NF04 Modélisation numérique des problèmes de l`ingénieur

Cours 4-b
Méthode des éléments finis 2D
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Version 09/2006 (E.L.)
Notion d’élément de référence
Notion de patch-test
Notion de convergence
Application à la mécanique des fluides :
calcul d’un écoulement plan 2D par la fonction de Courant
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1
Rappels

La forme intégrale associée à l’équation de la chaleur est décomposée :
Sur des éléments triangulaires
 Sur des éléments barre pour Neumann et Cauchy

W 
W
e
e
T3

W
e
N eu
e

W
e
C au
 W D ir  0
e
Où l’intégrale élémentaire pour un élément T3 s’écrit :
WT 3 
e
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    x , y  k  T  x , y  dxdy 
   x , y  f
Ae
Ae
T
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dxdy
2
Constats


Il y a autant de fonctions Ni à
calculer que d’éléments T3
Impossibilité de généraliser le
calcul du vecteur sollicitation
avec les Ni calculées sur
l’élément réel (difficulté de
définir les bornes d’intégration)
Idée : utiliser un élément de
référence unique avec des
bornes d’intégrations simples
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3
Illustration de l’élément de référence
Coordonnées (réf°)
Coordonnées réelles
Elément de référence unique
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Eléments « réels »
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Approche généralisable à d’autres topologies
Elément barre :
Elément quadrilatère :
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Changement de variables

Le passage d’un élément « réel » vers un élément de « référence »
implique un changement de variables pour les calculs d’intégrations. De
manière générale, on a :
 f  x , y  dx dy   f  x   ,  , y   ,  
J d  d
 ,
x, y

1

Les bornes d’intégrations sont :
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   0, 1    ,    0, 1
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Définition du « jacobien »

Définition : |J | est appelé le jacobien de la transformation.
Il correspond au déterminant de la matrice jacobienne [J ].
La matrice jacobienne est définie par la relation mathématique suivante :
 T
 


 T
  
  x
  

 
  x
   
y   T
     x

y   T
     y

 T 




 x 
  J 

T




  y 
Cette matrice traduit les relations entre les dérivées partielles en espace
entre (x,y) et (,).
Pour la calculer, il est alors nécessaire de disposer d’une approximation
pour les variables x et y !
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Calcul des Ni
Le calcul des fonctions d’approximation consiste à :
1.
Choisir une forme d’approximation pour les Ni
N i   ,   a i  bi  c i , i  1, 2, 3
2.
Poser les systèmes d’équations associés
 N 1  0, 0   1  a1


 N 1  1, 0   0  a1  b1 ,


 N 1  0,1   0  a1  c1
3.
Résoudre !
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 N 2  0, 0   0  a 2


 N 2  1, 0   1  a 2  b 2 ,


 N 2  0,1   0  a 2  c 2
N 1   ,   1     ,
 N 3  0, 0   0  a 3


 N 3  1, 0   0  a 3  b3


 N 3  0,1   1  a 3  c 3
N 2   ,    ,
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N 3   ,   
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Calcul de la matrice jacobienne [J ]
 x
 
J   
 x
 

y 
 

y 
  

Rappel : la matrice jacobienne est définie par :

Les variables x et y sont approximées au sens des éléments finis :
x   ,   N 1
N2
x  x
N3
 x1 
 
 x2  ,
x 
 3
y 2  y1   x 2 1
 
y 3  y1   x 3 1
1
Soit :  J    2
 x 3  x1
y   ,   N 1
N2
N3
 y1 
 
 y2 
y 
 3
y 21 

y 31 
J  2 A  x 21 y 31  x31 y 21
e
On définit aussi :
 j   J 
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1
 y 31

e 
2 A   x 31
1
 y 21 

x 21 
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Calcul des intégrales élémentaires

Le changement de variables conduit à :
WT 3 
e

    x , y  k  T  x , y  dx dy 
   x , y  f
Ae
Ae
T
    x , y  k  T  x , y  J d  d  
T
 ,

dx dy
   x , y  f
J d  d
 ,
Les termes de gradient se discrétisent par :
 T 
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 T
 x

 
T

  y
 T



1   

  J  

 T

  


1



e
 2A

 y 31

  x31
 y 21    1

x 21    1
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B 
 
1
0
 T1 
0  
 T2 
1  
 T3 
10
Suite
La forme élémentaire s’écrit donc :
1 1 
WT 3 
e

0
Soit :
Avec :
1  2 3
B
T
0
WT 3   1  2  3
e
 K e   kA e  B 


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T
 T1 
 
e
k  B  T2  2 A d  d 
T 
 3
 T1 

e 
[ K ] T2    1 
T 
 3
 B , F e
2
1 1 

0
3
1  2 3
0
 N1 


e
 N 2  f 2 A d  d
 N  sup p o sé
 3  c o n sta n t
F 
e
1 
A  
 f
1 
3  
1 
e
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Notion de convergence
Illustration autour
d’un problème de mécanique :
Nombre d’inconnues
Tracé de la courbe de convergence
Objectif : Rechercher l’indépendance de la solution par rapport au maillage
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Application T3 : écoulement plan 2D

Application valable dès que le fluide remplit les conditions suivantes :

Incompressible :
 Eau
 Air si Mach < 0.3 (vitesse < 300-400 km/h)

Non visqueux : aucun fluide n’est visqueux mais hypothèse réaliste si le
domaine est grand et que l’on ne s’intéresse pas à ce qui se passe
précisément au voisinage des parois.

Stationnaire : constant en tout point du domaine dans le temps.
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Modèle mathématique

Un écoulement incompressible se traduit par :
div V  div  u i  v j  
u
x

v
y
Frontières
y
V
v
u
0
x
eq (1)
où u et v sont les composantes de la vitesse du fluide

Un écoulement non visqueux est dit irrotationnel, soit :
 u v 
rot V     u i  v j   

z  0
 y x 

eq (2)
On introduit la fonction de Courant définie par :
… dans eq(2) pour aboutir à :
u 

y
,
v

x
  x, y   0
Cette équation est identique à l’équation de la chaleur en 2D avec k =1
et en l’absence de terme de production !
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Interprétation
Une différence de la fonction  entre deux points A et B, traduit un débit
perpendiculaire entre ces deux points :
A
B
A
u 

y

v
A  B
A
yA  yB
A
B

x

A  B
xA  xB
B
B
De manière générale, on a :
A
A
H
V 
B
A  B
H
B
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Condition de frontière imperméable

Une frontière « imperméable » est donc définie par :
  cste
2
H
V 
 2  1
H
1

Il en résulte que pour tracer les lignes de courant (= trajectoires en
stationnaire), il suffit de tracer les lignes d’isovaleurs de .
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Exemples d’application (mini-projet)
Calcul de l’écoulement autour
d’un profil porteur
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Calcul du champ de vitesse
stationnaire dans un lac
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Mise en œuvre informatique

Génération d’un maillage composé de T3

Préparation du fichier de données :


Aucune propriété physique particulière : k = 1

Annulation du terme source : f = 0

Identification des nœuds associés aux conditions de Dirichlet : kcond, vcond
Assemblage du système et résolution : script Matlab « blin.m »
Affichage des iso-valeurs : script Matlab « isoval.m »
(Prochaine séance TP sous Matlab)
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