関数と図形②解答解説

PLUS1 関数と図形②
1
1 ．⑴　2 ⑵　y＝─x²
2
1
3 ．⑴　s＝─t²　⑵　s＝t－1
4
1
⑶　y＝─x²－8x＋32
2
1
⑶　s＝－─t²＋t＋3
4
1
2 ．⑴　─x²
4
11
⑷　─ ，5
4
3
⑵　－─x²＋12x－36
4
⑶　2√6
￣，8＋2√2
￣
解
説
♪
1 ． ⑴　x＝2 のとき，点 R は 1×2＝2 より，2cm 動いている。
図1
A
P
よって，△PQR は図 1 のように，点 R が辺 BC の中点の位置に
M
ある。辺 PR と辺 AB との交点をMとすると，∠ACB＝∠PRQ よ
り AC//PR となるから，△MBR∽△ABC で，相似比は，BR：BC
＝2：4＝1：2　これより， △MBR の高さを hcmとすると，
4cm
Q
B 2cm R 2cm C
△ABC の高さが 4cm であることから，h：4＝1：2 より，h＝2　1
したがって，△MBR の面積は， ─ ×2×2＝2（cm²）となり，x＝
2
2 のとき，y＝2
⑵　0≦ x ≦4 のとき，△PQR は△ABC と図 2 のような位置で
図2
P
A
重なっており，△MBR∽△ABC となる。△ABC は，底辺が 4cm，
M
高さが 4cm であることから，底辺と高さが等しい二等辺三角形
4cm
なので，△MBR も底辺 BR と高さが等しい二等辺三角形である。
Q
1
よって，重なった部分△MBR の面積 y は，BR＝x より，y＝ ─
2
B
C
cm R
4cm
1
×x×x＝ ─ x²
2
⑶　4≦ x ≦8 のとき，△PQR は△ABC と図 3 のような位置で
図3
A
重なっており，辺 AC と辺 PQ との交点を N とすると，△NQC も
底辺 QC と高さが等しい二等辺三角形である。よって，QC＝BC
1
1
－BQ＝4－（x－4）＝8－x より，y＝ ─ ×（8－x）×（8－x）＝ ─ x²－
2
2
8x＋32
P
N
4cm
B
Q
4cm
C
cm
R
4cm
2 ．⑴　図 1 のように， 2 点M， N を定める。T′
は直角二等辺三角形だから，∠MA′
N＝45°
これと∠MNA′
＝
90°より，△MA′
Nは直角二等辺三角形だから，MN＝NA′
同様に△MAN において，MN＝NA より，MN＝NA′
図1
1
1
1
1
1
＝NA＝ ─ A′
A＝ ─ x　よって，△MA′
A＝ ─ ×x× ─ x＝ ─ x²
2
2
2
2
4
C
C′
⑵　図 2 のように， 2 点 P ，P ′
を定め，〔五角形 MP ′
BB ′
P〕＝
△MA′
A－△P′
A′
B－△PAB′
と考える。△P′
A′
B は直角二等辺
1
（x－6）＝ ─（x－6）
²　また，△PAB′
≡△P′
A′
B であり，⑴より，
2
1
1
1
²×2
△MA′
A＝ ─ x²だから，〔五角形 MP′
BB′
P〕＝ ─ x²－ ─（x－6）
4
4
2
M
T
1
三角形より，BA′
＝P′
B＝x－6　よって，△P′
A′
B＝ ─ ×
（x－6）
×
2
N
A′
B
C
図2
T′
A
C′
M
3
＝－ ─ x²＋12x－36
4
P′
P
T′
⑶　⑴より，0≦ x ≦6 のとき， T と T′
が重なる部分の面積
1
が 6 となるのは， ─ x²＝6，x＝±2√6
￣より，x＝2√6
￣　また，
4
B′
A′
T
B
N
B′
A
6
⑵より，6≦ x ≦12 のとき， T と T′
が重なる部分の面積が 3
6 となるのは，－ ─ x²＋12x－36＝6，x＝8±2√2
￣より，x＝
4
8＋2√2
￣　よって，求める x の値は，2√6
￣と 8＋2√2
￣
3 ．⑴　正方形 KLMN は毎秒 1 の速さで移動するから， t 秒後，
図1
AM＝OL＝1×t＝t となる。0≦ t ≦2 のとき，0≦AM≦2 だから，
図 1 のように，辺 AC と MN の交点を P とすると，正方形 KLMN K
2
と△ABC の重なった部分は直角三角形 AMP になる。直線 AC の
N
2
C
P
BC
2
1 1
1
傾きは， ── ＝ ─── ＝ ─ だから，PM＝ ─ AM＝ ─ t と表される。
2
2
2
AB 6－2
A
L2
O
M
B
6
1
1
1
よって，s＝ ─ ×t× ─ t＝ ─ t²
2
2
4
⑵　⑴と同様に，AM＝OL＝t であり，2≦ t ≦4 のとき，2≦OL
図2
≦4 だから，図 2 のように，辺 AC と KL の交点を Q とすると，
1
重なった部分は台形 QLMP になる。直線 AC の傾きが ─ より，
2
A
2
O
｝
1
1
1
s＝ ─ × ─（t－2）＋ ─ t ×2＝t－1
2
2
2
⑶　⑴と同様に，OL＝t であり，4≦ t ≦6 のとき，4≦OL≦
｛
｝
1
1
1
と表される。よって，s＝ ─ × ─
（t－2）
＋2 ×
（6－t）
＝－ ─ t²
2
2
4
＋t＋3
N C
P
B
M6
L
図3
6 だから，図 3 のように，重なった部分は台形 QLBC になる。
1
1
1
LB＝6－t，直線 AC の傾きが ─ より，QL＝ ─ AL＝ ─（t－2）
2
2
2
2
Q
1
1
1
1
QL＝ ─ AL＝ ─
（t－2），PM＝ ─ AM＝ ─ t と表される。よって，
2
2
2
2
｛
K
2
K
2
O
C
N
Q
A
2
4
L
B
6 M
1
7
7
1
⑷　⑴より，s＝ ─ t² に s＝ ─ を代入すると， ─ ＝ ─ t²より，t＝±√7
￣　これは 0≦ t ≦2 を満たさないので適
4
4
4
4
7
11
7
1
さない。⑵より， ─ ＝t－1　∴t＝ ─ これは 2≦ t ≦4 を満たすので適する。⑶より， ─ ＝－ ─ t²＋t＋3，
4
4
4
4
11
（t＋1）
（t－5）＝0　∴t＝－1，5　4≦ t ≦6 より，t＝5　以上より，t＝ ─ ，5
4

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