埼玉工業大学デカルトの方法による 4 次方程式 a4x4+a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法－1/11 機械工学学習支援セミナー（小西克享）デカルトの方法による 4 次方程式 a4 x 4  a3 x3  a2 x 2  a1 x  a0  0 の解法テーマ B42：デカルトの方法を用いて 4 次方程式 a4 x 4  a3 x3  a2 x 2  a1 x  a0  0 (1) の根を求める方法を解説します．(1)式を a 4 で割ると a a a a x 4  3 x3  2 x 2  1 x  0  0 a4 a4 a4 a4 ここで A3  a3 , a4 A2  a2 , a4 A1  a1 , a4 A0  a0 a4 とおくと x 4  A3 x3  A2 x 2  A1 x  A0  0 次に x y A3 4 (2) とおき，(1)式に代入すると 4 3 2 A  A  A  A       y  3   A3  y  3   A2  y  3   A1  y  3   A0  0 4 4 4 4         ここで，左辺第 1 項は 4 2 3 4 A  3A A A  4 3 2  y  3   y  A3 y  3 y  3 y  3 4  8 16 256  3 2 3 A  3A 2 3A A  3 y 3  y  3 y  3 y 3 4  4 16 64  2 2 A  A A  2 y 3  y  3 y 3 4  2 16  となるので，(3)式に代入すると 2 3 4 3A A A y  A3 y  3 y 2  3 y  3 8 16 256 4 3 2  A3 y 3  3 2 A A A A  A2 y  3 2 y  3 2 2 16 A3 A1  A1 y   A0  0 4 2 4 3 A3 2 3 A3 A y  y 3 4 16 64 (3) 埼玉工業大学機械工学学習支援セミナー（小西克享） 2 y 4  A3 y 3  A3 y 3  3 デカルトの方法による 4 次方程式 a4x4+a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法－2/11 2 3 A3 2 3 A3 2 y  y  A2 y 2 8 4 3 A3 3A A A y  3 y  3 2 y  A1 y 16 16 2  4 4 2 A A A A A A  3  3  3 2  3 1  A0  0 256 64 16 4 2 4 2  3A  A3 A A  3A A A A A  y 4    3  A2  y 2   3  3 2  A1  y  3  3 2  3 1  A0  0     8 2 256 16 4    8  ここで， 2 3A b2   3  A2 8 3 b1  A3 AA  3 2  A1 8 2 4 b0   2 3 A3 A A AA  3 2  3 1  A0 256 16 4 とおくと，(3)式は y3 の項が消えて y 4  b2 y 2  b1 y  b0  0 (4) となります．ここで，2 次方程式 y 2  c1 y  c0  0 (5) y 2  d1 y  d 0  0 (6) との積を考えると， y 2  c1 y  c0  y 2  d 2 y  d 0   y 4  d1 y 3  d 0 y 2  c1 y 3  c1d1 y 2  c1d 0 y  c0 y 2  d1c0 y  c0 d 0  y 4  c1  d1  y 3  c1d1  c0  d 0  y 2  c1d 0  d1c0  y  c0 d 0  0 ここで，4 次方程式 y 4  b2 y 2  b1 y  b0  0 の係数を比較すると c1  d1  0 (7) (8) c1d1  c0  d0  b2 c1d0  d1c0  b1 c0 d 0  b0 が得られます．(7)式より， d1   c1 (11) また，(8)式に c1 を乗じると， c1 d1  c1c0  c1d 0  b2c1 2 (9) (10) 埼玉工業大学機械工学学習支援セミナー（小西克享）デカルトの方法による 4 次方程式 a4x4+a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法－3/11 この式から，(9)式の辺々を差し引くと c1 d1  c1c0  d1c0  b2 c1  b1 2 c1  c1   c1c0   c1 c0  b2 c1  b1 2  c1  2c1c0  b2 c1  b1 3  2c1c0  c1  b2c1  b1 (12) 3 次に，(8)式に d 1 を乗じると， c1d1  c0 d1  d 0 d1  b2 d1 2 この式から，(9)式の辺々を差し引くと c1d1  c1d 0  d 0 d1  b2 d1  b1 2 c1  