc(s)
e
yr +
−
C (s)
d
u
F(s)
+
+
y
Action. + Processus + Capteur
Le rôle du régulateur est :
- de stabiliser le processus ou d’accroître sa stabilité
- de diminuer la sensibilité
- d’augmenter les performances (par exemple la précision statique)
- de diminuer le temps de réponse des réponses temporelles
- d’augmenter la bande passante de la réponse fréquentielle
- d’obtenir une bonne robustesse
- …
Le bloc Rc(s), appelé précompensateur, n’est pas toujours indispensable mais il apporte un
degré de liberté supplémentaire dans la conception du régulateur. On détermine, dans un
premier temps, C(s) sur la base des exigences d’insensibilité et de robustesse. D’où :
T(s) =
C(s) ⋅ F(s)
1 + C(s) ⋅ F(s)
L(s) = C(s) ⋅ F(s)
Si ce transfert n’est pas entièrement satisfaisant en tant que transfert en asservissement, Rc(s)
pourra apporter les corrections nécessaires, de manière à
- compenser un gain statique non unitaire de T(s),
- compenser les pôles ou les zéros indésirables
- adoucir les variations brusques de la consigne
- …
Dans la suite de ce chapitre, on se propose de déterminer l’influence des régulateurs
classiques sur le lieu de BLACK du transfert de boucle.
Cours de Commande
85
B.
REGULATEUR A ACTION PROPORTIONNELLE
Le régulateur est défini par la fonction de transfert suivante (avec K réel)
C(s) = K
C’est l’action minimale indispensable. Néanmoins, le degré de liberté apporté par ce
régulateur est très limité vu qu’il ne permet qu’une translation verticale du lieu de transfert de
boucle dans le plan de BLACK.
L2(jω)
L1(jω)
20 Log10(|L|)
(dB)
ω=0
Q
Φ°
-180°
-90°
0°
L3(jω)
ω=∞
Soit K1 la valeur de K conduisant aux marges de stabilité désirées : on règle par exemple ce
gain de façon à avoir une surtension de Q en boucle fermée (voir figure ci-dessus : le lieu de
transfert de boucle L1(jω) = K1 F(jω) tangente le contour correspondant à un gain égal à Q
pour T(jω))
• Une augmentation du gain (K2 > K1) augmente les performances et diminue la sensibilité,
mais au détriment de la stabilité relative de la boucle fermée : en effet, les marges de
phase et de gain diminuent (voir le transfert de boucle L2(jω)).
• Une diminution du gain (K3 < K1) augmente les marges de stabilité, mais en contre
partie diminue les performances et augmente la sensibilité (voir le transfert de boucle
L3(jω)).
Dans la suite du chapitre, on suppose qu’un réglage préliminaire du gain K a été effectué de
façon à obtenir les marges de stabilité (K = K1) désirées. Le transfert de boucle ainsi obtenu
est noté L1(jω) = K1 F(jω) .
Cours de Commande
86
C.
REGULATEUR A ACTION PROPORTIONNELLE ET DERIVEE
1.
Correcteur à action P.D.
Le régulateur est défini par la fonction de transfert suivante (avec K réel)
C(s) = K(1+Td ⋅ s)
Posons K = 1. Les courbes d’amplitude et de phase de C(jω) dans le plan de Bode sont
0.1
20
dB C
10
1
10
7
6
3
1
0
90
ωTd
ωRTd
° Arg C
45
ωTd
0
0.1
1
ωRTd
10
DIAGRAMME DE BODE DU CORRECTEUR P.D.
Le correcteur P.D. provoque un accroissement du gain et de la phase principalement en hautes
fréquences. Le réglage de Td est simple. On relève la pulsation de résonance du système sans
correcteur P.D., ωR, puis on choisit :
1
10
< Td <
ωR
ωR
Le correcteur P.D. permet d’augmenter fortement les marges de stabilité (voir Figure page
suivante). De telles marges de stabilité ne sont pas très utiles et on pourra alors les réduire en
agissant sur le gain K > K1. Dans ce cas, le gain du système en boucle fermée va augmenter en
basses fréquences ce qui améliore l’insensibilité et les performances statiques.
On note qu’une valeur de Td trop grande conduit à une correction inefficace. En effet :
L(ωR ) = CF(ωR ) ≅ L1(ωR ) = C1F(ωR)
Cours de Commande
87
dB
dB
L1(jω )
L1(jω)
ω=0
Q
ωR
-90°
Φ°
-180°
Φ°
-180°
ω=0
Q
ωR
0°
L(jω)
-90°
0°
L(jω)
ω=∞
ω=∞
CORRECTEUR P.D. CORRECTEMENT REGLE
Une action proportionnelle est possible de
manière à réduire les marges, et à augmenter les
performances statiques.
CORRECTEUR P.D. MAL REGLE
L’action du correcteur n’est pas efficace.
Remarque : Les grandes valeurs de Td sont contre indiquées car :
- elles augmentent |L(jωR)| et diminuent la stabilité relative,
- elles augmentent fortement l’incidence des bruits de capteurs sur la commande,
- elles conduisent à de fortes sollicitations des actionneurs pour des variations brusques
de la consigne ou de la perturbation.
2.
