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Chap 6 : Évolution temporelle des systèmes quantiques.
1) Equation de Schrödinger dépendant du temps :
L’évolution temporelle d’une fonction d’onde est décrite par l’équation de
Schrödinger dépendant du temps :
 ( x, t )
ˆ
H ( x, t )  i
t
Hˆ  ( x)  E ( x)
 ( x) (t )
 (t )
ˆ
H ( x) (t )  i
 i ( x)
 E ( x) (t )
t
t
D’où
i
 (t )
 E (t )
t
 iEt
)

Donc si (x) est une fonction propre de l’opérateur hamiltonien, pour l’énergie E,
son évolution temporelle sera
Et donc
 (t )  exp(
 ( x, t )   ( x) exp(
 iEt
)

Notons que :
iEt
 iEt
2
 ( x, t )   * ( x) exp( )   ( x) exp(
)   ( x)


2
La densité de probabilité ne dépend pas du temps, on a un état stationnaire.
Notons que l’exponentielle vaut toujours 1 à t=0 et que donc :
 ( x, t  0)   ( x)
2) Evolution d’une fonction d’onde quelconque :
Soit j1 et j2 sont deux fonctions propres orthonormées de l’opérateur énergie, pour
les valeurs propres E1 et E2
 ( x, t  0)  a1 x   b 2 ( x)
Soit
On a alors
 ( x, t )  ae
i
E1t

1 ( x)  be
i
E 2t

 2 ( x)
Notons que la probabilité de mesurer le système dans chacun des états est constante
au cours du temps :
ae
E1t 2
i

2
 a  cste
be
E2 t 2
i

2
 b  cste
Supposons pour alléger le calcul, que a et b sont des coefficients réels et que j1 et j2
sont des fonctions réelles. On a alors pour la densité de probabilité :
2
2
2
 ( x, t )  a 2 1 ( x )  b 2  2 ( x)  ab e
i
( E 2  E1 ) t

1 ( x) 2 ( x)  ba e
i
( E1  E2 ) t

 2 ( x)1 ( x)
2
2
2
 ( E  E1 )t 
 ( x, t )  a 2 1 ( x )  b 2  2 ( x)  2ab cos 2
1 ( x) 2 ( x )



Cette fonction dépend du temps. Il y a oscillation temporelle de la densité de probabilité,
qui retrouve périodiquement la même forme avec une fréquence, f , égale à
f 
( E2  E1 )
2
Visualisation d’états dans un puits rectangulaire :
http://phet.colorado.edu/en/simulation/bound-states
Puits
On vérifie que :
-
-
Les énergies des états liés du puits dépendent très peu de sa profondeur car seule la partie de la fonction
d’onde située « dans le mur » change.
Les énergies des états liés du puits dépendent beaucoup de sa largeur. La densité d’état augmente quand
la largeur augmente.
Les énergies des états liés dépendent de la masse de la particule. La densité d’états augmente si la masse
de la particule augmente.
-
À t=0 les fonctions d’ondes sont réelles (démontré au chap 5).
Le nombre de nœuds augmente avec l’énergie.
Il y a succession de fonctions paires et impaires.
Pour un état donné la partie de la fonction d’onde qui pénètre dans le mur augmente lorsque cet état est
proche du haut du puits.
La partie réelle et la partie imaginaire d’un état propre évoluent dans le temps, mais pas la densité de
probabilité (état stationnaire) ou la magnitude, qui est la racine de la densité de proba.
Plus l’état a une grande énergie, plus sa période d’oscillation est courte.
-
En combinant deux états, l’état résultant n’est pas stationnaire.
Mais son évolution est périodique.
Cela reste vrai (mais plus difficile à repérer) pour toute combinaison d’un nombre fini d’états.
-
Visualisation d’états dans d’autres types de puits:
http://phet.colorado.edu/en/simulation/bound-states
Puits
Visualisation d’états dans d’autres types de puits:
http://phet.colorado.edu/en/simulation/bound-states
Puits
Propriété utile : une fonction d’onde en forme de
gaussienne (paquet d’ondes) reste sous forme de
gaussienne lorsqu’il évolue dans un potentiel
harmonique.
Visualisation d’états de particule libre :
http://phet.colorado.edu/en/simulation/quantum-tunneling
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Visualisation d’états en présence d’une marche de potentiel :
http://phet.colorado.edu/en/simulation/quantum-tunneling
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