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Cours n°10 : Régimes transitoires des circuits du

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Cours n°10 : Régimes transitoires des circuits
du premier ordre.
Avez- vous déjà observé le circuit d’allumage d’une lampe fluorescente (à tort appelée tube néon) dit circuit
ballast, il s’agit d’un circuit R,L (il y en a au dessus de nos têtes). La description du temps d’allumage nécessite
d’établir et de résoudre une équation différentielle dont la solution avec la condition initiale décrit la variation de
la tension en fonction du temps. Il s’agit de votre seconde modélisation dynamique quantitative d’un phénomène
physique après celle de la chute d’un corps. C’est un peu plus compliqué, il faudra utiliser un peu de
mathématiques, mais c’est fructueux ; on pourra d’ailleurs revenir sur la chute des corps pour voir au bout de
combien de temps le parachutiste atteint sa vitesse de chute limite...
Dans cette leçon, après avoir observé la lente charge d’un condensateur électrolytique à travers une résistance, on
s’attache à établir et résoudre l’équation différentielle du premier ordre qui décrit le phénomène. On voit ensuite
que le même comportement est obtenu pour un circuit R,L série.
I) Résolution des équations différentielles du premier ordre
1) Equation canonique et Conditions Initiales, constante de temps caractéristique =a/b
dy
 by  c avec la C.I y(t=0) = y 0
dt
dy
1
a
a
est homogène avec by,
a est homogène avec b ,
est homogène avec 1,
dt
T
bT
a
est homogène à un temps
b
a dy
c
 y  est la forme canonique de l'équation différentielle avec la C.I y(t=0) = y 0
b dt
b
a
2) Etape 1 : Résolution de l’équation sans second membre (homogène), séparation des
variables
dy
dy
 by  0 a
 by
dt
dt
dy
b
  dt c'est la séparation des deux varuables y et le temps , y à gauche et le temps à droite
y
a
a
d  Ln y 
1
dy
que l'on préfère écrire d  Ln y  
dy
y
y
une dérivée c'est une petite variation sur une autre la première correspondant à la seconde : Il est légitime de faire un produit en croix
b
b
On a donc d  Ln y    dt   d (t  C1 )
C1 étant une constante dite constante d'intégration
a
a
On sait

bt b
bt
b
bt
  C1

 C1

b
Ln y   (t  C1 ) un petit coup d'exponentielle donne sans effort y(t) = e a a  e a e a  C2 e a
a
avec C 2  e
b
 C1
a
qui est une constante puisque C1 l'est et pour l'instant forcément tout aussi indéterminée que C1
on applelera C 2 constante d'intergration comme C1 dont elle est la nouvelle incarnation
3) Etape 2 : Recherche de la solution particulière qui est la solution permanente de
l’équation avec second membre.
a
dy
 by  c
dt
y(t)= constant peut etre solution de l'équation avec second membre en effet
a.0  b  c soit  =
dy(t)
=0 reporté dans l'équation donne
dt
c
b
4) Etape 3 : Construction de la somme des 2 solutions précédentes et enfin
détermination de la constante d’intégration apparue dans l’étape 1 grâce à la Condition
Initiale.
bt

dy
c
 by  c est la somme des deux solutions précédentes y (t )  C2 e a 
dt
b
la constante C2 peut enfin etre déterminée grace à la CI y(t=0)=y0
la solution générale de l'équation avec second membre a
en effet y0 =C2 e0 
c
c
c
donne y0 =C2 1  soit C2 = y0 b
b
b
c

la solution complete de l'équation avec second membre s'écrit enfin : y(t)=  y0 -  e
b

 bt
a

c
b
II) Charge d’un circuit R, C série par un générateur idéal de tension
uR
uC=u
A t=0 on ferme l’interrupteur
Le condensateur étant
initialement déchargé
q(t=0-)=0
dq
q
uC (t )  u (t ) 
u R  uC  U  E si t  0
dt
C
dq q
d (C.u ) C.u
d .u
R
  E comme q  C u R