Correcteur à avance de phase
Le correcteur P.D. étant physiquement irréalisable, on utilise en pratique un correcteur PD
« approché » (avec T<< Td)
C(s) = K 1+Td s
1+Ts
Si on désire adopter de fortes valeurs de Td et diminuer les effets négatifs du correcteur P.D.
idéal, on adoptera le correcteur à avance de phase décrit par (avec a > 1)
C(s) = K 1+aTs
1+sT
On pose K = 1. Les courbes d’amplitude et de phase de C(jω) dans le plan de Bode
sont données page suivante
Cours de Commande
88
db
20 loga
|C|
10 loga
ω
0
1
aT
1
aT
1
T
Arg[C]°
90°
ΦM
ω
1
10aT
1
10T
1
aT
10
aT
1
T
-90°
DIAGRAMME DE BODE DU CORRECTEUR A AVANCE DE PHASE
Cours de Commande
89
Les expressions algébriques du gain et de la phase de C(jω) sont
1+a2T 2ω2
1+T 2ω2
C( jω ) =
Arg[C( jω )] = Atan( aTω )− Atan( Tω )
L’avance de phase maximale ΦM a lieu pour ω = ωM
d(Arg[C( jω )])
= aT
− T =0
dω
1+a2T 2ω2 1+T 2ω2
ωM = 1
T a
⇒
Cette avance de phase maximum est
ΦM = Arg[C( jωM )] = Atan a − Atan 1 = Atan a-1 = Asin a−1
a+1
a
2 a
⇒
Φ M = Asin
a −1
a +1
a=
ou
1 + sinΦ M
1 − sinΦ M
1 voisin de ωR ou au moins 1 < ωR< 1 , on a une action
T
T a
T a
stabilisante efficace, d’autant plus importante que a est grand.
On constate qu’avec
dB
L1(jω)
ω=0
Q
Φ°
-180°
ωR
-90°
0°
L(jω)
ω=∞
ACTION DU CORRECTEUR A AVANCE DE PHASE AVEC
1 < ωR< 1
T
T a
SUR LE LIEU DE TRANSFERT
DE BOUCLE DU SYSTEME
Cours de Commande
90
Il est très important d’effectuer un réglage satisfaisant des paramètres, sous peine d’avoir une
correction inefficace pour 1 >ωR ou déstabilisante pour 1 <ωR .
aT
T
A
dB
A
dB
L1(jω)
L1(jω)
ω=0
Q
Φ°
-180°
Φ°
-180°
0°
-90°
ωR
ω=0
Q
L(jω)
1 >ω
aT R
L(jω)
0°
-90°
ωR
1 <ω
T R
ω=∞
ω=∞
CORRECTEUR A AVANCE DE PHASE MAL REGLE
(correction inefficace)
CORRECTEUR A AVANCE DE PHASE MAL REGLE
(action déstabilisante)
En pratique, le coefficient a est souvent limité à 10 car, pour de fortes valeurs de a, on voit
apparaître deux contre-indications (cela revient à avoir une action dérivée très forte)
- elles augmentent fortement l’incidence des bruits de capteurs sur la commande (dans
le rapport a).
- elles conduisent à de fortes sollicitations des actionneurs pour des variations brusques
de la consigne ou de la perturbation
EXEMPLE.
1
0
1
0
yc
e
+
−
C (s)
u
F(s)
d
+
+
y
Considérons une variation en échelon de d (ou de yc) qui induit une variation brusque, sur
l’écart e, d’amplitude e0. Pour le régulateur proportionnel, de gain K, la variation e0 sur e
induit une variation instantanée u0 sur u de valeur : u0 = K e0. Pour un correcteur à avance de
phase, de même gain K, cette variation brusque est : u0 = aK e0. En effet, d’après le théorème
de la valeur initiale, on a
1 + aTs e 0
u 0 = lims[K
] = aK e 0
s →∞
1 + Ts s
Cours de Commande
91
D.
REGULATEUR
INTEGRALE
1.
A
ACTION
PROPORTIONNELLE
-
Correcteur à action P.I.
Le régulateur est défini par la fonction de transfert suivante (avec K réel)
C(s) = K(1 + 1 ) = K 1+Tis
Tis
sTi
Posons K = 1. Les courbes d’amplitude et de phase de C(jω) dans le plan de Bode sont
db
|C|
ω
0
0
Arg[C]
1
10 Ti
1
Ti
10
Ti
0
ω
-45
-90
DIAGRAMME DE BODE DU CORRECTEUR P.D.
Le correcteur P.D. provoque un accroissement du gain et de la phase en basses fréquences.
On choisit généralement, pour que l’effet déstabilisant de ces modifications de gain et de
phase soit faible, avec ωR la pulsation de résonance du système sans correcteur
1 <T <10
ωR i ωR
Cours de Commande
92
ω=0
ω=0
dB
L1(jω)
ω=0
Q
L(jω)
-180°
ωR
dB
L1(jω)
-90°
ω=0
Q
Φ°
L(jω)
-180°
ωR
0°
-90°
Φ°
0°
ω=∞
ω=∞
CORRECTEUR P.I. ( Ti voisin 1 )
ωR
Pour ce réglage, le retard de phase a un effet
déstabilisant.
En pratique on obtient souvent une réponse qui « traîne » pour Ti ≅ 10 (voir réponse du
ωR
système ci-dessous).