c1   c1d 0  d 0  c1   b2  c1   b1 2 c1  2c1d 0  b2c1  b1 3  2c1d 0  c1  b2c1  b1 (13) 3 (10)式に 4c12 を乗じると 4c1 c0 d 0  4c1 b0 2 2 2c1c0  2c1d 0  4b0c1 2 ここで，(12)式と(13)式を代入すると， c c    3 1  b2 c1  b1  c1  b2 c1  b1  4b0 c1 3 1  b2 c1  b1  4b0 c1   2 c1 c1  b2 2 2 3 2  b 2 2 1 2 2  4b0 c1 2 次に， t  c1 (14) 2 とおくと 3 次方程式 t t  b2   b1  4b0t 2 2    t 3  2b2t 2  b2  4b0 t  b1  0 2 2 が得られます．次に，この 3 次方程式の解を求めます． t  w とおくと， 2 b2 3 (15) 埼玉工業大学デカルトの方法による 4 次方程式 a4x4+a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法－4/11 機械工学学習支援セミナー（小西克享） 3 2   2  2  2     2 2  w  b2   2b2  w  b2   b2  4b0  w  b2   b1  0 3  3  3     3 2  4 2 8 3  3 2 b2  w  b2   w  2b2 w  b2 w  3  3 27  2 2  4 4 2  2  w  b2   w  b2 w  b2 3  3 9  より   4 2 8 3 4 4 2 2    2 2 b2 w  b2  2b2  w 2  b2 w  b2   b2  4b0  w  b2   b1  0 3 27 3 9 3     4 2 8 3 8 2 8 3 2 2 2 2 w3  2b2 w 2  b2 w  b2  2b2 w 2  b2 w  b2  b2  4b0 w  b2  4b0 b2  b1  0 3 27 3 9 3 4 2 8 2 8 3 8 3 2 3 8 2 2 w3  2b2 w 2  2b2 w 2  b2 w  b2 w  b2  4b0 w  b2  b2  b2  b2b0  b1  0 3 3 27 9 3 3 2 3 8  4 2  2 2 w3    b2  b2  4b0  w  b2  b2b0  b1  0 27 3  3  w3  2b2 w 2     2 3 8  1 2  2  w3    b2  4b0  w  b2  b2b0  b1  0 27 3  3  ここで 1 2 e1   b2  4b0 3 2 3 8 2 e0   b2  b2b0  b1 27 3 とおくと，次の 3 次方程式が得られます． w3  e1w  e0  0 解を求めるため w  uv とおいて，3 次方程式に代入すると w3  e1 w  e0  u  v   e1 u  v   e0 3  u 3  3u 2v  3uv 2  v 3  e1 u  v   e0  u 3  v 3  e0  3uv u  v   e1 u  v   u 3  v 3  e0  3uv  e1 u  v  となります．よって， u 3  v3  e0  3uv  e1 u  v   0 が成立するには， u 3  v3  e0  0 (16) 3uv  e1  0 (17) でなければなりません．(17)式から    埼玉工業大学機械工学学習支援セミナー（小西克享） v e1 3u デカルトの方法による 4 次方程式 a4x4+a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法－5/11 (18) となるので，(18)式を(16)式に代入すると 3 e  u   1   e0  0  3u  3 3 e  u  e0 u   1   0 3 6 3 u 3 に対して 2 次方程式となるので，根の公式より 3 e   e0  e0  4 1  2 3 e0  e0   e1  3 3 u         2 2  2 3 2 ここで 2 e e  e  u  0   0   1 2  2 3 3 3 とおくと，(16)式より 2 3 2 3  e e0  e0   e1    e0   e1  0 v  e0  u  e0                  2  2 3   2 3  2  3 3 となり，u と v は互いに共役な複素数となることがわかります．よって，判別式が 2 3  e0   e1      0 2 3 のとき， 2 e e  e  u   0   0   1 2  2 3 3 3 とすると， 2 e e  e  v   0   0   1 2  2 3 3 3 となるため，w の実数解は， 2 3 2 e e e  e  e  e  wuv   0   0   1   0   0   1 2 2  2 3  2 3 3 となります．