E
RC
u  E
dt C
dt
C
dt
par raison de dimension RC est homogène à un temps on note  =R.C le temps carcatéristique du circuit
i (t ) 

d .u
u  E
dt
forme canonique
1) Continuité de la charge et de la tension condensateur
La loi i = dq/dt implique que q(t) doit être une fonction continue, si il y avait à un instant quelconque une
discontinuité de q(t), soit un saut de q(t) la pente de q(t) serait infinie or la pente de q(t) c’est le courant qui en tant
que quantité physique ne peut être infini.
On retiendra donc que la charge et la tension condensateur (qui lui est proportionnelle q=Cu ) sont des grandeurs
continues du temps.
Pour notre problème on aura donc : q(t=0+)=q(t=0-)=0
2) Résolution
du
u  E
dt
du
du
du
dt
t
etape 1 
u  0

 u

dLn(u )  d (  C1 )
dt
dt
u


ici je n'ai pas mis -1/ en facteur mais c'est tout aussi correct que le raisonnement du I

t
Ln(u )    C1
ue

t
  C1

 eC1 e

t

 C2 e

t

etape 2 recherche de la solution particulière ou permanente
du
on reporte u(t) = =constante dans 
 u  E on en déduit  .0+ =E soit  =E
dt
etape 3
u(t)=E+C2 e

t

détermination de la constant d'intégration C2 grace à la Condition initiale q(t)=0 qui a pour conséquence u(t)=0
0 = E + C2 e 0  E  C 2
C2   E
solution générale de l'équation avec second membre : u(t) =  E + Ee
t
i(t) =
t

t


t

= E (1-e )
t

d
CE  E 
CE (1-e  ) 
e  e
dt

R
3) Remarques
Détermination de R : sur les oscillogrammes qui donnent des tensions ce n’est pas possible
Certes le courant initial i(t=0) est E/R, mais la tension aux bornes de la résistance R i est Ee
Il faudrait un ampèremètre pour déterminer R
Détermination de  en examinant la ‘complétude ‘de la charge

t
u (t )  E (1  e  )
i(t ) 
t
t
t
t

 
 

d
d
1
E 
 CE (1  e  )     CEe     CEe    e 
dt 
dt 

 
 R
u
0.95 E
0.63 E
E
0.86 E
τ
2τ
3τ
t

t

et ne dépend pas de R

1
u ( )  E (1  e  )  E (1  )  0.63E
e
2
1
u (2 )  E (1  e  )  E (1  )  0.86 E
e²
3
1
u (3 )  E (1  e  )  E (1  3 )  0.95 E
e
Détermination de  avec la tangente
u
E
τ
t
i
E/R
τ
t
equation de la tangente à la courbe i(t) à l'instant t=0
t
t
0
E 
di 1 E 
di
1 E 
1 E
e

e
(t  0) 
e 
R
dt  R
dt
 R
 R
notons itangente (t ) la fonction tangente à i(t) en t=0
on a i(t)=
E 1E
1 E

t car cette droite doit passer en E/R à t= 0 et avoir
comme dérivée
R  R
 R
cherchons maintenant la date à laquelle i tangenet s ' annule c ' est à t  
itangente (t ) 
La solution particulière représente le courant permanent, la solution de l’équation homogène étant
évanescente
III) Energie emmagasinée par le condensateur


0
0
On a vu Energie emmagasinée   dE   p (t )dt 
avec Q  CE la charge finale


0

u (t )i (t )dt   u (t )
0
Energie emmagasinée 

 d Cu ²(t )

d
d
Cu ²(t ) CE ²(t )
q (t )dt   u (t ) Cu (t )dt  
dt   d

0
0
0
0
dt
dt
dt 2
2
2
Q²
2C
et si on aime les calculs :
Energie emmagasinée 



0
u (t )i (t )dt 


0

t
t
E (1  e  )
E 
E²
(e ) dt 
R
R


0
(e

t

e
2
t

) dt 

t 
 
  2 t  
E²  
   e     e   
R 
0  2
 0 


t 
 1 2 t  
E ²    
 1  CE ²
   e    e     CE ² 1   

R 
2
2
 2
0 
0 

IV) Charge d’un circuit R, L série.
1) Continuité du courant dans la bobine.
di
une discontinuité du courant aurait pour conséquence une tension infinie aux bornes de la bobine
dt
ce que l'on refuse. On aura donc pour le courant dans la bobine i(t = 0- ) = i(t =0+ ).
uL  L
2) Résolution énergie emmagasinée.
L
di
 Ri  E
dt
on pose  
i (t  0)  0
t
E
i (t )  (1  e  )
R
t
uL (t )  E e