CORRECTEUR P.I. ( Ti voisin 10 )
ωR
y
t
0
1
, donne souvent de meilleurs résultats à condition, bien sûr, de diminuer
ωR
le gain K de façon à retrouver les bonnes marges de stabilité (ce qui diminue alors par
exemple les performances statiques). La correction P.I. modifie peu la pulsation de
résonance ; par rapport à la correction proportionnelle, elle a même tendance à la diminuer :
les temps de réponse et donc les performances dynamiques ne s’en trouvent pas améliorés.
Une augmentation du gain aux basses fréquences améliore les performances et diminue la
sensibilité. La robustesse est conservée.
Un réglage, Ti ≅
Cours de Commande
93
2.
Correcteur à retard de phase
Ce correcteur est en fait un correcteur P.I. « approché » sans toutefois introduire d’intégration
(avec b > 1)
C(s) = K 1+Ts
1+bTs
Posons K = b. Les courbes d’amplitude et de phase de C(jω) dans le plan de Bode sont les
symétriques, par rapport à l’axe des ω, de celles du correcteur à avance de phase
dB
|C|
20 logb
10 logb
ω
0
Arg[C]°
10
aT
1
T b
10
aT
ω
0
-45°
-90°
DIAGRAMME DE BODE DU CORRECTEUR A RETARD DE PHASE
Le retard de phase maximum ΦM introduit par le correcteur à retard de phase a lieu pour ω =
1
ωM te que ωM =
. Le retard de phase maximum introduit par le correcteur pour cette
T b
pulsation est :
b −1
1 + sinΦ M
Φ M = Asin
b=
ou
b +1
1 − sinΦ M
Ce n’est pas l’effet du retard de phase qui est utilisé ici, mais plutôt la différence de gain entre
les basses et les hautes fréquences, et donc la capacité que le correcteur a à introduire du gain
en basses fréquences, ce qui augmentera alors le gain statique du système en boucle fermée, et
Cours de Commande
94
(par exemple :
donc à améliorer la précision statique. Ce correcteur avec 1 <<ωR
T
1 = ωR ou ωR …) permet d’augmenter, dans le rapport b, les gains dans le domaine des
T 10
20
basses fréquences tout en ne modifiant pas le lieu L1(jω) au voisinage de la pulsation ωR et des
hautes fréquences.
dB
L1(jω)
ω=0
20 log b
Q
ω=0
20 log b
ω=0
L(jω)
-180°
ωR
Q
Φ°
CORRECTEUR A RETARD DE PHASE
(Action principale en basses fréquences)
ω=0
L(jω)
-180°
0°
-90°
ωR
ω=∞
3.
dB
L1(jω)
-90°
Φ°
0°
ω=∞
CORRECTEUR A RETARD DE PHASE MAL REGLE
1
( > ωR )
T
Le retard de phase a un effet déstabilisant qui,
combiné à une augmentation de gain, diminue
fortement les marges de stabilité.
Correcteur à retard de phase ou correcteur P.I. ?
Le correcteur à retard de phase améliore la précision mais n’annule pas l’écart statique,
contrairement au correcteur P.I. Mais ce serait une erreur d’utiliser un P.I. si l’écart statique
nul n’est pas exigé par le cahier des charges. En effet, on peut montrer que l’amélioration des
performances dégrade soit les marges de stabilité (ce n’est pas le cas ici si l’on respecte la
méthode de réglage préconisée) soit la robustesse (c’est donc le cas ici).
E.
REGULATEUR
A
ACTION
INTEGRALE ET DERIVEE
1.
PROPORTIONNELLE,
Correcteur à action P.I.D.
Ce type de correcteur combine les propriétés des correcteurs P.D. et P.I. La fonction de
transfert du régulateur P.I.D. s’écrit :
1+T s+ Ti Td s2
C(s) = K(1+ 1 +Td s) = K i
Ti s
sTi
Posons K = 1. On a alors C( jω ) =
Cours de Commande
1+ j ωTi − Ti Td ω2
. En posant
jωTi
95
w=
ω
ωn
ωn =
avec
et ξ = 1 Ti ,
2 Td
1
Ti Td
on obtient
1+2jξw− w2
2jξw
On en déduit une deuxième forme canonique de la fonction de transfert du P.I.D. :
C(jw) =
s2
1+2ξ s + 2
ωn ωn
C( s) =
2ξ s
ωn
ωn =
avec
Les formules inverses sont
Ti =
2ξ
ωn
et
Td =
1
Ti Td
1
2ξ ωn
et
ξ=1 T
i
2 Td
. Etudions maintenant les
variations de la phase de C(jw) :
C( jw) =
(1− w2 ) + 2jξw
2jξw
⇒
⇒
2ξ w
Arg[C(jw)] = Atan
2 − 90°(w≤1)
1-w
2ξ w
Arg[C(jw)] = Atan
2 + 90°(w≤1)
1-w
La courbe de phase de C(jw) est donc celle du second degré, changée de signe et décalée de
90°
Arg[C]°
+90°
ζ’
ζ
w
1
0.1
10
-90°
Etudions maintenant les variations du gain de C(jw) :
2
C( jw) =
Cours de Commande
2ξ 2−1 w2
(1− w2 )2+4ξ 2w2
= 12 2 +
+ 2
2
2
4ξ w
4ξ w
2ξ 2
4ξ
96
(
2
)
d C( jw)
= 1 2(1 − 12 )
4ξ
dw2
w
2
⇒
C( jw)
présente un minimum pour : w = 1 et |C(1)| = 1
La courbe de gain présente deux asymptotes, de pente +20 dB quand w → 0 et de pente
-20 dB quand w→∞ . En effet posons
s2
N( s) = 1+2ξ s + 2
ωn ωn
D( s) = 2ξ s
ωn
et