次に， 3 3 埼玉工業大学機械工学学習支援セミナー（小西克享） 2 デカルトの方法による 4 次方程式 a4x4+a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法－6/11 3  e0   e1      0  2 3 のとき， 2 3 e e  e  u   0   0    1   r cos   i sin   2  2 3 3 と表すと， 2 2 2 3 2 2 3   e0    e0   e1    e0   e0   e1  r                      2   2 3  2  2 3   e  0 e cos   2   0 r 2r  e    cos 1   0   2r     u  3 r  cos  i sin  3 3     v  3 r  cos  i sin  3 3   w  u  v  23 r cos  3 となります．(15)式より t  w 2 b2  0 3 となるとき，(14)式，(13)式，(12)式，(10)式より c1  t c  b2 c1  b1 c0  1 2c1 3 d1   c1 d0  b0 c0 となります．ただし， c1  0 のとき， d 1  0 となり，さらに(8)式と(10)式から c0  d 0  b2 c0 d 0  b0 となるので，これを連立して解くと埼玉工業大学機械工学学習支援セミナー（小西克享）デカルトの方法による 4 次方程式 a4x4+a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法－7/11 c0  b2 c0  b0  0 2 b2  b2  4b0 2  c0  2 となります．c0 と d0 は対をなすため， b2  b2  4b0 2 c0  2 のとき， b2  d0  b2  4b0 2 2 となります． d 0 は b0 c0 d0  として計算しても同じ答えになります．根の公式を適用すると (5)式より  c1  c1  4c0 2 y 2 2 c c    1   1   c0 2 2 (6)式より  d1  d1  4d 0 2 y 2 2 d d    1   1   d0 2 2 最終的に，x の解は，(2)式より 2 x c1 A3 c     1   c0 2 4 2 x d1 A3 d     1   d0 2 4 2 2 と求まります．まとめ 4 次式を a4 x 4  a3 x3  a2 x 2  a1 x  a0  0 とするとき A3  a3 , a4 A2  a2 , a4 A1  a1 , a4 A0  a0 a4 埼玉工業大学機械工学学習支援セミナー（小西克享） 2 b2   3 A3  A2 8 3 A AA b1  3  3 2  A1 8 2 4 2 3A A A AA b0   3  3 2  3 1  A0 256 16 4 1 2 e1   b2  4b0 3 2 3 8 2 e0   b2  b2b0  b1 27 3 b1  0 のとき 2 3 e  e  判別式が  0    1   0 であれば， 2 3 2 e e  e  u   0   0   1 2  2 3 3 3 2 e e e  e  v  1   0   0   1 3u 2  2 3 3 wuv 2 3 e  e  また，  0    1   0 であれば，  2 3 2 2 e  e  e  r   0    0   1 2  2 3  e0    2r    cos 1   w  u  v  23 r cos t  w 2 b2  0 3 c1  t c1  b2 c1  b1 2c1 3 c0  d1   c1 d0  b0 c0  3 3 3 デカルトの方法による 4 次方程式 a4x4+a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法－8/11 埼玉工業大学機械工学学習支援セミナー（小西克享）デカルトの方法による 4 次方程式 a4x4+a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法－9/11 b1  0 のとき， c1  0 b2  b2  4b0 2 c0  2 d1  0 b2  b2  4b0 2 d0  2 となり，解は 2 x c1 A3 c     1   c0 2 4 2 x d1 A3 d     1   d0 2 4 2 2 となります．例題 1． x 4  10 x 3  35 x 2  50 x  24  x  1x  2x  3x  4  0 を解け．