L
R
E
limt  i (t ) 
R
LI ² L  E 
Eemmagasinée 
  
2
2R
2
Chercher pour demain l’exercice VI-2 suivant
Fin du cours mardi 18 novembre
V) Expérience : Charge de deux condensateurs électrolytiques en //
Les condensateurs électrolytiques doivent être polarisés dans le bon sens, sinon une réaction chimique a lieu elle
produit des gaz qui font enfler le condensateur qui explose et peut projeter des morceaux très violemment.
Deux condensateurs électrochimiques de 6000F chacun sont montés en //.
La capacité globale est Ceq= C1+C2 , en effet la charge sur l’ensemble des deux armatures de gauche est :
C1
Q = q1+q2 = C1u + C2u = (C1+C2)u
q1
I1
I2
q2
C2
u
 S  0 r S

Une formule que l’on admettra énonce que la capacité d’un condensateur est C 
où  est la
l
l
permittivité du matériau diélectrique( isolant) qui remplit l’espace entre les plaques ou armatures
Les plaques ont une surface d’aire S et sont espacées de l.
Il est clair que si on met deux condensateurs en // , on connecte électriquement les plaques de gauche et les
plaques de droite et on a un condensateur équivalent de surface S 1+S2 ce qui implique que les capacités
s’ajoutent.
On charge donc 6000F+6000F soit 1.2 10-2F sous E=+15V à travers 1k , RC=12 secondes et on observe la
charge à l’oscilloscope avec une base de temps très lente.
On constate une charge asymptotique mais à une tension légèrement inférieure à E.
uC
E
t
Interprétation : Le condensateur doit être modélisé avec une résistance de fuite.
C
I
iC
q
R
iRF
RF
E

 

 

 

q 
q
 
dq
 dq
  E  R  dt  RC   RF RC
   iC 
dt



 
q 
q 
 

  E  R  iC  RC   RF RC 


 

d  CU  CU
R
R
R
dq q
q
dq q
dU
ER
  RF
ER
 (1  F )  E  R

(1  F )  E  RC
 U (1  F )
dt C
RC
dt C
R
dt
C
R
dt
R
E
RC dU
RC


 U forme canonique qui permet d'dentifier  =
RF
RF dt
R
(1  ) (1  )
(1  F )
R
R
R
remarque : RF est grand le courant de fuite est petit et   RC
 i  iC  iRF

 RiRF  q

C

dq
 iC 
dt

 E  Ri  R i

F
RF
 
 
q
  RiRF 
C
 

dq
  iC 
dt
 
  E  R i  i   R i
C
RF
F
RF
 
tandis que la tension asymptoyique tension en régime permanent
E
reste voisine de E
RF
(1  )
R
VI) Décharge du circuit R, C et du circuit R, L
1) R,C
t
En conservant les conventions récepteur de la charge
u (t )  Ee 
t
i (t ) 
E 
e
R
2) R,L
t
uL   Ee 
t
i (t ) 
E 
e
R
3) Exercice : Décharge avec deux condensateurs
R
i
q1
C1
u1
u2
q2
C2
A t=0 les charges des condensateurs 1 et 2 sont respectivement Q 1 et Q2, déterminer l’évolution électrique du
système.
dq1 dq2   dq1 dq2