et traçons |C(jw)| pour ζ > ½, puis pour ζ < ½:
db |K|
dB |C|
-20dB/dec
1
D
-20db/dec
40dB/dec
asymptotes
de |N|
asymptotes
de |N|
20dB/dec
1
20db/dec
w
w
1
2ξ
40db/dec
2ς
2ξ
MODULE DE K(ju) (ξ> ½)
1
1
2ς
1
D
MODULE DE K(ju) (ξ < ½)
On obtient, comme pour les systèmes du second degré, deux réseaux de courbes universelles
du P.I.D., dont les paramètres sont les suivants
ξ
A
2
B
1
w=
Cours de Commande
ω
ωn
C
0.5
;
ωn =
1
TiTd
D
0.3
et
E
0.2
F
0.1
ξ = 1 Ti
2 Td
97
Bode de C(jw)
40
Gain (dB)
35
30
F
25
E
20
D
C
15
B
10
A
5
0
90
Phase (deg)
45
0
A
B
-45
C
DE
F
-90
-1
10
10
0
10
1
pulsation réduite : w
L’effet du correcteur P.I.D pour
ωn= 1 <ωR est :
Ti Td
ω=0
dB
L’’(jω)
L(jω)
L’(jω)
ω=0
Q
ωn
Φ°
-180°
ωR
-90°
0°
L1(jω)
L’’(jω)
ω=∞
L’(jω)
L(jω)
EFFET D’UN REGULATEUR P.I.D. ζ < ζ ‘< ζ’’
On constate une augmentation des performances due à l’intégration (basses fréquences) et une
action stabilisante (haute fréquence) importante due à l’avance de phase pour ω > ωn. On note
que le point ω = ωn est un point invariant car |C(jων)| = 1 et arg[C(jων)] = 0. En d’autres
Cours de Commande
98
termes, on fait « tourner » le lieu autour du point ωn et ceci d’autant plus que le coefficient
ξ est faible. De telles marges de stabilité ne sont souvent pas très utiles et on peut alors
adopter un gain K > K1 qui, grâce à cet augmentation, permettra d’améliorer la précision
statique. Les pulsations de résonance ωR et de coupure ωC augmentent et les réponses
temporelles sont plus rapides. L’amplitude de L(jω) va également augmenter aux basses
fréquences et on améliore ainsi l’insensibilité et les performances.
Si on choisit
ωn = 1 >ωR , l’avance de phase apparaîtra trop tard et au contraire le retard
Ti Td
de phase, pour ω > ωn , aura pour effet de diminuer les marges de stabilité.
ω=0
dB
L(jω)
L1(jω)
ω=0
Q
Φ°
-180°
ωR
0°
-90°
ωn
ω=∞
EFFET D’UN REGULATEUR P.I.D. MAL REGLE
REMARQUE 1. En pratique, le terme Tds est toujours réalisé par
Td s
avec
1 + sτ
τ <<
1
.
ω
n
REMARQUE 2. Les consignes varient souvent en échelon, le terme dérivée n’affecte presque
jamais la consigne mais seulement la mesure comme le montre la figure ci-après
Cours de Commande
99
d
yC
+
consigne
e
1
sTi
_
+
+
K
_
u
F(s)
commande
+
+
y
Processus
sTd
mesure
Régulateur P.I.D.
La commande s’écrit
u = K[(1 + 1 )(yC-y)-sTd y] = K(1+ 1 +sTd )( 1+Ti s 2 yC-y)
Ti s
Ti s
1+Ti s+Ti Td s
Le diagramme ci-dessus est donc équivalent à
RC(s)
yC
consigne
d
K(s)
yr +
1 + sTi
2
1 + sTi + TiTds
_
1
K(1+ + sTd)
sTi
u
commande
F(s)
+
Processus
mesure
2.
Correcteur à avance – retard de phase
Ce type de correcteur combine les avantages des correcteurs à avance et retard de phase et sa
fonction de transfert s’écrit (avec a > 1 et b > 1)
C(s) = K 1+aTs × 1+T's
1+sT 1+bT's
La méthode de réglage est la suivante
On commence par régler les coefficients a et T du terme à avance de phase, avec a le
plus grand possible mais respectant les exigences d’amplitude des bruits (transmis sur
les capteurs) et de sollicitation des actionneurs (en pratique a<10). On choisit 1
T a
voisin de ωR.
On règle ensuite les coefficients b et T du terme à retard de phase afin d’obtenir les
performances désirées (par exemple la précision statique), d’où la valeur de b. On
choisit 1 < ωR .
T' 10
Cours de Commande
100
+
y
On vérifie enfin que L(jω) satisfait les marges de stabilité et est conforme au gabarit
de performances – robustesse imposé.
F.
CONCLUSION GENERALE
Le cahier des charges d’un asservissement ou d’une régulation comprend un certain nombre
de critères fréquentiels, temporels et technologiques :
Critères fréquentiels
•
•
•
•
•
•
Stabilité relative : marges de stabilité
Gabarit de performances
Gabarit de robustesse
Insensibilité aux perturbations ou aux variations du processus
Bande passante
…
Critères temporels
• précision statique
• Dépassement (ou pas) de la réponse indicielle
• Rapidité : temps de réponse, du 1èr dépassement, …
• …
A ces critères fonctionnels il convient d’ajouter un certain nombre de contraintes
technologiques. Par exemple :
• Ne pas transmettre les bruits de capteurs (trop) amplifiés sur les actionneurs
• Ne pas brutaliser les actionneurs par des variations brusques de la consigne ou de
la perturbation.