解答係数は a4  1 a 3  10 a 2  35 a1  50 a 0  24 A3  a 3  10   10, a4 1 A2  a 2 35   35, a4 1 A1  a1  50   50, a4 1 A0  a 0 24   24 a4 1 3A 3   10  b2   3  A2    35  2.5 8 8 2 2  10    10   35   50   0 A3 AA  3 2  A1  8 2 8 2 3 b1  3 3 A3 A A AA 3   10   10   35  10    50   3 2  3 1  A0      24  0.5625 256 16 4 256 16 4 4 b0   2 4 2 1 2 1 2 e1   b2  4b0    2.5  4  0.5625  4.33333333 333333 3 3 2 3 8 2 2  2.53  8  2.5  0.5625  02  2.59259259 259259 e0   b2  b2b0  b1   27 3 27 3 判別式は埼玉工業大学機械工学学習支援セミナー（小西克享） 2 3 デカルトの方法による 4 次方程式 a4x4+a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法－10/11 2  e0   e1    2.59259259 259259    4.33333333 333333          2 3  2 3      1.33333333 333333  0 より負となるので 2 2 3 3 2 e  e  e    2.59259259 259259  r   0    0   1      1.33333333 333333 2 2  2 3    1.68038408 77915  1.33333333 333333  1.73600617 e0   2.59259259 259259  1    cos     0.72769162 2 2  1.73600617  2r       cos 1    0.72769162 2 3 3  2  1.20185042 5  0.97072534 3  2.33333333 3 w  u  v  23 r cos t  w  23 1.73600617  cos 2 2 b2  2.33333333 3    2.5  4 3 3 c1  t  4  2 c1  b2c1  b1 23   2.5   2  0   0.75 2c1 2 2 3 c0  d1  c1  2 d0  b0 0.5625   0.75 c0 0.75 次に A c 2  10  c  2 x   1  3   1   c0        0.75  1.5  0.5 2 4 2 4 2 2 2 2 d1 A3  2    10     2   0.75  3.5  0.5 d     1   d0     2 4 2 4  2   2 2 x 2 より，解は x  1, 2, 3, 4 となります．例題 2． x 4  13 x 2  48  x  3 x  16   0 を解け． 2 解答係数は 2 埼玉工業大学機械工学学習支援セミナー（小西克享）デカルトの方法による 4 次方程式 a4x4+a3x3+ a2x2+ a1x+ a0=0 の解法－11/11 a4  1 a3  0 a 2  13 a1  0 a0  48 A3  a3  0, a4 A2  a2  13, a4 A1  a1  0, a4 A0  a0  48 a4 2 3A b2   3  A2  13 8 3 b1  A3 AA  3 2  A1  0 8 2 4 2 3 A3 A A AA  3 2  3 1  A0  48 256 16 4 b1  0 なので， b0   c1  0 b2  b2  4b0 2 c0  2   13   13 2  4   48  2 3 d1  0 d0  b0  48   16 c0 3 よって解は 2 A c c  x   1  3   1   c0   c0   3  3 i 2 4 2 2 A d d  x   1  3   1   d 0   d 0  16  4 2 4  2 となります．研究室のフリーウェアーのページに，本計算法に基づき，4 次方程式 a4 x 4  a3 x3  a2 x 2  a1 x  a0  0 の解を求めることができる Excel スプレッドシートを公開しています． http://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support/SupportPDF/DescartesQuarticEquation.pdf Copyright ⓒ 2014 小西克享, All Rights Reserved. 個人的な学習の目的以外での使用，転載，配布等はできません．お願い：本資料は，埼玉工業大学在学生の学習を支援することを目的として公開しています．本資料の内容に関する本学在学生以外からのご質問・ご要望にはお応えできません．