  q10  q20  q1  q2 
 i   dt  dt    dt  dt
   q1  q2  cst





  q2
dq1 q1
q2
dq1 q1



R

 0 
R

 0 
 q2  Ri  q1  0   q2  R dq1  q1  0  
C
dt
C
C
dt
C
C
 C
  2
1
  2
1

C1
dt C1
 2
  2

q10  q20  q1
q  q20  q1
dq q
dq q
q
dq
 R 1  1  0  10
 RC2 1  1 C2  0  q10  q20  q1  1 C2  RC2 1
C2
dt C1
dt C1
C1
dt
 C
 1  2
C1


dq1
 q10  q20
 q1  RC2
dt

avec CI q1 (t  0)  q10
4) Interprétation physique de la charge et de la décharge du condensateur
C
C
i
R
i
R
uC
uC
E
t
t
E
Charge uC  E (1  e ) i  e 
R

t
uC  E e
Décharge

t
E
i   e
R
Pendant la charge le condensateur se comporte comme un générateur monté en opposition dont la fem croit
jusqu’à s’opposer totalement à la pile en régime permanent et bloquer le courant.
Pendant la décharge le condensateur est équivalent à un générateur de fem initiale E toujours polarisé dans une
direction inverse à la pile qui réalisé la charge, la fem de ce générateur équivalent décroit.
On a vu que l’on doit avoir continuité de la charge ou de la tension condensateur (pour que le courant reste fini)
Lors de la décharge bien que la pile soit brusquement amenée à une fem nulle, le condensateur qui est chargé
conserve à ses bornes la tension E.
Du point de vue microscopique, les électrons provenant de la plaque chargée négativement (celle à droite) se sont
déplacés à travers le fil et la résistance pour combler le déficit d’électron sur la plaque chargée positivement ( celle
à gauche).
Interprétation physique de la charge et de la décharge de la bobine
i
R
i
R
uL
uL
E
E
t
Charge uL  E

t
E
i  (1  e  )
R
t
Décharge
uL   E e

t
E
i  e
R
t
Lors de la ‘’charge’’ la bobine se comporte comme un générateur en opposition à la pile de fem E  donc de fem
initiale E de même valeur absolue de sorte que le courant initial est nul et soit continu , lors de la ‘’décharge’’ la
bobine se substitue à la pile dont la fem a été annulée pour assurer la continuité du courant à partir de la valeur E/R
t
Heureusement que la tension bobine u=  E e  est négative pour faire circuler un courant i > 0.
Les condensateurs, les résistances, les transistors, les diodes s’intègrent bien (ils se miniaturisent dans une puce
électronique) . Ce n’est pas le cas des bobinages dont le fil ne peut être réduit sans faire apparaitre une résistance
inacceptable (formule R=l/S).
Fin du cours mercredi 19 novembre
Exercice à faire pour vendredi le V-3 ci-dessus
VI) Analyse de documents
1) Exemples de circuits R, L série
Un moteur électrique est constitué de bobinages et l’allumage d’un moteur peut donc
suivre une loi de charge de circuit R, L
Mais on peut encore donner comme exemple de circuit R,L le ballast d’une lampe
fluorescente :
Wikipedia Ballast et starter d’une lampe fluorescente
Travail : dans le texte suivant dire où la loi u = L di/dt est invoquée et le nom qu’on lui donne
Résumé :
D’une façon générale : Un ballast est un limiteur de courant , quand les puissances dissipées sont faibles c’et une
simple résistance mais quand elles sont grandes il s’agit d’un R,L comme par exemple dans le circuit d’allumage d’un
tube fluorescent.
De plus dans un tube fluorescent, le rôle du ballast inductance avec noyau ferro-magnétique est double : il permet
de fournir la haute tension nécessaire à l'allumage du tube puis, une fois le tube allumé, il permet de limiter le
courant le traversant.
À cause de la puissance dissipée par effet joule, on n'utilise généralement plus les résistances ballast dès que la puissance à fournir dépasse 1 ou 2 Watt. Pour les
puissances plus importantes, on utilise donc des inductances. Une inductance parfaite ne générant pas de pertes par effet joule, elle limitera donc le courant par
inductance sans générer de baisse du rendement. En réalité, une inductance possède une certaine résistance interne : Donc les pertes par effet joule sont minimisées
mais non éliminées.
L'inconvénient des inductances ballasts est qu'elles déphasent le courant par rapport à la tension, dégradant ainsi le facteur de puissance. Afin de compenser cet
effet, les ballasts haut de gamme associent un condensateur à l'inductance. Celui-ci ayant un effet électriquement identique à l'inductance, il déphase à l'inverse le
courant rétablissant ainsi le facteur de puissance global de l'appareillage.
ballast pour lampe fluorescente
Utilisation avec une lampe fluorescente
Dans un tube fluorescent, le rôle du ballast ferro-magnétique est double : il permet de fournir la haute tension d'amorçage nécessaire à l'allumage du tube puis, une
fois le tube allumé, il permet de limiter le courant.
Schéma classique d'un montage tube fluorescent (A) – ballast (G) – démarreur ou « starter »(C).
Un starter permet l'allumage de la lampe, lorsqu'elle est utilisée avec un ballast électromagnétique.
Les éléments entrant en jeu sont :