La détermination du type, puis le réglage d’un régulateur n’est donc pas un problème simple.
Il n’y a pas de démarche standard conduisant directement à la bonne solution. Le choix du
type de correcteur pourra se faire en allant du plus simple (correcteur P) au plus compliqué
(régulateur P.I.D. ou correcteur à avance – retard).
Le premier travail consiste, bien sûr, à trouver un régulateur stabilisant.
On confronte alors le transfert au gabarit de performances – robustesse.
L’étape suivante consiste à apporter les corrections complémentaires en vue
d’améliorer l’insensibilité et la robustesse, tout en conservant les marges de
stabilité.
On vérifie ensuite les critères temporels. Pour cela on simule les réponses
temporelles sur lesquelles on relève les points caractéristiques.
Enfin on s’assure que les contraintes technologiques sont respectées.
L’utilisation d’un logiciel de C.A.O. pour l’Automatique (Matlab et sa boîte à outils
Commande par exemple) est indispensable.
Cours de Commande
101
Cours de Commande
102
IX. INTRODUCTION AUX TECHNIQUES DE REGULATION
INDUSTRIELLE
A.
STRUCTURES DES REGULATEURS INDUSTRIELS
La régulation « simple boucle », comme vue précédemment, n’est pas toujours suffisante dans
un contexte plus complexe, où les contraintes de précision et/ou de rapidité sont fortes. Aussi,
il est fréquemment fait appel à des régulateurs à boucles multiples.
1.
Régulateur en cascade
Ce type de régulation permet de minimiser les effets d’une ou plusieurs perturbations pouvant
agir
Soit sur la grandeur réglante,
Soit sur une grandeur intermédiaire située en amont de la variable à régler.
Ainsi, on introduit une boucle interne dont le rôle va être détecter plus rapidement la
perturbation et de compenser ses effets. Cette boucle interne a une dynamique plus rapide que
la boucle externe.
P
+
u
e’’
u’’
u’
e’
yr +
e
+
+
C1(s)
C2(s)
F1(s)
F2(s)
-
-
y’
R(s)
La régulation en cascade n’est possible que si la grandeur u’’ est mesurable. Cette dernière
s’écrit
CF
1
U ''(s)= 2 1 U +
P
1+C2 F1 R 1+C2 F1 R
Le correcteur est composé de 2 parties : un premier régulateur agir sur l’ensemble C1, tandis
que l’autre régulateur agit sur la boucle interne C2. Pour que la perturbation n’ait pas
d’influence sur U’’, il faut que le correcteur C2 ait un intégrateur, et que les pôles de
1/1+C2F1R soient faibles devant ceux de F2 (transitoires sur U’’ filtrés par F2).
2.
Régulateur de tendance
Dans une régulation en cascade ou en simple boucle, le premier correcteur réagit aux
variations de la grandeur de la sortie, et non pas des perturbations. Si les perturbations sont
mesurables, il est alors possible d’améliorer les performances du système bouclé en utilisant
une chaîne de tendance.
Cours de Commande
103
y
P
R(s)
yr +
e
C(s)
u +
+
-
e’
F1(s)
+
u’’
F2(s)
y
-
La perturbation est mesurée via l’élément R(s). On peut alors écrire
F1 F2 (R− 1 )
CF
F1 P(s)
1 F2
Y(s)=
Yr (s)+
1+CF1 F2
1+CF1 F2
Si R = 1/F1, alors la sortie est indépendante de la perturbation. On constate que la stabilité
n’est pas affectée par cette chaîne de tendance car elle n’intervient pas au dénominateur des
deux fractions de l’expression précédente.
3.
Chaîne d’anticipation
Une chaîne d’anticipation permet d’injecter en un point de la chaîne directe un signal fonction
de la grandeur de consigne.
R(s)
yr
+
e
C(s)
F1(s)
+
+
u’’
F2(s)
y
-
On obtient alors
Y = F2 [CF1 (Y −Yr )+ RYr
]⇒
Y=
F2 R+CF1 F2
Yr
1+CF1 F2
Si F2R=1, alors Y = Yr. Dans tous les cas, on constate que la stabilité n’est pas affectée par la
chaîne d’anticipation.
B.
METHODES INDUSTRIELLES DE SYNTHESE D’UN PID
Le problème de synthèse d’un correcteur n’est plus alors qu’un problème de réglage des
actions proportionnelle, intégrale et dérivée. Comme les méthodes doivent être utilisées en
milieu industrielle, elles se doivent d’être simples et rapides à mettre en œuvre, tout en étant
le plus précises et efficaces possible. Il existe deux types de méthodes : empiriques et
analytiques.
Cours de Commande
104
1.
Méthodes empiriques
a)
Méthode de Ziegler-Nichols
Il s’agit de la méthode la plus ancienne, basée sur l’observation de la réponse du processus et
la connaissance de la structure du correcteur. Le modèle supposé du système à commander est
F(s)=
(1)
Ke−Ts
s
Essai en boucle ouverte
Cet essai est réalisé s’il est possible d’ouvrir la boucle de commande. On règle alors
Le gain proportionnel à 1,
L’action intégrale à ∞,
L’action dérivée à 0.
L’entrée du sortie est un échelon, et on relève la sortie (avec K = ∆Y/∆Yr)
∆Y
∆Yr
τ
T
Régulateur
P
PI
PID
Réglage
Kp = T/τ
Kp = 0.9 T/τ , Ti = 3.3 T
Kp = 1.27 T/τ , Ti = 2 T , Td = 0.5 T
(2)
Essai en boucle fermée
Cette méthode est utilisée quand le processus est instable en boucle ouverte, ou qu’il n’est pas
techniquement possible d’ouvrir le boucle. On réalise alors un test de pompage. Pour cela, on
règle
Le gain proportionnel jusqu’au gain critique Kpc,
L’action intégrale à ∞,
L’action dérivée à 0.
On mesure alors la période des oscillations, Tosc, que fait la sortie du système.
Régulateur
P
PI
PID
Cours de Commande
Réglage
Kp = 0.5 Kpc
Kp = 0.45 Kpc , Ti = 0.83 Tosc
Kp = 0.6 Kpc , Ti = 0.5 Tosc , Td = 0.125 Tosc
105
b)
Méthode de Chien-Hrones-Reswick
Cette méthode s’appuie sur un modèle du processus du type
Ke−Ts
F(s)=
1+τs
Le réglage se fait à partir d’un essai en boucle ouverte et permet de régler le correcteur selon
que le système bouclé travaille en régulation ou en poursuite.
Régulateur
P
PI
PID
Réglage en régulation
Kp = 0.3 τ/T
Kp = 0.6 τ/T , Ti = 4 T
Kp = 0.95 τ/T , Ti = 2.4 T ,
Td = 0.4 T
Réglage en poursuite
Kp = 0.3 τ/T
Kp = 0.6 τ/T , Ti = 1.2 τ
Kp = 0.6 τ/T , Ti = τ ,
Td = 0.5 T
2.
Réglages après identification du procédé
Dans le but d’améliorer la précision des méthodes précédentes, on identifie dans un premier
temps le système à commander.
a)
Modèle de Broïda : F(s)=
Modèle non évolutif
Ke−Ts
→ Choix du régulateur : lié au rapport τ / T →
1+τs
τ / T >20
10 < τ / T <20
5 < τ / T <10
2<τ/T<5
τ / T <2
TOR
P
PI
PID
Cascade
Les réglages se font alors de la manière suivante, selon la structure du régulateur PID (voir
page suivante) .
Action
Kp
Ti
Td
P
0.8τ/KT
Max
0
PI série
0.8τ/KT
τ
0
PI //
0.8τ/KT
Kτ/0.8
0
PID série
0.8τ/KT
τ
0.4τ
PID //
0.8τ/KT
Kτ/0.75
0.35τ/K
PID mixte
0.8τ/KT
τ+0.4T
Tτ/(T+2.5τ)
b)
Modèle évolutif
Identification faite en boucle fermée impérativement : on relève le gain critique Krc et les
e−sT
périodes des oscillations de pompage Tosc, le modèle choisi étant plus simple F(s)=K
. On
s
obtient alors les paramètres K et T, qui s’écrivent K = Krc et T=Tosc . Le choix du
4
6,28Tosc
régulateur et le réglage des paramètres successifs sont donnés par les tableaux suivants
Cours de Commande
106
K T <0.05
TOR
P
PI
PID
Cascade
0.05 < KT <0.1
0.1 < KT <0.2
0.2 < KT <0.5
KT >0.5
Les réglages se font alors de la manière suivante, selon la structure du régulateur PID (voir
page suivante) .
Action
Kp
Ti
Td
P
0.8/KT
Max
0
3.
PI série
0.8/KT
5T
0
PI //
0.8/KT
KΤ2/0.15
0
PID série
0.85/KT
4.8T
0.4T
PID //
0.9/KT
KΤ2/0.15
0.35/K
PID mixte
0.9/KT
5.2T
0.4T
Structure des régulateurs PID
Type Parallèle
1/sTi
+
+
Kp
-
Processus
+
+
Tds
PID=K p + 1 +sTd
sTi
Type Mixte
1/sTi
+
+
Kp
+
Tds
Processus
+
PID=K p⎛⎜1+ 1 +sTd ⎞⎟
⎝ sTi
⎠
Cours de Commande
107
Type Série
1/sTi
+
+
+
Tds
Kp
+
Processus
+
PID=K p⎛⎜1+ 1 ⎞⎟(1+sTd )
⎝ sTi ⎠
Cours de Commande
108
Bibliographie
Jean-Marie PIASCO, Automatique fréquentielle – Option : Automatique, Ecole Centrale de Nantes, 2003/04.
Jean-Luc JEANNEAU, Asservissements et régulation – Note de cours, Ecole Centrale de Nantes, 2001/02.
Philippe DE LARMINAT, Automatique – Commande des systèmes linéaires, Edition Hermès, 1993.
Maurice RIVOIRE et Jean-Louis FERRIER, Cours d’Automatique – Tomes 1 et 2, Edition Eyrolles, 1995.
Michel VILLAIN, Signaux et systèmes à temps continu et discret : Automatique 1, Edition Ellipses, 1998.
Michel VILLAIN, Systèmes asservis linéaires : Automatique 2, Edition Ellipses, 1998.