Le tube fluorescent. Il est rempli d'un gaz dont l'ionisation, conjointement à une couche de matière
fluorescente produit la lumière. Il possède quatre bornes, deux à chaque extrémité. Les deux bornes de la
première extrémité sont reliées par un filament électrique. Il en est de même pour l'autre extrémité.
L'échauffement de ces filaments prépare le passage du courant dans le gaz du tube.
Le ballast est une inductance.
Le « starter » est un dipôle électrique qui se comporte comme un interrupteur. Au départ, il n'est pas
conducteur. Il devient conducteur pendant une courte durée, lorsqu'on lui applique une tension supérieure
à une tension v1 (c'est le cas lorsqu'on le branche au secteur). Il est isolant lorsqu'on lui applique une tension
inférieure à une tension v0 (c'est le cas lorsqu'un courant traverse le ballast avec lequel il est monté en
série). Pour obtenir cet effet, le « starter » contient un gaz, qui à la tension v1 s'ionise et laisse passer un très
faible courant. Cette ionisation réchauffe un bilame qui finit par se fermer, rendant le « starter » conducteur.
Une fois le bilame fermé, le gaz cesse d'être ionisé et le bilame finit par se rouvrir en refroidissant. En
dessous de v0, la tension n'est pas suffisante pour ioniser le gaz.
Le ballast est en série avec le tube, tandis que le « starter » est en parallèle (voir figure).
Un cycle d'allumage peut se décomposer en trois étapes :

Première étape
Lors de la mise sous tension, aucun courant ne traverse le circuit, et la tension du réseau se trouve rapportée
aux bornes du « starter ». La présence de cette tension aux bornes du « starter » ionise le gaz présent dans le
« starter ». Cette ionisation réchauffe le bilame présent dans le « starter », qui se ferme.

Seconde étape
Une fois le « starter » en position fermée, un courant circule à travers les électrodes du tube, réchauffant
ainsi le gaz se situant à proximité. Pendant ce temps, le gaz présent dans le « starter » n'étant plus ionisé, son
bilame se refroidit au point de s'ouvrir.