Bernard BAYLE, Systèmes et asservissements à temps continu, ENSP Strasbourg, 2005/06.
Cours de Commande
109
Cours de Commande
110
COMDE
SYNTHESE DE CORRECTEURS :
DEUX EXEMPLES
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
111
Exemple 1
COMDE
Fonction de transfert d’un mélangeur d’eau pure et de produit concentré
G(s) =
2(1-0.1s)
(1+0.2s+0.04s2)(1+0.1s)
Système à déphasage non minimal (1 zéro à partie réelle positive)
yc
+
e
K(s)
u
G(s)
y
Régulateur proportionnel K(s) = K. Régler K pour obtenir un module maximum
de la sensibilité complémentaire KG/(1+KG) de 2.3 dB.
Système en Boucle Fermée
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
112
Pas de Correction K = 1
20Log10(0.35) = -9.12
ωR
Correction proportionnelle
K = 0.35
ωR = 5.61 rad/s
|T|MAX = |T(ωR)| = 2.3 dB
Q = |T(ωR)| - |T(0)| = 10.04 dB
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
113
Réponse à un échelon.
2007/2008
Ecart relatif ep = 58.8% = 1/(2*0.35)
1er dépassement X1 = 60.3%
Temps de réponse à 5% = 3.1 sec.
Temps de pic = 0.73 sec.
EI2 - Tronc Commun
114
Allure de la commande.
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
115
Régulateur PI : K(s) = K
1+Ti s Régler K et T pour obtenir une réponse
i
Ti s indicielle la plus
rapide possible avec un
dépassement inférieur à 25%.
Dans un 1er temps, on règle K de manière à venir tangenter le contour 2.3
dB, et Ti = 10/ωR. Comme le PI n’agit que sur les BF, le réglage de K
est le même que précédemment, à savoir K = 0.35 et Ti = 1.782 sec.
X1=23%
Tangente le contour 3.3 dB
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
116
Lieu de transfert dans Bode de T
2007/2008
|T(ωR)| = 3.31 dB
ωR = 5.5 rad/s
Q = |T(ωR)| - |T(0)| = 3.31 dB
EI2 - Tronc Commun
117
Réponse temporelle à un échelon
Pas de dépassement:
le système traîne.
On va diminuer Ti
pour rendre le système
plus rapide
De façon à garder de
« bonnes » marges de
stabilité, on diminue K
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
118
On règle K = .175 et Ti = 1/ωR = .1781 sec.
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
|T(ωR)| = 4.96 dB
ωR = 4.11 rad/s
Q = |T(ωR)| - |T(0)| = 4.96 dB
119
Réponse temporelle à un échelon
Ecart relatif ep = 0%
1er dépassement X1 = 25%
Temps de réponse à 5% = 3.36 sec.
Temps de pic = 1.07 sec.
Correcteur proportionnel
Ecart relatif ep = 58.8% = 1/(2*0.35)
1er dépassement X1 = 60.3%
Temps de réponse à 5% = 3.1 sec.
Temps de pic = 0.73 sec.
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
120
Allure de la commande.
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
121
Régulateur PID : Régler K, Ti et Td pour obtenir une réponse indicielle la
plus rapide possible avec un dépassement infé1
K(s) = K (1+ +Tds) -rieur à 25%.
Tis
Dans un 1er temps, on règle K de manière à venir tangenter le contour 2.3
dB, K = 0.35. Ensuite, on choisit ωN < ωR = 5.61 rad/s. On fixe ωN = 4.2
rad/s. La dérivée se fait par l’intermédiaire d’un filtre, avec τ = 0.001s
(τ <<< 1/ωN). On pose ζ = [0.5;0.75;1].
Surtension Q minimum pour ζ = 0.75.
On choisit donc ce cofficient ζ et on augmente le gain K de manière à
obtenir un premier dépassement de 25%, ce qui induira un système le
plus rapide possible.
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
122
Lieu de transfert K = .0.495, ζ = 0.75, ωN = 4.2 rad/s → Ti = 0.357 sec. et
Td = 0.159 sec.
BP augmentée: système plus rapide
Surtension sensiblement la même
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
|T(ωR)| = 4.80 dB
ωR = 6.91 rad/s
Q = |T(ωR)| - |T(0)| = 4.80 dB
123
Réponse temporelle à un échelon
Système plus rapide, sans avoir
augmenté le premier dépassement et
en conservant la précision
Ecart relatif ep = 0%
1er dépassement X1 = 25%
Temps de réponse à 5% = 1.7 sec.
Temps de pic = 0.72 sec.
Ecart relatif ep = 58.8% = 1/(2*0.35)
1er dépassement X1 = 60.3%
Temps de réponse à 5% = 3.1 sec.
Temps de pic = 0.73 sec.
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
124
Allure de la commande.
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
125
Exemple 2
COMDE
Asservissement de position
yC +
K(s)
u
G(s)
y
-
G(s) =
9.794
s(1+0.025s)
Régulateur proportionnel K(s) = K. Régler K pour obtenir un module maximum
de la sensibilité complémentaire KG/(1+KG) de 2.3 dB.
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
126
Régulateur proportionnel K(s) = K
K=1
K = 5.69
2007/2008
Q = 2.3 dB, ωR = 38 rad/s, ωC = 63.7 rad/s,
EI2 - Tronc Commun
127
Réponse temporelle à un échelon
2007/2008
Ecart relatif ep = 0%
Ecart relatif rampe = 0.018
1er dépassement X1 = 23%
Temps de réponse à 5% = 0.154 sec.