Troisième étape
L'interruption brutale du courant dans la bobine ballast, entraîne une forte surtension, du fait de la loi de
Lenz-Faraday. Cette surtension est susceptible d'amorcer le tube en ionisant suffisamment le gaz qu'il
contient pour qu'il puisse rester durablement conducteur et rende lumineuse la couche fluorescente située à
sa périphérie. Si tel est le cas, le tube et le ballast continuent d'être traversés par un courant. Le ballast limite
alors le courant dans le tube, en raison de son impédance (loi d'Ohm généralisée). La tension aux bornes du
« starter » n'est plus suffisante pour provoquer la fermeture de celui-ci. Le cycle d'allumage est terminé.
Si le tube fluorescent n'est pas allumé à la fin du cycle de démarrage, le cycle recommence depuis la
première étape. Le gaz présent dans le tube est plus chaud que lors du début du cycle précèdent.
Ballasts à démarrage rapide
Exemples de ballasts à démarrage rapide pour 2 tubes de 40W. Exemplaires destinés au marché canadien, datant d'août 1964.
Ces ballasts ont été développés au début des années 1950 comme un remplacement des ballasts à préchauffage (avec starter). Leur popularité, bien que moyenne
en Europe, ne s'est pas démentie, en particulier en Amérique du Nord, où d'innombrables installations sont encore en service aujourd'hui.
Un ballast à démarrage rapide se caractérise par, en plus de l'autotransformateur retrouvé dans les ballasts à préchauffage, des bobines (enroulements) basse
tension qui chauffent les cathodes du tube en même temps que la haute tension est appliquée. Grossièrement, on peut dire que par rapport à un ballast à
préchauffage qui préchauffe, puis applique la haute tension, un ballast à démarrage rapide effectue ces deux opérations simultanément. Le ballast est aussi conçu
de manière à empêcher le démarrage des tubes si une des cathodes se brise. Dans un tel cas, les tubes n'allument que faiblement et vacillent.
Ces ballasts, comme ceux illustrés ci-contre, peuvent alimenter une ou deux lampes, dépendant du modèle. Ils permettent l'utilisation des mêmes tubes qu'avec les
anciennes installations, moyennant quelques modifications mineures (triple bobinage des cathodes entre autres). Aujourd'hui cependant, avec l'adoption quasigénéralisée des fluorescents aux triphosphores et des ballasts électroniques, les ballasts à démarrage rapide (et les ballasts électromagnétiques en général) tendent à
disparaître.
Ballast électronique
Un ballast électronique pour Lampe fluorescente de 18 à 58W
Vue interne d'un ballast électronique
Un ballast électronique utilise un circuit à semi-conducteur afin de fournir un démarrage plus rapide, sans
clignotement, tout en pouvant alimenter plusieurs lampes. En général, les ballasts électroniques augmentent
la fréquence de travail à 20kHz ou plus afin d'éliminer les clignotements à 100 ou 120Hz (deux fois la
fréquence d'alimentation). De plus, le rendement des lampes fluorescentes augmente de 9 % aux environs
des 10kHz puis continue à augmenter lentement jusqu'à 20kHz. L'augmentation de la fréquence permet donc
d'augmenter le rendement énergétique de l'ensemble lampe-ballast.
Le ballast électronique remplace l'ensemble ballast conventionnel, starter et condensateur.
Autres avantages :
Parfaitement silencieux et rendement énergétique > 98 % ce qui est considérable par rapport aux ballasts
passifs.
Le rendement lumineux augmente avec la fréquence jusqu’à quelques centaines de KHz, avec 32W* on
obtient le même flux lumineux qu'à 36W* avec ballast passif [* consommé tube seul]
Certains sont gradables par une tension 1à10V ou commande numérique. Avec une large gamme par
exemple pour allumer un passage et mettre en veille économique automatiquement, ou sur un dispositif de
purification par UV de n’allumer en pleine puissance que s’il y a écoulement, ce qui permet de diminuer
radicalement la maintenance, le cout en énergie et d’augmenter la durée des tubes par 20 si l’écoulement se
produit une heure par jour.
Leur format est en longueur pour prendre l’emplacement des anciens ballasts dans les luminaires.
Un seul ballast peut allumer un ou plusieurs tubes.
Certains ballast électroniques n’utilisent plus d'électrodes de chauffage, ce qui limite la durée de vie des
tubes en cas de cycles d’allumage souvent répétés.
2) Autre intervention classique d’un R,L série Etincelle de rupture
Quand on ouvre un interrupteur, on devrait théoriquement provoquer une discontinuité de courant les bobines
présentes dans le circuit rompu présentent alors une très grande tension qui se reporte aux bornes de
l’interrupteur ; le champ disruptif de l’air 36 000 V/cm est alors atteint, l’air s’ionise devient un plasma conducteur
et une étincelle passe , le courant ne s’annule donc pas instantanément .
3) R, C : Bateau à super-condensateur à Lorient
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