Temps de pic = 0.074 sec.
EI2 - Tronc Commun
128
Allure de la commande.
2007/2008
Entrée maximale UMAX = 5.69
Entrée minimale UMIN = -1.31
EI2 - Tronc Commun
129
Régulateur à avance de phase : Régler K, a et T pour obtenir un écart
relatif pour une consigne en rampe de 0.003,
K(1+aTs)
K(s) =
, a>1 tout en sollicitant le moins possible la commande
1+Ts
et en autorisant une surtension de 2.3dB.
Le système à commander est de classe 1: donc, l’écart relatif pour une
consigne en rampe est non nul et s’écrit
1
ep =
9.794.K
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
K = 34.03
130
Résultat de la correction proportionnelle K = 34.03
ωR = 111.8 rad/s
26°
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
131
On va régler le correcteur de telle sorte que le lieu de transfert soit
déplacé au maxi. de 26° pour la pulsation ωR, de façon à venir tangenter
le contour 2.3dB, conformément au cahier des charges. Donc, on choisit
le paramètre a tel que
a=
1+sin(ΦM)
= 2.56
1−sin(ΦM)
a =3
Dans un 1er temps, on pose que l’action maxi. (d’un point de vue phase)
du correcteur a lieu à la résonance, c.à.d.
T=
2007/2008
1
ωR a
T = 0.00516 sec.
EI2 - Tronc Commun
132
Module de T – Plan de Bode
Q = 2.97dB
ωR = 157 rad/s
Correction K = 34.03
Correction avance de phase
De manière à affiner les réglages (Q=2.3dB), on va « jouer » sur T et a.
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
133
On pose K = 34.03 et a = 3; on diminue le paramètre T, et on mesure Q
T (s)
0.0045 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037
Q (dB)
2.7
2.5975 2.5921
2.5919 2.5962
On pose K = 34.03 et T = 0.0038; on modifie a, et on mesure Q
a
3.3
3.5
Q (dB)
2.3
2.14
On pose K = 34.03 et a = 3.3; on diminue le paramètre T, et on mesure Q
2007/2008
T (s)
0.0038
0.0037
0.0036
0.0035
Q (dB)
2.2966
2.2896
2.2895
2.2946
EI2 - Tronc Commun
134
Réglages du correcteur à avance de phase : K = 34.03, a = 3.3, T = 0.0036s
Q = 2.29 dB, ωR = 124.1 rad/s, ωC = 252.7 rad/s
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
135
Réponse temporelle à un échelon
Ecart relatif ep = 0% / rampe = 0.003
1er dépassement X1 = 24.8%
Temps de réponse à 5% = 0.031 sec.
Temps de pic = 0.0187 sec.
Correcteur Proportionnel Ecart relatif ep = 0%
Ecart relatif rampe = 0.018
1er dépassement X1 = 23%
Temps de réponse à 5% = 0.154 sec.
Temps de pic = 0.074 sec.
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
136
Allure de la commande.
Entrée maximale UMAX = 112.3 !!!
Entrée minimale UMIN = -24.1 !!!
Entrée maximale UMAX = 5.69
Entrée minimale UMIN = -1.31
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
137
Régulateur à retard de phase : Régler K, b et T pour obtenir un écart
relatif pour une consigne en rampe de 0.003,
K(1+Ts)
en autorisant une surtension de 2.3dB et une
K(s) =
, b>1
1+bTs
réponse indicielle la plus rapide possible.
Le système à commander est de classe 1: donc, l’écart relatif pour une
consigne en rampe est non nul et s’écrit
1
ep =
9.794.K
K = 34.03
Pour avoir la même action que le correcteur proportionnel (tangenter le
contour 2.3dB) autour de la pulsation de résonance, l’apport du correcteur
en HF est équivalent au correcteur prop.
34.03
b=
5.69
= 5.98 ≈ 6
Le paramètre T est réglé par (avec ωR = 37.87 rad/s, pulsation de résonan-ce du système avec correction proportionnelle)
T = 10 = 0.264 sec.
wR
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
138
Réglages du correcteur à retard de phase : K = 34.03, b = 6, T = 0.264 sec.
Q = 3.17 dB, ωR = 39.05 rad/s
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
Surtension élevée :
On augmente b pour
obtenir Q = 2.3dB
139
Réglages du correcteur à retard de phase : K = 34.03, b = 8.4, T = 0.264 sec.
Q = 2.3 dB, ωR = 27.3 rad/s, ωC = 51.5 rad/s.
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
140
Réponse temporelle à un échelon
Ecart relatif ep = 0% / rampe = 0.003
1er dépassement X1 = 27%
Temps de réponse à 5% = 0.154 sec.
Temps de pic = 0.093 sec.
Correcteur Proportionnel Ecart relatif ep = 0%
Ecart relatif rampe = 0.018
1er dépassement X1 = 23%
Temps de réponse à 5% = 0.154 sec.
Temps de pic = 0.074 sec.
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
141
Allure de la commande.
Entrée maximale UMAX = 4.06
Entrée minimale UMIN = -0.78
Entrée maximale UMAX = 5.69
Entrée minimale UMIN = -1.31
2007/2008
EI2 - Tronc Commun
142
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